ONLINE EDITORA MAT EMTI CA Pgina 1 MATEMTICA CONJUNTOS NUMRICOS 1.Conjunto dos nmeros naturais Chamamosdeconjuntodosnmerosnaturais,e indicamos com lN, o seguinte conjunto: lN = { 0; 1; 2; 3; 4; ...} 2.Conjunto dos nmeros inteiros Chamamosdeconjuntosdosnmerosinteiros,e indicamos com Z, o seguinte conjunto: Z = { ...; -2; -1; 0; 1; 2;...) 3.Conjunto dos nmeros racionais: Chamamosdeconjuntodosnmerosracionais,e indicamos com Q, o seguinte conjunto: )`= e = = 0 q e Z q , p |qpx Q Observequeosnmerosracionaissoaquelesque podem ser escritos como quocientes de dois inteiros. Exemplos a) 15 =5; logo 5 e Q b) 52 = 0,4 ; logo 0,4e Q c) 615 = 2,5 ; logo 2,5 e Q d) 31= 0,333 . . . ; logo 0,333.. . e Q Observao:Nmeroscomo5,0,4e2,5sonmeros racionaiscomrepresentaodecimalfinita,ouseja, podemosescrev-los,emsuaformadecimal,comum nmero finito de algarismos. O nmero 0,333..., por sua vez, umnmeroracionalcomrepresentaodecimalinfinitae peridica,ouseja,spodemosescrev-lo,emsuaforma decimal,comumnmeroinfinitodealgarismos,embora,a partirdeumdeterminadoponto,hajaumarepetiode algarismos at o fim. Outroexemplodenmero,queadmiterepresentao decimal infinita e peridica, 2,35474747... Observao Importante Todososnmerosquetenhamrepresentaodecimal finitaouinfinitaeperidicasonmerosracionais,ouseja, pertencem a Q.. Conjunto dos nmeros reais H nmeros que no admitem representao decimal finita nem representao decimal infinita e peridica, como, por exemplo: n = 3,14159265... 2= 1,4142135... 3= 1,7320508... 5= 2,2360679... Estes nmeros no so racionais: neQ,2 e Q,3eQ,5 eQ;e,porissomesmo,sochamadosde irracionais. Podemosentodefinirosirracionaiscomosendo aquelesnmerosquepossuemumarepresentaodecimal infinita e no-peridica. Chamamos ento de conjunto dos nmeros reais, e indicamos com IR, o seguinte conjunto: IR = ( x x racional ou x irracional ) Como vemos, o conjunto IR a unio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais. CONJUNTOS DOS NMEROSNATURAIS IN = {0, 1, 2, 3, 4,...} e IN*={1,2,3,4,...}=Conjuntodosnmerosnaturais no nulos. Obs.:Dados dois nmeros naturais, a e b, temos que: a = b ou ab, se a = b, temos que a < b ou a > b. Operaes em IN Dados: a, b, c e n eIN, temos: a + b = c Adio a - b = c Subtrao com a > b a. b = c Multiplicao a: b = c Diviso com a mltiplo de b. na= b radiciao com a e IN Quadrado perfeito (se n = 2), cubo perfeito (se n = 3), etc. ONLINE EDITORA MAT EMTI CA Pgina 2 e se na = b bn = a an = a.a.a. . . . a, particularmente se a2 = a . a (l-se a ao quadrado) a3 = a. a. a (l-se a ao cubo) Propriedades Operatrias a) (a + b) + c = a + (b + c), associativa da adio. b) (a. b) . c = a. (b . c), associativa da multiplicao. c) a + b = b + a, comutativa da adio. d) a. b = b . a, comutativa da multiplicao. e) a + 0 = a, elemento neutro da adio. f) a. 1 = a, elemento neutro da multiplicao. g) a .(b + c) = a. b + a. c, distribuio da multiplicao em relao adio. h) a0 =1 com a = 0 Obs.:1 - Seqncias para resolver expresses. 1.) eliminar parnteses: () 2.) eliminar colchetes: [] 3.) eliminar chaves: { } Obs.: 2 - Prioridade nas Operaes 1.) Potenciao e Radiciao 2.) Multiplicaes e Diviso 3.) Adio e Subtrao 1)1+[3+(7- 2)]+5 2) 32 + {5+[43 -( 16 .5)]+25 } 3) 42:23+{ 12+[92:(42+11)-30]} Respostas: 1)14 2) 633) 16 USANDOLETRASPARARESOLVERPROBLEMAS: Quandopreciso,emumproblema,acharumnmero desconhecido,vocdevecolocaraletra,facilitandosua resoluo. Por exemplo, se eu tiver um problema como este: Meus45cavalosserodivididosentremeusfilhosda seguinte maneira:O filho do meio ter o dobro do caula.O mais velho ter o triplo do caula mais 