3° em 4° bimestre

55

Matemática – 3a série – Volume 2

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 A APRESENTAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS: GRÁFICOS E TABELAS

!?

Leitura e análise de texto

Os dados de natureza qualitativa nos informam sobre as características dos objetos de estudo, como cor dos cabelos, time de futebol preferido, bairro de residência etc. Os dados quantitativos referem-se à possibilidade de se efetuarem medidas ou contagens acerca da manifestação dos fenômenos. São dados de natureza quantitativa, por exemplo, altura, salário mensal, número de irmãos etc.

Nas pesquisas realizadas em Geografia, é comum trabalharmos com dados, qualitati-vos ou quantitativos, provenientes de fontes secundárias, isto é, das estatísticas e dos do-cumentos cartográficos. Depois de coletados, os dados são organizados em mapas, tabelas e/ou gráficos.

Os mapas são objeto de estudo da Cartografia, já os gráficos, não. Estes estão mais ligados à Matemática e, em particular, à Estatística. Isso porque grande parte dos gráficos tem origem nas propostas de Nicole Oresme (1323-1382) e René Descartes (1596-1650) para a descrição da posição de pontos no plano, base da Geometria Analítica. A partir daí, foi possível a elaboração de gráficos de relações e de funções na Matemática, explorados depois, também na Estatística.

Diante de um mapa ou de um gráfico, podemos nos interessar por um aspecto particular ou por um conhecimento global do assunto que está sendo representado. Assim, iniciamos a leitura identificando do que trata o mapa, a tabela ou o gráfico. Para isso, ficamos atentos ao título, que deve dizer “o quê”, “onde” e “quando” a respeito do tema, completando-se depois com outras informações que acompanham a tabela, o gráfico ou o mapa, principalmente a respectiva legenda que explica os significados das grandezas utilizadas.

Em seguida, já sabendo do que se trata, analisamos a representação gráfica, que será mais eficaz quanto mais nos revelar o conteúdo da informação que ela encerra. Uma tabela, um gráfico ou um mapa, portanto, será eficaz quando possibilitar ao usuário uma resposta visual e rápida às questões por ele colocadas.

Diante de gráficos, podemos pensar principalmente em dois tipos de questão:

• sobredeterminadodetalhe(quantochoveunomêsdeabrilnacidadeX?);

• sobreoconjunto(qualéoregimeanualdaschuvasnacidadeX?).

Teremos essas questões em mente nas próximas atividades.

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VOCÊ APRENDEU?

O climograma ou gráfico termopluviométrico

Muitas vezes, para uma análise comparativa de variáveis, combina-se, em um mesmo grá-fico, a frequência acumulada porcentual (gráfico de linhas) com a frequência relativa (gráfico de barras).

Uma aplicação muito comum dessa combinação é o climograma ou gráfico termopluviomé-trico. A temperatura, por ser contínua, é representada por uma linha. Para a precipitação, como é acumulativa, utilizam-se as colunas.

Um gráfico assim construído pode mostrar contrastes entre períodos secos e úmidos e, ainda, permitir a comparação entre vários regimes climáticos em vista de uma classificação estudada em Geografia.

A tabela seguinte apresenta dados baseados nas características do clima da cidade de Catalão, em Goiás. Nessa tabela, temos o índice de chuvas, em milímetros, e a temperatura média mês a mês, em grau Celsius.

Mês Índice de chuvas (mm) Temperatura média (°C)

Janeiro 299 23

Fevereiro 259 23

Março 223 23

Abril 96 22,5

Maio 28 21

Junho 7 19,5

Julho 12 20

Agosto 7 21,5

Setembro 58 23

Outubro 155 23,5

Novembro 210 23

Dezembro 378 22,5

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A observação dos dados dessa tabela permite tirar uma série de conclusões, principalmente aquelas que dizem respeito a uma análise detalhista, como, por exemplo, afirmar que a temperatura média de dezembro é 22,5 °C.

No entanto, apesar de ser possível obter diversas conclusões com base nos dados registrados em tabelas, um gráfico, relacionando todas as informações, permite visualizar mais facilmente variações entre os elementos dos conjuntos. O gráfico seguinte, gerado a partir dos dados da tabela anterior, é o climograma da cidade pesquisada.

25

20

15

10

5

0

°C

299

J A J OF M A NM J

Climograma de Catalão

S D

259223

96

287

índice de chuvas (mm)

1258

155

210

378

7

400

350

300

200

250

100

150

50

0

23 23 23 2323 23,522,5

22,521,5

19,521 20

temperatura média (°C)

(mm

)

1. A respeito desse gráfico, responda:

a) Comoépossívelrelacionarasestaçõesdoanoaoíndicedechuvasapresentadonográfico?

b) Quaisforamastemperaturasmédiamáximaemédiamínimanoano?Emquaismeseselasocorreram?

c) A amplitude de um conjunto de dados é definida como a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto. Qual foi a amplitude do conjunto das temperaturas médias mensaisdacidadedeCatalão?

58


d) QualfoiatemperaturamédiaanualdacidadedeCatalão?

e) Relacionando as duas variáveis apresentadas no gráfico, responda: é verdade que chove mais nosmesesmaisfrios?Justifique.

2. Observe o climograma seguinte, construído com base em dados fictícios de outra cidade. Neste gráfico, como no anterior, o índice de chuvas é dado em milímetros e a temperatura, em grau Celsius.

