Introduo aos AlgoritmosFundamentos Parte II

Armazenamento de Dados e Representao Numrica

Dilson Lucas Pereira

Armazenamento de Dados

Dados

Dados podem ser: texto, imagens, udio, vdeo, etc Como o computador lida com todos estes tipos de

dados? Um computador para cada tipo? invivel Assume uma representao uniforme Todos os que entram no computador so transformados

para esta representao, e transformados de volta quando saem

Padro de bits

Dados

Bit: 0 ou 1 Byte: 8 bits Padro de bits: sequncia (ou string) de bits

001010001010100001100101000010... Como a memria sabe que tipo de dados aquele padro

representa? No sabe! de responsabilidade do programa e dispositivos de entrada e

sada dar sentido ao padro

Texto

Texto uma sequncia de smbolos em alguma lngua

Geralmente cada smbolo representado por um padro de tamanho fixo

A = 10000001, B = 10000010, O nmero de smbolos que pode ser representado

depende do tamanho desta sequncia n bits 2n possibilidades

Padres

ASCII (ingls) : 7 bits (128 smbolos) ASCII estendido: 8 bits (256 smbolos) Unicode (outros idiomas): 16 bits (65536 smbolos) etc

Imagem

Formato bitmap e formato vetorial

Bitmap A imagem interpretada como

uma matriz de pixels (pontinhos) Cada pixel representado por

um padro que representa as informaes daquele pixel

Ex: RGB (red green blue) 1 byte para cada cor

Imagem

Vetorial A imagem decomposta

em pontos, linhas, curvas, polgonos, etc

Estes elementos podem ser representados por expresses matemticas

Bitmaps sofrem perda de qualidade quando aumentados

Imagens vetoriais no

Representao Numrica

O Sistema Decimal

o sistema numrico adotado mundialmente Base 10 (10 smbolos para cada dgito) Primeiro dgito: dezenas, segundo dgito: centenas,

terceiro dgito: milhares... Primeiro dgito: 100, segundo: 101, terceiro 102,... Ex: 1578 = 8x100 + 7x101 + 5x102 + 1x103

O Sistema Binrio

Tem base 2 Dois dgitos: 0 e 1 Primeiro dgito: 20, segundo: 21, terceiro, 22, Ex: 11110011 = 1x20 + 1x21 + 0x22 + 0x23 + 1x24 +

1x25 + 1x26 + 1x27 = 243

Converso Binrio-decimal

Multiplique cada dgito por seu peso, como no exemplo anterior

Ex: 0101101 = 1x20 + 0x21 + 1x22 + 1x23 + 0x24 + 1x25 + 0x26 = 45

Converso Decimal-binrio

Se d por meio de sucessivas divises:1. q nmero a ser convertido2. k 13. Se q = 0, pare. 4. Seno:

a) Divida q por 2. b) O resto se torna o k-simo dgito.c) q quociente d) k k + 1e) Volte ao passo 3

Converso Binrio-decimal

Ex: 45 45/2: r = 1 q = 22 22/2: r = 0 q = 11 11/2: r = 1 q = 5 5/2: r = 1 q = 2 2/2: r = 0 q = 1 1/2: r = 1 q = 0 101101

Ex: 37 37/2: r = 1 q = 18 18/2: r = 0 q = 9 9/2: r = 1 q = 4 4/2: r = 0 q = 2 2/2: r = 0 q = 1 1/2: r = 1 q = 0 100101

Representao de Inteiros

Ex: 134, 5, 7, -5, 0, etc Computadores consideram duas categorias de

inteiros: Inteiros com sinal e inteiros sem sinal Inteiros com sinal podem ser representados de trs

maneiras Sinal e magnitude Complemento de um Complemento de dois

Inteiros Sem Sinal Denota os inteiros de 0 ao infinito Obviamente o computador no pode armazenar todos estes

nmeros O maior inteiro disponvel depende da quantidade de

memria (bits) que o sistema usa para representar estes nmeros

n bits 2n nmeros Inteiros de 0 a 2n -1 32 bits: 0 a 4.294.967.295

Inteiros Sem Sinal

Para se armazenar um nmero inteiro sem sinal, realiza-se a converso conforme mostrado anteriormente

Se o nmero tiver mais que n bits, tem-se um overflow, seno, adicionam-se 0's esquerda at que o nmero tenha n bits

A representao sem sinal melhora ligeiramente a eficincia do armazenamento, uma vez que o computador no precisa armazenar informao relativa ao sinal

