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ZETETIK FE Unicamp v. 18, n. 33 jan/jun 2010

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Matemtica financeira: alguns elementos histricose contemporneos1

Neiva Igns Grando*e Ido Jos Schneider**

Resumo: Este artigo faz parte de uma pesquisa que teve como objetivo analisar

a importncia dos contedos de matemtica financeira para a vida das pessoas,

mostrando a necessidade de apropriar-se dos significados dos respectivos

conceitos para a tomada de decises diante das facilidades de crdito

proporcionadas pelo comrcio e por financeiras. Apresentam-se alguns

elementos histricos, a fim de que se possa compreender a origem da

matemtica financeira. Alm disso, faz-se uma discusso sobre alguns conceitos

da matemtica financeira, situando-os na atualidade. O contedo apresentado

faz parte das discusses sobre a necessidade de uma educao financeira na

educao bsica, para que os estudantes possam visualizar a matemtica de

forma contextualizada.

Palavras-chave:educao financeira; educao bsica; histria da matemtica.

Financial mathematics: some historical andcontemporary elements

Abstract: This article is part of a research whose goal was to analyze the

importance of the contents of financial mathematics for peoples lives by showing

the need to take hold of the meanings of the respective concepts in order to take

decisions before the easy credit provided by business and finance dealers. Some

historical elements are presented so that one may understand the origin of

1 Texto elaborado com base na Dissertao de Mestrado de Ido Jos Schneider, sob aorientao da Professora Doutora Neiva Igns Grando (Schneider, 2008).* Professora do Instituto de Cincias Exatas e Geocincias e do Programa de Ps-Graduao em Educao da Universidade de Passo Fundo (RS-Brasil). E-mail:[email protected]**Mestre em Educao pelo Programa de Ps-Graduao em Educao da Universidade dePasso Fundo (RS-Brasil). E-mail: [email protected]

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financial mathematics. In addition, some concepts of financial mathematics arediscussed, by situating them into the present time. The presented content is part

of the discussions about the need of financial education in basic education so

that students may visualize mathematics in a contextualized way.

Key words:financial education; basic education; history of mathematics.

Introduo

Os elementos histricos sobre o tema permitem uma melhorcompreenso dos conceitos atuais da matemtica financeira. Assim,apresentam-se algumas referncias, desde a sua origem, por meio dasprimeiras trocas comerciais, passando pelo uso de equivalncias nas

trocas, a criao da moeda, at as formas contemporneas de utilizaode contedos de matemtica financeira para a resoluo de problemas.

Sobre a origem da matemtica financeira

A matemtica financeira, historicamente, esteve muito ligada aoconceito e ao significado de comrcio, tanto que a maioria dos autores delivros desta rea do conhecimento denominou suas obras de Matemticacomercial e financeira. Humberto Grande, no prefcio da obra deCarvalho e Cylleno (1971, p. 3), chega a escrever que a histria docomrcio a prpria histria da civilizao e, ainda, que o comrcio osangue da economia..

Nas civilizaes primitivas, em que os homens sobreviviam

tirando diretamente da natureza os produtos para suprir suasnecessidades, as trocas comerciais praticamente no ocorriam. Porm,quando se iniciou a comunicao entre os primeiros grupos humanos,comearam tambm as trocas de mercadorias, a partir das quantidadesexcedentes que cada um possua, sem a preocupao de suaequivalncia de valor. Surgiu, ento, a primeira forma de comrcio entreas sociedades, a troca direta de mercadorias, assim descrita por Ifrah:

o primeiro tipo de troca comercial foi o escambo,frmula segundo a qual se trocam diretamente (e,portanto sem a interveno de uma moeda nosentido moderno da palavra) gneros e mercadorias

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correspondentes a matrias primas ou a objetos degrande necessidade. (1997, p. 145, grifo do autor).

Pode-se verificar que, na troca direta, as mercadoriasapresentavam-se no seu estado natural e eram destinadas a suprir asnecessidades fundamentais dos membros do grupo.