3.Vocdeveestarseperguntando:comofareiisso?muito simples: voc monta uma equao da seguinte forma:So45cavalosaseremdivididosassim:O caula ter o valor X (um valor desconhecido).Como havia dito, precisamos usar uma letra para representar ovalorquenoestsendodito.Ofilhodomeioter2.X(odobrodocaula,queduas vezes o X) e o mais velho ter 3.X+3 (o triplo do caula mais 3,que3vezesXmais3).Agoraprecisamosmontaraequaoparaencontrarmoso valor de X . X+2.X+3.X+3 = 45 Para ficar mais fcil, somaremos todos os termos em X. Ficar assim: 6.X+3 = 45 Agora resolveremos a equao (precisamos fazer a conta inversa): 6.X = 45 - 36.X = 42X = 42/6 (ou seja, 42 dividido por 6)X = 7 Ento o caula ter 7, pois o valor de X 7. O do meio ter 14, pois o valor de X que 7, vezes 2, ou ainda o dobro de 7.E o mais velho ter 24, que seria o triplo de X mais 3. Pronto ! A resoluo desse problema foi feita e deu para perceber como o uso da letra facilitou sua resoluo. Outros exemplos: AsomadasidadesdeAndreCarlos22anos. Descubraasidadesdecadaumdeles,sabendo-seque Andr 4 anos mais novo do que Carlos. Soluo: Primeiropassaremosoproblemaparaalinguagem matemtica. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de Andr, logo a=c-4. Assim: c + a = 22 c + (c - 4) = 22 2c - 4 = 22 2c - 4 + 4 = 22 + 4 2c = 26 c = 13 Resposta: Carlos tem 13 anos e Andr tem 13-4=9 anos. A populao de uma cidade A o triplo da populao da cidade B. Se as duas cidades juntas tm uma populao de100.000habitantes,quantoshabitantestemacidade B? Soluo:IdentificaremosapopulaodacidadeAcoma letra a e a populao da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever: a + b = 100.000 3b + b = 100.000 4b = 100.000 b = 25.000 Resposta: Como a=3b, ento a populao de A corresponde a: a=325.000=75.000 habitantes. ONLINE EDITORA MAT EMTI CA Pgina 3 Umacasacom260m2dereaconstrudapossui3 quartosdemesmotamanho.Qualareadecada quarto,seasoutrasdependnciasdacasaocupam 140m2? Soluo: Tomaremos a rea de cada dormitrio com letra x. 3x + 140 = 260 3x = 260 -140 3x = 120 x = 40 Resposta: Cada quarto tem 40m2. Como achar o valor de x (termo desconhecido) nas quatro operaes bsicas 01.Determineumnmeronaturalque,multiplicadopor 17, resulte 238. X . 17 = 238 X = 238 : 17 X = 14 Prova: 14 . 17 = 238 02.Determineumnmeronaturalque,divididopor62, resulte 49. x : 62 = 49 x = 49 . 62 x = 3038 03Determineumnmeronaturalque,adicionadoa15, d como resultado 32 x + 15 = 32 x = 32 - 15 x =17 04. Quanto devemos adicionar a 112, a fim de obtermos 186? x 112 = 186 x = 186 - 112 x = 74 05. Quanto devemos subtrair de 134 para obtermos 81? 134 x = 81 - x = 81 - 134 - x = - 53(multiplicando por -1) x = 53 Prova: 134 - 53 = 81 06.Ricardopensouemumnmeronatural,adicionou-lhe35,subtraiu18eobteve40noresultado.Qualo nmero pensado? x + 35 - 18 = 40 x= 40 - 35 + 18 x = 23 Prova: 23 + 35 - 18 = 40 07. Adicionando 1 ao dobro de certo nmero obtemos 7. Qual esse numero? 2 . x +1 = 7 2x = 7 - 1 2x= 6 x = 6 : 2 x = 3 O nmero procurado 3. Prova: 2. 3 +1 = 7 08. Subtraindo 12 do triplo de certo nmero obtemos 18. Determinar esse nmero. 3 . x -12 = 18 3 x= 18 + 12 3 x = 30 x = 30 : 3 x = 10 09. Dividindo 1736 por um nmero natural, encontramos 56. Qual o valor deste numero natural? 1736 : x =56 1736 =56 . x 56 . x = 1736 x. 56 = 1736 x = 1736 : 56 x = 31 10.Odobrodeumnmeroiguala30.Qualo nmero? 2 . x = 30 2x = 30 x = 30 : 2 x = 15 11. O dobro de um nmero mais 4 igual a 20. Qual o nmero ? 