1.corrente contínuaealternada

1

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO PROFESSOR: Methodio Varejão de Godoy

CORRENTE CONTÍNUA E ALTERNADA

1. CORRENTE ELÉTRICA

Toda a matéria é composta de átomos que por sua vez são compostos por

uma combinação de eletrons. Os átomos tem núcleos com os eletrons girando

em torno dele. O núcleo é composto de protons e neutrons (não mostrados na

fig). Muitos dos átomos tem números iguais de eletrons e protons. Eletrons tem

uma carga negativa e os protons tem uma carga positiva. Neturons são

neutros. A carga negativa dos eletrons é equilibrada pela carga positiva dos

protons. Os eletrons estão limitados em sua orbitas pela atração dos protons.

Figura 1 - Átomo

Os eletrons em órbitas mais externas podem se tornar livres de sua órbita

devido a uma aplicação de uma força externa tais como um campo magnético,

atrito ou uma reação química. Esses eletrons são denominados eletrons livres.

Um eletron livre deixa um espaço que pode ser preenchido por outro atomo

forçado a sair da órbita de outro átomo. Com o movimento dos eletrons livres

de um átomo para o vizinho um fluxo de eletrons é produzido. Isto é a base da

eletricidade.

Exercício de Fixação – Corrente Contínua e Alternada

2

Figura 2 – Movimento de Eletrons

Uma corrente elétrica é produzida quando eletrons livres movem-se de um

átomo para outro. Os materiais que permitem muitos eletrons moverem-se

livremente são denominados condutores. Cobre, prata, alumínio, zinco e ferro

são considerados bons condutores. Cobre e Alumínio são os materiais

condutores mais utilizados.

Figura 3 – Corrente elétrica num material condutor

Os materiais que permitem que apenas alguns eletrons movimentem-se

livremente são os isolantes. Materiais como borracha, plástico, vidro, mica e

porcelana são bons isolantes.

Figura 4 – Corrente elétrica num material isolante

Um cabo elétrico é um bom exemplo de como condutores e isoladores podem

ser empregados. Os eletrons fluem ao longo do condutor de cobre para

fornecer energia para uma televisão, motor ou uma lâmpada. Um material


3

isolante recobrindo o condutor é provido para que os eletrons se mantenha

dentro do condutor.

Figura 5 – Materiais em um cabo

Materiais semi-condutores, tais como silício, germânio, selênio são usados

para produzir dispositivos que podem ter características de ambos condutores

e isoladores. Muitos dispositivos semicondutores atuam como condutores

quando uma força externa é aplicada em uma direção e como isoladores se a

força externa é aplicada na direção contrária. Esse é o princípio básico dos

transistores, diodos e demais dispositivos de estado sólido.

Figura 6 – Simbologia de dispositivos de estado sólido

Como foi descrito anteriormente, a eletricidade é o fluxo de eletrons em um

condutor de um átomo para o átomo vizinho numa mesma direção. O fluxo de

eletrons é referido como uma corrente e é denotada pela letra i. Os eletrons

movem-se através de condutores em diferentes taxas e a corrente elétrica tem

diferentes valores.

Figura 7 – Fluxo de eletrons


4

A corrente é determinada pelo número de eletrons que passam através de uma

seção transversal do condutor numa dada unidade de tempo. A corrente é

medida em Amperes ou A. Uma corrente de 1 A significa que em um segundo

cerca de 6,24 x 1018 eletrons movem-se através da seção transversal do

condutor.

A força que aplicada a um condutor faz com que a corrente circule é a tensão.

Os eletrons são atraídos pelas cargas positivas de uma fonte que tem uma

deficiência de eletrons. A força requerida para fazer a corrente circular é a

denominada diferença de potencial ou força eletromotriz (fem) ou simplesmente

tensão. Tensão é designado pela letra e ou v. A unidade de medida é o volt

designado pela letra V. Uma tensão pode ser gerada de várias maneiras. Uma

bateria usa um processo eletroquímico para produzir uma diferença de

potencial entre seus dois terminais.

Um gerador de automóvel ou um gerador de uma usina utiliza a indução

eletromagnético para produzir diferença de potencial. Todas as fontes

apresentam sempre como a bateria um terminal com excesso de eletrons e

outro com falta de eletrons. Esse fato resulta sempre numa diferença de

potencial entre dois terminais.

Figura 8 - Bateria


5

A representação simbólica de uma bateria é apresentada na fig, onde a linha

reta maior indica o terminal positivo e a linha reta menor o terminal negativo.

Figura 9 – Símbolo de uma bateria

Todo material apresenta uma certa oposição a passagem da corrente elétrica,

isto é ao estabelecimento do fluxo de letrons no material, denominada

resistência. A resistência de um dado material é designada pelo símbolo R e

sua unidade de medida é o ohm, cujo símbolo é Ω.

A resistência depende da própria natureza do material do condutor, isto é da

facilidade que existe de se retirar eletrons de sua órbitas. Essa natureza do

material é caracterizada pela sua resistividade ρ medida em ohm/m.

A resistividade de um dado material é afetada pela têmpera e pela pureza do

material. Quanto maior a têmpera do material, maior é a resistividade e quanto

mais puro for o material condutor menor será a sua resistividade. A Tabela 1

apresenta a resistvidade de alguns materiais metálicos.

Tabela 1 – Resistividade e condutividade de materiais condutores Metal Condutividade σ (x 106 υ/m) Resistividade ρ (x 10-6 Ωm)

Prata 62,9 0,0159 Cobre 58 0,01724 Ouro 41 0,0244

Alumínio 35,5 0,0282 Níquel 12,8 0,078 Platina 10 0,10 Ferro 10 0,10

Bronze 5,5 0,18 Aço Silício 1,6 0,62


6

A resistência de um dado material depende também de suas dimensões, isto é

a resistência é diretamente proporcional ao comprimento do condutor e

inversamente à área de sua seção transversal. Portanto, a resistência de um

dado material pode ser expressa matematicamente por:

SlR ρ=

onde:

ρ – resistividade do material

l - comprimento do material;

S - área da seção transversal do condutor.

Figura 10 – Resistência de um condutor

A resistência de um dado material varia também com a temperatura, isto é

quanto maior a temperatura maior a resistência do material. Essa variação é

expressa matematicamente pela seguinte equação:

)](1[ 12..12 TTRR tTT −α+=

onde: RT1 – resistência elétrica do condutor na temperatura T1

RT2 – resistência elétrica do condutor na temperatura T2

αt – coeficiente do aumento da resistência com a temperatura

T2 – temperatura do condutor onde se deseja obter a resistência

T1 – temperatura do condutor onde se conhece o valor da

resistência.


7

O coeficiente de aumento da resistência com a temperatura tem um valor

relacionado ao material, por exemplo para o cobre duro tomando a temperatura

de 20o C como referência ele vale 0,00385 (1/0C), para os cabos de alumínio

pode-se adotar o valor de 0,00403 (1/0C). Os símbolos empregados para

representar uma resistência estão mostrados na Figura 11.

Figura 11 – Representação de uma resistência

Um simples circuito elétrico mostrado na Figura 12, consiste de uma fonte de

tensão e uma carga e um condutor para que o fluxo de eletrons ocorra da fonte

entre a fonte e a carga. A bateria faz o papel da fonte de tensão, o fio é usado

como condutor e lâmpada é a resistência do circuito. Um componente adicional

foi adicionado ao circuito a chave. Se a chave está na posição aberta o circuito

está aberto e a luz não acende, fechando a chave, completa-se o circuito e os

eletrons fluem da fonte acendendo a lâmpada.

Figura 12 – Circuito resistivo com bateria

A Figura 13 apresenta a representa de um circuito elétrico formado por uma

bateria, um resistor, um voltímetro, e um amperímetro. O amperímetro é

conectado em série com o circuito, irá mostrar a intensidade da corrente que

circula no circuito. O voltímetro conectado em paralelo com a fonte de tensão

irá mostrar o valor da tensão suprida pela bateria.


