Aula 3: Aritmética, Representação de dados - Circuitos Digitais

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  • Aula 3: Aritmtica, Representao de dadosCircuitos Digitais

    Rodrigo Hausen

    CMCC UFABC

    28 e 30 de janeiro de 2013

    http://compscinet.org/circuitos

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 1 / 40

    http://compscinet.org/circuitos

  • Multiplicao binria

    Algoritmo da multiplicao: mesma idia usada na base decimal.11011

    x 10111011

    00000+ 11011

    10000111

    Note que a tabuada da multiplicao na base 2 muito mais fcil. 0 10 0 01 0 1

    Se A tem n algarismos e B tem m algarismos, ento o produto A Bter, no mximo, n + m algarismos.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 2 / 40

  • Multiplicao binria

    Algoritmo da multiplicao: mesma idia usada na base decimal.11011

    x 10111011

    00000+ 11011

    10000111

    Note que a tabuada da multiplicao na base 2 muito mais fcil. 0 10 0 01 0 1

    Se A tem n algarismos e B tem m algarismos, ento o produto A Bter, no mximo, n + m algarismos.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 2 / 40

  • Multiplicao binria

    Algoritmo da multiplicao: mesma idia usada na base decimal.11011

    x 10111011

    00000+ 11011

    10000111

    Note que a tabuada da multiplicao na base 2 muito mais fcil. 0 10 0 01 0 1

    Se A tem n algarismos e B tem m algarismos, ento o produto A Bter, no mximo,

    n + m algarismos.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 2 / 40

  • Multiplicao binria

    Algoritmo da multiplicao: mesma idia usada na base decimal.11011

    x 10111011

    00000+ 11011

    10000111

    Note que a tabuada da multiplicao na base 2 muito mais fcil. 0 10 0 01 0 1

    Se A tem n algarismos e B tem m algarismos, ento o produto A Bter, no mximo, n + m algarismos.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 2 / 40

  • Multiplicao binria

    Para casa: escrever o algoritmo de multiplicao binria para nmerosnaturais.

    Note que no necessrio armazenar todas as parcelas da soma aomesmo tempo.

    11011x 101

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 3 / 40

  • Multiplicao binria

    Para casa: escrever o algoritmo de multiplicao binria para nmerosnaturais.

    Note que no necessrio armazenar todas as parcelas da soma aomesmo tempo.

    11011x 101

    11011+ 000000

  • Multiplicao binria

    Para casa: escrever o algoritmo de multiplicao binria para nmerosnaturais.

    Note que no necessrio armazenar todas as parcelas da soma aomesmo tempo.

    11011x 101

    011011

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 3 / 40

  • Multiplicao binria

    Para casa: escrever o algoritmo de multiplicao binria para nmerosnaturais.

    Note que no necessrio armazenar todas as parcelas da soma aomesmo tempo.

    11011x 101

    011011+ 1101100

  • Multiplicao binria

    Para casa: escrever o algoritmo de multiplicao binria para nmerosnaturais.

    Note que no necessrio armazenar todas as parcelas da soma aomesmo tempo.

    11011x 101

    10000111

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 3 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.

    Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    10000111 | 101

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 4 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    10000111 | 101

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 4 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    10000111 | 101- 101

    -1

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 5 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    10000111 | 101- 101 0

    -1

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 6 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    10000111 | 101- 101 0

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 7 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    10000111 | 101- 101 0

    11

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 8 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    10000111 | 101- 101 01

    11

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 9 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    110111 | 10101

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 10 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    110111 | 101- 101 01

    1

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 11 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    110111 | 101- 101 011

    1

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 12 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    1111 | 101- 101 011

    -10

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 13 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    1111 | 101- 101 0110

    -10

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 14 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    1111 | 101- 101 01101

    10

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 15 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    101 | 101- 101 011011

    0

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 16 / 40

  • Diviso binria

    Algoritmo da diviso longa: de novo, emprestamos a idia da basedecimal.Novamente, a tabuada binria facilita as contas. Os algarismos spodem ser 1 ou 0.

    101 | 101- 101 011011 = quociente

    0 = resto

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  • Diviso binria

    Para casa: escrever, em pseudocdigo, o algoritmo da diviso binria paranmeros naturais.

    Calcular A B, onde A = an1 . . . a0, B = bm1 . . . b0 e m nNote que as subtraes da esquerda para a direita, so, na verdade,subtraes do dividendo pelo divisor multiplicado por 2i , parai = n m . . . 0

    10000111 | 101- 10100000

    -100111

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 18 / 40

  • Diviso binria

    Para casa: escrever, em pseudocdigo, o algoritmo da diviso binria paranmeros naturais.

    Calcular A B, onde A = an1 . . . a0, B = bm1 . . . b0 e m nNote que as subtraes da esquerda para a direita, so, na verdade,subtraes do dividendo pelo divisor multiplicado por 2i , parai = n m . . . 0

    10000111 | 101- 10100000 0

    -100111

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 19 / 40

  • Diviso binria

    Para casa: escrever, em pseudocdigo, o algoritmo da diviso binria paranmeros naturais.

    Calcular A B, onde A = an1 . . . a0, B = bm1 . . . b0 e m nNote que as subtraes da esquerda para a direita, so, na verdade,subtraes do dividendo pelo divisor multiplicado por 2i , parai = n m . . . 0

    10000111 | 101- 1010000 0

    110111

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 20 / 40

  • Diviso binria

    Para casa: escrever, em pseudocdigo, o algoritmo da diviso binria paranmeros naturais.

    Calcular A B, onde A = an1 . . . a0, B = bm1 . . . b0 e m nNote que as subtraes da esquerda para a direita, so, na verdade,subtraes do dividendo pelo divisor multiplicado por 2i , parai = n m . . . 0

    10000111 | 101- 1010000 01

    110111

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 21 / 40

  • Diviso binria

    Para casa: escrever, em pseudocdigo, o algoritmo da diviso binria paranmeros naturais.

