COTUCA - Colégio Técnico de Campinas - UNICAMP ELETRICIDADE BÁSICA

NOTAS DE AULA 01 – CORRENTE E TENSÃO – www.corradi.junior.nom.br [Prof. Corradi] 1

ELETRICIDADE BÁSICA Prof. Corradi

CORRENTE E TENSÃO

OS ÁTOMOS E SUA ESTRUTURA O átomo mais simples é o de hidrogênio, constituído por duas partículas

fundamentais, o próton e o elétron, nas posições relativas mostradas na Figura 1(a). O núcleo do átomo de hidrogênio é o próton, uma partícula de carga positiva. O elétron em órbita tem carga elétrica negativa, igual em módulo à carga positiva do próton. No caso dos átomos de todos os outros elementos, o núcleo contém também nêutrons, que têm massa ligeiramente maior que a dos prótons e não possuem carga elétrica. O átomo de hélio, por exemplo, tem dois nêutrons, além de dois elétrons e dois prótons, Figura 1(b). Em todos os átomos neutros, o número de elétrons é igual ao número de prótons.

Figura 1 – Estrutura atômica de quatro elementos comuns.

A massa do elétron é 9,11 × 10-28 gramas. A massa do próton e do nêutron são aproximadamente iguais e valem 1,672 × 10-24 gramas. Os raios das partículas próton, nêutron e elétron são todos da ordem de 2 × 10-15 metros. O número de prótons dentro do núcleo determina o número atômico de qualquer átomo. Os elétrons situados na camada mais externa são chamados de elétrons de valência.

No átomo de hidrogênio, o raio da menor órbita percorrida por um elétron é

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cerca de 5 × 10-11 metros. Isto equivale, aproximadamente, a uma moeda de um centavo em trajetória circular em torno de outra, sendo o raio da órbita algo em torno de 400 m.

Os átomos dos outros elementos possuem vários elétrons distribuídos em camadas concêntricas em torno do núcleo. Como exemplo na Figura 1(c) tem-se o átomo de silício e na Figura 1 (d) o átomo de cobre. A primeira camada, que é a mais próxima do núcleo, pode conter apenas dois elétrons. Se um átomo tiver três elétrons, o terceiro terá que ocupar a segunda camada. Esta pode conter um máximo de 8 elétrons; a terceira, 18; a quarta, 32, conforme determinado pela equação 2n2, em que n é o número da camada. Estas camadas são designadas por um número (n =1, 2 3...) ou por uma letra (n = k, l, m...). Cada camada é então dividida em subcamadas, exceto a primeira. A primeira subcamada pode conter um máximo de dois elétrons; a segunda, seis; a terceira 10 e a quarta, 14 elétrons, como na Figura 2. As subcamadas são habitualmente designadas pelas letras s, p, d e f, nessa ordem, à medida que se afastam do núcleo.

Figura 2 – Representação das camadas e subcamadas (níveis e subníveis) da estrutura atômica.

Foi determinado experimentalmente que cargas de sinais contrários se atraem e que cargas de mesmo sinal se repelem. A força de atração ou repulsão entre dois corpos carregados com cargas Q1e Q2 pode ser determinada pela lei de Coulomb.

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rQQk)repulsãoouatração(Força

Onde F é dado em newtons, k é constante e vale 9,0 × 109 N.m2/C2, Q1 e Q2 são os valores das cargas em coulombs e r é a distância, em metros, entre as duas cargas.

No interior do átomo há uma repulsão entre elétrons e uma atração de prótons. Visto que o núcleo só contém cargas positivas, existe uma forte força de atração que atua nos elétrons das órbitas mais próximas do núcleo. À medida que cresce a distância entre o núcleo e os elétrons em órbita, a força de ligação diminui, atingindo seu valor mais baixo para a subcamada mais externa. Por causa desta força de ligação mais fraca, menos energia é necessária para remover um elétron de uma subcamada mais externa do que a remoção de um elétron de uma subcamada mais interna. Também em geral os elétrons são mais facilmente removíveis em átomos cujas camadas mais externas estejam incompletas e, além disso, possuam, nessas camadas, poucos elétrons. Estas propriedades dos átomos que permitem a remoção dos elétrons sob certas condições são essenciais para estabelecer um movimento de cargas.

