2010.1 - interpolação por spline cúbica e método de integração de simpson para cálculo de...
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Ítalo Rolim Nogueira e Janaína Esmeraldo Rocha
Interpolação por Spline Cúbica e
Método de Integração de Simpson
para Cálculo de Campo Magnético
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC
CENTRO DE TECNOLOGIA – CT
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - PET
PLANO BÁSICO: MÉTODOS NUMÉRICOS
Orientadores:
Lucas Chaves Gurgel
Janailson Rodrigues Lima
Tutor:
José Carlos Teles Campos
Autores:
Índice
Histórico
Motivação
Interpolação
Interpolação polinomial
Método de Lagrange
Método de Newton
Funções spline • Spline cúbica
Integração numérica
Métodos de integração • Regra do Trapézio
• Regra de Simpson
Aplicação em eletromagnetismo
Histórico
O nascimento do eletromagnetismo se deu no século XIX,
com a clássica experiência do físico dinamarquês Hans
Christian Oersted (1771-1851).
Em 1820, ele verificou que, ao colocar um bussola sob um
fio onde passava uma corrente elétrica, verificava-se um
desvio na agulha dessa bússola. A partir dessa
experiência, Oersted estabeleceu uma relação entre as
propriedades elétricas e magnéticas, dando origem ao
eletromagnetismo.
Histórico
E assim influenciou os futuros trabalhos de seus
contemporâneos como Michael Faraday, Joseph Henry,
André-Marie Ampère, Jean-Baptiste Biot, Félix Savart,
Carl Friedrich Gauss, Samuel Morse, Heinrich Lenz e
James Clerk Maxwell, entre outros.
Hans Christian Oersted
Motivação
Lei de Biot-Savart:
Onde: • é uma constante relacionada ao meio
• i é a corrente constante que percorre o fio
• r é a distância do ponto onde será calculado o campo magnético ao ponto do fio que causa o mesmo
• é um infinitesimal do comprimento do fio por onde passa a corrente
• é um vetor unitário na direção do ponto do fio ao ponto onde será calculado o campo magnético
Motivação
Cálculo do campo magnético para um fio retilíneo
finito:
Motivação
Cálculo do campo magnético para um fio retilíneo
finito:
Motivação
Cálculo do campo magnético para um fio não-
retilíneo finito:
Motivação
Cálculo do campo magnético para um fio não-
retilíneo finito:
Onde:
Motivação
Cálculo do campo magnético para um fio não-
retilíneo finito:
Interpolação
Interpolar uma função é aproximá-la por meio de
outra.
Para quê interpolar?
Conhecemos apenas valores numéricos de uma função, e
precisamos calcular valores de pontos não tabelados.
A função estudada é demasiado trabalhosa para certos
cálculos (diferenciação e integração, por exemplo).
Tipos de interpolação
Linear
Polinomial
Trigonométrica
Interpolação polinomial
Conhecendo (n+1) pontos distintos de uma função f(x),
temos os nós da interpolação.
Os nós são base para a função interpoladora g(x), pois
como condição da interpolação tem-se:
Interpolação polinomial
Graficamente, os nós da interpolação serão pontos
coincidentes nas função f e g. Os intervalos entre os nós
não necessariamente coincidem, e o erro depende do
método utilizado.
Formas de obter o polinômio interpolador
Com (n+1) nós, é possível obter um polinômio de grau n
que interpola todos os pontos. A fórmula do polinômio
interpolador é:
(n+1) incógnitas
(n+1) equações suficiente
Formas de obter o polinômio interpolador
Matriz dos coeficientes do sistema linear com
variáveis :
Matriz dos termos independentes:
Funções da base de Lagrange
Polinômio da base de Lagrange para interpolar
(n+1) pontos:
Assim,
quando
Funções da base de Lagrange
O polinômio interpolador na forma de Lagrange
têm a seguinte expressão:
Com a base de Lagrange, sempre teremos:
Método de Newton
O polinômio interpolador de grau n que interpola
(n+1) pontos pelo método de Newton é o seguinte:
Onde representa o operador diferenças
divididas de ordem i entre os pontos ,
com k variando de 0 a i.
