Professor Alvaro Vannucci

Licenciatura

Eletromagnetismo

19a aula

Na última aula vimos...

• Incidência Normal – Interface entre 2 meios dielétricos

(do meio 1 p/ o meio 2)

2 1

2 1

1

2 1

2

r i

t i

n nE E

n n

nE E

n n

12

2 1

a fase inverte

inverte a fase

n n

n n

E

B

212

1

1 2

r

i

n n

n

E

nr

E

1

12

1 2

2t

i

tn

nE n

E

e

(índices indicam passagem do meio 1 para o meio 2)

• Coeficientes de Fresnel (incidência normal)

z

y

x

rK

rHrE

iK

iE

iH

tH

tE

tK

1n 2n

de forma

que, se

• Em termos da intensidade da radiação: I S

2

12

2212

1

N

N

R r

nT t

n

( Incidência Normal )

r

Ni

t

Ni

SR

S

ST

S

a Refletância e a Transmitância, são dadas por:

Incidência oblíqua:

1º) ao plano de incidência da onda EM

• Temos que resolver dois casos diferentes:

E 2º) ao plano de

incidência da onda EME

tr

i

Meio 2Meio 1

r

rKrH

rE

iH

i

iEiK

tHtK

tE

x

y

z

tr

i

x

zy

r

rKrH

rE

iiE

iH

iK tH

tKtE

Meio 2Meio 1

1 2

1 2

t t

t t

H H

E E

• Isto porque qualquer onda, com qualquer polarização, terá as

componentes dos campos em uma dessas duas situações.

(não há correntes reais)

• Para resolver o problema, vamos aplicar as condições de

continuidade dos campos:

• Para isto, vamos considerar as ondas propagando-se no plano

xz (e tomando as componentes dos campos na direção do eixo x),

de forma que:

0

0

0

cos

cos

cos

i i i

r r r

t t t

E E K r t

E E K r t

E E K r t

• Agora, escolhendo a interface entre os 2 planos em z = 0:

= 0 pois onda propaga-se apenas

no plano xz

xK r K x

x y zK r K x K y K z

• Portanto:

= 0 pois z=0 na interface

• Aplicando a condição de continuidade: (na interface)

0 co i(s )s ncos ii iii K txE

1 2t tE E

0 cos sincos( )t t t t tK xE t

(que vale para as 3 ondas, na interface. Quanto à

onda refletida, o sentido de propagação é -x, mas

também é no sentido de -x !)K

iH

i

iEiKi(no 1o caso, , por exemplo):E

x

z x

z

r

rKrH

rE

0 cos sincos( )r r r r rK xE t

0 cos iE E K r t

• Deve valer para qualquer x e qualquer t a dependência

funcional em relação a x e t, de cada parcela, deve ser a mesma!

• Ou seja:

cos( sin ) cos( sin ) cos( sin )i i i r r r t t tK x t K x t K x t

i r t

• Como deve valer para qq. ponto da interface pegando x = 0:

• E como deve valer para qq. t escolho t = 0 (do cronômetro)

• Como esta igualdade:

0 0cos ( sin ) cos cos( sin )cosi i i i i r r r r rE K x t E K x t

0 cos cos( sin )t t t t tE K x t

sin sin sini i r r t tK x K x K x

• Assim:

nK

c

• Agora, como

quando n for o mesmo, K também é o mesmo!

i rK K sin sini r i r da 1a igualdade:

”Lei da Reflexão”

(já conhecida da ótica geométrica)

1 2sin sini t

n n

c c

1 2sin sini tn n

(também já conhecida da ótica geométrica)

• Da 2a igualdade:

“Lei de Snell”

sin sin sini i r r t tK x K x K x

2

1

sin

sin

i

t

n

n

2

1

sin i

n

n

• Agora, veja que interessante; deste último resultado:

quando 1sin t

2t

Onda sai “rasante”; e não tem muito sentido

falar em “radiação refratada” neste caso

/ 2t crítico 2

1

arcsini

n

n • Agora, se

Há reflexão total!crítico

i i

2

1

sin i

n

n

• Ou seja, se

1 2 !n n• Note também que isto só ocorre quando ; ou

seja, n2 não pode ser maior que n1

2

1

sin

sin

i

t

n

n

1 2

1 2

t t

t t

E E

H H

• Retornando agora aos casos de incidência oblíqua, do

início da aula, e lembrando que as relações de continuidade:

valem para qualquer valor x e t

• Desta forma, podemos trabalhar apenas com as amplitudes

dos campos de forma a obter os Coeficientes de Fresnel.