Ex: contagem, endereamento

Sinal e Magnitude

Neste formado, usa-se um bit para representar o sinal do nmero

0: positivo, 1: negativo Tem-se ento 1 bit a menos para representar o valor

absoluto do nmero em si Faixa: -2n-1-1 2n-1-1 32 bits: -2.147.483.647 -0 + 0 2.147.483.647 Note que existem dois 0's

+0 0000000 -0 1000000

Sinal e Magnitude

O processo para converter um nmero para este formato consiste em: Ignorar o sinal do nmero e convert-lo Se o nmero tiver menos de n-1 bits, adicionar 0's sua

esquerda at que se tenham n-1 bits Se o nmero for positivo, adicionar 0 sua esquerda, se

negativo, adicionar 1

Sinal e Magnitude

Para se converter de volta (interpretar), convertem-se os n-1 primeiros bits direita, adiciona-se o sinal de acordo com o ltimo bit

Este formato no utilizado por computadores Operaes como soma e subtrao no tem

implementao direta Tem dois 0's, pode confundir programadores

Complemento de Um

Neste formato, nmeros no negativos so representados da mesma maneira que inteiros sem sinal

Nmeros negativos so representados como o complemento de sua contraparte positiva

Nmeros cujo primeiro bit 0 so no-negativos, nmeros cujo primeiro bit 1 so no-positivos

0 aparece duas vezes +0 00000000 -0 11111111

Complemento de Um

Faixa: -2n-1-1 2n-1-1 32 bits: -2.147.483.647 -0 + 0 2.147.483.647 Representao:

Ignore o sinal, converta o nmero para binrio adicione 0's esquerda at que se tenham n bits Se o sinal (do nmero original) for negativo,

complemente o nmero, isto , inverta os 0's e 1's

Complemento de Um

Ex: Represente +7 em 8 bits +7 111 00000111

Represente -258 em 16 bits 258 100000010 0000000100000010

1111111011111101

Complemento de Um

Interpretao Se o bit mais esquerda for 0

Converta para decimal Seno

Complemente o nmero Converta para decimal Coloque o sinal negativo

Ex: 11110110 00001001 9 -9

Complemento de Um

No usado na prtica Operaes aritmticas no so diretas Dois 0's

Oferece o fundamento para a representao em complemento de dois

Complemento de Dois

Para representar um nmero em complemento e dois Ignore o sinal, converta o nmero para binrio Se o nmero de bits for menor que n, adicione 0's

esquerda Se o sinal do nmero original for negativo, deixe os

primeiros bits direita, at o primeiro 1, inclusive, como esto. Complemente o restante

Complemento de Dois O primeiro bit representa o sinal A faixa de nmeros que pode ser representada -2n-1 2n-1-1 Existe apenas um 0 Converter 000000 resulta em 000000 Converter o menor nmero negativo passvel de

representao resulta em 100000

Representao utilizada pelos computadores

Complemento de Dois

Ex: +7 em 8 bits 111 00000111

-40 em 16 bits 101000 0000000000101000 1111111111011000

Complemento de Dois

Interpretao Se o bit mais esquerda for 0

Converta para decimal Seno

Deixe os primeiros bits direita, at o primeiro 1, inclusive, como esto. Complemente o restante

Converta para decimal Adicione o sinal

Ex: 11110110 00001010 10 -10

Operaes em Bits

Operaes em bits podem ser aritmticas ou lgicas Operaes aritmticas compreendem soma, subtrao,

multiplicao, diviso, etc... Operaes lgicas

Um bit pode ser 0 ou 1. O valor 0 pode ser interpretado como o valor lgico falso e 1 pode ser interpretado como verdadeiro.

Desta maneira, podemos aplicar operaes lgicas sobre estes bits

Operaes Aritmticas em Inteiros

Adio e subtrao Outras operaes geralmente podem ser construdas

baseando-se nestas duas Assume-se complemento de dois, representao

mais adotada

Adio em Complemento de Dois

A adio se d de maneira semelhante adio de nmeros em base decimal

Alinhamos os nmeros e somamos coluna por coluna Tambm pode ocorrer vai um 0+0=0 1+0=1 1+1= 2 = 10 em binrio (0 e vai um) 1+1+1= 3 = 11 em binrio (1 e vai um)

Adio em Complemento de Dois

Ex: 17+22 100010001 +0001011000100111

24+(-17)11111 00011000 + 11101111 00000111

O ltimo vai um ignorado

Overflow

127+3 (8 bits, {-128,...,127})

111111101111111 +0000001110000010 = -126

127+3 (9 bits, {-256,...,255})

1111111001111111 +000000011010000010 = 130

Subtrao

Para subtrair, somamos com o nmero negativo Ex: 101 62 = 101 + (-62)