117 119114 117

139

12,514

20

24

27

20,5

28,5

22

17

28,5

13,5

147

122

89 96

122

106

180

100

140

60

160

80

120

40

20

0J A J OF M A NM J S D

40

35

30

25

20

15

10

5

0

índice de chuvas (mm) temperatura média (°C)

°C(mm

)

167

26,5

A respeito dos dados representados nesse gráfico, responda:

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a) Acidadeemquestãolocaliza-senoHemisférioNorteounoHemisférioSul?Porquê?

b) Nosmesesdeinvernochove,emmédia,maisoumenosdoquenosmesesdeverão?

c) Qualfoiatemperaturamédiaanualdessacidade?

d) A amplitude da variação dos valores médios mensais dos índices pluviométricos (valor máximo–valormínimo)foimaiorparaessacidadeouparaacidadedeCatalão?

e) Comoascaracterísticasclimáticasdessacidadediferenciam-sedasdeCatalão?

f ) O clima de Catalão é classificado como tropical semiúmido, cujas principais características são:

• temperaturaselevadasnoverãoeamenasnoinverno(médiade20°C);

• existênciadeduasestações:aúmidaeamenosúmida;

• temperaturasmédiasmensaisaltasaolongodetodooano;

• reduzida amplitude térmica anual.

60


Caracterize o clima da cidade representada no gráfico anterior, comentando sobre as mesmas variáveis que definiram o clima tropical semiúmido para Catalão.

A distribuição da riqueza no Brasil

3. Observe o gráfico que representa a distribuição de renda em nosso país.

Porcentual da população – crescimento da riqueza

46,9%

15,7%

7,3%5,7%4,5%3,4%2,5%

10% 50%30% 70%20% 60%40% 80% 90%

1% 3%

10%

Fonte: IBGE e Atlas da Exclusão Social.

Pelo gráfico, podemos concluir que a distribuição da riqueza em nosso país mostra, por exem-plo, que os 10% mais pobres da população brasileira detêm apenas 1% da renda nacional, e que os 20% mais pobres ficam com 3,5% (1% + 2,5%). Já os 10% mais ricos (acima de 90%) detêm 46,9% da renda nacional. Supondo a população brasileira igual a 200 milhões de habi-tantes, e o Produto Interno Bruto (PIBa) brasileiro igual a 2,4 trilhões de reais, responda, com base no gráfico:

a O Produto Interno Bruto anual é a soma de todas as riquezas produzidas no país.

61


a) Qual é o porcentual da renda nacional destinado aos 40% mais pobres da população brasileira?

b) Qual é o PIB per capita do Brasil, isto é, em média, quanto da riqueza produzida anual-mentecabeacadabrasileiro?

c) Qualé,emreais,apartedariquezanacionaldestinadaaos20%maispobresdapopulação?

d) Qual é, em reais, a parte da riqueza nacional destinada a cada um dos brasileiros situados entreos20%maispobresdapopulação?

e) Complete a tabela seguinte com o total da população brasileira por faixa de concentração de riqueza e com a renda per capita em cada faixa.

Renda per capita por faixa de riqueza

Porcentual mais pobre da população

Porcentual da riqueza

Valor absoluto da riqueza (R$) População Renda per

capita (R$)

Até 10%

Maior que 10% até 20%




f ) Calcule a renda per capita dos 10% mais ricos da população brasileira e responda: Quantas vezes a renda per capita dos 10% mais ricos é maior do que a renda per capita nacional?

62


g) Qual é a relação entre a renda per capita dos 10% mais ricos e a renda per capita dos 10% maispobres?

LIÇÃO DE CASA

A temperatura interna da casa

Uma das maneiras de avaliar o conforto e a viabilidade de um projeto de arquitetura residencial consiste em comparar a diferença entre a temperatura externa e a temperatura interna do imóvel. Adotando limites superior e inferior para as temperaturas, que correspondam, respectivamente, às condições de conforto máximo e mínimo, os arquitetos geram um gráfico em que registram as temperaturas de hora em hora, durante certo intervalo de tempo e, a partir dele e de outros fatores, julgam o nível de conforto do imóvel.

Um desses gráficos, representado a seguir, foi construído com base em dois dias, sendo um deles um dia de inverno e o outro um dia de verão.

horas do dia

tem

pera

tura

horas do dia

temperatura interiortemperatura interior

temperatura exterior

temperatura exterior

mínimoconforto

máximoconforto

4. Analisando os gráficos, responda:

a) Qual dos dois gráficos, o da direita ou o da esquerda, corresponde ao período medido du-ranteoverão?Porquê?

63


b) O projeto em questão é, com base no conforto interno, mais adequado para o período de verãoouparaoperíododeinverno?

64


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 MÉDIAARITMÉTICAEDISPERSÃO:QUALÉARELAÇÃO?

!?

Atividade em grupo – Jogo do desvio médio

Neste jogo, você sorteará amostras, utilizará seus conhecimentos de cálculo proporcional, cal-culará médias aritméticas e, por fim, aprenderá um importante conceito de Estatística: o conceito de dispersão. Leia as instruções a seguir e siga as orientações de seu professor.

Como é o jogo?

Cada grupo receberá um saquinho contendo determinado número de peças coloridas (esse nú-mero será comunicado ao grupo pelo professor). O trabalho do grupo será descobrir o número de peças de cada cor, sem contá-las uma a uma, apenas efetuando amostragens.