    Calcular A B, onde A = an1 . . . a0, B = bm1 . . . b0 e m nNote que as subtraes da esquerda para a direita, so, na verdade,subtraes do dividendo pelo divisor multiplicado por 2i , parai = n m . . . 0

    110111 | 101- 101000 01

    01111

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 22 / 40

  • Diviso binria

    Para casa: escrever, em pseudocdigo, o algoritmo da diviso binria paranmeros naturais.

    Calcular A B, onde A = an1 . . . a0, B = bm1 . . . b0 e m nNote que as subtraes da esquerda para a direita, so, na verdade,subtraes do dividendo pelo divisor multiplicado por 2i , parai = n m . . . 0

    110111 | 101- 101000 011

    01111

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 23 / 40

  • Diviso binria

    Para casa: escrever, em pseudocdigo, o algoritmo da diviso binria paranmeros naturais.

    Calcular A B, onde A = an1 . . . a0, B = bm1 . . . b0 e m nNote que as subtraes da esquerda para a direita, so, na verdade,subtraes do dividendo pelo divisor multiplicado por 2i , parai = n m . . . 0

    01111 | 101- 10100 0110. . .

    -. . .

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 24 / 40

  • Diviso binria

    Para casa: escrever, em pseudocdigo, o algoritmo da diviso binria paranmeros naturais.

    Calcular A B, onde A = an1 . . . a0, B = bm1 . . . b0 e m nNote que as subtraes da esquerda para a direita, so, na verdade,subtraes do dividendo pelo divisor multiplicado por 2i , parai = n m . . . 0

    01111 | 101- 10100 0110. . .

    -. . .

    Se a diferena positiva, ela passa a ser o prximo dividendo.Pare quando i = 0.

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  • Diviso binria: diviso no-inteira

    Note que se A mltiplo de B, o resultado da ltima subtrao ser 0

    E se A no for mltiplo de B?Podemos continuar a diviso, adicionando a vrgula (ponto, emingls).para cada algarismo adicionado depois da vrgula, multiplique odividendo por 2 (ou seja, adicione um 0 direita)Pare quando o resultado tiver k algarismos depois da vrgula.

    Ex.: 110 101

    Para casa: escrever esse algoritmo.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 26 / 40

  • Diviso binria: diviso no-inteira

    Note que se A mltiplo de B, o resultado da ltima subtrao ser 0E se A no for mltiplo de B?

    Podemos continuar a diviso, adicionando a vrgula (ponto, emingls).para cada algarismo adicionado depois da vrgula, multiplique odividendo por 2 (ou seja, adicione um 0 direita)Pare quando o resultado tiver k algarismos depois da vrgula.

    Ex.: 110 101

    Para casa: escrever esse algoritmo.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 26 / 40

  • Diviso binria: diviso no-inteira

    Note que se A mltiplo de B, o resultado da ltima subtrao ser 0E se A no for mltiplo de B?Podemos continuar a diviso, adicionando a vrgula (ponto, emingls).

    para cada algarismo adicionado depois da vrgula, multiplique odividendo por 2 (ou seja, adicione um 0 direita)Pare quando o resultado tiver k algarismos depois da vrgula.

    Ex.: 110 101

    Para casa: escrever esse algoritmo.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 26 / 40

  • Diviso binria: diviso no-inteira

    Note que se A mltiplo de B, o resultado da ltima subtrao ser 0E se A no for mltiplo de B?Podemos continuar a diviso, adicionando a vrgula (ponto, emingls).para cada algarismo adicionado depois da vrgula, multiplique odividendo por 2 (ou seja, adicione um 0 direita)

    Pare quando o resultado tiver k algarismos depois da vrgula.

    Ex.: 110 101

    Para casa: escrever esse algoritmo.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 26 / 40

  • Diviso binria: diviso no-inteira

    Note que se A mltiplo de B, o resultado da ltima subtrao ser 0E se A no for mltiplo de B?Podemos continuar a diviso, adicionando a vrgula (ponto, emingls).para cada algarismo adicionado depois da vrgula, multiplique odividendo por 2 (ou seja, adicione um 0 direita)Pare quando o resultado tiver k algarismos depois da vrgula.

    Ex.: 110 101

    Para casa: escrever esse algoritmo.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 26 / 40

  • Diviso binria: diviso no-inteira

    Note que se A mltiplo de B, o resultado da ltima subtrao ser 0E se A no for mltiplo de B?Podemos continuar a diviso, adicionando a vrgula (ponto, emingls).para cada algarismo adicionado depois da vrgula, multiplique odividendo por 2 (ou seja, adicione um 0 direita)Pare quando o resultado tiver k algarismos depois da vrgula.

    Ex.: 110 101

    Para casa: escrever esse algoritmo.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 26 / 40

  • Nmeros racionais

    O que acontece com os algoritmos da soma, subtrao, multiplicaoe diviso quando os nmeros sendo operados no so inteiros?

    Sem perder a generalidade, suporemos que A e B possuem kalgarismos depois da vrgula. (Se eles no tiverem a mesmaquantidade de algarismos aps a vrgula?)

    A = an1an2 . . . a1a0 , a1 . . . akB = bm1am2 . . . b0 , b1 . . . bk

    Caso mais fcil: diviso. Note que:

    AB =

    A 2kB 2k =

    an1an2 . . . a1a0a1 . . . akbm1am2 . . . b0b1 . . . bk

    Simplesmente ignore a vrgula!

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 27 / 40

  • Nmeros racionais

    O que acontece com os algoritmos da soma, subtrao, multiplicaoe diviso quando os nmeros sendo operados no so inteiros?Sem perder a generalidade, suporemos que A e B possuem kalgarismos depois da vrgula. (Se eles no tiverem a mesmaquantidade de algarismos aps a vrgula?)

