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ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES

A Resistência dos Materiais estabelece uma metodologia simples e analítica que trabalha sob considerações lineares e elásticas e que envolve carregamentos e geometria para proceder à definição e à análise do estado de tensão dos pontos críticos das estruturas. Neste capítulo estão apresentadas as facetas da Resistência dos Materiais que têm a ver com a definição, a análise dos estados de tensões e o estabelecimento de suas relações com os estados de deformações.

Análise de Tensões e Deformações

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3.1 – INTRODUÇÃO As disciplinas de Projeto e de Adequação ao Uso de Estruturas e Equipamentos têm como objetivo garantir a Integridade Estrutural dos sistemas e seus componentes de modo a não ocorrerem falhas nos pontos críticos das estruturas. Para isto elas acoplam diversas outras disciplinas, tais como: Resistência dos Materiais, Comportamento Mecânico dos Materiais, Ensaios Não Destrutivos, e Inspeção, Manutenção e Monitoração de Equipamentos. A Resistência dos Materiais, assim como a Teoria da Elasticidade, a Análise Experimental de Tensões e o Método de Elementos Finitos têm como objetivos determinar as tensões que atuam nas faces dos paralelepípedos elementares que representam estes pontos críticos e permitir estabelecer suas tensões equivalentes com base em critérios de resistência referentes a cada possível modo de falha. A Resistência dos Materiais estabelece uma metodologia simples e analítica que trabalha sob considerações lineares e elásticas e que envolve carregamentos e geometria para proceder à definição e à análise dos estados de tensão dos pontos críticos das estruturas. Neste capítulo estão apresentadas as facetas da Resistência dos Materiais que têm a ver com a definição, a análise dos estados de tensões e o estabelecimento de suas relações com os estados de deformações. A Resistência dos Materiais procura definir e analisar os estados de tensões nos diversos pontos críticos de componentes novos ou daqueles que já entraram em operação e podem apresentar algum tipo de deterioração pelo uso, para então verificar a admissibilidade de sua utilização segura. Definir o estado de tensão significa:

1. Estabelecer os carregamentos que atuam na estrutura ou componente. 2. Determinar as reações de apoio e os diagramas de corpo livre. 3. Determinar os diagramas de esforços. 4. Selecionar as seções críticas. 5. Determinar os pontos críticos das seções críticas. 6. Determinar as tensões que atuam nas faces dos paralelepípedos elementares que

representam estes pontos críticos. Analisar o estado de tensão significa:

1. Determinar as tensões principais que atuam nos pontos críticos. 2. Determinar os possíveis modos de falhas que poderão atuar nestes pontos críticos. 3. Determinar as resistências referentes aos possíveis modos de falhas para cada um

dos pontos críticos. 4. Calcular as tensões equivalentes para cada paralelepípedo elementar com base em

critérios de resistência referentes a cada possível modo de falha. 5. Comparar as tensões equivalentes com as resistências segundo os critérios de

resistência. 6. Calcular os fatores de segurança e as probabilidades de falha para cada ponto

crítico e para cada critério de falha selecionado e comparar com valores admissíveis estabelecidos por agentes internos e/ou externos.


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Os carregamentos que atuam ou atuarão sobre um sistema mecânico ou sobre seus componentes individuais podem ser previstos ou determinados através dos seguintes modos:

• Experiência prévia com similares. • Modelo matemático associado à interpretação do fenômeno físico. • Determinação experimental.

o Usando transdutores de força ou células de carga. o Usando sensores de deformação (“strain gages”), transdutores de deslocamento,

velocidade e aceleração, e associando estas medições com modelos matemáticos e procedimentos de calibração.

Na determinação de carregamentos é importante considerar os seguintes aspectos:

• Se o carregamento é estático ou tem natureza vibratória. • Se existem impactos na estrutura. • A história do carregamento no que se refere à sua repetição, seqüência de valores e

número de ciclos. • A temperatura, sua influência na resposta do material e sua variação ao longo das

dimensões e ao longo do tempo para diferentes pontos da estrutura. • A possibilidade de existirem tensões residuais, causadas por fabricação, soldagem,

tratamentos térmicos, montagens, sobrecargas, etc. • A natureza determinística ou aleatória do carregamento. • A incerteza associada ao processo de determinação do carregamento.

3.2 – O ESTADO DE TENSÃO NO PONTO Sejam Pi e Mi os carregamentos que atuam num corpo deformável e que está em equilíbrio. Considera-se que este corpo é secionado por um plano que passa por um de seus pontos interiores conforme ilustrado na Figura 3.1. Este plano, A, é definido por sua normal unitária nA. Para haver equilíbrio da parte esquerda, que será objeto de estudo, a força e momento resultantes, denominados RA e MA, devem ser iguais à soma das forças e momentos que a parte da direita, cortada e retirada, faz sobre a parte da esquerda.

Figura 3.1 – Corpo deformável submetido a carregamentos


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As resultantes RA e MA resultam das soma de forças e momentos que as forças de ligação dF fazem sobre as pequenas áreas dA que compõem a seção de corte A. Cada dF atuante em dA pode ser decomposta numa parcela normal, dN, e numa parcela tangencial ao plano, dQ conforme está ilustrado na Figura 3.2. Assim, as tensões total, normal e tangencial ou cisalhante que atuam na área dA, que passa pelo ponto P (que definiu a posição de passagem do plano A) podem ser definidas como está expresso nas equações (3.1).

Figura 3.2: Forças que atuam num elemento de área definido pelo plano de corte

(3.1)

A Figura 3.3 mostra o ponto P representado por um pequeno volume definido por quatro planos que passam por ele, formando um pequeno tetraedro. Ao destacar-se este tetraedro ele deverá continuar em equilíbrio. A análise do equilíbrio do tetraedro mostra que o estado de tensão em torno de um ponto qualquer de um corpo solicitado fica definido quando forem conhecidas as tensões atuantes referentes a três elementos de superfície quaisquer que nele se interceptem. A tensão total que atua no quarto plano pode ser determinada fazendo-se o equilíbrio das forças atuantes no tetraedro. Considerando as tensões totais mostradas no tetraedro da Figura 3.3 faz-se a pergunta: qual o valor de Tn (e sua direção) atuante em nn se as tensões Tx, Ty, Tz e a força de corpo C ( por exemplo, peso próprio) forem conhecidas?

Figura 3.3: Tetraedro representativo de um ponto material em equilíbrio e submetido às tensões totais Ti atuantes em suas faces e à força de corpo C

dAdQ

dAdN

dAdFT === τσ


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Para responder a esta pergunta a Figura 3.4 e as expressões 3.2 apresentam a notação para representar os vetores relacionados com as tensões total, normal, cisalhantes e unitários referentes aos eixos z e n. Os planos são definidos por suas normais. A notação usada para as tensões normais é a letra grega σ enquanto que para tensões cisalhantes é τ. Os índices relacionados a estas tensões devem ser entendidos da seguinte forma: o primeiro índice informa o plano onde a tensão está atuando; o segundo índice informa a direção em relação à qual a tensão é paralela.

Figura 3.4: Notação para as tensões atuantes num plano que passa por um ponto

( (3.2) O somatório das forças que atuam no tetraedro é dada por:

nnzzyyxx ATVCATATAT ..... =+++ (3.3) Para cálculo das áreas Ax, Ay e Az, em função da área An, pode-se usar um produto escalar da normal n por cada unitário correspondente. A Figura 3.5 ilustra este cálculo para a área Az , que resulta da multiplicação do valor da área An pelo resultado do produto escalar entre os vetores que definem as direções n e Z. O cálculo está mostrado na equação (3.4).

Figura 3.5: Cálculo da área Az, projeção da área An no plano z

( )( )( )( )zzyzxz

nznynxn

zyx

zzyzxz

nznynxn

zyx

,,T

T.,T,TT

n,n,nn,,z

z.y.x.T

z.Ty.Tx.TT

z.ny.nx.nn

z.y.x.z

σττσττ =

=

==

→

++=

++=

++=

++= 100100


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(3.4)

Considerando que a força de corpo é geralmente pequena, o somatório de forças pode ser escrito da seguinte forma:

( )nzzyyxx

nnznzynyxnx

TnTnTnT

ATVCnATnATnAT

=++∴

=→+++

...

.0....... (3.5)

Desmembrando cada tensão total em termos de suas componentes para cada eixo tem-se:

(3.6) Para o equilíbrio tem-se:

(3.7)

(3.8) A matriz [σ] é um tensor, chamado de tensor das tensões, que possui apenas 6 componentes independentes por causa das igualdades

zyyzzxxzyxxy ττττττ === ,, (3.9) geradas pela necessidade de equilíbrio quanto a momentos. Paralelepípedos elementares representando o estado de tensão segundo dois conjuntos de eixos (quaisquer - X, Y, Z, e principais - 1, 2, e 3 - ver seção 3.3) para um ponto do corpo carregado e em equilíbrio estão ilustrados na Figura 3.6.

( ) ( ) ( ) ( )z.Ty.Tx.Tnz.y.x.nz.y.x.nz.y.x. nznynxzzzyzxyyzyyxxxzxyx ++=++++++++ στττστττσ

[ ]( ) ( )n

nz

ny

nx

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

nzzzyyzxxz

nyzzyyyxxy

nxzzxyyxxx

Tnou

T

TT

n

nn

.

ou

Tn.n.n.

Tn.n.n.

Tn.n.n.

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=++

=++

σ

σττ

τστ

ττσ

σττ

τστ

ττσ

( ) ( ) znnnz

z

y

xn.An.zAcos.AA

n

nn

n,,,z ===→⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

== α100


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Figura 3.6: Representação do estado de tensão segundo dois conjuntos de eixos (quaisquer - X,

Y, Z, e principais - 1, 2, e 3) para um ponto do corpo carregado

3.2.1 Tensões atuantes numa barra prismática Um exemplo simples para ser estudado é o caso de uma barra prismática tracionada, tal como mostrada na Figura 3.7a. Se um plano de corte nx é passado na seção transversal longe da região de aplicação da força P, é razoável admitir que as tensões atuantes nas várias facetas que compõem o plano de corte serão normais, trativas e iguais para todas as facetas e que, por razão de simetria, não deverão haver tensões cisalhantes neste plano. As tensões normais serão denominadas σx. Aplicando a equação de equilíbrio de forças na direção x:

APAPdAPF xx

Axx =⇒=−⇒=−⇒=∑ ∫ σσσ 0.0.0

A aplicação do mesmo raciocínio usando planos de corte com normais ny ou nz mostrará que as tensões σy e σz são iguais a zero. Considerando que as tensões cisalhantes também serão zero por causa das inclinações dos planos em relação a P, tem-se que a matriz [σ] definida para os eixos X, Y, Z será dada por:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ =

000000

00AP

xσ (3.10)

Figura 3.7: Planos de corte virtuais de uma barra prismática tracionada segundo

planos definidos por suas normais X e X’ que fazem um ângulo α entre si.