Uma amostra é uma parte significativa da população. No caso do saquinho com as peças coloridas, uma amostra pode ser composta de certo número de peças, retiradas ao acaso.

Cada grupo deverá:

• sortearamostrasváriasvezes,registrandoonúmerodepeçasdecadacoracadaretirada;

• colocar de volta no saquinho as peças de uma amostra, misturando-as bem às demais, antes derealizarapróximaamostra;

• organizarosresultadosconformeforemsendoobtidos,registrando-osemumatabela;

• discutireresolvercomofarãoaprevisãosobreonúmerototaldepeçasdecadacornosaquinho;

• desenhar um gráfico de barras para apresentar os resultados finais, isto é, a previsão sobre as quantidades de peças de cada cor no saquinho, semelhante, por exemplo, ao gráfico seguinte:

Depois que todos os grupos desenharem os gráficos, deverão avaliar qual grupo conseguiu a melhor previsão, isto é, aquela que mais se aproximou dos valores reais das peças coloridas contidas no saquinho. Seu professor orientará os grupos sobre as próximas etapas.

65


VOCÊ APRENDEU?

1. Observe o alvo desenhado a seguir, sobre o qual duas pessoas, A e B, atiraram 20 dardos cada uma. Os resultados obtidos por esses atiradores foram registrados na tabela.

10

20

30

50

AtiradorResultados

50 30 20 10 0

A 4 6 5 4 1

B 6 3 5 3 3

a) Qualéamédiadepontosportirodecadaumdosatiradores?

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b) Compare os desvios médios (DM) de cada uma das séries de tiros e decida qual é o atirador com o desempenho mais regular.

2. O gráfico a seguir foi construído pelo síndico de um condomínio para analisar o consumo de energia dos proprietários.

Consumo por residência (kWh)

20

68

no de casas

consumo (kWh)

80

60

40

20

70

200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800

50

30

100

31

1712 9

3 2

a) Qualéonúmerototalderesidênciaspesquisadas?

b) Quantasresidênciasconsomem1400kWhoumenos?

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c) Considere que, em cada faixa, o consumo de todas as residências seja igual ao ponto médio entre os extremos do intervalo. Assim, por exemplo, todas as 20 residências da primeira faixa consomem 300 kWh, que é o valor médio entre 200 e 400 kWh. Nessas condições, complete a tabela e, em seguida, determine, com base nos valores tabelados, o consumo médio e o desvio médio do consumo de eletricidade das famílias do condomínio.

Faixa de consumo

(kWh)

[200, 400[

[400,600[

[600, 800[

[800,1 000[

[1 000, 1 200[

[1 200,1 400[

[1 400,1 600[

[1 600, 1 800[

Frequência(no de casas)

Obs.: representação de intervalo real [a, b[.

intervalo fechado à esquerda

intervalo aberto à direita

3. Em duas empresas, A e B, a distribuição dos salários pagos aos funcionários é representada na tabela seguinte:

Salários (R$)Número de funcionários

Empresa A Empresa B

1 000,00 6 4

2 000,00 8 9

3 000,00 12 14

4 000,00 16 11

5 000,00 6 8

6 000,00 2 4

Total 50 50

68


Em qual das duas empresas é maior:

a) ovalormédiodossalários?Quantoamais?

b) odesviomédiodossaláriospagos?Quantosporcentoamais?

69


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 A CURVA NORMAL E O DESVIO PADRÃO: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

!?


Introdução à leitura e interpretação da curva normal

Considerando, ao acaso, 900 pessoas de uma cidade qualquer para, em seguida, medir a pressão arterial de cada uma delas e desenhar um gráfico com os resultados, obteria-se, sem dúvida, algo igual ou muito parecido com o seguinte gráfico.

50 1300

80

40

120

20

100

60

140

160

Freq

uênc

ia

90 17070 150110 190 210Pressão sistólica (em mmHg)

A certeza que temos, nesse caso, deve-se ao fato de que a variável “pressão arterial” é, como tantas outras, uma variável normal 1.

A pressão arterial de praticamente 100% das pessoas varia em uma faixa que vai de 50 a 210 milímetros de mercúrio (mmHg) ou, como é mais comum, de 5 a 21 cmHg. Mas, como ocorre com todas as variáveis normais, há poucas pessoas com pressão san-guínea próxima dos extremos e muitas com valores próximos do valor central, no caso, igual a 13 cmHg.

Observe, por meio dos pontilhados assinalados no gráfico, que, entre as 900 pessoas, cerca de 80 têm pressão igual a 160 mmHg, enquanto 140 pessoas têm pressão igual a 130 mmHg.

Com base nos dados representados nesse gráfico, faça o que se pede a seguir.1 À ação de bombear sangue dá-se o nome de sístole. A cada batimento cardíaco, o sangue corre pelas artérias e arterío-las à máxima pressão – pressão sistólica. Segue-se depois uma pausa muito breve, denominada diástole, que ocorre entre os batimentos cardíacos, quando a pressão é mínima. Esse período recebe o nome de pressão diastólica. Pressão arterial sistólica(PAS)éomaiorvalorverificadoduranteaaferiçãodepressãoarterial.Exemplo:120 x 80;emque 120 refere-se à pressão arterial sistólica e 80 refere-se à pressão arterial diastólica, ambas medidas em milímetros de mer- cúrio (mmHg). (Fonte: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/saude/pressao-arterial.htm>. Acesso em: 3 jan. 2014.)

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VOCÊ APRENDEU?