O cobre é o metal mais utilizado no transporte de eletricidade. Ele possui um elétron a mais além do necessário para completar as três primeiras camadas, Figura 1(d). Essa camada exterior incompleta possui apenas um elétron, e sua distância até o

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núcleo sugere que ele está fracamente ligado ao restante do átomo de cobre. Se esse elétron (elétron de valência) receber energia suficiente do meio externo para se libertar do átomo, passará a ser chamado de elétron livre. Em um centímetro cúbico de cobre, à temperatura ambiente, há aproximadamente 1,4 × 1024 elétrons livres. Outros materiais que apresentam as mesmas propriedades do cobre, embora com diferenças quantitativas, são a prata, o ouro, o alumínio e o tungstênio.

CAMPO ELETROSTÁTICO A característica fundamental de uma carga elétrica é a sua capacidade de exercer

uma força. Esta força está presente no campo eletrostático que envolve cada corpo carregado. Quando dois corpos de polaridade oposta são colocados próximos um do outro, o campo eletrostático se concentra na região compreendida entre eles, Figura 3(a). O campo elétrico é representado por linhas de força desenhadas entre os dois corpos. Se um elétron for abandonado no ponto A nesse campo, ele será repelido pela carga negativa e atraído pela positiva. Assim, as duas cargas tenderão a deslocar o elétron na direção das linhas de força. O campo elétrico que surge quando duas cargas idênticas são colocadas próximas uma da outra, indica que elas se repelem mutuamente, como mostra a Figura 3(b).

(a) (b)

Figura 3 – O campo eletrostático entre cargas de polaridade (a) opostas e (b) iguais. Um corpo carregado se manterá carregado temporariamente, se não houver

transferência imediata de elétrons para outro corpo. Neste caso, diz-se que a carga está em repouso. A eletricidade em repouso é chamada de eletricidade estática.

CORRENTE Considere um fio de cobre de

pequeno comprimento cortado por um plano imaginário perpendicular ao seu eixo, resultando na seção circular mostrada na Figura 4. À temperatura ambiente e sem aplicação de forças externas, existe no interior do fio um movimento aleatório de elétrons livres criados pela energia térmica que os elétrons recebem do meio externo.

Figura 4 – Movimento aleatório de elétrons em um fio

de cobre quando não existe tensão aplicada. Quando os átomos perdem elétrons, que passam a ser elétrons livres, eles

adquirem uma carga positiva e são denominados de íons positivos. Os elétrons livres são os portadores de carga em um fio de cobre ou

em qualquer outro condutor (em estado sólido) de eletricidade.

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Figura 5 – Movimento aleatório de elétrons

livres em uma estrutura atômica

No arranjo da Figura 5, os elétrons livres estão continuamente ganhando ou perdendo energia em função de suas mudanças de direção e velocidade. Alguns dos fatores responsáveis por esse movimento aleatório são: (1) as colisões com íons positivos e outros elétrons, (2) as forças de atração dos íons positivos, e (3) a força de repulsão existente entre elétrons. Após um certo tempo, o número de elétrons que movem para a direita da seção circular da Figura 4 é exatamente igual ao número de elétrons que se movem para a esquerda.

Na ausência de forças externas aplicadas, o fluxo de carga líquida em um condutor é nulo em qualquer direção.

Na Figura 6, a bateria à custa da energia química, acumula cargas positivas em um terminal e cargas negativas no outro. No momento em que a última conexão é realizada, os elétrons livres serão atraídos pelo terminal positivo, enquanto os íons positivos resultantes no fio de cobre podem no máximo oscilar em torno dessas posições. O terminal negativo da bateria funciona como uma fonte de elétrons que são atraídos à medida que os elétrons livres do fio de cobre se deslocam no sentido do terminal positivo.

Figura 6 – Circuito elétrico básico.

A atividade química da bateria produzirá uma absorção de elétrons no terminal positivo e manterá um fornecimento regular de elétrons no terminal negativo. O fluxo de carga através da lâmpada provocará o aquecimento do filamento até que ele fique incandescente e emita luz.

Se 6,242 × 1018 elétrons atravessam em um segundo, com velocidade uniforme a seção reta circular imaginária do condutor visto na Figura 6, se diz que o fluxo de carga corresponde a 1 ampère (A), em homenagem ao físico francês André Marie Ampère (1775-1836).

