566 farias brito fisica carlos eduardo movimento harmonico simples (1)

8132019 566 Farias Brito Fisica Carlos Eduardo Movimento Harmonico Simples (1)

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ITAIME ndash Preacute-Universitaacuterio 1

PROJETO RUMO AO ITA

FIacuteSICA

MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES

Introduccedilatildeo

Movimentos perioacutedicos estatildeo presentes na sua vida todosos dias Vocecirc ao ler este texto pode natildeo perceber mas estaacutepresenciando vaacuterios movimentos perioacutedicos A luz que reflete nestepapel para ir ateacute seus olhos possui uma oscilaccedilatildeo eletromagneacuteticaseus olhos ao percorrerem de uma ponta a outra essas linhas estatildeorealizando um movimento perioacutedico seu coraccedilatildeo estaacute bombeandosangue num movimento perioacutedico

Existem vaacuterios modelos de osciladores harmocircnicos(simples amortecido e forccedilado) Trataremos aqui do movimentoharmocircnico simples

Um movimento eacute dito perioacutedico quando a posiccedilatildeodeste se repete em intervalos de tempo iguais Este intervalode tempo deve ser bem definido para cada tipo de movimentoChamamos tal intervalo de periacuteodo (T) O inverso dessa grandeza eacutedenominado frequecircncia (f) A frequecircncia representa o nuacutemero devezes que o movimento se repete no tempo

Para um MHS (movimento harmocircnico simples) o periacuteodo(ou a frequecircncia) informa algumas caracteriacutesticas sobre o tipo forccedilaque estaacute causando o movimento Vaacuterios exemplos claacutessicos de MHSsatildes encontrados na natureza pecircndulos de reloacutegio pecircndulos fiacutesicos

um objeto preso a uma mola um objeto flutuando sobre a superfiacuteciecalma de um lago tambeacutem exerce um pequeno MHS entre outros

Movimento Massa-mola

Este eacute o pr imeiro movimento a ser estudadoQuando entendermos este movimento por completo sairemosfazendo analogias diretas a outras situaccedilotildees fiacutesicas e assimresolveremos uma quantidade enorme de problemas

Modelo Movimento de um objeto preso a uma mola

x

x

x = 0

m

Fs

bull Inicialmente o objeto

eacute deslocado em um ∆xfazendo a mola ficardistendida

bull Surge uma forccedila F x

∆( ) no sentido oposto aodeslocamento

bull O mesmo ocorre dasituaccedilatildeo I

I

II

III

x

x = 0

Fs= 0

m

x

x

x = 0

x = 0

m

Fx

m

A forccedila eacute dita restauradora quando sempre aponta para aposiccedilatildeo de equiliacutebrio

Obs A posiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute a posiccedilatildeo onde a resultante eacute nula

Temos assim a seguinte equaccedilatildeo para a segunda lei deNewton

F kx ma mxel

= minus = =

Usaremos a notaccedilatildeo de ponto indicando uma derivada

temporaldx

dtx e

d x

dtx= =

2

2

Desta forma obtemos a seguinte equaccedilatildeox x+ =ω

20

Onde ω 2= k m

Equaccedilatildeo do tipox + w2x = 0

Esta eacute uma equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem linear ehomogecircnea Diferencial porque refere a uma derivada de segunda

ordem pelo fato de ser uma derivada segunda dex linear porquetodos os termos de x possuem expoente 1 e homogecircnea por natildeoter um termo independente de x

Esta equaccedilatildeo aparece vaacuterias vezes em fiacutesica e descreveperfeitamente o oscilador harmocircnico simples Outras situaccedilotildees danatureza ao serem traduzidas em equaccedilotildees matemaacuteticas caemneste formato A soluccedilatildeo desta equaccedilatildeo eacute simples Veja

Toda soluccedilatildeo do tipo x = Alsquo sin wt + Blsquo cos wt eacute soluccedilatildeo daequaccedilatildeo (onde Alsquo e Blsquo satildeo constantes atribuiacutedas agrave situaccedilatildeo fiacutesica)Perceba que existem duas constantes a serem determinadas poisa equaccedilatildeo eacute de segunda ordem Se fosse uma equaccedilatildeo de primeiraordem teria uma constante a ser determinada A resposta eacute sim

Podemos entatildeo escrever de outra forma essa equaccedilatildeox = A cos(wt + j0)Onde j

0 eacute outra constante e assim temos A e j

0

como as duas constantes a serem determinadas Encontramosessas constantes com as condiccedilotildees de contorno do problema(faccedila o teste para verificar se estex realmente eacute soluccedilatildeo)

Obs Nem sempre as equaccedilotildees da forma x x+ =ω 2

0

descrevem MHS poreacutem as soluccedilotildees desta equaccedilatildeosempre satildeo desta forma

Funccedilatildeo horaacuteria do MHS

Dada a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo caracteriacutestica do MHS define-se

x = A cos(wt + j0)bull A Amplitude do movimentobull w Frequecircncia angular do movimento (pulsaccedilatildeo)bull j

0 Fase inicial do movimento

A amplitude nos diz a posiccedilatildeo mais afastada da posiccedilatildeo de

equiliacutebrio que o bloco pode alcanccedilar A frequecircncia angular eacute uma

grandeza proporcional agrave frequecircncia logo estaacute relacionada com

a rapidez do movimento A posiccedilatildeo inicial (t = 0) eacute relacionada

com a fase inicial do movimento Portanto o movimento estaacute

completamente descrito em funccedilatildeo destas grandezas

A partir de x(t) encontramos v(t) e a(t) simplesmente

derivandov t x A t( ) = = minus +( ) ω ω ϕsin

0

a t x A t( ) = = +( ) ω ω ϕ2

0cos




PROJETO RUMO AO ITA

Veja alguns exemplos de graacuteficos e perceba a defasagementre a posiccedilatildeo velocidade e aceleraccedilatildeo

T

T

T

T

T

T

3T

2

3T

2

3T

2

3T

2

3T

2

3T

2

T

2

T

2

T

2

T

2

T

2

T

2

x

0 t

x

0 t

vv

0 t

α

0 t

0 t

α

0 t

+

Analogia a MCUMuitos autores tratam um MHS como uma projeccedilatildeo de

um movimento circular uniforme para melhorar o aprendizado doaluno Faremos isso aqui tambeacutem

M0 A1

R

P

x

A2

Tome uma circunferecircncia de raio A e uma partiacutecula

passeando por esta com velocidade angular constantew partindo deumj

0 como acircngulo inicial Agora pense em projetar a componente

da posiccedilatildeo P(t) na direccedilatildeo x do plano cartesiano Teremos entatildeo

j = j0 + wt

x = A cos(j)

x = A cos(wt + j0)

Vejam soacute Realmente caiacutemos em uma equaccedilatildeo idecircnticaa de um MHS Agraves vezes visualizar este tipo de projeccedilatildeo ajuda aencontrar j

0

Podemos determinar atraveacutes deste meacutetodo velocidadee aceleraccedilatildeo Faccedilamos as projeccedilotildees da velocidade linear e da

aceleraccedilatildeo centriacutepeta sobre o eixo x e teremos

yv

Qvx

vx

v = ω A

x0

P

y

Qαx

αx

a

α = ω 2A

x0

P

v = ndash wA sen(j0 + wt)a = ndash w2 A cos(j

0 + wt)

Observe atentamente os sinais da velocidade e da aceleraccedilatildeo

AplicaccedilotildeesI Pecircndulo Simples

bull F e md s

dt1

2

2= minus =mgs n θ

TL

mS

mg sen

mg cos

mg

θ

θ

θ

θ

bulld

dt

g

L e

2

2

θ

θ= minus s n

bulld

dt

g

L

2

2

θθ= minus

bull ω π

ω

π= rarr = =g

LT

L

g

22

II Pecircndulo Fiacutesico

bull minus =mgd e d

dts n θ

θ

1

2

2 Pivocirct

O

d

d sen θ

CM

θ

mg

bulld

dt

mgd2

2

2

1

θθ ω θ= minus

= minus

bull ω =

mgd

1

bull Tmgd

= =2

2 1π

ω

π

III Pecircndulo de Torsatildeo

P

0

θmax

bull T k T k d

dt

d

dt

k= minus rarr = minus = rarr = minusθ θ

θ θθ

2

2

2

2

bull Tk

= 2π

Energia no MHS

Jaacute estudamos as funccedilotildees horaacuterias jaacute sabemos o tipo de forccedila

que gera MHS entatildeo estudaremos o balanccedilo energeacutetico

P r i m e i r a m e n t e e s t a f o r ccedil a eacute c o n s e r v a t i v a

(natildeo dissipa energia) o peso e normal natildeo realizam trabalho

Podemos concluir que a energia eacute conservada Temos entatildeoum sistema conservativo Entatildeo qual seria a energia total

Depende da massa do bloco Depende da constante elaacutestica



ITAIME ndash Preacute-Universitaacuterio3

PROJETO RUMO AO ITA

A energia total eacute dividida em cineacutetica e potencial elaacutesticaLogo

E mv m A sen t

E kx kA t

E k

c

p

t

= = +( )

= = +( )

=

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2 2 2 2

2 2 2

ω ω φ

ω φ

cos

AA sen t t E E E

E kA

t c p2 2 2

21

2

ω φ ω φ+( ) + +( ) = +( )

=

cos

Ernegia

ndashA 0 x Ax

E = +

Ep

Ep

Ec

Ec

Pontos em que

1

2 middot E E ET c p= =

A energia total soacute depende da amplitude e da constante

elaacutestica Note que as equaccedilotildees de energia cineacutetica e potencial satildeofunccedilatildeo de seno e cosseno respectivamente Quando uma eacute maacuteximaa outra eacute miacutenima Isso signica que as energias estatildeo se alternandoporeacutem mantendo a soma constante

