capítulo 1 - tensão e corrente alternadas

8/18/2019 Capítulo 1 - Tensão e Corrente Alternadas

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Prof a Ruth Leão Email: [email protected]

1-2

Figura 1.1: Forma de onda alternada.

Uma onda de tensão alternada muda sua polaridade e uma onda decorrente alternada muda sua direção durante a passagem pelo zero e

em um certo intervalo de tempo.

A onda senoidal é a mais comum e fundamental dentre as ondasalternadas, porque todos os demais tipos de ondas alternadas(quadrada, triangular, dente de serra, etc.) podem ser decompostasem ondas senoidais.

2.2 Fonte de Tensão Senoidal

As tensões senoidais são geradas por dois métodos: máquinaselétricas rotativas e osciladores eletrônicos.

O princípio básico de geração de energia elétrica consiste nomovimento relativo de bobinas elétricas imersas em um campomagnético. Como resultado, tem-se a indução de tensão alternadanos terminais das bobinas. Ao ser colocada uma carga para seralimentada pelo gerador elétrico, estabelece-se uma corrente elétrica

alternada.Os geradores eletrônicos de sinal consistem basicamente de umoscilador que é um circuito eletrônico que produz ondas de amplitudee freqüência controladas.

A Figura 1.2 mostra um gerador ca simplificado, o qual consiste deuma bobina de uma espira apenas em um campo magnéticopermanente. Cada terminal da bobina é conectado a um anel coletorcondutor. À medida que a bobina gira no campo magnético entre ospólos norte e sul, o anel coletor também gira em contato com asescovas que conectam a bobina a uma carga externa.

t

a

- a

y

T T


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1-3

Figura 1.2: Gerador elétrico ca simplificado.

Segundo o princípio de indução do eletromagnetismo, quando umcondutor move-se em um campo magnético, uma tensão é induzidanos terminais do condutor. A Figura 1.3 mostra uma bobina de umaespira girando em um campo magnético. A Figura 1.3 (a) apresenta oprimeiro quarto de rotação da bobina, desde a posição horizontal, emque a tensão induzida é zero, até a posição vertical da bobina, emque a tensão induzida é máxima. As Figuras 1.3 (b), (c) e (d)apresentam, respectivamente, o segundo, terceiro e quarto quadrantede um giro completo.

(a) Metade do semi ciclo positivo. (b) Semi ciclo positivo.

(c) Metade do semi ciclo negativo. (d) Ciclo completo.

Figura 1.3: Um ciclo de tensão senoidal gerada.


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1-4

A Figura 1.3 mostra uma tensão senoidal gerada por um gerador ca.Quando o rotor do gerador completa uma rotação de 360º, um ciclocompleto de tensão é induzida. O movimento continuado do rotor fazgerar repetidos ciclos da onda senoidal.

A magnitude da tensão induzida depende do número de espiras dabobina e da taxa de variação do fluxo magnético no tempo.

dt

d Nind

φ υ = (1.1)

A Figura 1.4 mostra o símbolo de uma fonte de tensão alternada.

Figura 1.4: Símbolo de uma fonte de tensão alternada.

Uma onda senoidal pode ser medida em uma base temporal ouangular. Como o tempo para completar um ciclo completo depende dafreqüência da onda, em geral é comum especificar os valores em umaonda senoidal em termos de medida angular, expresso em graus ouem radianos.

O ângulo de uma onda senoidal pode ser relacionado ao ângulo derotação de um gerador, como mostra a Figura 1.5.

Figura 1.5: Relação entre uma onda senoidal e a rotação de um gerador ca.

Um radiano é definido como a medida angular ao longo dacircunferência de um círculo, que é igual ao raio do círculo. Umradiano é equivalente a 57,3º.

~


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1-5

A conversão de graus para radianos e vice-versa é obtida pelasEquações 1.2 e 1.3:

graus

180

rad ⋅⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ π=o

(1.2)

rad 180

graus ⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

π=

o

(1.3)

A letra grega π representa a relação da circunferência de qualquercírculo por seu diâmetro e tem um valor constante deaproximadamente 3,1416.

2.3 Polaridade de uma Onda Senoidal

Quando uma fonte de tensão senoidal é aplicada a um circuitoresistivo, como na Figura 1.6, um fluxo de corrente alternada senoidalcircula como resultado.

Figura 1.6: Circuito elétrico alimentado por fonte alternada senoidal.

Quando a tensão muda de polaridade, a corrente muda de direçãocomo indicado em Figura 1.7. Durante o semiciclo positivo da tensão,a corrente flui em uma direção e muda de direção durante o semiciclonegativo da tensão.


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1-6

Figura 1.7: Onda senoidal de tensão e corrente em circuito resistivo.