    A = an1an2 . . . a1a0 , a1 . . . akB = bm1am2 . . . b0 , b1 . . . bk

    Caso mais fcil: diviso. Note que:

    AB =

    A 2kB 2k =

    an1an2 . . . a1a0a1 . . . akbm1am2 . . . b0b1 . . . bk

    Simplesmente ignore a vrgula!

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 27 / 40

  • Nmeros racionais

    O que acontece com os algoritmos da soma, subtrao, multiplicaoe diviso quando os nmeros sendo operados no so inteiros?Sem perder a generalidade, suporemos que A e B possuem kalgarismos depois da vrgula. (Se eles no tiverem a mesmaquantidade de algarismos aps a vrgula?)

    A = an1an2 . . . a1a0 , a1 . . . akB = bm1am2 . . . b0 , b1 . . . bk

    Caso mais fcil: diviso. Note que:

    AB =

    A 2kB 2k =

    an1an2 . . . a1a0a1 . . . akbm1am2 . . . b0b1 . . . bk

    Simplesmente ignore a vrgula!

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 27 / 40

  • Nmeros racionais

    O que acontece com os algoritmos da soma, subtrao, multiplicaoe diviso quando os nmeros sendo operados no so inteiros?Sem perder a generalidade, suporemos que A e B possuem kalgarismos depois da vrgula. (Se eles no tiverem a mesmaquantidade de algarismos aps a vrgula?)

    A = an1an2 . . . a1a0 , a1 . . . akB = bm1am2 . . . b0 , b1 . . . bk

    Caso mais fcil: diviso. Note que:

    AB =

    A 2kB 2k =

    an1an2 . . . a1a0a1 . . . akbm1am2 . . . b0b1 . . . bk

    Simplesmente ignore a vrgula!

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 27 / 40

  • Nmeros racionais

    Para a soma e a subtrao: como os algoritmos so copiados daverso para nmeros na base 10, a soluo simples: ignore,inicialmente a vrgula. Aps a soma, recoloque a vrgula no seu lugar(conte k algarismos direita).

    Para a multiplicao: de novo, a inspirao vem da base decimal.Ignore, inicialmente a vrgula e, aps a multiplicao, recoloque avrgula no seu lugar (conte 2k algarismos direita).

    Para casa:(1) escreva as verses dos algoritmos da soma, subtrao, multiplicao e

    diviso para nmeros racionais sem sinal (positivos) com k algarismosaps a vrgula;

    (2) altere os algoritmos para permitir nmeros racionais com sinal.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 28 / 40

  • Nmeros racionais

    Para a soma e a subtrao: como os algoritmos so copiados daverso para nmeros na base 10, a soluo simples: ignore,inicialmente a vrgula. Aps a soma, recoloque a vrgula no seu lugar(conte k algarismos direita).Para a multiplicao: de novo, a inspirao vem da base decimal.Ignore, inicialmente a vrgula e, aps a multiplicao, recoloque avrgula no seu lugar (conte 2k algarismos direita).

    Para casa:(1) escreva as verses dos algoritmos da soma, subtrao, multiplicao e

    diviso para nmeros racionais sem sinal (positivos) com k algarismosaps a vrgula;

    (2) altere os algoritmos para permitir nmeros racionais com sinal.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 28 / 40

  • Representao numrica

    Representao de nmeros no papel: usamos tantos dgitos foremnecessrios.Limitado apenas pela quantidade de papel, tempo disponvel paraescrever os dgitos, pacincia. . .

    Nmero :

    3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379...

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 29 / 40

  • Representao numrica

    Representao de nmeros no papel: usamos tantos dgitos foremnecessrios.Limitado apenas pela quantidade de papel, tempo disponvel paraescrever os dgitos, pacincia. . .

    Nmero :

    3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379...

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 29 / 40

  • Representao numrica num computadordigital

    Recordando: em um computador digital qualquer informao, emltima instncia, representada por um nmero.

    Atualmente, os nmeros so representados internamente em binrio(por vrios motivos, entre eles facilidade de fazer contas na base 2).Um computador digital possui espao finito para guardar informaes.Por questes de eficincia, geralmente o processamento de dados (ouseja, nmeros) no feito algarismo binrio por algarismo binrio, esim por grupos de algarismos binrios de uma s vez.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 30 / 40

  • Representao numrica num computadordigital

    Recordando: em um computador digital qualquer informao, emltima instncia, representada por um nmero.Atualmente, os nmeros so representados internamente em binrio(por vrios motivos, entre eles facilidade de fazer contas na base 2).

    Um computador digital possui espao finito para guardar informaes.Por questes de eficincia, geralmente o processamento de dados (ouseja, nmeros) no feito algarismo binrio por algarismo binrio, esim por grupos de algarismos binrios de uma s vez.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 30 / 40

  • Representao numrica num computadordigital

    Recordando: em um computador digital qualquer informao, emltima instncia, representada por um nmero.Atualmente, os nmeros so representados internamente em binrio(por vrios motivos, entre eles facilidade de fazer contas na base 2).Um computador digital possui espao finito para guardar informaes.

    Por questes de eficincia, geralmente o processamento de dados (ouseja, nmeros) no feito algarismo binrio por algarismo binrio, esim por grupos de algarismos binrios de uma s vez.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 30 / 40

  • Representao numrica num computadordigital

    Recordando: em um computador digital qualquer informao, emltima instncia, representada por um nmero.Atualmente, os nmeros so representados internamente em binrio(por vrios motivos, entre eles facilidade de fazer contas na base 2).Um computador digital possui espao finito para guardar informaes.Por questes de eficincia, geralmente o processamento de dados (ouseja, nmeros) no feito algarismo binrio por algarismo binrio, esim por grupos de algarismos binrios de uma s vez.