Atento agora para dois pontos importantesbull A velocidade eacute maacutexima quando o seno eacute maacuteximo ou seja

na posiccedilatildeo de equiliacutebrio (x = 0)bull A aceleraccedilatildeo eacute maacutexima quando o cosseno eacute maacuteximo ou

seja nas posiccedilotildees de retorno (x = plusmnA)

C

X

-A θ A

amaacutex

amaacutex

amaacutex

vmaacutex

vmaacutex

π

π

2

π 2

3

t x v a Ec Ep

0 A 0 ndash w2A 0 1

2

2kA

T4 0 ndash wA 0 1

2

2kA 0

T2 ndash A 0 w2A 0 1

2

2kA

3T4 0 wA 0 1

2

2kA 0

T A 0 ndash w2A 0 1

2

2kA

Uma arma muito efetiva para resolver alguns problemas eacute oestudo da equaccedilatildeo de energia Usaremos o fato de a energia totalser constante e partiremos da equaccedilatildeo de energia para conseguir

achar a equaccedilatildeo caracteriacutestica do MHS VejaA energia total de um sistema massa-mola em uma posiccedilatildeox eacute dada por

E mx Kxt

= +1

2

1

2

2 2

Derivando em relaccedilatildeo ao tempo

0

02

= +

+ =

mxx K xx

x x

ω

Ora quer dizer que se natildeo soubermos como escrever aforccedila mas conhecer a energia conseguimos chegar agrave equaccedilatildeocaracteriacutestica Sim de fato Vocecirc encontraraacute problemas que asoluccedilatildeo ficaraacute bem mais simples se atacar por este meacutetodo

Observe que isso se deve agrave forma do potencial dependentede x2 Este eacute um potencial paraboacutelico assim para qualquer potencialna forma de paraacutebola teremos MHS

Muitas curvas de potencial podem ser aproximadas parauma paraacutebola nas proximidades de um equiliacutebrio estaacutevel Eacute porisso que constantemente nos deparamos com a seguinte frase(pequenas oscilaccedilotildees)

As figuras de LissajousPodemos pensar na composiccedilatildeo das formas de onda

senoidais como a sua mistura Eacute como se tiveacutessemos um misturador(mixer ) capaz de juntar dois sinais de caracteriacutesticas diferentes

obtendo-se um efeito final que eacute a sua combinaccedilatildeo Desse modovisualizamos o que ocorre de uma forma muito simples usandopara isso um osciloscoacutepio imaginaacuterio inicialmente Aplicamos umdos sinais na entrada vertical e o outro sinal na entrada horizontaldesligando o sincronismo interno conforme ilustra a figura a seguir

Sincronismo desligado

Entradavertical

f1

f2

OsciloscoacutepioEntradahorizontal

Aplicando sinais nas duas entradas comoo sincronismo interno desligado




PROJETO RUMO AO ITA

Vamos partir inicialmente de dois sinais de mesmafrequecircncia e mesma fase como mostrado na figura a seguir emque analisaremos a formaccedilatildeo da figura resultante ponto a ponto

y

x

90ordm

270ordm

180ordm

180ordm 0=180ordm

360ordm

360ordm

0=360ordm

0

0f

1

f2

Figuraresultante

Combinando sinais de mesma frequecircncia e fase

Tomamos em cada instante o ponto correspondente agrave

intensidade de um sinal e tambeacutem do outro traccedilando linhas de

projeccedilatildeo que se cruzaratildeo determinando assim o local do espaccedilo

em que iraacute aparecer o ponto correspondente da imagem que

seraacute gerada Numerando estes pontos podemos traccedilar a imagem

completa que no caso eacute uma linha reta inclinada de 45 graus

O que aconteceria entretanto se os sinais de mesma frequecircncia

estivessem defasados de 45 graus Dependendo da defasagem a

figura gerada mudaria de forma adquirindo os formatos vistos na

figura a seguir

0ordm 45ordm 90ordm 180ordm

Figuras para sinais de mesma frequecircncia poreacutem com fases diferentes

Mas os desenhos mais interessantes se obtecircm quando as

frequecircncias dos sinais satildeo diferentes embora mantendo relaccedilotildees

numeacutericas bem determinadas Se os sinais tiverem frequecircncias que

mantenham entre si relaccedilotildees de nuacutemeros inteiros como 2 para 1

3 para 2 5 para 4 etc as figuras que seratildeo formadas adquirem

aspectos bastante interessantes

Na figura seguinte temos um exemplo de figura formada

quando os sinais possuem uma relaccedilatildeo de frequecircncia de 2 para 1

sendo que o sinal aplicado na varredura horizontal eacute aquele que

tem a frequecircncia mais alta

1

2

Figura para sinais com relaccedilatildeo de frequecircncia de 2 para 1

O mais importante disso eacute que atraveacutes da simplesobservaccedilatildeo de uma figura formada por dois sinais poderemos

descobrir muito de um deles se conhecermos o outro

Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo

01 Um corpo realiza MHS cuja equaccedilatildeo da elongaccedilatildeo eacute

x t SI= + ( )202 2

cos π π

DetermineA) a amplitude fase inicial pulsaccedilatildeo periacuteodo e frequecircnciaB) a equaccedilatildeo da velocidade e da aceleraccedilatildeoC) a elongaccedilatildeo velocidade e aceleraccedilatildeo para t = 3s

02 Em um intervalo de tempo de 2 min uma partiacutecula efetua 12oscilaccedilotildees em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio em MHS esua aceleraccedilatildeo maacutexima eacute igual a 002 ms2 No instante t = 0 aposiccedilatildeo e a velocidade da partiacutecula satildeo respectivamente zeroe (10 π) cms DetermineA) a amplitude em cm

B) a fase inicialC) a posiccedilatildeo no instante t = 25 s em cmD) a velocidade no instante t = 5 s em cmsE) a aceleraccedilatildeo no instante t = 0 em cms2

03 Um corpo realiza MHS de acordo com os diagramasapresentados abaixo onde as grandezas estatildeo no SistemaInternacional

x

S

T T

4 2

3T

4

t

T

4

T

2

3

4

Tt

ndash 4π

v

DetermineA) a amplitude do movimento a pulsaccedilatildeo e o periacuteodo

B) escreva as equaccedilotildees da elongaccedilatildeo velocidade e aceleraccedilatildeo

C) calcule o valor da aceleraccedilatildeo quando t = T4

04 Um moacutevel realiza MHS com amplitude de 12 cm frequecircnciade 18 Hz e fase inicial nula

Pergunta-seA) Depois de quanto tempo apoacutes ter passado pelo ponto de

velocidade nula e elongaccedilatildeo positiva a elongaccedilatildeo se tornapela primeira vez igual a 6 2 cm

B) Qual o primeiro instante em que a posiccedilatildeo x = 5 cmC) Qual a velocidade meacutedia entre os pontos de elongaccedilatildeo

6 2 cmD) Qual a equaccedilatildeo da velocidadeE) Qual o primeiro instante em que a velocidade eacute maacutexima




PROJETO RUMO AO ITA

05 Uma mola helicoidal cuja constante elaacutestica eacute k e presa poruma das suas extremidades ao teto de uma sala Na extremidadeinferior prende-se um corpo de massam Afastando-se o corpoda posiccedilatildeo de equiliacutebrio e abandonando-o qual eacute o periacuteododas oscilaccedilotildees que ele realiza

06 Certo pecircndulo simples que bate o segundo em Paris onde

g = 981 mssup2 foi transportado para o equador terrestre e entatildeose verificou que o nuacutemero de oscilaccedilotildees (de pequena amplitude)realizadas pelo referido pecircndulo por dia ficou diminuiacutedo de125 em relaccedilatildeo ao nuacutemero de oscilaccedilotildees (tambeacutem de pequenaamplitude) que ele realizava em Paris por dia Pode-se entatildeoafirmar que o moacutedulo da aceleraccedilatildeo da gravidade num pontoqualquer do equador terrestre tem valorA) igual a 975 mssup2B) igual a 980 mssup2C) igual a 985 mssup2D) igual a 990 mssup2

E) diferente de qualquer dos acima especificados

07 (ITA-2008) Uma partiacutecula P1 de dimensotildees despreziacuteveis oscilaem movimento harmocircnico simples ao longo de uma reta comperiacuteodo de 83 s e amplitude a Uma segunda partiacutecula P

2

semelhante a P1 oscila de modo idecircntico numa reta muito

proacutexima e paralela agrave primeira poreacutem com atraso deπ 12 radem relaccedilatildeo a P

1 Qual a distacircncia que separa P

1 de P

2 89 s

depois de P2 passar por um ponto de maacuteximo deslocamentoA) 100 aB) 029 aC) 121 aD) 021 aE) 171 a

08 (ITA-2010) Considere um oscilador harmocircnico simples

composto por uma mola de constante elaacutestica k tendouma extremidade fixada e a outra acoplada agrave uma partiacuteculade massa m 0 oscilador gira num plano horizontal comvelocidade angular constante w em torno da extremidadefixa mantendo-se apenas na direccedilatildeo radial conforme mostraa figura Considerando R0 a posiccedilatildeo de equiliacutebrio do osciladorpara w = 0 pode-se afirmar que

k

R

m

A) o movimento eacute harmocircnico simples para qualquer que sejaa velocidade angularw

B) o ponto de equiliacutebrio eacute deslocado para R lt R0

C) a frequecircncia do MHS cresce em relaccedilatildeo ao caso dew = 0D) o quadrado da frequecircncia do MHS depende linearmente do

quadrado da velocidade angularE) se a partiacutecula tiver carga um campo magneacutetico na direccedilatildeodo eixo de rotaccedilatildeo soacute poderaacute aumentar a frequecircncia doMHS

