A. Transformada de Laplace

Neste apndice apresenta-se apenas um sumrio sobre a transformada de Laplace. Umestudo mais completo do tema encontra-se nos livros de matemtica para engenharia ounos livros sobre equaes diferenciais, por exemplo, o livro de Farlow[4].

Define-se a transformada de Laplace de uma funo f (t) como o integral:

L{ f (t)}=

0

f (t)est d t (A.1)

Note-se que o resultado desse integral j no depende de t mas sim do parmetro s, que seadmite ser um nmero real.

Neste livro, para representar a transformada de Laplace, utiliza-se um til por cima da letraque representa a funo. Por exemplo, g(s) a funo obtida por aplicao da transformadade Laplace funo g(t).

A varivel s tem as unidades de inverso do tempo, ou seja unidades de frequncia, j que oexpoente st adimensional. Assim sendo, g(t) e g(s) costumam ser designadas de repre-sentaes da funo no domnio do tempo e no domnio da frequncia, respetivamente.Tal como no caso da derivao, uma forma rpida de calcular a transformada de umafuno por meio de algumas regras simples que se vo obter nas seces seguintes. Atransformada inversa de uma funo f (s) a funo f (t) cuja transformada de Laplace igual a f (s).

Para que a transformada de Laplace de uma funo f (t) exista, necessrio que f (t)observe as duas propriedades seguintes:

1. A funo tem de ser parcelarmente contnua, isto , f (t) pode ter alguns pontosisolados onde descontnua, mas necessariamente contnua em cada intervaloentre dois pontos de descontinuidade.

2. A funo f (t) deve ser de ordem exponencial: existe um nmero real a tal que olimite

limt | f (t)|e

at (A.2)

existe. O domnio da respetiva transformada de Laplace f (t) s > a.

Note-se que no clculo da transformada de Laplace no interessa a forma como a funoseja definida para t 0. Isto prende-se com o intervalo de integrao usado na definioda transformada. possvel usar outros intervalos diferentes, mas o intervalo t > 0

212 Transformada de Laplace

particularmente til nos problemas fsicos estudados neste livro, em que unicamenteinteressa a evoluo de um sistema fsico a partir de um instante inicial arbitrado t = 0.

A.1. Propriedades da transformada de Laplace

A.1.1. Linearidade

Para quaisquer duas funes f (t) e g(t) e duas constantes a e b, verifica-se:

L{a f (t)+bg(t)}= a f (s)+bg(s) (A.3)e a transformada inversa tambm um operador linear:

L1{a f (s)+bg(s)}= a f (t)+bg(t) (A.4)

A.1.2. Derivada da transformada

A derivada da transformada de f (t), em ordem frequncia s ,

d fds

=dds

0

f (t)est d t =

0

t f (t)est d t = L{t f (t)} (A.5)

e derivando sucessivamente n vezes conclui-se que

L{tn f (t)}= (1)n dn f

dsn(A.6)

A.1.3. Transformada da derivada

A transformada da derivada de f (t) em ordem ao tempo est relacionada com a prpriatransformada de f (t). Integrando por partes no integral que define a transformada, obtm-se:

L{ f }=

0

f est d t = f est

0

+ s

0

f est d t (A.7)

o ltimo integral a transformada de f (t) e no primeiro termo, o limite de f est quandot tende para infinito zero, j que f (t) uma funo de ordem exponencial. Como tal,obtm-se a relao seguinte:

( f ) = s f f (0) (A.8)A transformada de derivadas de ordem superior calcula-se aplicando a mesma propriedadevezes sucessivas, por exemplo, a transformada da segunda derivada igual a:

L{ f }= s ( f ) f (0) = s (s f f (0)) f (0) = s2 f s f (0) f (0) (A.9)

A.1 Propriedades da transformada de Laplace 213

A.1.4. Deslocamento na frequncia

A transformada do produto entre uma funo exponencial e outra funo qualquer :

L{eat f (t)}=

0

f e(as) t d t = f (sa) (A.10)

Nomeadamente, quando se multiplica uma funo por eat , no domnio do tempo, a suarepresentao no domnio das frequncias desloca-se a unidades no sentido positivo doeixo da frequncia s.

A.1.5. Deslocamento no tempo

Define-se a funo degrau unitrio, ou funo de Heaviside, como:

u(ta) ={

0 , t a1 , t > a

(A.11)

Como tal, o produto,u(ta) f (ta) (A.12)

a funo f (t) deslocada uma distncia a no sentido positivo do eixo do tempo t, sendonula para t < a. Calculando a transformada de Laplace desse produto obtm-se:

L{u(ta) f (ta)}=

a

f (ta)est d t =

0

f (r)es(r+a) dr = eas

0

f (r)esr dr

e conclui-se que:L{u(ta) f (ta)}= eas f (s) (A.13)

Isto , quando a funo deslocada a unidades no sentido positivo do tempo t, a suarepresentao no domnio da frequncia fica multiplicada por eas.Note-se que no caso particular a = 0, esta propriedade implica que a transformada deu(t) f (t) idntica transformada de f (t); o produto u(t) f (t) simplesmente torna oresultado nulo para t 0 deixando a funo igual para t > 0 e como j foi dito, no clculoda transformada de Laplace apenas interessa a definio da funo para t > 0.

