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Testes de hipotesesExercıcios

TESTES DE HIPOTESES:MEDIA E PROPORCAO

Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha/

Universidade Estadual de Londrina

02 de agosto de 2017

Lucas Santana da Cunha INICIACAO A ESTATISTICA


IntroducaoTeste de hipoteses para a MediaTeste de hipoteses para Proporcao

Introducao

Viu-se a construcao de intervalos de confianca e que eles podemser usados para tirar conclusoes a respeito de parametros dapopulacao;

Entretanto, existem situacoes em que e necessario decidir seuma determinada hipotese especıfica e verdadeira ou nao. As-sim, lanca-se mao dos chamados testes de hipoteses;

Portanto, teste de hipoteses e uma suposicao ou afirmacao re-lativa a uma ou mais populacoes, baseada nos parametros po-pulacionais, que pode ser verdadeira ou falsa.




Introducao

A ideia basica e que a partir de uma amostra da populacao seraestabelecida uma regra de decisao, segundo a qual a hipoteseproposta sera rejeitada ou nao.

Esta regra de decisao e chamada de teste. Normalmente existeuma hipotese que e mais importante para o pesquisador quesera denotada por H0 e chamada de hipotese nula.

Qualquer outra hipotese diferente de H0 sera chamada de hipotesealternativa e denotada por H1.




Tipos de Hipoteses

A hipotese nula e expressa sempre pela igualdade. Assim, as possıveishipoteses sao:

a) H0 : θ = θ0 vs H1 : θ 6= θ0 (para testes bilaterais);

b) H0 : θ = θ0 vs H1 : θ > θ0 (para testes unilaterais a direita);

c) H0 : θ = θ0 vs H1 : θ < θ0 (para testes unilaterais a es-querda).




Exemplos

Alguns exemplos de hipoteses estatısticas sao:

a) a proporcao de animais com a doenca A e de 40%;

b) A altura media da populacao brasileira e de 1,65 m;

c) O tempo medio para a realizacao de um teste e de 80 min;

d) A racao A e melhor que a racao B na engorda de suınos;

e) A media da producao de leite e a mesma para tres racasdiferentes de bovinos leiteiro;

.




Tipos de erros

Ao testarmos uma hipotese chegamos a uma decisao (de rejeitarou nao H0) que pode ser correta ou incorreta. Ao concluirmos afavor, ou contra H0, estamos sujeitos a dois tipos de erros.

Situacao Real

H0 verdadeira H0 falsa

Nossa decisaoRejeitar H0 Erro tipo I Decisao correta

nao rejeitar H0 Decisao correta Erro tipo II

α = P(Erro do tipo I) = P(rejeitar H0 dado H0 verdadeira);

β = P(Erro do tipo II) = P(nao rejeitar H0 dado H0 falsa).




Construcao de um teste de hipoteses

1) Formulacao da hipotese nula H0 (a ser testada) e da hipotesealternativa H1;

2) Use a teoria estatıstica e as informacoes disponıveis paradecidir qual estatıstica (estimador) sera usada para testar ahipotese H0;

3) Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use estevalor para construir a regiao crıtica (regra de decisao);

4) Use as observacoes da amostra para calcular o valor daestatıstica do teste;

5) Se o valor da estatıstica calculado com os dados da amostranao pertencer a regiao crıtica, nao rejeite H0, caso contrario,rejeite H0.




Variancia conhecida

Se temos um teste para a media em que a variancia e conhe-cida, entao, a estatıstica do teste e dada por:

Z =X − µ0σ√n

∼ N(0, 1)




Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, entao




Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0, entao




Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0, entao




Exemplo 1

Foi retirada uma amostra de 10 bezerros da raca Nelore, aos 210dias de idade, com o objetivo de verificar se o peso medio desseanimais atingiu ou nao 186. Os valores obtidos, em kg, foram osseguintes:

178 199 182 186 188 191 189 185 174 158

Sabendo-se que o peso dos bezerros tem distribuicao normal, comvariancia de 110kg2, teste as hipoteses

H0 : µ = 186 vs H1 : µ < 186

a um nıvel de significancia de 5%.




Variancia desconhecida

Se temos um teste para a media em que a variancia e desco-nhecida, entao, a estatıstica do teste e dada por:

T =X − µ0

s√n

∼ t(α,n−1)




Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0, entao




Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0, entao




Se H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0, entao




Exemplo 1

Dez animais foram alimentados com uma certa racao durante quinzedias e verificou-se os seguintes ganhos de peso (em kg):

2,71 2,93 3,10 3,12 3,23 3,76 3,89 4,01 4,16 4,23

Concluir, ao nıvel de 5% de significancia, se o ganho de peso medioe igual a 3,10 kg.




Proporcao

Se temos um teste para a proporcao, π, entao, a estatıstica doteste e dada por:

Z =P − π√π(1−π)

n

∼ N(0, 1).




Se H0 : π = π0 vs H1 : π 6= π0, entao




Se H0 : π = π0 vs H1 : π < π0, entao




Se H0 : π = π0 vs H1 : π > π0, entao




Exemplo

Um criador tem constatado uma proporcao de 10% do rebanho comverminose. O zootecnista alterou a dieta dos animais e acreditaque a doenca diminuiu de intensidade. Um exame de 100 cabecasdo rebanho, escolhidas ao acaso, indicou 8 delas com verminose.Ao nıvel de 5% de significancia, ha indıcios de que a proporcaodiminuiu?



Exercıcio 1


178 199 182 186 188 191 189 185 174 158

Sabendo-se que o peso dos bezerros tem distribuicao normal, comvariancia de 110kg2, teste as hipoteses

H0 : µ = 186 vs H1 : µ 6= 186




Exercıcio 2


178 199 182 186 188 191 189 185 174 158

Sabendo-se que o peso dos bezerros tem distribuicao normal, testeas hipoteses

H0 : µ = 186 vs H1 : µ 6= 186




Exercıcio 3

Um avicultor afirma que, mais de 90% dos frangos por ele fornecidopara o abate estao com peso acima do valor padrao exigido. Numlote de 8.000 frangos abatidos encontrou-se 7248 abaixo do valorpadrao. A afirmacao do avicultor e verdadeira, ao nıvel de 95% deconfianca?


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