Forças distribuídas:Centróides e Baricentros

Ponto de Aplicação da Resultante “P” Para Corpos de Diferentes Formas

P = ∆P1 + ∆P2 + .... + ∆Pn∑M y: P = x1∆P1 + x2∆P2 + .... xn∆Pn = ∑xi∆Pi∑M x: P = y1∆P1 + y2∆P2 + .... yn∆Pn = ∑yi∆Pi

Para elementos infinitesimais , temos:

∫ ∫∫ === ydPPYxdPPXdPP ;;

XY

Se o nosso elemento de área é, por exemplo, um arame:

∑M y: P = x1∆P1 + x2∆P2 + .... xn∆Pn = ∑xi∆Pi∑M x: P = y1∆P1 + y2∆P2 + .... yn∆Pn = ∑yi∆Pi

XY

Centróides de áreas:Considere uma placa homogênea de espessura constante

∆P = γt∆A (1)γ = Peso específico, t = espessura, ∆A = Elemento de área

Para a placa toda, temos:P = γtA. (2)Unidades: ∆P[N]; γ[N/m3]; t[m]; ∆A[m2]

Como: P = x1∆P1 + x2∆P2 + .... xn∆Pn eP = y1∆P1 + y2∆P2 + .... yn∆Pn = ∑yi∆Pi

Substituindo as equações (1) e (2) nestas expressões, temos:γtA = x1γt∆A1 + x2γt∆A2 + .... + xnγt∆AnγtA = y1γt∆A1 + y2γt∆A2 + .... + ynγt∆An

X

Y

X

Y

Logo:A = x1∆A1 + x2∆A2 + .... + xn∆An

A = y1∆A1 + y2∆A2 + .... + yn∆An

Para elementos de áreas infinitesimais, temos:

∫ ∫==A

xdAXexdAAX ∫ ∫==

AydA

YeydAAY

Sendo e os baricentros da placa homogênea de espessura constante t.

Diferença entre centróide e baricentro:

X

X Y

Baricentro e centróide, placa homogênea Baricentro e centróide placa não homogênea

Y

Momento de primeira ordem ou momento estático da área A em relação a x e a y

Utilizando-se o mesmo raciocínio anterior, pode-se escrever:∑My: A = x1∆A1 + x2∆A2 + .... + xn∆An = ∑xi∆Ai∑Mx A = y1∆A1 + y2∆A2 + .... + yn∆An = ∑yi∆Ai

Para elementos de áreas infinitesimais, temos:

∫= xdAAX

XY

Momento de primeira ordem ou momento estático da área A em relação a y

∫= ydAAY Momento de primeira ordem ou momento estático da área A em relação a x

È evidente que os centróides serão expressos por:

AxdA

X ∫=AydA

Y ∫=

Centróide e baricentro de um arame.

∑M y: P = x1∆P1 + x2∆P2 + .... xn∆Pn = ∑xi∆Pi (3)∑M x: P = y1∆P1 + y2∆P2 + .... yn∆Pn = ∑yi∆Pi (4)

XY

X

Y

X

Y

Para o arame:P = γAL (5)Para o elemento do arame∆P = γ∆LA (6)

Substituindo (5) e (6) nas expressões (3) e (4), temos:

γ AL = x1 γ ∆L1 A + x2 γ ∆L2 A + .... +x n γ ∆L n A

γ t A = y1 γ ∆L1A + y2 γ ∆L2 A + .... + y n γ ∆L n A, logo:

L = x1∆L1 + x2∆L2 + .... + xn∆Ln

L = y1∆L1 + y2∆L2 + .... + yn∆Ln

Para elementos com comprimentos infinitesimais, temos:

∫ ∫==LxdL

XexdLLX

∫ ∫==LydL

YeydLLY

Área simétrica com relação a um eixo:Se a todo ponto P corresponde um ponto P’ , onde PP’ é perpendicular a BB’ e BB’ divide PP’ em partes iguais. O centróide está situado em BB’.

LOCALIZAÇÃO DO CENTRÓIDE

Nas figura (a) e (b) os centróides C estão localizados na intercepção de dois eixos de simetria. Esta propriedade nos permite determinar imediatamente o centróide de áreas tais como círculos, elipses, quadrados, retângulos, triângulos eqüiláteros ou quaisquer outras figuras simétricas, como também centróides de linhas na forma de circunferências, perímetro de quadrado, perímetro de retângulo, etc.