A combinação de semiciclo positivo e negativo forma um ciclo daonda senoidal. O ciclo é a menor parte que não se repete em umaonda periódica.

2.4 Período de uma Onda Senoidal

O tempo necessário para uma onda senoidal completar um ciclo édenominado de período. O período de uma onda é o menor espaçode tempo T que separa um conjunto completo de valores diferentes. A

Figura 1.8 ilustra dois períodos de uma onda senoidal. O período deuma onda senoidal não necessariamente necessita ser medido entreos zeros da forma de onda.

Figura 1.8: Medição de um período de uma onda senoidal.

Tensão (+V)Corrente (+I)

Tensão (-V)Corrente (-I)


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1-7

2.5 Freqüência de uma Onda Senoidal

A freqüência f de uma onda é o número de ciclos que a ondacompleta em um segundo. O hertz (Hz) é a unidade da freqüência.

Um hertz é equivalente a um ciclo por segundo.1 ciclo / s = 1 Hz

Como um período T, medido em segundos, equivale a um ciclo, onúmero de ciclos em um segundo define a freqüência da onda. Assim

T (s) → 1 ciclo1s → f (ciclos)

f =T

1 (1.4)

T=f

1 (1.5)

Foi visto na Figura 1.3 que uma rotação completa da bobina nocampo magnético de um gerador ca gera um ciclo da tensão induzida.A velocidade com que a bobina gira define o tempo, ou período, paracompletar um ciclo. Se uma bobina completa 60 rotações em 1s, o

período da onda senoidal é de 1/60 s, que corresponde à freqüênciade 60 Hz. Assim, quanto mais rápido a bobina gira, maior é afreqüência da tensão induzida, como ilustra a Figura 1.9.

Figura 1.9: A freqüência é proporcional à velocidade de rotação da bobina.

Uma outra forma de aumentar a freqüência é aumentar o número depólos magnéticos. Quando 4 pólos magnéticos são usados ao invésde 2, como mostra a Figura 1.10, um ciclo é gerado durante metadeda rotação. Isto dobra a freqüência para a mesma velocidade de

rotação.


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1-8

Figura 1.10: Aumento da freqüência com o aumento de pólos.

A Figura 1.10 mostra que um ciclo completo do sinal elétrico ocorreem metade de uma rotação mecânica.

Uma expressão para a freqüência em termos do número de pólos, p,e de rotações por minuto, n, é dada por:

]Hz[120

n p

60

n

2

pf

⋅=⋅= (1.6)

2.6 Parâmetros de uma Onda Senoidal

Como apresentada pela Equação 1.1, a tensão induzida em umcondutor depende do número de espiras (N) e da taxa de variação docampo magnético. Portanto, quando a velocidade de rotação dabobina aumenta, não apenas aumenta a freqüência da tensãoinduzida, mas também a amplitude. Como a freqüência do circuito énormalmente constante, o método mais prático de aumentar a tensãoinduzida é através do aumento do número de espiras da bobina.

As curvas ilustradas na Figura 1.11 representam valores instantâneosde uma onda de tensão e de corrente que variam no tempo,

representadas pelas letras minúsculas v(t) e i(t), respectivamente.


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1-9

Figura 1.11: Valores instantâneos de onda senoidal.

As ondas senoidais de tensão e corrente são definidasmatematicamente por:

v(t) = Vp.sen(ωt ±ϕv) (1.7)i(t) = Ip.sen(ωt ±ϕi) (1.8)

v(t), i(t) valores instantâneos das ondas de tensão e correnteVp, Ip amplitudes das ondas de tensão e correnteω freqüência ou velocidade angular da ondaωt ângulo de tempoϕv, ϕi ângulos de fase das ondas de tensão e corrente

2.5.1. Valor de Pico

O valor de pico ou amplitude de uma onda senoidal de tensão ecorrente é o máximo valor positivo ou negativo em relação ao zero. Ovalor de pico em uma onda senoidal é constante, e representado porVp ou Ip.

O valor pico-a-pico de uma tensão ou corrente senoidal compreende ovalor desde o pico positivo ao pico negativo. Os valores pico a picode tensão ou corrente são representados por Vpp = 2Vp ou Ipp= 2Ip.


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1-10

2.5.2. Velocidade ou Freqüência Angular

A velocidade angular ω ou freqüência angular de uma onda senoidalde tensão ou corrente descreve a velocidade de uma rotação e é

definida como a relação entre um ciclo completo, expresso emradianos, e o tempo para percorrê-lo.

ω =2πT

= 2πf [rad/s] (1.9)

A velocidade angular multiplicada pelo t define o ângulo de tempo, ωt,que corresponde ao valor angular instantâneo de uma onda senoidal.Como a onda senoidal é periódica, o ângulo de tempo será sempre

um múltiplo inteiro do conjunto de ângulos compreendido no intervalode 0 a 2π rad.