(a

(b


8

O estado de tensão [σ] pode ser representado por outros planos que formarão diferentes paralelepípedos elementares em torno do mesmo ponto material. Por exemplo, sejam os planos de corte definidos pelas normais X’, Y’e Z, ilustrados na Figura 3.7b. As tensões normal e cisalhante σx’ e τx’y’ atuantes no plano X’ são calculadas através da aplicação das condições de equilíbrio de forças para a barra prismática estabelecido para as direções X’e Y’, ainda supondo distribuições uniformes das tensões no plano X’.

( )

ααατα

τατα

αασα

σασα

22

cos..0cos

1...0..0

2cos12

cos.0cos

1..cos.0.cos.0

''''''''

2''''

senA

PsenAPAsenPdAsenPF

AP

APAPdAPF

yxyxA

xyxy

xxA

xxx

==⇒=−⇒=−⇒=

+==⇒=−⇒=−⇒=

∑ ∫

∑ ∫

Da mesma forma, o equilíbrio de forças aplicado à barra prismática que conta com o plano de corte definido pela normal Y’ levará às tensões:

( )

ααατ

αασ

22

cos..

2cos12

.

''

2'

senA

PsenAP

APsen

AP

xy

y

==

−== (3.11)

O estado de tensão no mesmo ponto, definido segundo os eixos X’, Y’e Z será representado por:

( )

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−==

=+=

000

02cos12

22

022

2cos1

'''

'''

ασατ

ατασ

APsen

AP

senA

PAP

yxy

yxx

(3.12)

3.2.2 Tensões atuantes numa casca cilíndrica fina submetida à pressão interna Um segundo exemplo simples para ser estudado é o caso de um tubo de paredes finas (relação entre diâmetro externo D e espessura do tubo t maior que, por exemplo, 20) submetido à uma pressão interna p, tal como mostrado na Figura 3.8a. Se um plano de corte é passado na seção diametral e horizontal do tubo (Figura 3.8b), é razoável admitir que as tensões atuantes nas faces que compõem o plano de corte serão normais, trativas e uniformes ao longo do seu comprimento l, enquanto que, por razão de simetria, não deverão haver tensões cisalhantes nestas faces. As tensões normais serão denominadas σc. Aplicando a equação de equilíbrio de forças na direção vertical e ortogonal ao plano de corte tem-se:

( ) ( )tDp

ttDpltltDpF ccc 2

.2

20...2.2.0 ≅−

=⇒=−−⇒=∑ σσ (3.13.a)


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Figura 3.8: Tubo com parede fina submetido à pressão interna com tampo ou sem tampo (a); Plano de corte diametral do cilindro mostrando pressão interna e tensões circunferenciais na parede cortada, necessárias para manter o equilíbrio de forças na direção vertical (circunferencial) (b); elemento de parede do tubo formado por dois planos de cortes radiais divergentes do ângulo dθ e pelas superfícies interna e externa do tubo (c).

Na direção radial, na parede interna da casca, a tensão radial é igual a p. Na parede externa ela é igual a zero. Para os tubos de paredes finas estas tensões σr=p são geralmente desprezadas quando comparadas com as tensões circunferenciais. Deve-se notar que a razão entre estas tensões é dada pela metade da razão entre o diâmetro e a espessura da casca cilíndrica. A Figura 3.7c mostra as tensões e carregamento p atuante num paralelepípedo elementar retirado da Figura 3.7b que auxilia na determinação da mesma tensão circunferencial a partir do equilíbrio de forças efetuado na direção vertical (radial do elemento). Tem-se que:

tDpldDpdsenltF ccr .2

...2

.2

....20 ≅⇒=⇒=∑ σθθσ (3.13.b)

As tensões longitudinais σl também podem ser determinadas através da aplicação do equilíbrio de forças na direção longitudinal. Para um tubo longo aberto, sem efeito de tampos, a tensão longitudinal é zero. Para um tubo fechado, tal como acontece com um vaso de pressão cilíndrico,

a pressão atuante no tampo provocará uma força ( )4

2.2tDp −π que deverá ser equilibrada por uma

força longitudinal que atua de forma distribuída na seção transversal do tubo. Esta força é dada por ( ) ]2[

422 tDDl −−

πσ . Igualando estas forças encontra-se:

tpD

Dtt

DtpD

ll 414

212

≅⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= σσ (3.14)

Para o caso de dutos longos enterrados, a restrição imposta pelo solo ao deslocamento longitudinal requerida pelo efeito de Poisson (coeficiente µ) faz com que a tensão longitudinal seja (ver seção 3.9):

tpD

l 2µσ = (3.15)

(a) (b) (c)


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Num sistemas de eixos C, R, e L, respectivamente circunferencial, radial e longitudinal, tem-se que o estado de tensão será definido por:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

l

r

c

ptDp

σσ

σ

0000

002.

(3.16)

3.2.3 Tensões atuantes numa casca cilíndrica espessa submetida à pressão interna e externa O terceiro exemplo envolve a determinação das tensões num tubo de parede espessa. Nesta situação a tensão circunferencial não pode ser assumida como uniforme ao longo da espessura. Tampouco a tensão radial pode ser considerada desprezível quando comparada com a circunferencial. Para a determinação destas tensões adota-se um volume elementar, mostrado na Figura 3.9, delimitado por dois planos radiais separados por um pequeno ângulo dθ e por dois arcos com comprimentos r. dθ e (r+dr). dθ. Admite-se que as tensões radiais variam segundo uma aproximação tayloriana linear. A simetria radial faz com que as tensões σc sejam iguais para ambos as faces radiais e que as tensões cisalhantes τcr sejam iguais a zero. Aplicando-se a equação de equilíbrio de forças na direção radial tem-se:

00 =−−

⇒=∑ drd

rF rrc

radiaisσσσ (3.17)

Figura 3.9: Tubo com parede espessa submetido à pressão interna e externa Para a solução desta equação diferencial são necessárias mais informações. A primeira usa as relações entre as deformações circunferenciais e radiais e o deslocamento radial u de uma circunferência com raio r. Define-se a deformação circunferencial como a variação percentual do comprimento de um arco de círculo de comprimento inicial r.dθ e que passa a ter um comprimento (r+u).dθ. A deformação radial é igual à variação percentual de um segmento com comprimento inicial dr que passa a ter um comprimento final (dr+du).

ru

drdu

cr == εε (3.18)


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Considerando a simetria radial, a relação entre estas deformações é dada por:

crc

cc

drdr

drdr

drrud

εεεεεε −=⇒+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= .r (3.19)

A segunda informação a ser usada vem das relações elásticas entre tensões e deformações (ver seção 3.9 deste capítulo):

( ) ( )

( ) ( )crrcrr

rccrcc

EE

EE

σµσεεµεµ

σ

σµσεεµεµ

σ

.1.1

.1.1

2

2

−=+−

=

−=+−

= (3.20)

Substituindo as equações (3.20) em (3.19) determina-se a equação diferencial:

( ) 0=+

drdr cr σσ (3.21)

A integração de (3.21) leva a:

( ) 12Kcr =+ σσ (3.22) que em conjunto com a equação (3.17) leva à seguinte equação diferencial e à sua integração:

( )2

21

21

2

..2 KrKrrKdrrd

rr +=⇒= σσ (3.23)

Na direção radial, na parede interna da casca, a tensão radial é igual a pi. Na parede externa ela é igual a po. Aplicando estas condições de contorno:

( ) ( ) ooriir prpr == σσ (3.24) encontram-se as tensões

221

221

1.

1.

rKK

rKK

r

c

−=

+=

σ

σ (3.25)

onde

( )22

0

2200

2

220

200

2

1..

i

ii

i

ii

rrrrppK

rrrprpK

−−

=

−−

= (3.26)


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Num sistemas de eixos C, R, e L, respectivamente circunferencial, radial e longitudinal, tem-se que o estado de tensão será definido para cada ponto posicionado ao longo da espessura do tubo e localizado pela sua coordenada ri <r<ro por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

l

r

c

rσ

σσ

σ00

0000

)]([ (3.27)

3.3 – TENSÕES E PLANOS PRINCIPAIS As componentes de tensões que fazem parte da matriz representativa do estado de tensão no ponto podem ser alocadas num volume representativo do ponto material, que é comumente chamado de paralelepípedo elementar, tal como ilustrado na Figura 3.6. Nesta Figura também está apresentada a possibilidade de serem modificados os eixos X, Y, Z definindo novos planos que passarão pelo ponto e que, em conseqüência, acarretarão componentes de tensões com valores diferentes das anteriormente mostradas. A matriz definida para os eixos XYZ é simétrica e isto significa que ela poderá ser diagonalizada. Se a matriz [σ] for definida segundo as direções e planos 1, 2 e 3, a tensão total que atuará em cada um destes planos terá sua projeção paralela ao vetor normal unitário ao plano. Pode-se formular então a questão: quem são os vetores que definem estes planos e quem são as tensões totais que atuam nestes planos? Deve-se notar que se as tensões normais possuem a mesma direção do vetor normal aos planos isto implicará que as componentes paralelas ou cisalhantes nestes planos serão iguais a zero. A pergunta acima pode ser reformulada da seguinte forma. Existe um plano v tal que:

v.T vv σ= (3.28) onde σν é um escalar igual ao módulo do vetor Tv que tem sua direção dada pelo vetor unitário v? Quais são os planos dados por seus vetores unitários v tal que seja válida a equação acima (3.28)? Valendo-se da equação (3.28) e reescrevendo a equação (3.8) tem-se:

[ ]{ } { }v.v vσσ = ou

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==++

==++

==++

zvzzzyyzxxz

yvyzzyyyxxy

xvxzzxyyxxx

v.Tv.v.v.

v.Tv.v.v.

v.Tv.v.v.

σσττ

στστ

σττσ

(3.29)

Este é um problema de auto-valor e auto-vetor onde a equação homogênea é dada por:

[ ] [ ]( ){ } 0=− vIvσσ ou

( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++

=+−+

=++−

0

0

0

zzyyzxxz

zzyyyxxy

zzxyyxxx

v.v.v.

v.v.v.

v.v.v.