8

Figura 13 – Circuito resistivo com equipamentos de medição

2. LEI DE OHM

A relação entre tensão, corrente e resistência foi estudada no século 19 pelo

matemático alemão George Simon Ohm. Ohm formulou a seguinte lei: “A

corrente i num elemneto varia diretamente com a tensão e nesse elemento e

inversamente com a resistência R”. Exprimindo matematicamente esta

formulação, obtemos:

Rei =

Uma maneira fácil de se relembrar da Lei de Ohm é empregando o “triângulo

de Ohm”(Figura 14), e este triângulo pode ser utilizado para obter a equação

de forma rápida e correta para cada caso. Para usar este triângulo, deve ser

coberto a grandeza que se quer calcular, e os membros restantes deixam a

formúla correta, como pode ser visto na Figura 15.

Figura 14 – Triângulo de Ohm

Figura 15 – Aplicação do triângulo de Ohm


9

3. POTÊNCIA INSTÂNTANEA

A potência fornecida a um dado elemento do circuito p, sendo ele uma fonte ou

uma resistência é dada pelo produto da tensão no elemento v pela corrente i

que circula por ele, isto é:

i.vp =

A unidade da potência é o watts ou de forma abreviada W. No caso do

elemento do circuito para o cálculo da potência ser uma resistência, a relação

entre tensão e corrente definida pela Lei de Ohm, faz com que a equação

assuma a seguinte forma:

2i.Rp =

A energia consumida ou o trabalho elétrico e efetuado, é dado pela integral da

potência suprida a um dado elemento num dado intervalo de tempo, assim:

∫∫∆+∆+

==tt

t

tt

t

dt.i.vdt.pe

Como v e i são fornecidas por uma bateria que fornece tensão e corrente

contínua, a energia suprida a um elemento pode ser obtida realizando o

produto da potência p pelo intervalo de tempo ∆t, durante o qual a bateria

estará ligada. A fórmula que permite calcular este valor é:

t.pe ∆=

4. DIREÇÕES ASSOCIADAS DE TENSÃO E CORRENTE

Quando se diz que a corrente num dado elemento A é 10 A ou que a tensão

nesse elemento é 5V, e se examina um circuito como o da Figura 1, nada se

pode concluir sobre o sentido real da corrente se é da direita para a esquerda

ou vice-versa. Para a completa determinação da corrente e da tensão num

elemento é essencial se arbitrar uma referência para essas grandezas. Assim


10

ao se arbitrar um sentido para a corrente, ao sabermos que a corrente é – 4 A

significa que a corrente é de 4 A em sentido contrário ao arbitrado.

Figura 16 – Direção da corrente no elemento

Nesse texto utilizaremos as direções associadas de tensão e corrente ao

arbitrarmos o sentido da corrente ou da tensão. Utilizando as as direções

associadas de tensão e corrente, ao se arbitrar um sentido para a corrente

estamos também arbitrando um sentido para a tensão, como pode ser visto na

Figura 17.

Figura 17 – Direções associadas de tensão e corrente

Da mesma forma, ao se arbitrar um sentido para a tensão estamos também

arbitrando um sentido para a corrente (Figura 18). Empregando as direções

associadas de tensão e corrente nos cálculos envolvendo os elementos de um

dado circuito elétrico, quando obtemos uma potência instantânea positiva,

estaremos obrigatoriamente diante de um elemento que consome energia, isto

é, diante de um elemento passivo como uma resistência. Por outro lado,

quando obtemos uma potência instantânea negativa, estamos diante de um

elemento ativo, isto é, se trata de um elemento que fornece energia ao circuito,

uma fonte.


11

Figura 18 – Direções associadas de tensão e corrente

5. LEIS DE KIRCHHOFF

Para a solução de circuitos, isto é para a obtenção das correntes, tensões e

potências em cada elemento de um dado circuito, o físico alemão Kirchhoff

formulou duas leis: a Lei das Tensões de Kirchoff e a Lei das Correntes de

Kirchhoff. Um percurso fechado dentro de um circuito é denominado malha

desde que este percurso fechado não contenha nenhum elemento no seu

interior. A cada elemento de um dado circuito está associado um ramo e

define-se nó como o ponto de encontro de dois os mais ramos.

A Lei das das Tensões de Kirchoff tem o seguinte enunciado: “A soma das

tensões ao longo dos elementos de uma malha é sempre igual a zero”.

Figura 19 – Circuito para aplicar a Lei das Tensões de Kirchhoff

Aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff para o circuito elétrico da Figura 19

no sentido horário, podemos escrever a seguinte equação:

0vvvve 4321 =−+−+−


12

Figura 20 - Circuito para aplicação da Lei das Correntes de Kirchhoff

A Lei das das Correntes de Kirchhoff tem o seguinte enunciado: “A soma das

correntes que chega e sai de um dado nó é sempre igual a zero”. Aplicando

a Lei das Correntes de Kirchhoff para o nó 1 do circuito elétrico da Figura 20 no

sentido horário, podemos escrever a seguinte equação:

0iii 421 =−+

6. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM SÉRIE

Um circuito elétrico constituído por n resistências em série é formado quando

elas são conectadas uma após a outra formando um único percurso para a

corrente fluir. As resistências podem ser resistores ou outros dispositivos que

tenham resistência.

Figura 21 – Resistências em série

Para um conjunto de n resistências mostradas na Figura 21, podemos escrever

a seguinte equação aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff:

i).RR...RR(e

i.Ri.R...i.Ri.Re

N1N21

N1N21

++++=

++++=

−

−


13

Analisando a equação anterior, pode-se verificar que as n resistências em série

produzem o mesmo efeito de uma única resistência, denominada resistência

equivalente dada por:

∑=

=++++=n

1iiN321EQ RR....RRRR

7. ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS EM PARALELO

Uma associação de n resistências em paralelo é obtida quando as n

resistências são conectadas lado a lado, isto é quando as n resistências

dividem a corrente total. Numa ligação em paralelo, todos os terminais de

mesma polaridade são interligados, como pode ser visto na Figura 22.

Figura 22 – Associação de n resistências em paralelo

Para um conjunto de n resistências em paralelo mostradas na Figura 22,

podemos escrever a seguinte equação aplicando a Lei das Correntes de

Kirchhoff:

∑=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=+++=

+++=

n

1i iN21N21T

N21T

R1

R1...

R1

R1.e

Re...

Re

Rei

i...iii

Analisando a equação anterior, pode-se verificar que as n resistências em

paralelo produzem o mesmo efeito de uma única resistência, denominada

resistência equivalente dada por:

∑=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

n

1i iN21EQ R1

R1...

R1

R1

R1


14

QUESTÕES

1. Explique o que significa adotar direções associadas de tensão e corrente.

2. Para o circuito da Figura 23 obtenha a corrente no amperímetro e a tensão

no voltímetro. Dados R1= 2 ohms, R2 = 3 ohms, R3 = 5 ohms, R4 =1 ohm e

E = 10 V.

DC

AR1

R2 R3

R4

E

V

Figura 23 – Circuito resistivo

3. Para o circuito da figura obtenha as potências instântaneas em cada

elemento. Explique o que significa o sinal negativo da potência na fonte.

4. Obtenha a indicação do amperímetro A e do voltímetro V no circuito da

Figura 24. Assumir : R1 = 2 Ω , R2 = 3 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 1 Ω, R5 = 5 Ω e E =

10 V.

DC

R1 R2

R3

R4

R5E

V

A


5. Os materiais isolantes mais comuns sólidos, líquidos e gasosos são

apresentados na Figura 25. Apresente onde encontramos esses materiais

nos sistemas elétricos.


15

Figura 25 – Materiais isolantes mais empregados

6. Compare as características do cobre e do alumínio mostradas na Figura 26

e apresente comentários.

Figura 26 – Características do cobre e do alumínio

7. Visite o SITE indicado na Figura 27 e explique como é o processo de

fabricação do alumínio?

