3° em 1° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 1

5

VOCÊ APRENDEU?

1. Na Geometria Analítica Plana, representamos os pontos de um plano por coordenadas (x; y) e fazemos cálculos relativos a figuras geométricas por meio de operações algébricas sobre os pares de coordenadas. Partindo dessa ideia, considere os pontos A (2; 3) e B (5; 7), e calcule:

a) A distância entre esses dois pontos.

b) A inclinação do segmento AB.

2. Como você escreveria a equação da reta paralela ao eixo x que cruza o eixo y no ponto (0; 5)?

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

A GEOMETRIA E O MÉTODO DAS COORDENADAS


6

3. Qual é a equação da reta paralela ao eixo y, que cruza o eixo x no ponto (–2; 0)?

4. Compare se o que você fez nas três primeiras atividades corresponde ao apresentado a seguir:

y

0

yB

xA xB x

yA

B

A

dAB

y

0

yB

xA xB x

yA

B

A

1

mAB

y

0

y = h (h > 0)

y = h (h < 0)

x

h

h

y

0

(h < 0)

x = h

(h > 0)

x

x = h

A, B, C não alinhados: mAB

≠ mBC

BC paralelo a DE: mBC

= mDE

dAB

= distância entre A e B mAB

= inclinação de AB

my y

x xAB

B A

B A

–

–

y

0 x

A D

E

B

C


7

Registre as semelhanças e as diferenças entre as soluções que você propôs e as figuras apresentadas.

5. Observe os gráficos a seguir e busque uma equação que represente a reta r, em cada item:

b) r

y

x0

321

54

67

21 3 54

y

0

34

5

x

r

67

2

1

21 3 54

a)

6. De forma geral, para as retas inclinadas em relação aos eixos, lembrando dos gráficos das fun-ções de 1o grau, temos as equações indicadas a seguir:

0

y = mx + h (m > 0)

m

h

1

x

y

0

y = mx + h (m < 0)

m

h

1

x

y

b) a)

b) a)


8

Compare-as com as equações encontradas na atividade 5 e identifique, em cada uma, os valores de m e h.

7. Comparando as inclinações das retas, podemos identificar as que são paralelas e as que são concorrentes e, particularmente, a relação entre as inclinações de retas perpendiculares:

r1: y = m1x + h1

r2: y = m2x + h2

m1 ≠ m2 r1 e r2 concorrentes

x

y

r2: y = m2x + h2

r1: y = m1x + h1

m1 = m2 r1 e r2 paralelas

x

y

Considerando isso, responda às questões seguintes:

a) Qual é a posição relativa entre as retas y = 2x + 5 e y = – 4x + 1?

b) Qual é a posição relativa entre as retas y = 3x + 4 e y = 3x – 2?


9

Localize nesse sistema o ponto (2; 15) e determine a distância desse ponto a cada uma das retas indicadas anteriormente.

No sistema cartesiano a seguir foram representadas retas de equações:

Desafio!

Para calcular a distância de um ponto a uma reta, deixando de lado o caso mais simples, em que a reta é paralela a um dos eixos, podemos explorar a semelhança de triângulos indicada na figura a seguir:

yP

y P

yr

h

xP x

(yr = mxP + h)

r: y = mx + h

yP – yr

dPr

1

m1

2m d

y y mP r

Pr

–=

+

11 2

⇒

dy y

mP r

Pr–

=+1 2

⇒

dy m x h

mP p

Pr

– –=

+1 2

⋅

⇒

⇒

y ts

x

16

14

12

10

8

4

2

0 2 64 8–2–4–6–8

r

r : y = 3

s : x = 4

t : y = 3x + 1


10

8. O hexágono regular ABCDEF tem centro M, como mostra a figura a seguir, e cada lado tem 10 unidades de comprimento. Utilizando os sistemas de coordenadas XOY e X’YM’, determine:

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e M;

b) a inclinação dos segmentos FE, DC, BC, AM, FA, ED, AC e FB;

c) as coordenadas do ponto médio dos segmentos AB, FC, FM, AE, BC, DC e AD.

y

F

D

B

E

A

x

M C

Y

X


11

9. Observe o hexágono regular ABCDEF, apresentado na atividade anterior, agora com o vértice F coincidente com um ponto do eixo das ordenadas, e com o lado AB apoiado sobre o eixo das abscissas.