Esta propriedade muito til para calcular as transformadas de Laplace de funes comdescontinuidades. Uma outra forma equivalente

L{u(ta) f (t)}= easL{ f (t+a)} (A.14)

214 Transformada de Laplace

A.2. Transformadas de funes importantes

A.2.1. Polinmios

A transformada de t p, onde p qualquer nmero real, pode ser simplificada usando amudana de varivel u = st

L{t p}=

0

t p est d t =

0

(us

)peu

dus= s(p+1)

0

up eu du (A.15)

e este ltimo integral a funo gama de p+1; como tal, a transformada de t p

L{t p}= (p+1)sp+1

(A.16)

em particular, quando p um nmero inteiro positivo n, a funo gama de n+1 igual aofatorial de n e obtm-se:

L{tn}= n!sn+1

(A.17)

e para n = 0

L{1}= 1s

(A.18)

A.2.2. Funes exponenciais

Aplicando a propriedade de deslocamento na frequncia s, com f (t) = 1 e tendo em contaque L{1}= 1/s, obtm-se a transformada da funo exponencial,

L{eat}= 1sa (A.19)

e como a derivada de 1/(s a) 1/(s a)2, usando a propriedade da derivada datransformada conclui-se:

L{t eat}= 1(sa)2 (A.20)

O mesmo resultado pode ser obtido a partir da transformada de t e usando a propriedadede deslocamento em s.

A.2.3. Funes sinusoidais

Para calcular a transformada de Laplace das funes sinusoidais conveniente usar afrmula de Euler:

f (t) = fmx cos( t+) = Re(

fmx ei( t+))= Re

(fmx ei ei t

)(A.21)

A.2 Transformadas de funes importantes 215

onde Re{z} a funo que d a parte real dum nmero complexo z. Assim sendo, atransformada de Laplace da funo sinusoidal f (t) :

f (s) = L{

Re(

fmx ei ei t)}

= Re(

fmx ei L{

ei t})

= Re(

fmx ei

s i)

(A.22)

Por simplicidade, costuma-se omitir a funo Re, ficando implcito que s interessa aparte real. Definindo o fasor F da funo sinusoidal f (t) como o produto fmx ei , atransformada de Laplace da funo sinusoidal ento:

L{ fmx cos( t+)}= Fs i (A.23)

onde F o respetivo fasor. Como sinx = Re(i eix), conclui-se tambm que:

L{ fmx sin( t+)}= iFs i (A.24)

A.2.4. Funo impulso unitrio

A funo impulso unitrio, ou funo delta de Dirac, (t a), a derivada da funodegrau unitrio u(t a). Note-se que no realmente uma funo, porque em t = a afuno u(ta) descontnua e a sua derivada no existe.Pode imaginar-se (ta) imaginando uma funo degrau que no muda abruptamente de0 para 1, em t = a, mas sim aumenta gradualmente de 0 para 1 num pequeno intervalo queinclui t = a; como tal, (ta) nula excepto nesse pequeno intervalo em que o degrauunitrio passa de 0 para 1 e a rea total sob (ta) deve ser igual a 1; no limite em que ocomprimento desse intervalo se aproxima para zero, o valor de (ta) aproxima-se deinfinito, em t = a, e de zero em qualquer outro valor de t.

Uma funo f (t), contnua em a, verifica a propriedade seguinte:

t

f (z) (za)dz ={

0 , t af (a) , t > a

(A.25)

A transformada da funo impulso unitrio a transformada da derivada da funo degrauunitrio. Aplicando a propriedade da transformada da derivada, obtm-se:

L{ (ta)}= eas (A.26)

As propriedades da transformada de Laplace e as transformadas das funes calculadasnas seces anteriores encontram-se resumidas na tabela A.1.

216 Transformada de Laplace

Funo Transformada

f (t) f (s)

tnn!

sn+1

eat f (t) f (sa)f (t) s f (s) f (0)

t0

f (z)dz1s

f (s)

t f (t) d fds

f (t)t

s

f (r)dr

u(ta) f (ta) eas f (s)u(ta) f (t) easL{ f (t+a)} (ta) eas

f( t

a

)a f (as)

fmx cos( t+)F

s i

fmx sin( t+)iF

s i

Tabela A.1.: Propriedades da transformada de Laplace.