09 Dois pecircndulos simples situados proacuteximos um do outro efetuam

oscilaccedilotildees de pequena amplitude Sabendo-se que o comprimento

do primeiro eacute o quaacutedruplo do comprimento do segundo e

representando-se por T1 e T2 os periacuteodos das oscilaccedilotildees do primeiro

e segundo respectivamente pode-se afirmar que

( ) T1 = 4T2

( ) T1 = 2T2

( ) T1 = T2

( ) T1 = 05T

2

( ) NDA

10 Dois blocos de massas m1 e m

2 satildeo ligados por uma mola de

rigidez k A mola estaacute comprimida com a ajuda de dois fios comomostra a figura Os fios satildeo queimados Determinar o periacuteodo deoscilaccedilotildees dos blocos

m1

m2

11 Uma caixa de massaM encontra-se na horizontal O coeficientede atrito entre a caixa e a mesa eacutem No interior da caixa existeum corpo que pode se mover no fundo da mesma O corpo eacutepreso por uma mola de constante elaacutesticaK Qual a amplitudemaacutexima das oscilaccedilotildees do corpo para que a caixa permaneccedilaem repouso

k

m

12 Duas molas ideais sem massa e de

k1

m

(I) (II)

m

k2

constantes de elasticidade k1 e k

2 sendo k

1

lt k2 acham-se dependurados no teto de

uma sala Em suas extremidades livrespenduram-se massas idecircnticas Observa-seque quando os sistemas oscilamverticalmente as massas atingem a mesmavelocidade maacutexima Indicando por

A1 e A2 as amplitudes dos movimentos epor E1 e E2

as energias mecacircnicas dos sistemas (I) e (II)respectivamente podemos dizer que

A) A1 gt A

2 e E

1 = E

2B) A

1 lt A

2 e E

1 = E

2

C) A1 gt A2 e E1 gt E2 D) A1 lt A2 e E1 lt E2

E) A1 lt A

2 e E

1 gt E

2

13 Uma barra de massa (m) repousa sobre dois cilindros que

giram em velocidades contraacuterias A distacircncia entre os centros

dos cilindros eacute (I) e o coeficiente de atrito entre este e a barra

eacute m Achar a frequecircncia das oscilaccedilotildees

L

V




PROJETO RUMO AO ITA

14 Uma caixa de massa M = 10 kg

m

estaacute sobre uma mesa horizontalDa caixa por meio de uma mola deconstante K = 600 Nm estaacutesuspensa uma massa m = 2 kgDetermine o valor da amplitude dasoscilaccedilotildees da massa m para que a

caixa M fique na iminecircncia de saltar sobre a mesa

15 As forccedilas que atuam nas partiacuteculas satildeo perpendicularesao eixo 00lsquo e satildeo funccedilotildees da distacircncia ao mesmo eixo 00lsquoAs velocidades satildeo v0 e paralelas a 00lsquo e as massas mPodemos afirmar que

m

r

0 0acute

v 0

A) se as forccedilas satildeo do tipo (F = -kr) podemos garantir que as

partiacuteculas se encontraratildeo em OlsquoB) se as forccedilas satildeo do tipo (F =-kr) natildeo podemos garantir que

as partiacuteculas se encontraratildeo em OlsquoC) se as forccedilas satildeo do tipo (F = -kr) podemos garantir que as

partiacuteculas passam por Olsquo mas natildeo no mesmo instanteD) todas as partiacuteculas se encontram em OOlsquo independente

do tipo de forccedilaE) NDA

16 Por um plano horizontal e liso desliza uma haste fina decomprimentoL A velocidade da mesma eacute v

0 Esta chega agrave uma

regiatildeo rugosa (coeficiente de atritom) Considere que ela paraantes de entrar completamente na regiatildeo rugosa O tempo quea haste leva para parar totalmente eacute

A) π micro

2

g

L B) π micro

4

g

L

C) Vo mg D) V

o 2mg

E) NDA

17 Duas molas cujas constantes satildeo K1 = 100 Nm e K

2 = 50 Nm

estatildeo unidas a uma parede vertical e a um corpo de massamEm um determinado instante a mola K1 eacute elongada 03 m ea mola K2 eacute comprimida 03 m Determine em cm a amplitudedas oscilaccedilotildees do corpo Despreze os atritos

1K

2K m

18 Na figura o bloco tem massa 10 kg o plano de apoio eacutehorizontal e as quatro molas ideais satildeo idecircnticas apresentandocada uma constante elaacutestica 25 middot 102 Nm Com o bloco naposiccedilatildeo de equiliacutebrio (ponto 0) as quatro molas apresentam-selivres de qualquer deformaccedilatildeo

20 cm 20 cm

Prsquo 0 P

O bloco eacute entatildeo deslocado ateacute o ponto P de onde eacute

abandonado passando a oscilar em condiccedilotildees ideais entre

P e Prsquo Determine para o sistema oscilante

A) a energia mecacircnica

B) o periacuteodo de oscilaccedilatildeo

19 (ITA) Dois movimentos harmocircnicos simples estatildeo caracterizadosno graacutefico abaixo Podemos afirmar

1

2

A

x

tω 2π

ndashB

A) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus

ω π

ω π

B) x A t

x B t

1

2

2= minus = +( )

cos

cos

ω πω π

C) x A t

x B t

1

2

2= minus

= minus +( )

cos

cos

ω π

ω π

D) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus minus

ω π

ω π

20 (ITASP) Um observador em um

0

0

v2

x2

referencial inercial estuda omovimento de uma partiacutecula

A pa r t i r dos va lores davelocidade v e da coordenada x posiccedilatildeo da partiacutecula obteveo graacutefico ao lado

x(m) v(m sdot s-1)

0 plusmn sdotk

mA

plusmnA 0

Dentre os valores obtidos acham-se tabelados anteriormenteonde k m e A satildeo constantes positivas

A) Trata-se do lanccedilamento vertical de um foguete na superfiacutecieda Terra com velocidade inicial km uma vez que agrave medidaque a altura x aumenta tem-se uma variaccedilatildeo constante davelocidade

B) Para um observador fixo agrave partiacutecula o movimento eacute circular

com raio A k

m

21sdot +

C) Trata-se de um movimento harmocircnico simples comamplitude A constante elaacutestica k massa da partiacutecula m e

aceleraccedilatildeo minus

kx

m para um observador na origem dos x

D) Para um outro observador inercial o movimento eacute retiliacuteneo

com aceleraccedilatildeo constante minus

kAm

E) A partiacutecula move-se sob a accedilatildeo de uma forccedila constante




PROJETO RUMO AO ITA

Exerciacutecios Propostos

01 Uma mola de massa despreziacutevel tem

0

m

L0

constante elaacutestica K e comprimento L0

quando natildeo esticada A mola eacute suspensaverticalmente por uma das extremidadese em outra extremidade eacute preso um corpode massa m Inicialmente o corpo eacute

mantido em repouso em uma posiccedilatildeo talque a forccedila exercida pela mola seja nulaEm seguida a massa m eacute abandonadacom velocidade inicial nula Desprezando as forccedilas dissipativaso comprimento maacuteximo (L) da mola seraacute dado por

A) L L mg

K= +0 B) L

mg

K=

C) L L mg

K

= +0

2 D) L

mg

K

=2

E) L L mg

K= +

1

2 0

02 Uma partiacutecula que descreve movimento harmocircnico simples tema seguinte equaccedilatildeo horaacuteria da posiccedilatildeo

x t= +

100 4

3

4cos

π onde x eacute dado em cm e em s Pede-se

A) a elongaccedilatildeo maacuteximaB) a posiccedilatildeo da partiacutecula no instante t = 0C) a fase inicial do movimentoD) o periacuteodo

E) a frequecircncia

03 Determine o periacuteodo de oscilaccedilatildeo de um

θliacutequido de massa m e densidade r colocadodentro de um tubo de aacuterea transversal S (figura abaixo) O acircngulo de inclinaccedilatildeo do ladodireito eacute q

04 No meacutetodo de Ruumlchhardt para medir γ =C

C

p

v

do ar usa-se um

grande frasco com um gargalo ciliacutendrico e estreito de raio a

aberto para a atmosfera (p0 = pressatildeo atmosfeacuterica) no qual se

ajusta uma bolinha metaacutelica de raioa e massa m Na posiccedilatildeode equiliacutebrio O da bolinha o volume de ar abaixo dela no

frasco eacute V (figura) Calcule a forccedila restauradora sobre a bolinha

quando ela eacute empurrada de uma distacircnciax para baixo a partir

do equiliacutebrio o movimento sendo suficientemente raacutepido para

que o processo seja adiabaacutetico Mostre que a bolinha executa

um MHS e calcule o periacuteodo em funccedilatildeo de a m v p0 e y

O

2a

x

m p0

V

05 Um corpo de massa m1 sobre uma superfiacutecie horizontal sem

atrito oscila com a amplitudeA preso a certa mola de constanteforccedila k Quando a mola estaacute com a elongaccedilatildeo maacutexima e o corpomomentaneamente em repouso um segundo corpo de massam

2 eacute superposto a ele

A) Qual o menor valor do coeficiente de atrito estaacuteticoms entre

os dois corpos para que o segundo natildeo escorregue sobre

o primeiroB) Explique como a energia totalE a amplitudeA a frequecircncia

angular e o periacuteodo T do sistema se modificam pelacolocaccedilatildeo de m

2 sobre m

1 admitindo que o coeficiente de

atrito seja suficiente para natildeo haver escorregamento

06 Quanto tempo dura o choque entre uma bola defutebol de raio r e massa m em uma paredeDados Pressatildeo interna = p

Pressatildeo atmosfeacuterica = p0

07 Um pecircndulo duplo oscila com frequecircncia angular wO comprimento do fio que vai do ponto fixo ateacute a massa M

e o que vai de M ateacute m valemL Calcule o periacuteodo (aproximado)das oscilaccedilotildees