Determine:

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F;

b) as coordenadas do ponto M, centro do hexágono;

c) a inclinação dos segmentos AD e BE;

d) as coordenadas do ponto médio dos segmentos: AE e BD;

e) as medidas AD, BE e FC, diagonais do hexágono.

Y

F

O B

DE

A X

M C


12

10. No sistema de coordenadas desenhado no papel quadriculado, represente os pontos: A (1; 2), B (3; 8), C (–2; 8) e D (– 4; 2).

x

y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

–1

–1–2–3–4

a) Mostre que os pontos A, B, C e D são os vértices de um paralelogramo.

b) Calcule o comprimento do lado maior do paralelogramo ABCD.


13

c) Calcule o comprimento da diagonal menor de ABCD.

d) Trace, em seu desenho, as diagonais do paralelogramo ABCD. Identifique pela letra M o ponto em que as diagonais se cruzam. Determine as coordenadas do ponto M.

e) Calcule a área do triângulo AMD.


14

LIÇÃO DE CASA

11. Represente os pontos A (0; 0), B (3; 7) e C (– 2; 13) em um sistema de coordenadas, sendo M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BC.

a) Determine as coordenadas de M e N.


15

b) Calcule as inclinações dos segmentos AB e MN, verificando que tais segmentos são paralelos.

c) Calcule as distâncias dAB

e dMN

, verificando que dAB

= 2dMN

.

VOCÊ APRENDEU?

12. Para que três pontos A, B e C estejam alinhados, é necessário e suficiente que as inclinações dos segmentos AB, BC (e, consequentemente, AC) sejam iguais, isto é, que os três pontos constituam uma única rampa ABC.

0 x

y

yB

yC

yA

xA xB xC

A

B

C

mAB 5 mBC 5 mAC

0 x

y

yC

yB

yA

xA xB xC

A

B

C

mAB � mBC


16

Dados os pontos A (1; 3), B (3; 7) e C (4; k):

a) Determine o valor de k para que esses pontos estejam alinhados.

b) Determine o valor de k para que a área do triângulo ABC seja igual a zero.

c) Sendo k = 3, desenhe o triângulo ABC e calcule sua área.


17

13. No sistema de coordenadas a seguir, represente quatro pontos de modo a formar um quadrilá-tero ABCD. Escolha as coordenadas à vontade.

y

x

6

4

–1

–4 –3 –2 –1 1 32 4 5

–2

–3

–4

2

5

3

1

0

Analisando o quadrilátero formado:

a) calcule os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA;

b) mostre que os quatro pontos médios obtidos formam um paralelogramo.


18

14. Com base na figura, calcule a distância do ponto P de coordenadas (2; 15) à reta r nos casos indicados a seguir:

a) r: y = 3 b) r: x = 9 c) y = 3x + 1

Vamos fazer uma figura para orientar a solução:

N

3

M

Q

P

y

A

x

B

d

15

7

3

1

0 2 9

15 – 7 = 8

y2 = 3 2 + 1 = 7

y = 3

x = 9

y = 3x + 1

1

ÎW10


19

VOCÊ APRENDEU?

1. Na equação y = 473,5x + 12,879, se x variar uma unidade, passando, por exemplo, de 2 008 para 2 009, de quanto será o aumento de y? Tente responder a essa questão sem efetuar cálculos.

2. Represente no plano cartesiano as retas r1 a r

9 de equações do tipo y = mx + h, correspondentes

aos valores de h e m registrados na tabela a seguir.

r1

r2

r3

r4

r5

r6

r7

r8

r9

h 0 3 –3 –1 3 – 5 π –0,5 –0,8

m 5 –2 –2 5 –7 6,4 0 – 7 π


A RETA, A INCLINAÇÃO CONSTANTE E A PROPORCIONALIDADE

y

6

7

–1 4 62 3 51

–3

–5

–2

–4

–6

–7

4

2

5

3

1

0

–1–3 –2–4

x


20

3. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A (2; 5) e tem inclinação m = 3.

