3 metodo proposto´ · onde né um vetor guassiano de média zero e matriz de covariância q....

3Metodo proposto

3.1Introduc ao

Como visto no capıtulo anterior, existem varios metodos para a

solucao de sistemas hiperbolicos de localizacao. Alem disso, todos atuam

sobre a distancia em que a estacao movel encontra-se das estacoes radio-

base contidas no cenario da localizacao. O metodo exposto neste capıtulo

prove uma nova analise para a solucao. Atraves do fato de que um conjunto

pequeno de estacoes radio-base, distribuıdas arbitrariamente numa rede

movel celular, sejam capazes de prover condicoes para a obtencao de pelo

menos 3 medidas de TDoA, o metodo exposto, a seguir, atua sobre tais

medidas, a fim de otimiza-las para que seja possıvel estimar a localizacao

de uma da estacao movel.

E de relevancia ressaltar que todos os metodos apresentados levam

em consideracao a possibilidade da existencia de linha de visada direta

entre as estacoes radio-base envolvidas na localizacao e uma dada estacao

movel. Desta forma, esta observacao foi tambem assumida no formalismo

matematico do metodo aqui apresentado.

3.2Formalismo matem atico do m etodo

Considere uma rede movel celular com estacoes radio-base distribuıdas

arbitrariamente como o ambiente do sistema. Para que se tenha pelo menos 3

medidas de TDoA, e necessario que a estacao movel a ser localizada, tenha

capacidade de enviar informacoes para 4 estacoes radio-base. Assumindo

como estacao radio-base de referencia a estacao radio base 1 e que esta

encontra-se na origem do sistema de localizacao, e bem possıvel o surgimento

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0116370/CA

Sistemas Hiperbolicos de Localizacao Movel Celular 62

de um cenario onde as posicoes das estacoes radio-base encontram-se

localizadas nos vertices de um polıgono dado por

– estacao radio-base 1 localizado no ponto O = (0 + i0);

– estacao radio-base 2 localizado no ponto P = (a+ i0);

– estacao radio-base 3 localizado no ponto W = (Wr + iWi);

– estacao radio-base 4 localizado no ponto V = (Vr + iVi);

– estacao movel localizado no ponto Z = (x+ iy).

BSs

MS

x

y

R1

R2

R3

R4

Z

O

P

W

V

Figura 3.1: Formacao do cenario de localizacao para uma estacao movel (MS) numa redemovel celular, com estacoes radio-base (BS) distribuıdas arbitrariamente

A distancia entre a estacao radio-base de referencia e a estacao movel

e dada por

R1 = OZ = |Z| = |ρ| =√

(x− 0)2 + (y − 0)2 =√x2 + y2. (3-1)

Para um sistema de localizacao hiperbolico, pode-se afirmar que o

ponto Z pertence a uma hiperbole com focos nos pontos O e P , sendo a

DBD



O P

|Z| |Z−a|

Z

a

Figura 3.2: Exemplo de uma geometria hiperbolica

diferenca da distancia do ponto Z aos pontos O e P igual a distancia entre

os vertices da mesma hiperbole (figura 3.2). Ou seja,

|Z| − |Z − P | = α. (3-2)

Para similar raciocınio envolvendo os pontos O e W , e ainda os pontos,

O e V , tem-se,

|Z| − |Z −W | = β, (3-3)

|Z| − |Z − V | = γ. (3-4)

Percebe-se que as equacoes (3-2), (3-3) e (3-4) sao equivalentes a

equacao (2-10) para i = 2, 3, 4 respectivamente. Ou seja, estas equacoes

equivalem as medidas estimadas de TDoA pelo sistema relacionadas pela

equacao (2-10). Porem, e importante notar, que α, β e γ estao vulneraveis

a serem grandezas tanto positivas quanto negativas dependendo da sua

DBD



orientacao quanto ao referencial.