2.5.3. Ângulo de Fase

A fase de uma onda senoidal é uma medida angular que especifica aposição da senóide em relação a uma referência. Duas ondas de mesmafreqüência podem apresentar diferença de fase. Isto significa que osvalores de pico e zeros das ondas não ocorrem ao mesmo tempo.

Na Figura 1.12 as ondas de tensão e de corrente estão deslocadas oudefasadas uma em relação à outra. A onda de tensão está deslocadapara direita de 90º ou π/2 rad. Assim há um defasamento de 90º entrev(t) e i(t). Em termos de tempo, o pico positivo da senóide v(t) ocorredepois do pico positivo da senóide i(t). Neste caso, a onda v(t) é ditaatrasada da onda i(t) de 90º.

Figura 1.12: Ilustração de deslocamento angular: ν(t) deslocada para a direita.

-ϕv


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1-11

Quando uma onda senoidal é deslocada para a direita da referência(atrasada) de certo ângulo ϕ, onde a referência é o eixo vertical, oângulo ϕ é negativo. Por exemplo, a expressão genérica da tensão

representada na Figura 1.12 é:v(t) = Vp.sen(ωt - ϕv) (1.10)

Neste caso ϕv é igual a - 90º.

Quando a onda senoidal é deslocada para a esquerda, o ângulo defase ϕ é positivo. A Figura 1.13 mostra a onda de tensão deslocadapara a esquerda, portanto adiantada, ϕv = +90º.

Figura 1.13: Deslocamento angular de ν(t) para a esquerda.

O ângulo de fase ϕ de uma onda determina o valor da funçãosinusóide em t=0; portanto o ângulo de fase fixa o ponto na ondaperiódica em que o tempo começa a ser medido. A medida do ângulode fase em uma onda senoidal é obtida desde o ponto onde a senóideé zero até o ponto em que o tempo é zero. Na Figura 1.12 ϕi=0

o e ϕv=-

90º; na Figura 1.13, ϕi=0o

e ϕv=+90º.A Figura 1.14 mostra a onda de tensão com ângulo de fase igual a

30º, o que corresponde em t=0 a v=155,56 V.

+ϕv


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1-12

Figura 1.14: Onda de tensão com ângulo de fase igual a 30º.

A diferença de fase entre duas ondas senoidais de mesma freqüência

pode ser encontrada subtraindo-se os ângulos de fase das ondas.Para tanto é necessário que: − Ambas senóides tenham a mesma forma de onda (senoidal ou co-

senoidal).− Ambas senóides tenham a mesma freqüência.− As amplitudes das senóides tenham o mesmo sinal.

As relações de transformação são:A.cos x = A.sen (x + 90º) A.sen x = A.cos (x - 90º)

- A.cos x = A.cos (x ±1800) - A.cos x = A.sen (x - 900)- A.sen x = A.sen (x ±1800) - A.sen x = A.cos (x + 900)

Quando a diferença de fase entre duas ondas senoidais é igual azero, diz-se que as ondas estão em fase.

2.5.4. Valor Eficaz

O valor eficaz de uma corrente senoidal corresponde ao valor decorrente ca capaz de dissipar em um resistor R uma potência médiaequivalente à potência dissipada por uma corrente cc sobre o mesmoresistor. Assim

( )∫ ⋅=T

0

2

ca dttR.iT

1P (1.11)

2

cc RIP = (1.12)


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1-13

em que T representa o período da onda senoidal de corrente, e i ovalor instantâneo da corrente.

Para Pac = Pcc, tem-se que os valores correspondentes entre as

correntes cc e ca, sob esta condição denominada de corrente eficazIEF:

∫=T

0

2

EF dtiT

1I (1.13)

Note que o valor eficaz de uma onda senoidal independe do resistor.

De modo análogo o valor eficaz de tensão é definido.

R VP

2

cc = (1.14)

( )∫=T

0

2

ca dtt.vR

1

T

1P (1.15)

e finalmente

∫=T

0

2

EF dtvT

1V (1.16)

Para uma tensão senoidal definida como:

v(t) = Vp.sen(ωt ± ϕv) (1.17)

O valor eficaz da senóide é dado por:

p

p

EF V707,02

VV == (1.18)

ou

Vp = 1,414VEF (1.19)

Para i = IM.sen(ωt + ϕi) tem-se que:


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1-14

[ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−=

=

=

∫

∫

T

0

i

T

0

2

p

T

0i

2

p

T

0i

2

2

p

EF

)+tT

2(2sen.