Área simétrica em relação a um ponto O.Se a todo ponto P corresponde um ponto P’ , onde PP’ é dividido em duas partes iguais pelo ponto O.Todos os conceitos são também aplicados para uma linha L

Tabela I - Centróides de formas comuns de áreas

Tabela II - Centróides de formas comuns de linhas

PLACAS E ARAMES COMPOSTOS

iiinnny PXPXPXPXPXPPPXM Σ=Σ=+++=+++Σ ...)...(: 221121

iiinnnx PYPYPYPYPYPPPYM Σ=Σ=+++=+++Σ ...)...(: 221121

nnny AXAXAXAAAXM +++=+++Σ ...)...(: 221121

Se a placa é homogênea, uniforme com espessura desprezível, o baricentro coincide com o centróide.Como P = γAt e Pi = γA it, temos:

nnnx AYAYAYAAAYM +++=+++Σ ...)...(: 221121

Momentos estáticos podem ser positivos ou negativos

5.5 Beer 3ª edição)

Localize o centróide da área plana ilustrada.

Solução:Obs. Figura simétrica em relação a um eixo paralelo ao eixo x,

Logo = 20/2 = 10cm

YYYY

Y

Nomenclatura:, - Centróides de cada figura isoladamente

X, Y – Coordendas do centróide em relação a orígem.

Área 1A1 = 3,75.(20) = 75cm2, 1 = X1 = 3,75/2 = 1,875cm

Área 2A2 = 17,5.(12,5) = 218,75cm2, 2 = 17,5/2 = 8,75cm eX2 = 3,75 + 8,75 = 12,5cm

Área 3A3 = 15.(7,5) = 112,5cm2, 3 = 15/2 = 7,5cm e X3 = 3,75 + 7,5 = 11,25cm.

X Y

X

X

X

A(cm2) X AX (cm3)

1 75 1,875 140,625

2 218,75 12,5 2734,375

3 -112,5 11,25 -1265,625

∑ 181,25 1609,375

Logo: X = (∑AiXi)/ ∑Ai = 1609,375/181,25 = 8,88cm = 88,8mm

Resposta:X = 88,8mm e y = 100mm

5.11(Beer 3ª edição)

Localize o centróide da área plana ilustrada.

Solução:

Obs. Figura simétrica em relação ao eixo y,Logo = 0X

Área 1A1 =48.(32)/2 = 768cm2, 1 = (32)/3 = 10,67cm e y1 = -32 + 10,67 = -21,33cm

Área 2A2 = 48.(18)/2 = 432cm2, 2 = 18.(2)/3 = 12cm,Logo y2 = -50 + 12 = -38cm

Y

Y

Área 3

Os dados abaixo foram retirados da tabela 1

Para o nosso casotgα = 24/18 = 4/3 → α = 53,13° = 0,927rad

Logo:A3 = αr2 = 0,927.(302) = 834,93cm2

αα

32

3rsenY = = (2.30.sen53,13)/(3.0,927) = 17,27cm

Y3 = -50 + 17,27 = -32,73cm

A(cm2) Y AY (cm3)

1 768 -21,33 -16381,44

2 432 -38 -16416

3 -834,93 -32,75 27343,96

∑ 365,07 -5453,48

Logo: Y = (∑AiYi)/ ∑Ai = -5453,48/365,07 = -14,94cm = -149,4mm

Resposta:X = 0 e y = -149,4mm

5.9 (Beer 3ª edição)

Localize o centróide da área plana ilustrada.

Solução:

Obs. Não há simetria em em relação a qualquer eixo. Devemos portanto, determinar as coordenadas do centróide, X e Y.

Área 1: Os dados abaixo foram retirados da tabela 1

Adequando o nosso problema para os dados da tabela, temos:

A1 = 2.(ah)/3 = 2.(30.20)/3 = 400cm2, 1 = 3a/8 = 3.30/8 = 11,25cmX1 = 30 – 11,25 = 18,75cm 1 = 3h/5 = 3.20/5 = 12cm Y1 = 20 – 12 = 8cm

Área 2

X

A2 = 30.20/2 = 300cm2, 2 = (2b)/3 = 2.30/3 = 20cmX2 = 2 = 20cm 2 = Y2 = 20.1/3 = 6,67cm,

Y

YX

X

A(cm2) X Y XA YA (cm3)

1 400 18,75 8 7500 3200

2 -300 20 6,67 -6000 -2001

∑ 100 1500 1199

Logo: X = (∑AiXi)/ ∑Ai = 1500/100 = 15cm = 150mm Logo: Y = (∑AiYi)/ ∑Ai = 1199/100 = 11,99cm ~ 120mm

Resposta:X = 150mm e y = 120mmmm

5.16 (Beer 3ª edição) - Um arame fino e homogêneo é dobrado na forma indicado na figura abaixo. Localize o baricentro da figura de arame assim formada.