Mais tarde, com o contato cada vez maior entre as comunidadese com o desenvolvimento do artesanato e da cultura, comearam asurgir dificuldades nas trocas, por no haver uma medida comum devalor entre os produtos a serem permutados. Por isso, houve anecessidade de criar um sistema mais estvel de avaliao eequivalncia, com unidades chamadas de moeda-mercadoria oupadres fixos. Segundo Ifrah,

a primeira unidade de escambo admitida na Grciapr-helnica foi o boi. No sculo VIII a.C., na Ilada deHomero (XXIII, 705, 749-751 e VI, 236), uma mulherhbil para mil trabalhos assim avaliada em 4 bois, aarmadura em bronze de Glauco em 9 bois e a deDiomedes (que era de ouro) em 100 bois; ademais,numa lista de recompensas, vem-se suceder-se, naordem dos valores decrescentes, uma copa de pratacinzelada, um boi e um meio talento de ouro. (1997, p.146).

O boi, como padro de equivalncia, apresentava vantagens pelalocomoo prpria, pela reproduo e por seu uso na prestao de

servios. Outro padro de avaliao utilizado na poca foi o sal, cujovalor decorria do seu uso na conservao de alimentos. Por isso, apalavra salrio (remunerao, geralmente em dinheiro, devida peloempregador ao empregado para pagamento de servios prestados), noImprio Romano, teve sua origem creditada utilizao do sal comoequivalncia nas trocas comerciais. Nas ilhas do Pacfico, asmercadorias eram estimadas em colares de prolas ou conchas e, emoutras civilizaes, utilizaram-se os mais diversos objetos ou produtos,que serviram como critrio de valor e meio de troca comercial. NaAmrica Central pr-colombiana, os maias usavam algodo, cacau,cermicas; os astecas, pedaos de tecido, semente de cacau, a

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verdadeira pequena moeda com seu mltiplo, o xiquipilli, saco contendoou supondo-se conter 8.000 gros (Ifrah, 1997, p. 146-147), pequenosmachados em forma de Tou tubos de plumas preenchidos com ouro. NaChina, nos sculos XVI XI a.C., trocavam-se gneros e mercadorias porpadres como dentes ou chifres de animais, carapaas de tartarugas,conchas, couros e peles. Mais tarde, passou-se a usar como base armase ferramentas, que podiam ser de pedra, inicialmente, e depois debronze. No Egito faranico, as mercadorias eram pagas com metais comocobre, bronze e, por vezes, ouro e prata, divididos em pepitas oupalhetas, ou, ainda, na forma de lingotes e anis, cujo valor eradeterminado pelo peso.

A moeda de troca, no sentido moderno do termo, comeou a ser

utilizada quando o metal passou a ser fundido em pequenos lingotes oupeas, que eram facilmente manejveis, de peso igual e selados com amarca oficial de uma autoridade pblica, a nica que podia certificar obom preo e o bom quilate.

A inveno desse sistema ideal de troca comercial, segundo aopinio da maioria dos especialistas, foi atribuda Grcia da sia (ousia Menor) e Ldia, no sculo VII antes da era crist. Em razo dasmltiplas vantagens que comportava, seu uso teria se espalhadorapidamente por Grcia, Fencia, Roma e entre inmeros outros povos,inclusive na China. (Ifrah, 1997, p. 152).

Com o maior desenvolvimento do comrcio no mundo,inicialmente os centros comerciais eram a Fencia, Cartago e as cidades-

estado da Grcia. Mais tarde, com a criao do Imprio Romano, ocentro passou a ser Roma. Na Idade Mdia, o comrcio prosperouespecialmente nas cidades-estado da Itlia, como Veneza, Pisa, Gnova eFlorena, que negociavam muito com o Oriente.

A partir do sculo XV, outros pases, como Holanda, Espanha,Portugal e, posteriormente (sculo XVII), Inglaterra, fortaleceram-se,assumindo a liderana do comrcio. Intensificaram o transportemartimo para suas mercadorias, por oferecer maior segurana do quepor terra firme, onde frequentemente os mercadores eram saqueados.Esses pases, ento, atingiram uma nova posio no mundo pela

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navegao, o que aumentou seu poder martimo. De acordo com Robert(1989, p. 54), essa transformao deu-se em razo do grande achadogeogrfico constitudo pela descoberta do caminho martimo para a ndiae, sobretudo, pela descoberta do Novo Mundo, a Amrica.

Quando o comrcio comeava a atingir o auge, com a figura domercador iniciou-se uma atividade nova: o comrcio do prprio dinheiro,na poca, o ouro e a prata. Com as relaes entre pases aumentandocada vez mais, moedas de diversos pases eram trocadas, mas, aopassar as fronteiras, a questo quantidade de ouro em cada moeda se torna muito importante, pois o pas comprador paga com sua moeda,uma soma equivalente quantidade de ouro contida na moeda do pasvendedor. (Robert, 1989, p. 31). Como estabelecer a relao entre os

valores das moedas nas relaes internacionais, o que hoje seria a taxade cmbio, cotao ou padro monetrio?

