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ENGENHARIA DE MECATRÔNICA/TELECOMUNICAÇÕES – 2013-2

CÁLCULO II

A Integral de Riemann

.Esboce a região cuja área está representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula

apropriada de geometria: 4 4 1 2

1 1 0a) 2 b) 2 c) 1dx ( x )dx ( x )dx

I. A Integral Defenida: Propriedades

a) 0 pois 0a a a

f ( x )dx , f ( x )dx F( x ) F( a ) F( a )a a a

b) F(b a a b

f ( x )dx f ( x )dx ( x ) ) F( a ) F(b ) F(b ) F( a ) f ( x )dxa b ab

c) b b

a ak. f ( x )dx k. f ( x )dx d) , a c b

b c b

a a cf ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx

5) Se f for integrável em [a, b] e f(x) 0 então: 0b

af ( x )dx

6) Se f e g forem integráveis em [a, b] e f(x) g(x) então:

, a c b b c b

a a cf ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx

Condições para a integrabilidade:

Teorema: seja f uma função definida em todos os pontos de um intervalo finito fechado [a, b].

a) Se f for contínua em [a, b], então f é integrável em [a, b]

b) Se f tiver um número finito de descontinuidade em [a, b], mas for limitada em [a, b], então f é integrável em

[a, b].

c) Se f não for limitada em [a, b], então f não é integrável em [a, b ].

Somas de Riemann: uso do MAPLE:

Aqui mostramos um exemplo de como utilizar o software Maple para a Soma de Riemann.

Consideremos uma função f : [a,b IR e uma subdivisão do intervalo [a,b] em n partes [xk-1, xk],

k = 1,2,..., n, tais que a = xo < x1 < x2 < ... < xn = b. Sejam kx = xk-1 - xk o comprimento e ck um ponto qualquer

do i-ésimo subintervalo. A soma: 1 2 3

11 2 3( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

n

n k k

knf c x f c x f c x f c x f c x

é chamada soma de

Riemann. Quando f é positiva em [a , b], n →∞ e os comprimentos kx →0, para todo k, então a soma de

Riemann tende à área da região delimitada pelo gráfico de y = f(x), pelas retas x = a, x = b e pelo eixo dos x.

Essa área é numericamente igual a integral de f(x) no intervalo [a, b].

O pacote “student” possui seis funções relacionadas com as somas de Riemann de uma função f (x) em um

intervalo [a,b], para a resolução do exercício:

.leftsum(f(x), x =a..b, n). Forma inercial da soma de Riemann, com n subintervalos de comprimentos iguais, e

que

escolhe cada ck como sendo a extremidade esquerda de cada subintervalo.

leftbox(f(x), x=a..b, n) Constrói um gráfico relacionado com o leftsum.

.middlesum(f(x), x = a..b, n). Forma inercial da soma de Riemann, com n subintervalos de comprimentos

iguais, e que

escolhe cada ci como sendo ponto médio de cada subintervalo.

middlebox(f(x), x=a..b, n) Constrói um gráfico relacionado com o middlesum.

.rightsum(f(x), x =a..b, n). Forma inercial da soma de Riemann, com n subintervalos de comprimentos iguais,

e que

escolhe cada ck como sendo a extremidade direita de cada subintervalo.

rightbox(f(x), x=a..b, n) Constrói um gráfico relacionado com o rightsum.

Objetivo – Seja f : [1,3]® IR definida por f (x) = 1/ x . Construir o gráfico e calcular a soma de Riemann de f

com 10 subintervalos, escolhendo o ponto médio de cada subintervalo. O resultado obtido é próximo de

ln(3) que é o valor exato dessa área.

Resolução da atividade – Para a resolução, é necessário carregar o pacote “with(student)” dando o seguinte

comando:

> with(student):

> middlebox(1/x,x=1..3,10);

A visualização do resultado é mostrado na figura abaixo:

Soma de Riemann para 10 subintervalos

> s:=middlesum(1/x,x=1..3,10);

>Value(s);

>evalf(s); 1,097142094 ≈ ln(3)

I. Propriedades da Integral Definida

5) Se f for integrável em [a, b] e f(x) 0 então: 0b

af ( x )dx

6) Se f e g forem integráveis em [a, b] e f(x) g(x) então: b b

a af ( x )dx g( x )dx

IV. Teorema Fundamental do Cálculo (Parte I): Se f for contínua em [a, b] e se F for uma

antiderivada de f em [a, b], então: - F(a)b

af ( x )dx F(b )

Calcule:

1

0

2

1dx)x22(x e) dx)3x22x( d) 4

0dx xcos c)

2

1dx3x b)

1

0dx x )a

f)

1

0

dx3)12x(x8 . g)

. 4

3

4

dx cossen

xx h) e

1

dxx

xln

A relação entre integrais definida e indefinida: Seja F uma antiderivada do integrando em [a ,b] e

C uma

constante, então:

b b

aaf (x)dx F(x) + C [F(b) C] [F(a) C] F(b) F(a) e

bb

a af (x)dx f (x)dx F(b) F(a)