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8/18/2019 [45]_GUIA 1 INTEGRAL INDEFINIDA.pdf

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CÁLCULO INTEGRAL GUIA UNIDAD 1

Nombre de la asignatura: CÁLCULO INTEGRAL Código: 445

Unidad

1:

ANTIDERIVADA

E

INTEGRAL

INDEFINIDA

Guía

1/5

Tiempo

estimado

para

desarrollar:

Autores

de

la

Guía:

ICFM

Revisado

por:

ICFM


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Contenido...................................................................................................................................................................... 1

GUIA DE APRENDIZAJE .............................................................................................................................. 3 UNIDAD 1: ANTIDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA ..................................................................... 3

Objetivos específicos: ......................................................................................................................... 3 PRERREQUISITOS: .................................................................................................................................. 3 MATERIAL DE APOYO: ........................................................................................................................... 3 ACTIVIDADES ESPECÍFICAS .................................................................................................................. 3 METODOLOGÍA DE TRABAJO ................................................................................................................ 4 ACTIVIDADES PREVIAS EXTRACLASE .............................................................................................. 4

REVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DESARROLLADOS EN LA CLASE .......................................................... 5 Algunos cuestionamientos previos ................................................................................................... 5

ANTI‐DERIVADA ............................................................................................................................................ 5

ANTI‐DERIVADA Y CONSTANTE DE INTEGRACIÓN ................................................................................ 6 Notación Anti‐derivada e Integral Indefinida ....................................................................................... 7 Tabla 1. Lectura de Fórmulas ............................................................................................................... 9

Tabla2. Fórmulas de Anti‐derivación ............................................................................................. 11 Aplicaciones de la Integral Indefinida movimiento ........................................................................ 12

Problemas de valor inicial ................................................................................................................ 12 Tabla 3. Interpretación del ejercicio .................................................................................................. 15

Movimiento Rectilíneo ......................................................................................................................... 15 Integración de formas elementales ..................................................................................................... 22 Integrales de Funciones Trigonométricas ...................................................................................... 22


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GUÍ DE PRENDIZ JE

UNID D 1: NTIDERIV D E INTEGR L INDEFINID

Objetivos específicos:

Revertir el proceso de diferenciación obteniendo una integral indefinida para funcionessimples.

Comprender el rol de la constante arbitraria. Comprender y usar la notación para integrales indefinidas. Usar la regla de múltiple constante y la regla de suma. Usar la integración indefinida para resolver problemas prácticos tales como la obtención de

velocidades desde una fórmula de aceleración o desplazamiento desde una fórmula develocidad. Encontrar integrales de funciones trigonométricas. Usar tablas de integrales indefinidas de funciones simples.

PRERREQUISITOS:

Los temas necesarios para esta unidad son: Funciones.

Límites. Derivadas.M TERI L DE POYO:

Libro de texto: STEWART, J.: “Cálculo de una variable”, Sexta edición. Cengage Learning.2008.

Tabla de integrales y fórmulas extraídas del texto. Software matemático Calculadora con CAS

CTIVID DES ESPECÍFIC S

Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase. Elaboración grupal de las respuestas del cuestionario, justificación de cada etapa del

desarrollo de ejercicios. Discusión grupal sobre procedimientos, resultados. Análisis crítico de los ejercicios desarrollados.


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METODOLOGÍ DE TR B JO

El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía.Para lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad usando el

texto recomendado por el Docente. En clase los estudiantes organizan grupos dependiendo del número de estudiantes porcurso para desarrollar los ejercicios propuestos de la guía El docente realiza el control de desarrollo de guías.

CTIVID DES PREVI S EXTR CL SE

Recordar.

Desplazamiento V ertical.‐ El desplazamiento vertical cumple las siguientes condiciones. Si 0, entonces la gráfica de es un desplazamiento de , unidades hacia arriba. Si 0, entonces la gráfica de es un desplazamiento de , unidades hacia abajo.