Definiu-se, ento, o primeiro critrio para determinar aequivalncia entre moedas, o qual se baseou na quantidade de ouro empoder de cada pas o chamado padro ouro , s abandonado noincio do sculo XX (pouco antes de 1930). Alguns comerciantes,conhecendo muito essas moedas estrangeiras (ouro e prata), comearama interessar-se por acumular grandes quantidades para, ento, dedicar-se atividade de troca ou cmbio de dinheiro, da o surgimento doscambistas. Assim,

num espao de tempo relativamente curto,acumularam-se fantsticas somas em dinheiro nas

mos dos cambistas. Paulatinamente, foram seocupando de uma nova atividade: guardar e emprestardinheiro. Imaginemos um cambista qualquer quetenha acumulado, desta forma, em seus cofres, imensaquantidade de dinheiro. Era natural que a seguinteidia lhe ocorresse: porque estas grandes somas dedinheiro havero de permanecer em nosso poder semqualquer lucro para mim? [...] emprestarei parte destedinheiro a quem pedir, sob a condio de que sejadevolvido num prazo determinado. E como meudevedor empregar o dinheiro como quiser duranteeste perodo talvez em transaes comerciais -,

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natural que eu obtenha alguma vantagem. Por isso,alm do dinheiro emprestado, dever entregar-me, novencimento do prazo estipulado, uma soma adicional.(Robert, 1989, p. 55-56).

A partir desse procedimento, isto , da cobrana de uma somaadicional, evidencia-se o lucro, o ganho ou, ento, o juro. Assim, ficaramcaracterizadas, ainda que de uma forma bastante rudimentar, o queseriam as primeiras operaes de crdito. Outra curiosidade o modocomo os cambistas exerciam sua profisso, sentados num banco demadeira em algum lugar do mercado, local onde faziam o intercmbio desua mercadoria especfica, o dinheiro, dando origem palavrabanqueiro e, tambm, banco.

Entre os egpcios e os babilnios, no mundo antigo, e, maistarde, entre os gregos e os romanos, era costume os cidados maisabastados confiarem a custdia de seu ouro aos sacerdotes. Dessaforma, os primeiros bancos teriam sido criados pelos sacerdotes, poisemprestavam, por meio de suas organizaes, como os templos,quantias que depois de certo tempo eram devolvidas com juros, em ouroe prata. A Igreja Catlica criou, ento, o Banco do Esprito Santo, j comum fabuloso capital inicial, com o objetivo de facilitar a cobrana deimpostos, dzimos e indulgncias de seus fiis, como tambm de realizaroperaes de emprstimos. Desse modo, a Igreja exercia um domnionesta atividade, proibindo ou at condenando os cidados queemprestavam dinheiro a juros. Na prtica, como escreveu Robert (1989,

p. 57, grifo do autor), esta proibio era motivada por um interesseeconmico muito mundano: a Igreja ambicionava assegurar para si omonoplio absoluto na exao [cobrana] de juros..

A Igreja, apesar das ameaas e das maldies, no conseguiuconter a avidez das pessoas por ganhos e lucros. O prpriodesenvolvimento do comrcio j exigia a criao de uma rede bancriamais ampla. As pioneiras nessa atividade foram as cidades-estado daItlia, que atuavam at os mais distantes confins do mundo conhecidona poca, sendo que o primeiro banco privado foi fundado em Veneza,pelo duque Vitali, no ano de 1157. Nos sculos XIII, XIV e XV, houve a

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criao de toda uma rede bancria, e a Igreja teve de aceitar a novarealidade, de que no estava mais sozinha nesse ramo de negcio.

Aps a descoberta da Amrica, que trouxe como uma dasconsequncias um impetuoso florescimento do comrcio na Europaocidental, surgiram poderosas casas bancrias nos finais do sculo XVIe no sculo XVII, e uma nova espcie de transao, a conta corrente,utilizada ainda hoje pelos bancos. Robert (1989, p. 58) esclarece sobre ofuncionamento desta nova modalidade para a movimentao dedinheiro:

Sua essncia a seguinte: os possuidores de dinheiro,tendo frente o comerciante, depositam no banco umadeterminada quantia de dinheiro sob a denominao

de conta corrente. Mais tarde, se o comerciantenecessita efetuar um pagamento, preenche umformulrio impresso pelo prprio banco, chamado decheque. Assim, o cheque nada mais que uma ordemque o depositante d ao banco para que este pague aoportador a soma estipulada no cheque, deduzindo-a desua conta corrente ou transferindo-a para a contacorrente de um outro depositante.

