interpolação-parte ii estudo do erro 1.estudo do erro na interpolação 2.interpolação inversa...
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Interpolação-Parte IIEstudo do Erro
1. Estudo do Erro na Interpolação2. Interpolação Inversa3. Grau do Polinômio Interpolador4. Função Spline em Interpolação
4.1 Spline Linear 4.2 Spline Cúbica
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1.Estudo do Erro na Interpolação
O erro em aproximar a função f(x) por um polinômio interpolador pn(x), de grau menor ou igual a n, é:
En(x)=f(x)-pn(x) para todo x de [x0,xn].
Estudar o erro na interpolação significa saber o quão próximo f(x) está de pn(x).
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Interpolação linear de f1(x) e f2(x)
x
f(x)
x0 x1
f1(x0)= f2(x0)=p1(x0)f1(x)
p1(x)
f2(x)f1(x1)= f2(x1)=p1(x1)
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Interpolação linear de f1(x) e f2(x) por p1(x).
• O mesmo polinômio p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1.
• O erro E11(x)=f1(x)-p1(x) > E1
2(x)= f2(x)- p1(x) para todo x de (x0 , x1).
• O erro depende da concavidade da curva, ou seja, de f1”(x) e f2”(x).
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Teorema 1: “Sejam pontos.Seja f(x) com derivadas até ordem (n+1) para todo x em [x0,xn]. Seja pn(x) o polinômio
interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, x2,...,xn.
Então, em qualquer ponto do intervalo [x0,xn] o
erro é dado porEn(x)=f(x)-pn(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn)
onde “.
)1(,......210 nxxxx n
!1
)1(
n
f xn
nx xx ,0
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Demonstração:Teorema 1 o Note que x=xi para i=1,2,..,n, segue que
G(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn)=0 En(x)=0, logo a fórmula do erro está correta para x=xi.
o Definindo a função H(t)= En(x)G(t)- En(t)G(x), com
. Então, H(t) tem n+1 derivadas e pelo menos n+2 zeros. Note que x0,x1,..,xn e x são zeros de H(t).
o Aplicando o Teorema de Rolle sucessivamente, n+1 vezes, demonstra-se o teorema.
in xxxxtx e ,, 0
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Teorema 2: “Sejam pontos.Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos
pontos x0, x1, x2,...,xn. Da forma de NewtonEn(x)=f(x)-pn(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn) f[x0, x1, x2,...,xn,x].
Portanto,
com .
Demonstração imediata.
)1(,......210 nxxxx n
!1
],,...,,,[)1(
210
n
fxxxxxf x
n
n
nx xxx ,, 0
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Corolário1: Estimativa do Erro.
Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2, temos que
onde
!1)).....()(()()()( 1
10
n
MxxxxxxxpxfxE n
nnn
., com )(max 01
1 nn
n xxxxfM
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Corolário2: Estimativa do Erro.
Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2, temos que
onde
!1)).....()(()()()( 1
10
n
MxxxxxxxpxfxE n
nnn
., com ],,....,,[max)!1( 010
1nn
n xxxxxxxfn
M
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Estimativa para o erro
Seja dada na tabela:
a) Obter f (0.47) usando um polinômio de grau 2.b) Encontrar uma estimativa para o erro.
)(xf
x 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72
f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
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Tabela de diferenças
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
0.2 0.16
0.428
0.34 0.22 2.0325
0.8333 -17.8963
x0 = 0.4 0.27 -3.7033
0.1667 18.2494
x1 = 0.52 0.29 1.0415
0.375 -2.6031
x2 = 0.6 0.32 0.2085
0.4167
0.72 0.37
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Estimativa para o erro
Escolhendo
a)
b)
)04115.1()52.0)(4.0()1667.0()4.0(27.0
],,[))((],[)()()( 2101010002
xxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
6.0,52.0,4.0 210 xxx
)47.0(2780.0)47.0( fp
|2492.18||)6.047.0)(52.047.0)(4.047.0(||)47.0(| E
310303.8|)47.0(| E
009.0278.0)47.0( p
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2. Interpolação inversa
Seja dada na tabela:
Obter x tal que f(x)= 1.3365 e encontrar uma estimativa para o erro.
Este é o problema da interpolação inversa.
)(xf
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f(x) 1 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6478
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2. Interpolação inversa
Solução versão 1: Obtenha pn(x) que interpola f(x)= 1.3365 e
determine x. Problema: não temos como estimar o erro cometido!!!!!!!