Calcule los siguientes desplazamientos y grafique:a √ 2 3 4b 3 2 2c 5 1

Funciones comp uestas.‐

Siempre que se tienen dos funciones se puede definir una función demanera que la variable dependiente de sea a su vez la variable independiente de .

a g(a) f(g(a))

f

o

g

g f

Salida de g = entrada de f

Función

compuesta

Figura 1.

Interpretación de la Función Compuesta.Si son dos funciones entonces la Función Compuesta se denota por y se detalla de lasiguiente forma.

Calcule las siguientes funciones compuestas 1 2 de las funciones dadas.

a 2 1 1b 2 1 1


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c 1 2 1Calcule los siguientes límites:

a lim→

b

lim→√

c lim→

Calcule la derivada de la funcióna 2 3 2b c

Realice un ensayo de una plana. Tema “Reseña Histórica y Finalidad de la Anti‐derivada”

REVISIÓN DE LOS CONCEPTOS DES RROLL DOS EN L CL SE

lgunos cuestionamientos previos

a ¿Recuerda cómo calcular límites mediante las leyes generales?b ¿Conoce la definición de la derivada interpretación matemática y geométrica?c ¿Sabe calcular derivadas mediante las reglas de derivación?d ¿Recuerda la regla de la cadena?

ANTI‐DERIVADA

1“Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear conocer su posición en un instante

dado. Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiereconocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un biólogo que conoce la rapidez a laque crese una población de bacterias puede interesarse en deducir el tamaño de la población en algúnmomento futuro. En cada caso el, problema es hallar una función cuya derivada es en la funciónconocida . Si tal función existe, se llama anti‐derivada de .”

1 Tomado del libro Cálculo de una variable, sexta edición, de James Stewart


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NTI‐DERIV D Y CONST NTE DE INTEGR CIÓN

D e f i n i c i ó n d e a n t i ‐ d e r iv a d a : Una función )( xF es una anti‐derivada de una función x f sobreun intervalo I si se cumple la relación:

´ Una función se llama primitiva o anti‐derivada de .Ejemplo

Si F es la función definida por 4 5Entonces ´ 12 2De modo que si es la función definida por 12 2Entonces es la derivada de y es la anti‐derivada de Si G es la función definida por 4 17Donde ´ 12 2Entonces también es una anti‐derivada de porque ´ ´En realidad, cualquier función determinada por 4 Donde C es una constante, es una anti‐derivada de

T e o r e m a

Si son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que ´ ´ para todo x en I.Entonces existe una constante C talque.

Demostración:Sea la función definida en el I, mediante

De modo que para todo x en I

´ ´ ´Pero, por hipótesis ´ ´ para todo x en I.Por tanto.

´ 0 Para todo x en IExiste una constante C talque para todo x en I.Si sustituimos por se obtiene

Para todo x en I L.Q.Q.D.Donde C es una constante arbitraria.


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Ejemplo

Encontrar la anti‐derivada más general de la función. 12 2 6La anti‐derivada más general de es:

16 6 Porque ´ 2 6

T e o r e m a

Si es una anti‐derivada particular de es un intervalo I, entonces cada anti‐derivada de en I, estádada por , donde C es una constante arbitraria y todas las anti‐derivadas de en I, puedenobtenerse a partir de asignando valores particulares a C.Demostración:

Sea cualquier anti‐derivada de ´ ´

´ ´ L.Q.Q.D.

Notación nti‐derivada e Integral Indefinida

D e f i n i c i ó n d e I n t e g r a l I n d e f i n i d aSi es una función primitiva de , la expresión se llama integral indefinida de lafunción y se denota por el símbolo.

.

Y la leemos como “la integral indefinida de respecto a x” Por lo tanto, es un conjuntode funciones, no es una sola función, ni un número. La función que se está integrando se llama elintegrando, y la variable x se llama la variable de integración .

La anti‐derivada o anti‐diferenciación, es el proceso mediante el cual se determina el conjunto detodas las anti‐derivadas de una función dada.Para denotar la anti‐derivada de una función f se utiliza el símbolo y se escribe:


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Que se lee “la integral indefinida de es igual ”.Donde ´ Recibe el nombre de anti‐derivada general de .