Assim, o cheque pode ser considerado como a primeira forma deuso do papel-moeda. Posteriormente, surgiriam as letras de cmbio, coma qual vendedor e comprador estabelecem um prazo e, neste caso, ocomprador obriga-se, diante do vendedor, a pagar em dinheiro a dvidacontrada no prazo determinado. Outra espcie de obrigao surgida foia emisso do bilhete de banco, segundo Robert (1989, p. 59), [...] umaobrigao por uma determinada soma de dinheiro emitida por um bancopara isso autorizado e que se compromete a pagar em dinheiro efetivo ea qualquer momento a soma ali estipulada.. O bilhete era facilmenteaceito pelos cidados porque confiavam na solvncia2 do banco e erarespaldado em ouro.

2 Qualidade de solvente, ou seja, que paga ou pode pagar suas dvidas. (HolandaFerreira, 1986, p. 1609).

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Gonalves (2007, p. 6) apresenta claramente a ligao existenteentre o desenvolvimento dos bancos e a utilizao dos clculos damatemtica comercial e financeira:

O surgimento dos bancos est diretamente ligado aoclculo de juros compostos e o uso da MatemticaComercial e Financeira, de modo geral. Na poca emque o comrcio comeava a chegar ao auge, uma dasatividades do mercador foi tambm a do comrcio dedinheiro: com o ouro e a prata. Nos diversos paseseram cunhadas moedas de ouro e prata. (p. 4). Assimos bancos foram um dos grandes propulsores prticospara o avano da Matemtica Comercial e Financeira eda Economia durante os sculos X at XV. Pois sem

essa motivao para o aprimoramento dos clculos,talvez, essa rea de Matemtica no estivesse toavanada nos dias atuais.

Infere-se que, para alcanar uma preciso nos clculos, houvetoda uma evoluo histrica nas formas utilizadas para resolver osproblemas, a partir das primeiras trocas comerciais. Segundo Medeiros(2003), foram os dedos das mos e dos ps os primeiros instrumentosque o homem primitivo utilizou para atender a diferentes necessidadescomo a de controlar a quantidade de animais dos rebanhos utilizadosem seu sustento. (2003, p. 19). Mais tarde, com o aumento dastransaes comerciais, o homem criou instrumentos que, ao longo dotempo, foram se sofisticando. Para a contagem dos objetos, podem-se

citar o baco (inveno atribuda aos chineses no sculo 20 a.C.), astabelas, rguas de clculos e tbuas matemticas. O uso da aritmticana resoluo de problemas matemticos j existia bem antes dosescritos sobre ela, porm, quando se necessitou efetuar contagens maisextensas, o processo de contar teve de ser escrito e sistematizado.

Com o crescimento significativo da atividade comercial noRenascimento e o interesse pela educao, foram elaborados osprimeiros escritos populares sobre a aritmtica, tendo sido impressasvrias obras na Europa, ainda antes do sculo XVII, e, de acordo comEves (2004, p. 299), essas obras eram de dois tipos, basicamenteaquelas escritas em latim por intelectuais de formao clssica, muitas

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vezes ligados a escolas da Igreja, e outras escritas no vernculo porprofessores prticos interessados em preparar jovens para carreirascomerciais.. A obra denominada Aritmtica de Treviso considerada amais antiga aritmtica impressa, annima e extremamente rara nos diasde hoje. Publicada na cidade de Treviso, em 1478,

trata-se de uma aritmtica amplamente comercial,dedicada a explicar a escrita dos nmeros, a efetuarclculos com eles e que contm aplicaes envolvendosociedades e escambo. Como os algoritmos iniciais dosculo XIV, ela tambm inclui questes recreativas. Foio primeiro livro de matemtica a ser impresso nomundo ocidental. (Gonalves, 2007, p. 6).

Outras publicaes sobre a aritmtica tambm tiveram suarelevncia, como a aritmtica comercial escrita por Piero Borghi, emVeneza, em 1484, e que alcanou dezessete edies at 1557; aaritmtica de Filippo Calandri, publicada em Florena em 1491,considerada menos importante, mas que trouxe, segundo Gonalves, oprimeiro exemplo impresso do moderno processo de diviso e tambm osprimeiros problemas ilustrados que apareceram na Itlia. (2007, p. 7).