4. Escreva a equação da reta que passa pelos pontos A (1; 7) e B (4; 16).

5. Considere o quadrado ABCD cujo lado mede 5 unidades e o triângulo equilátero EFG cujo lado mede 10 unidades, representados no sistema cartesiano:

y

BA

D 5

x

C

y

xF

M

G

10

E

O

a) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equações das retas AB, BC, CD, DA, AC e BD.

b) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equações das retas EF, FG, GE e OM, onde M é o ponto médio do lado EF e O é o ponto médio do lado GF.


21

6. Se duas retas inclinadas em relação aos eixos coordenados r1 e r

2 são perpendiculares, então

suas inclinações m1 e m

2 têm sinais opostos e são inversas, isto é, m

1 . m

2 = –1, como é possível

perceber pela análise da figura a seguir:

y

0

x

1

h2

h1

y = m2 x + h

2

y = m1 x + h

1

m1

m2

Os ângulos assinalados nos dois triângulos retângulos são congruentes. Isso nos permite afirmar

que m

1=

1

– m1

2

(note que, como m2 < 0, o segmento que corresponde ao lado do triângulo

tem compri mento igual a – m2). Sendo assim, concluímos que m

1 m

2 = –1.

Considerando esse resultado, determine a equação da reta t que passa pelo ponto A e é perpen-dicular à reta r, nos seguintes casos:

A (0; 0) (0; 4) (0; –3) (0; 7) (1; 2)

r y = 4 – 3x y = 2x – 5 y = 0,2x + 7 y = – 3x + 2 y = 3x + 7


22

7. Como observado anteriormente, a equação y = mx + h representa os pontos de uma reta incli-nada em relação aos eixos coordenados. Uma reta divide o plano em dois semiplanos. Em um deles, o que se situa acima da reta, os pontos são tais que y > mx + h; no outro, abaixo da reta, temos y < mx + h. Se os semiplanos incluem os pontos da reta, temos y ≥ mx + h para os pontos acima da reta ou na reta, e y ≤ mx + h para os pontos abaixo dela ou na reta.

y

x0

y > mx + h

y < mx + h

y = mx + h y

x0

y ≥ mx + h

y ≤ mx + h

y = mx + h

Partindo dessa ideia, associe cada uma das regiões coloridas A, B, C, D, E e F a uma inequação ou a um sistema de inequações do tipo y > mx + h, ou, então, y < mx + h, considerando-se a conti nuidade ou não da região solicitada.

Ay = 3x + 5

x

y

0

C

y = 5 + 2x

x

y

0

D

y = 7 – 0,5x

y = 4 – 0,9xx

y

y = –3 + 2x

B

y = 5 – 0,5x

y

x0

0


23

E

7 x

y

0

F

5 x

y

0

8. Uma pessoa deve fazer uma dieta em que deve ingerir, no mínimo, 75 g de proteínas por dia, servindo-se apenas de certo alimento A.

a) Se cada grama de A fornece 0,15 g de proteína, quantos gramas de A deverão ser ingeridos por dia, no mínimo?

b) Represente algebricamente a relação entre a quantidade x de A em gramas a ser ingerida e a quantidade y de proteínas correspondente.

c) Represente no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares (x; y) para os quais a prescrição da dieta é atendida.

y = – 2xπ

y = π

x

y

0

y = 4 + x

y = 4


24

d) Represente no plano cartesiano a região em que a dieta estaria igualmente satisfeita, porém com alimentos mais ricos em proteínas do que o alimento A.