Se puede escribir Por tanto, la integral indefinida de una función es igual a la anti‐derivada más unaconstante arbitraria . El diferencial indica que es la variable de integración.La constante de integración C se utiliza para representar a todas las anti‐derivadas de x f .

Ejemplo

Calcule la integral indefinida de 2Una anti‐derivada de es . Por tanto, se tiene:

2

Como la anti‐derivación o integración es la operación inversa de la diferenciación, se puedecomprobar el resultado al derivar la función del lado derecho y obtener el integrando, es decir, si severifica que,

Así, para el ejemplo:

2 2

Ahora bien, en la solución , si se dan varios valores a , por ejemplo 5, 0, ‐3, se obtienenlas funciones 5, , 3 que son anti‐derivadas de .Así, se pueden obtener una infinidad de anti‐derivadas de según los valores que tome laconstante .O b s e r v a c i o n e s

La integral indefinida es una familia de curvas, para cada valor de C Significado Geométrico. Toda función continua en el intervalo , tiene una función primitiva y por

consiguiente una integral indefinida. Sin embargo, no siempre es posible encontrar la


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integral indefinida primitiva más general de una función continua en , como sucedepor ejemplo con la función √ 1 .

La derivada de una integral indefinida es igual al integrando, es decir.

, é .

Como ´ , entonces .Por lo tanto,

Ejemplo

6xdx 3 C La integral indefinida de 6x respecto a x es 3

4 3 La integral indefinida de 4 3 respecto a x es Tabla 1. Lectura de Fórmulas

La constante de integración , nos recuerda que podemos añadir cualquier constante y así obtenerotra anti‐derivada.“Distinga con cuidado entre las integrales definidas y las indefinidas. Una integral definida es un n úmero, en tanto una integral indefinida es una función o una familia de funciones”.Al graficar cada una de estas funciones se obtiene una familia de curvas para el ejemplo, una familiade parábolas como se indica a continuación.

⨜

6x dx La anti‐derivada De 6x Respecto a X Es igual a 3 C

⨜ dx

La anti‐derivada De4 3 Respecto a X Es igual a


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Gráfico 1. Gráfica de la anti‐derivada, para varios valores de .

T e o r e m a s d e l a i n t e g r a l i n d e f in i d a

1. 2. 3. 4.

Si están definidas en el mismo intervalo5. Si , , … . , están definidas en el mismo intervalo, entonces. ⋯ .

⋯ Donde naaa ,,, 21 son constantes diferentes de cero.

6.

Si n es un número racional, entonces. 1 1Demostración

1 1

1


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Tabla2. Fórmulas de nti‐derivación

Función

nti‐derivada

particular

Función

nti‐derivada

particular

cot

tan 1 1 sec sec 1 || csc cot csc

11 cos

cos 1

√1

Ejemplo

Calcule la integral indefinida.

3 3 5

3 5 3 5 3 5 3 3 52

52 52

5 7 5

7

5

7 5

7 5 ∗ 35

7 ∗ 3 3 21 3 21


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√

√ 1 1

5 2

1 2 25

2

25

2

2 cot 3 2 cot 3

2 csc ∗ 3

2 csc 3cos 2csc 3 cos

plicaciones de la Integral Indefinida movimiento

Problemas de valor inicial

Los problemas con condiciones iniciales implican la solución de ecuaciones diferenciales.Se llama ecuación diferencial a la igualdad que contiene una función y sus derivadas o sólo susderivadas.Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son los siguientes.

1 5 2

3 6 3El orden de una E.D . Ecuación Diferencial está dado por la derivada de mayor orden que apareceen la ecuación diferencial.

Así, las ecuaciones diferenciales 1 y 2 son de primer orden mientras que la 3 es de segundo orden.Resolver una ecuación diferencial implica encontrar una función definida por , tal que ysus derivadas satisfagan la ecuación.Para resolver ecuaciones diferenciales de las formas o bien se utiliza el métodode separación de variables.