Método de Newton
Cálculo do operador diferenças divididas:
Ordem 0:
Ordem 1:
Ordem 2:
Ordem n:
Complexidade dos métodos
Método de Lagrange:
Método de Newton:
Funções spline em interpolação
Dificuldade de interpolar (n+1) pontos em um único
polinômio de grau n.
Na aproximação polinomial por partes, tem-se um
polinômio interpolador para cada intervalo entre nós.
Spline linear
Aproximação de uma função f por uma função
linear por partes:
Funções spline em interpolação
A spline cúbica, usa polinômios cúbicos para
interpolar os nós dois a dois.
Características positivas:
Flexibilidade do polinômio cúbico.
Sem picos ou trocas de curvatura abruptas nos nós.
Spline cúbica
Grafíco de pontos interpolados pro spline cúbica:
2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
5
10
15
20
25
Spline cúbica
Supondo que f(x) esteja tabelada em (n+1) pontos,
o polinômio interpolante é composto de n
polinômios , um para cada intervalo entre
dois nós.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
5
10
15
20
25
Spline cúbica
As condições de existência dos polinômios são:
Spline cúbica
Os polinômios , k de 1 a n, são trabalhados a
partir da seguinte expressão, de forma a simplicar
os cálculos:
4n coeficientes
4n equações
Spline cúbica
Número de equações obtidas pelas condições de
interpolação:
(n+1) para interpolar f nos nós
(n-1) para ser contínua nos nós
(n-1) para as derivadas de nos nós
(n-1) para as derivadas segundas de nos nós
Total: 4n-2 equações insuficientes
Spline cúbica
Duas condições em aberto.
Nesta análise as duas equações faltosas foram:
Essa escolha define uma spline natural. Fora do intervalo
delimitado, a spline é linear ou bastante próxima de uma
função linear.
Spline cúbica
Relacionando todas as condições e fazendo as seguintes
substituições:
as seguintes fórmulas para os coeficientes são obtidas:
Spline cúbica
Os valores de e de são constantes e nós
conhecemos, mas ainda é necessário descobrir todos
os .
Pela continuidade das derivadas, monta-se o sistema
linear AX = B tal que:
Spline cúbica
Continuação do sistema linear:
Spline cúbica
Resolvido o sistema, todos os dados necessários à
determinação dos coeficientes foram encontrados.
Os polinômios da função spline são determinados.
Algoritmo:
Exemplo de spline cúbica
Para os pontos (1,2), (3,4), (5,6), (10,20), (12,2), (15,24),
(18,88), (20,38) e (30,1) interpolamos uma função cujo gráfico
é o seguinte:
0 5 10 15 20 25 30-40
-20
0
20
40
60
80
100
Integral de Riemann
A integral de Riemann de uma função f no intervalo
[a, b] é o limite seguinte, desde que ele exista:
Onde satisfazem a =
e onde , para cada i = 1, 2, ..., n e
é arbitrariamente escolhido no intervalo [ ].
Integral de Riemann
Uma função f que é contínua em um intervalo [a, b]
também é integrável, segundo Riemann, em [a, b].
Isso permite escolher, para conveniência de cálculo,
que os pontos sejam igualmente espaçados em
[a, b] e, para cada i = 1, 2, ..., n, escolher .
Nesse caso,
onde .
Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais
Suponha que f C[a, b], que a integral de Riemann de g exista em [a, b] e que g(x) não mude de sinal em [a, b]. Então existe um número c em (a, b) tal que:
Quando g(x) , o teorema acima torna-se o usual Teorema do Valor Médio para Integrais. Ele fornece o valor médio da função f no intervalo [a, b] como:
Métodos de Integração
Freqüentemente é necessário o cálculo da integral
definida de uma função que não tenha primitiva
explícita ou cuja primitiva não seja fácil de obter.
Para isso, utilizam-se métodos para calcular uma
aproximação da integral.
O método básico envolvido na aproximação é
chamado quadratura numérica. Ele utiliza
polinômios interpoladores de Lagrange.