Dados M = 7 m

M

m

g

08 Um corpo de massa m pode deslizar ao longo de um eixo

horizontal 00rsquo entre duas paredes verticais Em ambos lados docorpo temos molas ideais de igual constante elaacutestica O corpoestaacute situado simetricamente entre as paredes e os extremos livresdas molas estatildeo a uma distacircncia a das paredes Comunica-seao corpo a velocidade V0 e o mesmo comeccedila a oscilar entre asparedes Determine o periacuteodo das oscilaccedilotildees Despreze os atritos

a0V

K K

m

a

09 Uma bolinha de massam ligada a uma mola cuja constante eacuteK

realiza oscilaccedilotildees harmocircnicas de amplitudeA A uma distacircnciaA

2 da posiccedilatildeo de equiliacutebrio se coloca uma prancha de accedilo de

grande massa na qual bate a bolinha O choque da bolinhacom a prancha eacute perfeitamente elaacutestico Encontre o periacuteododas oscilaccedilotildees Despreze a gravidade

Dado T m

K=

4

3

π

K m

A

2




PROJETO RUMO AO ITA

10 Uma conta carregada com carga q pode mover-se por um fiotensionado de comprimento 2I o qual possui nas extremidadescargas fixas Q Encontre o incremento de energia potencialquando a conta eacute deslocada x da origem

Q Qq

t t

11 Calcule o periacuteodo de oscilaccedilotildees do problema anterior

12 Um pecircndulo simples de comprimento L estaacute solidaacuterio comum carrinho que rola sem atrito por um plano inclinado de θ

(figura abaixo) Calcule o periacuteodo de oscilaccedilatildeo do pecircndulo nocarrinho rolando no plano ao lado

L

θ

13 Quatro massas iguais m estatildeo unidas por molas de constanteelaacutestica K (ver figura) Simultaneamente as massas adquirema mesma velocidade voltada para o centro

Em quanto tempo as molas estaratildeoA) com o comprimento maacuteximoB) com o comprimento miacutenimo

14 A figura abaixo mostra um sistema oscilante massa-molasobre uma superfiacutecie horizontal sem atrito e um outrocorpo que se dirige contra o corpo oscilante com avelocidade v O movimento do corpo oscilante eacute dadopor

x(t) = (01m) cos(40sndash1t)

em que x eacute o deslocamento do corpo em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeode equiliacutebrio Os dois corpos colidem no instante em que ocorpo vibrante passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio avanccedilando paraa direita A colisatildeo eacute elaacutestica

v

mm

A) Qual a velocidade v do segundo corpo para que osistema massa-mola fique em repouso depois da colisatildeoelaacutestica

B) Qual a velocidade do segundo corpo depois da colisatildeoelaacutestica

15 Dois pecircndulos simples de comprimento (I) cada um estatildeo

ligados por uma mola de peso despreziacutevel como mostra afigura abaixo O coeficiente de elasticidade da mola eacute iguala k Em equiliacutebrio os pecircndulos estatildeo na posiccedilatildeo verticale a mola natildeo se deforma Determine a frequecircncia daspequenas oscilaccedilotildees de dois pecircndulos unidos nos casosquando os pecircndulos forem inclinados em um mesmo planoem acircngulos iguais para um mesmo lado (oscilaccedilotildees em fase)e para lados diferentes (oscilaccedilotildees em fase oposta)

m m

16A) Encontre a dependecircncia da energia potencial de uma esfera

de raio r e massa m em relaccedilatildeo a um pequenox a partir daposiccedilatildeo de equiliacutebrio A pequena esfera estaacute deslizando aolongo de uma superfiacutecie curva de raio R

C

R

m

r

B) Agora admita que na mesma situaccedilatildeo exista atrito ea bolinha natildeo desliza Calcule a frequecircncia angular wPara este item faccedila as seguintes consideraccedilotildees Rraquor ej laquo 1

17 Um pecircndulo de massa M e comprimento 983148

m

M 2oscila em torno da vertical efetuandopequenas oscilaccedilotildees Pendurado do pecircnduloestaacute uma pequena massa que oscila navertical (acho que a figura explica asituaccedilatildeo) Como eacute que a massa m afeta operiacuteodo do pecircndulo

18 A uma polia de raio r e massa despreziacutevel estaacute fixa uma barrade comprimento 983148 e massa tambeacutem despreziacutevel com uma bola

de massa m na extremidade Existe um fio enrolado na polia

que possui uma massa M na extremidade livre (ver figura)

Determine o periacuteodo das oscilaccedilotildees

r

m

M




PROJETO RUMO AO ITA

19 Encontre o periacuteodo de oscilaccedilotildees do pecircndulo abaixoAs massas satildeo m1 e m2 e a barra possui peso despreziacutevel

m1

m2

2

1

20 Uma taacutebua de largura h repousa y

x0R

Csobre um cil indro de raio R Considerando que natildeo existe

deslizamento em que condiccedilotildees abarra oscilaraacute sobre a posiccedilatildeo deequiliacutebrio

21 A interferecircncia de dois MHS ortogonais de mesma frequecircnciaresultaA) uma reta se a diferenccedila de fase for nπ onde n = 0 1 2 3 hellipB) um ciacuterculo se as amplitudes forem iguais e a diferenccedila de

fase for mπ

2 onde m = 1 3 5 hellip

C) uma elipse se a diferenccedila de fase for arbitraacuteria

(diferente de kπ

2

onde k = 0 1 2 3 hellip) ounπ

2

(exclusivamente no caso de as amplitudes dos MHS seremdiferentes)

D) Todas as alternativas acima satildeo corretas

22 Na interferecircncia de dois MHS ortogonais de mesma frequecircnciae amplitude pode-se afirmar queA) a figura de Lissajous natildeo poderaacute ser uma elipseB) a figura de Lissajous soacute poderaacute ser um ciacuterculoC) a figura de Lissajous soacute poderaacute ser uma retaD) a figura de Lissajous poderaacute ser uma elipse com eixos

natildeo coincidentes com os eixos coordenados desde que a

diferenccedila de fase dos MHS seja arbitraacuteria (diferente dekπ

2

onde k = 0 1 2 3 hellip)

23 (ITA) Na gura ao lado que representa a y

x

combinaccedilatildeo de dois MHS em eixosperpendiculares x = A sen wt ey = B sen (wt + α) sendo α um nuacutemeropositivo qual das expressotildees abaixopoderaacute representaacute-lo

A) α = 0 B) 0 lt α lt π

2

C) 0 le α lt π

2

D) 0 lt α lt π

E) 0 lt α lt3

2

π

24 Na figura abaixo que representa a combinaccedilatildeo de dois MHS emeixos perpendiculares x = A senwt e y = B sen (wt +α) sendoα umnuacutemero positivo qual das expressotildees abaixo poderaacute representaacute-lo

y

x

A) α = 0 B) 0 lt α ltπ

2

C) 0 le α ltπ

2 D) 0 lt α lt π

E) 0 lt α lt3

2

π

25 Calcule o periacuteodo das oscilaccedilotildees de um cilindro preso a duas

molas de constante K como na figura abaixo

Rm

26 Ao ponto O de uma parede que forma um pequeno acircnguloα com a vertical prende-se atraveacutes de um fio de comprimentoL uma bola Logo inclina-se o fio com a bola de um pequenoacircngulo b (b gt α) e solta-se Considerando absolutamenteelaacutestico o choque da bola contra a parede encontre o periacuteododas oscilaccedilotildees deste pecircndulo

α

β

27 Um corpo de massam eacute conectado por uma mola num pontoO sobre uma superfiacutecie horizontal sobre a qual o corpo pode semover sem atritos

O

r

O comprimento relaxado da mola eacute l0 e sua constante elaacutesticaeacute k Num dado instante a distacircncia do corpo ateacute o ponto O eacute r Suponha que se faccedila o corpo girar com frequecircncia angularw e no instante inicial ele natildeo possui nenhuma componenteradial de velocidadeA) Calcule o raio de equiliacutebrio para o qual o corpo realiza

movimento circular em torno de O Expresse r0 em termos

de m k l0 e w

B) Calcule o periacuteodo de pequenas oscilaccedilotildees radiais do corpoem relaccedilatildeo ao raio de equiliacutebrior

0 Imagine que inicialmente

o corpo se encontrava em movimento circular em r0

e comvelocidade angular w quando uma pequena perturbaccedilatildeoradial fez com que ela comeccedilasse a oscilar Decirc o resultadoem funccedilatildeo de k m e r

0




PROJETO RUMO AO ITA

28 Um corpo de massa M estaacute preso a uma mola de massa m econstante k Calcule o periacuteodo de oscilaccedilotildees do movimento

M

m

29 Dado o sistema abaixo

x2

x1

k

k

k

3

2

1

m

m

mx3

A) Escreva a equaccedilatildeo da forccedila resultante para cada partiacuteculaB) Sabendo que as soluccedilotildees satildeo do tipo x j = A je

iwt calcule asfrequecircncias naturais do movimento

30 Trecircs pequenas moedas idecircnticas de massa m cada umaestatildeo conectadas por duas cordas leves e natildeo condutorascada uma de comprimento d Cada moeda tem uma cargadesconhecida Q As moedas satildeo colocadas em uma superfiacuteciehorizontal isolante e sem atrito as duas cordas fazendo umacircngulo proacuteximo a 180deg conforme mostra a figura Apoacutes soltaras moedas observa-se que elas vibram com um periacuteodo TDetermine a carga Q de cada moeda