4

Tt

2T

dt)+tcos2(-1

2T

)dt+t(senT

I

I

I

I

ϕ π

π

ϕ ω

ϕ ω

Assim

p

p

EF I707,02

II

== (1.20)

ouEF p I414,1I = (1.21)

O valor eficaz ou valor efetivo de uma onda senoidal é tambémdenominado de valor rms, termo derivado do inglês com o significadoda expressão matemática que o define – root mean square.

Note que o valor eficaz de uma onda senoidal independe do tempo,sendo assim um valor constante.

2.5.5. Valor Médio

O valor médio de uma onda é o quociente da área sob a curvacorrespondente a um ciclo completo dividido pelo período.

∫=T

0médio (t)dtv

T

1V (1.22)

O valor médio de uma onda senoidal é sempre nulo porque a área do

semiciclo positivo é igual à área do semiciclo negativo.Para ser útil como medida de tensão, em fontes chaveadas, o valormédio de uma onda senoidal é definido sobre meio ciclo de umasenóide retificada invés de um ciclo completo.


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1-15

Figura 1.15: Onda senoidal retificada.

Para v(t)= Vp.senωt, tem-se:

[ ]

p

p

p

2T

0

p

2T

0

p

médio

V6366,0

V2

1cos2

V2

tT

2cos

2

V2

dttsen2T

VV

⋅=

π=−π

π−=

ππ

−=

⋅ω= ∫

(1.23)

Portanto, o valor médio de uma senóide de meio ciclo:

EFmédio V2637,0V =

donde médioEF V11,1V ⋅= (1.24)

De modo semelhante tem-se que:

pmédio I637,0I = (1.25)

médioEF I11,1I ⋅= (1.26)

2.5.6. Fator de Crista

O valor crista de uma onda tensão ou corrente periódica é definidocomo a relação entre o valor de pico e o valor eficaz:


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1-16

EF

p

V

VFC = (1.27)

O valor de crista é normalmente usado como medida de estresse que

um dielétrico é capaz de suportar. Para ondas senoidais o fator decrista é igual 1,4142. Em circuitos com interruptores eletrônicos, emque a condução de corrente ocorre apenas durante parte do ciclocompleto, o valor de crista não mais obedece à relação √2.

2.5.7 Fator de Forma

É definido como a relação entre o valor eficaz e o valor médio de uma

onda.

med

EF

V

VFF = (1.28)

Para ondas senoidais o fator de forma é igual 1,11.

2.6. Ondas Não Senoidais

As ondas senoidais não são os únicos tipos de onda ca ou variante no

tempo. Outros tipos de formas de onda ca são comuns, como trem depulsos, ondas quadradas, ondas triangulares e dentes de serra.

2.6.1 Trem de Pulsos

Basicamente, um pulso pode ser descrito como uma rápida transiçãono nível de uma onda de tensão ou corrente, seguida, após umintervalo de tempo, de um rápido retorno ao seu nível original. AFigura 1.16 mostra um pulso ideal, o qual consiste de transições ou

mudanças de níveis instantâneas opostas e de mesma amplitude.

Figura 1.16: Pulsos ideais (a) Pulso positivo (b) Pulso negativo.

Na prática, os pulsos não mudam de um nível a outroinstantaneamente. O intervalo de tempo na transição entre o nível

Amplitude

Largura

do Pulso

Base

Subida Descida

Amplitude

Largura

do Pulso

Descida

Base

Subida


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1-17

mais baixo e o mais alto é denominado de tempo de subida. O tempode subida, ts, de um pulso é o tempo necessário para o pulso ir de10% a 90% de sua amplitude.

O intervalo de tempo na transição entre o nível mais alto e o maisbaixo é denominado de tempo de descida. O tempo de descida, td, deum pulso é o tempo necessário para o pulso ir de 90% a 10% de suaamplitude.

Para um pulso não ideal a largura do pulso, tw, requer uma definiçãoprecisa porque a subida e descida não são verticais. A largura de umpulso é o tempo entre o ponto no lado de subida correspondente a50% da amplitude e o ponto no lado de descida cujo valor é 50% daamplitude do pulso.

Figura 1.17: Pulso não ideal

Uma seqüência de pulsos repetidos a intervalos regulares édenominada de trem de pulsos. A taxa em que os pulsos se repetemdefine a freqüência de repetição, que pode ser expressa em hertz ouem pulsos por segundo. O tempo de um pulso ao correspondenteponto no próximo pulso é o período T. A relação entre freqüência eperíodo é a mesma da onda senoidal, f=1/T.