Métodos de Integração
Sendo o polinômio interpolador de Lagrange:
Pn(x) =
e seu erro de truncamento:
A fórmula de quadratura aproxima o valor da integral por:
onde n é o grau do polinômio interpolador.
Regra do Trapézio
Esta regra utiliza pontos igualmente espaçados
juntamente com o polinômio linear de Lagrange:
P1(x) =
Para utilizar a Regra do Trapézio na aproximação
de fazemos:
Regra do Trapézio
Assim, a fórmula de quadratura fornece:
Como não muda de sinal no intervalo
[ ], podemos aplicar o Teorema do Valor Médio com Peso
para Integrais no termo de erro:
E(f) =
E(f) =
Regra do Trapézio
Portanto, a Regra do Trapézio fica:
Regra do Trapézio
Assim, é aproximada pela área de um trapézio:
Como o termo de erro para a regra do trapézio envolve
f(2), esta regra fornece o resultado exato quando
aplicada a qualquer função cuja segunda derivada seja
identicamente zero, ou seja, qualquer polinômio de grau
menor ou igual a um.
Regra de Simpson
Esta regra resulta da integração em [a, b] do
segundo polinômio interpolador de Lagrange com
pontos igualmente espaçados e com nós:
Regra de Simpson
Da fórmula de quadratura, temos:
Entretanto, ao deduzir a regra de Simpson dessa
forma, obtemos apenas um termo de erro
envolvendo f(3). Abordando o problema de outra
forma, podemos deduzir um termo envolvendo f(4).
Regra de Simpson
Suponha que f seja expandida no polinômio de
Taylor de grau 3 sobre . Então, para cada x
[ ], existe um número em com:
Regra de Simpson
Como nunca é negativo em , o
Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais
implica que:
para algum .
Regra de Simpson
Mas,
Substituindo as equações acima, temos:
Regra de Simpson
Mas,
Portanto,
Pode-se mostrar por métodos alternativos que os valores nesta expressão podem ser substituídos por um valor comum em , resultando na Regra de Simpson:
Regra de Simpson
Como o termo do erro envolve a quarta derivada
de f, a Regra de Simpson fornece resultados exatos
para polinômios de grau menor ou igual a 3.
Assim, é aproximada pela área:
Regra do Trapézio x Regra de Simpson
Cálculo da integral definida no intervalo [0,2] de uma
função f(x):
F(x) X2 X4 Sen(x)
Valor Exato 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389
Trapézio 4,000 16,000 1,333 3,326 0,909 8,389
Simpson 2,667 6,667 1,111 2,964 1,425 6,421
Algoritmo
Cálculo do campo magnético para um fio não-
retilíneo finito desenhado por spline cúbica.
Validação do algoritmo
Para fio retilíneo finito com corrente constante de 2 A:
Pelo método de Simpson:
Campo_Magnetico = 2.677650437111723e-008
Dificuldades Encontradas
A modelagem matemática e o raciocínio lógico
envolvido nas inúmeras tentativas de previsões de
erros.
O sinal envolvido nos cálculos das contribuições
das parcelas dos campos magnéticos.
Conclusões
A curva obtida pela spline cúbica simula
adequadamente todos os tipos de curvas.
Os valores obtidos pelo Método de Simpson se
mostraram bastante próximos aos valores reais
com erros percentuais mínimos.
A partir dos pequenos erros obtidos para fios
retilíneos finitos, pode-se validar o método para
fios não-retilíneos.
Bibliografia
RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da
Rocha. Cálculo numérico. São Paulo: MAKRON Books,
1988;
BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise
Numérica. São Paulo: CENGAGE Learning, 2008.
HAYT Jr., William H.; BUCK, John A. Eletromagnetismo.
Rio de Janeiro: LTC, 2003.
SERWAY, Raymond A.; JEWETT Jr., John W. Princípios de
Física: Eletromagnetismo – Volume 3. São Paulo:
CENGAGE Learning, 2004.
Agradecimentos
A Deus;
À família;
Aos petianos;
A todos os aqui presentes.
Obrigado pela atenção!