31 Um pecircndu lo eacute fo rmado por uma ha s te r iacuteg ida(de massa despreziacutevel e comprimento I) e uma massa m presaem sua extremidade inferior Ele pode oscilar livremente emtorno do seu ponto de suspensatildeo e a gravidade local eacute gPrende-se uma mola de constante elaacutesticak a uma distacircncia h abaixo do ponto de suspensatildeo

k

h

L

m

Suponha que a mola mantenha-se sempre horizontal(isto eacute podemos imaginar que a mola seja muito longa) e queela se encontre relaxada quando o pecircndulo estiver verticalA) Calcule o periacuteodo de pequenas oscilaccedilotildees do pecircndulo em

torno de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio Assuma que o movimentoesteja restrito ao plano da mola-haste

B) E se a haste tambeacutem tivesse uma massamlsquo homogeneamentedistribuiacuteda como isso entraria na expressatildeo para o periacuteodo

T

L m m

kh gL m m

=+

+ +

2 3

2

2

2

π

lsquo

lsquo

Uma mesa com sua superfiacutecie a uma alturaH do chatildeo tem umorifiacutecio em seu centro Uma partiacutecula de massam eacute presa a umcorpo suspenso de massa M por uma corda de comprimentoI gt H que passa pelo orifiacutecio

H

r

A partiacutecula pode se mover sem atrito pela superfiacutecie da mesa(e tambeacutem natildeo haacute atritos entre a corda e o orifiacutecio) Eacute dadaagrave partiacutecula uma velocidade angular em torno do orifiacutecio(sem nenhuma componente radial de velocidade)A) Sendo r a distacircncia da partiacutecula ateacute o orifiacutecio calcule o raio de

equiliacutebrio r = r0 para o qual o corpo de massaM fica parado

Expresse o r0 em termos M m e g a gravidade localB) Calcule a frequecircncia de pequenas oscilaccedilotildees radiais dapartiacutecula em torno de r0

Imagine que inicialmente a partiacuteculase encontrava em movimento circular em r0 e com velocidadeangularw

0 quando uma pequena perturbaccedilatildeo radial fez com

que ela comeccedilasse a oscilarC) Considere que a partiacutecula esteja inicialmente a uma distacircncia

r do orifiacutecio com uma velocidade angular w O sistema eacuteentatildeo solto de modo que o corpo M desccedila naturalmenteateacute o chatildeo isto eacute suponha que l - H gt r0 Qual seraacute a novavelocidade angular wldquoda partiacutecula nessa nova situaccedilatildeo

Expresse o resultado em funccedilatildeo dos paracircmetros baacutesicos doproblema

f m

M m= sdot

+

ω

π

0

2

3

Fique de Olho

Os leitores que tiverem dificuldades em entender aldquomatemaacuteticardquo de nossas explicaccedilotildees ou que desejarem ir aleacutemcalculando o que deveraacute resultar da combinaccedilatildeo de senoides dedeterminadas frequecircncias podem procurar nos livros de Fiacutesica

informaccedilotildees no capiacutetulo que trata de ldquoComposiccedilatildeo de MHS ouMovimentos Harmocircnicos Simplesrdquo

Usando as Figuras de Lissajous para Medidas de Sinais

Existem duas formas de trabalhar com as figuras de Lissajouspara se medir amplitude frequecircncia e fase de sinais senoidaisVeja que eacute preciso ter os recursos para se visualizar essas figurasO mais comum eacute o osciloscoacutepio mas elas podem ser produzidasem computadores e mesmo por sistemas mecacircnicos

A) Sinal uacutenico

Com a ajuda de um gerador de sinais senoidais ligado auma das entradas podemos descobrir as caracteriacutesticas de qualquer

sinal senoidal que seja aplicado na outra entrada Este fato torna asfiguras de Lissajous um importante recurso para o diagnoacutestico deproblemas em equipamentos ou ainda para a medida de frequecircnciassem que para isso seja necessaacuterio usar um frequenciacutemetro




PROJETO RUMO AO ITA

Para medir a frequecircncia de um sinal empregando as figuras deLissajous o que precisamos fazer inicialmente eacute aplicar o sinaldesconhecido numa das entradas do osciloscoacutepio por exemplo avertical Na horizontal vamos ligar um gerador de sinais senoidaise ajustaacute-lo ateacute que tenhamos uma figura estaacutevel em que possamoscontar os loacutebos ou protuberacircncias formadas Vamos supor queconforme mostra a figura seguinte a figura formada tenha 3 loacutebos

na parte horizontal e dois na vertical

2

3

figura gerada com 3 loacutebos horizontais e 2 verticais

Sabemos que a relaccedilatildeo de frequecircncias para os sinaisaplicados eacute de 3 para 2 Dessa forma se a frequecircncia do sinalaplicado na varredura horizontal que serve como referecircncia for de1500 Hz por exemplo a frequecircncia do sinal desconhecido seraacute de1000 Hz Veja entatildeo que o maior cuidado que o operador que estaacuterealizando as medidas deve ter eacute ir ajustando vagarosamente seugerador de sinais para que possa encontrar uma posiccedilatildeo em que afigura tenha poucos loacutebos tanto na horizontal como na vertical eassim fique faacutecil contaacute-los Uma relaccedilatildeo de frequecircncias de 235 para234 por exemplo natildeo apenas tornaria praticamente impossiacutevel acontagem dos loacutebos mas tambeacutem natildeo poderia ser obtida com adevida estabilidade Na figura que segue temos diversas figuras quesatildeo formadas para relaccedilotildees de frequecircncias mais comuns

Figura de LissajousGeradorde sinais

Osciloscoacutepio

Frequecircnciadesconhecida

infin

Usando o osciloscoacutepio e figuras de Lissajous para medir frequecircncias

No caso especiacutefico dos sinais de mesma frequecircncia quandoobtemos retas elipses ou ciacuterculos nas figuras podemos medirtambeacutem a defasagem do sinal o que eacute outro recurso importantedeste tipo de anaacutelise

B) Dois sinais

Neste caso podemos usar as figuras de Lissajous para medira fase entre eles Basta aplicar os sinais nas entradas vertical ehorizontal do osciloscoacutepio (que teraacute o sincronismo interno desligado)e analisar a figura formada que poderaacute ser qualquer uma das quesatildeo mostradas na figura a seguir

Relaccedilatildeo de

frequecircncia

1 1

1 2

1 3

2 3

3 4

Fase

α = 0 π4 π2 3π4

Figuras para diversas relaccedilotildees comuns de frequecircncias

No computador

Os leitores com habilidades de programaccedilatildeo poderatildeoescrever programas simples que gerem as figuras no monitorde seu computador Estes programas podem ser interessantestanto para o leitor aprender mais como para aulas praacuteticasmostrando como seratildeo as figuras resultantes da aplicaccedilatildeo de

frequecircncias determinadasConclusatildeo

Temos salientado em nossos artigos a importacircncia doosciloscoacutepio como instrumento de bancada Natildeo soacute para visualizaras formas de onda e medir amplitudes ele tambeacutem tem outrasutilidades como as que descrevemos neste artigo O leitor quepossui um osciloscoacutepio deve familiarizar-se com as figuras deLissajous e seu uso e mais do que isso deve praticar com seuuso Na induacutestria onde problemas de defasagens de sinais darede de energia satildeo importantes para se determinar o fator depotecircncia por exemplo o uso das Figuras de Lissajous se mostraem especial de grande utilidade eliminando assim a necessidadede outros equipamentos

Texto extraiacutedo dehttpnewtoncbragacombr

Autor Newton C Braga

Apecircndice

Grandezas Fundamentais

A) Amplitude magnitude maacutexima de deslocamento da posiccedilatildeode equiliacutebrio (SI - m) ~ A

B) Periacuteodo Tempo necessaacuterio para a repeticcedilatildeo do momentocinemaacutetico

x v a ( ) ou a repeticcedilatildeo do ciclo (SI - S) ~ T

C) Frequecircncia Nuacutemero de ciclos por unidade de tempo

SI Hz ciclo

ss fminus = = sdot

minus

minus11

1

D) Pulsaccedilatildeo w = 2 sdot p sdot f

Derivadas

Sejam u e v funccedilotildees derivaacuteveis de x e n constante

1 y u y nu un n

= rArr = minus 1

2 y uv y u v v u= rArr = +

3 y u

vy

u v v u

v= rArr =

minus

2

4 y a y a a u a au u= rArr = ( ) gt ne

ln ( )0 1

5 y e y e uu u

= rArr =

6 y u y u

ue

a a= rArr =log log

7 y u yu

u= rArr =ln 1

8 y u y v u u u u vv v v= rArr = +

minus (ln )1

9 y sen u y u u= rArr =

cos

10 y u y u senu= rArr = minuscos




PROJETO RUMO AO ITA

11 y tg u y u u= rArr = sec2

12 y g u y u ec u= rArr = minuscot cos 2

13 y u y u u tg u= rArr =sec sec

14 y ec u y u ec u g u= rArr = minuscos cos cot

15 y arc sen u y u

u= rArr =

minus

1 2

16 y arc u y u

u= rArr =

minus

minus

cos

1 2

17 y arc tg u y u

u= rArr =

+

1 2

18 y arc g u u

u= rArr

minus

+

cot

1 2

19 y arc u u y u

u uu= ge rArr =

minus

gtsec

11

12

20 y arc ec u u y u

u uu= ge rArr =

minus

minusgtcos

11

12

Identidades Trigonomeacutetricas

1 sen2x + cos2x = 1

2 1 + tg2x = sec2x

3 1 + cotg2x = cosec2x

4 sen x x2 1 2

2=

minus cos

5 cos cos2 1 2

2x

x=

+

6 sen 2x = 2 sen x cos x

7 2 sen x cos y = sen(x - y) + sen(x + y)