σσττ

τσστ

ττσσ

(3.30)


13

onde:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

I (3.31)

Para a equação homogênea ter solução o determinante característico deve ser igual a zero:

[ ] [ ] 0=− Idet vσσ ou 0=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

σσττ

τσστ

ττσσ

zyzxz

zyyxy

zxyxx

det (3.32)

Efetuando-se o determinante chega-se à equação característica, que é do terceiro grau.

0322

13 =−+− I.I.I σσσ (3.33)

onde

( )( )( )36.3.2

35.3

34.3

2223

2222

1

xyzxzyzyxzyxzyx

zyxzxyyzxzyx

zyx

I

I

I

τστστστττσσσ

τττσσσσσσ

σσσ

−−−+=

−−−++=

++=

As raízes da equação característica são os auto-valores. No caso da análise de tensões, elas são chamadas de tensões principais. Estas raízes são sempre números reais. Deve-se notar que uma rotação de eixos, isto é, a definição do estado de tensão a partir de três novos planos X’, Y’, Z’, não deve alterar a tensão que atua num quarto plano definido pela sua normal. Por exemplo, seja calcular a tensão que atua no plano v, isto é, σv ou σ, uma das raízes da equação. Desta forma, quaisquer que sejam os eixos ortogonais X, Y, Z, que definem o estado de tensão, as mesmas soluções deverão ser encontradas para a equação característica. Isto implica em dizer que os coeficientes I1, I2, e I3 são constantes para quaisquer eixos. Devido a isto estas três quantidades são chamadas de invariantes do estado de tensão. As raízes da equação característica são ordenadas da seguinte forma: 321 σσσ >> . O estado de tensão pode ser definido por estas componentes de tensões, segundo os planos 1, 2 e 3, da seguinte forma:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

000000

σσ

σσ (3.37)

Os planos referentes a cada uma das raízes são chamados de planos principais e estes planos são ortogonais entre si. A determinação dos vetores unitários de cada um destes planos é feita através


14

da substituição dos valores de σi (i = 1,2,3) nas equações 3.30. Por exemplo, a determinação das coordenadas ou cossenos diretores do vetor v1, que define o plano principal 1, em função da sua posição com relação aos eixos X, Y, e Z, é dada por (ver Figura 3.10):

( )( )

( )( ) ( ) ( ) 1

0

0

02

12

12

1

1

1

1

1

1111

1111

1111

=++↔⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−++

=+−+

=++−

zyx

z

y

x

zzyyzxxz

zzyyyxxy

zzxyyxxx

vvv

v

vv

v

v.v.v.

v.v.v.

v.v.v.

σσττ

τσστ

ττσσ (3.38)

Figura 3.10: Vetores que definem as normais aos planos de referência (X,Y,Z) e principais (1,2,3)

O estado de tensão, representado pelo tensor [ ]σ pode ser escrito segundo suas componentes com relação aos eixos X,Y, Z ou 1, 2, 3, tal como ilustrado na Figura 3.11 e colocado sob forma matricial:

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

z

y

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

nnn

σττ

τστ

ττσ

σ ou [ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

3

2

1

000000

nnn

σσ

σσ (3.21)

Figura 3.11: Paralelepípedo elementar: posição doe eixos de referência e

posição dos eixos principais.


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As componentes da tensão total Tn que atuam num plano n definido segundo os eixos 1, 2 e 3, T1, T2 e T3 são representadas por:

333222111 n.Tn.Tn.T σσσ === (3.40) Como:

( ) ( ) ( ) 123

22

21 =++ nnn (3.41)

tem-se:

12

3

32

2

22

1

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nT

nT

nT (3.42)

Esta é a equação do elipsóide de “Lamé” cujos eixos principais coincidem com os eixos principais 1, 2 e 3. Deve-se notar que nenhuma componente Ti poderá ser maior ou menor que σ1 e σ3, respectivamente. 3.4 – ESTADOS DE TENSÃO TÍPICOS. ESTADO PLANO DE TENSÕES O estado de tensão para qualquer ponto deverá sempre ser considerado como um estado triaxial de tensões. Mas, em muitos casos, ele poderá apresentar certas peculiaridades que tornarão sua análise mais direta e, ao mesmo tempo, possibilitarão seu enquadramento em casos simples e comuns da engenharia. A Figura 3.12 ilustra o estado triaxial e outras duas situações onde os estados de tensões recebem as denominações de estado plano ou biaxial de tensões e de estado uniaxial de tensões1. É muito importante notar que as representações gráficas simplificadas dos estados biaxial e uniaxial, segundo projeções no plano Z, apresentam a face Z do paralelepípedo elementar e as tensões que atuam nos planos X e Y.

Figura 3.12: Estado triaxial de tensões e casos particulares – estados biaxial e uniaxial

1 Na seção 3.9 que trata das relações entre tensões e deformações será também definido e caracterizado o estado plano de deformações.


16

No estado plano, as tensões paralelas a uma determinada direção são nulas. Geralmente, o paralelepípedo elementar referente ao estado plano é representado pela sua projeção no plano onde as tensões são nulas, conforme está mostrado na Figura 3.12. Os estados planos de tensões são característicos dos pontos das superfícies livres dos componentes estruturais. Na maioria dos componentes estruturais tem-se que os pontos mais carregados (maiores tensões) são aqueles que têm uma face do seu paralelepípedo elementar localizada na superfície livre. No pontos das superfícies encontram-se também os locais onde mais defeitos podem surgir causados por problemas de acabamento superficial, mudanças microestruturais devido a processos de fabricação, dano provocado pelo meio e por solicitações cíclicas. Isto explica a maior incidência de análises de tensões através de expressões dedicadas ao estado plano, além, da maior simplicidade no seu trato. A representação triaxial do tensor das tensões para um estado de tensão biaxial é ilustrada na expressão (3.43) onde se usa a hipótese que 0=== zyzxz ττσ .

0

000

0

0

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

IIIzyxy

xyxyxy

xyx

zyzxz

yzyxy

xzxyx

e σσσττσ

στ

τσ

σττ

τστ

ττσ (3.43)

Deve-se notar que a redução da ordem da matriz de 3x3 para 2x2 na expressão (3.43) significa dizer que uma tensão principal já é conhecida. Esta tensão é igual a zero e “atua” no plano Z, onde as tensões cisalhantes são zero (condição para que σz seja principal e que o plano Z seja principal também). Convenciona-se chamar de σIII a tensão principal igual a zero do estado biaxial de tensões. As demais tensões principais são chamadas de σI e σII e podem ser obtidas da equação característica da matriz 2x2:

( ) 00 22 =−++−⇔=−

−xyyxyx

yxy

xyx .det τσσσσσσσστ

τσσ (3.44)

onde convenciona-se fazer σI > σII. A solução da equação do segundo grau fornece os valores das tensões principais:

( )0

421

222

=>

+−±+

=

IIIIII

xyyxyx

II,I

e σσσ

τσσσσ

σ (3.45)

Após seu cálculo, através da equação (3.45), as tensões σI , σII e σIII devem ser renomeadas para a convenção do estado triaxial, tal que seus valores máximo, intermediário e mínimo sejam enquadrados na condição: 321 σσσ >> . A análise do estado plano de tensão possibilita a determinação das tensões que atuam em planos quaisquer ortogonais a Z e, por procura de máximos e mínimos, a determinação das tensões e


17

planos principais I e II que, como já foi visto, serão obrigatoriamente ortogonais a Z. A Figura 3.13 ilustra um estado plano de tensões para o qual será estudado o equilíbrio do paralelepípedo elementar. Este está representado por um prisma que tem bases no plano Z e faces X, Y, e α. Para a face ou plano α se deseja conhecer as tensões normal e cisalhante σα e τα. Na Figura 3.13 está apresentada a seguinte convenção de sinais:

• Os ângulos são definidos a partir do eixo X e são positivos para rotação no sentido trigonométrico;

• As tensões normais trativas são positivas e têm o mesmo sentido do vetor unitário externo ao plano;

• As tensões cisalhantes são positivas quando seu sentido coincide com o da normal ao plano quando esta é girada de 90o.

Figura 3.13: Equilíbrio do paralelepípedo elementar para o estado plano de tensões

Aplicando as condições de equilíbrio de forças para as direções α e α + π/2 encontra-se:

ατασσσσ

σαα 2222

0 sencosF xyyxyx

+−

++

=→=∑ (3.46)

ατασσ

ταπα22

20

2

cossenF xyyx

+−

−=→=∑+

(3.47)

Os comportamentos das tensões σα e τα para qualquer plano α de topo a Z podem ser previstos através das expressões (3.46) e (3.47) Em particular, verifica-se que σα passa por um máximo ou mínimo quando

0=α

σαd

d (3.48)

Como

αα τατα

σσ

ασ

2222

=+−

−= cossend

dxy

yx (3.49)


18

tem-se que a tensão cisalhante no plano deve ser zero para que a tensão normal seja máxima ou mínima. Os planos principais, onde atuam as tensões máxima e mínima, serão conhecidos através de:

yx

xyII,Itg

σσ

τα

−=

22 (3.50)

A determinação de αI ou αII a partir da equação (3.50) não é única porque os ângulos α e α + π possuem a mesma tangente. Convenciona-se adotar como αI o plano onde atua a máxima tensão principal e que este plano sempre estará adiantado de 90o em relação ao plano onde atua σII. Como αI corresponde à tensão σI > σII deve-se estudar a segunda derivada de σα para decidir-se que determinação de 2α será a correspondente a σI . Esta discussão está apresentada nos livros básicos de Resistência dos Materiais (ver, por exemplo, as referências [1] a [11] listadas no final do capítulo) e seu resultado é o seguinte:

22

22παπσσ

παπσσ

<<−→<

<<−→>

IIyx

Iyx

se

se (3.51)

Os valores das tensões principais máxima e mínima, σI e σII, podem ser obtidos da substituição dos valores de αI e αII na equação (3.46) de σα e gerarão os valores de σI e σII calculados anteriormente, equação (3.45). O mesmo procedimento pode ser seguido para a determinação da tensão cisalhante máxima. Novamente, recomenda-se a consulta a livros básicos de Resistência dos Materiais. Considerando-se tanto o desenvolvimento para casos triaxiais gerais quanto para casos biaxiais, as tensões cisalhantes máximas serão dadas por:

Análise triaxial: 222

322131max

σσσσσστ

−−>

−= e (3.52)