Figura 1.18: Formas de onda de trem de pulsos

Uma importante característica de um trem de pulsos é a razão cíclica

definida como a relação da largura do pulso pelo período e é em geralexpresso em percentual.

ts td

0,1

0,91,0

tw

1,0

0,5

tw

T

tw

T

T

tw


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1-18

%100T

td w ⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ = (1.29)

2.6.2 Onda Quadrada

Uma onda quadrada é um trem de pulsos com razão cíclica de 50%.Portanto, a largura do pulso é igual à metade do período. Uma ondaquadrada é mostrada na Figura 1.19.

Figura 1.19: Onda quadrada.

2.6.3 Valor Médio de um Trem de Pulsos

O valor médio de um trem de pulsos é igual ao valor de base mais arazão cíclica vezes sua amplitude.

Vmed= base+ (razão cíclica).(amplitude) (1.30)

A base de um trem de pulsos é medida pela distância do valor mínimodo trem até a origem.

Figura 1.20: Onda quadrada com valor de base igual a -1.

2.6.4 Ondas Triangular e Dente de SerraAs ondas triangulares e as dentes-de-serra são formadas por rampasde tensão ou de corrente. A rampa é um crescimento ou decréscimolinear na tensão ou corrente. A inclinação de uma rampa de tensão ede corrente é ±V/t ou ±I/t, cujas unidades são V/s e A/s,respectivamente.

½ T ½ T

010 20 30 40 50 60-1

+1

V(V)


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1-19

Figura 1.21: Onda triangular.

A Figura 1.21 mostra uma onda triangular composta de rampaspositivas e negativas de mesma inclinação. O período é medido entrepicos correspondentes. A onda triangular da Figura 1.21 é alternada etem valor médio nulo, no entanto, pode-se ter onda triangular nãoalternada cujo valor médio é diferente de zero. A freqüência dasondas triangulares é determinada da mesma maneira que para asondas senoidais.

A onda dente de serra é um caso particular da onda triangularconsistindo de duas rampas, uma de maior duração que a outra.Ondas dente de serra são usadas em muitos sistemas eletrônicos.Por exemplo, o feixe de elétrons que varre o monitor de TV, criando aimagem, é controlado por tensões e correntes dentes de serra.

A Figura 1.22 é um exemplo de onda dente de serra. Note queconsiste de uma rampa positiva de maior duração, seguida por uma

rampa negativa de menor duração.

Figura 1.22: Onda alternada dente de serra.

2.6.5 Harmônicos

Harmônico é uma sinusóide, a qual tem uma freqüência que é ummúltiplo inteiro de uma determinada freqüência.

Uma onda não senoidal periódica é composta de uma série infinita deondas senoidais ou co-senoidais. A onda periódica não senoidalpossui uma componente denominada de fundamental que, em geral,determina a freqüência de repetição da onda não senoidal, e um

conjunto de ondas, denominadas de harmônicos ou harmônicas.

T

T

T


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1-20

A componente fundamental é a onda de menor freqüência inteira doconjunto de ondas senoidais. Cada múltiplo inteiro da fundamental échamado de ordem do harmônico. A fundamental é tambémconhecida como a componente da onda de primeira ordem.

Os harmônicos são divididos em pares e ímpares. Os harmônicospares são ondas cujas freqüências são múltiplos inteiros pares dafundamental. De modo semelhante, os harmônicos ímpares sãomúltiplos inteiros ímpares da fundamental.

Qualquer variação em uma onda senoidal pura gera componentesharmônicos. Alguns tipos de formas de onda têm apenas harmônicasímpares, outros somente harmônicos pares, e outras contêm ambas.A forma da onda é determinada por seu conteúdo harmônico.

Uma onda quadrada é um exemplo de uma forma de onda queconsiste de componente fundamental e de harmônicos ímpares. AFigura 1.23 mostra a soma das componentes fundamental, terceira,quinta e sétima harmônicas de corrente com a forma de ondaaproximando-se de uma onda quadrada.

Figura 1.23: Harmônicos ímpares geram onda quadrada.

Para a identificação das componentes harmônicas presentes em umaonda não sinusoidal é empregada uma ferramenta matemática,desenvolvida em 1822, pelo matemático francês Jean Baptiste JosephFourier (1768-1830), denominada de Série de Fourier.

A freqüência, a amplitude e a fase de cada sinusóide sãodeterminadas por meio da análise de Fourier aplicada à onda


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1-21

periódica não senoidal. A análise de Fourier é o processo deconversão de formas de onda no domínio do tempo em suascomponentes de freqüências.