8 2 sen x sen y = cos(x - y) - cos(x + y)

9 2 cos x cos y = cos(x - y) + cos(x + y)

10 1 12

plusmn = plusmn minus

sen x xcos

π

Anotaccedilotildees

AN ndash 160313 ndash REV TM

OSG 6925213



ITAIME P eacute U i itaacute i13

PROJETO RUMO AO ITA




PROJETO RUMO AO ITA

Veja alguns exemplos de graacuteficos e perceba a defasagementre a posiccedilatildeo velocidade e aceleraccedilatildeo

T

T

T

T

T

T

3T

2

3T

2

3T

2

3T

2

3T

2

3T

2

T

2

T

2

T

2

T

2

T

2

T

2

x

0 t

x

0 t

vv

0 t

α

0 t

0 t

α

0 t

+

Analogia a MCUMuitos autores tratam um MHS como uma projeccedilatildeo de

um movimento circular uniforme para melhorar o aprendizado doaluno Faremos isso aqui tambeacutem

M0 A1

R

P

x

A2

Tome uma circunferecircncia de raio A e uma partiacutecula

passeando por esta com velocidade angular constantew partindo deumj

0 como acircngulo inicial Agora pense em projetar a componente

da posiccedilatildeo P(t) na direccedilatildeo x do plano cartesiano Teremos entatildeo

j = j0 + wt

x = A cos(j)

x = A cos(wt + j0)

Vejam soacute Realmente caiacutemos em uma equaccedilatildeo idecircnticaa de um MHS Agraves vezes visualizar este tipo de projeccedilatildeo ajuda aencontrar j

0

Podemos determinar atraveacutes deste meacutetodo velocidadee aceleraccedilatildeo Faccedilamos as projeccedilotildees da velocidade linear e da

aceleraccedilatildeo centriacutepeta sobre o eixo x e teremos

yv

Qvx

vx

v = ω A

x0

P

y

Qαx

αx

a

α = ω 2A

x0

P

v = ndash wA sen(j0 + wt)a = ndash w2 A cos(j

0 + wt)

Observe atentamente os sinais da velocidade e da aceleraccedilatildeo

AplicaccedilotildeesI Pecircndulo Simples

bull F e md s

dt1

2

2= minus =mgs n θ

TL

mS

mg sen

mg cos

mg

θ

θ

θ

θ

bulld

dt

g

L e

2

2

θ

θ= minus s n

bulld

dt

g

L

2

2

θθ= minus

bull ω π

ω

π= rarr = =g

LT

L

g

22

II Pecircndulo Fiacutesico

bull minus =mgd e d

dts n θ

θ

1

2

2 Pivocirct

O

d

d sen θ

CM

θ

mg

bulld

dt

mgd2

2

2

1

θθ ω θ= minus

= minus

bull ω =

mgd

1

bull Tmgd

= =2

2 1π

ω

π

III Pecircndulo de Torsatildeo

P

0

θmax

bull T k T k d

dt

d

dt

k= minus rarr = minus = rarr = minusθ θ

θ θθ

2

2

2

2

bull Tk

= 2π

Energia no MHS

Jaacute estudamos as funccedilotildees horaacuterias jaacute sabemos o tipo de forccedila

que gera MHS entatildeo estudaremos o balanccedilo energeacutetico

P r i m e i r a m e n t e e s t a f o r ccedil a eacute c o n s e r v a t i v a

(natildeo dissipa energia) o peso e normal natildeo realizam trabalho

Podemos concluir que a energia eacute conservada Temos entatildeoum sistema conservativo Entatildeo qual seria a energia total

Depende da massa do bloco Depende da constante elaacutestica




PROJETO RUMO AO ITA


E mv m A sen t

E kx kA t

E k

c

p

t

= = +( )

= = +( )

=

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2 2 2 2

2 2 2

ω ω φ

ω φ

cos

AA sen t t E E E

E kA

t c p2 2 2

21

2

ω φ ω φ+( ) + +( ) = +( )

=

cos

Ernegia

ndashA 0 x Ax

E = +

Ep

Ep

Ec

Ec

Pontos em que

1







C

X

-A θ A

amaacutex

amaacutex

amaacutex

vmaacutex

vmaacutex

π

π

2

π 2

3

t x v a Ec Ep

0 A 0 ndash w2A 0 1

2

2kA

T4 0 ndash wA 0 1

2

2kA 0


2

2kA

3T4 0 wA 0 1

2

2kA 0

T A 0 ndash w2A 0 1

2

2kA



E mx Kxt

= +1

2

1

2

2 2


0

02

= +

+ =

mxx K xx

x x

ω








Entradavertical

f1

f2






PROJETO RUMO AO ITA


y

x

90ordm

270ordm

180ordm

180ordm 0=180ordm

360ordm

360ordm

0=360ordm

0

0f

1

f2

Figuraresultante











figura a seguir













1

2






x t SI= + ( )202 2

cos π π





x

S

T T

4 2

3T

4

t

T

4

T

2

3

4

Tt

ndash 4π

v












PROJETO RUMO AO ITA






2




1 de P

2 89 s




k

R

m










( ) T1 = 4T2

( ) T1 = 2T2

( ) T1 = T2

( ) T1 = 05T

2

( ) NDA




m1

m2


k

m


k1

m

(I) (II)

m

k2


2 sendo k

1





A) A1 gt A

2 e E

1 = E

2B) A

1 lt A

2 e E

1 = E

2


E) A1 lt A

2 e E

1 gt E

2





L

V




PROJETO RUMO AO ITA


m




m

r

0 0acute

v 0









A) π micro

2

g

L B) π micro

4

g

L

C) Vo mg D) V

o 2mg

E) NDA


2 = 50 Nm


1K

2K m


20 cm 20 cm

Prsquo 0 P







1

2

A

x

tω 2π

ndashB

A) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus

ω π

ω π

B) x A t

x B t

1

2

2= minus = +( )

cos

cos

ω πω π

C) x A t

x B t

1

2

2= minus

= minus +( )

cos

cos

ω π

ω π

D) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus minus

ω π

ω π


0

0

v2

x2



x(m) v(m sdot s-1)

0 plusmn sdotk

mA

plusmnA 0




com raio A k

m

21sdot +



kx




kAm





PROJETO RUMO AO ITA



0

m

L0




A) L L mg

K= +0 B) L

mg

K=

C) L L mg

K

= +0

2 D) L

mg

K

=2

E) L L mg

K= +

1

2 0


x t= +

100 4

3

4cos



E) a frequecircncia




C

p

v

do ar usa-se um









O

2a

x

m p0

V








2 sobre m







Dados M = 7 m

M

m

g



a0V

K K

m

a





Dado T m

K=

4

3

π

K m

A

2




PROJETO RUMO AO ITA


Q Qq

t t




L

θ






v

mm





m m



C

R

m

r



m






r

m

M




PROJETO RUMO AO ITA


m1

m2

2

1


x0R




fase for mπ



(diferente de kπ

2


2






2



x


A) α = 0 B) 0 lt α lt π

2

C) 0 le α lt π

2

D) 0 lt α lt π

E) 0 lt α lt3

2

π


y

x


2

C) 0 le α ltπ

2 D) 0 lt α lt π

E) 0 lt α lt3

2

π



Rm


α

β


O

r



de m k l0 e w





0




PROJETO RUMO AO ITA


M

m


x2

x1

k

k

k

3

2

1

m

m

mx3





k

h

L

m




T

L m m

kh gL m m

=+

+ +

2 3

2

2

2

π

lsquo

lsquo


H

r









f m

M m= sdot

+

ω

π

0

2

3

Fique de Olho





A) Sinal uacutenico






PROJETO RUMO AO ITA



2

3




Osciloscoacutepio


infin



B) Dois sinais



frequecircncia

1 1

1 2

1 3

2 3

3 4

Fase

α = 0 π4 π2 3π4


No computador






Apecircndice






SI Hz ciclo

ss fminus = = sdot

minus

minus11

1


Derivadas


1 y u y nu un n

= rArr = minus 1


3 y u

vy

u v v u

v= rArr =

minus

2


ln ( )0 1

5 y e y e uu u

= rArr =

6 y u y u

ue

a a= rArr =log log

7 y u yu

u= rArr =ln 1


minus (ln )1


cos





PROJETO RUMO AO ITA





15 y arc sen u y u

u= rArr =

minus

1 2

16 y arc u y u

u= rArr =

minus

minus

cos

1 2

17 y arc tg u y u

u= rArr =

+

1 2

18 y arc g u u

u= rArr

minus

+

cot

1 2

19 y arc u u y u

u uu= ge rArr =

minus

gtsec

11

12

20 y arc ec u u y u

u uu= ge rArr =

minus

minusgtcos

11

12


1 sen2x + cos2x = 1

2 1 + tg2x = sec2x


4 sen x x2 1 2

2=

minus cos

5 cos cos2 1 2

2x

x=

+





10 1 12


sen x xcos

π

Anotaccedilotildees


OSG 6925213




PROJETO RUMO AO ITA




PROJETO RUMO AO ITA


E mv m A sen t

E kx kA t

E k

c

p

t

= = +( )

= = +( )

=

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2 2 2 2

2 2 2

ω ω φ

ω φ

cos

AA sen t t E E E

E kA

t c p2 2 2

21

2

ω φ ω φ+( ) + +( ) = +( )