2 . x + 4 = 20 2 x = 20 - 4 2 x = 16 x = 16 : 2 x = 8 12. Paulo e Jos tm juntos 12 lpis. Paulo tem o dobro dos lpis de Jos. Quantos lpis tem cada menino? Jos: x Paulo: 2x Paulo e Jos: x + x + x = 12 3x = 12 x = 12 : 3 x = 4 Jos: 4 - Paulo: 8 13. A soma de dois nmeros 28. Um o triplo do outro. Quais so esses nmeros? um nmero: x o outro nmero: 3x x + x + x + x = 28 (os dois nmeros) 4 x = 28 x = 28 : 4 x = 7 (um nmero) ONLINE EDITORA MAT EMTI CA Pgina 4 3x = 3 . 7 = 21(o outro nmero). Resposta: 7 e 21 14.PedroeMarcelopossuemjuntos30bolinhas. Marcelotem6bolinhasamaisquePedro.Quantas bolinhas tem cada um? Pedro: x Marcelo: x + 6 x + x + 6 = 30 ( Marcelo e Pedro) 2 x + 6 = 30 2 x = 30 - 6 2 x = 24 x = 24 : 2 x = 12 (Pedro) Marcelo: x + 6 =12 + 6 =18 Problemas 1 - Em uma adio uma das parcelas 27. Sabe-se que a soma 115. Calcule a outra parcela. 2-Adiferena entredois nmeros 45.Osubtraendo 27. Qual o nmero? 3-Emumadivisoexataodividendo495eo quociente 11. Qual o divisor. Respostas: 1) 882) 723) 45 CONJUNTODOS NMEROS INTEIROS RELATIVOS Sobre a origem dos sinais A idia sobre os sinais vem dos comerciantes da poca. Os matemticosencontraramamelhornotaoparaexpressar essenovotipodenmero.Vejacomofaziamtais comerciantes: Suponha que um deles tivesse em seu armazm duas sacas defeijocom10kgcada.Seessecomerciantevendesse numdia8Kgdefeijo,eleescreviaonmero8comum trao(semelhanteaoatualsinaldemenos)nafrentepara no se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijo. Masseeleresolvessedespejarnooutrosacoos2Kgque restaram,escreviaonmero2comdoistraoscruzados (semelhanteaoatualsinaldemais)nafrente,parase lembrardequenosacohavia2Kgdefeijoamaisquea quantidade inicial. Comessanovanotao,osmatemticospoderiam,no somente indicar as quantidades, mas tambm representar o ganho ou a perda dessas quantidades, atravs de nmeros, com sinal positivo ou negativo. O conjunto Z dos Nmeros Inteiros Definimos o conjunto dos nmeros inteiros como a reunio do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este conjunto denotado pela letra Z (Zahlen=nmero em alemo). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z Conjunto dos nmeros inteiros exceto o nmero zero: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos nmeros inteiros no negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} Conjunto dos nmeros inteiros no positivos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} Observao: No existe padronizao para estas notaes. Reta Numerada UmaformaderepresentargeometricamenteoconjuntoZ construir uma reta numerada, considerar o nmero 0 como a origemeonmero1emalgumlugar,tomaraunidadede medidacomoadistnciaentre0e1eporosnmeros inteiros da seguinte maneira: Aoobservararetanumeradanotamos que aordemqueos nmeros inteiros obedecem crescente da esquerda para a direita,razopelaqualindicamoscomumasetaparaa direita.Estaconsideraoadotadaporconveno,oque nospermitepensarquesefosseadotadaoutraforma,no haveria qualquer problema. Baseando-seaindanaretanumeradapodemosafirmarque todososnmerosinteirospossuemumesomenteum antecessor e tambm um e somente um sucessor. Ordem e simetria no conjunto Z Osucessordeumnmerointeiroonmeroqueest imediatamente sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um nmero inteiro o nmero que est imediatamente sua esquerda na reta (em Z). Exemplos: 3 sucessor de 2 e 2 antecessor de 3 -5 antecessor de -4 e -4 sucessor de -5 0 antecessor de 1 e 1 sucessor de 0 -1 sucessor de -2 e -2 antecessor de -1 Todo nmero inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simtrico ou oposto -z e ele caracterizado pelo fato geomtrico que tanto z como -z esto mesma distncia da origem do conjunto Z que 0. Exemplos: O oposto de ganhar perder, logo o oposto de +3 -3 O oposto de perder ganhar, logo o oposto de -5 +5 Mdulo