Podem-se citar ainda outras obras sobre aritmtica que tiverammuita influncia no desenvolvimento da matemtica, como as deWidman, Kbel e Riese, na Alemanha, sendo a de Adam Rieseconsiderada a mais influente de todas as aritmticas comerciaisalems, [...] este trabalho conseguiu uma reputao to alta que, ainda

hoje na Alemanha, nach Adam Riese significa clculo correto. (Eves,2004, p. 299). Tambm na Inglaterra, no sculo XVI, foram publicadasas aritmticas de Tonstall e de Recorde, este ltimo, segundo Eves(2004, p. 300), o mais influente autor ingls de textos escolares, deuincio ao simbolismo algbrico e escreveu textos sobre lgebra, geometriae astronomia.

Portanto, a aritmtica foi a precursora nos clculos dosproblemas nas relaes comerciais de vrios povos, evoluindo mais tardepara o uso da lgebra (frmulas ou modelos matemticos) e teve a suacontribuio importante na forma como hoje so resolvidas as questesda matemtica comercial e financeira.

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Conceitos contemporneos da matemtica financeiraAtualmente, a matemtica est presente em todos os nveis da

educao bsica e no se pode relegar ao segundo plano suaimportncia para a compreenso das relaes econmicas e financeirasatuais. Desse modo, a apropriao dos significados dos conceitos darea da matemtica financeira fundamental.

Segundo Arajo (1992, p. 13), a matemtica financeira umramo da matemtica aplicada. Mais precisamente aquele ramo damatemtica que estuda o comportamento do dinheiro no tempo eHazzan e Pompeo (2004, p. 1) afirmam que a matemtica financeiravisa estudar o valor do dinheiro no tempo [...].. Por outro lado,Laureano e Leite (1987, p. 3) formulam um conceito mais amplo,referindo-se ao desenvolvimento e ao domnio deste ramo damatemtica:

A matemtica financeira desenvolveu-se pari passucom o sistema econmico, conhecido por Economia deMercado. Domin-la, por conseguinte, tornou-se comoque impositivo, quer pelas implicaes do trabalhoassalariado, quer pelas operaes de compra e venda,quer pelos investimentos de capital.

At pouco tempo atrs, a maior parte das obras deste ramo damatemtica trazia bem clara a denominao de matemtica comercial efinanceira. Carvalho e Cylleno (1971) distinguiram a matemticacomercial (juros e descontos simples, ligas, moeda, cmbio e ttulos derenda) da matemtica financeira (juros e descontos compostos, rendascertas, emprstimos, depreciao e as tbuas financeiras). Acredita-seque a classificao de comercial ou financeira esteja mesmo ligada forma de resoluo dos problemas. Os clculos relacionados utilizaode frmulas matemticas, porcentagens, juros e descontos simples, porexemplo, esto mais prximos do conceito de comrcio; os clculos dejuros compostos, sries de pagamentos, amortizaes de emprstimosbancrios so entendidos como financeiros, pois, em geral, utilizam-secalculadoras financeiras para a soluo dos problemas apresentados.Atualmente, j se encontram obras com os ttulos Matemtica financeira

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(Arajo, 1992; Campos Filho, 2001) e Matemtica financeira aplicada(Puccini, 2001; Branco, 2002).

Santos (2005, p. 157), ao tentar responder questo sobre o quea matemtica financeira estuda, assim se expressa:

De uma forma simplificada, podemos dizer que aMatemtica Financeira o ramo da MatemticaAplicada que estuda o comportamento do dinheiro notempo. A Matemtica Financeira busca quantificar astransaes que ocorrem no universo financeiro levandoem conta a varivel tempo, ou seja, o valor monetriono tempo (time value money). As principais variveisenvolvidas no processo de quantificao financeira soa taxa de juros, o capital e o tempo.

Para entender melhor a definio da autora, poder-se-ia afirmarque um determinado valor capital em dinheiro hoje poder no sero mesmo em outro tempo, porque, alm das variveis capital e tempo,existe a taxa de juros, justificada pelo uso ou emprstimo do dinheiro,ou pela inflao (aumento geral dos preos de produtos e servios).