1. Complete a tabela com os valores aproximados do número de pessoas da população repre-sentada no gráfico com cada valor de pressão.

Pressão (mmHg)

Frequência (no de pessoas)

Pressão (mmHg)

Frequência (no de pessoas)

50 140

60 150

70 160

80 170

90 180

100 190

110 200

120 210

130 220

2. Com a ajuda de uma calculadora e com base nos dados apresentados na tabela da atividade anterior, determine, para a variável pressão sanguínea dessa população, o valor da:

a) moda,istoé,ovalormaisfrequentedadistribuiçãodedados;

b) mediana,istoé,ovalorcentraldadistribuiçãoordenadadosdados;

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c) média aritmética.

3. Localize, no gráfico apresentado anteriormente na seção Leitura e análise de texto, os valores obtidos para moda, mediana e média aritmética, e responda: Há muita ou pouca diferença entreessesvalores?

4. Aproximadamente, qual porcentagem da população analisada tem pressão sanguínea maior ouigualàmedianade130mmHg?

5. Se uma pessoa dessa população for sorteada, qual é a probabilidade, de acordo com os da-dos da tabela apresentada na atividade 1, de ela possuir pressão sanguínea menor ou igual a100mmHg?


Desvio padrão de uma distribuição de dados

O desvio padrão (DP) é uma medida de dispersão de um conjunto de dados, ou seja, é um número que mostra, de acordo com determinado modo de interpretar, quanto os elementos do conjunto estão próximos ou afastados da média aritmética dos valores desse conjunto. O desvio padrão está relacionado a uma curva bastante importante na análise de dados estatísticos: a curva normal.

72


A curva normal, também conhecida por curva de Gauss, tem um formato que reflete, visualmente, a distribuição de uma variável analisada em uma população. A maior con-centração de valores da variável analisada próximos da média aritmética da população, e também a igualdade teórica entre média aritmética, mediana e moda são as responsáveis pela forma assumida pelo gráfico de frequências, quase igual a um sino, conforme pode-mos perceber na figura a seguir.

Média aritmética, mediana e moda

y

x0

A concentração de valores em torno dos valores médios, no entanto, pode ser maior ou menor, como podemos observar nos gráficos seguintes, desenhados com a mesma escala.

1

2

3

A observação dessas curvas nos mostra que todas possuem valores médios iguais – média aritmética, moda e mediana –, mas possuem dispersões diferentes. A curva 1 é, entre essas, a que possui menor dispersão, enquanto a curva 3 é a que apresenta maior dispersão. Assim, é de se esperar que, se forem calculados os desvios padrão das distribuições que geraram essas curvas, o maior valor de desvio, entre todos, será o obtido para a curva 3, e o menor, para a curva 1. Masqualéarelaçãoentreoformatodacurvanormaleodesviopadrão?Paracompreenderumpouco essa relação, precisamos aprender a calcular o desvio padrão de um conjunto de dados.

Consideremos, por exemplo, os seguintes valores de alguma variável que estejamos analisando, e vamos obter o desvio padrão desse conjunto de dados.

{1, 4, 6, 7, 12}

O primeiro passo no cálculo do desvio padrão é a obtenção da média aritmética do conjunto de valores.

73


Média aritmética = 1 + 4 + 6 + 7 + 125

= 305

= 6

Em seguida, calculamos a diferença entre cada valor do conjunto e a média obtida.

VOCÊ APRENDEU?

6. Para os valores do conjunto seguinte, determine a média aritmética e o desvio padrão.{4, 5, 6, 7, 8}

Diferenças: 1 – 6 = –5 4 – 6 = –2 6 – 6 = 0 7 – 6 = 1 12 – 6 = 6

Elevamos cada diferença ao quadrado, somamos todos os resultados e calculamos a média aritmética entre eles:

Média da soma dos quadrados das diferenças

(–5)2 + (–2)2 + 02 + 12 + 62

5 = 66

5 = 13,2

Por fim, extraímos a raiz quadrada do valor anteriormente obtido e determinamos o desvio padrão (DP) desse conjunto de valores.

DP = ® ____

13,2 ≅ 3,63Podemos resumir os passos realizados na seguinte expressão, em que a média é iden-

tificada por _ x e cada um dos n elementos do conjunto de valores por xi:

O cálculo do desvio padrão de um conjunto de muitos valores é trabalhoso e exige a utilização de uma calculadora científica. A tecla usada para isso é, normalmente, apresen-tada com o símbolo σ (sigma). Dessa forma, não é com o cálculo do desvio padrão que devemos nos preocupar, mas, sim, com sua correta interpretação.

74


7. Comparando a média aritmética e o desvio padrão dos conjuntos {1, 4, 6, 7, 12}, analisado na seção Leitura e análise de texto, e {4, 5, 6, 7, 8}, da atividade anterior, discuta as diferenças e semelhanças entre esses resultados.

8. Considere duas amostras de 100 pessoas cada, em que todas responderam à pergunta: “Qualéseunúmerodehorasdiáriasdesono?”.

Os dados obtidos com as respostas foram organizados e, em seguida, calcularam-se a média e o desvio padrão de cada amostra.

Amostra Média (horas) Desvio padrão (horas)

A 6,5 1,2

B 6,9 0,8

Em qual das duas amostras, A ou B, os valores das horas diárias de sono das pessoas estão maisafastadosdamédia?Porquê?

