Representação e Aritmética em Ponto Flutuante35T12 – Sala 3G4Bruno Motta de CarvalhoDIMAp – Sala 15 – Ramal 227

DIM04042

Sistemas de Representação de Números no Computador Representação de números inteiros Dado um número inteiro n≠0, ele possui uma 

única representação na base 

    onde os                     são inteiros satisfazendo 

Por exemplo, 712 é representado por

n=∓n−k n

−k1n−1 n0=∓n0

0 n1 1n

−k k

ni , i=0,−1,−k0ni  e  n

−k≠0

712=2×1001×101

7×102=71210  ou 

712=1×290×28

1×271×26

0×250×24

1×230×22

0×210×20

=10110010002

DIM04043

Representação de Números Reais Representação em ponto fixo: 

representação usada por muitos computadores nas décadas de 60 e 70

Dado um número real x≠0, ele pode ser representado por

Exemplo: 1997.16 na base  =10

x=∓∑i=k

n

xi −i ,  onde  kn  e  0x i

1997.16=∓∑i=−3

2

xi −i

             =1×1039×102

9×1017×100

1×10−16×10−2

DIM04044

Representação em Ponto Flutuante Mais flexível que a representação em ponto fixo Padrão nos dispositivos atuais (IEEE 754) Dado um número real x≠0, ele pode ser 

representado por                 onde   é a base do sistema de numeração, d é a mantissa e e é o expoente e d é um número em ponto fixo 

onde geralmente k=1, e se x≠0, então d1≠0; 0≤ di <  , i=1,2,...,t, sendo t a quantidade de dígitos significativos ou precisão do sistema, e  ≤ d < 1 e ­m ≤ e ≤ M

x=∓d×e ,

d=∓∑i=k

n

d i −i ,

DIM04045

Representação em Ponto Flutuante D1≠0 caracteriza o sistema de números em 

ponto flutuante como normalizado O número 0 pertence a qualquer sistema e 

pode ser representado com mantissa igual a 0 e e= ­m

Exemplos: 0.35, ­5.172, 0.0123, 5391.3, 0.0003

DIM04046

Representação em Ponto Flutuante Sistema de representação de números em 

ponto flutuante normalizados   com                       onde  Exemplos: 0.35, ­5.172, 0.0123, 5391.3, 

0.0003 Represente os números acima usando o 

sistema 

F , t , m , M ,

±0.d1 d2d t×e , d1≠0  e −meM

F 10,3 ,2 ,2

DIM04047

Mudança de Base

Máquinas ou humanos podem usar bases diferentes para representar o mesmo número

Mudar as representações dos números 1.101 e 0.110 da base 2 para a base 10 13, 0.75 e 3.8 da base 10 para a base 2 53.7 da base 10 para a base 2         da base 2 para a base 10

Mudanças de bases diferentes de 10 podem ser feitas usando­se a base 10 como uma base intermediária

110.10

DIM04048

Representação de Números no Sistema 

Números reais podem ser representados por uma reta contínua. Um sistema de números de ponto flutuante representa pontos discretos na reta real

Quantos e quais números podem ser representados no sistema F(2,3,1,2)?

F , t , m , M

DIM04049

Representação de Números 

Exemplos

Somente pontos discretos na reta de números reais podem ser representados no computador

DIM040410

Padrão IEEE 754

Criado em 1985, se tornou um padrão para aritmética de ponto flutuante

Implementado na grande maioria das CPUs Padrões para arredondamento, underflow e 

overflow Somente números na forma x/2k podem ser 

representados exatamente. Outros números têm representações com repetições de seqüências de bits, como1/3 0.0101010101[01]…2

1/5 0.001100110011[0011]…2

DIM040411

Padrão IEEE 754

Números representados por ­1sM2E, onde s (MSB) é o bit do sinal, M (frac) é um valor fracional na faixa [1.0,2.0) e E (exp) é o expoente da base 2