Para estabelecer valores numéricos que permitam fazer comparações, a unidade de carga, um coulomb (C), foi definida como a carga associada a 6,242 × 1018 elétrons. A carga associada a um elétron pode então ser determinada a partir de:

C106,110242,6

C1QronCarga/elét 1918e

A corrente em ampères pode ser calculada usando a seguinte equação:

tQI

I = ampères (A); Q = coulombs (C) e t = segundos (s). A letra maiúscula I vem da palavra francesa para corrente: intensité.

Na Figura 6, foram indicados dois sentidos para o escoamento de carga. Um

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deles é denominado sentido convencional e o outro, sentido eletrônico (ou real). O sentido convencional é o mais utilizado na representação simbólica de todos os componentes eletrônicos. A controvérsia no sentido da corrente vem da época em que a eletricidade foi descoberta, pois se considerou que as partículas móveis nos condutores metálicos tivessem carga positiva.

EXEMPLO NUMÉRICO 1. A carga que atravessa, a cada 64 ms, a superfície imaginária vista na Figura 6 é 0,16

C. Determine a corrente em ampères. Solução:

A5,2Is1064

C16,0tQI 3

2. Qual o tempo necessário para que 4 × 1016 elétrons atravessem a superfície imaginária da Figura 6, se a corrente for de 5 mA?

Solução:

C00641,0Qelétrons10242,6

C1elétrons104Q total1816

total

s282,1tA105C00641,0

IQt 3

CONSIDERAÇÕES DE SEGURANÇA A passagem de correntes relativamente pequenas através do corpo humano pode

ser muito perigosa, causando sérios danos ao organismo. Resultados experimentais revelam que o corpo humano começa a reagir a correntes de apenas uns poucos miliampères. Qualquer corrente acima de 10 mA deve ser considerada perigosa. Correntes de 50 mA provocam um grave choque elétrico e de 100 mA podem ser fatais.

Na maioria dos casos a resistência da pele do corpo, quando está seca, é alta o bastante para limitar a corrente através do corpo em níveis relativamente seguros para os graus de tensão normalmente encontrados nas residências. No entanto, a resistência da pele pode diminuir drasticamente por causa da transpiração, do banho ou se tiver sido ferida, podendo os níveis de corrente atingir níveis perigosos para um mesmo nível de tensão. Trate a eletricidade com respeito – não com medo.

TENSÃO Energia, por definição, é a capacidade de realizar trabalho. Se um corpo de massa

m for elevado a uma determinada altura (h) acima de um plano de referência, ele possui uma energia potencial expressa em joules (J) que é determinada por:

W (energia potencial) = m∙g∙h Onde g é a aceleração da gravidade (9,754 m/s2). Esse corpo tem agora um

potencial para realizar trabalho, como, por exemplo, quebrar um objeto colocado sobre o plano de referência. Se a altura do corpo aumentar, sua energia potencial também aumentará, e ele poderá realizar uma quantidade maior de trabalho. Isto indica que há uma diferença de potencial gravitacional entre as duas alturas, em relação ao mesmo plano de referência.

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Em virtude da força do seu campo eletrostático, uma carga elétrica é capaz de realizar trabalho ao deslocar uma outra carga por atração ou repulsão. A capacidade de uma carga realizar trabalho é chamada de potencial. Quando uma carga for diferente da outra, haverá uma diferença de potencial entre elas. A soma das diferenças de potencial de todas as cargas do campo eletrostático é conhecida como força eletromotriz (fem)

Na bateria da Figura 6, as reações químicas internas estabelecem o acúmulo de cargas negativas (elétrons) em um dos terminais (negativo), enquanto cargas positivas (íons positivos) se acumulam no outro terminal (positivo). Esse posicionamento das cargas resulta em uma diferença de potencial entre os terminais. Se forem conectados os dois terminais através de um condutor, os elétrons acumulados no terminal negativo terão energia suficiente para alcançar o terminal positivo, para o qual são atraídos superando as colisões com os íons da rede e a repulsão de outros elétrons do metal. Por definição diz-se que:

Existe uma diferença de potencial de 1 volt (V) entre dois pontos se acontece uma troca de energia de 1 joule (J) quando

deslocamos uma carga de 1 coulomb (C) entre esses dois pontos. A unidade de medida volt foi escolhida, durante o Congresso Internacional de

Eletricidade realizado em Paris em 1881, em homenagem ao físico italiano Alessandro Volta (1745-1827).

De forma descritiva, se é necessário gastar uma quantidade de energia igual a 1 joule para deslocar a carga de 1 coulomb, na Figura 7, da posição x para a posição y, a diferença de potencial ou tensão entre os dois pontos é 1 volt. Se a energia necessá-ria para deslocar a carga de 1 C aumentar para 12 J, por causa de uma força adicional oposta ao deslocamento, então a diferença de potencial aumentará para 12 V.