2.6.5.1. Série de FourierSegundo Fourier, a função f(t) pode ser representadamatematicamente pela expressão:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

01 11

01 11 1

cos2

cos

2

h hh

h hh h

a f t a h t b sen h t

aa h t b sen h t

ω ω

ω ω

∞

=

∞ ∞

= =

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

= + +

∑

∑ ∑ (1.31)

em que

a0/2 valor médio de f(t), denominado de componente cc do sinalah, bh amplitudes das componentes da série infinitaω1 freqüência angular fundamental de f(t)h ordem do harmônicoϕh ângulo de fase da componente de ordem h

Os coeficientes a0, ah e bh são calculados pelas expressões:

( )∫=T

00 dttf

T

2a (1.32)

( ) ( )∫=T

01h dtthcostf

T

2a ω (1.33)

( ) ( )∫ ω=T

01h dtthsentf

T2 b (1.34)

O cálculo dos coeficientes a0, ah e bh são obtidos a partir damultiplicação da Equação 1.31 pelo termo apropriado.

( ) ( )0 1 110 0 0

0 0

0

cos2

2 2

T T T

h hh

T

a f t dt dt a t b sen t dt

a a T t

ω ω ∞

== + +

⋅= ⋅ =

∑∫ ∫ ∫ (1.35)


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1-22

Donde

( )∫=T

00 dttf

T

2a

Para o coeficiente ah:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )dttncosthsen b

dttncosthcosadttncos2

adttncostf

11h

T

01h

11h

T

01h1

T

0

0T

01

ω ω

ω ω ω ω

∑ ∫

∑ ∫∫∫∞

=

∞

= ++=

(1.36)

Donde resulta em: ( ) ( )∫=T

01h

dtthcostf T

2a ω

Para o coeficiente bh:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )dttnsenthsen b

dttnsenthcosadttnsen2

adttnsentf

11h

T

01h

11h

T

01h1

T

0

0T

01

ω ω

ω ω ω ω

∑ ∫

∑ ∫∫∫∞

=

∞

= ++=

(1.37)

Donde resulta: ( ) ( )∫ ω=T

01h

dtthsentf T

2 b

Alguma simplificação no cálculo dos coeficientes a0, ah e bh pode serobtida quando a função f(t) sob análise apresentar algum tipo desimetria.

a) Simetria Ímpar: f(t) = -f(-t)

− Todos os coeficientes em co-seno são nulos, ah = 0.

Figura 1.24: Função com Simetria Ímpar.

tTT/20

f(t)


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1-23

− Os coeficientes Bh são obtidos pela expressão:

( )2

0

4 2 b sen

T

h

ht f t dt

T T

π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫

h=1, 2, 3, ....

Simetria Par: f(t) = f(-t)− Todos os coeficientes em seno são nulos, bh = 0.

Figura 1.25: Função com Simetria Par

− Os coeficientes ah são obtidos pela expressão:

( )2

0

4 2a cos

T

h

ht f t dt

T T

π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫

h = 1, 2, 3, ....

Note que:

1. Se a onda é simétrica em relação ao eixo horizontal, o coeficientea0 é nulo, o que indica que o valor médio da onda é zero.

2. Em sendo a onda de simetria ímpar, somente os coeficientes dafunção seno podem ser não nulos, pois a função seno é umafunção ímpar (sen(θ)=-sen(-θ)).

3. Em sendo a onda de simetria par, somente os coeficientes dafunção co-seno podem ser não nulos, pois a função co-seno é umafunção par (cos(θ)=cos(-θ)).

Existem ainda outros tipos de simetria que podem ser verificados naliteratura, os quais não serão aqui abordados.

A Equação 1.31 pode ser re-escrita como:

( ) ( )

( )o90thcoscc

thsenc2

atf

h11h h0

h11h h

0

−++=

++=

∑

∑∞

=

∞

=

ϕ ω

ϕ ω (1.38)

tTT/20

f(t)


24/33


1-24

A relação entre as Equações 1.31 e 1.38 é mostrada gráfica ematematicamente. Na Equação 1.31 um harmônico de ordem hpossui componentes ortogonais:

ahcos(hω t) + bhsen(hω t) = ahcos(hω t) + bhcos(hω t – 90o) (1.39)

Os coeficientes ah e bh das co-senóides representam os catetos deum triângulo retangular. Assim:

2a

c 00 =

2h

2hh bac +=

1 1h hh

h h

b btg tg

a aϕ − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Semelhantemente, a Equação 1.38 pode ser definida como umasenóide:

ahcos(hω t) + bhsen(hω t) = ahsen(hω t+90º) + bhsen(hω t) (1.40)

2a

c 00 =

2

h

2

hh bac +=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ = −

h

h1

h

b

atgϕ

Para uma série de Fourier construída na forma apresentada pelasEquações 1.36 e 1.37, o par formado por ch e ϕh contém toda ainformação capaz de descrever a onda.

f(t) = c0 + c1cos(ω1t + ϕ1) + ... + chcos(hω1t + ϕh) + ... (1.41)ou

f(t) = c0 + c1sen(ω1t + ϕ1) + ... + chsen(hω1t + ϕh) + ... (1.42)

ϕh ah

bh ch

Figura 1.26: Diagrama das Componentesda Série de Fourier

ϕh

ah

bh

ch

Figura 1.27: Diagrama das Componentes

da Série de Fourier.