Quando a procura da tensão cisalhante máxima é feita por pesquisa limitada aos planos de topo ao plano Z, numa análise biaxial, isto é, através da análise dos planos de topo a Z ou III , tem-se:

0=α

ταd

d (3.53)

e então:

Análise biaxial: ( ) 22 421

2 xyyxIII

IeIImax, τσσσσ

τ +−=−

= (3.54)


19

Não se pode deixar de mencionar que a tensão cisalhante máxima no ponto será aquela que resultar da diferença entre σ1 e σ3, e não obrigatoriamente de σI e σII. Ainda, consultando os livros básicos de Resistência dos Materiais, pode-se chegar à conclusão que os planos onde atuam as tensões cisalhantes máximas fazem ângulos de 45o com os planos das tensões principais, e que a tensões normais que atuam nestes planos são os valores médios das tensões principais. Por exemplo, fixando o eixo 3 e pesquisando todos os planos que estão de topo a 3, tem-se que a tensão normal máxima e a tensão cisalhante máxima atuarão em planos a + 45o com os planos 1 e 2 e seus valores serão:

oem ematuandoareferente 45

22 121

2,121

2,12,1±=

−=

+= αασστσσσ α

(3.55)

Dois estados de tensão são considerados como casos particulares do estado biaxial: são o estado uniaxial e o estado de cisalhamento puro. O estado uniaxial é definido como aquele onde, para uma determinada posição do paralelepípedo elementar, só existe uma tensão normal atuando numa direção (Figua 3.12). Este é o caso típico de pontos em componentes prismáticos submetidos à tração ou à flexão. O estado de cisalhamento puro é definido como aquele onde, para uma determinada posição do paralelepípedo elementar, só existem tensões cisalhantes atuantes nas suas faces (planos X e Y, enquanto que para a face Z todas as componentes de tensões são iguais a zero). A Figura 3.14 apresenta a representação plana de um estado de cisalhamento puro. Ele é caracterizado pelas tensões normais iguais a zero, atuantes nos planos X, Y e também Z, que neste caso é também o eixo III. Isto significa dizer que o invariante de tensão I1 é igual a zero. Então, para qualquer par de planos ortogonais e de topo a Z ou III tem-se que σα = - σα + π/2 , o que também é válido para os planos I e II, onde σI = - σII.

Figura 3.14: Estado de cisalhamento puro 3.5 – O CÍRCULO DE MOHR O círculo de Mohr é definido como o lugar geométrico dos pontos que satisfazem as equações (σα, τα). O círculo de Mohr foi bastante utilizado no passado como um meio gráfico de análise do


20

estado de tensão. Por exemplo, ele pode ser usado para a determinação das tensões atuantes num plano qualquer que passa pelo ponto e, em particular, das tensões principais e tensões cisalhantes máximas. Atualmente, sua utilização como ferramenta de cálculo tem-se reduzido bastante por causa da disponibilidade de calculadoras. Ainda assim o círculo é utilizado para a visualização gráfica e qualitativa de como as tensões variam de acordo com a definição dos planos que passam pelo ponto em estudo. A Figura 3.15 mostra a construção do círculo através do conhecimento das tensões ( σx, σy e τxy).

Figura 3.15: Construção do círculo de Mohr A construção do círculo de Mohr, a partir do conhecimento das tensões σx, σy e τxy segue o seguinte procedimento, onde também são realçados alguns tópicos que auxiliam na sua utilização:

1. Traçam-se os eixos coordenados σ e τ. 2. Marcam-se os pontos sobre o eixo σ que refletem os valores relativos das tensões σx e σy. 3. A partir de σx ou σy marcam-se as alturas τxy. Usa-se a seguinte convenção de sinais:

tensões cisalhantes positivas são plotadas na parte inferior do círculo e são orientadas para cima. No caso mostrado, a tensão τxy, que atua no plano X, é positiva. O ponto P, que representa o plano X, está sobre a circunferência que delimita o círculo.

4. O centro do círculo C coincide com a coordenada (σ, 0) onde σ é igual ao invariante dividido por 2, isto é,

22yxIII σσσσ +

=+ (3.56)

que é também o valor da tensão normal que atua no plano de tensão cisalhante máxima (com relação a todos os planos possíveis que estão de topo ao plano Z ou III).

5. O raio do círculo é dado pela distância CP, que também é o valor da tensão cisalhante máxima

II,Imax,III τ

σσ=

−2

(3.57)


21

6. Da origem dos planos, Oα = ponto B, podem ser traçados os eixos X e Y, que são os vetores normais aos planos ortogonais X e Y.

7. As tensões normais máxima e mínima são dadas pelas distâncias OσΑ = σI e OσΒ = σII, respectivamente, e as normais aos planos principais estão sobre os eixos (horizontal) I e (vertical) II, traçados a partir da origem dos planos Oα.

8. O ângulo que a tensão principal I faz com o eixo X, αI, é contado positivamente no sentido trigonométrico a partir de X. O eixo II é sempre localizado atrasado de π/2 com relação ao eixo I.

9. As normais aos planos onde atuam as tensões cisalhantes, máxima e mínima, estão mostradas como linhas tracejadas e deve-se notar que elas fazem ângulos iguais a 450 com os eixos I e II.

O estudo geométrico do estado tridimensional de tensões também pode ser feito através de três círculos de Mohr conforme pode ser visto na Figura 3.16. Um plano qualquer que passe pelo ponto tem seu ponto representativo posicionado na região sombreada entre os três círculos. As tensões normal e cisalhante que atuam neste plano podem ser determinadas pelas coordenadas do ponto com relação aos eixos σ e τ. As três circunferências que delimitam os três círculos correspondem aos lugares geométricos dos pontos que representam as tensões atuantes em planos que são ortogonais a cada um dos três planos principais. Por exemplo, o círculo 2-3, delimitado pelas tensões principais σ2 e σ3, corresponde ao lugar geométrico de todos os planos que são ortogonais ao plano 1. A observação da Figura 3.16 ilustra bem o fato que existem três tensões cisalhantes máximas locais, definidas nas expressões (3.52). Graficamente, elas correspondem aos raios dos três círculos de Mohr. A maior das tensões cisalhantes máximas é aquela que se origina do maior círculo, cujo raio é ( )

231 σσ − que, em certos casos, é diferente e por isto maior que ( )

2III σσ − .

Esta é uma boa razão para renomear-se as tensões determinadas pelas equações do estado plano: de 0=> IIIIII e σσσ para 321 σσσ >> .

Figura 3.16: Tensões cisalhantes máximas para os três cículos de Mohr.


22

Figura 3.17: Determinação da tensão cisalhante para um plano qualquer através

do Círculo de Mohr tridimensional. A determinação das tensões σn e τn que atuam num plano definido em relação aos eixos principais, n = (n1, n2, n3) é mostrada na Figura 3.13. Para localizar o plano n que passa através de um ponto deve-se seguir o seguinte procedimento:

1. Marcar os ângulos n1, n2 e n3 respectivamente a partir dos eixos verticais 1, 2 e 3. 2. Traçar a reta que indica o ângulo n1 e determinar os pontos A1 e B1 onde ela corta os

círculos 2 e 3. 3. Centrar em C1 e traçar o segmento de círculo A1B1. 4. Fazer o mesmo com os ângulos n2 ou n3 respectivamente com os eixos 2 ou 3. 5. O ponto n será localizado pela interseção dos dois segmentos de círculos resultantes.

Notar que só é necessário a marcação de dois ângulos dados por seus cossenos diretores, uma vez que o vetor normal tem módulo unitário.

Representações de estados típicos de tensões através de descrições bi e tri-dimensionais estão ilustradas na Figura 3.18. 3.6 – ANÁLISE DE DEFORMAÇÕES Um corpo deformável, quando submetido a carregamentos (forças externas e internas) responde com um campo de deslocamentos. Este campo pode ser dividido em duas partes, uma correspondente ao movimento de corpo rígido (que também pode ser sub-dividida numa rotação e numa translação) e outra que corresponde às mudanças relativas entre as posições dos pontos que definem o corpo. Na análise de deformações procura-se estudar esta segunda parte, enquanto que a primeira é focada pela Dinâmica dos Corpos Rígidos. A Figura 3.19 exemplifica este parágrafo.


23

Figura 3.18: Representação de estados de tensões típicos através do Círculo de Mohr .


24

Figura 3.19: Corpo deformável submetido a um carregamento A seguir apresenta-se uma análise qualitativa das deformações lineares e suas definições. Dentro do campo de trabalho da engenharia procura-se definir uma deformação linear como a variação relativa da distância entre dois pontos pertencentes ao corpo deformável. Na Figura 3.19 a variação das distâncias entre as duas posições do corpo, antes e depois do carregamento, é dada por if

'' llPQQPl −=−=∆ . As distâncias entre os pontos PQ e P’Q’ são dados físicos mensuráveis. A variação percentual relativa das distâncias depende da referência a ser tomada. A referência pode ser tomada com relação aos comprimentos inicial PQ=li ou final PQ=lf e assim duas definições de deformações podem ser feitas:

Definição Lagrangeana: i

ifL l

ll −=ε (3.58)

Definição Euleriana: f

ifE l

ll −=ε (3.59)

A diferença entre as duas definições deve-se ao fato que uma utiliza como referência a geometria deformada do corpo (Euleriana), enquanto a outra utiliza a geometria inicial ou indeformada (Lagrangeana). Na análise de estruturas, onde a Resistência dos Materiais e a Teoria da Elasticidade são aplicadas para materiais com comportamentos lineares, dentro dos seus regimes elásticos, e para pequenas deformações, não se encontram diferenças numéricas relevantes entre a aplicação de qualquer das duas definições. Entretanto, resultados dramaticamente diferentes podem ser encontrados em problemas que envolvem grandes deformações e/ou comportamentos não lineares dos materiais. A decisão sobre qual definição usar depende dos seguintes pontos:

1. Existência de pequenas ou grandes deformações e de deslocamentos pequenos ou grandes.

2. Método analítico ou experimental utilizado para determinar o campo de deslocamentos. Qual é o referencial no qual é feita a medição?