Precisões Simples (8 exp bits, 23 frac bits)Dupla (11 exp bits, 52 frac bits)Estendida (15 exp bits, 63 frac bits)

s exp frac

DIM040412

Codificação no Padrão IEEE 754

exp 000…0 and exp 111…1 Expoente é codificado com um bias

Exp: valor sem sinal do campo expBias: valor do bias

• Precisão simples: 127 (Exp:1...254, E:­126...127)• Precisão dupla: 1023 (Exp:1...2046, E:­1022...1023)

Frac codificado com um 1 inicial implícitoM=1.xxx...x2

• xxx...x: bits de frac• Mínimo quando frac é 000...0 (M=1.0) e máximo 

quando frac é 111...1 (M=2.0­)

DIM040413

Padrão IEEE 754 – Codificação Normalizada

exp ≠ 00...0 and exp ≠ 11...1  Float F = 15213.0; 1421310 = 111011011011012 = 1.11011011011012 X 213

M=1.11011011011012 , Frac=1110110110110100000000002

Expoente: E = 13, bias = 127, exp = 140 = 100001100

Floating Point Representation (Class 02):Hex: 4 6 6 D B 4 0 0 Binary: 0100 0110 0110 1101 1011 0100 0000 0000140: 100 0110 0

15213: 1110 1101 1011 01

DIM040414

Padrão IEEE 754 – Codificação Não­Normalizada

Exp = 00...0 Expoente E = ­bias +1  M = 0.xx...x2 Casos:

Exp=00...0, frac=00...0 – representa o valor 0 (valores diferentes para +0 e ­0) 

Exp=00...0, frac=≠00...0  – representam números pequenos próximos de 0.0, perdendo precisão a medida que ficam menores (underflow “gradual”)

DIM040415

Padrão IEEE 754 – Valores Especiais exp = 11...1 Casos:

 Exp = 111…1, frac=00...0• Representa o valor infinito ∞, operações 

que geram overflow (positivo ou negativo), por exemplo 1.0/0.0 = ­1.0/­0.0 = +∞ , 1.0/­0.0 = ­∞

Exp = 111…1, frac ≠ 00...0• Not­a­number (NaN), representando 

casos onde nenhum valor numérico pode ser determinado, como srqt(­1) ou ∞ ­∞

DIM040416

Padrão IEEE 754

NaNNaN

+∞−∞

−0

+Denorm +Normalized­Denorm­Normalized

+0

DIM040417

Arredondamento em Ponto Flutuante Arredondar um número   por outro com um 

número de dígitos significativos, consiste em encontrar um número   , pertencente ao sistema de numeração, tal que        seja o menor possível

Dado   , seja    sua representação em             adotando arredondamento. Se         , então        , se não for, então escolhemos    e    tais que

x

x∣x−x∣

x x F , t , m , M

x=0 x=0s e

∣x∣=s×e , onde −11−

12

−ts1−

12

−t

DIM040418

Arredondamento em Ponto Flutuante Se    está fora do intervalo             o número não 

pode ser representado no sistema. Caso contrário pode­se calcular 

    e truncar o resultado em   dígitos, obtendo 

[−m , M ]

t

e

s12

−t

=0.d1 d 2d t d t1

x=sinal x 0.d1 d 2d t ×e

DIM040419

Arredondamento em Ponto Flutuante Considere o sistema F(10,3,5,5). Represente os 

números x1=1234.56, x2=­0.00054962, x3=0.9995, x4=123456.7, x5=­0.0000001

Os valores permitidos para s são

Para x1=1234.56 temos

10−11−12

10−3s1−12

10−30.09995s0.9995

x1=1234.56⇒∣x1∣=0.123456×104

s12

10−3=0.1234560.0005=0.123956

x1=0.123×104

DIM040420

Operações Aritméticas em Ponto Flutuante Como arredondamentos são feitos após cada 

operação aritmética, as operações de adição, subtração, divisão e multiplicação não são associativas nem distributivas, ao contrário de quando usadas com números reais

