unidade 1 - noções básicas de erros 1.introdução 2.representação de números 2. 1....

UNIDADE 1 - Noções básicas de erros


CÁLCULO NUMÉRICOUNIDADE 1 – NOÇÕES BÁSICAS DE

ERROS

1. Introdução2. Representação de números 2. 1. Aritmética de ponto flutuante3. Erros

3.1 Erros Absolutos e Relativos



1. Introdução

O que é cálculo numérico?

Corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada.

Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.



1. Introdução

Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e um resistor

Exemplo:

V

I

RR

ViIRV . Solução Exata

Introduzindo um diodo no circuito

VI

R

D01ln.1ln)(

ss I

i

q

kTiRV

I

i

q

kTiv

Solução Utilizando Métodos Numéricos



1. Introdução Por que produzir resultados numéricos?

1. Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema.

Exemplo: Solução de sistemas de equações lineares (cálculo de estruturas, redes elétricas etc.



1. Introdução

2. A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente).

Exemplo:a) Não se tem primitiva de forma simples;

b) Equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.

dxex2



1. Introdução Algumas observações sobre os métodos numéricos.

Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para formulações matemáticas.

Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não e um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição.

Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação do erro, o desvio.



1. Introdução Qual a função do cálculo numérico na engenharia?

“Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos, ou seja:

Modelo Matemático



1. Introdução



1. Introdução Como pode ser visto, ainda que todas as fases da solução estejam corretas podem ocorre erros pelos seguintes motivos:

•Da precisão dos dados de entrada

•Da forma com que estes dados são representados no computador

•Das operações numéricas efetuadas

2. Representação de Números

Exemplo 1:Calcular a área de uma circunferência de raio 100 m.Resultados:a) A=31400 m2

b) A=31416 m2

c) A=31415.92654 m2

É possível obter exatamente esta área.

Exemplo 2:Efetuar o somatório em calculadora e computador.

30000

1iixS Para xi=0.5 e para xi=0.11

Resultados obtidos:i) Para xi=0.5 calculadora S=15000 computador S=15000ii) Para xi=0.11 calculadora S=3300 computador

S=3299.99691 Como justificar os erros?



2. Representação de Números

• Quanto maior o número de dígitos maior será a precisão obtida.• Nos trabalhamos no sistema decimal e o computador no sistema binário.

Desta forma o processo de conversão de binário para decimal e vice versa constitui uma fonte de erro

2. 1. Aritmética de ponto flutuante

Constitui-se da representação interna da calculadora ou do computador do número na forma:

±(.d1d2......dt) x be

Onde:b- base em que a máquina operat – número de dígitos da mantissa: 0≤dj≤( -1),b j=1.....t, dK0;e – é o expoente no intervalo [1,u]

Exemplo: Máquina que opera com o sistema:b=10;t=3;tX[-5,5] representação do número: 0.d1d2d3x10e,0OdjO9, eX[-5,5]Menor número:m=0.100x10-5=10-6

Maior número:M=0.999x105=99900



2. 1. Aritmética de ponto flutuante

Dado um número real x= 235.89 que deve ser inserido na máquina.Pode ocorrer as seguintes situações:

Caso 1: Respeitando-se os critérios da máquina e de aproximação x= 0.236 x 103

Caso 2: |x|<m ocorreria um underflow.

Caso 3: |x|>M ocorreria um overflow.

3. Erros3.1 Erros Absolutos e Relativos

Erro absoluto constitui na diferença entre o valor exato x e o valor aproximado xxxEAx

O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor aproximado.

x

xx

x

EAER x

x



3.1 Erros Absolutos e Relativos

Exemplo:Seja o valor aproximado igual a 2112.9 de tal forma que |EAx|<0.1, ou seja, x X(2112.8,2113) determine o erro relativo de x.

5107.49.2112

1.0 x

EAER x

x

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