Figura 27 – Site sobre alumínio

8. Visite o site indicado na Figura 27 e explique como é o processo de

fabricação do cobre?

Figura 28 – Site sobre o cobre

9. Enuncie as Leis de Kirchhoff para solução dos circuitos elétricos.

10. O que faz um material ser denominado material condutor?


16

8. CORRENTE ALTERNADA

O suprimento de corrente para dispositivos elétricos pode ser feito por fonte de

corrente contínua ou por uma fonte de corrente alternada. Em corrente

contínua, os eletrons fluem continuamente em uma direção da fonte de

potência para a carga através de um condutor. A queda de tensão na corrente

contínua é constante. As principais fontes de corrente contínua incluem as

baterias, pilhas e geradores de corrente contínua (Figura 29).

Figura 29 – Fonte de corrente contínua

Na grande maioria dos sistemas elétricos a corrente que flui nos condutores é

alternada e não contínua. As principais razões deste fato são a facilidade que

tem a tensão alternada de ser elevada ou reduzida de acordo com a

conveniencia dos consumidores e o reduzido custo aliado a baixa necessidade

de manutenção dos motores elétricos de corrente alternada em relação aos de

corrente contínua. Portanto a corrente que circula por um equipamento de

utilização de energia conectada numa tomada é alternada (Figura 30).

Figura 30 – Corrente alternada

Tensões e correntes alternadas variam continuamente. Graficamente uma

corrente ou tensão alternada são expressas por ondas senoidais ou senóides.


17

Figura 31 – Onda senoidal de corrente

Matematicamente um gráfico como o mostrado na Figura 31, pode ser descrito

pela equação:

( )θω +t sen im =(t) i

A equação anteriormente apresentada é denominada de equação da função

alternada senoidal ou senóide. O temo Im é o valor de pico ou valor máximo da

senóide, ω é a freqüência angular dessa senóide e θ é a fase da senóide.

Examinando a Figura 31, é fácil visualizar que o valor de pico, Im, é o maior

valor que a corrente atinge ao longo do tempo, tanto no lado positivo como

negativo da corrente elétrica. Analisando ainda a Figura 31, podemos, concluir

que a corrente é formada por uma série de trechos que se repetem ao longo do

tempo. Um trecho destes está destacado na figura 1 entre as retas a e b. Cada

trecho deste é denominado de ciclo. Em cada ciclo temos dois semi-ciclos, um

positivo e outro negativo. A duração de cada ciclo é denominada de período, e

é representado pela letra T. A freqüência elétrica, representada pela letra f, é

definida como o número de ciclos de uma senóide por segundo. Assim temos

que:

T1 = f


18

A unidade de medida da freqüência elétrica é o ciclos por segundo, que por

homenagem ao cientista Heinrich Hertz, foi denominado de Hertz, e abreviado

por Hz. Portanto, uma freqüência elétrica de 5 ciclos por segundo, corresponde

a uma freqüência de 5 Hz. A Figura 32, mostra uma senóide de freqüência

elétrica de 4 Hz, e de período 0,25 seg.

Figura 32 – Senóide de frquencia de 4 Hz

A freqüência elétrica pode também ser expressa em radianos por segundo,

bastando apenas, relembrar que 1 ciclo corresponde a 2 π radianos (360°), e

assim:

[rad/seg] f2.πw =

O sistema elétrico do Brasil, opera numa freqüência constante, que é 60 Hz, ou

377 radianos por segundos, também bastante empregada nos Estados Unidos.

Outros países da América do sul, optaram pelo uso da freqüência de 50 Hz,

muito comum no continente europeu.

Consideremos as duas senóides apresentadas na Figura 33. Ambas tem a

mesma amplitude ou valor de pico, e a mesma freqüência, porém não são

iguais. Cada uma delas tem uma fase distinta. Quando duas senóides tem

valores de pico ocorrendo em instantes diferentes, como mostrado na Figura

33, dizemos que elas estão defasadas, ou fora de fase.


19

Figura 33 – Senóides defasadas

Esta defasagem é expressa em tempo ou em frações do ciclo, ou em radianos,

ou ainda em graus. Relacionando sempre 1 ciclo a 2 π radianos e a 360°.

Desta forma podemos afirmar que a defasagem entre as correntes i1 e i2 é de ¼

de ciclo ou de π/2 radianos ou ainda de 90°.

Quando os pontos de máximo e mínimo de uma senóide ocorrem antes dos

correspondentes pontos de outra senóide, dizemos que a primeira senóide está

adiantada em relação a segunda. Assim na Figura 33, a corrente i1 está

adiantada em relação a corrente i2. Quando não há defasagem entre duas

senóides se diz que elas estão em fase. Quando duas senóides estão

defasadas de meio ciclo, isto é, quando ocorre o pico positivo de uma a outra

está no seu pico negativo se diz que estas senóides estão em oposição de

fase.

9. VALOR EFICAZ

Sendo as tensões e correntes nos sistemas elétricos senoidais, elas estão

variando continuamente no tempo, fazendo portanto necessário definir um valor

que possa quantificar a intensidade destas grandezas. Este valor que foi

denominado valor eficaz, corresponde ao valor CA que produza a mesma

energia (isto é, dissipe uma mesma quantidade de calor num circuito resistivo)

que um valor contínuo CC. Portanto, uma corrente alternada com valor eficaz

igual a 1 Ampére produz o mesmo calor num resistor de 10 ohms que uma


20

corrente contínua de 1 Ampére. O valor eficaz é também conhecido como rms

(root-mean-square), pois matematicamente ele é definido como sendo a raiz

quadrada do valor médio dos quadrados de todos os valores instantâneos da

corrente ou tensão durante meio ciclo. Para uma dada senóide o valor eficaz

de uma senóide é o valor de pico dividido por raiz de dois, isto é:

picopico

rms I 0,707 = 2

I = I

É importante salientar que as escalas dos instrumentos de medida

(amperímetro, voltímetro...) são calibrados para indicarem o valor eficaz de

uma corrente ou tensão senoidal. Convém ainda destacar que o valor eficaz

não é igual ao valor médio de meio ciclo. Durante meio ciclo, a tensão ou

corrente varia de zero até o valor de pico e retorna zero novamente; portanto, o

valor médio deve estar situado entre zero e o valor de pico. Para uma dada

senóide, temos:

pico édiom I0,637=I

A Figura 34, apresenta uma senóide onde são indicados o valor de pico ou

valor máximo, o valor eficaz e o valor médio.

Figura 34 – Valores de pico, eficaz e médio de uma senóide

10. MÉTODO FASORIAL

Na solução de circuitos elétricos e na própria operação dos sistemas elétricos

muitas vezes é necessário operar algebricamente com correntes ou tensões

para obter o valor de uma dada grandeza num dado ponto deste sistema


21

elétrico. Como vimos anteriormente as correntes e tensões num sistema

elétrico são senóides e operações algébricas, usando as expressões gerais

seria uma tarefa cansativa.

Para se resolver problemas como este de forma simples e prática, foi

desenvolvido o Método Fasorial. Neste método, cada senóide é representada

por um número complexo denominado de fasor. Portanto, operar com

senóides se torna operar com números complexos. No método fasorial, uma

senóide expressa pela seguinte equação:

( ) t + sen Vm= v θω

é representada por um fasor, que é um número complexo cujo módulo é o valor

eficaz da senóide, e a fase é a própria fase da senóide. O fasor é denotado por

uma letra maiúscula, neste caso V, e é dado por:

j j e Vef= e 2

Vm =V θθ

Utilizando a igualdade de Euler :

θ+θ=θ senjcose j

podemos converter este fasor expresso na forma polar para a forma retangular:

( )θ+θ=θ senjcos.Ve V=V EF j

EF

É muito comum nos cálculos em sistemas elétricos envolvendo fasores se

substituir o e da igualdade de Euler por ∠ ,seguindo este mesmo procedimento

o fasor V pode ser escrito pela seguinte equação:

θ∠θ∠ Vef= 2

Vm =V


22

ou :

θ∠ V0,707=V m

Para o fasor expresso na forma retangular, o termo Vef cos θ, é a parte real do

fasor V, e o termo Vef sen θ, é a parte imaginária do fasor V. Assim:

i r Vj+V=V

onde:

θ=

θ

sen.VVi

.cosV=V

EF

EF r

Para exprimir na forma polar um fasor expresso na forma retangular, utiliza-se

a seguinte equação:

θ V+ V = Vj +V 22iri r ∠

onde a fase θ é obtida calculando:

r

i

VVarctg θ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

As equações anteriores apresentadas para um fasor tensão V, são válidas

também para qualquer fasor corrente I, bastando apenas substituir o fasor V

pelo fasor I.

