a) Queremos mostrar que o comportamento de NA(t) é descrito por uma equação de 2a ordem. A questão nos fornece duas equações de taxa líquida de consumo para A e B, como segue:

Como queremos mostrar que o comportamento de NA(t) é descrito por uma equação de 2a ordem, isolaremos NB na equação da taxa líquida de A, obtendo:

(2.1)Ao substituirmos este NB na equação de taxa líquida de consumo para B, obteremos:

(2.2)

Multiplicando toda a equação por k2, obtemos:

(2.3)Conforme queríamos demonstrar, temos uma equação diferencial ordinária de 2a ordem.

b) É dado do problema que o número de mols inicial de NA é 1 mol e os demais números de mols são zero. Aplicando essas condições na equação de consumo de taxa líquida de A, teremos:

(2.4)

c) Devemos encontrar a solução completa para NA(t), para tanto iremos partir para o método de solução de EDO de 2a ordem. Partiremos da equação encontrada no item “a”, a qual apresentamos a seguir:

(2.5)

Num primeiro momento partiremos para a solução da equação homogênea e ficaremos com:

(2.6)Com intuito de reduzir as expressões, vamos adotar que:

e

Resolvendo a equação do segundo grau, teremos:

(2.7)Sendo assim, poderemos encontrar a solução da equação homogênea, que será da forma:

(2.8)A partir daqui faremos uso das condições iniciais e encontramos as constantes C1 e C2.Sabemos que para NA(0)=1, portanto:

(2.9)Derivando a equação homogênea e substituindo a condição de contorno encontrada na letra b, temos:

(2.10)Sabemos que a derivada de NA em relação ao tempo no instante t=0 é igual a k1, logo, se substituirmos, encontraremos os valores das constantes, haja vista já termos uma relação envolvendo C1 e C2. Então:

(2.11)Efetuando a operação distributiva e rearranjando as equações, temos:

Sabemos que , logo:

(2.12)

(2.13)Com isso, obtemos a expressão da equação homogênea, como segue:

(2.14)Da equação (2.3) vemos que o termo independente é uma multiplicação de constantes, o que nos leva a supor uma equação particular da forma:

(2.15)Precisamos obter as derivadas de primeira e segunda ordem desta equação particular representada pela equação (2.3), que são:

(2.16)

(2.17)Substituindo em (2.3) e efetuando a identidade, temos:

(2.18)Então:

Logo, a minha solução particular é da forma:

(2.19)Como temos (2.14) e (2.19) e sabemos que para compor a solução geral precisamos apenas somar as duas equações:

(2.20)Então,