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Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial ´ .Escribiendo la E. D. con diferenciales, se tiene:

Separando variables:

Integrando ambos miembros:

Por lo tanto, la solución es:

La solución , se llama Solución General S. G. de la ecuación diferencial ya que en ella

aparece la constante arbitraria . Si se aplican las condiciones iniciales para hallar el valor de , lasolución que se obtiene se llama Solución Particular S.P . de la ecuación diferencial.Resolver el problema ´ 5 bajo la condición inicial 1 2

Escribiendo la E. D. con diferenciales, se tiene: 5Separando variables:

5 Integrando ambos miembros: 5

52 Por tanto, la solución general de la E.D. es, 52

Para determinar la solución particular aplicamos la condición inicial 1 2. Se tiene entonces:

52

2 52 1

12


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Luego, la solución particular de la E. D. es:

52 12

La gráfica de la función se muestra en la figura adjunta. Una derivada de es , la cual escontinua en todo número y tiene los valores dados. Dibuje una gráfica posible de . 0 3

´2 0 ´ 0 → 2 ´0 1 ´ 0 → 2

Gráfico 2. Función dada por el problema. Gráfico 3. Función obtenida luego de aplicar la anti‐derivada

De la función dada podemos obtener la función mediante la ecuación de la recta que necesita solodos puntos.

´ ´ 2 1Reemplazando por 0´ ´ 1

Aplicando la anti‐derivada tenemos: 4

3 0Reemplazando en la función :

3Sustituyendo en la función :

4 3

F´


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Tabla 3. Interpretación del ejercicio

Intervalo Fx F´x Observaciones 0 F creciente 0 3 1 La 10 2 F decreciente 2 0 Punto mínimo relativo2 F creciente

Movimiento Rectilíneo

Un movimiento es rectilíneo cuando describe una trayectoria recta y es uniforme cuando suvelocidad es constante en el tiempo y su aceleración es nula. MRU Movimiento Rectilíneo Uniforme.Sus características son las siguientes:

a. Movimiento que se realiza sobre una línea recta.b. Velocidad constante magnitud y dirección constantes.c.

La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.d. Aceleración nulaLa anti‐derivación es muy útil en el movimiento de un objeto que se encuentra en línea recta. Se deberecordar que si el objeto tiene la función de posición , en tal caso la función de velocidad es ´. Lo que indica que la función de posición es una anti‐derivada de la función velocidad.Lo mismo ocurre con la función de aceleración; ´ donde la función de velocidad es unaanti‐derivada de la aceleraciónRecordando que , , representan la posición, velocidad y aceleración respectivamenteen el momento de un cuerpo que se mueve en el eje coordenado, donde:

´

´

Considere una partícula P que se mueve en línea rectaP

O s Gráfico 3. Posición en el tiempo de una partícula que se mueve en línea recta.

Sea la posición de la partícula en el tiempo . Se tiene entonces:


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Velocidad media: ∆∆

∆

∆ ∆

Velocidad instantánea: lim∆→ ∆∆ lim∆→ ∆ ∆

Aceleración promedio: ∆∆

∆

∆ ∆

Aceleración instantánea:

lim∆→ ∆∆ lim∆→ ∆ ∆ Ejemplo

Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128pies/s. Considere que la única fuerza que actúa sobre la piedra es la aceleración debido a lagravedad. Determine:a La altura máxima que alcanza la piedra.b El tiempo que le toma a la piedra llegar hasta el suelo.

c

La rapidez de la piedra al llegar al suelo.v = 0

s = hmax

v = ?s = 0

t = ?

t = ?

v = 128ft/ss = 0

t = 0

Gráfico 5. Gráfico del ejemplo.

De acuerdo con la figura 3, las condiciones iniciales instante en el que se lanza la piedra son:


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0 128 0 0 Tomando en cuenta que la aceleración de la gravedad es 32,2 , se tiene:

32,2 Separando variables: 32,2

Integrando ambos miembros: 32,2

32,2

Aplicando la condición inicial 0 128 :128 32,20 ∴ 128

Por tanto, la función velocidad es: 32,2 128

Ahora bien, como , se tiene:32,2 128

Separando variables: 32,2 128Integrando ambos miembros:

32,2 128

32,22 128

Aplicando la condición inicial 0 0:0 32,22 0 1280 ∴ 0De modo que, la función de posición es:

32,22 128


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Una vez obtenidas las funciones y , se procede a graficar las funciones velocidad y espacio ydeterminar cada uno de los literales del problema.