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  • Representao numrica num computadordigital

    Recordando: em um computador digital qualquer informao, emltima instncia, representada por um nmero.Atualmente, os nmeros so representados internamente em binrio(por vrios motivos, entre eles facilidade de fazer contas na base 2).Um computador digital possui espao finito para guardar informaes.Por questes de eficincia, geralmente o processamento de dados (ouseja, nmeros) no feito algarismo binrio por algarismo binrio, esim por grupos de algarismos binrios de uma s vez.

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  • Bits e palavras

    Abreviao: algarismo binrio = bit (do ingls binary digit)

    A unidade natural de processamento de um determinado sistema chamada palavra de dado; , basicamente, uma sequncia de bitscom tamanho fixo que processada em conjunto.

    MSB LSB

    tamanho w=11 bits

    MSB = Most Significant Bit = bit mais significativo,LSB = Least Significant Bit = bit menos significativo

    Tamanhos de palavras comuns so: 4, 8, 16, 32 e 64 bits.Nomes comuns para palavras:

    I 8 bits = byte (binary term) ou octetoI 4 bits = nibble

    (curiosidade: nibble, em ingls, significa mordidinha = small bite)

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 31 / 40

  • Bits e palavras

    Abreviao: algarismo binrio = bit (do ingls binary digit)A unidade natural de processamento de um determinado sistema chamada palavra de dado; , basicamente, uma sequncia de bitscom tamanho fixo que processada em conjunto.

    MSB LSB

    tamanho w=11 bits

    MSB = Most Significant Bit = bit mais significativo,LSB = Least Significant Bit = bit menos significativo

    Tamanhos de palavras comuns so: 4, 8, 16, 32 e 64 bits.Nomes comuns para palavras:

    I 8 bits = byte (binary term) ou octetoI 4 bits = nibble

    (curiosidade: nibble, em ingls, significa mordidinha = small bite)

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 31 / 40

  • Bits e palavras

    Abreviao: algarismo binrio = bit (do ingls binary digit)A unidade natural de processamento de um determinado sistema chamada palavra de dado; , basicamente, uma sequncia de bitscom tamanho fixo que processada em conjunto.

    MSB LSB

    tamanho w=11 bits

    MSB = Most Significant Bit = bit mais significativo,LSB = Least Significant Bit = bit menos significativo

    Tamanhos de palavras comuns so: 4, 8, 16, 32 e 64 bits.

    Nomes comuns para palavras:I 8 bits = byte (binary term) ou octetoI 4 bits = nibble

    (curiosidade: nibble, em ingls, significa mordidinha = small bite)

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 31 / 40

  • Bits e palavras

    Abreviao: algarismo binrio = bit (do ingls binary digit)A unidade natural de processamento de um determinado sistema chamada palavra de dado; , basicamente, uma sequncia de bitscom tamanho fixo que processada em conjunto.

    MSB LSB

    tamanho w=11 bits

    MSB = Most Significant Bit = bit mais significativo,LSB = Least Significant Bit = bit menos significativo

    Tamanhos de palavras comuns so: 4, 8, 16, 32 e 64 bits.Nomes comuns para palavras:

    I 8 bits = byte (binary term) ou octetoI 4 bits = nibble

    (curiosidade: nibble, em ingls, significa mordidinha = small bite)

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 31 / 40

  • Representando nmeros em palavras binrias

    Primeiro caso: nmero inteiro sem sinal ( 0).

    Como representar um nmero inteiro A = (an1an2 . . . a0)2 numa palavrade comprimento w?

    . . . w bits

    Qual o maior inteiro sem sinal que podemos representar?

    Exemplo: quais inteiros sem sinal podemos representar com 3 bits?

    000 001 010 011 100 101 110 1110 1 2 3 4 5 6 7

    De 0 at 7 = 23 1.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 32 / 40

  • Representando nmeros em palavras binrias

    Primeiro caso: nmero inteiro sem sinal ( 0).

    Como representar um nmero inteiro A = (an1an2 . . . a0)2 numa palavrade comprimento w?

    0 0 an1 an2 . . . a2 a1 a0 w bits

    Qual o maior inteiro sem sinal que podemos representar?

    Exemplo: quais inteiros sem sinal podemos representar com 3 bits?

    000 001 010 011 100 101 110 1110 1 2 3 4 5 6 7

    De 0 at 7 = 23 1.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 32 / 40

  • Representando nmeros em palavras binrias

    Primeiro caso: nmero inteiro sem sinal ( 0).

    Como representar um nmero inteiro A = (an1an2 . . . a0)2 numa palavrade comprimento w?

    0 0 an1 an2 . . . a2 a1 a0 w bits

    Qual o maior inteiro sem sinal que podemos representar?

    Exemplo: quais inteiros sem sinal podemos representar com 3 bits?

    000 001 010 011 100 101 110 1110 1 2 3 4 5 6 7

    De 0 at 7 = 23 1.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 32 / 40

  • Representando nmeros em palavras binrias

    Primeiro caso: nmero inteiro sem sinal ( 0).

    Como representar um nmero inteiro A = (an1an2 . . . a0)2 numa palavrade comprimento w?

    0 0 an1 an2 . . . a2 a1 a0 w bits

    Qual o maior inteiro sem sinal que podemos representar?

    Exemplo: quais inteiros sem sinal podemos representar com 3 bits?

    000 001 010 011 100 101 110 1110 1 2 3 4 5 6 7

    De 0 at 7 = 23 1.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 32 / 40

  • Representando nmeros em palavras binrias

    Primeiro caso: nmero inteiro sem sinal ( 0).

    Como representar um nmero inteiro A = (an1an2 . . . a0)2 numa palavrade comprimento w?

    0 0 an1 an2 . . . a2 a1 a0 w bits

    Qual o maior inteiro sem sinal que podemos representar?

    Exemplo: quais inteiros sem sinal podemos representar com 3 bits?