A figura pode ser dividia em 4 arames, conforme ilustração:

Arame 1: L1 = 16cm, 1 = X1 = 0 ; 1 = Y1 = 8cm

Arame 2: L2 = 12cm, 2 = X2 = 6cm; 2 = Y2 = 0

Arame 3: L3 = 10cm, 3 = X3 = 12cm; 3 = Y3 = 5cm

Arame 4: L4 = √(144 + 36) = 13,42cm; 4 = X4 = 6cm; 4 = Y4 = 13cm

X

X

X

X

Y

Y

Y

Y

L(cm) X(cm) Y (cm) XL (cm2) YL (cm2)

1 16 0 8 0 128

2 12 6 0 72 0

3 10 12 5 120 50

4 13,42 6 13 80,5 174,5

∑ 51,42 272,5 352,5

Logo: X = (∑XiLi)/ ∑Li = 272,5/51,42 = 5,3cm = 53mm

Y = (∑AiYi)/ ∑Ai = 352,5/51,42 = 6,86cm = 68,6mm

Resposta:x = 53mm e y = 68,6mm

5.22 (Beer 3ª edição) - Sabendo que a figura ilustrada é formada por um aramefino e homogêneo, determine o ângulo α para o qual o baricentro da figura estálocalizado na origem O.

Solução:

Obs. Figura simétrica em relação ao eixo y. Logo X = = 0

A figura pode ser composta por 3 arames, conforme ilustração:

X

Arame 1: L1 = 2πr , 1 = X1 = 0 e ; 1 = Y1 = 0

Arame 2: L2 = 2r , 2 = X2 = 0 e 2 = Y2 = (rcosα)/2Para a determinação das coordenada Y2, considere a figura a seguir

Nesta figura OB = r/2 e OC = coordenada do centróide desa figura.É óbvio que: cosα = OC/(r/2), logo OC = 2 = Y2 = (rcosα)/2

X

X

Y

Y

Y

Arame 3: Os dados abaixo foram retirados da tabela 2

Adequando o nosso problema para os dados da tabela, temos:

L3 = 2αr eααrsenYY == 33

L Y YL

1 2πr 0 0

2 2r (rcosα)/2 r2cosα

3 -2αr -2r2senα

Σ (r2cosα - 2r2senα)

= Σ(YL)/L, como = 0 → Σ(YL) = r2cosα - 2r2senα = 0 →→ cosα = 2senα → tgα = 1/2 →→ α = 26,6º

Resposta: α = 26,6º

Y Y

ααrsen

Cargas distribuídas sobre vigas

Carga p em N/m e carga P em N

dP = pdx → Como dA = pdx →

Conclusão:

Uma carga distribuída sobre uma viga pode ser substituída por uma cargaconcentrada. O módulo desta única carga se identifica numericamente com aárea sob a curva de carga e sua linha de ação passa através do centróidedesta área.

∫ ===Σ=ΣL

iO XAXdxdxM0

. PPPi

∫ ==L

AdA0

P∫=L

pdx0

P

5.67(Beer 3ª edição) - Determine o módulo e a linha de ação da resultante docarregamento distribuído, conforme ilustração calcule também as reações em A e B.

Solução:A carga distribuída equivale a carga concentrada abaixo com as respectivas reações:

O problema se resume em calcular a área da semiparábola, determinação do centróide da figura e finalmente o cálculo das reações.

Os dados abaixo foram retirados da tabela 1

Adequando o nosso problema para os dados da tabela, temos:A = (2ah)/3 = 2.(8).(6)/3 = 32, logo P = 32kN

= 3a/8 = 3(8)/8 = 3mCálculo das reações:∑MA = 0 → - 32.(3) + 8By = 0 → By = 12kN∑Fy = 0 → Ay+ By= P → Ay = P – By = 32 – 12 = 20kN∑Fx = 0 → Bx = 0Resposta:P = 32kN, Ay = 20kN, By = 12kN e Bx = 0

5.71(Beer 3ª edição) - Determine o módulo e a linha de ação da resultante docarregamento distribuído conforme ilustração, calcule também as reações em Ae B.

Solução:A carga distribuída equivale a carga concentrada abaixo com as respectivas reações:

O problema se resume em calcular a área e o centróide do triângulo ABD e finalmente o cálculo das reações.

X

X

Para a determinação do centróide, devemos decompor o triângulo ABD em dois triângulos retângulos.

A2 = 4.(1500)/2 = 30002 = 4/3

X2 = 2 + 4/3 = 10/3

A1 = 2.(1500)/2 = 1500

1 = X1 = 2.(2)/3 = 4/3

X

A X (m) XA

1 1500 4/3 2000

2 3000 10/3 10000

∑ 4500 12000

Logo, = (∑XA)/A = 12000/4500 = 8/ 3= 2,67m

Cálculo das reações:∑MA = 0 → -4500.(8)/3 + 6By = 0 → By = 12000/6 = 2000N

∑Fy = 0 → Ay+ By= P → Ay = P – By = 4500 – 2000 = 2500N∑Fx = 0 → Ax = 0

Resposta:P = 4500N, Ay = 2500N, By = 2000N, Bx = 0 e = X = 2,67m

X

Centróides de volume.