(meios

dielétricos)

( posso fazer x = 0 e t = 0)

0 2 1

2 10

/1 /2

//

cos cos

cos cos

r

i

i t

i t

n n

n n

Er

E

1

1 2

012

0

//

//

2 cos

cos cos

i

t

t

i i

nE

E n nt

0o

i r

1 2

1

012

0 2

cos cos

cos cos

ir

ii

t

t

n n

n

Er

E n

1

1 2

012

0

2 cos

cos cos

i

i t

t

i

Et

n

nE n

(note que, para caímos na Incidência Normal)

• Vamos exemplificar um destes casos (o 1o deles):

• Assim fazendo:

• Quanto a outra

componente:

1 0 1 0 2 0i r tn E n E n E

0 0 1 0 1 0

2

1cos cos cosi i r r i r tE E n E n E

n

(n=c/v)

00

nEB

c

2 0 1 0 1 0 2 0cos cos cos cosi i i t r t r rn E n E n E n E

2 1 10 02cos cos cos cosi ri t t rn n n nE E

02 0 01 it r tt H HH HH

1 2 0 0 0cos cos cosi i r r t tt t E EE E E

0 0 0i r tB B B

1 2 0( ~ ~ )

0 0 0

cE vB B

n

0 1 0 1 0

2

1t i rE n E n E

n

• Então:

i

2

12

cos

cos r r r

i i i

RS I

S Ir

• De modo que a Refletância e a Transmitância serão:

• Vamos agora tratar da Potência da radiação Incidente,

Refletida e Transmitida.

• Nos cálculos, só nos interessará as Componentes Perpendi-

culares do Vetor de Poynting com respeito à interface.

( )2

0S E *2

0

1

2

1

2;

nS E H E

c

22

0

21

0

12

12

coscos

cos cosi

ot tt t

ioi i

nE

cS

nS Ec

T

12t

2

2

1

cos

cos

t ot

i oi

n E

n E

2

22

1

cos

cos

t

i

R r

nT t

n

2

22//

1

////

//

cos

cos

;t

i

R r

nT t

n

// // 1R T

• Ou seja:

R T 1 2 i , , tn n e • De forma que os Coeficientes de Fresnel permitem que se

obtenha e , a partir de , que são facilmente

obtidos

• Pode-se verificar facilmente (faça em casa!) que nestes casos

o Princípio de Conservação de Energia também é satisfeito:

i r

1R T

12

12

//

//

2

( )

cos sin

sin cos( )

i t

i t

i t

i t i t

tgr

tg

t

12

12

2

sin

sin

cos sin

sin

t i

t i

i t

i t

r

t

12 //t

1

2

2cos

sin cos

sin

cos sin cos cos sin sin

i

i t i t

i

t i i t

n

n

• As vezes, é útil escrever os Coeficientes de Fresnel da forma:

e

• Exemplo:

(usando a Lei de Snell)

2

1

2 2 2 2

2 cos

sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin sisin

n

i

i t i i t t i i

i

t t t i

n

n

2 2sin cos

colocando em evidência

parcelas do tipo:

1

212//

2 cos

sin cos sin cossin

i

i i t t

i

n

nt

1

2

2 cos

sincos cos

sin

i

ti t

i

n

n

1

2 112//

2 cos

cos cos

i

i t

n

n nt

n2/n1

• A partir destas relações alternativas dos Coeficientes de

Fresnel fica fácil também mostrar (verifique!) que:

12 21

2

12 12 21 1

r r

r t t

(vamos precisar disto em uma

aula futura)

• Agora, um outro resultado interessante envolve a situação na qual

não há onda refletida paralelamente ao plano da incidência, ou

seja, apenas a componente paralela à interface entre os dois meios

é que subsiste após a reflexão.

as duas componentes da onda E

iKE

.E

rK.

12//0r • Para isto acontecer devemos ter

2 1

12

2 1

//

cos cos

cos cos

i t

i t

n nr

n n

2 1cos cos 0i tn n

2 1cos cos 0i tn n

2

1

sin

sin

cos

cos

t

i

i

t

n

n

• Então: usando Snell:

2 2sin sini t i t

sin(2 ) sin(180 2 )t t

2i t

mas

180º-

• Então:

• Assim:

(meios indistinguíveis, nãohá interface!)

sin cos sin cosi i t t

1/ 2 1/ 2sin(2 ) sin(2 )ti

2 180 2i t

Econdição para que só haja componente de paralela à interface ( ao plano de incidência) na reflexão!

• Faço , e tiro o cosseno

dos dois lados:2i t

2cos cos( n) sii tt

“ Lei de Brewster ”

iSó depende de e dos índices refração.

• Forma mais interessante (útil) de expressar este resultado:

• Esta lei fornece a condição necessária para haver a Polarização

da onda EM por reflexão na interface entre dois meios dielétricos.

2

1i

ntg

n

1

2

sin(Snell) in

n

90o

• Para uma interação ar-vidro, por exemplo (n1 = 1, n2 = 1,5) um

gráfico de valores de R// e R┴ em função de i será:

Brewster /2

i

R

R//

R

1

(qdo i =/2 “tudo passa”)

i

• Fazendo as contas:1,5

56,31,0

B Barctg

• Nos dias ensolarados, parte dos raios solares refletidos (B) nas diversassuperfícies horizontais são polarizados paralelamente a estas as lentesdos óculos polaróides são posicionadas de forma a cortar esta componente(ou seja, o eixo de polarização das lentes é posicionado na direção vertical!).