=

cos

Ernegia

ndashA 0 x Ax

E = +

Ep

Ep

Ec

Ec

Pontos em que

1







C

X

-A θ A

amaacutex

amaacutex

amaacutex

vmaacutex

vmaacutex

π

π

2

π 2

3

t x v a Ec Ep

0 A 0 ndash w2A 0 1

2

2kA

T4 0 ndash wA 0 1

2

2kA 0


2

2kA

3T4 0 wA 0 1

2

2kA 0

T A 0 ndash w2A 0 1

2

2kA



E mx Kxt

= +1

2

1

2

2 2


0

02

= +

+ =

mxx K xx

x x

ω








Entradavertical

f1

f2






PROJETO RUMO AO ITA


y

x

90ordm

270ordm

180ordm

180ordm 0=180ordm

360ordm

360ordm

0=360ordm

0

0f

1

f2

Figuraresultante











figura a seguir













1

2






x t SI= + ( )202 2

cos π π





x

S

T T

4 2

3T

4

t

T

4

T

2

3

4

Tt

ndash 4π

v












PROJETO RUMO AO ITA






2




1 de P

2 89 s




k

R

m










( ) T1 = 4T2

( ) T1 = 2T2

( ) T1 = T2

( ) T1 = 05T

2

( ) NDA




m1

m2


k

m


k1

m

(I) (II)

m

k2


2 sendo k

1





A) A1 gt A

2 e E

1 = E

2B) A

1 lt A

2 e E

1 = E

2


E) A1 lt A

2 e E

1 gt E

2





L

V




PROJETO RUMO AO ITA


m




m

r

0 0acute

v 0









A) π micro

2

g

L B) π micro

4

g

L

C) Vo mg D) V

o 2mg

E) NDA


2 = 50 Nm


1K

2K m


20 cm 20 cm

Prsquo 0 P







1

2

A

x

tω 2π

ndashB

A) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus

ω π

ω π

B) x A t

x B t

1

2

2= minus = +( )

cos

cos

ω πω π

C) x A t

x B t

1

2

2= minus

= minus +( )

cos

cos

ω π

ω π

D) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus minus

ω π

ω π


0

0

v2

x2



x(m) v(m sdot s-1)

0 plusmn sdotk

mA

plusmnA 0




com raio A k

m

21sdot +



kx




kAm





PROJETO RUMO AO ITA



0

m

L0




A) L L mg

K= +0 B) L

mg

K=

C) L L mg

K

= +0

2 D) L

mg

K

=2

E) L L mg

K= +

1

2 0


x t= +

100 4

3

4cos



E) a frequecircncia




C

p

v

do ar usa-se um









O

2a

x

m p0

V








2 sobre m







Dados M = 7 m

M

m

g



a0V

K K

m

a





Dado T m

K=

4

3

π

K m

A

2




PROJETO RUMO AO ITA


Q Qq

t t




L

θ






v

mm





m m



C

R

m

r



m






r

m

M




PROJETO RUMO AO ITA


m1

m2

2

1


x0R




fase for mπ



(diferente de kπ

2


2






2



x


A) α = 0 B) 0 lt α lt π

2

C) 0 le α lt π

2

D) 0 lt α lt π

E) 0 lt α lt3

2

π


y

x


2

C) 0 le α ltπ

2 D) 0 lt α lt π

E) 0 lt α lt3

2

π



Rm


α

β


O

r



de m k l0 e w





0




PROJETO RUMO AO ITA


M

m


x2

x1

k

k

k

3

2

1

m

m

mx3





k

h

L

m




T

L m m

kh gL m m

=+

+ +

2 3

2

2

2

π

lsquo

lsquo


H

r









f m

M m= sdot

+

ω

π

0

2

3

Fique de Olho





A) Sinal uacutenico






PROJETO RUMO AO ITA



2

3




Osciloscoacutepio


infin



B) Dois sinais



frequecircncia

1 1

1 2

1 3

2 3

3 4

Fase

α = 0 π4 π2 3π4


No computador






Apecircndice






SI Hz ciclo

ss fminus = = sdot

minus

minus11

1


Derivadas


1 y u y nu un n

= rArr = minus 1


3 y u

vy

u v v u

v= rArr =

minus

2


ln ( )0 1

5 y e y e uu u

= rArr =

6 y u y u

ue

a a= rArr =log log

7 y u yu

u= rArr =ln 1


minus (ln )1


cos





PROJETO RUMO AO ITA





15 y arc sen u y u

u= rArr =

minus

1 2

16 y arc u y u

u= rArr =

minus

minus

cos

1 2

17 y arc tg u y u

u= rArr =

+

1 2

18 y arc g u u

u= rArr

minus

+

cot

1 2

19 y arc u u y u

u uu= ge rArr =

minus

gtsec

11

12

20 y arc ec u u y u

u uu= ge rArr =

minus

minusgtcos

11

12


1 sen2x + cos2x = 1

2 1 + tg2x = sec2x


4 sen x x2 1 2

2=

minus cos

5 cos cos2 1 2

2x

x=

+





10 1 12


sen x xcos

π

Anotaccedilotildees


OSG 6925213




PROJETO RUMO AO ITA




PROJETO RUMO AO ITA


y

x

90ordm

270ordm

180ordm

180ordm 0=180ordm

360ordm

360ordm

0=360ordm

0

0f

1

f2

Figuraresultante











figura a seguir













1

2






x t SI= + ( )202 2

cos π π





x

S

T T

4 2

3T

4

t

T

4

T

2

3

4

Tt

ndash 4π

v












PROJETO RUMO AO ITA






2




1 de P

2 89 s




k

R

m










( ) T1 = 4T2

( ) T1 = 2T2

( ) T1 = T2

( ) T1 = 05T

2

( ) NDA




m1

m2


k

m


k1

m

(I) (II)

m

k2


2 sendo k

1





A) A1 gt A

2 e E

1 = E

2B) A

1 lt A

2 e E

1 = E

2


E) A1 lt A

2 e E

1 gt E

2





L

V




PROJETO RUMO AO ITA


m




m

r

0 0acute

v 0









A) π micro

2

g

L B) π micro

4

g

L

C) Vo mg D) V

o 2mg

E) NDA


2 = 50 Nm


1K

2K m


20 cm 20 cm

Prsquo 0 P







1

2

A

x

tω 2π

ndashB

A) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus

ω π

ω π

B) x A t

x B t

1

2

2= minus = +( )

cos

cos

ω πω π

C) x A t

x B t

1

2

2= minus

= minus +( )

cos

cos

ω π

ω π

D) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus minus

ω π

ω π


0

0

v2

x2



x(m) v(m sdot s-1)

0 plusmn sdotk

mA

plusmnA 0




com raio A k

m

21sdot +



kx




kAm





PROJETO RUMO AO ITA



0

m

L0




A) L L mg

K= +0 B) L

mg

K=

C) L L mg

K

= +0

2 D) L

mg

K

=2

E) L L mg

K= +

1

2 0


x t= +

100 4

3

4cos



E) a frequecircncia




C

p

v

do ar usa-se um









O

2a

x

m p0

V








2 sobre m







Dados M = 7 m

M

m

g



a0V

K K

m

a





Dado T m

K=

4

3

π

K m

A

2




PROJETO RUMO AO ITA


Q Qq

t t




L

θ






v

mm





m m



C

R

m

r



m






r

m

M




PROJETO RUMO AO ITA


m1

m2

2

1


x0R




fase for mπ



(diferente de kπ

2


2






2



x


A) α = 0 B) 0 lt α lt π

2

C) 0 le α lt π

2

D) 0 lt α lt π

E) 0 lt α lt3

2

π


y

x


2

C) 0 le α ltπ

2 D) 0 lt α lt π

E) 0 lt α lt3

2

π



Rm


α

β


O

r



de m k l0 e w





0




PROJETO RUMO AO ITA


M

m


x2

x1

k

k

k

3

2

1

m

m

mx3





k

h

L

m




T

L m m

kh gL m m

=+

+ +

2 3

2

2

2

π

lsquo

lsquo


H

r









f m

M m= sdot

+

ω

π

0

2

3

Fique de Olho





A) Sinal uacutenico






PROJETO RUMO AO ITA



2

3




Osciloscoacutepio


infin



B) Dois sinais



frequecircncia

1 1

1 2

1 3

2 3

3 4

Fase

α = 0 π4 π2 3π4


No computador






Apecircndice






SI Hz ciclo

ss fminus = = sdot

minus

minus11

1


Derivadas


1 y u y nu un n

= rArr = minus 1


3 y u

vy

u v v u

v= rArr =

minus

2


ln ( )0 1

5 y e y e uu u

= rArr =

6 y u y u

ue

a a= rArr =log log

7 y u yu

u= rArr =ln 1


minus (ln )1


cos





PROJETO RUMO AO ITA





15 y arc sen u y u

u= rArr =

minus

1 2

16 y arc u y u

u= rArr =

minus

minus

cos

1 2

17 y arc tg u y u

u= rArr =

+

1 2

18 y arc g u u

u= rArr

minus

+

cot

1 2

19 y arc u u y u

u uu= ge rArr =

minus

gtsec

11

12

20 y arc ec u u y u

u uu= ge rArr =

minus

minusgtcos

11

12


1 sen2x + cos2x = 1

2 1 + tg2x = sec2x


4 sen x x2 1 2

2=

minus cos

5 cos cos2 1 2

2x

x=

+





10 1 12


sen x xcos

π

Anotaccedilotildees


OSG 6925213




PROJETO RUMO AO ITA




PROJETO RUMO AO ITA






2




1 de P

2 89 s




k

R

m










( ) T1 = 4T2

( ) T1 = 2T2

( ) T1 = T2

( ) T1 = 05T

2

( ) NDA




m1

m2


k

m


k1

m

(I) (II)

m

k2


2 sendo k

1





A) A1 gt A

2 e E

1 = E

2B) A

1 lt A

2 e E

1 = E

2


E) A1 lt A

2 e E

1 gt E

2





L

V




PROJETO RUMO AO ITA


m




m

r

0 0acute

v 0









A) π micro

2

g

L B) π micro

4

g

L

C) Vo mg D) V

o 2mg

E) NDA


2 = 50 Nm


1K

2K m


20 cm 20 cm

Prsquo 0 P







1

2

A

x

tω 2π

ndashB

A) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus

ω π

ω π

B) x A t

x B t

1

2

2= minus = +( )

cos

cos

ω πω π

C) x A t

x B t

1

2

2= minus

= minus +( )

cos

cos

ω π

ω π

D) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus minus

ω π

ω π


0

0

v2

x2



x(m) v(m sdot s-1)