LIÇÃO DE CASA

9. Um fazendeiro dispõe de 18 alqueires para plantar milho e alfafa. Chamando de x a área a ser plan-tada de milho, e y a área a ser plantada de alfafa, e sabendo-se que o fazendeiro pode optar por deixar uma parte das terras sem plantar nenhuma das culturas, responda às questões a seguir:

a) Represente a relação algébrica que deve existir entre os valores x e y.

x

y

0


25

b) Represente a região A do plano cartesiano que corresponde à relação entre x e y anterior-mente referida.

c) Sabendo-se que devem ser plantados, no mínimo, 5 alqueires de milho, qual a região B do plano que corresponde aos pares (x; y) que satisfazem as condições formuladas?

x

y

0

x

y

0


26

d) Sabendo-se que devem ser plantados, no mínimo, 5 alqueires de milho e, no mínimo, 3 alqueires de alfafa, qual a região C do plano que corresponde aos pares (x; y) que satisfa-zem as condições formuladas?

x

y

0


27

VOCÊ APRENDEU?

1. Em uma fábrica que produz um só tipo de produto, o custo C da produção de x unidades é a soma de um custo fixo C

0 com um custo variável C

1, que é proporcional a x. Se o processo de

produção for tal que cada unidade produzida a mais tenha sempre o mesmo custo, independen-temente do valor de x, então C

1 = kx, onde k representa o custo de cada unidade do produto.

Em uma fábrica como a descrita acima, tem-se: C = 3 000 + 150x (x é o número de artigos; C é o custo da produção em reais).

a) Esboce o gráfico de C em função de x.


PROBLEMAS LINEARES – MÁXIMOS E MÍNIMOS

b) Para qual valor de x o custo fixo se iguala ao custo variável?

c) A partir de qual valor de x o custo fixo passa a representar menos de 10% do custo total da produção?

x

y

0


28

2. Uma fábrica produz dois tipos de produtos: A e B. A quantidade produzida diariamente de A é igual a x, e a quantidade diária de B é igual a y. O processo de produção é tal que cada uni-dade produzida de A custa sempre 5 reais e cada unidade de B custa 8 reais, sendo, portanto, o custo da produção conjunta de A e B igual a C = 5x + 8y (C em reais).

a) Sendo o valor de C, em determinado dia, igual a R$ 2 400,00, determine dois pares de valores possíveis para x e y.

b) Sendo o máximo valor admissível para C igual a R$ 3 200,00, qual é o valor máximo possível para x? E qual é o valor máximo possível para y? (Observação: x ≥ 0, y ≥ 0.)

c) Represente em um sistema de coordenadas no plano os pares (x; y) para os quais se tem C ≤ 3 200.

x

y

0


29

3. Uma pessoa deve fazer uma dieta que forneça pelo menos 6 mg de vitamina B2, alimentando-se

exclusivamente dos alimentos I e II, oferecidos em pacotes de 100 g. Cada pacote do alimento I fornece 1,2 mg de B

2, e cada pacote do alimento II fornece 0,15 mg de B

2. Sendo x o número

de pacotes do alimento I a serem ingeridos, e y o número de pacotes do alimento II:

a) Escreva a relação que deve existir entre x e y para que a dieta seja satisfeita.

b) Represente graficamente os pares (x; y) que satisfazem essa relação. (Lembre-se de que devemos ter, naturalmente, x ≥ 0, y ≥ 0.)

4. Retome o enunciado da atividade anterior. Considere que cada pacote de 100 g do alimento I custa 5 reais e cada pacote de II custa 2 reais.

a) Expresse o custo C da alimentação, se forem utilizados x pacotes de I e y pacotes de II.

x

y

0


30

b) Represente graficamente no plano cartesiano os pares (x; y) que correspondem ao custo C

1 = 40 reais, notando que eles correspondem a uma reta r

1.

c) Represente os pontos que correspondem ao custo de C2 = 60 reais e C

3 = 80 reais, notando

que eles correspondem às retas r2 e r

3, paralelas à reta r

1 do item anterior.

x

y

0

x

y

0


31

d) Mostre que, quanto menor o custo, menor a ordenada do ponto em que a reta que o repre-senta intercepta o eixo y.

e) Para qual dos pares (x; y) tem-se a dieta satisfeita e o custo da alimentação o menor possível?