75


9. As massas dos alunos de uma escola de Ensino Médio distribuem-se normalmente, com mé-dia aritmética igual a 62,5 kg e desvio padrão igual a 1,2 kg. Se no intervalo entre 62,5 kg e 62,5 + 1,2 = 63,7 kg encontramos aproximadamente 34% dos alunos da escola, qual é a por-centagemdealunosque,provavelmente,encontram-seentre62,5kge62,5–1,2=61,3kg?Porquê?

10. Observe a curva normal desenhada para a análise de determinada variável populacional.

3

1

2

0

2,5

0,5

60 10080 12070 11090 130 140

1,5

Vamos desenhar sob a curva um triângulo isósceles que tenha, aproximadamente, área de valor igual à da região compreendida entre a curva e o eixo horizontal.

3

1

2

0

2,5

0,5

60 10080 12070 11090 130 140

1,5

%

%

76


Vamos desenhar também um trapézio que tenha altura igual ao valor estimado do desvio padrão dessa distribuição de valores.

3

1

2

0

2,5

0,5

60 10080 12070 11090 130 140

1,5

Determine, de acordo com os valores representados nos eixos horizontal e vertical:

a) ovaloraproximadododesviopadrãodessadistribuição;

b) amedidadaáreadotriângulo;

c) a medida da área do trapézio.

11. Em relação aos valores das áreas do triângu-lo e do trapézio, determinados na atividade anterior, avalie se seriam iguais ou diferen-tes caso a distribuição, mantendo-se nor-mal, apresentasse um maior valor de desvio padrão, de maneira que o gráfico fosse mais “achatado”, semelhante ao da figura a seguir:

%

3

1

2

0

2,5

0,5

60 10080 12070 11090 130 140

1,5

%

77


Atividade em grupo – Tratando dados e construindo o gráfico de frequências de uma variável normal

Todas as alunas de uma escola de Ensino Médio tiveram sua altura medida pelo professor de Educação Física. Os resultados são apresentados na tabela seguinte.

1,46 1,57 1,60 1,63 1,66 1,691,48 1,57 1,60 1,63 1,66 1,691,48 1,57 1,60 1,63 1,66 1,701,50 1,58 1,60 1,63 1,66 1,701,50 1,58 1,61 1,63 1,66 1,701,51 1,58 1,61 1,63 1,66 1,701,51 1,58 1,61 1,64 1,66 1,701,51 1,58 1,61 1,64 1,66 1,701,51 1,58 1,61 1,64 1,66 1,701,52 1,58 1,61 1,64 1,66 1,711,52 1,58 1,61 1,64 1,66 1,711,52 1,58 1,61 1,64 1,66 1,711,53 1,58 1,61 1,64 1,66 1,711,53 1,58 1,61 1,64 1,66 1,711,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,711,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,53 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,721,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,731,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,731,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,731,54 1,58 1,61 1,64 1,67 1,731,54 1,58 1,62 1,64 1,67 1,731,54 1,59 1,62 1,64 1,67 1,731,54 1,59 1,62 1,64 1,67 1,741,55 1,59 1,62 1,64 1,67 1,741,55 1,59 1,62 1,64 1,67 1,741,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,761,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,761,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,771,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,781,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,781,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,781,55 1,59 1,62 1,65 1,68 1,801,55 1,59 1,62 1,65 1,681,55 1,59 1,62 1,65 1,681,55 1,59 1,62 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,681,56 1,60 1,63 1,65 1,691,56 1,60 1,63 1,65 1,691,56 1,60 1,63 1,65 1,691,56 1,60 1,63 1,65 1,691,57 1,60 1,63 1,66 1,691,57 1,60 1,63 1,66 1,691,57 1,60 1,63 1,66 1,691,57 1,60 1,63 1,66 1,691,57 1,60 1,63 1,66 1,69

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Com base nos dados apresentados na tabela, faça o que se pede.

I. Distribua os dados em intervalos de classes de 4 cm de amplitude cada um, isto é, o primeiro intervalodeveabrangeralturasde1,46ma1,49m;osegundointervalopodeabrangeralturasde1,50ma1,53m;oterceirointervalo,alturasde1,54ma1,57m,eassimpordiante.

II. Construa uma tabela organizada contendo as classes, as frequências, os porcentuais de frequência, a frequência acumulada e o porcentual de frequência acumulada.

III. Construa um histograma e um gráfico de frequências acumuladas.

IV. Calcule a média aritmética, a mediana e a moda.

V. Calcule o desvio padrão.

VI. Avalie a possibilidade de aproximar a distribuição dos dados da distribuição normal. Como fazerisso?Calculandoocoeficiente de assimetria (C.A.) da curva, da seguinte maneira:

C.A. = 3( _ x – mediana) _____________ desvio padrão

Se o valor absoluto desse coeficiente for menor que 1, a assimetria é moderada, e, se for maior que 1, a assimetria é forte.

VII. Elabore um pequeno relatório contendo resultados calculados, gráficos e comentários finais sobre a variável analisada.

VOCÊ APRENDEU?

Probabilidades e curva normal

Para resolver as atividades 12 a 16, consulte a tabela presente no final desta Situação de Aprendizagem.

12. A média das idades da população da cidade 1 é igual à média das idades da população da cidade 2. No entanto, o desvio padrão das idades da população da cidade 1 é o dobro do valor do desvio padrão das idades da população da cidade 2.

a) Qual é a porcentagem de pessoas da cidade 1 que têm idades no intervalo compreendido entreamédiaedoisdesviospadrãoacimadamédia?