Operaes lgicas

Unrias (um operando) ou binrias (dois operandos) Binrias: e (and), ou (or), ou exclusivo (xor) Unria: negao

E, ou, ou exclusivo

10011000 and0011010100010000

10011000 or0011010110111101

10011000 xor0011010110101101

Shift

Shift a esquerda: move os bits para a esquerda Equivalente a multiplicar o nmero por 2 Ex: 00111011 (59) 01110110 (118)

Shift a direita: move os bits para a direita Equivalente a dividir o nmero por 2 Ex: 00111011 (59) 00011101 (29)

Sistema de Excesso

Com n bits representamos 2n nmeros 0, 1, 2, , 2n-1 Se quisermos representar at K nmeros negativos

podemos fazer um mapeamento

0 1 2 K (K+1) (K+2) (2n-1)

-K -(K-1) -(K-2) -(K-K) 1 2 (2n-1-K)

Sistema de Excesso

Ex: Queremos representar at 20 nmeros negativos em um em inteiros de 6 bits

0 1 2 20 63

-20 -19 -18 0 43

Sistema de Excesso

Converso Adicione K ao nmero Converta para binrio, adicione 0's esquerda caso necessrio

Interpretao Converta para decimal Subtraia K

Ex: K = 127, 8 bits, nmero -25 -25+127 102 01100110

11111110 para decimal, K = 127 11111110 254 (-127) 127

Representao de Ponto-flutuante

Representao de nmeros reais Converta a parte decimal Converta a parte real Coloque o ponto entre as partes

A converso da parte inteira se d como j visto (sinal e magnitude)

Convertendo-se a Parte Real

Multiplicao sucessiva x nmero (menor que 1) a ser convertido k 1 Se x = 0 (ou a preciso desejada foi obtida), pare Seno

Multiplique x por 2. A parte inteira se torna o K-simo bit mais esquerda x parte real K K+1 Volte ao passo 3

Convertendo-se a Parte Real

Ex: 0,125 0,125 x 2 = 0,250 0,25 x 2 = 0,500 0,5 x 2 = 1,00 0.001 0x2-1 + 0x2-2 + 0x2-3

Ex: 0,875 0,875 x 2 = 1,75 0,75 x 2 = 1,5 0,5 x 2 = 1,00 0.111 1x2-1 + 1x2-2 + 1x2-3

Representao Real

Nem todo nmero pode ser representado exatamente em binrio

Ex: 0,1 0,2 0,45

Normalizao

Os nmeros so armazenados na forma normalizada1.xxxxxxxxxxxx

necessrio mover o ponto para a esquerda ou direita Mover para direita aumenta o nmero duas vezes, para a

esquerda diminui Ex: 1010001.1101 26 x 1.01000111001 -0.001110011 -2-3 x 1.110011

Sinal, Expoente e Mantissa

Os nmeros so armazenados em trs partes Sinal, Expoente e Mantissa

Ex: +1000111.0101 = +26 x 1.0001110101 Sinal: + Expoente: 6 Mantissa: a parte que sobra, apenas a parte aps o ponto

do nmero normalizado 0001110101

Padres IEEE

IEEE: Institute of Electrical and Electronic Engineers

Define 3 padres, 2 so adotados Preciso nica e preciso dupla

Preciso nica: 1 bit para o sinal, 8 para o expoente, 23 para a mantissa

Preciso dupla: 1 para o sinal, 11 para o expoente, 52 para a mantissa

Representao em Preciso nica

Armazene o sinal (0: positivo, 1: negativo) Armazene o expoente em formato de excesso, K =

127, adicione 0's esquerda caso necessrio Armazene a mantissa, adicione 0's direita caso

necessrio Ex: + 26 x 1.101000111001

Sinal: 0, expoente: 6, mantissa: 101000111001 01000010101000111001000000000000

Representao em Preciso nica

Exemplo: -5.125 5 101 (inteiro sem sinal) 0.125 0.100 5.125 101.100 22 x 1.01100 (normalizado) 2 2+127 = 129 10000001 (sistema de excesso) 1 10000001 011000000...

Representao em Preciso nica

Interpretao: Use o bit mais esquerda como sinal Converta os prximos 8 bits para decimal usando o

formato de excesso K = 127 Adicione 1. mantissa Mova o ponto at a posio correta, de acordo com o

expoente Converta a parte decimal Converta a parte real Combine as duas

Representao em Preciso nica

Ex: 10111110011001100000000000000000 Sinal: 1 - Expoente: 01111100 124 (-127) -3 Mantissa: 11001100... 1.11001100... -2-3 x 1.110011 -0.001110011 -0.224609375

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