    000 001 010 011 100 101 110 1110 1 2 3 4 5 6 7

    De 0 at 7 = 23 1.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 32 / 40

  • Representando nmeros: inteiros sem sinal

    Inteiros sem sinal em palavras binrias com w bits.

    Palavra Decimal00 . . . 000 = 000 . . . 001 = 100 . . . 010 = 2

    ...11 . . . 110 = ?11 . . . 111 = ? = maior inteiro sem sinal com w bits

    100 . . . 000 = 2w

    O prximo nmero na sequncia, que no cabe em w bits,

    (100 . . . 000 w bits

    )2 = 0 20 + 0 21 + . . .+ 0 2w1 + 1 2w = 2w

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 33 / 40

  • Representando nmeros: inteiros sem sinal

    Inteiros sem sinal em palavras binrias com w bits.

    Palavra Decimal00 . . . 000 = 000 . . . 001 = 100 . . . 010 = 2

    ...11 . . . 110 = ?11 . . . 111 = ? = maior inteiro sem sinal com w bits

    100 . . . 000 = 2w

    O prximo nmero na sequncia, que no cabe em w bits,

    (100 . . . 000 w bits

    )2 = 0 20 + 0 21 + . . .+ 0 2w1 + 1 2w = 2w

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 33 / 40

  • Representando nmeros: inteiros sem sinal

    Inteiros sem sinal em palavras binrias com w bits.

    Palavra Decimal00 . . . 000 = 000 . . . 001 = 100 . . . 010 = 2

    ...11 . . . 110 = ?11 . . . 111 = ? = maior inteiro sem sinal com w bits100 . . . 000 = 2w

    O prximo nmero na sequncia, que no cabe em w bits,

    (100 . . . 000 w bits

    )2 = 0 20 + 0 21 + . . .+ 0 2w1 + 1 2w = 2w

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 33 / 40

  • Representando nmeros: inteiros sem sinal

    Inteiros sem sinal em palavras binrias com w bits.

    Palavra Decimal00 . . . 000 = 000 . . . 001 = 100 . . . 010 = 2

    ...11 . . . 110 = 2w 211 . . . 111 = 2w 1 = maior inteiro sem sinal com w bits100 . . . 000 = 2w

    O prximo nmero na sequncia, que no cabe em w bits,

    (100 . . . 000 w bits

    )2 = 0 20 + 0 21 + . . .+ 0 2w1 + 1 2w = 2w

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 33 / 40

  • Representando nmeros: inteiros com sinal

    Precisamos reservar espao na palavra para representar, alm dosalgarismos do nmero, alguma informao sobre o sinal.

    Como s existem duas possibilidades para o sinal, podemos usar umdos bits para representar o sinal. Sugesto:

    I sinal +: bit de sinal 0I sinal : bit de sinal 1

    sinal s

    magnitude aw2 aw1 . . . a2 a1 a0

    w bits

    Esta representao conhecida como sinal-magnitude.Ex.: inteiros representados em sinal-magnitude com 3 bits000 001 010 011 100 101 110 111+0 +1 +2 +3 -0 -1 -2 -3

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 34 / 40

  • Representando nmeros: inteiros com sinal

    Precisamos reservar espao na palavra para representar, alm dosalgarismos do nmero, alguma informao sobre o sinal.Como s existem duas possibilidades para o sinal, podemos usar umdos bits para representar o sinal.

    Sugesto:I sinal +: bit de sinal 0I sinal : bit de sinal 1

    sinal s

    magnitude aw2 aw1 . . . a2 a1 a0

    w bits

    Esta representao conhecida como sinal-magnitude.Ex.: inteiros representados em sinal-magnitude com 3 bits000 001 010 011 100 101 110 111+0 +1 +2 +3 -0 -1 -2 -3

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 34 / 40

  • Representando nmeros: inteiros com sinal

    Precisamos reservar espao na palavra para representar, alm dosalgarismos do nmero, alguma informao sobre o sinal.Como s existem duas possibilidades para o sinal, podemos usar umdos bits para representar o sinal. Sugesto:

    I sinal +: bit de sinal 0I sinal : bit de sinal 1

    sinal s

    magnitude aw2 aw1 . . . a2 a1 a0

    w bits

    Esta representao conhecida como sinal-magnitude.

    Ex.: inteiros representados em sinal-magnitude com 3 bits000 001 010 011 100 101 110 111+0 +1 +2 +3 -0 -1 -2 -3

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 34 / 40

  • Representando nmeros: inteiros com sinal

    Precisamos reservar espao na palavra para representar, alm dosalgarismos do nmero, alguma informao sobre o sinal.Como s existem duas possibilidades para o sinal, podemos usar umdos bits para representar o sinal. Sugesto:

    I sinal +: bit de sinal 0I sinal : bit de sinal 1

    sinal s

    magnitude aw2 aw1 . . . a2 a1 a0

    w bits

    Esta representao conhecida como sinal-magnitude.Ex.: inteiros representados em sinal-magnitude com 3 bits000 001 010 011 100 101 110 111+0 +1 +2 +3 -0 -1 -2 -3

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 34 / 40

  • Representao sinal-magnitude

    Menor nmero: 1 1 1 . . . 1 1 =

    (11 . . . 11 w1 uns

    )2 = (1 00 . . . 00 w1 zeros

    1)2= (2w1 1) = 2w1 + 1

    Maior nmero: 0 1 1 . . . 1 1 = +2w1 1

    Vantagens

    simples de entendersimples de implementar

    Desvantagens

    zero tem duas representaes: 0 0 . . . 0 = +0 e 1 0 . . . 0 = 0complica a aritmtica: necessrio tratar o sinal separadamente nahora de fazer as contas de soma e subtrao.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 35 / 40