LIÇÃO DE CASA

5. Um pequeno fazendeiro dispõe de 8 alqueires para plantar milho e cana. Ele deve decidir quanto plantar de milho e quanto de cana, em alqueires, de modo que seu rendimento total seja o maior possível. Cada alqueire de milho plantado deve resultar em um rendimento líquido de R$ 20 mil e cada alqueire de cana deverá render R$ 15 mil. No entanto, cada al-queire de milho requer 20 000 L de água para irrigação e cada alqueire de cana requer somen-te 10 000 L de água, sendo que, no período correspondente, a quantidade de água disponível para tal fim é 120 000 L.

Considere x e y as quantidades de alqueires plantados de milho e cana, respectivamente.

a) Como se pode representar, em termos de x e y, o rendimento total R a ser recebido pelo fazendeiro, supondo que venda a totalidade de sua produção?

b) Qual é a relação entre x e y que traduz a exigência de que o total de alqueires plantados não pode ser maior do que 8? Represente no plano cartesiano os pontos (x; y) que satisfazem essa relação.

x

y

0


32

c) Qual é a relação entre x e y que traduz a exigência de que o total de água a ser utilizado não pode superar os 120 000 L? Represente no plano cartesiano os pontos (x; y) que satisfazem essa relação.

e) Determine o conjunto dos pontos (x; y) do plano que correspondem ao rendimento R

1 = 75 mil e os que correspondem ao rendimento R

2 = 120 mil.

x

y

0

x

y

0

x

y

0

d) Represente no plano cartesiano o conjunto dos pontos que satisfazem simultaneamente as duas exigências expressas nos itens b e c (lembrando que devemos ter x ≥ 0, y ≥ 0).


33

f ) Mostre que, quanto maior o rendimento R, maior a ordenada do ponto em que a reta que o representa intercepta o eixo OY.

g) Determine o ponto da região do item d que corresponde ao rendimento total máximo.

Desafio!

Uma fábrica utiliza dois tipos de máquinas, M1 e M

2, para produzir dois tipos de

produtos, P1 e P

2. Cada unidade de P

1 exige 2 horas de trabalho de M

1 e 2 horas de M

2; cada

unidade de P2 exige 1 hora de M

1 e 4 horas de M

2. Sabe-se que as máquinas M

1 e M

2 po-

dem traba lhar, no máximo, 10 horas por dia e 16 horas por dia, respectivamente, e que o lucro unitário, na venda de P

1, é igual a 40 reais, enquanto na venda de P

2, o lucro unitário

é de 60 reais. Representando por x a quantidade diária a ser produzida de P1 e y a quanti-

dade a ser produzida de P2, responda às questões seguintes.

x

y

0


34

a) Qual é a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M1 não ultrapasse

as horas diárias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano cartesiano.

b) Qual é a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M2 não ultrapasse

as horas diárias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano cartesiano.

c) Represente a região do plano cartesiano que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem simultaneamente às duas restrições dos itens a e b.

x

y

0

x

y

0

x

y

0


35

d) Qual é a expressão do lucro total L que resulta da venda de todas as unidades produzidas de P

1 e P

2?

e) Represente os pontos do plano que correspondem a um lucro total igual a 120 reais.

f ) Qual é o ponto da região do item c que corresponde ao lucro total máximo?

x

y

0


36

As circunferências e as cônicas (elipses, hipérboles e parábolas) são curvas que também podem ser representadas no plano cartesiano e cuja propriedade obedecida pelos seus pon-tos pode ser descrita por meio de uma equação de duas variáveis.

A circunferência e a elipse podem ser vistas a partir de seções de um cilindro circular; a elipse não passa de uma circunferência alongada em uma das duas direções.


CIRCUNFERÊNCIAS E CÔNICAS: SIGNIFICADOS,

EQUAÇÕES, APLICAÇÕES

circunferência elipse

elipse

Os quatro tipos de curvas podem ser vistos como seções de uma superfície cônica.