3. Adaptabilidade do comportamento mecânico do material a uma dada definição. Um exemplo para os primeiros dois pontos está no estudo de um problema de grandes deformações através do método de Moiré. Um corpo de prova plano é extrudado através de uma


25

matriz, Figura 3.20. Neste corpo é colado uma padrão de linhas verticais que tem passo constante. Após ser extrudado o corpo é observado através de um padrão idêntico àquele que foi colado no corpo antes deste ser deformado. O resultado desta observação é a visualização de franjas de Moiré que fornecem o lugar geométrico dos pontos que tiveram os mesmos deslocamentos na direção horizontal ou longitudinal do corpo. O deslocamento de um ponto com relação ao outro (uma referência) é igual à diferença entre as ordens de franjas medidas entre os pontos em questão multiplicada pelo passo inicial do padrão, p. Assim

pNl ABAB ×∆=∆ (3.60) A deformação euleriana relativa ao segmento AB será dada por

Final

ABE AB

l∆=ε (3.61)

onde ABFinal é a distância entre os pontos A e B medida no referencial deformado, o que é mais prático sob o ponto de vista experimental, para não ter que se identificar cada ponto de interesse antes do corpo ser deformado e de ter que se medir suas posições relativas no referencial inicial.

Figura 3.20: Franjas de Moiré geradas na superfície de um espécime retangular de chumbo que foi extrudado. Variação de deslocamentos e deformações para

pontos ao longo de sua linha de simetria

Um outro exemplo mostra a necessidade de uma outra definição de deformação, chamada de deformação logarítmica ou verdadeira. As deformações verdadeiras são utilizadas em problemas de grandes deformações plásticas como, por exemplo, na conformação mecânica de materiais. A definição de deformação verdadeira entre situações de estados inicial e final de deformações, utiliza o somatório de todas a deformações “instantâneas” que acontecem entre estes estados limites. As deformações instantâneas consideram os pequenos incrementos ou variações dl, sobre os comprimentos reais l, que ocorrem a cada instante:


26

∫∫ ===fl

il f

ifl

ilV l

lln

ldldεε (3.62)

A definição de deformação verdadeira torna-se bastante conveniente quando o exemplo da Figura 3.21 é analisado. Neste exemplo um disco é comprimido em deformação plana (não se permite variação da sua espessura) de tal forma que um pequeno círculo desenhado na sua região central fica ovalizado, com seus diâmetros horizontal e vertical variando de duas vezes, tal como mostrado na Figura 3.21. Neste caso, enquanto a definição de deformação verdadeira acusa deformações idênticas com sinais contrários, as definições Langreageana e Euleriana não apresentam resultados simétricos para as grandes deformações que ocorrem nos diâmetros horizontal e vertical.

Figura 3.17: Diferenças entre valores de deformações causadas pelas

definições Lagrangiana (L), Euleriana (E) e verdadeira (V)

A deformação volumétrica é definida como a variação de volume do paralelepípedo elementar representativo do ponto com relação a um determinado volume de referência, inicial ou final. A expressão da deformação volumétrica é dada por:

( ) ( ) ( )zyxv dz.dy/dx

dzdzdydydxdxvv εεεδδδε ++≅

+++++=

∆= (3.63)

e, apenas no caso da definição de deformação volumétrica pelas deformações verdadeiras, se terá para qualquer valor de deformação plástica (grande ou pequena) a igualdade

zyxv vv εεεε ++=

∆= (3,64)


27

No estudo das deformações plásticas, sabe-se que estas ocorrem a volume constante, isto é 0=vε . No caso do exemplo acima, onde o disco foi deformado plasticamente sob condições de

deformação plana, tem-se que 00 ==++=∆

= zzyxv ,vv εεεεε e, então,

VyHx εεεε −=−== , tal como mostrado na Figura 3.21. 3.7 – RELAÇÕES ENTRE DEFORMAÇÕES E CAMPOS DE DESLOCAMENTOS Seja um corpo que, antes de ser carregado, teve dois pequenos segmentos de linhas retas desenhadas ou marcadas numa pequena região plana da sua superfície ou do seu interior. Sem perda de generalidade estas linhas podem ser consideradas retas e ortogonais. Após o corpo ser deformado, descontadas as translações e rotações de seus pontos, as deformações causadas nestas linhas podem ser estudadas. Supõe-se que estas linhas permaneçam retas porque os pontos que as definem estão muito próximos uns dos outros, tal como mostrado na Figura 3.22. Supõe-se também que as retas OA e OB sejam inicialmente coincidentes com os eixos fixos X e Y respectivamente.

Figura 3.22: Deslocamentos de um corpo deformável carregado A variação linear do segmento OA, inicialmente paralelo ao eixo X será:

OAwvuuOAOAOAOA −∆+∆+∆+∆+=− 2222 ..2' (3.65) Se for utilizada uma definição Lagrangeana para as deformações tem-se:

OAOA'OA

OA−

=ε (3.66)


28

e então:

( )2

2222 211

OAwvu

OAu.

OA∆+∆+∆

+∆

+=+ε (3.67)

Se o campo de deslocamentos (u, v, w) dos pontos do corpo for conhecido pode-se aplicar uma expansão em Taylor para determinar-se os deslocamentos do ponto A em função do conhecimento dos deslocamentos do ponto, O, próximo e distante dx de A. Assim,

dxxuOuAuu

dxdxsedxxuOudx

xudx

xuOudxOuAu

dxOtoDeslocamenAtoDeslocamen

Ao ∂∂

=−=∆∴

<<∂∂

+≈+∂∂

+∂∂

+=+=

+=

)()(

)(....21)()()(

)()(

222

2 (3.68)

De forma análoga, para os deslocamentos de A nas outras direções pode-se escrever que:

( ) ( )222

22 2111 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+=+=+xw

xv

xu

xu.

xOA εε (3.69)

Raciocínios análogos para segmentos posicionados sobre os eixos Y e Z definirão deformações lineares yε e zε . Para o conhecimento do estado de deformação referente à região do ponto O é também necessário determinar-se a distorção do ângulo reto AÔB. Define-se então γAB como sendo π/2-A’Ô’B’. Para OA e OB, coincidindo inicialmente com os eixos X e Y tem-se:

απγγ −==2xyAB (3.70)

αγ cossin AB =∴ (3.71) O cosseno de α pode ser calculado através do produto escalar dos vetores 'A'O e 'B'O , isto é:

'B'O'A'O

'B'O.'A'Ocos =α (3.72)

Como:

( )dx'OA,OA

OA'OAe'OA'A'O xx 1+=−

== εε (3.73)

e então

( )( ) dy.dx'B'O.'A'Ocos

yx 11 ++=

εεα (3.74)


29

Sabe-se que:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

+=∆∆∆+=xw,

xv,

xudxdx

xw,dx

xv,dx

xudxw,v,udx'A'O 1 (3.75)

Similarmente,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

=yw,

yv,

yudy'B'O 1 (3.76)

Então:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

=yw.

xw

yv.

xv

xv

yu.

xu

yudy.dx'B'O.'A'O (3.77)

Logo:

( )( )11 ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

==yx

xyyw.

xw

yv.

xv

xv

yu.

xu

yu

cossinεε

αγ (3.78)

Repetindo-se as expressões acima, estendendo as deduções para as outras direções e considerando-se simetrias, por exemplo, γxy e γyx, tem-se que:

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )11

11

11

211

211

211

1

1

1

2222

2222

2222

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

=

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

=

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+=+

−

−

−

zyyz

zxxz

yxxy

z

y

x

zw.

yw

zv.

yv

yw

wu.

yu

zv

sinsin

zw.

xw

zv.

xv

xw

zu.

xu

zu

sinsin

yw.

xw

yv.

xv

xv

yu.

xu

yu

sinsin

zw

zv

zu

zw.

yw

yv

yu

yv.

xw

xv

xu

xu.

εεγ

εεγ

εεγ

ε

ε

ε

(3.79)


30

Estas expressões associam os campos de deslocamentos às deformações de cada ponto do corpo segundo a definição langrangeana. Estas expressões são válida para grandes deformações. Para pequenas deformações, elas podem ser simplificadas, considerando-se como pequenos os termos quadrados ou os duplos produtos. Por exemplo, tem-se que:

( )xu

xu.. xxx ∂

∂=⇒

∂∂

+≈+≈+ εεε 21211 2 (3.80)

e então:

zv

yw,

zu

xw,

xv

yu

zw,

yv,

xu

yzxzyx

xyx

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=

∂∂

=∂∂

=∂∂

=

γγγ

εεε (3.81)

Pode-se também mostrar que as deformações acima definem um tensor, chamado de tensor das deformações, que está apresentado abaixo. Para este tensor valem todas as propriedades já definidas para o tensor das tensões.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

zyzxz

yzy

xy

xzxyx

εγγ

γε

γ

γγε

22

22

22

(3.82)

3.8 – DEFORMAÇÕES NAS SUPERFÍCIES LIVRES DE COMPONENTES Nesta seção serão tratados os elementos de volume ou paralelepípedos elementares que possuem uma de suas faces coincidentes com as superfícies livres de componentes. As superfícies livres definem os contornos dos corpos carregados. Tensões normais ou cisalhantes só poderão existir e atuar nestas superfícies quando estas estiverem em contato direto com outras superfícies. A inexistência de tensões cisalhantes atuantes nestas faces implica na conclusão que estas correspondem a planos principais onde as tensões normais são iguais a zero. Neste caso, o estado de tensões para um paralelepípedo elementar que tenha uma face fazendo parte de uma superfície livre será caracterizado como um estado plano de tensões. Seu plano da face é denominado de plano III e a tensão normal nele atuante é σIII=0. Caso haja uma pressão atuante na superfície, a tensão normal atuante será igual ao valor da pressão, isto é, σIII = p < 0. Em princípio, são sobre as faces dos elementos que estão nas superfícies livres que as medições de variações de comprimentos são feitas para determinação das deformações. Métodos


31

experimentais de malhas, de correlação digital de imagens (DIC) e extensômetros de resistência elétrica (EREs) são utilizados desta forma. Nesta seção, as deformações lineares e de distorção serão redefinidas, sob um ponto de vista geométrico, para os elementos das superfícies livres que estão submetidos a pequenas deformações. Seja um retângulo cujos lados têm comprimentos iguais a Lx e Ly, respectivamente paralelos aos eixos X e Y, Figura 3.23. Este retângulo, desenhado na superfície de um corpo antes deste ser carregado e deformado, define um ponto P. Após o carregamento, o corpo se desloca e deforma, e o ponto P passa a ser chamado de P’. O antigo retângulo se deforma. Os lados, antes paralelos às direções X e Y, assumem direções inclinadas de θx e θy com relação a estes eixos e passam a ter comprimentos iguais a Lx + ∆Lx e Ly + ∆Ly. As seguintes relações geométricas podem ser escritas definindo as deformações que ocorreram neste ponto:

toRe.Ang.DistLyLy

LxLx

yxxy

yx

=+=

∆=

∆=

θθγ

εε (3.83)