Empregando o método fasorial, significa que realizar operações com tensões e

correntes, corresponde a realizar operações com números complexos ou

fasores. A adição de dois fasores é efetuada colocando ambos os fasores na

forma retangular. O fasor soma, tem sua parte real dada pela soma da parte

real dos dois fasores a serem adicionados, e sua parte imaginária calculada


23

também somando as partes imaginária dos dois fasores. Isto é, se I1 = Ir1 + Ii1 e

I2 = Ir2 + j Ii2, então:

)II(j)II(III 2i1i2r1r21T +++=+=

Procedendo de forma similar, podemos obter o fasor subtração entre dois

fasores, colocamos ambos os fasores na forma retangular, a parte real do fasor

subtração é obtida subtraindo a parte real de um dos fasores da parte real do

outro. E a parte imaginária do fasor subtração, é obtida subtraindo a parte

imaginária de um dos fasores da parte imaginária do outro. Assim se I1 = Ir1 + j Ij1

e I2 = Ir2 + j Ij2, temos:

)II(j)II(III 2i1i2r1r21T −+−=−=

A multiplicação de dois fasores é determinada com a colocação dos dois

fasores colocados na forma polar. E o módulo do fasor multiplicação é obtido

multiplicando-se o módulo de cada um dos fasores a serem multiplicados. A

fase do fasor multiplicação é obtida somando a fase dos fasores a serem

multiplicados. Assim se I1=I1∠θ1 e I2=I2∠θ2 , o fasor IT = I1 x I2, pode ser

calculado pelas seguintes equações:

( )212121T I.IxIII θ+θ∠==

A divisão de dois fasores é obtida de forma similar a multiplicação. Os dois

fasores a serem divididos são colocados na forma polar. O módulo do fasor

divisão é calculado, dividindo os módulos dos fasores, e a fase do fasor divisão

é calculada subtraindo as fases dos fasores a serem divididos. Assim se

I1=I1∠θ1 e I2=I2∠θ2 , o fasor IT = I1 / I2, pode ser calculado pelas seguintes

equações:

( )212

1

2

1T I

IIII θ−θ∠==


24

É importante ressaltar ainda que um fasor não pode ser maior ou menor que

outro, isto é, existe apenas comparações entre módulo, fase, parte real ou

parte imaginária de fasores. Em outras palavras, podemos afirmar que o

módulo de um fasor é maior que outro, ou ainda, que a parte real de um fasor é

menor que a parte real de outro, porém nunca poderemos afirmar que um fasor

é maior que outro.

A representação das tensões e correntes senoidais por fasores, isto é, por

números complexos, ainda permite mais uma facilidade, que é a representação

gráfica. Cada fasor pode ser representado graficamente, num plano, por um

segmento de reta orientado. Neste plano denominado de plano complexo,

temos dois eixos perpendiculares (Figura 35). O eixo horizontal é o eixo real,

onde representamos graficamente a parte real do fasor, e o eixo vertical é o

eixo imaginário, onde representamos graficamente a parte imaginária do fasor.

Cada eixo, é orientado indicando o sentido crescente dos valores a serem

representados. O eixo vertical corta o eixo horizontal no ponto zero, separando

os valores positivos dos valores negativos. Da mesma forma o eixo horizontal

corta o eixo vertical sobre o ponto zero, separando os valores positivos e

negativos do eixo vertical.

Figura 35 – Representação gráfica dos fasores


25

A representação gráfica de um fasor é feita sempre considerando a sua origem

no ponto comum aos dois eixos, e a sua extremidade no ponto do plano

definido pelas suas partes real e imaginária, ou pelo seu módulo e fase. A

Figura 36, mostra a representação gráfica de um fasor I, com sua origem

colocada no ponto comum aos dois eixos, e sua extremidades no ponto, cuja

parte real é Ir, e cuja parte imaginária e Ii. Obviamente, o fasor I, é dado por:

i r Ij+I=I E

IXO

IMA

GIN

ÁR

IO

EIXO REAL

IIi

Ir

Figura 36 – Diagrama Fasorial do fasor I

Ainda, na Figura 36, temos que o fasor representado, tem comprimento

definido pelo módulo do número complexo e ângulo com o eixo real definido

pela fase do número complexo, isto é:

22ir I + I= I e ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛θ

r

i

II tg arc =

Exemplos:

Represente graficamente os seguintes fasores: a) V1 = 2 + j3; b) V2 = 3 ∠ 45°;

c) Io = -2 + j; d) V3 = 2 ∠- 60°; e) I2 = 2 - j 2; f) I1 = j2 e g) I3 = -3.

Solução:

Procedendo de forma similar ao exposto anteriormente obtemos:


26

I0

V3I2

V2

V1

I1

I3

Figura 37 – Diagrama fasorial

As operações de soma e subtração podem ser visualizadas e efetuadas

graficamente. A adição de dois vetores pode ser efetuada utilizando o método

do paralelogramo, ou do triângulo. No método do paralelogramo, nós

representamos os dois fasores a serem adicionados com a origem no mesmo

ponto. Em seguida, constrói-se um paralelogramo, usando-se os vetores. A

diagonal deste paralelogramo que parte da origem comum aos dois fasores é o

valor resultante ou soma de dois vetores. A aplicação deste método está

apresentada na Figura 38.

Figura 38 – Soma de fasores graficamente

O método do triângulo também se aplica quando existem mais de dois fasores

envolvidos. Nesse caso, une-se todos os vetores de modo que a extremidade

de um coincida com a origem do outro. A linha que une a origem do primeiro


27

com a extremidade do último é a resultante total da soma de todos os vetores.

(Figura 39).

Figura 39 – Soma vetorial de fasores

11. IMPEDÂNCIA

Define-se impedância de um componente de um sistema elétrico, como sendo

a relação entre o fasor tensão aplicada ao componente, pelo fasor corrente que

circula por ele. A impedância é denotada por Z, e é expressa matematicamente

pela seguinte equação:

IVZ =

Para ilustrar o conceito de impedância vamos determinar a impedância de um

resistor, onde é aplicado uma tensão vR dada por:

)wtsen(.VmvR θ−=

A corrente que circula no resistor é obtida pela Lei de Ohm, portanto:

)wtsen(.R

VmRvi R

R θ−==

Representando cada um das senóides das equações anteriores pelos

respectivos fasores, encontramos:


28

RZ

R

2.RVm

2Vm

IVZ

R

R

=

=θ−∠

θ−∠==

Logo, a impedância de um resistor é igual a sua própria resistência. Numa

forma geral, a impedância de um componente é um número complexo qualquer

dado pela seguinte equação:

jXRZ +=

O termo R é a parte real de Z denominada de resitência e X é a parte

imaginária de Z denominada de reatância.

12. INDUTÂNCIA

Os circuitos estudados até agora tem sido apenas resistivos. A resistência não

é a única propriedade que afeta a corrente elétrica, a indutância também.