Figura 7 – Definição da unidade de medida de tensão

elétrica.

Portanto, a tensão é um indicador da quantidade de energia envolvida na movimentação de uma carga entre dois pontos de um sistema elétrico. Ao contrário, quanto mais alta for a tensão fornecida por uma fonte de energia, maior será a quantidade de energia disponível para mover cargas nos sistema.

FONTES DE CORRENTE CONTÍNUA A corrente contínua que é abreviada por CC (em inglês DC – direct current),

engloba os diversos sistemas elétricos nos quais há um fluxo de cargas unidirecional.

Fontes de tensão CC O símbolo usado para todas as fontes CC é mostrado na Figura 8. O

comprimento relativo das barras indica o terminal que elas representam. As fontes CC podem ser divididas em três categorias: (1) baterias (usam reações químicas); (2) geradores eletromecânicos; e (3) fontes de alimentação (usam processo de retificação).

As baterias têm uma especificação de capacidade dada em ampères-hora (Ah). Por exemplo, uma bateria com especificação de 100 Ah é capaz, ao menos teoricamente, de manter uma corrente de 1 A durante 100 horas, 2 A durante 50 horas e

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assim por diante. Entretanto existem dois fatores que afetam a especificação ampère-hora: a temperatura e a velocidade com que a bateria é descarregada.

Gerador CC Este equipamento é bastante diferente de uma bateria, tanto construtivamente,

como no modo de operação. Quando o gerador gira na sua rotação nominal, em função de um torque aplicado por alguma fonte externa de energia mecânica, o valor nominal de tensão aparece em seus terminais. A tensão e a capacidade de potência de um gerador CC são normalmente bem maiores que a da maioria das baterias, e sua vida útil é determinada apenas por sua construção.

Fontes de alimentação A fonte de corrente contínua mais comum nos laboratórios usa os processos de

retificação e filtragem, procurando obter uma tensão CC estável. Em resumo, uma tensão que varia no tempo (tal como uma tensão CA de uma tomada residencial) é convertida para uma tensão de magnitude fixa.

Muitas fontes CC possuem três terminais de saída, fornecendo uma tensão ajustável e regulada, como se vê na Figura 8.

Figura 8 – Formas de alimentação CC.

O símbolo para GND ou potencial zero (a referência) também é mostrado na Figura 8(a). Desejando-se uma tensão de saída de 10 V acima da referência (GND), as ligações devem ser feitas conforme mostrado na Figura 8(b). Se for desejada uma tensão de 15 V abaixo do potencial GND, então as ligações devem ser feitas conforme a Figura 8(c). Se for ligado como a Figura 8(d), se diz que há uma tensão “flutuante” de 5 V, pois as ligações não incluem o nível de referência.

CONDUTORES E ISOLANTES Condutores são os materiais que permitem a passagem de um fluxo intenso de

elétrons com a aplicação de uma força (tensão) relativamente pequena. Além disso, os átomos dos materiais que são bons condutores possuem apenas um elétron na camada de valência.

Como o cobre é o condutor usado com mais freqüência, ele foi escolhido para o cálculo das condutividades relativas que aparecem na Tabela 1.

Os isolantes são materiais que possuem pouquíssimos elétrons livres, sendo necessária a aplicação de um potencial (uma tensão) muito elevado para estabelecer

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uma corrente mensurável. Tabela 1 – Condutividade relativa de vários materiais.

Metal Condutividade relativa (%) Prata 105 Cobre 100 Ouro 70,5 Alumínio 61 Tungstênio 31,2 Níquel 22,1 Ferro 14 Constantan 3,52

Um dos usos mais comuns do material isolante é o encapamento dos fios condutores. É importante lembrar que mesmo o melhor dos isolantes pode sofrer certa ruptura caso seja submetido a uma diferença de potencial suficientemente elevada.

O valor do campo elétrico correspondente é denominado rigidez dielétrica do material; alguns de seus valores são dados na Tabela 2.

Tabela 2 – Rigidez dielétrica de alguns materiais.