Gráfico 6.

Gráfico de velocidad – tiempo

Gráfico 7. Gráfico de espacio – tiempoa La piedra alcanza la altura máxima cuando 0, se tiene entonces:

v(t)=128-32.2t

s(t)=128*t-16.1*t^2


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32,2 128 0 ∴ 4De manera que:

4 32,22 4 1284 256 b Cuando la piedra llega al suelo 0, por tanto:

32,22 128 0 ∴ 0, 8Entonces, a la piedra le toma 8 segundos llegar hasta el suelo.c La piedra llega al suelo con una velocidad de:

8 32,28 128 128 La rapidez es la magnitud de la velocidad, así:

|| 128

Se suelta una piedra desde el piso de observación superior de la torre CN a 450m sobre el niveldel suelo. Determinar.

a. La distancia de la piedra con respecto al nivel del suelo en el tiempo t.b. El tiempo que demora la piedra en llegar al suelo.c. Con qué velocidad choca la piedra contra el suelo.

9,81

8,91

9,81 9,81 0 0 ∴ 0 9,81

9,81

9,81

9,812 0 0 ∴ 0Gráfico 8. Gráfico del ejemplo

4,905 a. 4,905 b. 9,58 c. 93,91

4 5 0

m

C

N


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Dado que las gotas de lluvia crecen a medida que caen, su área de superficie aumenta y por lotanto la resistencia a su caída aumenta. Una gota de lluvia tiene una velocidad inicial dirigidahacia abajo de 10m/s y su aceleración hacia abajo es:

9 0,9 0 100 10

Si la gota se encuentra inicialmente a una altura de 500m sobre el nivel del suelo. ¿Cuántodemora en caer?Datos

500 10 Reemplazando tenemos:

9 0,9

9 0,9 Ordenando tenemos:

9 0,9 Integrando:

9 0,45 Condición 10 0

Reemplazamos: 10 90 0,450 10Ecuación de la velocidad:

9 0,45 10Tenemos que:

9 0,45 10

9 0,45 10

4,5 0,15 10 Condición 500 0Reemplazando: 500 4,5 0 0,150 100

500Ecuación del espacio:

4,5 0,15 10 500


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Nota: Por motivos gráficos la variable t se reemplaza por x. Como se puede observar en las figuras 7 y

8.

Gráfico 9. Gráfico de la velocidad ‐ tiempo

Gráfico 10. Gráfico del espacio ‐ tiempo.


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Integración de formas elementales

Integrales de Funciones Trigonom étricas

1 2 , 13 || 4 5

6

sec ln|sec tan | 7 csc ln|csc cot | 8 cos 9 cos 10 tan ln|sec| 11 cot ln|| 12 tan 13 cot 14 sec ∗ tan sec 15 csc ∗ cot csc 16 17 √

18 √ 19 ln 20 ln


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Á

EJERCICIOS PROPU ESTOS

REVISIÓN CONCEPTOS

LIBRO EDICIÓN SECCIÓN EJERCICIOSStewart James 7 Repaso – Cap4 10Stewart James 7 Página – 351Preguntas V/F 18Purcell 8 Revisión de Conceptos página 214 1‐2‐3‐4

Purcell 8 Revisión de Conceptos página 220 1‐2‐3‐4Purcell 8 Conjunto de problemas página 214 13‐19‐21‐41‐45

BIBLIOGRAFÍA Stewart James. Cálculo de una Variable, sexta edición.

Edwin J.

Purcell

–

Dale

Varberg

–

Steven

E.

Rigdon.

Cálculo,

octava

edición.

Louis Leithold. El Cálculo, séptima edición.

Earl W. Swokowski. Cálculo con Geometría Analítica, segunda edición

LIBRO EDICIÓN SECCIÓN EJERCICIOSStewart James 7 4.9 11,17,21,33,44Stewart James 7 4.9 47,55,63,75

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