Indutância é a propriedade que apresenta um circuito elétrico de se opor a

variação de corrente elétrica que circula por ele. Qualquer condutor percorrido

por uma corrente elétrica tem uma indutância. Para tornar mais significativo

esta indutância é comum se enrolar os condutores em forma de bobina. Um

componente elétrico produzido com a propriedade de se opor a variação da

corrente que circula por ele, é denominado indutor. Para se entender

fisicamente o efeito da indutância num circuito, consideremos um circuito em

corrente contínua alimentado por uma pilha de 1,5 V como está mostrado na

Figura 40.


29


A chave é fechado em t = 0, e a corrente sobe rapidamente para o valor de 1A

como está apresentado na Figura 41.

Figura 41 – Corrente no circuito resistivo

Ao colocarmos um indutor no circuito mostrado na Figura 40, a corrente vai

atingir de forma lenta o valor de regime permanente de 1A. A Figura 42 mostra

o novo circuito e a Figura 43, apresenta o gráfico da corrente elétrica com o

tempo.

Figura 42 – Circuito RL


30

Figura 43 – Corrente num circuito RL

Quanto maior a indutância do circuito mais lentamente a corrente atinge o seu

valor de regime. A situação inversa ocorre se em ambos os circuitos, após um

longo intervalo de tempo, no instante de tempo to as chaves são abertas. A

Figura 44, apresenta o gráfico da corrente no tempo para o circuito da Figura

40, e na Figura 45, o gráfico da corrente no tempo para o circuito da Figura 42.

Figura 44 – Fonte num circuito CC

Figura 45 – Resposta do circuito RL

A unidade da indutância de um circuito elétrico é o henry cujo símbolo é H.

Num circuito alimentado em tensão contínua composto por indutâncias e


31

resistências, a corrente varia gradualmente entre zero e o valor de regime, e

entre o valor de regime e zero. Independente dos valores da indutância e da

resistência no circuito, essas variações sempre seguem uma trajetória

semelhante. Inicialmente, a variação é grande, tornando-se cada vez menor,

até a corrente atingir um valor constante que pode ser zero ou o de regime.

Durante essas variações, existe uma relação entre os valores da corrente e o

tempo que leva alcançá-los, e é dada por uma quantidade chamada de

constante de tempo. A constante e tempo é definida como o tempo necessário

para que a corrente atinja 63,2% do valor máximo, ou decresça de 63,2% deste

valor. Em qualquer circuito deste tipo, a constante de tempo depende do valor

da indutância e da resistência. O valor da constante de tempo é diretamente

proporcional à indutância e inversamente proporcional à resistência e é

calculada a partir da equação:

RLT =

Nessa equação, se a indutância for dada em henrys e a resistência, em ohms,

a constante de tempo será dada em segundos. Na prática, os valores da

constante de tempo são muito pequenos e, por essa razão, são expressos em

milisegundos (1/1000 de segundo), ou microsegundos (1/1000.000 de

segundos), cujos símbolos são, respectivamente, ms e us. Dada a constante

de tempo de um circuito, podemos avaliar, facilmente o tempo necessário para

que a corrente cresça de zero até o valor de regime ou decresça do valor de

regime até zero. Em cinco constante de tempo a corrente atinge a mais que

99% do seu valor de regime permanente, de modo que com cinco constantes

de tempo após o fechamento da chave em t = 0 a corrente do circuito elétrico

da Figura 42 atinge 1A, e após a abertura da chave o circuito elétrico leva cinco

constantes de tempo para a corrente chegar a zero.


32

Figura 46 – Efeito das constantes de tempo

Enquanto num circuito alimentado em corrente contínua a indutância afeta o

comportamento do circuito somente nos instantes de abertura e fechamento de

chaves, num circuito em corrente alternada como a corrente está sempre

variando e a indutância se opõe a esta variação, ela influencia em todo e

qualquer instante. Consideremos um indutor, ao aplicarmos entre seus

terminais uma tensão senoidal vL do tipo:

( )θω +t senv =v m L

circula no indutor uma corrente iL dada por:

( )°θω 90 - +t senI =i m L

Na figura 8 estão apresentados os gráficos no tempo de vL e iL, na figura 9 está

o diagrama fasorial, indicando claramente que a corrente no indutor está

atrasada de 90° da tensão aplicada.

Figura 47 – Tensão e corrente numa indutância em corrente alternada


33

Figura 48 – Diagrama fasorial

Os fasores VL e IL mostrados na Figura 48, são expressos por:

)90(2

ImI

2VmV

L

L

−θ∠=

θ∠=

A impedância de um indutor é a relação entre os fasores VL e IL, e é expressa

por:

jwLIVZ

L

L ==

Como a impedância é um número imaginário puro, ela é denominada reatância

indutiva.

13. CAPACITÂNCIA

Capacitância é a propriedade que permite um circuito elétrico armazenar

energia através de um campo eletrostático e depois de algum tempo, liberar

essa energia. Os dispositivos fabricados com esta finalidade são denominados

de capacitores. Fisicamente, sempre que um material isolante separa dois

condutores submetidos a uma diferença de potencial, temos uma capacitância.

Num capacitor a energia elétrica é armazenada na forma de um campo elétrico

entre dois condutores, normalmente denominados de placas. O capacitor

também é conhecido como condensador. A Figura 49 mostra um capacitor

didático.


34

Figura 49 – Capacitor teórico

Para se entender fisicamente o efeito da capacitância num circuito,

consideremos um circuito em corrente contínua alimentado por uma pilha de

1,5 V como está mostrado na Figura 50. A chave S1 é fechada em t = 0 e a

corrente sobe rapidamente para o valor 1A, como está mostrado na Figura 51.

Vamos introduzir um capacitor no circuito da Figura 50, acompanhado de uma

chave S2, na posição aberta com uma outra lâmpada L2, como está

apresentado na Figura 52.

Figura 50 – Circuito puramente resistivo

Figura 51 – Corrente no circuito resistivo


35

Figura 52 – Circuito com a introdução da capacitância

Em t = 0 a chave S1 do circuito da Figura 52 é fechada (com a chave S2 na

posição aberta), a corrente alcança o valor de 1A rapidamente e a medida que

o tempo passa esta vai diminuindo de intensidade. A medida que a corrente vai

diminuindo o capacitor vai se carregando. Em t = 0 a tensão entre os terminais

A e B do capacitor é nula e vai aumentando a medida que o capacitor está se

carregando. A Figura 53 apresenta os gráficos da corrente i (t) e da tensão Vc

(t) entre os terminais A e B do capacitor.

Figura 53 – Tensão entre os terminais do capacitor e corrente no circuito

É importante salientar que quando a corrente é nula toda tensão da pilha está

entre os terminais do capacitor isto é 1,5 V. Nesta situação se diz que o

capacitor está carregado. Quando a chave S1 é fechada, os elétrons vão do

terminal negativo da pilha que possui um potencial negativo, para a placa do


36

capacitor em que está ligado. Portanto, essa placa adquire um excesso de

elétrons, ou seja, uma carga negativa. Simultaneamente, o outro terminal da

pilha que possui um potencial positivo, atrai o mesmo de elétrons da outra

placa do capacitor em que está ligado. Esta placa apresenta uma falta de

elétrons, isto é, adquire carga positiva.

Durante a carga do capacitor, os elétrons passam pelos fios do circuito e

através da pilha. Em outra palavras, existe corrente no circuito; observe,

porém, que apesar disso a corrente não atravessa o capacitor. A corrente entra

no capacitor por uma das placas, deixa o mesmo pela outra placa, mas o

isolante impede que exista corrente através do capacitor. À medida que os

elétrons entram na placa negativa e saem da placa positiva do capacitor, o

campo elétrico aumenta, fazendo com que uma tensão se estabelece sobre o

capacitor. Essa tensão inicia no zero, quando o circuito é fechado, e cresce de

acordo com o aumento do número de elétrons que deixam a placa positiva e

entram na placa negativa. A tensão do capacitor tem uma polaridade oposta ao

da corrente fornecida pela pilha. Consequentemente, a tensão do capacitor se

opõe à tensão da pilha.