0 plusmn sdotk

mA

plusmnA 0




com raio A k

m

21sdot +



kx




kAm





PROJETO RUMO AO ITA



0

m

L0




A) L L mg

K= +0 B) L

mg

K=

C) L L mg

K

= +0

2 D) L

mg

K

=2

E) L L mg

K= +

1

2 0


x t= +

100 4

3

4cos



E) a frequecircncia




C

p

v

do ar usa-se um









O

2a

x

m p0

V








2 sobre m







Dados M = 7 m

M

m

g



a0V

K K

m

a





Dado T m

K=

4

3

π

K m

A

2




PROJETO RUMO AO ITA


Q Qq

t t




L

θ






v

mm





m m



C

R

m

r



m






r

m

M




PROJETO RUMO AO ITA


m1

m2

2

1


x0R




fase for mπ



(diferente de kπ

2


2






2



x


A) α = 0 B) 0 lt α lt π

2

C) 0 le α lt π

2

D) 0 lt α lt π

E) 0 lt α lt3

2

π


y

x


2

C) 0 le α ltπ

2 D) 0 lt α lt π

E) 0 lt α lt3

2

π



Rm


α

β


O

r



de m k l0 e w





0




PROJETO RUMO AO ITA


M

m


x2

x1

k

k

k

3

2

1

m

m

mx3





k

h

L

m




T

L m m

kh gL m m

=+

+ +

2 3

2

2

2

π

lsquo

lsquo


H

r









f m

M m= sdot

+

ω

π

0

2

3

Fique de Olho





A) Sinal uacutenico






PROJETO RUMO AO ITA



2

3




Osciloscoacutepio


infin



B) Dois sinais



frequecircncia

1 1

1 2

1 3

2 3

3 4

Fase

α = 0 π4 π2 3π4


No computador






Apecircndice






SI Hz ciclo

ss fminus = = sdot

minus

minus11

1


Derivadas


1 y u y nu un n

= rArr = minus 1


3 y u

vy

u v v u

v= rArr =

minus

2


ln ( )0 1

5 y e y e uu u

= rArr =

6 y u y u

ue

a a= rArr =log log

7 y u yu

u= rArr =ln 1


minus (ln )1


cos





PROJETO RUMO AO ITA





15 y arc sen u y u

u= rArr =

minus

1 2

16 y arc u y u

u= rArr =

minus

minus

cos

1 2

17 y arc tg u y u

u= rArr =

+

1 2

18 y arc g u u

u= rArr

minus

+

cot

1 2

19 y arc u u y u

u uu= ge rArr =

minus

gtsec

11

12

20 y arc ec u u y u

u uu= ge rArr =

minus

minusgtcos

11

12


1 sen2x + cos2x = 1

2 1 + tg2x = sec2x


4 sen x x2 1 2

2=

minus cos

5 cos cos2 1 2

2x

x=

+





10 1 12


sen x xcos

π

Anotaccedilotildees


OSG 6925213




PROJETO RUMO AO ITA




PROJETO RUMO AO ITA


m




m

r

0 0acute

v 0









A) π micro

2

g

L B) π micro

4

g

L

C) Vo mg D) V

o 2mg

E) NDA


2 = 50 Nm


1K

2K m


20 cm 20 cm

Prsquo 0 P







1

2

A

x

tω 2π

ndashB

A) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus

ω π

ω π

B) x A t

x B t

1

2

2= minus = +( )

cos

cos

ω πω π

C) x A t

x B t

1

2

2= minus

= minus +( )

cos

cos

ω π

ω π

D) x A sen t

x B sen t

1

2

2

2

= +

= minus minus

ω π

ω π


0

0

v2

x2



x(m) v(m sdot s-1)

0 plusmn sdotk

mA

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m

21sdot +



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PROJETO RUMO AO ITA



0

m

L0




A) L L mg

K= +0 B) L

mg

K=

C) L L mg

K

= +0

2 D) L

mg

K

=2

E) L L mg

K= +

1

2 0


x t= +

100 4

3

4cos



E) a frequecircncia




C

p

v

do ar usa-se um









O

2a

x

m p0

V








2 sobre m







Dados M = 7 m

M

m

g



a0V

K K

m

a





Dado T m

K=

4

3

π

K m

A

2




PROJETO RUMO AO ITA


Q Qq

t t




L

θ






v

mm





m m



C

R

m

r



m






r

m

M




PROJETO RUMO AO ITA


m1

m2

2

1


x0R




fase for mπ



(diferente de kπ

2


2






2



x


A) α = 0 B) 0 lt α lt π

2

C) 0 le α lt π

2

D) 0 lt α lt π

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π


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x


2

C) 0 le α ltπ

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Rm


α

β


O

r



de m k l0 e w





0




PROJETO RUMO AO ITA


M

m


x2

x1

k

k

k

3

2

1

m

m

mx3





k

h

L

m




T

L m m

kh gL m m

=+

+ +

2 3

2

2

2

π

lsquo

lsquo


H

r









f m

M m= sdot

+

ω

π

0

2

3

Fique de Olho





A) Sinal uacutenico






PROJETO RUMO AO ITA



2

3




Osciloscoacutepio


infin



B) Dois sinais



frequecircncia

1 1

1 2

1 3

2 3

3 4

Fase

α = 0 π4 π2 3π4


No computador






Apecircndice






SI Hz ciclo

ss fminus = = sdot

minus

minus11

1


Derivadas


1 y u y nu un n

= rArr = minus 1


3 y u

vy

u v v u

v= rArr =

minus

2


ln ( )0 1

5 y e y e uu u

= rArr =

6 y u y u

ue

a a= rArr =log log

7 y u yu

u= rArr =ln 1


minus (ln )1


cos





PROJETO RUMO AO ITA





15 y arc sen u y u

u= rArr =

minus

1 2

16 y arc u y u

u= rArr =

minus

minus

cos

1 2

17 y arc tg u y u

u= rArr =

+

1 2

18 y arc g u u

u= rArr

minus

+

cot

1 2

19 y arc u u y u

u uu= ge rArr =

minus

gtsec

11

12

20 y arc ec u u y u

u uu= ge rArr =

minus

minusgtcos

11

12


1 sen2x + cos2x = 1

2 1 + tg2x = sec2x


4 sen x x2 1 2

2=

minus cos

5 cos cos2 1 2

2x

x=

+





10 1 12


sen x xcos

π

Anotaccedilotildees


OSG 6925213




PROJETO RUMO AO ITA




PROJETO RUMO AO ITA



0

m

L0




A) L L mg

K= +0 B) L

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K=

C) L L mg

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2 D) L

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100 4

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E) a frequecircncia




C

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M

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Dado T m

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1


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2


2






2



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A) α = 0 B) 0 lt α lt π

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C) 0 le α lt π

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D) 0 lt α lt π

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Fique de Olho





A) Sinal uacutenico






PROJETO RUMO AO ITA



2

3




Osciloscoacutepio


infin



B) Dois sinais



frequecircncia

1 1

1 2

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3 4

Fase

α = 0 π4 π2 3π4


No computador






Apecircndice






SI Hz ciclo

ss fminus = = sdot

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Derivadas


1 y u y nu un n

= rArr = minus 1


3 y u

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2


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15 y arc sen u y u

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Anotaccedilotildees


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PROJETO RUMO AO ITA




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3

Fique de Olho





A) Sinal uacutenico






PROJETO RUMO AO ITA



2

3




Osciloscoacutepio


infin



B) Dois sinais



frequecircncia

1 1

1 2

1 3

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Fase

α = 0 π4 π2 3π4


No computador






Apecircndice






SI Hz ciclo

ss fminus = = sdot

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1 y u y nu un n

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2


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A) α = 0 B) 0 lt α lt π

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C) 0 le α lt π

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C) 0 le α ltπ

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0




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M

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Fique de Olho





A) Sinal uacutenico






PROJETO RUMO AO ITA



2

3




Osciloscoacutepio


infin



B) Dois sinais



frequecircncia

1 1

1 2

1 3

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3 4

Fase

α = 0 π4 π2 3π4


No computador






Apecircndice






SI Hz ciclo

ss fminus = = sdot

minus

minus11

1


Derivadas


1 y u y nu un n

= rArr = minus 1


3 y u

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M

m


x2

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k

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L m m

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M m= sdot

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Fique de Olho





A) Sinal uacutenico






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2

3




Osciloscoacutepio


infin



B) Dois sinais



frequecircncia

1 1

1 2

1 3

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3 4

Fase

α = 0 π4 π2 3π4


No computador






Apecircndice






SI Hz ciclo

ss fminus = = sdot

minus

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1


Derivadas


1 y u y nu un n

= rArr = minus 1


3 y u

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2


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5 y e y e uu u

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1 sen2x + cos2x = 1

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10 1 12


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π

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2

3




Osciloscoacutepio


infin



B) Dois sinais



frequecircncia

1 1

1 2

1 3

2 3

3 4

Fase

α = 0 π4 π2 3π4


No computador






Apecircndice






SI Hz ciclo

ss fminus = = sdot

minus

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1


Derivadas


1 y u y nu un n

= rArr = minus 1


3 y u

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π

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15 y arc sen u y u

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566 farias brito fisica carlos eduardo movimento harmonico simples (1)

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