Solução versão 2: Se f(x) for monotonicamente crescente ou
decrescente no intervalo considerado, então ela pode ser invertida. Então faça a interpolação da função inversa e calcule o erro.
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Tabela de diferenças divididas - Versão 2
y Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
1 0
0.9506
1.1052 0.1 -0.4065
0.8606 0.1994
y0 =1.2214 0.2 -0.3367
0.7782 0.1679
y1 =1.3499 0.3 -0.2718
0.7047 0.1081
y2 =1.4918 0.4 -0.2256
0.6373
1.6487 0.5
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Estimativa para o erro
Escolhendo
a)
b)
)2718.0()3494.1)(2214.1()7782.0()2214.1(2.0
],,[))((],[)()()( 21010101
001
2
yyy
yyyfyyyyyyfyyyfxp
210 ,, xxx
27487.0)3165.1( p
|1994.0||)4918.12787.0)(3499.12787.0)(2214.12787.0(||)2787.0(| E
4101.1|)2787.0(| E
00011.027487.0 x
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3.1 Grau do polinômio interpolador
Para a escolha do grau do polinômio interpolador:1) Construir a tabela de diferenças divididas;2) Examinar as diferenças na vizinhança do ponto
de interesse;
Se as diferenças de ordem k forem praticamente constante, ou se as diferenças de ordem k+1 variarem em torno de zero, o polinômio de grau k será o que melhor aproximará a função na região considerada.
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3.1 Grau do polinômio interpolador
Seja com os valores da tabela:
Um polinômio de grau 1 é uma boa aproximação para
xxf )(
x 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
f(x) 1 1.005 1.01 1.0149 1.0198 1.0247
xxf )(
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3.1 Grau do polinômio interpolador
xxf )(x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2
1 1
0.5
1.01 1.005 0
0.5
1.02 1.01 -0.5
0.49
1.03 1.0149 0
0.49
1.04 1.0198 0
0.49
1.05 1.0247
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3.2 Fenômeno de Runge
Questão: A seqüência {pn(x)} converge para f(x) no intervalo [a,b] se {x0,x1,...,xn} pertencem a {a,b] e n tende ao infinito?
Interpolando a função no intervalo [-1,1] com
2251
1)(
xxf
.,..,2,1para2
1 nin
ixi
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3.2 Fenômeno de Runge
Interpolação linear de f1(x) e f2(x) com n=10
x-1 1
f(x)
P10(x)
!!!garantida! iaConvergênc - Spine ãoInterpolaçUtilizar :Solução
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4. Função Spline em Interpolação
Fenômeno de Runge é superado pela função Spline.
Definição: Seja tabelada para . A função é denominada spline de grau se:a) Em cada subintervalo , para , é um polinômio de grau .b) é contínua e tem derivadas contínuas até ordem em .c) .
)(xf
1ii ,xx
nxxxx .....210
)(xS p p
)1(,..,2,1,0 ni)(xs p p
)(xS p
1p b,xxa n 0
nixfxS iip ,...,2,1para)()(
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4.1 Função Spline Linear
A função spline linear interpolante de f(x), ouseja S1(x) nos nós x1,x2,...,xn, pode ser escrita
em cada subintervalo como
Note que S1(x) é polinômio de grau 1 no intervalo. s1(x) é contínua em todo intervalo Nos pontos nós . Logo, S1(x) é a spline linear interpolante de f(x).
1ii ,xx
iiii
ii
ii
iii xxx
xx
xxxf
xx
xxxfxs ,)()()( 1
1
1
11
ii xx ,1
)()(1 ii xfxs
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4.1 Função Spline Linear
Achar a função spline linear que interpola f(x)
Da definição:
Analogamente:
01
01
01
101 )()()(
xx
xxxf
xx
xxxfxs
2,122212
12
12
21)(1
xxxxxx
xs
5,243
1)(2 xxxs
7,55.85.02
1)(3 xxxs
0 1 2 3
1 2 5 7
1 2 3 25
kx)( kxf
k
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4.1 Função Spline Linear
Graficamente
x
f(x)
1 7
s3(x)
52
s2(x)s1(x)
f(x)
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4.2 Função Spline Quadrática
As spline quadráticas tem derivadas contínuas até ordem 1 e portanto a curvatura de S2(x) não é suave nos nós.