  • Representao sinal-magnitude

    Menor nmero: 1 1 1 . . . 1 1 = (11 . . . 11 w1 uns

    )2 =

    (1 00 . . . 00 w1 zeros

    1)2= (2w1 1) = 2w1 + 1

    Maior nmero: 0 1 1 . . . 1 1 = +2w1 1

    Vantagens

    simples de entendersimples de implementar

    Desvantagens

    zero tem duas representaes: 0 0 . . . 0 = +0 e 1 0 . . . 0 = 0complica a aritmtica: necessrio tratar o sinal separadamente nahora de fazer as contas de soma e subtrao.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 35 / 40

  • Representao sinal-magnitude

    Menor nmero: 1 1 1 . . . 1 1 = (11 . . . 11 w1 uns

    )2 = (1 00 . . . 00 w1 zeros

    1)2= (2w1 1) = 2w1 + 1

    Maior nmero: 0 1 1 . . . 1 1 = +2w1 1

    Vantagens

    simples de entendersimples de implementar

    Desvantagens

    zero tem duas representaes: 0 0 . . . 0 = +0 e 1 0 . . . 0 = 0complica a aritmtica: necessrio tratar o sinal separadamente nahora de fazer as contas de soma e subtrao.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 35 / 40

  • Representao sinal-magnitude

    Menor nmero: 1 1 1 . . . 1 1 = (11 . . . 11 w1 uns

    )2 = (1 00 . . . 00 w1 zeros

    1)2= (2w1 1) = 2w1 + 1

    Maior nmero: 0 1 1 . . . 1 1 = +2w1 1

    Vantagens

    simples de entendersimples de implementar

    Desvantagens

    zero tem duas representaes: 0 0 . . . 0 = +0 e 1 0 . . . 0 = 0complica a aritmtica: necessrio tratar o sinal separadamente nahora de fazer as contas de soma e subtrao.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 35 / 40

  • Representao sinal-magnitude

    Menor nmero: 1 1 1 . . . 1 1 = (11 . . . 11 w1 uns

    )2 = (1 00 . . . 00 w1 zeros

    1)2= (2w1 1) = 2w1 + 1

    Maior nmero: 0 1 1 . . . 1 1 = +2w1 1

    Vantagens

    simples de entendersimples de implementar

    Desvantagens

    zero tem duas representaes: 0 0 . . . 0 = +0 e 1 0 . . . 0 = 0complica a aritmtica: necessrio tratar o sinal separadamente nahora de fazer as contas de soma e subtrao.

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 35 / 40

  • Representao em complemento de 2

    vimos que, uma maneira de fazer subtraes na forma A B eratomar o complemento a dois B + 1 e fazer a soma A + (B + 1)note que se B um nmero negativo, ento B = 0 Bsuponha que estamos representando todos os nmeros positivos empalavras binrias de tamanho w na forma:

    0 aw2 aw3 . . . a1 a0

    Ex.: Calcule 0 (11)10 usando complemento de 2 em palavras com 5bits, sendo que o primeiro bit 0 representa sinal positivo.

    0 = 0 0 0 0 0 00002=0

    1110 = 0 1 0 1 1 10112=1110

    Complemento a dois de 01011 = 10100+ 1 = 10101

    10112 = 0 10112 = 0+ 101012 = 1 0 1 0 1 , bit de sinal 1

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 36 / 40

  • Representao em complemento de 2

    vimos que, uma maneira de fazer subtraes na forma A B eratomar o complemento a dois B + 1 e fazer a soma A + (B + 1)note que se B um nmero negativo, ento B = 0 Bsuponha que estamos representando todos os nmeros positivos empalavras binrias de tamanho w na forma:

    0 aw2 aw3 . . . a1 a0

    Ex.: Calcule 0 (11)10 usando complemento de 2 em palavras com 5bits, sendo que o primeiro bit 0 representa sinal positivo.

    0 = 0 0 0 0 0 00002=0

    1110 = 0 1 0 1 1 10112=1110

    Complemento a dois de 01011 = 10100+ 1 = 10101

    10112 = 0 10112 = 0+ 101012 = 1 0 1 0 1 , bit de sinal 1

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 36 / 40

  • Representao em complemento de 2

    vimos que, uma maneira de fazer subtraes na forma A B eratomar o complemento a dois B + 1 e fazer a soma A + (B + 1)note que se B um nmero negativo, ento B = 0 Bsuponha que estamos representando todos os nmeros positivos empalavras binrias de tamanho w na forma:

    0 aw2 aw3 . . . a1 a0

    Ex.: Calcule 0 (11)10 usando complemento de 2 em palavras com 5bits, sendo que o primeiro bit 0 representa sinal positivo.

    0 = 0 0 0 0 0 00002=0

    1110 = 0 1 0 1 1 10112=1110

    Complemento a dois de 01011 = 10100+ 1 = 10101

    10112 = 0 10112 = 0+ 101012 = 1 0 1 0 1 , bit de sinal 1

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 36 / 40

  • Representao em complemento de 2

    vimos que, uma maneira de fazer subtraes na forma A B eratomar o complemento a dois B + 1 e fazer a soma A + (B + 1)note que se B um nmero negativo, ento B = 0 Bsuponha que estamos representando todos os nmeros positivos empalavras binrias de tamanho w na forma:

    0 aw2 aw3 . . . a1 a0

    Ex.: Calcule 0 (11)10 usando complemento de 2 em palavras com 5bits, sendo que o primeiro bit 0 representa sinal positivo.

    0 = 0 0 0 0 0 00002=0

    1110 = 0 1 0 1 1 10112=1110

    Complemento a dois de 01011 = 10100+ 1 = 10101

    10112 = 0 10112 = 0+ 101012 = 1 0 1 0 1 , bit de sinal 1Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 36 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Representao de inteiros com sinal em complemento de 2

    Nmeros positivos

    0 aw2 aw3 . . . a1 a0 w1 bits

    = +(aw2aw3 . . . a1a0)2

    Nmeros negativos

    1 aw2 aw3 . . . a1 a0 w1 bits

    = (aw2aw3 . . . a1a0 + 1)2

    Ex.: a que nmero corresponde a palavra 1 0 1 1 1 0 0 ?