Figura 3.23: Deformações num corpo carregado

Além das direções X e Y que passam pelo ponto, outras direções ortogonais, tais como α e α+π/2, podem ter suas deformações definidas por:

Componente antes do carregamento

P

Y

X

P’

A

A’

Y

X

P’

P

Lx

Ly Lx + ∆Lx

Ly + ∆Ly

θx

θy

π/2 − γxy

Componente depois do carregamento


32

toRe.Ang.Dist

L

L

LL

,=+=

∆

=∆

=

++

+

+

+

22

2

2

2

πααπαα

πα

παπαα

θθγ

εααε

(3.84)

Figura 3.24: Direções ortogonais para definição de deformações

Se o estado de deformação no ponto considerado for conhecido, isto é, as deformações segundo quaisquer eixos ortogonais forem conhecidas, por exemplo, para os eixos X e Y, então as deformações para outros eixos ortogonais, que passam pelo ponto, também poderão ser determinadas a partir das seguintes expressões:

αγ

αεεεε

εα 22

222

sencos xyyxyx +−

++

= (3.85)

αγ

αεε

γ παα2

22

22

cossen xyyx

,+

−−=

+ (3.86)

Existem direções ortogonais I e II que passam pelo ponto e que não sofrem distorção do ângulo reto, isto é γI,II=0. Estas direções são as principais e coincidem com as direções das tensões principais. As deformações lineares que ocorrem nestas direções são também chamadas de principais e podem ser calculadas a partir de:

( ) ( )

( )88.32

87.32

421

2

,

22

,

yx

xyIII

III

xyyx

yxIII

tgεε

γα

εε

γεε

εεε

−=

>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−±

+=

Os Extensômetros de Resistência Elétrica, EREs, medem somente encurtamentos ou alongamentos nas direções dos seus fios paralelos. Assim, a mudança ou distorção do ângulo reto


33

γxy é avaliada a partir das medições lineares determinadas para três direções independentes que passam pelo ponto, por exemplo, εx, εy e εα. A determinação das deformações principais que atuam num ponto da superfície de um corpo é feita através das três informações independentes que são conseguidas com a instalação de uma roseta composta por três extensômetros, comumente posicionados a 0, 45 e 900, tal como mostrado na Figura 3.25 e indicado nas equações (3.89):

Figura 3.25: Roseta extensométrica

( )

( ) ( )245

2,

45

45

0

22

,

.221

2

.2

45.22

45.2cos22

45

22

2cos22

24

21

2

yxyxyx

III

yxxy

xyyxyx

xyyxyx

xyyx

yxIII

sen

sen

εεεεεεε

ε

εεεγ

γεεεεε

α

αγ

αεεεε

ε

γεε

εεε

α

α

α

α

−−+−±+

=∴

−−=

+−

++

=

=

+−

++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−±

+=

=

=

=

(3.89)

As direções principais são dadas por:

2900

22

450

45

yx

yx

yxII,I

III

seI

.tg

εεεα

εεεεε

α

εε

α

α

+><<

−

−−=

>

=

= (3.90)


34

3.9 – RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES Nesta seção serão tratadas as relações entre as tensões e deformações que ocorrem nos pontos dos materiais. De um modo geral, as teorias avançadas de Elasticidade, Plasticidade e Mecânica da Fratura procuram modelar materiais contínuos e cujas propriedades são medidas e são válidas para “pontos” que têm dimensões finitas e devem envolver um número razoável de grãos. Assim, o “ponto” de um material policristalino deve ser representado por um paralelepípedo elementar com tamanho de aresta da ordem de, pelo menos, 5 a 10 grãos. A Figura 3.21 procura ilustrar esta observação através de um paralelepípedo que tem arestas com comprimentos aproximadamente iguais a 5 grãos. A homogeneidade do material deve ser entendida para um volume de material com um tamanho desta ordem. Ao mesmo tempo, a tensão uniforme σy, atuando na face Y, deve ser entendida como o valor médio das tensões normais, que são componentes das tensões totais que atuam em faces Y bem menores que os próprios grãos.

Figura 3.26: Dimensões típicas para o paralelepípedo elementar ser considerado como homogêneo e isotrópico com a finalidade de representar a resposta macroscópica do comportamento do material quando submetido a um estado de tensão. Tensões e propriedades serão dependentes do tamanho do “ponto” considerado

Para os componentes metálicos estruturais, as deformações que ocorrem quando estes são carregados com tensões de trabalho (geralmente entre 10% e 80% do seu limite de escoamento) são bastante pequenas e, por isto, medições diretas das variações de comprimento com paquímetros e micrômetros são inviáveis. Por exemplo, seja uma barra de aço de baixo carbono, com seção circular definida por um diâmetro igual a 10 mm. Esta barra é tracionada por um carregamento P igual a uma tonelada, provocando uma tensão normal igual à metade do seu limite de escoamento, conforme está mostrado na Figura 3.27. Pode-se verificar que as deformações longitudinal e transversal nos pontos da barra geram modificações muito pequenas nas suas dimensões originais. Medições destas modificações devem ser feitas através de técnicas

σz 5 a 10 grãos por aresta

σx

σy


35

de análise experimental de deformações – uma delas é aquela que usa os extensômetros de resistência elétrica, EREs.

Figura 3.23: Barra de aço carbono solicitada por tração. Tensões e deformações nominais

Os materiais estruturais devem ter limites de escoamento e tração adequados para fazer frente aos carregamentos que serão aplicados nas estruturas e também devem ser muito tenazes, sob todas as condições de trabalho, para evitar que ocorram falhas frágeis. A Figura 3.28 mostra, de modo esquemático e fora de escala, uma curva tensão – deformação característica de um ensaio de tração, onde um corpo de prova é submetido a um carregamento normal trativo. A partir dos ensaios de tração várias propriedades mecânicas dos materiais estruturais são determinadas, tais como os limites de resistência ao escoamento e à tração, o alongamento após a fratura, e as propriedades elásticas, tais como o módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson ν.

Figura 3.28: Comportamentos elástico e plástico do material.

O conhecimento das propriedades elásticas permite que as relações entre tensões e deformações para materiais isotrópicos possam ser escritas, baseadas na chamada lei de Hooke generalizada. As propriedades elásticas podem ser medidas num ensaio de tração com o auxílio de células de carga e EREs. Através do conhecimento da força atuante no ensaio, P, a tensão normal σx = P/A


36

pode ser calculada e relacionada com a deformação normal εx medida pelo ERE para pontos do gráfico que estão na região linear elástica do material, Figura 3.29. A Figura 3.30 ilustra deformações elástica, plástica e total para um ponto do corpo prismático que foi instrumentado com um ERE.

Figura 3.29: Barra tracionada e instrumentada por um extensômetro elétrico

Figura 3.30: Comportamento elástico-plástico de um material estrutural.

As expressões (3.91) apresentam a lei de Hooke generalizada para materiais elásticos, lineares e isotrópicos.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=−=

=

zx

xy

xx

E

E

UniaxialCaso

εσννεε

σε


37

( )

( )

( )( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=

=+

=

=+

=

−−=

−−=

−−=

GE

GE

GE

E

E

E

GeralCaso

zyzyzy

xzxzxz

xyxyxy

xyzz

zxyy

zyxx

ττνγ

ττ

νγ

ττνγ

νσνσσε

νσνσσε

νσνσσε

12

12

12

1

1

1

( )GE

PurotoCisalhamenEE

EE

BiaxialCasoE

E

UniaxialCaso

xyxyxy

yxy

yxx

xxy

xx

ττνγ

σσνε

σν

σε

σννεε

σε

=+

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

−=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−=

=

12

(3.91)

As relações completas para um caso biaxial qualquer são dadas por:

( )

( )

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

+−

=

+−

=

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=

+−=

−=

xyxy

xyy

yxx

xyxyxy

yxy

yxx

G

E

E

GE

EE

EE

BiaxialCaso

γτ

νεεν

σ

νεεν

σ

ττνγ

σσνε

σν

σε

2

2

1

1

12

(3.92)

Além dos estados biaxiais ou planos de tensão, também têm importância prática os estados planos de deformação. Estes estados são definidos como aqueles onde as deformações relativas a uma determinada direção são nulas, por exemplo, quando 0=== zyzxz γγε . Aplicando esta definição às expressões gerais das relações entre tensões e deformações, alcança-se a conclusão de que é necessária a existência de uma tensão σz para que εz seja zero, isto é:

( ) ( )yxzxyzz Eσσνσνσνσσε +=⇔=−−= 01 (3.93)

Para o caso do estado plano de deformações tem-se então que:

( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )( )[ ]

( )[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−−−

=

+−−−

=

+=⇔=

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−−=

+−−=

+=⇔=

xyy

yxx

yxzz

xyy

yxx

yxzz

E

E

E

E

νενενν

σ

νενενν

σ

σσνσε

σννσνε

σννσνε

σσνσε

121

121

0

111

111

0

2

2

2

2 (3.94)


38

Pode ser tomado como exemplo o caso de um duto de paredes finas enterrado, onde seus deslocamentos longitudinais causados por variações de temperatura ou pela pressão interna são contidos pelo solo, por causa do grande comprimento de contato entre o duto e o solo. No caso do duto enterrado, as expressões (3.94) podem ser re-escritas levando-se em consideração que na direção radial da parede do duto tem-se uma tensão radial igual a p (pressão interna), isto é,

pr =σ . Esta tensão radial é pequena e quando comparada com a tensão circunferencial

tpD

c 2=σ (3.95)

Isto ocorre em decorrência da razão D/t ser muito grande para os tubos de paredes finas. Fazendo cr p σσ <<= e identificando as coordenadas c, l e r como sendo respectivamente x, z e y tem-se:

( )crcccl

rr

EEe

e

σννεσνενσσ

σε

+−=

−==∴

≈=

11

002 (3.96)

O caso do estado plano de deformação para o duto enterrado pode agora ser comparado com o caso de estado plano de tensão que existe para um vaso de pressão, construído com um tubo com geometria idêntica ( D e t), que possui um comprimento bem menor e tem tampos fechando suas extremidades. Para este caso a condição de deformação zero na direção longitudinal não é mais aplicável e passa a existir uma tensão longitudinal igual a

24c

l tpD σ

σ == (3.97)

que é determinada a partir das condições de equilíbrio de forças para a direção longitudinal do vaso. Neste caso de estado plano de tensão (notar que 0→= prσ quando comparada com σc) tem-se que:

302350

21

21

21

221

2.quando.

tEpDe

tEpD

c

llc ==

−

−=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ν

ν

ν

εε

νενε (3.98)

3.10 – RELAÇÕES GERAIS ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES. MATERIAIS ANISOTRÓPICOS Pode-se relacionar o tensor das tensões [σ] ou σij, i=1,2,3, j=1,2,3, com o tensor das deformações [ε] ou ε kl, k=1,2,3, l=1,2,3, através das constantes elásticas generalizadas Eijkl tal que:

331133321132311131231123221122211121131113111211111111 2 εεεεεεεεεσ .E.E.E.E.E.E.E.E.E ++++++++= (3.99)


39

Assim, existem 81 componentes de Eijkl relacionando os tensores σij e ε kl, isto é:

klijklij .E εσ = (3.100) Devido à simetria dos tensores σij= σji e εkl= εlk, apenas 36 componentes do vetor Eijkl precisam ser conhecidas:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++++=

+++++=+++++=

33662365226413632162116166

33262325222413231222112112

33162315221413131212111111

εεεεεεσ

εεεεεεσεεεεεεσ

.E.E.E.E.E.E......................................