Considerando um sistema com base 10 e 3 dígitos significativos

11.43.185.05  e 11.43.185.05

3.18×11.45.05

 e  3.185.05

×11.4

3.18×5.0511.4 e  3.18×5.053.18×11.40.3330.3330.333

10 vezes

 e 3.31

DIM040421

Efeitos Numéricos Além dos erros causados por arredondamentos 

em operações aritméticas, alguns efeitos afetam a qualidade dos cálculos, como cancelamento, propagação de erros, instabilidade numérica e mal condicionamento

O cancelamento ocorre na subtração de dois números quase iguais, pois o expoente permanece o mesmo e os dígitos iniciais são todos zero, perdendo­se dígitos significativos do resultado

9.876−9.8759.876=0.9937806599×102  e 9.875=0.9937303457×102

9.876−9.875=0.0000503142×102=0.5031420000×10−2

DIM040422

Cancelamento Como resolver o problema? Neste caso 

podemos usar a identidade abaixo para obtermos um resultado preciso

Exemplo: resolva a equação

x− y=x−y

x y

9.876−9.875=1

9.876−9.875=0.5031418679×10−4

x 2−1634x2=0 x=

1634±16342−42

2=817±667487

x1=817816.9987760=0.1633998776×103  e  x2=817−816.9987760=0.1224000000×10−2

x1×x 2=2 x 2=1

0.1633998776×103=0.1223991125×10−2

DIM040423

Propagação de Erros

A propagação de erros ocorre quando uma ou mais somas parciais têm o expoente maior que a soma final

e−x=∑

k=0

∞

−1k xk

k !e−5.25

=0.10000−0.52500×101  0.13781−0.241170.31654−0.332360.29082−0.218110.14314×102  −0.834970.43836−0.2092 2×101

0.915 32−0.369650.13862×100  −0.48 5160.15 919×10−1

−0.4 91640.14339×10−2−0.396200.10401×10−3

−0.26003×10−40.62050−0.14163×10−5

0.30982×10−6

=0.65974×10−2

s=∑k=1

n

ak ,

s1=a1,   sk=sk−1ak ,   k=2,3, , n

DIM040424

Propagação de Erros

Mas o valor correto com cinco dígitos significativos é 

Podemos recalcular o valor usando a identidade            e a fórmula 

e5.25=0.19057×103

e−5.25=

10.19057×103

=0.52475×10−2

e−x=

1e x e x

=∑k=0

∞ x k

k !

e−5.25=0.52475×10−2

DIM040425

Instabilidade Numérica Se um resultado intermediário é contaminado por 

um erro de arredondamento, este erro pode influenciar todos os resultados subseqüentes que dependem deste valor, propagando, assim, os erros de arredondamento

Entretanto, os erros de arredondamento, podem, em alguns casos, cancelar­se uns com os outros parcialmente ou totalmente, resultando em um erro desprezível no final. Algoritmos com esta propriedade são chamados estáveis

DIM040426

Instabilidade Numérica A instabilidade numérica ocorre quando os erros 

intermediários têm uma influência muito grande no resultado final I n=e−1

∫0

1

xn ex dx

I n=e−1 {[ xn ex ]01−∫

0

1

n x n−1 ex dx },  ou seja 

I n=1−n I n−1 ,   n=1,2, ,

Como  I 0=e−1∫0

1

ex dx=e−1e−1=0.6321,  temos 

I 0=0.6321, I 1=0.3679 I 2=0.2642 I 3=0.2074

I 4=0.1704 I 5=0.1480 I6=0.1120 I 7=0.2160

DIM040427

Instabilidade Numérica Entretanto o resultado de I7 está errado, já que

Observe que a seqüência In é decrescente. Neste caso, usando a relação de recorrência anterior o erro cresce de acordo com o fator n a cada passo. A relação de recorrência é instável, mas a relação inversa pode não ser, vejamos:

Não temos o valor de In, para n > 0, mas sabemos que   In → 0 quando n → ∞

I n=1−n I n−1 ,   n=1,2, , I n−1=1−I n

n

I 7e−1 max0e1ex∫

0

1

xn dx1

n1=

18

DIM040428

Instabilidade Numérica

Entretanto, setando I20=0 e calculando a relação de recorrência acima, obtemos I7=0.1123835, o resultado com todos os dígitos corretos

Neste caso, deve se ter cuidado com o valor inicial setado, para que um número suficiente de iterações sejam feitas, diminuindo, assim, o erro da estimativa inicial

DIM040429

Mal Condicionamento

Na resolução de um problema numérico, se cria um algoritmo para resolver um problema,a partir de dados de entrada

Problemas cujos resultados dependem continuamente dos dados de entrada são ditos bem postos, em oposição aos problemas mal postos, mal condicionados ou críticos

DIM040430

Mal Condicionamento

Por exemplo, resolva os sistemas lineares abaixo

Uma pequena mudança nos dados de entrada gerou uma grande mudança na saída, isto é, esse é um problema mal­condicionado

A interpretação geométrica desse resultado nos mostra quão sensível o problema é à mudanças nos dados de entrada

{x + y = 2x + 1.01y = 2.01 {x + y = 2

x + 1.01y = 2.02

DIM040431

Mal Condicionamento

Seja X o espaço dos dados, d(x,y) uma função de distância, e P um processo contínuo que transforma os dados x no resultado y, isto é, y=P(x), a definição de continuidade matemática exige que para cada  0, ∃ () > 0, tais que

Quanto maior a função () puder ser escolhida, mais contínuo é o processo P

∣P x −P x ∣   sempre que  ∣x−x∣

DIM040432

Mal Condicionamento

O número de condição do problema indica se um problema é ou não mal condicionado

Seja y=P(x), com P diferenciável. Então, a mudança em y causada pela mudança em x pode ser aproximada pelo diferencial de y. Logo, o comprimento de representa o número de condição de um problema num ponto x. O número de condição relativa é definido por

Se cr ≤ 1 dizemos que o problema é relativamente bem condicionado

cr=∣P' x∣

∣P x∣

DIM040433

Mal Condicionamento Calculando o número de condição relativa

Para x=0 e x=1, cr = ∞, ou seja, ele é extremamente mal condicionado. No intervalo 0.1537 ≤ x ≤ 0.5360, cr ≤ 1  o problema de calcular f é bem condicionado

f x = ln 1 / x −

18

f ' x=−18

ln1/ x −

98 −1/ x2

1/ x=

18x

ln1 /x −

98

cr=∣ f ' x ∣

∣ f x∣=

18x ln1/ x

DIM040434

Mal Condicionamento Teoricamente, o termo mal condicionado é usado 

para modelos matemáticos e o termo instabilidade para algoritmos, mas na prática ambos são usados sem distinção

DIM040435

Efeitos Numéricos

DIM040436

Efeitos Numéricos

DIM040437

Efeitos Numéricos

DIM040438

Efeitos Numéricos

DIM040439

Efeitos Numéricos

DIM040440

Ariane 5 Explodiu 37 segundos após o lançamento, 

com uma carga avaliada em US$500,000,000.00 

Motivo: software calculava velocidade horizontal usando ponto flutuante, e convertia resultado para um inteiro com 16 bits

Software funcionou sem problemas para o Ariane 4, mas não para o Ariane 5 

DIM040441

Processamento Digital de Sinais Existem várias definições de quais tarefas 

Processamento de Imagens engloba, logo existem várias maneiras de classificar as etapas fundamentais em PI

A figura do próximo slide mostra uma destas classificações, separando as fases em dois grupos, de acordo com a natureza de seus resultados

Dependendo da aplicação, várias ou apenas uma das etapas da figura a seguir podem estar presentes em um sistema real