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b) Qual é a porcentagem de pessoas da cidade 2 que têm idades no intervalo compreendido entreamédiaedoisdesviospadrãoabaixodamédia?

c) Supondo-se a média de 39 anos, em qual das duas cidades é mais provável sortear uma pes-soacomidadeentre39e42anos?Justifiquesuaresposta.

13. A média da altura das pessoas de uma comunidade é 162,8 cm e o desvio padrão é 9 cm. Supondo uma distribuição normal, calcule a porcentagem de pessoas desse povoado com altura:

a) entre162,8cme171,8cm;

b) menorque162,8cm;

c) maiorque171,8cm;

d) entre 154 cm e 162,8 cm.

80


14. A altura média das pessoas que se candidataram à vaga de vigilante em uma empresa é igual a 1,71 m, com um desvio padrão de 16 cm. Se for estipulado um critério de que serão aceitos somente candidatos com altura superior a 1,65 m, qual será a porcentagem de candidatos nãoaceitos?

15. Uma equipe de biólogos pesquisou durante dois anos uma população de tartarugas mari-nhas. Entre outros dados, eles verificaram que a média da massa das fêmeas é de 4,5 kg, com desvio padrão de 0,5 kg, e que a média da massa dos machos é de 5,0 kg, com desvio padrão de 0,8 kg. Durante um mergulho de observação, um pesquisador deparou-se com uma tartaruga. Qual é a probabilidade de a tartaruga em questão ter massa entre 4,0 e 5,0 kg, supondo tratar-se de:

a) umafêmea;

b) um macho.

16. O controle de qualidade de uma indústria de alimentos seleciona amostras da produção a fim de avaliar se os produtos estão com a massa esperada. Em uma dessas amostras, foi verificado que a média da massa do produto era igual a 998,8 g e o desvio padrão igual a 16 g. A massa oficial, registrada na embalagem do produto, é de 1 kg, e a legislação não permite que uma embalagem vá para o mercado com 3% a menos do que a massa oficial. Supondo que a amostra analisada seja representativa de toda a produção, qual é a chance de uma consumidora pegar umaunidadedotalprodutoemumsupermercadocommassaabaixodolimitelegal?

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0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,01331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2010 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

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83


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 AMOSTRAS ESTATÍSTICAS: TIPOS, CONFIABILIDADE E MARGEM DE SEGURANÇA DOS RESULTADOS

!?


Tipos de amostra

Para se obter um bom retrato das características de uma população, não precisamos estudar cada um de seus elementos. Selecionando uma amostra representativa da popu-lação, os resultados obtidos pela análise dos poucos elementos que compõem a amostra nos permitem especular, com boa margem de segurança, sobre as características de toda a população.

Há mais de um tipo de método de amostragem, e a escolha por um ou outro é deter-minada pelo tipo e pela qualidade da variável que se pretende analisar.

Se o desejado for, por exemplo, avaliar a aceitação do novo perfume de um tipo de deso-dorante, será importante perguntar sobre isso para quem já sentiu esse odor, isto é, perguntar aquemjáusouodesodoranteemquestão;quemnãoousou,evidentemente,nãopoderáopinar sobre isso. Por outro lado, em outro exemplo, a obtenção de dados socioeconômicos, como renda familiar, capacidade de consumo ou preferências partidárias, é realizada sobre amostras nas quais todos os cidadãos têm a mesma chance de participar.

Há uma história bastante conhecida sobre um grave erro de escolha de amostragem de pesquisa, ocorrido na eleição americana de 1948. A eleição daquele ano foi disputda por dois candidatos: um deles republicano, Dewey, e o outro, democrata, Truman. A pesquisa de intenção de voto apontava vitória de Dewey sobre Truman por boa margem de votos, mas o que ocorreu foi exatamente o contrário: Truman venceu com consi-derável vantagem de votos. Qualfoioerrodaamostragem?

O erro grosseiro cometido pelo instituto de pesquisa na eleição americana de 1948 foi ter escolhido a amostra com base no catálogo de telefones da época. De acordo com o processo adotado, um número de telefone de uma residência era sorteado da lista, alguém ligava para aresidênciaeperguntava:“emquemo(a)sr.(a)vaivotar:TrumanouDewey?”.Asrespostasobtidas e classificadas indicaram a vitória de Dewey, que, sem dúvida, seria o presidente americano caso comparecessem às urnas apenas as pessoas que tinham telefone em sua casa, em1948.Equemnãotinhatelefone,quenaquelaépocaeraprivilégiodepoucos?Essespre-feriram Truman, que ganhou as eleições e governou os Estados Unidos por dois mandatos.

Ao receber a notícia de sua vitória, Truman tomou em suas mãos o jornal preparado an-tecipadamente para ir às ruas no final da eleição e, sorrindo ironicamente, se deixou fotogra-far por toda a imprensa. Nesse jornal, era possível ler a manchete: “Dewey derrota Truman”.

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Entre os principais processos de amostragem, destacam-se: amostragem casual simples, amostragem sistemática, amostragem acidental e amostragem estratificada. Nas atividades a seguir, você terá a oportunidade de refletir sobre cada uma delas.

VOCÊ APRENDEU?

1. A propaganda de uma marca de veículos anunciou que 90% dos compradores de tal modelo estavam plenamente satisfeitos com a compra. Qual é o tipo de amostragem que, provavel-mente, foi realizado pela indústria fabricante do veículo para que fosse obtido o índice de satisfaçãoqueeladivulga?