Também é possível observar superfícies cônicas colocando-se água em recipientes cilín-dricos ou cortando-se adequadamente uma peça de salame.

circunferência

Leitura e análise de texto

© C

on

exão

Ed

itori

al


37

VOCÊ APRENDEU?

1. Sabendo que uma circunferência de centro C (x0; y

0) e raio r tem equação (x – x

0)2 + (y – y

0)2 = r2,

considere a circunferência de centro (4; 4) e de raio 4.

a) Represente-a no plano cartesiano a seguir e determine sua equação.

b) Determine a equação da reta s que passa pela origem e pelo centro da circunferência.

c) Calcule as coordenadas dos pontos P1 e P

2, de interseção da reta s com a circunferência dada.

x

y

0


38

d) Calcule a distância entre P1 e P

2.

Elipse

As curvas chamadas cônicas – a elipse, a hipérbole e a parábola – ocorrem com mui-ta frequência na natureza e no dia a dia. Vamos conhecer suas principais características, começando pela elipse.

Quando inclinamos um recipiente cilíndrico aberto, de seção circular, contendo água em repouso, o contorno da superfície da água é uma elipse. Também é uma elipse a sombra projetada de uma circunferência situada em um plano vertical, quando a luz do Sol, ou outra luz, incide obliquamente.

Foi Johannes Kepler (1571–1630), em seus estudos de Astronomia, quem associou às trajetórias dos planetas ao redor do Sol não mais circunferências, mas sim elipses, ou seja, circunferências “achatadas”.


© C

on

exão

Ed

itori

al©

Con

exão

Ed

itori

al


39

Nessas elipses, Kepler destacou a existência de dois pontos simetricamente opostos em relação ao centro, chamados focos, em um dos quais o Sol se situava.

A partir desses dois pontos, uma propriedade funda-mental pode ser utilizada para caracterizar uma elipse: qual-quer ponto da elipse é tal que a soma das distâncias até esses dois pontos fixados, que são os focos, é constante. Jardin-eiros utilizam frequentemente essa propriedade para construir canteiros elípticos: fincando-se duas estacas, uma em cada foco, e deslocando-se um estilete, com um barbante de comprimento L (maior do que a distância entre os focos) esticado, obtém-se uma elipse.

Um coador de café de plástico pode ilustrar o fato de que as elipses podem ser considera-das curvas intermediárias entre a circunferência e o segmento de reta:

0 x

y

Semieixos

a–a

–b

b

Uma elipse apresenta dois eixos de simetria: o semieixo maior costuma ser represen-tado por a, o menor por b. Assim, os dois eixos são 2a e 2b.

F1 F2

© C

on

exão

Ed

itori

al

© C

on

exão

Ed

itori

al©

Con

exão

Ed

itori

al


40

y

0 x

x2 +(y')2 = a2

(x; y')

(x; y)

Elipse

Circunferência

–a

–a

l

a

–b

a

b

x2

a2 b2+ = 1y2

VOCÊ APRENDEU?

2. Usando o fato de que a elipse é uma circunferência “achatada”, ou seja, é a curva obtida quando re-duzimos (ou ampliamos) na mesma proporção todas as cordas perpendiculares a um diâmetro dado,

mostre que a equação da elipse de centro na origem e com os semieixos a e b é xa

yb

2

2

2

2+ = 1 .

3. Em uma elipse com centro na origem e semieixo maior a no eixo OX, os pontos (0; b) e (0; –b) distam do centro menos do que a. Os pontos do eixo OX que estão a uma distância a de (0; b) e (0; –b) têm coordenadas (c; 0) e (–c; 0). Eles são particularmente importantes, sendo chamados focos da elipse. O valor c é chamado dis-tância focal da elipse. Por construção, a soma das distâncias dos pontos (0; b) e (0; –b) até os focos é igual a 2a. É possí-vel mostrar que para todo ponto P (x; y)

do plano, se xa

yb

2

2

2

2+ = 1, então, a soma

das distâncias de P até os focos (c; 0) e

(–c; 0) é igual a 2a. A razão ca

é chamada

excentricidade da elipse, sendo represen-tada pela letra e.