de um nmero Inteiro O mdulo ou valor absoluto de um nmero Inteiro definido como sendo o maior valor (mximo) entre um nmero e seu elementoopostoepodeserdenotadopelousodeduas ONLINE EDITORA MAT EMTI CA Pgina 5 barras verticais | |. Assim: |x| = max{-x,x} Exemplos: |0| = 0, |8| = 8, |-6| = 6 Observao: Do ponto de vista geomtrico, o mdulo de um nmero inteiro corresponde distncia deste nmero at a origem (zero) na reta numrica inteira. Soma (adio) de nmeros inteiros Paramelhorentendimentodestaoperao,associaremos aosnmerosinteirospositivosaidiadeganhareaos nmeros inteiros negativos a idia de perder. ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7) perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3) Ateno: O sinal (+) antes do nmero positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do nmero negativo nunca pode ser dispensado. Exemplos: -3 + 3 = 0, 6 + 3 = 9, 5 - 1 = 4 Propriedades da adio de nmeros inteiros Fecho: O conjunto Z fechado para a adio, isto , a soma de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7 Comutativa: Para todos a,b em Z: a + b = b + a 3 + 7 = 7 + 3 Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o prprio z, isto : z + 0 = z 7 + 0 = 7 Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que z + (-z) = 0 9 + (-9) = 0 Multiplicao (produto) de nmeros inteiros Amultiplicaofuncionacomoumaformasimplificadade umaadioquandoosnmerossorepetidos.Poderiamos analisartalsituaocomoofatodeestarmosganhando repetidamentealgumaquantidade,comoporexemplo, ganhar1objetopor30vezesconsectivas,significaganhar 30 objetos e esta repetio pode ser indicada por umx, isto : 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o nmero 1 pelo nmero 2, teremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o nmero 2 pelo nmero -2, teremos: (-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60 Observamos ento que a multiplicao um caso particular da adio onde os valores so repetidos. Namultiplicaooprodutodosnmerosaeb,podeser indicadoporaxb,a.bouaindaabsemnenhumsinalentre as letras. Pararealizaramultiplicaodenmerosinteiros,devemos obedecer seguinte regra de sinais: (+1)(+1)=(+1) (+1)(-1)=(-1) (-1)(+1)=(-1) (-1)(-1)=(+1) Com o uso das regras acima, podemos concluir que: Sinais dos nmerosResultado do produto iguaispositivo diferentesnegativo Propriedades da multiplicao de nmeros inteiros Fecho: O conjunto Z fechado para a multiplicao, isto , a multiplicao de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z: a x ( b x c ) = ( a x b ) x c 2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7 Comutativa: Para todos a,b em Z: a x b = b x a 3 x 7 = 7 x 3 Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o prprio z, isto : z x 1 = z 7 x 1 = 7 Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que z x z-1 = z x (1/z) = 1 9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1 Propriedade mista (distributiva) Distributiva: Para todos a,b,c em Z: a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ) 3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 ) Potenciao de nmeros inteiros A potncia an do nmero inteiro a, definida como um produto de n fatores iguais. O nmero a denominado a base e o nmero n o expoente. ONLINE EDITORA MAT EMTI CA Pgina 6 an = a a a a ... a a multiplicado por a n vezes Exemplos: 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 (-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8 (-5)2 = (-5) x (-5) = 25 (+5)2 = (+5) x (+5) = 25 comosexemplosacima,podemosobservarqueapotncia detodonmerointeiroelevadoaumexpoenteparum nmero positivo e a potncia de todo nmero inteiro elevado a um expoente mpar um nmero que conserva o seu sinal. Observao: Quando o expoente n=2, a potncia a^2 pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente n=3,apotnciaa3podeserlidacomo:"aelevadoao cubo".Taisleiturassoprovenientesdofatoquereado quadradopodeserobtidaporA=a^2ondeaoladoeo volume do cubo pode ser obtido por V=a3 onde a o lado do cubo.Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html Potenciao Sejam a, b e Z e n e IN. an = a. a. a ... a n vezes Se an =b, se a > 0 b > 0todo n e IN ,se a < 0 e n mpar b < 0 se a < 0 e n par b > 0. Propriedade da potenciao Sejam a e b e Z, e n e m e IN, temos que: a) an . am = an+m b) an : am = an -m c) ( a. b)n = an .bn d)a0 =1 com a =0 e)0n = 0 f) 1n = 1 Radiciao Sejam a e b e Z e n e IN temos na = b. Se a < 0 e n par no existe raiz. Exerccios: I - Completar com os smbolos > , < ou = a) -3 ___0b) 7 ___-8 c) | -3|___ | +3| Respostas:a) c) = II- Efetuar: a) 10 +5 3 +6 -2b) (-6) . (-3) + 2.(-4) c) 15 : 3 + 7. 2d) 20:2 Respostas: a) 4b) 10c) +9d) 10 Nmeros Pares e mparesOspitagricosestudavamnaturezadosnmeros,e baseadonestanaturezacriaramsuafilosofiaemodode vida. Vamos definir nmeros pares e mpares de acordo com a concepo pitagrica:paronmeroquepodeserdivididoemduas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio, emparaquelequenopodeserdivididoem duas partes iguais, porque sempre h uma unidade no meioUma outra caracterizao, nos mostra a preocupao com natureza dos nmeros:nmero par aquele que tanto pode ser dividido em duaspartesiguaiscomoempartesdesiguais,mas de forma tal que em nenhuma destas divises haja uma mistura da natureza par com a natureza mpar, nemdamparcomapar.Istotemumanica exceo, que o princpio do par, o nmero 2, que noadmiteadivisoempartesdesiguais,porque ele formado por duas unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro nmero par, 2.Para exemplificar o texto acima, considere o nmero 10, que par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, mas tambm como a soma de 7 e 3 (que so ambos mpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos so pares); mas nunca como a soma deumnmeropareoutrompar.Jonmero11,que mparpodeserescritocomosomade8e3,umpareum mpar.Atualmente,definimosnmerosparescomosendoo nmeroqueaoserdivididopordoistmrestozeroe nmerosmparesaquelesqueaoseremdivididospordois tmrestodiferentedezero.Porexemplo,12divididopor2 tmrestozero,portanto12par.Jonmero13aoser dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 mpar.REGRAS DE DIVISIBILIDADE DIVISIBILIDADE POR 2 Um nmero divisvel por 2 quando par. Nmeros pares so os que terminam em 0, ou 2, ou 4, ou 6 , ou 8. Ex : 42 - 100 - 1.445.086 - 8 - 354 - 570DIVISIBILIDADE POR 3 Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos seus algarismos divisvel por 3. Ex : 123 (S= 1 + 2 + 3 = 6) - 36 (S=9) - 1.478.391 ( S=33) - 570 (S=12) DIVISIBILIDADE POR 4 Um nmero divisvel por 4 quando os dois ltimos algarismos formam um nmero divisvel por 4. Ex : 956 - 844 - 1.336 - 120 - 8.357.916 - 752 - 200DIVISIBILIDADE POR 5 ONLINE EDITORA MAT EMTI CA Pgina 7 Um nmero divisvel por 5 quando termina em 0 ou 5 . Ex : 475 - 800 - 1.267.335 - 10 - 65 DIVISIBILIDADE POR 6 Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e3 ao mesmo tempo. Ex : 36 - 24 - 126 - 1476 DIVISIBILIDADE POR 7 Tomar o ltimo algarismo e calcular seu dobro. Subtrair esse resultado do nmero formado pelos algarismos restantes. Se o resultado for divisvel por 7 ento, o nmero original tambm ser divisvel por 7. Ex1 :238 : 8 x 2 = 16 23 16 = 7 : como 7 divisvel por 7 , 238 tambm divisvel. 