Material Rigidez dielétrica média (kV/cm) Ar 30 Porcelana 70 Óleos 140 Baquelite 150 Borracha 270 Papel (parafinado) 500 Teflon 600 Vidro 900 Mica 2000

SEMICONDUTORES Os semicondutores constituem determinado grupo de elementos químicos cujas

características elétricas são intermediárias entre as dos condutores e as dos isolantes. Possuem quatro elétrons em sua camada mais externa (camada de valência). Toda a indústria eletrônica depende dessa classe de materiais, visto que os dispositivos eletrônicos e os circuitos integrados (CIs) são construídos usando materiais semicondutores. Embora o silício (Si) seja o material mais usado, o germânio (Ge) e o arseneto de gálio (GaAs) são também utilizados em muitos dispositivos.

Os semicondutores são também caracterizados por serem fotocondutores e por terem um coeficiente negativo de variação da resistividade com a temperatura. Fotocondutividade é um fenômeno no qual os fótons (pequenos pacotes de energia) de um feixe de luz incidente causam aumento de densidade de portadores de corrente desse material e, como conseqüência, ocorre um aumento do fluxo de cargas. Um coeficiente de temperatura negativo significa que a resistência diminui quando a temperatura aumenta.

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AMPERÍMETROS E VOLTÍMETROS Os amperímetros são utilizados para medir a intensidade de corrente, e os

voltímetros a diferença de potencial entre dois pontos. A diferença de potencial entre dois pontos de um circuito é medida ligando-se as

pontas de prova do voltímetro aos dois pontos em paralelo, como indicado na Figura 9(a). Para se obter uma leitura positiva, deve-se ligar a ponta de prova positiva ao ponto de maior potencial do circuito e a ponta negativa no ponto de menor potencial.

(a) (b)

Figura 9 – Ligação de (a) um voltímetro e (b) um amperímetro para obter uma leitura positiva. Os amperímetros devem ser ligados conforme ilustrado na Figura 9(b). Visto que

os amperímetros medem a taxa de fluxo de cargas, ou seja, a corrente, o medidor tem de ser colocado no circuito de modo que a corrente passe pelo medidor. É necessário abrir circuito no qual se quer medir a corrente e inserir o amperímetro nos pontos resultantes, ou seja, deve ser ligado em série com o circuito.

A introdução de qualquer medidor em um sistema levanta uma dúvida em relação à sua influência no comportamento do sistema, sem dúvida eles afetarão o circuito, entretanto o projeto de cada um é feito de modo que esses efeitos sejam minimizados.

BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004. Gussow, M. – ELETRICIDADE BÁSICA – 2ªEdição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 1997.

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ELETRICIDADE BÁSICA

RESISTÊNCIA

INTRODUÇÃO O fluxo de carga através de qualquer material encontra a oposição de uma força

semelhante, em muitos aspectos, ao atrito mecânico. Essa oposição, resultante das colisões entre elétrons e entre elétrons e átomos do material, que converte energia elétrica em energia térmica, é denominada resistência do material. A unidade de medida da resistência é o ohm, cujo símbolo é a letra grega maiúscula ômega (Ω). O símbolo usado em diagramas de circuitos para representar a resistência aparece na Figura 1, juntamente com a abreviatura para esta mesma grandeza (R).

R

Figura 1 – Símbolo da resistência e sua abreviação.

A resistência de qualquer material de seção reta uniforme é determinada pelos quatro seguintes fatores:

(1) material; (2) comprimento; (3) área da seção reta; (4) Temperatura.

Os condutores que permitem um grande fluxo de carga com uma pequena tensão externa têm valores de resistências baixos, enquanto os isolantes têm valores elevados de resistência. Também, quanto maior o caminho que a carga tem de percorrer, maior o valor da resistência, ao passo que quanto maior a área, menor a resistência.

À medida que aumenta a temperatura da maioria dos condutores, aumenta o movimento das partículas de sua estrutura molecular, fazendo com que aumente a dificuldade de deslocamento dos portadores livres, o que aumenta o valor da resistência. A uma temperatura fixa de 20º C (temperatura ambiente), a resistência está relacionada a outros três fatores por:

AR

, onde ρ é uma característica do material denominada resistividade, ℓ é o comprimento da amostra e A é a área da seção reta da amostra.

A constante ρ (resistividade) é diferente para cada material. Seu valor é dado em ohms-metros no sistema SI. A Tabela 1 mostra alguns valores típicos de ρ.

Tabela 1 – Resistividade de vários materiais.