Assim, e possıvel afirmar que para um modelo classico de ruıdo aditivo

nas medidas de TDoA, ou seja, a observacao dos respectivos Ri,1 para

i = 2, 3, 4 e da forma,

z =

α

β

γ

=

α0

β0

γ0

+

nα

nβ

nγ

= Z0 + n, (3-5)

onde n e um vetor Guassiano de media zero e matriz de covariancia Q.

Porem, considerando-se agora apenas as duas primeiras medidas de

TDoA estimadas pelo sistema (ou seja, apenas as variaveis α e β) e possıvel

reduzir o cenario aos pontos O, P eW e assim denominar que os 3 segmentos

de reta (OP , OW e PW ), entre as estacoes radio-base, caracterizadas

respectivamente por, a, b e c, correspondem as seguintes distancias,

OP = |P | = |a| =√

(a− 0)2 + (0− 0)2 =√a2 = a, (3-6)

OW = |W | = |b| =√

(Wr − 0)2 + (Wi − 0)2 =√W 2

r +W 2i , (3-7)

PW = |c| =√

(Wr − a)2 + (Wi − 0)2 =√

(Wr − a)2 +W 2i . (3-8)

De mesma forma, pode-se reescrever as equacoes (3-2) e (3-3) como,

|Z| − |Z − a| = α =⇒ |Z − a| = |Z| − α, (3-9)

|Z| − |Z −W | = β =⇒ |Z −W | = |Z| − β, (3-10)

Com isto, a partir das equacoes (3-9) e (3-10) e possıvel encontrar as

suas correspondentes expressoes em funcao de x e y, ou seja,

DBD



|Z − a| = ρ− α =⇒ (x− a)2 + y2 = (ρ− α)2, (3-11)

|Z −W | = ρ− β =⇒ (x−Wr)2 + (y −Wi)

2 = (ρ− β)2. (3-12)

Aplicando a equacao (3-1) na equacao (3-11), e possıvel encontrar uma

solucao para x, tal que,

x2 − 2ax+ a2 + ρ2 − x2 = ρ2 − 2αρ+ α2

−2ax+ a2 = −2αρ+ α2

x = (α2 − 2αρ− a2)

(−1

2a

)

x =

(−α

2

2a+αρ

a+a

2

)

x =(αa

)ρ+

(a2 − α2

2a

)

ou ainda,

A =(αa

)B =

(a2 − α2

2a

)∴

x = Aρ+B. (3-13)

Fazendo a subtracao da equacao (3-12) na equacao (3-1) e possıvel

obter a solucao para y, tal que,

DBD



x2 − (x−Wr)2 + y2 − (y −Wi)

2 = ρ2 − (ρ− β)2

2xWr −W 2r + 2yWi−Wi2 = 2ρβ − β2,

ou seja,

2yWi = −2xWr +W 2r +W 2

i + 2ρβ − β2

2yWi = −2xWr + b2 + 2ρβ − β2

2yWi = −2Wr(Aρ+B) + b2 + +2ρβ − β2

2yWi = −2WrAρ−−2WrB + b2 + +2ρβ − β2

2yWi = 2ρ(β −WrA) + b2 − 2WrB − β2

y =2ρ(β −WrA)

2Wi

+b2 − 2WrB − β2

2Wi

.

Assim,

y =

(β −WrA

Wi

)ρ+

(b2 − 2WrB − β2

2Wi

), (3-14)

ou ainda,

C =

(β −WrA

Wi

)D =

(b2 − 2WrB − β2

2Wi

)∴

y = Cρ+D. (3-15)