À medida que a tensão do capacitor aumenta, a tensão efetiva do circuito, que

é a diferença entre as tensões da pilha e do capacitor, diminui. Esse fator

provoca o decréscimo da corrente do circuito. Quando a tensão do capacitor se

igualar à tensão da pilha, a tensão efetiva no circuito é zero, e portanto, a

corrente para de circular. Neste ponto, o capacitor está totalmente carregado e

nenhuma corrente flui pelo circuito. Quanto maior a capaciância mais

lentamente a corrente vai decrescendo até zero e a tensão vai subindo até 1,5

V no circuito da Figura 52, isto é, quando maior a capacitância mais lentamente

a tensão e a corrente atingem seu valor de regime.


37

Figura 54 – Resposta de carga e descarga do capacitor

Consideremos agora no circuito da Figura 52 que num instante de tempo to,

bastante distante do instante inicial a chave S1 é aberta e ao mesmo a chave

S2 é fechada. Assim em t = to a corrente i (t) é nula e a tensão no capacitor é

1,5 V, após as manobras das chaves S1 e S2, a corrente no capacitor se inverte

e vale inicialmente em t = to, 1A. A tensão no capacitor que em t = to vale 1,5 V

decai no tempo até zero junto com a corrente i (t) invertida. A Figura 54, mostra

os gráficos da tensão e da corrente i (t) no capacitor. Salientando que após to, i

(t) tem o sentido contrário do período inicial. Após o instante to se diz que o

capacitor está descarregando e a tensão atingir o valor zero se diz que o

capacitor está descarregado.

A unidade da capacitância de um circuito é o farad ou F, em homenagem ao

cientista Michael Faraday. Na prática, o farad representa uma capacidade

extremamente grande. Por isso, utilizamos os submúltiplos dessa unidade em

quase todos os casos. Os submúltiplos do farad são o microfarad (µF) e o


38

micromicrofarad (µµF), conhecido como picofarad (pF). Assim: 1 µF = 10 -6 F e

1 pF = 10 -12 F.

Quando um capacitor é ligado a uma fonte de tensão contínua, carrega-se

rapidamente. Se não houver resistência no circuito de carga, o capacitor ficará

totalmente carregado quase que instantaneamente. Uma resistência tem a

propriedade de provocar um atraso no tempo exigido para se carregar o

capacitor. Como todo circuito apresenta alguma resistência, para carregar um

capacitor sempre se leva um certo intervalo de tempo definido. O tempo exato

depende tanto da resistência (R) do circuito, como das capacitância (C) do

capacitor. A relação entre essas duas grandezas e o tempo de carga é

expressa pela seguinte equação:

C.RT =

onde T é a constante de tempo capacitiva, que representa o tempo necessário

para que a tensão do capacitor atinja 63,2% da tensão total. A cada constante

de tempo, a tensão sobre o capacitor sofre um acréscimo de 63,2% em relação

ao que falta para atingir a tensão total. Portanto, após a segunda constante de

tempo (2T), o capacitor terá 86,4% de sua tensão máxima; após 3T atingirá

94,9% desse valor; após 4T, 98,1% e após 5T, sua tensão será maior que 99%

do valor máximo. Após cinco constante de tempo, o capacitor será considerado

plenamente carregado.

Figura 55 – Carga do capacitor


39

Analogamente, a constante de tempo capacitiva mostra o tempo exigido,

durante a descarga de um capacitor, para que a tensão atinja várias

porcentagens do valor máximo. É importante ressalvar que existe uma analogia

entre as constantes de tempo capacitiva e indutiva; a tensão sobre um

capacitor cresce e decresce de forma análoga à variação da corrente através

de um indutor.

Enquanto num circuito alimentado em corrente contínua a capacitância afeta o

comportamento do circuito somente nos instantes de abertura e fechamento de

chaves, num circuito em corrente alternada, como as tensões e correntes estão

continuamente variando, ela influencia em qualquer instante de tempo.

Ao aplicarmos num capacitor uma tensão senoidal do tipo:

( )θω +t sen V=v m c

circula no capacitor uma corrente ic, dada por:

( )°θω 90 + +t senI =i m c

Na Figura 56 estão apresentados os gráficos no tempo de vc e ic e na Figura 57

o diagrama fasorial, indicando claramente que a corrente no capacitor está

adiantado de 90° da tensão aplicada.

Figura 56 – Tensão e corrente alternada num capacitor


40

Figura 57 – Diagrama fasorial no capacitor

Os fasores Vc e Ic mostrados na Figura 57, são expressos por:

θ∠=2

VmVC

)90(2

ImI 0C +θ∠=

A impedância do capacitor, isto é a relação entre os fasores Vc e Ic é dada por:

CC

C0

C

CC

jXC.wjZ

jXC.wj90

2Im

2Vm

IVZ

=−

=

=−

=∠==

Como a impedância do capacitor é imaginária pura, isto é, ela é apenas reativa,

é denominada reatância capacitiva.

14. REATÂNCIA

A reatância como vimos anteriormente é a parte imaginária da impedância de

um componente. A reatância fisicamente, faz com que a corrente não fique em

fase com a tensão aplicada.

Existem dois tipos de reatância num circuito onde as tensões e correntes

estejam em regime permanente senoidal, uma que atrasa a corrente em


41

relação a tensão aplicada que é denominada de reatância indutiva, e outra que

adianta a corrente em relação a tensão aplicada que é denominada de

reatância capacitiva. A reatância indutiva está associada a presença

predominante de uma indutância num dado componente, e é definida pela

seguinte expressão:

L.f..2L.wXL π==

Num indutor a sua impedância é dada apenas pela reatância indutiva, isto é:

L.f..2.jL.w.jX.jZ INDIND π===

e a corrente está 90o atrasada em relação a tensão aplicada.

A reatância capacitiva está associada a presença predominante de uma

capacitância num dado componente, e é definido pela seguinte equação:

C.f..21

C.w1XC π

==

Num capacitor a sua impedância é dada apenas pela reatância capacitiva:

C.f..2j

C.wjX.jZ CAPCAP π

−=

−=−=

e a corrente está 90o adiantada em relação a tensão aplicada.

A Figura 58 revisa as relações no tempo, e o diagrama fasorial para a tensão e

a corrente num resistor, num indutor e num capacitor.

É importante salientar que a reatância indutiva é positiva, e a reatância

capacitiva é negativa. A relação entre o fasor corrente que circula num

componente pelo fasor tensão aplicada é denominada admitância e é

denotada por Y. Assim:

VIY =


42

E obviamente,

Z1Y =

Figura 58 – Tensão e corrente nos resitores, capacitores e indutores em

circuitos em regime permanente senoidal

A parte real da admitância é denominada de condutância, e é denotada por G,

e a parte imaginária da admitância é denominada de suceptância e é

denotada por B. Isto é,

B.jGY +=

De forma similar a reatância, a susceptância para um componente que é

predominantemente indutivo, é denominada de susceptância indutiva, e é

dada por:


43

L.wjBL

−=

A susceptância indutiva é negativa. A susceptância para um componente que é

predominantemente capacitivo é denominado de susceptância capacitiva,

tem valor positivo, e é dada por:

C.w.jBC =

15. CIRCUITOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL

Como foi descrito anteriormente, diz-se que um dado circuito está em regime

permanente senoidal quando as tensões e correntes que circulam por este

circuito são ondas senoidais ou senóides. Circuitos em regime permanente

senoidal são resolvidos usando o método fasorial. Nesse método o circuito

elétrico no domínio tempo é transformado num circuito no domínio da

frequencia.

Para esclarecer o emprego do método fasorial, vamos obter a corrente i(t) no

circuito em regime permanente senoidal

No domínio da frequencia, as fontes de tensão e corrente senoidais (d

equações do tipo são de intensidade

16. POTÊNCIA EM CIRCUITO EM CORRENTE ALTERNADA

Como foi discutido anteriormente, a potência elétrica ou a potência instantânea

fornecida a um componente de um sistema elétrico é definido pela seguinte

equação:

)t(i).t(v)t(p =

Em corrente contínua p(t) é um valor constante, ficando assim, bem

caracterizado, se um dado componente absorve ou fornece potência elétrica de


44

um circuito elétrico. Por exemplo, considere o circuito elétrico apresentado na

Figura 59.