2. Em um programa social da prefeitura de determinada cidade, um show foi promovido em um estádio. Ao entrar no estádio, cada pessoa doava 1 kg de alimento não perecível e recebia um tíquete numerado para concorrer ao sorteio de 5 motos no final do evento. Qual é o tipo deamostragemqueestáimplícitonesseprocesso?

3. Uma indústria de café solúvel realiza um processo estatístico para o controle de qualidade da produção diária de latas. Se são produzidas 12 000 latas por hora, descreva como poderia ser realizada, para esse controle, uma amostragem do tipo:

a) casualsimples;

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b) sistemática.

4. Observe a tabela com os porcentuais de pessoas que residem nos quatro distritos da cidade.

Distritos A B C D

Residentes (%) 25 35 10 30

Uma pesquisa será realizada para conhecer a opinião dos moradores da cidade a respeito das ações da prefeitura local. Pretende-se selecionar, em toda a cidade, 2 000 pessoas para serem en-trevistadas. Supondo uma amostra casual simples, quantas pessoas deverão ser escolhidas para responderàpesquisaemcadadistrito?

5. Um pesquisador entrevistou 200 alunos “calouros” de uma universidade com o objetivo de saber em qual escola haviam concluído o Ensino Médio. Veja os resultados obtidos:

Escola A B C OutrasNúmero de estudantes que entraram na universidade 45 125 20 10

a) Qual é o porcentual de entrevistados que estudaram em cada uma das escolas representadas natabela?

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b) É correto afirmar que a escola B é, entre todas, a que tem o maior número de alunos calou-rosnessauniversidade?Porquê?

c) É correto afirmar que a escola B é, entre todas, a que tem o Ensino Médio mais eficiente noqueserefereàaprovaçãonovestibulardataluniversidade?Porquê?

6. Uma pesquisa será realizada com moradores de um bairro da zona sul da cidade de São Paulo para verificar a intenção de voto na próxima eleição para a prefeitura. Descreva, justificando, como poderá ser realizada essa pesquisa no caso de o método de amostragem adotado ser:

a) casualsimples;

b) acidental;

c) acidentalecasualsimples;

d) estratificada;

e) acidentaleestratificada;

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f ) sistemática.


Intervalos de confiança

Na divulgação dos resultados de uma pesquisa de intenção de voto para deter minada eleição, os institutos de estatística sempre acrescentam uma margem de segurança aos por-centuais que preveem. Assim, é comum ouvir, por exemplo, que determinado candidato tem “42,5% das intenções de voto, com 5% de margem de erro para mais ou para menos”. Isso quer dizer que, nesse caso, é esperado que o candidato em questão obtenha entre (42,5 – 5)% e (42,5 + 5)% dos votos, isto é, entre 37,5% e 47,5%.

O estabelecimento dessa margem de erro de 5% está relacionado ao grau de certeza de-sejado pelo instituto. Pode ser que, em outros casos, essa margem seja reduzida para 2,5%, ou ampliada para 8%. Para a definição dessas margens, é preciso avaliar o intervalo de confiança do resultado.

Embora os comunicados dos institutos não comentem, uma margem de erro de 2%, por exemplo, está associada a um intervalo de confiança de 95%, isto é, há 95% de certeza de que o resultado divulgado acerca das intenções de voto esteja dentro da margem de 2% para mais ou para menos. Como a certeza não é igual a 100%, e nunca será, sempre haverá uma possibilidade de a previsão não corresponder ao resultado da eleição. Isso já aconteceu algumas vezes.

Como são definidos esses intervalos de confiança? Para responder, precisamos re-tomar a interpretação da curva normal, com a relação entre média aritmética e desvio padrão da amostra.

A porcentagem esperada de elementos situados entre a média e um desvio padrão acima da média, em uma situação normal, é sempre igual a aproximadamente 34,13% da popula-ção amostrada.

x x + σ

aproximadamente 34% de toda a área compreendida entre a

curva e o eixo horizontal

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A simetria da curva normal, em torno da média, permite esperar que 34,13% da po-pulação situe-se também entre a média e um desvio padrão abaixo dela. Desse modo, entre um desvio padrão acima e um abaixo da média encontramos aproximadamente 68,26%. Outros porcentuais, correspondentes a faixas da população com limites diferentes de um desvio acima e outro abaixo da média, podem ser obtidos mediante consulta à tabela utilizada anteriormente (Situação de Aprendizagem 7). No caso, por exemplo, da faixa compreendida entre 1,45 desvio padrão acima e abaixo da média, encontraremos, de acordo com a tabela, 2 ⋅ 42,65% da população, ou seja, 85,3%.

x – 1,45 σ x + 1,45 σ

85,3%

x

O fato de que 1,45 desvio padrão corresponde a 85,3% da população, de acordo com a tabela, permite-nos afirmar que temos 85,3% de certeza de sortear um elemento ao acaso da população e ele pertencer à faixa entre 1,45 desvio acima e 1,45 desvio abaixo da média. Dizemos também que 1,45 define um intervalo de confiança de 85,3%.

Considere agora a faixa de área da curva normal compreendida entre 1,72 desvio pa-drão acima e abaixo da média.

xx – 1,72 σ x + 1,72 σ

A leitura da tabela (Situação de Aprendizagem 7) nos mostra que o fator 1,72 corres-ponde a 45,73%, o que nos permite afirmar que na faixa destacada da curva encontram-se 2 ⋅ 45,73% da população, isto é, 91,46%.