ΣFy = 0 → -Pj = Σ(-∆Pj)

( ) ( ) ( )jPjP −∆Σ=− ^^ irR ( )PP ∆Σ= irR

Como P = Σ∆Pi, para um ∆ infinitesimal, temos:

∫ ∫== dPPedPP rR

( ) ( )PjPjM ∆−Σ=−Σ ^^:0 irR

Para corpos homogêneos P = γV e dp = dP = γdV, e como

( ) ( )∫ ∫=== dVVdVV rrRR γγγγ

∫= dPP rR

∫= dVV rR, logo

kzjyix ++=R r = xi + yj + zk

( )∫ ∫ ∫ ∫++=++=++ zdVkydVjxdVidVzkyjxiVkzVjyVixLogo:

V

zdVze

V

ydVy

V

xdVx ∫∫∫ === ,

Para elementos finitos ∆V estas integrais podem ser representadas por:

Com ajuda dessas relações:

V = x1∆V1 + x2∆V2 + .... + xn∆Vn = ∑xi∆Vi

V = y 1∆V1 + y2∆V2 + .... + yn∆An = ∑yi∆Vi

V = z1∆V1 + z2∆V2 + .... + zn∆Vn = ∑zi∆Vi

Pode-se em muitos casos dividir-se o volume em volumes mais simples, ver tabela 3 e determinar-se o centróide do volume.

XY

VVzze

VVyy

VVxx iiiiii ∆Σ

=∆Σ

=∆Σ

= .

Tabela III - Centróides de formas comuns de Volume

Tabela III - Centróides de formas comuns de Volume

Volume simétrico em relação a um plano.Se a todo ponto P do volume pudermos associar um pontoP’, onde PP’ é perpendicular ao plano e é dividido em duaspartes iguais.Para um plano de simetria o centróide do volume estácontido neste plano.

Para dois planos de simetria o centróide do volumeestá contido na reta de intercessão dos doisplanos.

Para três planos de simetria o centróide dovolume está contido no ponto de intercessão dostrês planos.

5.93 (Beer 3ª edição) - Um cone e um cilindro de mesmo raio “a” e altura h, estãounidos como ilustrado.Determine a posição do centróide do corpo composto.

Obs. Como o volume é simétrico em relação aos planos XY e YZ, temos:= X = 0 e = Z = 0. Devemos somente determinar Y.

Volume 1:Os dados a seguir foram retirados da tabela 3

X

V1 = (πa2h)/3, 1 = h/4 e y = h – h/4 = 3h/4Y

Y

Volume 2V2 = πa2h, y2 = h/2 e y = h + h/2 = 3h/2

Volume 1

V Y YV

1 (πa2h)/3 3h/4 (πa2h2)/4

2 πa2h 3h/2 (3πa2h2)/2

Σ (4πa2h)/3 (7πa2h2)/4

Adequando os dados da tabela IIIpara o nosso problema, temos:

Resposta.O centróide da figura tem as seguintes coordenadas:X = 0, y = 21h/16 e Z = 0

1621

43

47

34

47

2

22222 hha

hahahaY =×=÷=π

πππ

ΣV = Σ(YV) → = Σ(YV)/( ΣV), logo:Y

Determinação de Y

5.99 (Beer 3ª edição) - Localize o baricentro do elemento de máquina ilustrado.

Solução:

X YObs. Como o volume é simétrico em relação aos planos XY temosDevemos somente determinar e

Volume 1:

= 0

X Y

V1 = πr2l = π.(144)3 = 432πcm3.

Como o volume é simétrico em

relação aos planos XZ e YZ

1 = X1 = 1 = Y1 = 0

Volume 2

V2 = π(r2)2h = π.(9)3 =27πcm3

2 = h/2 = 3/2 = 1,5cm,

X2 = 1,5 + 1,5 = 3cm

2 = 0, Y2 = - 6cm

X

Y

V3 = π(r3)2l = π(9)3 = 27πcm3

3 = X3 = 0, 3 = 0, Y3 = 6cm

X

Y

X Y

Volume 3

Determinação do baricentro

V(cm3) X(cm) Y(cm) XV(cm4) YV(cm4)

1 432π 0 0 0 0

2 27π 3 -6 81π -162π

3 -27π 0 6 0 -162π

Σ 432π 81π -324π

ΣV = Σ(XV) → = Σ(XV)/( ΣV), logo: = (81π)/(432π) = 0,1875cm = 1,875mm

ΣV = Σ(YV) → = Σ(YV)/( ΣV), logo:= (-324π)/(432π) = -0,75cm = -7,5mm

Resposta:Coordenadas do baricentro:X = 1,875mm, Y = -7,5mm e z = 0

X XX

Y YY