Seja a função
Note que a função e sua derivada primeira são contínuas em x=1. Contudo, sua derivada segunda, em x=1, não é contínua.
3,1para12
1,2para22)(
2
2
xx
xxxxf
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4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente12 2 x
222 xx
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4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente, vemos a descontinuidade da derivada segunda (curvatura). Considere agora a situação em que f(x) e sua derivada primeira são contínuas em x=1, contudo ocorre mudança de sinal da derivada segunda em x=1
Esta é situação que ocorre no ajuste de spline quadrática.
3,1para582
1,2para22)(
2
2
xxx
xxxxf
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4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente222 xx
582 2 xx
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4.2 Função Spline Cúbica
As splines cúbicas são as mais usadas. Uma spline cúbica S3(x) é uma função
polinomial por partes, contínua, onde cada parte sk(x) é um polinômio de grau 3 nos intervalos [xk-1,xk].
S3(x) tem derivadas primeira e segunda contínuas, logo não tem bicos e não troca abruptamente a curvatura nos nós.
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4.2 Função Spline Cúbica - Construção
A função spline cúbica interpolante de f(x), ouseja S3(x), nos nós x1,x2,...,xn, pode ser escrita
em cada subintervalo como polinômios de grau 3. Denotada por sk(x) para k=1,2,...,n, deve
satisfazer:1. 2. 3. 4. 5.
.,....,2,1,, para )()( 13 nkxxxxsxS kkk
.,....,2,1 para )()(3 nixfxS ii .1,....,2,1 para )()( 1 nkxsxs kkkk
.1,....,2,1 para )(')(' 1 nkxsxs kkkk
.1,....,2,1 para )('')('' 1 nkxsxs kkkk
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4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Sejam as parte da spline cúbica dadas por
O Cálculo de envolve a determinação de 4ncoeficientes:
Condições 1: satisfeitas por construção.Condições 2: (n+1) condições nos nós. Condições 3: (n-1) condições de continuidade de S3 nos nós.
Condições 4: (n-1) condições de continuidade de S’3 nos nós.
Condições 5: (n-1) condições de continuidade de S’’3 nos nós.
Total de 4n-2 condições. Restam duas condições em aberto!!!
.,....,2,1, x-xx-xx-x)( k2
k3
k nkdcbaxs kkkkk
)(3 xS.,,,,.......,,,,,,,, 22221111 nnnn dcbadcbadcba
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4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Notação:
Impondo as condições:
.,'',1 kkkkkkkk yxfgxsxxh
k
kk
k
kk
kkkkkkk
kkkk
k
kk
k
kk
k
k
k
kk
k
h
yy
h
yyghghhgh
hggh
h
yyc
ydg
bh
gga
1
1
1
1111
11
1
62
6
2
,2
,6
.,..,,g para equações 1)-(n linear tem sistema o que Note 10 ngg
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4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Resta impor mais duas condições.
Alternativas 1: Chamada spline natural
Alternativa 2: Chamada spline parabólica.
Alternativa 3: Impor inclinações nos extremos.
0''e0'' 3003 nn gxSgxS
110 e nn gggg
BxSAxS n 'e' 303
Geralmente quando temos informações físicas do problema
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4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo
Achar a spline cúbica natural que interpola f(0.25) dada
Temos 4 subintervalos iguais. Dadasresolvendo o sistema linear para
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0
f(x) 3 1.8616 -0.5571 -4.1987 -9.0536
)(,)(,)(,)( 4321 xsxsxsxs
0 natural spline condições
26
4
26
4
26
4
40
234432
123321
012210
gg
yyyh
ghghgh
yyyh
ghghgh
yyyh
ghghgh
31 pois ,31 nk
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4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo
Substituindo os valores de resolvemos o sistema linear obtendo:
Calculamos
Como queremos f(0.25) fazemos
)(,)(,)(,)(e,,,, 4321 xsxsxsxsdcba kkkk
252.6,111.4,654.6
0
321
40
ggg
gg
)25.0(sf(0.25) 1
5.0e)( hhxfy kkk
5348.2)25.0( 0.5 Sendo
-0.25-0.25-0.25)25.0(
11
1112
113
111
sx
dxcxbxas
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5. EXERCÍCIOS
Faça os seguintes exercícios do capítulo 5 do livro texto.
Exercícios: 9,10 e projeto 2 página 266.