Figura 59 – Circuito resistivo em corrente contínua

No circuito da Figura 59, a corrente elétrica pode ser obtida pela Lei de Ohm:

A2 = 24 =

RE = i

A potência elétrica no resistor e na fonte, são dadas pelas seguintes equações:

W4 -2)2.(.ivp

W42.2i.vp

FFFONTE

RRRES

=−==

===

Os resultados obtidos anteriormente mostram que o resistor é um componente

que consome potência fornecida pela fonte de intensidade 2V. Na figura 14,

nós mostramos o gráfico da potência elétrica no resistor em função do tempo.

Figura 60 – Potência instantânea num circuito em corrente contínua

Em corrente alternada como a tensão e a corrente variam no tempo, a potência

elétrica num componente também não é constante. Consideremos um


45

determinado componente num circuito em corrente alternada, onde a tensão

aplicada nele é dada por:

t senV=(t)v . M ω

E a corrente que circula pelo componente tem a seguinte expressão:

)-t ( senI=(t)i . m θω

Da definição de potência instantânea obtemos:

)-t (sent senIV=(t).i(t) v = (t) p m m θωω

como:

[ ]B)+(A cos - B)-(A cos 21 = B A.sensen

encontramos,

[ ])-t +t ( cos - )+t -t( cosI V21 = (t) v(t).i = (t) p mm θωωθωω

[ ]) -t (2 cos - cos .2

I.2

V = (t) p mmθωθ

[ ])-t (2cos-cosIV= (t) p EF EF θωθ

A Figura 61, apresenta o gráfico da potência elétrica instantânea expressa pela

equação anterior.

Potência Instântanea

tempo

Figura 61 - Potência instantânea em circuito em corrente alternada


46

Analisando a expressão geral para a potência ativa instantânea fornecida a um

componente, e a Figura 61, verifica-se como era esperado que esta potência

não é constante, tendo trechos onde a potência elétrica é absorvida da rede

(trechos positivos acima do eixo do tempo), e trechos onde ela fornece a rede

(trechos negativos abaixo do eixo do tempo).

Com a finalidade de destacar estas duas parcelas, vamos expandir a parte

alternada da equação da potência instantânea no componente, usando:

BA.sensen-BA.coscos=B)+(A cos

na expressão geral para a potência ativa instantânea fornecida a um

componente, fazendo com que esta ssuma o seguinte formato:

[ ]t2 .sen sen +t 2 .cos cos - cosI V= (t) p EF EF ωθωθθ

[ ] t2 sen. .senI V+ t 2 cos-1 cosI V= (t) p EF. EF EF EF ωθωθ

Na equação anterior é possível destacar duas parcelas:

t)2cos-(1cosIV=(t)p EF EF at ωθ

t)2(sensenIV=(t)p EF EF reat ωθ

A parcela pat é denominada de potência ativa instantânea, é sempre positiva,

ou sempre negativa, dependendo do termo Vef.Ief.cosθ. A parcela preat é

denominada de potência reativa instantânea, corresponde a uma senóide de

freqüência dupla, cujo valor máximo é dado por Vef.Ief.senθ. A Figura 62,

apresenta os gráficos das potências ativas e reativas instantâneas.


47

Figura 62 – Potência ativa e reativa instântanea

Analisando a Figura 62 fica caracterizado que a potência ativa instantânea é a

parcela da potência instantânea que é fornecida ao componente, e a potência

reativa instantânea é uma parcela de potência que fica num ciclo sendo

fornecida ao componente e no ciclo seguinte devolvida a rede pelo

componente.

A potência ativa instantânea fica definida e caracterizada pelo valor da potência

média fornecida a um componente. Esta potência média é denominada de

potência ativa, e é dada pela seguinte equação:

)IVcos(.I.VP EFEF ∠−∠=

A potência ativa é aquela que efetivamente realiza trabalho, um valor positivo

indica que o componente consome potência da rede, e um valor negativo indica

que o componente fornece potência a rede. A unidade da potência ativa é o

watt (W). O termo cos θ, é denominado de fator de potência.

)IVcos(FP ∠−∠=


48

onde, ∠V é a fase do fasor tensão e ∠I é a fase do fasor corrente.

A potência reativa instantânea efetivamente não realiza trabalho, ela

corresponde a uma potência que num dado semi-ciclo fornece potência a rede,

e no semi-ciclo seguinte ela devolve a rede. Mesmo assim, ela circula pela

rede, e tem um papel essencial na conversão de energia, pois, sem ela os

campos magnéticos necessários a produção de torque nas máquinas elétricas

não existiriam. Esta potência que é cedida aos enrolamentos das máquinas

elétricas num dado semi-ciclo é devolvido, no seguinte, é caracterizado pelo

valor máximo da potência reativa instantânea e é denominada de potência

reativa, expressa pela seguinte equação:

)I-V (senIV=Q EF. EF. ∠∠

A unidade desta potência reativa é o volt - ampére - reativo (VAR), e tem sua

intensidade positiva ou negativa definida pelo:

)I-V (sen ∠∠

Portanto, a potência reativa pode assumir um valor positivo ou negativo

dependendo do ângulo θ. É importante relembrar que θ é o ângulo resultante

da diferença entre a fase do fasor tensão V e a fase do fasor corrente I, isto é:

IV ∠−∠=θ

Para uma carga de natureza indutiva, a tensão está adiantada em relação a

corrente, isto é, θ é positivo, o coseno de θ é positivo e portanto a potência

reativa “entrando” na carga é positiva. No caso de uma carga de natureza

capacitiva, a tensão está atrasada em relação a corrente, θ é negativo, cos θ é

negativo e a potência reativa “entrando” na carga é negativa indicando que ela

esteja saindo da carga.


49

Esta interpretação de que numa carga indutiva a potência reativa é positiva

indicando que ela esteja “entrando” na carga e o contrário para uma carga

capacitiva conduz às seguintes afirmações, muito comuns na rotina dos

engenheiros de operação dos sistemas elétricos, que são :

• os capacitores são elementos que “fornecem” reativos

• os reatores são elementos que “absorvem” reativos

Durante todo este texto, os termos reativo e potência reativa estarão sempre se

referindo a potência reativa indutiva.

As potências ativa e reativa definidas anteriormente, podem ser obtidas de

forma simples a partir da definição da potência complexa (S). A potência

complexa é definida como sendo o número complexo obtido pelo produto do

fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente, isto é:

*I.VS =

Como,

VVV ef ∠=

III - ef* ∠=

então:

) IVsen(.IVj. ) IVcos(.IVIV.IVV.IS . efef . efef efef* ∠−∠+∠−∠=∠−∠==

que resulta em:

jQPS +=

O módulo da potência complexa (N) é denominado potência aparente e tem

como unidade o Volt-Ampére (VA). Esta potência está fisicamente

representando toda a potência transmitida a uma carga. A unidade Volt-

Ampére (VA) é dimensionalmente idêntica às unidades das potências ativa e


50

reativa, a denominação distinta novamente está relacionada à identificação do

tipo de potência que está sendo referida.

Portanto, a potência aparente é dada por:

efef22 .IVQPN =+=

A potência aparente, por retratar toda a potência transmitida, é utilizada para

especificar a potência nominal dos equipamentos e componentes de um

sistema elétrico. Outra grandeza muito importante nos estudos envolvendo

sistemas elétricos é o fator de potência.