    Bit de sinal 1 = nmero negativo.011100 + 1 = 100011 + 1 = 100100 = 36101 0 1 1 1 0 0 = 3610

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 37 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Representao de inteiros com sinal em complemento de 2

    Nmeros positivos

    0 aw2 aw3 . . . a1 a0 w1 bits

    = +(aw2aw3 . . . a1a0)2

    Nmeros negativos

    1 aw2 aw3 . . . a1 a0 w1 bits

    = (aw2aw3 . . . a1a0 + 1)2

    Ex.: a que nmero corresponde a palavra 1 0 1 1 1 0 0 ?Bit de sinal 1 = nmero negativo.

    011100 + 1 = 100011 + 1 = 100100 = 36101 0 1 1 1 0 0 = 3610

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 37 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Representao de inteiros com sinal em complemento de 2

    Nmeros positivos

    0 aw2 aw3 . . . a1 a0 w1 bits

    = +(aw2aw3 . . . a1a0)2

    Nmeros negativos

    1 aw2 aw3 . . . a1 a0 w1 bits

    = (aw2aw3 . . . a1a0 + 1)2

    Ex.: a que nmero corresponde a palavra 1 0 1 1 1 0 0 ?Bit de sinal 1 = nmero negativo.011100 + 1 = 100011 + 1 = 100100 = 3610

    1 0 1 1 1 0 0 = 3610

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 37 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Representao de inteiros com sinal em complemento de 2

    Nmeros positivos

    0 aw2 aw3 . . . a1 a0 w1 bits

    = +(aw2aw3 . . . a1a0)2

    Nmeros negativos

    1 aw2 aw3 . . . a1 a0 w1 bits

    = (aw2aw3 . . . a1a0 + 1)2

    Ex.: a que nmero corresponde a palavra 1 0 1 1 1 0 0 ?Bit de sinal 1 = nmero negativo.011100 + 1 = 100011 + 1 = 100100 = 36101 0 1 1 1 0 0 = 3610

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 37 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Inteiros representados em complemento de dois em palavras de 3 bits:011 = +310010 = +210001 = +110000 = 010

    111 =

    110 =

    (11 + 1)2 = (00+ 1)2110 =

    210 =

    (10 + 1)2 = (01+ 1)2101 = 310100 = 410

    note que o intervalo de representao no simtricocomo s h uma representao para 0, possvel representar uminteiro negativo a maissomas/subtraes com esta representao so simples!1+ (3) = 0 0 1 + 1 0 1 = 1 1 0 = 2

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 38 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Inteiros representados em complemento de dois em palavras de 3 bits:011 = +310010 = +210001 = +110000 = 010111 =

    110 =

    (11 + 1)2 = (00+ 1)2

    110 =

    210 =

    (10 + 1)2 = (01+ 1)2101 = 310100 = 410

    note que o intervalo de representao no simtricocomo s h uma representao para 0, possvel representar uminteiro negativo a maissomas/subtraes com esta representao so simples!1+ (3) = 0 0 1 + 1 0 1 = 1 1 0 = 2

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 38 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Inteiros representados em complemento de dois em palavras de 3 bits:011 = +310010 = +210001 = +110000 = 010111 = 110 = (11 + 1)2 = (00+ 1)2

    110 =

    210 =

    (10 + 1)2 = (01+ 1)2101 = 310100 = 410

    note que o intervalo de representao no simtricocomo s h uma representao para 0, possvel representar uminteiro negativo a maissomas/subtraes com esta representao so simples!1+ (3) = 0 0 1 + 1 0 1 = 1 1 0 = 2

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 38 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Inteiros representados em complemento de dois em palavras de 3 bits:011 = +310010 = +210001 = +110000 = 010111 = 110 = (11 + 1)2 = (00+ 1)2110 =

    210 =

    (10 + 1)2 = (01+ 1)2

    101 = 310100 = 410

    note que o intervalo de representao no simtricocomo s h uma representao para 0, possvel representar uminteiro negativo a maissomas/subtraes com esta representao so simples!1+ (3) = 0 0 1 + 1 0 1 = 1 1 0 = 2

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 38 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Inteiros representados em complemento de dois em palavras de 3 bits:011 = +310010 = +210001 = +110000 = 010111 = 110 = (11 + 1)2 = (00+ 1)2110 = 210 = (10 + 1)2 = (01+ 1)2

    101 = 310100 = 410

    note que o intervalo de representao no simtricocomo s h uma representao para 0, possvel representar uminteiro negativo a maissomas/subtraes com esta representao so simples!1+ (3) = 0 0 1 + 1 0 1 = 1 1 0 = 2

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 38 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Inteiros representados em complemento de dois em palavras de 3 bits:011 = +310010 = +210001 = +110000 = 010111 = 110 = (11 + 1)2 = (00+ 1)2110 = 210 = (10 + 1)2 = (01+ 1)2101 = 310

    100 = 410note que o intervalo de representao no simtricocomo s h uma representao para 0, possvel representar uminteiro negativo a maissomas/subtraes com esta representao so simples!1+ (3) = 0 0 1 + 1 0 1 = 1 1 0 = 2

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 38 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Inteiros representados em complemento de dois em palavras de 3 bits:011 = +310010 = +210001 = +110000 = 010111 = 110 = (11 + 1)2 = (00+ 1)2110 = 210 = (10 + 1)2 = (01+ 1)2101 = 310100 = 410

    note que o intervalo de representao no simtricocomo s h uma representao para 0, possvel representar uminteiro negativo a maissomas/subtraes com esta representao so simples!1+ (3) = 0 0 1 + 1 0 1 = 1 1 0 = 2