.E.E.E.E.E.E.E.E.E.E.E.E

(3.101)

Da mesma forma a relação inversa entre [ε] e [σ] pode ser escrita tal que:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

33

23

22

13

12

11

66

161514131211

33

23

22

13

12

11

σσσσσσ

εεεεεε

C..............................

CCCCCC

(3.102)

Pode-se mostrar que [C] é simétrica. Para isto, são aplicados três procedimentos de cálculo da energia total de um elemento de volume de um corpo, supondo que este está submetido às tensões 11σ e 22σ apenas. No primeiro procedimento aplicam-se as duas tensões monotônica e simultaneamente. No segundo, a tensão 11σ é aplicada primeiro. Depois, 22σ é aplicada . No terceiro, a ordem de aplicação destas tensões é invertida. Como a energia de deformação deve permanecer constante, qualquer que seja a ordem de aplicação das tensões, mostra-se então que Cij=Cji. Estes três procedimentos estão ilustrados abaixo: a) Aplicação simultânea:

( ) ( )

( )( )221114412

22442

1111

22441141222214111111

21

21

21

2

σσσσ

σσσσσσ

εσ

.CCCCU

CCCCU

U

TOTAL

TOTAL

iiTOTAL

+++=

+++=

= ∑

(3.103)

b) Primeiro 11σ e, depois, 22σ : deve-se notar que a tensão já aplicada, 11σ , deve ser multiplicada pela parcela de deformação 142211 Cσε = causada pela tensão 22σ .


40

( ) ( )

( ) 2211142

22442

1111

142211224422112

11

21

21

21

σσσσ

σσσσσ

.CCCU

CCCU

b

b

++=

++= (3.104)

c) Primeiro 22σ e, depois, 11σ :

( ) 2211412

22442

111121 σσσσ .CCCUc ++= (3.105)

Como 4114 CCUUU cbTOTAL =⇒== e, então, jiij CC = . Assim, apenas 21 componentes

das 36 iniciais consideradas para ijC precisam ser conhecidas para descrever as propriedades elásticas de um material anisotrópico. As 21 constantes independentes de ijC serão reduzidas a apenas 2 constantes elásticas caso um material isotrópico seja considerado. Isto pode ser visto da seguinte forma:

1. C11 = C22 = C33 = 1/E 2. C44 = C55 = C66 = 1/2G 3. σ11 não deve provocar cisalhamento. Assim C14=0 e, então, C24 = ...=C36 = 0. 4. O efeito de Poisson é dado por 221112 εσ =C se apenas 11σ existir. Então,

E/CCC ν−=== 231312 . 5. A tensão 12σ não deve provocar cisalhamento na direção de 13ε . Então,

0564645 === CCC . 6. Usando a definição de estado de cisalhamento puro pode-se chegar à conclusão que:

( )ν+=

12EG .

Então, para o material isotrópico tem-se:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

33

23

22

13

12

11

33

23

22

13

12

11

100000010000001000000100010001

σσσσσσ

νννννν

εεεεεε

G/G/

G/E/.E/E/E/E/E/E/E/E/

(3.106)


41

3.11 – MATERIAIS ORTOTRÓPICOS Muitos materiais encontrados na engenharia são denominados transversalmente isotrópicos ou ortotrópicos. Exemplos destes materiais são: madeiras, compostos de polímeros reforçados por mantas bidirecionais e/ou fibras de fibra de vidro ou carbono posicionadas unidirecionalmente. Dependendo de como as fibras são dispostas nas mantas bi ou unidirecionais, estes materiais passam a necessitar de 9 a 5 (por causa das relações de reciprocidade) constantes elásticas para descreverem sua matriz elástica [C]. Algumas formas possíveis de empilhamento das fibras unidirecionais são caracterizadas por arranjos do tipo: retangular, quadrado e hexagonal. As constantes [C] para os arranjos retangular, hexagonal e quadrado são expressas por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

23

12

12

23221

23221

12121

23

13

12

33231

23221

13121

GG

GE

EE

C

GG

GE

EE

C

quadrado

gulartanre

νννννν

νννννν

(3.107)

Num arranjo hexagonal tem-se que a constante é dada por:

( )23

323 12 ν+

=E

G (3.108)

Ao estudar-se um caso plano tem-se a necessidade de se determinar tensões apenas nas direções I e II como mostra a Figura 3.25. Desta forma, apenas 4 constantes precisam ser determinadas ( IIIIIIIIIIII G,,,E,E νν ), sendo que apenas 3 são independentes. A equação de reciprocidade que descrevem as relações de dependência entre os coeficientes de Poisson são as seguintes:

3

32

2

23

3

31

1

13

2

21

1

12EE

;EE

;EE

νννννν=== (3.109)


42

3.12 – EQUAÇÕES DA ELASTICIDADE 3.12.1 – Equações de Equilíbrio As equações de equilíbrio para as tensões em torno de um ponto podem ser obtidas a partir da análise direta do equilíbrio de um paralelepípedo elementar que represente um pequeno volume dV de material. Este paralelepípedo é definido por planos paralelos e ortogonais que distam pequenas distâncias dx, dy e dz entre si. Para facilidade de desenvolvimento, assume-se que neste volume as forças de corpo e geradas por acelerações sejam desprezíveis quando comparadas com as forças de superfície que atuam em suas faces. Sem perda de generalidade, apenas os eixos X e Y estão mostrados na Figura 3.31. Nos quatro planos, X, X+dx, Y e Y+dy, estão posicionadas as componentes de tensões paralelas aos eixos X e Y, que definem as tensões totais que atuam em cada plano. O equilíbrio será estudado com relação ao momento de forças em torno do eixo Z e com relação à resultante de forças nas direções X e Y.

Figura 3.31: Tensões atuantes no paralelepípedo elementar com dimensões infinitesimais

• Equilíbrio do momento em relação a um eixo que passe pelo centro do volume elementar e seja paralelo ao eixo Z:

yxxy

yxyxyx

xyxyxy

dydxdzdy

ydy

dxdzdx

dydzdxx

dxdydz

ττ

τττ

τττ

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂++ 0

2.

2.

2.

2.

(3.110)

• Equilíbrio das forças que atuam na direção Y:


43

yx

dydzdxx

dxdzdyy

dxdzdydz

yxx

xx

yxyxyxx

∂

∂=

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++−

τσ

σσ

τττσ 0

(3.111)

• Equilíbrio de forças na direção X. Analogamente,

xyxyy

∂

∂=

∂

∂ τσ (3.112)

3.12.2 – Equações de Compatibilidade As equações de compatibilidade são necessárias para que as três deformações conhecidas para um certo elemento, xyyx ,, γεε , gerem campos de deslocamentos compatíveis u, v, a partir das integrações das deformações. Sabe-se que as relações entre deformações e deslocamentos originam as expressões:

xv

yu

yv

xu

xyyx ∂∂

+∂∂

=∂∂

=∂∂

= γεε (3.113)

Para que os campos de deslocamento u, v gerados a partir das deformações sejam possíveis, a seguinte relação matemática deve ser obedecida:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂

∂=

∂∂

∂+

∂∂

∂=

∂∂

∂→

∂

∂+

∂∂∂

=∂

∂

yv

xxu

yyxv

xyu

yxxv

xyu

xxyxy

2

2

2

2

2

3

2

32

2

22 γγ (3.114)

yxxy

xyyxεε

γ2

2

2

22

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

∂∴ (3.115)

A equação de compatibilidade também pode ser escrita, em termos de tensões, utilizando-se as relações elásticas entre tensões e deformações:

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

∂+2

2

2

2

2

2

2

22112

yxxyEyxEyxyxxy σσ

νσστν (3.116)

Considerando-se as equações de equilíbrio


44

xye

yxxyyxyx

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂∂ τστσ

(3.117)

e a soma de suas segundas derivadas

yxyxxyyx

∂∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂ τσσ 2

2

2

2

22 (3.118)

pode-se encontrar a equação harmônica que rege a teoria da elasticidade:

02

2

2

2

2

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

yyxxyxyx σσσσ

(3.119)

( ) ( ) 00 22

2

2

2=+∇=+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂∴ yxyx ou

yxσσσσ (3.120)

3.12.3 – Função de Tensão ou Função de Airy. Equação Bi-harmônica. Pode-se mostrar que toda função ( )y,xφ diferenciável, que seja relacionada da seguinte forma com as tensões atuantes num ponto:

yxyxxyyx ∂∂

∂−=

∂

∂=

∂

∂=

φφφτσσ

2

2

2

2

2 (3.121)

obedece às equações de equilíbrio. Se ( )y,xφ for continuamente diferenciável, as suas definições podem ser substituídas na equação harmônica e gerar a equação bi-harmônica:

000 4222

2

2

2

2

2

2

2

=∇=∇∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

φφφ ououyxyx

(3.122)

As funções ( )y,xφ que satisfazem a equação bi-harmônica e atendem às condições de contorno de um problema serão sua solução.