0–a a

–b

b

–c c

a a

y

x


41

a) Mostre que, entre a, b e c vale a relação a2 = b2 + c2.

b) Mostre que, fixado o valor de a, quanto menor for o valor de b, mais a excentricidade se aproxima de 1 e a elipse se aproxima de um segmento de reta; quanto mais próximo de a for o valor de b, mais a excentricidade se aproxima de zero e a elipse se aproxima de uma circunferência.

4. Considere a elipse representada a seguir de centro na origem e semieixos a = 13 e b = 5.

y

x

F2

F1

5

13

13

c

Determine:

a) a equação da elipse;

b) a excentricidade da elipse;


42

c) os focos da elipse;

d) o valor de k para que o ponto P (5; k), do primeiro quadrante, pertença à elipse;

e) a soma das distâncias de P aos focos da elipse.

Hipérbole

Quando representamos graficamente pares (x; y) de grandezas que são inversamente pro-porcionais, isto é, cujo produto x y é constante e não nulo, a curva obtida é uma hipérbole.

x1 . y

1 = x

2 . y

2 = x

3 . y

3 = constante = k ≠ 0

eixos perpendiculares/ sistema ortogonal eixos oblíquos


x

y

0

y2

y1

x3

x2

x y = k

x1

y3

0

y1

y2

x y = k

x1 x2x3

x

y

y3


43

Como já vimos anteriormente, a hipérbole surge, ainda, quando seccionamos um cone circular reto com um plano que forma com o plano da base um ângulo maior do que aquele formado por uma geratriz do cone com a base.

Quando um avião se desloca a certa altura com velocidade maior do que a do som, um problema importante consiste em deter-minar a região da superfície da Terra de onde se pode escutar o barulho de seus motores. Essa região é chamada zona de audibilidade e se desloca com o avião. É possível mostrar que, em cada instante, seu contorno é uma hipérbole.

Uma propriedade característica da hipérbole é a seguinte: existem dois pontos fixados F

1 e F

2 tais que a diferença entre as distâncias de qualquer ponto da curva até esses dois

pontos é constante. A partir dessa propriedade, é possível traçar hipérboles da forma in-dicada na figura a seguir:

hipérbole

d(P, F2) – d(P, F

1) = constante

Para escrever a equação da hipérbole, podemos partir da representação de grandezas inversamente proporcionais. No caso de um sistema XOY em que os eixos cartesianos são ortogonais, a hipérbole é chamada equilátera e os dois ramos da curva aproximam-se in-definidamente dos eixos coordenados, nunca os tangenciando. A origem é um centro de simetria e os eixos coordenados são chamados, nesse caso, assíntotas da hipérbole.

Por exemplo, as curvas formadas pelos pontos cujas coordenadas satisfazem as relações a seguir são hipérboles tendo como assíntotas os eixos coordenados (ver figuras).

x

y

x ∙ y = 7

0 x

y

x ∙ y = –5

0

F1

F2

P

© C

on

exão

Ed

itori

al

7 5

2,5

–2

–1

–7

1–1


44

VOCÊ APRENDEU?

5. A equação 4x2 – 9y2 = 36 pode ser vista como uma hipérbole. Fatore o primeiro membro e obtenha X e Y tal que X Y = 36. Em seguida, determine as assíntotas e faça uma representação gráfica da hipérbole, obtendo (2x – 3y) (2x + 3y) = 36, ou seja, X Y = 36.

6. A equação de uma hipérbole representada no plano cartesiano, com centro na origem, é do tipo

x

a

y

b

2

2

2

2– = 1, em que a é a abscissa do vértice da hipérbole, nas condições representadas na

figura seguinte:

– a a

y

b

x

– b

y xba

=

b–y x

a=

x2

a2–

y2

b2= 1


45

a) Sabendo isso, determine a equação da hipérbole que passa pelo ponto (3; 0) e tem como

assíntotas as retas y = 43

x e y = – 43

x.

b) Faça a representação gráfica da hipérbole e de suas assíntotas.