693 : 3 x 2 = 6 69 6 = 63 63 : 3 x 2 = 6 6 6 = 0 : como 0 divisvel por 7, 693 tambm divisvel. Ex2 :235 : 5 x 2 = 10 23 10 = 13 : como 13 no divisvel por 7, 235 tambm no divisvel. DIVISIBILIDADE POR 8 Um nmero divisvel por 8 quando os trs ltimos algarismos formam um nmero divisvel por 8. Ex : 876.400 - 152 - 245.328.168 DIVISIBILIDADE POR 9 Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos seus algarismos divisvel por 9. Ex : 36 - 162 - 5463 - 5.461.047 DIVISIBILIDADE POR 10 Um nmero divisvel por 10 quando termina em 0. Ex : 100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630 DIVISIBILIDADE POR 11 Quando a diferena entre as somas dos algarismos de ordem mpar e de ordem par, a partir da direita for mltipla de 11.Ex : 7.973.207 S (ordem mpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23 S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 diferena = 11 NMEROS PRIMOS Nmero Primo- aquele que s tem dois divisores: 1e ele prprio. So Nmeros Primos : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... etc. 1 no primo, tem apenas um divisor. 2 o nico nmero par que primo. NMEROS COMPOSTOS So nmeros que possuem mais de dois divisores. Ex. : 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15, ... etc. Obs.:a)O nmero 1 no composto e nem primo. b)Zero tambm, no composto e nem primo (possui infinitos divisores) Decomposio de um nmero em fatores primos. -Divide - se o nmero dado pelo seu menor divisor primo. -Procede-sedamesmamaneiracomcadaquociente obtido, at que se tenha o quociente 1. Ex.: 722 362 72 = 23 . 32 182 93 33 1e 2 e 3 so primos. Exerccios Decompor em fatores primos. 1) 362) 423) 896 Respostas: 1) 22.322) 2.3.73) 27. 7 MNIMO MLTIPLO COMUM (M.M.C.) m.m.c.entredoisnmerosomenordosmltiplos comuns entre os nmeros, excludo o zero. Ex.: mltiplos de 10 = 0 ,20, 30, 40, ... mltiplos de 15 = 0 ,15, 30, 45, 60,... Vemosque30mltiplode10eque30tambm mltiplode15,ento30m.m.c.entre10e15escreve-se m.m.c. (10,15) = 30 RegraPrtica-Decompem-seosdoisnmerosem fatores primos, simultaneamente. Ex.: 10, 52 5,153 5,55 1, 12.3.5 = 30 (m.m.c.) Exerccios Calcule o m.m.c. entre: 1) 18e 242) 60 e 240 3)18, 42 e 64 ONLINE EDITORA MAT EMTI CA Pgina 8 Respostas: 1) 722) 2403) 4032 MXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) Sejam os divisores de 12 = D (12) e os divisores de 18 = D (18): D(12)= (1,2,3,4,6, 12} e D(18) = (1,2,3,6,9, 18} note que 6 o maior divisor comum entre 12 e 18. Regra Prtica (Divises Sucessivas)

Exerccios: Determine o m.d.c. entre: 1) 36 e 242) 48 e 72 3) 384 e1204) 72, 48 e 240 Respostas: 1) 122) 243) 244) 24 Problemas: 1)NoBrasilopresidentepermanece5anosnocargo, ossenadorespermanecem8anoseosdeputados federais permanecem 4 anos. Havendo eleies para os trs cargos em 1994, em que ano as eleies para estes cargos ocorrero simultaneamente. 2)Trsnaviosfazemviagementredoisportos.O primeirocada4dias,osegundocada6diaseo terceirocada9dias.Tendoestesnaviospartido juntos,depoisdequantodiasvoltaroasairjuntos novamente? 3)Duas rodas de uma engrenagem tm 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda tem um dente estragado. Senumdadoinstanteestiverememcontatoosdois dentesestragados,depoisdequantasvoltasse repetir esse encontro? Respostas:1) em 2034 2) 36dias3) 42 voltas Radiciao Sejam a e b e Z e n e IN temos na = b. Se a < 0 e n par no existe raiz. Propriedades da raiz quadrada Jsabemosquetodonmeropositivopossuiraiz quadrada. Quanto vale a raiz quadrada de zero? Pense: Valezero,claro,porque02 2=0.Equantoseraraiz quadrada de - 3? Pense: Essanoexiste,porquequandoelevamosqualquer