Material ρ @ 20º C (ohms-metros) Prata 1,58 × 10-8

Cobre 1,67 × 10-8 Alumínio 2,65 × 10-8 Ferro 9,71 × 10-8 Carbono (3 – 60) × 10-5 Silício 0,1 – 60 Vidro 109 – 1012 Borracha 1013 – 1015

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EXEMPLO NUMÉRICO 1. Qual a resistência de um fio de cobre de 2,5 m de comprimento com um diâmetro de

0,5 mm a 20º C? Solução:

55,2R4/))m105,0((

m30m1067,1A

R 238

2. Um número indeterminado de metros de um fio foi removido de sua embalagem. Determine o comprimento restante do fio de cobre, se ele possui um diâmetro de 1,5 mm2 e uma resistência de 0,5Ω.

Solução:

m91,524/))m105,1((

m1067,15,0A

R 238

EFEITOS DA TEMPERATURA A temperatura tem um efeito significativo sobre a resistência de condutores,

semicondutores e isolantes.

Condutores A energia térmica provoca um aumento na vibração dos átomos do material,

aumentando a dificuldade do fluxo de elétrons em qualquer direção estabelecida. O resultado é que para bons condutores, o aumento da temperatura resulta em aumento no valor da resistência. Conseqüentemente, os condutores têm um coeficiente de temperatura positivo.

Semicondutores O aumento da temperatura resulta em um aumento no número de portadores

livres para condução no material. Disto resulta que para materiais semicondutores, o aumento da temperatura diminui o valor da resistência. Conseqüentemente, os semicondutores têm coeficientes de temperatura negativos.

Isolantes Como nos semicondutores, aumentando a temperatura, diminui a resistência dos

isolantes, portanto o seu coeficiente de temperatura também é negativo.

Temperatura absoluta inferida A Figura 2

revela que para o cobre (como para a maioria dos conduto-res metálicos) a resis-tência aumenta quase linearmente com a temperatura. Aproxi-mando-se a curva mostrada na Figura 2 pela linha reta traceja-

Figura 2 – Efeito da temperatura sobre a resistência do cobre.

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da que intercepta a escala de temperaturas em -234,5 ºC. A aproximação pela linha reta é bastante precisa para a faixa normal de

temperaturas de operação. Em duas temperaturas diferentes, T1 e T2, as resistências do cobre são R1 e R2, segundo indicado na curva. Utilizando as propriedades de semelhanças de triângulos, se pode determinar uma relação matemática entre esses valores de resistência em diferentes temperaturas.

2

2

1

1

21 RT5,234

RT5,234

Ry

Rx

A temperatura de ~234,5 ºC é chamada temperatura absoluta inferida do cobre

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Se a resistência de um fio de cobre é 50 Ω a 20 ºC, qual a sua resistência a 100 ºC?

Solução:

72,65R

RC1005,234

50C205,234

RT5,234

RT5,234

222

2

1

1

Coeficiente de temperatura da resistência Definindo

C20T1

120

,

como o coeficiente de temperatura da resistência à temperatura de 20 ºC e R20 como a resistência da amostra a 20 ºC, a resistência R1 à temperatura T1 é determinada por:

)]C20T(1[RR 120201

Quanto maior o coeficiente de temperatura da resistência de um material, mais sensível será o valor de resistência a mudanças de temperatura. A Tabela 2 apresenta o coeficiente de temperatura de alguns condutores.

Tabela 2 – Coeficiente de temperatura da resistência para vários condutores a 20 ºC.

Material Coeficiente de temperatura (α20) Prata 0,0038

Cobre 0,00393 Ouro 0,0034

Alumínio 0,00391 Tungstênio 0,005

Níquel 0,006 Ferro 0,0055

TIPOS DE RESISTORES Os resistores podem ser construídos em diversos formatos, mas todos eles podem

ser divididos em dois grupos: fixos e variáveis. As dimensões relativas de todos os resistores variam de acordo com a potência especificada, e as dimensões maiores

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correspondem aos de maior potência, especificados para possibilitar valores mais elevados de corrente e dissipação de calor.