O fator de potência de uma carga é a relação entre a potência ativa fornecida à

carga e a potência aparente transmitida a carga. Ele retrata a eficiência da

potência transmitida à carga e, quantitativamente, é expresso por:

efef

efefP

I Vcos I VF θ

==NP

logo:

θ cosNPFP ==

Assim um fator de potência de 0,8 para uma carga indica que apenas 80 % da

potência transmitida à carga (potência aparente) é utilizada para realmente

produzir trabalho. O restante é utilizado para carregar os campos elétricos e

magnéticos existentes no sistema. As operações que funcionam com baixo

fator de potência carregam linhas aéreas, cabos e transformadores

desnecessariamente.Atualmente no Brasil a legislação tarifária em vigor

penaliza os consumidores que tiverem um fator de potência indutivo abaixo de

0,92, de 6 às 24 horas, e um fator de potência capacitivo abaixo de 0,92, de 0

às 6 horas.


51

Para melhor caracterizar o que foi dito anteriormente, vamos acrescentar como

exemplo o caso de uma instalação alimentada a partir de um trafo de 100 kVA.

Este transformador é utilizado para alimentar uma carga de 80 kW, caso o fator

de potência da instalação seja 0,8; ele vai operar na sua potência nominal. O

mesmo transformador poderia operar numa potência menor que a nominal

(como por exemplo 90 kVA) para alimentar a mesma carga de 80 kW desde

que o fator de potência fosse maior que 0,8.

Como a grande maioria das cargas existentes tem fator de potência indutivo,

isto é, consomem reativo, a correção do fator de potência para níveis aceitáveis

é realizada conectando-se próximo às cargas fontes de reativo como

capacitores.

A conexão do fator de potência de uma instalação pode ser visualizada a partir

do triângulo das potências. Ele é obtido decompondo o fasor corrente em duas

componentes como está mostrado na Figura 63, com módulos Ief cosθ e Ief

senθ.

θ

Ief. cosθ

Ief. senθ

Ief

Figura 63 - Triângulo das correntes

Multiplicando-se todos os lados do triângulo formado pelo módulo do fasor

tensão Vef, obtemos o triângulo das potências, como está apresentado na

Figura 64. Neste triângulo é importante ressaltar que, embora a potência

reativa Q seja positiva, o sentido é contrário à direção convencionada como

positiva para o eixo imaginária no plano complexo.


52

θ

Vef.Ief. cosθ

Vef.Ief. senθ

Vef.Ief

θ

P

Q

N

Figura 64 - Triângulo das potências

QUESTÕES

11. Obtenha a indicação dos amperímetros A1 e A2, além da indicação do

voltímetro V1 no circuito elétrico da Figura 65.

A1

2 3+j2Z

Z

Z

Z

A2

1+j2

3+j4

V1

4+j2400 V

Figura 65

12. Apresente o diagrama fasorial para as tensões em cada elemento do

circuito da Figura 65 e para a corrente que sai da fonte de 400 V .


53

Figura 66

13. Explique porque a corrente que alimenta um liquidificador é atrasada em

relação a tensão aplicada. O que significa uma corrente atrasada e uma

corrente adiantada em relação a tensão aplicada?

14. O que ocorre quando ligamos uma lâmpada 40W/220V em 110V? E quando

ligamos uma lâmpada de 40W / 110V em 220 V? Explique (Figura 66)

15. Corrente e tensão são grandezas distintas, a tensão está sempre presente

numa tomada porém a corrente só circula quando conectamos alguma

carga. A circulação da corrente é que leva energia ao dispositivo que está

sendo alimentado. Portanto a tensão é a CAUSA e a corrente o EFEITO.

Explique porque no circuito da Figura 67 não circula corrente.

Figura 67

16. Obtenha a corrente do cabo que alimenta as três tomadas da Figura 68,

quando 220 V é medido num multímetro nos terminais da primeira tomada.


54

Figura 68

17. Obtenha o consumo diário de uma impressora HP Deskjet 640C, que

permaneceu ligada durante 4 horas, sendo que 20 minutos efetivamente

imprimindo. Nas 20 horas restantes com apenas o adaptador conectado. Os

dados técnicos estão na Figura 69.

Figura 69

18. Explique como se obtém o triângulo das potências e conceitue fator de

potência de um componente.


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19. Um transformador de potência trifásico alimenta no seu enrolamento

secundário três consumidores em 380 V que consomem as seguintes

potências: Consumidor 1 - 70 KVA com fator de potência de 0,88 atrasado,

Consumidor 2 – 45 KW e 39 KVAR com fator de potência de natureza

indutivo e o Consumidor 3 – 30 KW com fator de potência de 0,76

atrasado. Obtenha a carga total alimentada pelo transformador.

20. Obtenha a potência aparente de um consumidor que num dado instante

absorve 200 kW e 72 kVAR. Qual fator de potência deste consumidor neste

instante, considere que o fator de potência deste consumidor tem natureza

indutiva?

21. Os dois pontos de tomada de uso geral (TUG) mostrados na Figura 70

alimentam uma torradeira de 1000 W/220V e uma batedeira de impedância

(8+j6) ohms. Considerando que a tensão no momento da utilização é 220 V,

obtenha a corrente no condutor principal de alimentação das duas cargas.

Figura 70

22. Obtenha a corrente que alimenta uma batedeira em 220 V, valor este

medido na tomada onde ela está conectada. Considere que sua impedância

é de (5+j8)Ω.


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23. Obtenha a corrente que alimenta o aspirador de pó da Figura 71 quando

220 V é medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele

consome 1000 W e 145 VAR.

Figura 71

24. Apresente a equação geral para associar n impedâncias em série e depois

n impedâncias em paralelo.

25. Conceitue:FASOR, DIAGRAMA FASORIAL, REATÂNCIA, CONDUTÂNCIA,

SUCEPTÂNCIA e ADMITÂNCIA.

26. Mostre o diagrama fasorial indicando os fasores tensão e corrente, para

uma fonte de tensão senoidal alimentando uma carga resistiva pura e

também para uma carga indutiva pura.

27. Mostre o diagrama fasorial indicando os fasores tensão e corrente, para

uma fonte de tensão senoidal alimentando uma carga capacitiva pura e

também para uma carga com resistência e indutância (RL).

28. Procure dentro de sua residência o manual de no mínimo um

eletrodoméstico que mostre seu tipo, modelo e seus dados técnicos como

tensão nominal, consumo, potência .... Anexe cópia das páginas que você


57

usou como fonte de referência ou cópia dos dados obtidos a partir do site

do fabricante na internet com o respectivo endereço.

29. Obtenha a corrente que alimenta o sistema de som da Figura 72 quando


consome 350 VA com fator de potência 0,92 indutivo.

Figura 72

30. Obtenha a corrente que alimenta o micro-computador da Figura 73 quando


consome 330 W com fator de potência 0,89 indutivo.

Figura 73

31. Obtenha a corrente que alimenta a geladeira da Figura 74 quando 220 V é

medido na tomada onde ela está conectada e sabe-se que ele consome

430 VA e 307 W .


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Figura 74

32. Obtenha a corrente i(t) no circuito da Figura 75 admitindo que a fonte de

tensão v(t) é dada por 20.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de 2

ohms e a indutância L é de 4 H. Esboce o diagrama fasorial deste circuito.

R

L

v(t)

Figura 75


tensão v(t) é dada por 20.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de 2

ohms e a capacitância C é de 0,25 F. Esboce o diagrama fasorial deste

circuito.

R

C

v(t)

Figura 76


tensão v(t) é dada por 100.sen(3t+10). Considere que a resistência R é de

10 ohms, indutância L é de 5 H e a capacitância C é de 0,5 F. Esboce o

diagrama fasorial deste circuito.


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R

L C

vS(t)

Figura 77

35. Uma rede formada por uma indutância L e uma resistência R conectadas

em série, tem um voltímetro conectado em paralelo com o resistor R. Ao se

excitar essa rede com uma fonte de corrente contínua de 10 V, o voltímetro

apresenta a leitura de 5V. Quando uma fonte de corrente alternada de 60

Hz é aplicada a mesma rede nas mesmas condições, com valor eficaz de

10 V a leitura do voltímetro é de 4V. Qual a indutancia desta rede RL?

1.corrente contínuaealternada

Law