A matemtica financeira, como parte ou ramo da matemtica,segundo a maioria dos autores citados neste trabalho, composta devrios contedos interligados e interdependentes, formando um sistemade conceitos, definio que se encontra em Vigotski (2005, p. 116):

Nos conceitos cientficos que a criana adquire naescola, a relao com um objeto mediada, desde oincio, por algum outro conceito. Assim, a prprianoo de conceito cientfico implica uma certa posioem relao a outros conceitos, isto , um lugar dentrode um sistema de conceitos.

Razo, proporo, porcentagem, regra de trs, juro simples ecomposto so considerados nesta pesquisa como contedos bsicos damatemtica financeira, constituindo um sistema de conhecimentos pelarelao existente entre eles.

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Bigode (2000, p. 218) apresenta um conceito de razorelacionado a uma taxa percentual: a razo entre um nmero e 100..Acrescenta que uma razo cujo segundo termo igual a 100 chamadade taxa percentual. (p. 226).

Ao tratar de razo e proporo, verifica-se que h uma relaocom a regra de trs. Segundo Souza e Spinelli (1999, p. 274, grifo dosautores),

Uma proporo uma igualdade formada por duasrazes. Como em cada razo h dois nmeros, em umaproporo h quatro. Nos problemas com grandezasdiretamente proporcionais, normalmente soconhecidos trs nmeros da proporo, sendo

necessrio calcular o quarto. Esse mtodo de resoluode problemas com grandezas proporcionais chamadode regra de trs.

A porcentagem, tambm conhecida por percentagem, ou, ainda,por taxa de porcentagem, utilizada quase diariamente nos meios decomunicao, especialmente na divulgao de pesquisas de opinio e emindicadores econmicos. De acordo com Balielo e Sodr (2005, p. 17), otermo por cento proveniente do Latimper centume quer dizer por cem.Toda razo da forma a/b na qual o denominador b=100, chamada taxade porcentagem. A expresso por cento, segundo estes autores,aparece nas primeiras obras de aritmtica do sculo XV, na Itlia, e osmbolo % teria surgido como uma abreviatura da palavra cento,

utilizada nas operaes mercantis. Santos (2005, p.157) mostra aimportncia desses conceitos, ao fazer as seguintes afirmaes:

Porcentagem uma comparao. A porcentagem estpresente em inmeras situaes. No h comoentender o mundo do capital, das compras, dasvendas, do planejamento financeiro, etc. sem entenderporcentagem. Precisamos entend-la para realizarclculos, interpretar grficos, tabelas, eprincipalmente, us-la a nosso favor.

Sobre esse contedo, Bigode (2000, p. 226) traz a seguintedefinio: As porcentagens expressam relaes entre uma quantidade e

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o nmero 100. Da o nome porcentagem. Cita um exemplo de pesquisade opinio sobre hbitos de um grupo populacional, com os resultadoscomparados, utilizando o nmero de 100 pessoas como base: 23 emcada 100 habitantes usam o sabonete Cheiroso (23%); de cada 100habitantes, 11 preferem vlei a futebol (11%); 90 em cada 100 famliasassistem ao Jornal Regional (90%).

Na resoluo de problemas envolvendo porcentagem, pode-seutilizar o mtodo da regra de trs, como no exemplo a seguir: se umamercadoria recebeu um abatimento (desconto) de 15%, correspondente aR$ 1.200,00, qual o seu preo inicial? Para montar uma proporo,parte-se dos dados conhecidos das grandezas taxa de porcentagem evalor em reais e pode-se indicar com x o termo desconhecido. Ento,

15% est para R$1.200,00 e 100% para x. A partir da montagem daproporo e da aplicao da propriedade fundamental das propores oproduto dos meios igual ao produto dos extremos (Giovani; Parente,1993, p. 5), por exemplo, encontra-se o preo inicial.

O conceito de juro, quando analisado apenas sob o aspectoeconmico-financeiro, leva afirmao de que a remunerao peloemprstimo de um capital (dinheiro). Se se est devendo, pagam-sejuros; quando se aplica um valor no banco ou se empresta dinheiro,recebem-se juros. Santos (2005, p. 161) define juro como sendo

[...] aquela quantia que cobrada ou recebida a maissobre um valor emprestado ou aplicado durante certotempo referida taxa. Quando pedimos dinheiro

emprestado a um banco, sempre teremos que pagarjuros pelo emprstimo obtido. Quando efetuamosdepsitos em poupana ou outro tipo de investimento,o valor excedente que recebemos por mantermos nossocapital aplicado o juro. como se fosse um aluguelque se paga pelo uso do dinheiro.