25/33


1-25

Uma lista de freqüências ou ordem das harmônicas, amplitudes, eângulos de fase é denominada de espectro harmônico da onda. Estainformação é necessária na especificação do projeto de filtrosharmônicos.

A Figura 1.28 mostra o espectro de freqüência da onda quadrada daFigura 1.24, onde são apresentadas as componentes de freqüênciado sinal e suas amplitudes.

Figura 1.28: Espectro de freqüências.

Exercício 1.1Determinar os coeficientes a0, ah e bh da série de Fourier para a

função abaixo:

Figura 1.29: Onda de corrente retangular..

Definição da função:

f(t) = I, para 0≤ t


26/33


1-26

Componente a0:

Componente ah:

Componente bh:

O que resulta em termos de componentes de freqüência:

( )2

00 2

1

02 2

T T

T a Idt Idt

T

I T T

T T

= −

⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

( ) ( )10

2

0 2

2

0 2

2cos

2 2 2cos cos

2 2 2sen sen

2

T

h

T T

T

T T

T

a f t h t dt T

I h t dt h t dt

T T T

I T h t h t

T h T T

ω

π π

π π

π

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

∫ ∫

( )2sen 0 h I

hh

π π

⎡ ⎤= = ∀⎣ ⎦

{ }

2

0 2

2 2cos cos

4 h 1,3,5,

T T

h

T

I b h t h t

h T T

I

h

π π

π

π

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= = L

( ) ( ) ( ) ( )1 1 14 4 4

3 53 5

I I I f t sen t sen t senω ω ω

π π π = + + + L

( ) ( )10

2

0 2

2sen

2 2 2sen sen

T

h

T T

T

b f t h t dt T

I h t dt h t dt

T T T

ω

π π

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

∫ ∫


27/33


1-27

Exercício 1.2:

Seja a onda mostrada na Figura 1.29. Para Vmax=60π determinar:

a) O valor médio da tensão periódica.

b) Se T = 628,32ms, qual é a freqüência angular da fundamental emrad/s?

c) Qual é a freqüência do 5º harmônico em Hz?

d) Escreva a série de Fourier até o 5º harmônico.

Figura 1.30: Onda de tensão não senoidal.

Definição da função:

f(t) = Vmax, para 0≤ t


28/33


1-28

max max0

maxmax

4

2 2

1 51

2 4 8

T V V

aT

V V

= + ⋅

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Freqüência angular da fundamental em rad/s:

c) Freqüência do 5º harmônico:

d) Série de Fourier até o 5º harmônico. Observando a onda daFig.1.29 nota-se que a onda nem é par, nem é ímpar.

Portanto,

1

2 210

0,628rad s

T

π π ω = = =

5 15 50 rad sω ω = =

55

7,962

f Hzω

π = =

4max

0 4

4

max

0 4

max

2 2 1 2cos cos2

2 1 2sen sen

2

sen2 2

T T

hT

T T

T

V a h t dt h t dt T T T

V h t h t

h T T

V h

h

π π

π π

π

π

π

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

{ }0 h 2,4,6,8,ha = = L

{ }max 1,5,9,2hV

a hhπ

= = L

{ }max 3,7,11,2hV

a hhπ

= − = L


29/33


1-29

Componente bh:

Tabela 1.1 Coeficientes de Fourierh ah bh 1 Vmax/2π Vmax/2π 2 0 Vmax/2π 3 - Vmax/6π Vmax/6π 4 0 05 Vmax/10π Vmax/10π

A função no domínio da freqüência:

( )

4max

0 4

4

max

0 4

max

max

2 2 1 2

sen sen2

2 1 2cos cos

2

1 1cos 1 cosh 2 cosh

2 2 2 2

1 1cos cos 2 1

2 2 2

T T

h T

T T

T

V

b h t dt h t dt T T T

V h t h t

h T T

V h

h

V h h

h

π π

π π

π

π π π

π

π π

π

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

− ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

− ⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

( )max1 1

cos cos 2 12 2 2

h

V b h h

h

π π

π

− ⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

{ }

{ }

{ }

max

max

, h 1,3,5,7,9,2

0, h 4,8,12,

, h 2,6,10,

h

V b

h

V

h

π

π

= =

= =

= =

L

L

L

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

max maxmax 1 1 1

max max1 1 1 1

max max1 1 1

5cos sen sen 2

8 2 1 2

cos 3 sen 3 cos 5 sen 52 3 2 5

2sen 6 cos 7 sen 72 6 2 7

V V f t V t t t

V V t t t t

V V t t t

ω ω ω π π

ω ω ω ω π π

ω ω ω π π

= + + + +×

− + + + +× ×

+ − + +× ×

L


30/33


1-30

Exercício 1.3Representar a onda de tensão não senoidal do exercício 1.2 na formacompacta da série de Fourier como função co-senoidal.

