8/18/2019 2012 - Lista Revisão M1 (1)

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UMC – Engenharia Civil/Mecânica

Calculo III - Lista de Revisão para M1

Prof esso ras: Gina, Gisele, Olga, An a Maria

1) Seja g (x, y) = 10 calcule: g (16,27) e g (4, - 1331)

2) Seja f(x,y) = , determine:a) f(-2, 1)

b) o domínio da f em notação de conjunto e graficamente

c) existe f (3, 1)? Justifique

d) Observando o gráfico da função feito no Winplot, determine o conjunto imagem da função.

3) Seja f(x,y,z) = , determine:

a) f(2,-1,6)

b) o domínio

4) Construir o gráfico de algumas curvas de nível para as funções abaixo:

a) f(x,y)= - 2x + y – 2

b) f(x,y)=

c) f(x,y)=1-x 2-y2

5) Determine as derivadas parciais das funções abaixo:

a) f (x, y) = 3x 2 – 2xy + 5 y 4 + xy 2 – 4x + y + 7 b) f(x, y) = x 2 + x + y 2 c) f (x, y) = d) f (x, y) =

e) f (x, y) = f) f (x, y) = ex + y

g) f (x, y) = h) f (x, y) =

i) f (x, y) = 2 cos (x 2 y3) j) f (x, y) = ln (3x 2 + 2y 3)

k) f (x, y) = 1 – y2 l) f (x, y) = e 5x . sen y 3

m) z = x y n) f (x, y, z) =

o) f (x, y, z) = ln (x y + z) p) z =

6) Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de:

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7) Dada a função f (x, y) = y 2 + , determine:

a) O domínio de fb) f x (3, 4)c) f y (3, 4)d) o coeficiente da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano x = 1 no

ponto em que y = 4 .

8) Uma placa de metal aquecida está situada em um plano xy de modo que a temperatura T no ponto(x,y) é dada por T(x,y) =10( x 2 + y 2 )2 . Determine a taxa de variação de Tem relação à distânciapercorrida ao longo da placa na direção dos eixos positivos x e y no ponto P(1,2)

9) Seja z = 6 – x 2 – y 2 . Encontrar a inclinação da reta tangente a curva C, resultante da intersecção de z com y = 1 , no ponto (2,1,1 ).

.10) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa plana é dada por T ( x , y ) = 30 + 50 − x 2 − y 2 . (T em °C e

x,y em metros)

a) Determine o domínio de T(x,y) e a temperatura no ponto (3,4);b) Se a partir do ponto (3,4) uma pessoa caminhar em direção paralela ao eixo x, sentido positivo, atemperatura aumentará ou diminuirá? Qual a taxa de variação da temperatura nesse ponto?

11) Determine as derivadas de segunda ordem das funções dadas:

a) f ( x , y ) = x 2 y 3 + x 4 y

b) f ( x , y ) = y 2e x + y

c) f ( x , y ) = x 2 ye xy

d) f ( x , y ) = x 2 + y 2

e) z = x2

y – xy2

+ 2x – yf) z = xy

g) z = ln(xy)

h) z = e −xy2

12) Determine as derivadas parciais de 2 a ordem das funções abaixo:

a) F (x, y) = xy 2 + 3x 3 – 4y 2 b) F (x, y) = ln (4x 4 y3 )

13) Mostre que a função f (x, y) = e-2y

cos 2x satisfaz a equação de Laplace: 02

2

2

2

y f

x f

14)Determine a derivada direcional Du f ( x , y ) se f(x,y) = x 3 – 3xy + 4y 2 e u é o versor dado pelo ânguloθ=π/6. Qual será Du f (1,2)?

15) Determine a derivada direcional da função f(x,y) = x 2 y 3 – 4y no ponto (2, -1) na direção do vetor v = 2i+ 5j.

16)Determine o gradiente de f(x,y) = 3x 2 y no ponto (1,2) e use-o para calcular a derivada direcional de f em(1,2) na direção do vetor a = 3i +4j.

17)Determine a derivada direcional de f(x,y) = x 2 y 3 + 2x 4y no ponto (1, -2) na direção indicada pelo ânguloθ=π/3

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18) Determine a derivada direcional de f(x,y) = sen(x + 2y) no ponto (4, -2) na direção indicada peloângulo θ=3π/4

19) Dados f(x,y) = 5xy 2 – 4x 3y, o ponto P= (1,2) e o versor u=( ) determine:

a) o gradiente de fb) calcule o gradiente de f no ponto P c) determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.

20) Dados f(x,y) = ylnx, o ponto P= (1,-3) e o vetor u=( ) determine:a) o gradiente de fb) calcule o gradiente no ponto Pc) determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.

21) Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.a) f(x,y) = 1 + 2xy , (3,4), v = 4i −3 j

b) f(x,y) = x 2 e y , (2,0), v = i + j

Obs.: Fonte: Cálculo: James Stewart

Cálculo B: Flemming e Gonçalves

Cálculo: Guidorizzi

Cálculo: Hoffmann e Bradley

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