DBD



Percebe-se que com isto a posicao estimada de localizacao do movel

(x, y) e determinada em funcao das duas medidas de TDoA ou suas

equivalentes diferencas de distancia Ri,1 e de ρ, que por sua vez e funcao do

proprio par (x, y) onde a estacao movel se encontra localizado (veja equacao

(3-1)). Logo, tem-se um problema de duas equacoes e duas incognitas, pois

conhece-se A, B, C e D, e deseja-se descobrir ρ. Porem, duas equacoes

hiperbolicas nao sao suficientes para fornecer uma solucao unica, pois,

dependendo da posicao em que se encontra a estacao movel, as hiperboles

podem se interceptar em mais de um ponto. Mesmo assim, como forma de

restricao, pode ser determinada a regiao num plano αβ em que os pontos

contidos no interior da mesma fornecam solucoes nao ambıguas para a

localizacao de um determinado movel no plano xy. Para tal, ao se fazer,

x2 = (Aρ+B)2 = A2ρ2 +B2 + 2ABρ

y2 = (Cρ+D)2 = C2ρ2 +D2 + 2CDρ,

e aplicando na equacao (3-1), tem-se que,

[A2 + C2 − 1]ρ2 + 2[AB + CD]ρ+ [B2 +D2] = 0 (3-16)

cujas as raızes sao

ρ =−(AB + CD)±

√(AB + CD)2 − (A2 + C2 − 1)(B2 +D2)

(A2 + C2 − 1). (3-17)

Porem, se A2 + C2 = 1 e AB + CD 6= 0, entao pela equacao (3-16)

ρ = − (B2 +D2)

2(AB + CD), (3-18)

ou ainda, definindo

DBD



∆ = (AB + CD)2 − (A2 + C2 − 1)(B2 +D2), (3-19)

q = (AB + CD), (3-20)

r = (A2 + C2 − 1), (3-21)

tem-se

ρ = −q ±√

∆

rpara A2 + C2 6= 1 (3-22)

ρ = −B2 +D2

2qpara A2 + C2 = 1 AB + CD 6= 0(3-23)

Analisando tais equacoes, e possıvel fazer as seguintes observacoes:

– Para que se obtenha uma solucao com raızes reais, se faz necessario a

obtencao de ∆ ≥ 0;

– Porem se r < 0 entao ∆ > 0, tendo ρ valores com sinais opostos o que

implica na existencia de um unico valor viavel;

– Se r = 0 e q < 0, ρ e unico e viavel, porem se r = 0 e q > 0 ρ e unico

e nao viavel (raız negativa);

– Se r > 0 as raızes terao sinais identicos e contrarios a q. Se q > 0

regiao nao viavel (raızes negativas). Se q < 0 regiao ambıgua (raızes

positivas).

Sendo assim, os seguintes conjuntos podem ser definidos:

– Regiao Viavel nao Ambıgua =⇒ Ω1 = (∆ > 0, r ≤ 0);

– Regiao Viavel Ambıgua =⇒ Ω2 = (∆ > 0, r > 0, q < 0);

– Regiao nao Viavel =⇒ Ω3 = (∆ < 0 ou ∆ ≥ 0, r > 0, q > 0).

A regiao inicial de interesse e limitada por

α ∈ [−a, a] =⇒ A ∈ [−1, 1] e β ∈ [−b, b]

DBD



ERB 2

ERB 1

ERB 3

β

−b

b

α

−a

ac−a

a−c

Figura 3.3: Regiao de solucoes viaveis

Porem, analisando o discriminante ∆, e este sendo convenientemente

fatorado, e possıvel afirmar que ∆ > 0 se somente se c > |β − aA|, ou seja,

aA− c < β < aA+ c, o que resulta na regiao de solucoes viaveis observada

pela figura (3.3).

Assim, como a regiao de solucoes viaveis nao ambıguas, ou seja, a

regiao Ω1 e limitada para valores de r ≤ 0, entao, na realidade, r = 0 define

uma elipse tangente a fronteira da regiao de solucoes viaveis como descrita

na figura (3.4).

Na figura (3.4) e possıvel verificar a existencia de uma grade no

plano αβ, onde a mesma representa as incertezas nos valores de α e β.

O mapeamento da regiao de solucoes nao ambıguas, bem como da grade, no

plano xy, e mostrado pela figura (3.5). E possıvel perceber que, dependendo

da localizacao do movel na regiao de solucoes nao ambıguas, valores de

incerteza de mesma variancia no plano αβ podem causar dispersao das

estimativas de localizacao no plano xy. Isto pode ser observado atraves

do aumento nas fatias associadas aos quadrados no interior da elipse da

figura (3.4). Perceba que este aumento se intensifica nas extremidades,

acarretando num aumento da area de incerteza. Alem disso, tal fato pode

ainda demonstrar a dependencia do sistema quanto a sua geometria, o que

afeta diretamente o seu desempenho.