Entretanto, juro pode ser definido sob diferentes prismas, como opoltico, o econmico, o jurdico ou at filosfico. A economia, conformeAlencar (2006, p. 1), conceitua juros como sendo a remunerao paga,pelo tomador de um emprstimo, ao detentor do capital emprestado.Juridicamente, os juros so ditos frutos civis do capital, remunerao

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pela disponibilidade de uma importncia em dinheiro por determinadotempo. Quando so consideradas decises de governos, est presente oenfoque poltico no conceito de juro, com critrios objetivos e subjetivos,os quais

consistiam na escassez de capital e renncia liquidezmonetria, aliada oferta e procura da moeda eminvestimentos. [...] os juros passaram a serinstrumentos de polticas de desenvolvimentoeconmico com manipulao da oferta monetriadisponvel. (Caldas apud Alencar, 2006).

Do prisma filosfico, tem-se o conceito do filsofo e economistaGiannetti (2005, p. 10):

[...] a realidade dos juros no se restringe ao mundodas finanas, como supe o senso comum, maspermeia as mais diversas e surpreendentes esferas davida prtica, social e espiritual, a comear peloprocesso de envelhecimento a que nossos corpos estoinescapavelmente sujeitos. Os juros so o prmio daespera na ponta credora os ganhos decorrentes datransferncia ou cesso temporria de valores dopresente para o futuro; e so o preo da impacinciana ponta devedora o custo de antecipar ou importarvalores do futuro para o presente.

Os juros so classificados em simples ou compostos, dependendo

do regime de capitalizao. No caso do juro simples, a taxa percentualincide somente sobre o capital inicial e no se incorpora no capital,mesmo com o passar do tempo, tendo um crescimento linear. No jurocomposto, o regime de capitalizao diferente, porque a cada perodo ojuro gerado incorporado ao capital atual (saldo devedor) e suaacumulao se d de forma exponencial. O regime de capitalizao dojuro composto o mais utilizado no sistema financeiro e nos clculos deemprstimos. A seguir, apresenta-se uma tabela comparativa entre jurosimples e composto, representada tambm num grfico, evidenciando asdiferentes formas de capitalizao. O exemplo encontrado em Mathiase Gomes (2004, p. 100) considera um capital de R$ 1.000,00 aplicado

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a uma taxa de 20% ao ano, por quatro perodos consecutivos,mostrando a forma de acumulao dos juros nos dois regimes decapitalizao.

Tabela 1 Quadro comparativo juro simples/composto

n Juros simples Juros Compostos

Juro por perodo Montante Juro por perodo Montante

1 1000 x 0,20 = 200 1.200,00 1000 x 0,20 = 200 1.200,00

2 1000 x 0,20 = 200 l.400,00 1200 x 0,20 = 240 1.440,00

3 1000 x 0,20 = 200 1.600,00 1440 x 0,20 = 288 1.728,00

4 1000 x 0,20 = 200 1.800,00 1728 x 0,20 = 346 2.074,00

Fonte: Mathias e Gomes, 2004, p. 100.

Fonte: Mathias e Gomes, 2004, p. 100.

No clculo dos juros, verificou-se a necessidade de relacionar osdemais conceitos da matemtica financeira, como razo, proporo,porcentagem e regra de trs, para a resoluo dos problemas.

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Ao acumulado de cada perodo denomina-se montante, sendo oelemento que representa a soma do capital com o juro. No final doprimeiro perodo, o montante igual tanto com o clculo de jurosimples quanto com o de juro composto , porque ainda no ocorreu acapitalizao (incorporao do juro no capital). Porm, a partir dosegundo perodo, fica evidente a diferena da base de clculo para o jurocomposto, porque, a cada novo perodo, a base altera-se, resultandonum montante maior em relao ao juro simples, conforme demonstradona tabela.

Essa sequncia de clculos remete possibilidade de utilizaode frmulas matemticas, que so generalizaes de procedimentos,para chegar diretamente ao resultado com n perodos. Para a resoluo

de problemas de juro simples, tm-se as variveis J (juro), C (capital), i(taxa) e t (tempo = n de perodos). Segundo Giovanni e Parente, o juro(J) proporcional ao capital (C), taxa de juro (i) e ao prazo empregado(t).