Dizemos, nesse caso, que temos 91,46% de certeza de que um elemento sorteado da po-pulação esteja no intervalo que vai de 1,72 desvio abaixo até 1,72 desvio acima da média. Ou, de outra forma, dizemos que o intervalo de confiança de 91,46% é definido pelo fator 1,72.

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VOCÊ APRENDEU?

7. Qualéofatorquedefineumintervalodeconfiançade98%?

8. Em uma população normal de focas em que a média de massa é de 102,5 kg e o desvio pa-drãoé4,6kg,qualéointervalodevaloresemqueencontramos90%dasfocas?

9. Defina os limites do intervalo de confiança de 88% para a altura de uma população de me-ninos, normalmente distribuídos, em que a média é igual a 1,71 m e o desvio padrão é igual a 0,09 m.

90


10. Em uma amostra normal de pessoas em que a média das massas é igual a 68 kg e o desvio padrão éiguala4kg,qualéafaixadevaloresdemassasemqueestão80%daspessoasdessaamostra?

11.Qualéofatorquedefine95%desegurançaemumadistribuiçãonormal?


Pesquisa eleitoral: o tamanho da amostra

Um fato que costuma intrigar alunos e professores diz respeito à quantidade de pesso-as entrevistadas pelos institutos para a realização de uma pesquisa de intenção de voto. É comum ouvirmos, por exemplo, que determinado instituto entrevistou duas mil e poucas pessoas em todo o Brasil durante determinado período de tempo e, com base nas respostas obtidas, vem a público divulgar que o candidato X terá tantos por cento dos votos, com uma margem de segurança de 2% para mais ou para menos. Como é que duas mil e poucas pessoaspodemrepresentartodaapopulaçãodeeleitoresdopaís?Comosedefinemesses2%demargemdeerro?

Simplificadamente, podemos responder a essas dúvidas com base nos seguintes aspectos:

• as pesquisas trabalham, normalmente, com margem de erro de 2%, em um inter-valodeconfiançade95%;

• umintervalodeconfiançade95%édeterminadopelofator1,96;

• o cálculo da quantidade de elementos de uma amostra de pesquisa com margem

de erro fixada em x% pode ser feito pela equação: x = 1,96 _____ 2 ® __

n . para uma margem de segurança de 2% (ou seja, x = 0,02).

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Resolvendo essa equação para x = 2, obtemos para n o valor 2 401, que corresponde, portanto, ao número de pessoas que o instituto deve entrevistar para ter, em um intervalo de confiança de 95%, 98% de certeza de que as previsões se confirmarão.

Caso o intervalo de confiança da previsão seja alterado para, por exemplo, 90%, o valor de n para os mesmos 2% também se alterará, tornando-se 1 681. Dessa maneira, mantendo-se constante a margem de erro de 2%, a confiança na resposta determinará o número de elementos amostrados: quanto maior a confiança, maior também o número de elementos que deverão compor a amostra de pesquisa.

Vale salientar, no entanto, que a precisão da pesquisa não está condicionada unica-mente ao número de pessoas entrevistadas, mas, também, ao tipo de amostra selecionada. Se as 2 401 entrevistas, ou outro número plausível, forem realizadas, por exemplo, na porta de saída do teatro em que se realizou a convenção do partido A, dificilmente os resultados apontarão vitória do candidato do partido B. Para que as pesquisas eleitorais possam, de fato, divulgar suas previsões dentro de uma margem de erro de 2%, os institutos conside-ram a composição da amostra de pesquisa com a maior variedade possível de indicadores, desde o Estado de origem dos pesquisados, passando pelo gênero, pela idade e, principal-mente, pelas condições socioeconômicas dos pesquisados.

VOCÊ APRENDEU?

12. Para uma pesquisa em que se pretende uma margem de erro de 2% e intervalo de confiança de94%,qualéonúmeroaproximadodeelementospesquisados?

13. Complete a tabela com a quantidade aproximada de pessoas a ser entrevistadas em uma pesquisa eleitoral que pretende uma margem de erro de 2%, de acordo com o intervalo de confiança fixado.

Intervalo de confiança 97% 96% 92%

Número de entrevistados

92


PESQUISA INDIVIDUAL

14. Suponha que você seja a pessoa responsável pela elaboração de uma pesquisa eleitoral em que se deseja uma margem de erro de 2%. Como esse tipo de trabalho, de modo geral, é realizado por uma equipe, converse com seus colegas sobre o procedimento que julgar mais adequado para atingir a margem de erro desejada. Considere que a pesquisa tem por objetivo avaliar a intenção de voto dos eleitores para três candidatos à prefeitura de uma grande cidade brasi leira. Para organizar a discussão, é recomendável buscar respostas para as seguintes questões:

• Apesquisaseráfeitaemqualquerpontodacidade,indistintamente?• Acidadeseráounãodivididaemregiões?• Oqueseráimportanteconsiderarnocasodeacidadeserdivididaemregiões?

Emtodaselas,onúmerodepessoaspesquisadasseráomesmo?• Comoseráotipodeamostragem?Quantaspessoasseránecessárioentrevistar?• Comoseráoformuláriodepesquisa?Quaisserãoasperguntas?• De que maneira os resultados da pesquisa serão organizados para produzir um

relatóriofinal?

3° em 4° bimestre

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