46

7. Obtenha a equação da hipérbole com centro na origem, representada na figura, sabendo que ela passa pelo ponto (a; 0) e que tem como assíntotas

as retas = –� � � �

y = e yb

ax

b

ax .

8. Sendo y = e y = –ba x

ba

x, com a e b positivos, as assíntotas de uma hipérbole que passa por

(a; 0), os pontos F1 (c; 0) e F

2 (–c; 0), tais que c2 = a2 + b2, são chamados focos da hipérbole.

Na figura a seguir, são apresentados os focos da hipérbole. É possível mostrar que a diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até F

1 e até F

2 é constante e igual a 2a.

x

b

y

c

ca0

– a– c

F2

(–c; 0) (c; 0)F1

y = b

a x

y = – b

a x

X

Y

– a a0

y

x

y = – xba

y = xba


47

Para cada uma das hipérboles a seguir, determine os focos e calcule o valor constante da dife-rença das distâncias entre um ponto qualquer da hipérbole e os focos. Confira o valor obtido fazendo os cálculos diretamente para um ponto da hipérbole arbitrariamente escolhido.

a)

x

y

4

3

0

b)

0x

y

5

12

c)

x

y

5

–5

0


48

Parábola

Em geral, quando representamos graficamente pares (x; y) de grandezas tais que y é diretamente proporcional ao quadrado de x (y = kx2, k constante e k ≠ 0), a curva correspondente no plano cartesiano é uma parábola.

É o que ocorre, por exemplo, quando uma pedra é abandonada e registramos a relação entre a distância percorrida verticalmente e o tempo de queda livre. Também é uma parábola a trajetória de todos os projéteis lançados obliquamente em relação à superfície da Terra, descon-siderados os efeitos do ar.

Além disso, quando, de um ponto fixado no solo, lançamos projéteis sempre com a mesma velocidade inicial v

0, em todas as direções possíveis, em um plano vertical dado,

o contorno da região determinada pelos pontos que podem ser atingidos pelos projéteis é também uma parábola, chamada parábola de segurança.

0

y

0

y = kx2

x


© C

on

exão

Ed

itori

al


49

A parábola tem certas propriedades características que podem ser utilizadas para defini-la. Uma delas é a existência de um ponto F, fixado, e de uma reta r, fixada, tais que a distância de cada ponto P da parábola até F é igual à distância de P até r. F é o foco da parábola e r é sua diretriz.

F

Quando seccionamos um cone circular reto por um plano que forma com a base um ângulo exatamente igual ao que uma geratriz do cone forma com a base, obtemos também uma parábola.

Uma propriedade interessante das parábolas é a seguinte: sendo P um ponto qualquer da parábola, a reta que passa pelo foco F e por P forma com a tangente à parábola em P um ângulo igual ao formado pela tangente com a reta paralela ao eixo da parábola passando por P (veja a figura).

PII

d(P, F) = d(P,r)d(P', F) = d(P',r)d(PII, F) = d(PII,r)P'

P

F


50

Isso explica a razão de os faróis dos automóveis serem envolvidos por uma superfície cuja seção é um paraboloide, ou seja, é a superfície gerada por uma parábola que dá uma volta completa em torno de seu eixo. Se a lâmpada situar-se exatamente no foco, os raios de luz formarão um feixe paralelo ao eixo, como é desejável.

VOCÊ APRENDEU?

9. Determine o foco e a diretriz das parábolas que podem ser representadas no plano cartesiano por equações do tipo:

a) y = kx2 b) x = ky2 c) y = kx2 + h

PESQUISA INDIVIDUAL

Verifique, por meio da construção de uma superfície parabólica com uma lâmina de alumínio, fixada em uma tábua, com uma pequena lanterna no foco da parábola, a proprie-dade citada das parábolas nas superfícies cromadas dos faróis dos automóveis.

© C

on

exão

Ed

itori

al

3° em 1° bimestre

Education