nmeroaoquadrado,oresultadosemprepositivo.Logo, nenhumnmeronegativopossuiraizquadrada.Anossa primeira propriedade ser, ento: I- Se a > 0 existea . Se a < 0, no existea Anossasegundapropriedadeumaconsequnciada definio de raiz quadrada: I- Se a > 0, entoa . a= a Aterceiraeaquartapropriedadesvonosajudara operar com as razes quadradas: III- Se a e b so positivos, ento,b a ab = IV- Seaebsopositivos(ebSeaebsopositivos, ento baba= Observe agora o exemplo seguinte, no qual aplicaremos essas propriedades na soluo de uma equao: EXEMPLO 3x2= 7 Soluo: Aprimeiracoisaafazerdividirpor3paraisolara incgnita. 37 33x2= Agoravamosextrairaraizquadrada.Nestecaso,no precisaremoscolocarosinal+doladodireitoporqueo enunciadosnospedeparadeterminarasoluopositiva. Temos ento: 37x= Observe agora como usamos as propriedades para dar a respostadeoutraforma.PelapropriedadeIV,podemos ONLINE EDITORA MAT EMTI CA Pgina 9 escrever 37= x sempre incmodo ter uma raiz no denominador de uma frao.Pararesolverisso,multiplicamosonumeradoreo denominadordafraopeloprpriodenominador.Chamamos isto de racionalizar o denominador. 3 33 7xxx = PelaspropriedadesIIeIIItemosque3 3 3 = e ainda, 1 2 3 7 3 7 = = . Ento, 321x= Nmeros Racionais(Fraes) Umcrculofoidivididoemduaspartesiguais.Dizemos que uma unidade dividida em duas partes iguais e indicamos 1/2. onde: 1 = numerador e 2 = denominador Umcrculodivididoem3partesiguaisindicamos(das trs partes hachuramos 2). Quando o numerador menor que o denominador temos uma frao prpria. Observe: Observe: Quando o numerador maior que o denominador temos uma frao imprpria. Fraes Equivalentes Duasoumaisfraessoequivalentes,quando representam a mesma quantidade. Dizemos que: 63

42 21= = - Para obter fraes equivalentes, devemos multiplicar ou dividir o numerador por mesmo nmero diferente de zero. Ex: 63 33 .21 ou42 22

21= = -Para simplificar fraes devemos dividir o numerador eodenominador,porummesmonmerodiferente de zero. -Quandonoformaispossvelefetuarasdivises dizemos que a frao irredutvel. Exemplo: = = 63 69 22 :1218FraoIrredutvelou Simplificada Exemplo:43e 31 Calcular o mmc (3,4): 3,42 3,22xento mmc (3, 4) = 12 3,13 1,112 ONLINE EDITORA MAT EMTI CA Pgina 10 43e 31 = ( ) ( )123 4 : 12e 121 3 : 12 temos: 129e 124 A frao 31 equivalente a 124. A frao 43 equivalente 129. Exerccios: 1)Achar trs fraes equivalentes s seguintes fraes: 1)412)32 Respostas: 1) 164 ,123 ,822) 128 ,96 ,64 Comparao de fraes a)Fraes de denominadores iguais. Se duas fraes tem denominadores iguais a maior ser aquela: que tiver maior numerador. Ex.:4341 ou 41 43< > b) Fraes com numeradores iguais Seduasfraestiveremnumeradoresiguais,amenor ser aquela que tiver maior denominador. Ex.: 47 57 ou 57 47< > c)Fraescomnumeradoresedenominadores receptivamente diferentes. Reduzimosaomesmodenominadoredepois comparamos. Exemplos: 31

32>denominadores iguais (ordem decrescente) 34

54>numeradores iguais (ordem crescente) Simplificao de fraes Para simplificar fraes devemos dividir o numerador e o denominador por um nmero diferente de zero. Quandonoformaispossvelefetuarasdivises, dizemos que a frao irredutvel. Exemplo: 23 33

: 6: 9 22

: 12: 18= = Frao irredutvel ou simplificada. Exerccios: Simplificar 1) 1292) 4536 Respostas: 1) 432)54 Reduo de fraes ao menor denominador comum Ex.: 43e 31 Calcular o mmc (3,4): 3,42 3,22 xento mmc (3, 4) = 12 3,13 1,112 43e 31 =( ) ( )123 4 : 12e 121 3 : 12 temos: 129e 124 A frao 31 equivalente a 124. A frao 43 equivalente 129. Exemplo: 54? 32numeradoresdiferentese denominadores diferentes m.m.c.(3, 5) = 15 15(15.5).4 ? 153).2 : (15 =1512

1510