45

3.13 – REFERÊNCIAS 1. “Mechanical Engineering Design”, Shigley, J.E., Mischke, R.C., Budynas, R.G., 7a edição,

McGraw-Hill, 2004. 2. “Mechanics of Materials”, Craig, R.R., Wiley, 2000. 3. “Experimental Stress Analysis”, Dally, J.D., Riley, W.F., 4a edição, College House

Enterprises, 2005. 4. “Mecânica dos Materiais”, Gere, J.M., Thompson, 2003. 5. “Principles of Solid Mechanics”, Richard Rowlands, CRC, 2001. 6. “Strength of Materials”, Frocht, M.M., Ronald Press, 1951. 7. “Advanced Strength of Materials, Den Hartog, J.P., Dover, 1952. 8. “Strength of Materials”, Partes 1 e 2, Timoshenko, S.P., Lancaster, 1944 e 1945. 9. “Theory of Elasticity”, Timoshenko, S.P., Goodier, J.N., McGraw-Hill, 1970. 10. “Applied Elasticity”, Wang, C-T., McGraw-Hill, 1953. 11. “Advanced Mechanics of Materials”, Boresi, A., Schmidt, R., Sidebottom, O., 5a edição,

Wiley, 1993 - edição original - “Advanced Mechanics of Materials”, Seely, F.B., Smith, J.O., 2a edição, Wiley, 1952.


46

APÊNDICE AO CAPÍTULO 3: FÓRMULAS PARA TENSÕES E DEFORMAÇÕES

Os Extensômetros de Resistência Elétrica, EREs, medem somente encurtamentos ou alongamentos nas direções dos seus fios paralelos. Assim, a mudança ou distorção do ângulo reto �xy é avaliada a partir das medições lineares determinadas para três direções independentes que passem pelo ponto, por exemplo, εx, εy e εα.

( )

( ) ( )

2900

.22

.221

2

.2

45.22

45.2cos22

45

22

2cos22

24

21

2

450

45,

245

2,

45

45

0

22

,

yx

yx

yxIII

III

yxyxyx

III

yxxy

xyyxyx

xyyxyx

xyyx

yxIII

seI

tg

sen

sen

εεεα

εεεεε

α

εε

εεεεεεε

ε

εεεγ

γεεεεε

α

αγ

αεεεε

ε

γεε

εεε

α

α

α

α

α

α

+><<

−−−

=

>

−−+−±+

=∴

−−=

+−

++

=

=

+−

++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−±

+=

=

=

=

=

=

X

αΙ

Y

P

α=450

αΙΙ

1 - Definição do estado de deformação através de três ERES

Estado de tensão no ponto e sua definição

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−

−=+−=

=

+><<

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−

+±

−+

=

IIIIIIIII

III

yxI

yxyxyx

III

E

se

E

GeralBiaxialCaso

εεν

νσσνε

σ

εεεα

εεεεενν

εεσ

1

02

900

21

112

450

245

2,

σx σy τyx τxy

Y

X

Z

σy

Roseta para determinar deformações em Estado Biaxial Geral na superfície de um componente estrutural


47

Q

Q

τxy

X

Y

y

Z

perfiltiposeçãoAQ

gularreseçãoAQ

circularseçãoAQ

estáticomomentoMEDI

BIMEQ

alma

=

=

=

==

=

τ

τ

τ

π

τ

tan.2.3.3.4

,64

..

4

σx= σ1P P

σx= σ1

X

2 - Tensões em componentes prismáticos

HBADA

AP

.,4

2

==

=

π

σ

σx= σ1

M

M X

Y

y

Z

12.,

64

.

34 HBIDI

IyM

==

=

π

σ


48

X

3 - Tensões em componentes tubulares sob pressão interna

tDptDp

l

c

4.2.

=

=

σ

σ

p

D

r

σl

σc

t

Exemplo: vaso de pressão com costado cilíndrico de paredes finas. Tensões atuantes em ponto da superfície externa do vaso, longe dos tampos de fechamento localizados nas suas extremidades

4 - Tensões residuais

P

Sy Sy

My M

Sy

A

B

C

A

B

C

B’

B’ C’

C’

A

σ

ε

- M M- M = 0 + => =>

Componente carregando

Componente carregado

Componente descarregando Componente

descarregado

My M

M- M = 0


49

5 - Colapso plástico em componentes

P

Sy Sy

My Mp

A

B

C

B’

C’

( )

50.1

4..

4.

2...2

6..

3.4

.....22.2

tanRe

2

22/

0

3

2/

0

2/

0

=

==

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=== ∫∫

y

p

yyp

yh

y

hy

h

y

MM

hbShhbSM

hbSyhbS

yydybhS

ydAM

gularSeção

σ

1.14 ou 1.60 Perfil I

1.27 Tubular d/t grande

1.7 Circular

1.5 Flexão Retangular

1 Tração Qualquer

Razão Ep/Ey Esforço Seção


50

r

R

rn

r0

ri

M M

( )

cabaricêntrifibraàrelaçãocomcalculadoéM

neutrafibraàrelaçãocommedidoéy

RreseçãodaáreaA

rdAAr

yreAyM

n

n

nc

−==

=

−=

∫

...σ

rn

y e

Rh

i

on

i

e

rr

hr

hrR

hbAtângulo

122

ln

2

.Re

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+=

=

R rn r0 ri

e h

bi

bo

bi

bo bo

bi c1

c2 d

ti

to

ti

to t/2

b

( )[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

++

+=

+=

−

i

oh

rbrbio

n

oi

oii

io

rrbb

Ar

bbbbhrR

hbbA

Trapézio

iooi ln

23

.2

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

=

+++

+=

ii

oo

i

iii

oin

oi

oooii

crrb

rcrb

cbcbr

cbcbcbccbcbrR

TSeção

lnln

22

21

21

221

21

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−+−

=

+−+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−+

+=

ii

oo

oo

oo

i

ii

ooiin

ooii

ooii

i

trtrt

trrb

rtrb

httbttbtr

httbttbt

thtbttbtthrR

TDuploouISeção

lnlnln

221

21 022

( ) ( )

( )( )( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

+−+=

+−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−+

+=

ii

oo

oo

o

i

ii

oin

io

oi

i

trtrt

trrt

rtrb

httbttr

httbtt

thtbttbtthrR

Tubulartângulo

lnlnln

221

21

Re

022

( )22

2

424

2

dRRdr

drR

Circular

n

i

−−=

+=

6 - Vigas curvas e ganchos. Shigley et alli [1]


51

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

−=

acbA

caR

acbAtângulo

m ln.

2

.Re

R rn c a

h

b1

b2

d

( )( )

( )

∫∫

∫

==

−−

=

=

=

−−

+=

r

am

r

a

m

mmr

mn

m

m

mc

rdAAdAA

MAARArtb

AAAAAAr

rdAA

AARrArAAM

AN

''

....''

....

σ

σ

( )

( ) ( )( )

2121

21

2121

21

ln

322

.2

bbac

acabcbA

bbbbcbbaR

cabbA

Trapézio

m +−−−

=

++++

=

−+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

=

+=

4.2

4.

2

22

2

dRRA

dA

daR

Circular

m π

π

7 - Vigas curvas e ganchos. Boresi et alli [11]

b

2b1 2b2

( )( )2

122

22

22

21

.2

2

bRbRA

bbA

daR

Tubular

m −−−=

−=

+=

π

πm

ni

ii

mim

i

AAr

AAR

R

AA

AACompostasSeções

==

=

=

∑∑∑

∑

b1

b

h

a

b θ

a

b2

a

c

( )

( ) ( )( )

2121

21

2121

21

ln

322

2

bbac

acabcbA

bbbbcbbaR

acbbATrapézio

m +−−−

=

++++

=

−+

=

( )ahha

hbhaa

hbbA

haR

bhA

elipseMeia

m12222 sin22

34

2

−−−−−+=

−=

=

ππ

π

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−++

−+−=<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−+−−−=>

−+=

−=

−

θθθθθ

θθπθθ

θθθ

θθ

cossincosln2sin22

coscossin2sin22

2sin23sin4

2sin2

2222

12222

3

22

baababbabbaAbaSe

baabbababaAbaSe

baR

bbAcírculodeArco

m

m


52

b θ

a

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−−−−+=

−−=

−=

−

θθπθθ

θθθ

θθ

coscossin2sin22

2sin23sin4

2sin2

12222

3

22

baabbababaA

baR

bbA

círculodeArco

m

( )( )

( )

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=→>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−=

=

=

==

−−

=

=

=

−−

+=

∫∫

∫

π

π

θ

θ

θ

σ

σ

212

2

212

cos12

cos2

sin2

'

...''

....

0

0

0

'

PRMhR

RAAPRM

PRMM

PN

PV

rdAAdAA

MAARArt

AAAAAAr

rdAA

AARrArAAM

AN

m

x

r

am

r

a

m

mmr

mn

m

m

mc

P

P

P/2 M0

Mx N V

R

θ

B

F

C

H

h


53

Cilindros com paredes espessas

( )

( )

βµ

εµεµ

σ

εµεµ

σ

εε

βσσσ

Eru

drdu

rdrud

E

Eru

drdu

drd

r

F

crr

rcc

cr

rrc

radiais

2

22

2

2

2

11

.1

.1

0

0

−=−+

+−

=

+−

=

==

=−−−

=∑

cσ

dθ/2

cσrσ

drr

rr ∂

∂+

σσ

dr

β

24221

23221

.1.

.1.

rKr

KK

rKr

KK

r

c

−−=

−+=

σ

σ

r

r0

ri pi

po w

( )22

0

2200

2

220

200

2

1..

0

i

ii

i

ii

rrrrppK

rrrprpK

w

−−

=

−−

=

=

2012

220

2

1

0

.

.

00

rKK

rrrpK

pw

i

ii

=

−=

==

212

220

200

1

.

.

00

i

i

i

rKK

rrrpK

pw

=

−−

=

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−++

+=

22

20

22

022

22

20

22

022

83

331

83

rrrrrr

g

rrrrrr

g

iir

iic

ρϖµσ

µµρϖµσ

Cilindros montados com interferência

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

=

−=

====

ii

i

oi

oi

abab

Ebp

bcbc

Ebp

totalradialciaInterferênpppernoCilindro

pppexternoCilindro

µµδ

δδδδ

22

22

022

22

0

0

0int0

212

22

2

1

0

.

.

0int

aKKabbpK

ppwernoCilindro

=−

−=

==

a

b

c

212

22

2

1

.

.

0

cKKbc

bpK

ppwexternoCilindro

i

=−

=

==

y

i

y

i

y

i

yiotm

i

Sp

Sp

Sp

C

CacC

bc

ab

Sacacp

babp

otimizadoojeto

−

+++

=

===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−

=

−=

3

121

2

Pr

2

2

22

22

2

22

0 δδδ

3 anÁlise de tensÕes e...

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