Como f(t) é dada por:

E a representação compacta co-senoidal é definida como:

2a

c 00 =

2

h

2

hh bac +=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −= −

h

h1

ha

btgϕ

Tem-se que:

0 max

5

8c V =

2

max1 max

22

2 2

V c V

π π

⎛ ⎞= =

⎜ ⎟⎝ ⎠,

145ϕ = − o

max2

2

V c

π = , 2 90ϕ = −

o

3 max

2

6c V

π = , 3 45ϕ = −

o , pois –cos(3ω1t)=sen(3ω1t - 90º)

5 max

2

10c V π = , 5 45ϕ = − o

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

max maxmax 1 1 1

max max1 1 1 1

max max1 1 1

5cos sen 2sen 2

8 2 1 2 2

cos 3 sen 3 cos 5 sen 52 3 2 5

2sen 6 cos 7 sen 72 6 2 7

V V f t V t t t

V V t t t t

V V t t t

ω ω ω π π

ω ω ω ω π π

ω ω ω π π

= + + + +× ×

− + + + +× ×

+ − + +× ×

L

ϕh ah

bh ch

Figura 1.31: Diagrama das Componentes

da Série de Fourier.


31/33


1-31

( ) ( ) ( )max 1 15 2 1

45 2 908 2 1 2

v t V sen t sensen t ω ω π π

⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠

o o

2.6.5.2 Valor Eficaz Verdadeiro

O valor eficaz de uma onda periódica qualquer é definido como:

( )[ ]∫=T

0

2RMS dttf

T

1F (1.43)

Ondas de tensão e de corrente não senoidais, periódicas, podem serrepresentadas por uma função f(t) em uma série de Fourier com

componente cc, fundamental e os componentes harmônicos.

( ) ( ) ( )0 1 11 1cos2 h hh ha

f t a h t b sen h t ω ω ∞ ∞

= == + +∑ ∑ (1.44)

ou

( ) ( )0 11

cosh hh

f t c c h t ω φ ∞

=

= + +∑ (1.45)

Substituindo f(t) em Frms ou valor eficaz FEF, obtém-se:

22 20

1 1

1

2 2 RMS h h

h h

aF a b

∞ ∞

= =

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ (1.46)

2 2

0

1

1

2 RMS h

h

F c c∞

=

= + ⋅∑ (1.47)

Considerando que ah, bh e ch são valores de pico de sinusóides(h=1,2,3,...) e que o valor de pico de uma sinusóide é igual a 1,4142vezes seu valor eficaz, tem-se que:

22 20

, ,

1 14 RMS EF h EF h

h h

aF a b

∞ ∞

= =

= + +∑ ∑ (1.48)

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 220 1 2 3 RMS EF EF EF EF nF c c c c c= + + + + +L (1.49)


32/33


1-32

Assim, valor rms verdadeiro para uma tensão e corrente, periódicas,não senoidais é definido como:

2 2

,

1

rms cc rms h

h

V V V ∞

=

= + ∑ (1.50)

2 2

,

1

rms cc rms h

h

I I I ∞

=

= + ∑ (1.51)

Exercício 1.4

Calcular o valor eficaz verdadeiro de uma onda retangular que oscilaentre +A e –A, com ciclo de trabalho de 50%.

A função f(t) é assim descrita:

10,5

2

t D t T

T

ω ω = = ∴ =

f(t) =

O valor rms verdadeiro é simplesmente A.

( ) ( )( )2 2 22

0 2

22

1

2 2

T T

T rms A dt A dt T

A T T T A

T

= + −⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

Se a onda quadrada apresenta uma componente cc de nível Badicionado ao eixo positivo, calcule o valor eficaz da onda.

A onda oscila entre B+A e B-A, e o valor rms é dado por:

rms2 = B2 + A2.

-A T/2 ≤ t


33/33

1-33

Referências

[1] Floyd, T.L. Principles of Electric Circuits, 6th Ed. Prentice Hall,2000. ISBN 0-13-095997-9.927p.

[2] Nilsson, James W., Reidel, Susan A., Circuitos Elétricos, LTC, 6a Edição, 2003.

[3] Kerchner, R.M., Corcoran,G.F., Circuitos de Corrente Alternada,Porto Alegre, Globo, 1973.

capítulo 1 - tensão e corrente alternadas

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