O montante, por definio, igual ao capital mais o juro: M = C +J. Substituindo o J por (C . i . n), tem-se M = C + (C . i . n) e atribuindo1 (uma unidade de capital) para C, chega-se formula para o clculo domontante do juro simples: M = C (1 + i . n).

No juro composto, a frmula para o clculo do montante pode serrepresentada com os seguintes passos, com base em Branco (2002, p.30): Para encontrarmos o montante (M) de uma operao comercial oufinanceira, vamos considerar um valor presente (C), uma taxa (i) e

calculemos o valor futuro (M), obtido a juros compostos, aps (n)perodos de tempo.

Valor futuro ou montante aps perodo 1:

M1 = C + C x i = C (1 + i)

Montante aps perodo 2:

M2 = M1+ M1x i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2

Montante aps perodo 3:

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M3 = M2+ M2 x i = M2(1 + i) = C (1 + i)2(1 + i) = C (1 + i)3 Montante ou valor futuro aps perodo n:

Para um perodo n, possvel perceber que: Mn = C (1 + i)n,resultando na frmula para clculo do juro composto: M = C (1 + i)n

Para obter o valor do juro, quando os valores do capital e domontante so conhecidos, pode-se utilizar a definio J = M C (juroigual diferena entre o montante e o capital inicial).

Como se pode concluir, para apropriar-se dos significados quecompem o sistema de conceitos juros, necessrio que as pessoasparticipem de um processo de ensino e de aprendizagem sistemtico,formal. Significa dizer que a educao bsica deveria proporcionarcondies para que as pessoas formem esses conceitos e os relacionemcom situaes reais e atuais.

Num sistema capitalista, em que predomina o acmulo cada vezmaior de capital, resultando numa concentrao de bens, as pessoasso induzidas ao consumo pelas facilidades de crdito oferecidas porempresas comerciais, bancos e financeiras, que se utilizam de grandesredes de atendimento, inclusive espaos virtuais.

Se as pessoas soubessem, pelo menos, comparar o total do valora prazo (montante) com o valor vista (capital inicial), utilizando orecurso da proporo ou da porcentagem, teriam uma noo do valor amais que estariam pagando na modalidade a prazo, mesmo no sabendo

calcular exatamente a taxa de juros mensais includa nas transaescom lojas ou financeiras. O que se verifica que, em geral, a maioria dosconsumidores no questiona a taxa de juros; apenas leva emconsiderao se o valor da prestao cabe no seu oramento mensal. Asgrandes redes de lojas, aproveitando-se desta postura dos compradores,anunciam sloganscomo a menor prestao do mercado, a condioque cabe no seu bolso e, para possibilitar parcelas mensais cada vezmenores, alongam os prazos; consequentemente, as taxas de juros somaiores.

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ConclusesRefletir sobre a importncia da matemtica financeira e sua

histria significa perceber que a construo dos conhecimentos umprocesso contnuo. Por outro lado, visualizar a matemticacontextualizada atravs dos tempos permite que o estudante se apropriedas significaes atuais de uma forma completamente nova e inovadora;que veja as atividades comerciais e financeiras atuais permeadas deconhecimentos que ainda podem evoluir. O valor da histria esttambm na compreenso da evoluo das prticas sociais e dosconhecimentos atrelados a elas, no como conhecimentos fechados ouperenes.

Ao destacar a presena da matemtica financeira (MF) no dia adia das pessoas, Santos (2005, p. 13) manifesta a preocupao com asua ausncia no currculo escolar, particularmente no Ensino Mdio:

Percebe-se que a MF est muito presente no dia-a-diade qualquer pessoa atravs dos problemas de ordemfinanceira comuns da vida moderna, o que possibilitauma aproximao com a vida do aluno fora da escola.No entanto, mesmo sendo um contedo imediatamenteaplicvel fora da escola e de extrema importncia naformao do cidado, verifica-se sua ausncia nocurrculo escolar.

Parente e Carib reforam a ideia da presena desta parte damatemtica no cotidiano e da sua importncia para as pessoas,afirmando que a matemtica financeira est hoje presente no cotidianodas pessoas. com ela que calculado o aumento do po e do nibus, oreajuste das prestaes e o saldo devedor da casa prpria. (1996, p. 3).Os autores confirmam a importncia da matemtica financeira,justificando, assim, a inquietao com as dificuldades apresentadaspelos estudantes na resoluo de problemas simples, relacionados com odia a dia de qualquer cidado.

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