DBD



−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

α

β

ERB 2

ERB 1

ERB 3

Figura 3.4: Regiao de solucoes viaveis nao ambıguas no plano αβ

−1 0 1 2 3 4 5−1

0

1

2

3

4

5

ERB 1 ERB 2

ERB 3

ERB 1 ERB 2

ERB 3

ERB 1 ERB 2

ERB 3

x

y

Figura 3.5: Regiao de solucoes viaveis nao ambıguas no plano xy

DBD



Em resumo, se apenas 3 estacoes radio-base estao envolvidas, e possıvel

afirmar que existe uma regiao de solucao unica nao ambıgua, e que a area

de incerteza da solucao cresce a medida que se afasta do centro desta regiao

no plano xy. Com isto, um sistema de equacoes hiperbolicas formado pelas

equacoes (3-13) e (3-15) oferecem uma solucao nao ambıgua, desde que o

movel esteja contido na regiao Ω1.

Partindo-se deste pre-suposto e voltando-se ao caso da possibilidade

de se obter medidas de TDoA oriundas de um sistema com 4 estacoes radio-

base, torna-se possıvel expressar a diferenca de distancia entre o movel e as

respectivas estacoes radio-base 1 (referencia) e 4, ou seja γ (R4,1) em funcao

de α e β oriundos da solucao acima citada pois,

|Z − V | = ρ− γ. (3-24)

Assim, e possıvel reescrever a expressao (3-5), como

z =

α

β

γ

=

α

β

f(α, β)

+

nα

nβ

nγ

= Z0 + n. (3-25)

Note que se α e β sao os valores exatos dos parametros, entao sao

tambem conhecidos a posicao do movel (x, y) assim como sua distancia

a origem. Por consequencia o valor de γ fica determinado por (3-4) aqui

notado por (3-24).

Desta forma a funcao densidade de probabilidade conjunta de z pode

ser expressa por

pz(Z) = Kexp

−1

2(Z − Z0)

TQ−1(Z − Z0)

, (3-26)

onde,

Q = σ2n[I + 1 1T ], (3-27)

DBD



sendo, I a matriz identidade de ordem M − 1 e 1 = [1, ..., 1]T .

A solucao para a localizacao de uma dada estacao movel no ponto

(x, y) pode ser estimada atraves de um estimador de maxima verossimi-

lhanca, que por iteracoes em Z0, tenta maximizar a funcao de maxima

verossimilhanca dada por

ZMV0 = arg min

Z0

(Z − Z0)TQ−1(Z − Z0). (3-28)

Perceba que o problema em questao apresenta uma restricao dada por

f(α, β). Alem disso, possui uma baixa dimensionalidade e que seu resultado

se generaliza para qualquer numero de estacoes radio-base envolvidas, sem

afetar a dimensao do problema.

Para a situacao de maior dimensionalidade o vetor Z0 se escreve como:

Z0 =

α

β

f1(α, β)

f2(α, β)...

fN(α, β)

, (3-29)

o que nao muda a essencia da funcao objetivo descrita em (3-28), a menos

do fato de que o numero de restricoes seja aumentado.

3.3Resumo do capıtulo

Este capıtulo teve o intuito de prover a apresentacao de um novo

metodo para a solucao de sistemas hiperbolicos de localizacao. De uma

forma diferente dos metodos presentes na literatura, o metodo aqui exposto

otimiza as proprias medidas de diferencas de tempos de chegada, no intuito

de nao sofrer a degradacao da conversao das medidas de tempos em medidas

de distancia. Porem, cabe observar que o metodo torna-se um problema de

otimizacao, o que afetara no esforco computacional do metodo.

DBD


3 metodo proposto´ · onde né um vetor guassiano de média zero e matriz de covariância q....

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