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 38 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Inteiros representados em complemento de dois em palavras de 3 bits:011 = +310010 = +210001 = +110000 = 010111 = 110 = (11 + 1)2 = (00+ 1)2110 = 210 = (10 + 1)2 = (01+ 1)2101 = 310100 = 410

    note que o intervalo de representao no simtricocomo s h uma representao para 0, possvel representar uminteiro negativo a maissomas/subtraes com esta representao so simples!1+ (3) = 0 0 1 + 1 0 1 = 1 1 0 = 2

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 38 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Maior nmero: 0 1 1 . . . 1 1 = +2w1 1 (como sinal-magnitude)

    Menor nmero: 1 0 0 . . . 0 0 = (00 . . . 00+ 1)2 = (11 . . . 11+ 1)

    = (1 00 . . . 00 w1 zeros

    1+ 1) = 2w1

    (uma unidade menor que sinal-magnitude)Vantagens

    representao nica para o zerosomas e subtraes so feitas da mesma forma que para nmeros semsinal

    Desvantagens

    no to intuitivo para ns (indiferente para computador)comparao no to simples: 1 = 0 0 1 > 1 0 1 3

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 39 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Maior nmero: 0 1 1 . . . 1 1 = +2w1 1 (como sinal-magnitude)

    Menor nmero: 1 0 0 . . . 0 0 = (00 . . . 00+ 1)2 = (11 . . . 11+ 1)

    = (1 00 . . . 00 w1 zeros

    1+ 1) = 2w1

    (uma unidade menor que sinal-magnitude)Vantagens

    representao nica para o zerosomas e subtraes so feitas da mesma forma que para nmeros semsinal

    Desvantagens

    no to intuitivo para ns (indiferente para computador)comparao no to simples: 1 = 0 0 1 > 1 0 1 3

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 39 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Maior nmero: 0 1 1 . . . 1 1 = +2w1 1 (como sinal-magnitude)

    Menor nmero: 1 0 0 . . . 0 0 = (00 . . . 00+ 1)2 = (11 . . . 11+ 1)

    = (1 00 . . . 00 w1 zeros

    1+ 1)

    = 2w1

    (uma unidade menor que sinal-magnitude)Vantagens

    representao nica para o zerosomas e subtraes so feitas da mesma forma que para nmeros semsinal

    Desvantagens

    no to intuitivo para ns (indiferente para computador)comparao no to simples: 1 = 0 0 1 > 1 0 1 3

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 39 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Maior nmero: 0 1 1 . . . 1 1 = +2w1 1 (como sinal-magnitude)

    Menor nmero: 1 0 0 . . . 0 0 = (00 . . . 00+ 1)2 = (11 . . . 11+ 1)

    = (1 00 . . . 00 w1 zeros

    1+ 1) = 2w1

    (uma unidade menor que sinal-magnitude)

    Vantagens

    representao nica para o zerosomas e subtraes so feitas da mesma forma que para nmeros semsinal

    Desvantagens

    no to intuitivo para ns (indiferente para computador)comparao no to simples: 1 = 0 0 1 > 1 0 1 3

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 39 / 40

  • Representao em complemento de 2

    Maior nmero: 0 1 1 . . . 1 1 = +2w1 1 (como sinal-magnitude)

    Menor nmero: 1 0 0 . . . 0 0 = (00 . . . 00+ 1)2 = (11 . . . 11+ 1)

    = (1 00 . . . 00 w1 zeros

    1+ 1) = 2w1

    (uma unidade menor que sinal-magnitude)Vantagens

    representao nica para o zerosomas e subtraes so feitas da mesma forma que para nmeros semsinal

    Desvantagens

    no to intuitivo para ns (indiferente para computador)comparao no to simples: 1 = 0 0 1 > 1 0 1 3

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 39 / 40

  • Para casa

    Pensar:I como converter palavras de dados de tamanhos diferentes? Ex.: de 8

    para 16 bits?

    I O que acontece se o resultado da soma/subtrao/multiplicao dedois inteiros representados em palavras de w bits no couber em wbits? (Overflow)

    I Comportamentos distintos para representao sem sinal,sinal-magnitude e complemento de dois

    Sees do livro: 2-4, 2-5, 2-6 e 2-7

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 40 / 40

  • Para casa

    Pensar:I como converter palavras de dados de tamanhos diferentes? Ex.: de 8

    para 16 bits?I O que acontece se o resultado da soma/subtrao/multiplicao de

    dois inteiros representados em palavras de w bits no couber em wbits? (Overflow)

    I Comportamentos distintos para representao sem sinal,sinal-magnitude e complemento de dois

    Sees do livro: 2-4, 2-5, 2-6 e 2-7

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 40 / 40

  • Para casa

    Pensar:I como converter palavras de dados de tamanhos diferentes? Ex.: de 8

    para 16 bits?I O que acontece se o resultado da soma/subtrao/multiplicao de

    dois inteiros representados em palavras de w bits no couber em wbits? (Overflow)

    I Comportamentos distintos para representao sem sinal,sinal-magnitude e complemento de dois

    Sees do livro: 2-4, 2-5, 2-6 e 2-7

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 40 / 40

  • Para casa

    Pensar:I como converter palavras de dados de tamanhos diferentes? Ex.: de 8

    para 16 bits?I O que acontece se o resultado da soma/subtrao/multiplicao de

    dois inteiros representados em palavras de w bits no couber em wbits? (Overflow)

    I Comportamentos distintos para representao sem sinal,sinal-magnitude e complemento de dois

    Sees do livro: 2-4, 2-5, 2-6 e 2-7

    Rodrigo Hausen (CMCC UFABC) Aula 3: Aritmtica, Representao de dados28 e 30 de janeiro de 2013 40 / 40

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