CÓDIGO DE CORES E VALORES PADRONIZADOS DE RESISTORES Para os resistores fixos de carbono, quatro ou cinco faixas coloridas são

impressas em seu encapsulamento. Cada cor corresponde a um valor como indicado na Tabela 2. As faixas coloridas são sempre lidas a partir da que está mais próxima de uma das extremidades. A primeira e a segunda faixas representam o primeiro e o segundo dígitos, respectivamente. A terceira faixa determina o multiplicador, em potência de 10, dos primeiros dois dígitos. A quarta faixa é a tolerância do resistor fornecida pelo fabricante, que é uma indicação da precisão. Se não existir a quarta faixa, convencionou-se que a tolerância será de ± 20 %. Em resistores de precisão é encontrada uma quinta faixa, sendo então a primeira, a segunda e a terceira faixas representantes dos três algarismos significativos, a quarta o fator multiplicativo e a quinta a tolerância.

Tabela 3 – Código de cores para resistores fixos de carbono. (Fonte: http://sweet.ua.pt/~a16539/docs/codigo_de_cores_de_resistencias.gif

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EXEMPLO NUMÉRICO 1. Encontre o intervalo no qual deve estar o valor de um resistor que tem as faixas

coloridas a seguir para satisfazer a tolerância especificada pelo fabricante. a) 1ª faixa 2ª faixa 3ª faixa 4ª faixa 5ª faixa cinza vermelho preto ouro marrom 8 2 0 0,1 1 %

b) 1ª faixa 2ª faixa 3ª faixa 4ª faixa 5ª faixa laranja branco ouro prata nenhuma 3 9 0,1 ± 10 % -

Solução:

a) 82 Ω ± 1 % – como 1 % de 82 é igual a 0,82 a resistência poderá variar de 81,18 Ω a 82,82 Ω.

b) 3,9 Ω ± 10 % – a resistência poderá variar de 3,51 a 4,29 Ω.

A Tabela 4 apresenta os valores disponíveis comercialmente para compra de resistores. Ao lado da tabela uma representação com a dimensão aproximada de resistores, de acordo com as suas potências.

Tabela 4 – Valores padronizados dos resistores comercialmente disponíveis.

1 - Série: 5%, 10% e 20% de tolerância 10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82

2 - Série: 2% e 5% de tolerância 10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91

3 - Série: 1 % de tolerância 100 102 105 107 110 113 115 118 121 124 127 130 133 137 140 143 147 150 154 158 162 165 169 174 178 182 187 191 196 200 205 210 215 221 226 232 237 243 249 255 261 267 274 280 287 294 301 309 316 324 332 340 348 357 365 374 383 392 402 412 422 432 442 453 464 475 487 499 511 523 536 549 562 576 590 604 619 634 649 665 681 698 715 732 750 768 787 806 825 845 866 887 909 931 953 976

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CONDUTÂNCIA Calculando-se o inverso da resistência de um material, obtém-se uma medida da

facilidade com que o material conduz eletricidade. Essa grandeza é denominada condutância, cujo símbolo é G e cuja medida é em siemens.

R1G

VARISTORES Varistores são resistores não-lineares, cuja resistência depende da tensão aplicada, usados para suprimir transientes de alta tensão, ou seja, suas características fazem com que limitem a tensão que pode aparecer entre os terminais de um dispositivo ou sistema sensível. A curva característica de um varistor é mostrada na Figura 3, juntamente com a curva característica de um resistor linear, para destacar a diferença. Observa-se que para uma determinada tensão limite a corrente cresce rapidamente, mas a tensão é limitada a um valor um pouco abaixo dessa tensão limite.

Figura 3 – Curva típica de um varistor.

Em outras palavras, o módulo da tensão ente os terminais desse dispositivo não pode exceder o valor definido por suas características. Através de técnicas adequadas de projeto, esse dispositivo pode, portanto, limitar a tensão aplicada a partes sensíveis de um circuito. A corrente é simplesmente limitada pelo circuito ao qual está conectada.

BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004. Gussow, M. – ELETRICIDADE BÁSICA – 2ªEdição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 1997. Capuano, F. G. e Marino, M. A. M. – Laboratório de eletricidade e Eletrônica – 22ª Edição. Editora Érica Ltda. São Paulo / SP. 2006.

kΩ

V (volts)

1

ELETRICIDADE BÁSICA

LEI DE OHM, POTÊNCIA E ENERGIA

LEI DE OHM Uma analogia para um circuito elétrico simples é um sistema constituído de uma

mangueira com água conectada a uma válvula de pressão. A ausência de pressão resulta em um sistema sem movimentação de água. Da mesma forma, a ausência de uma tensão em um circuito elétrico não fará circular nenhuma corrente. A corrente é uma reação à tensão aplicada, portanto quanto maior a tensão aplicada num mesmo circuito, resultará em uma corrente maior. O fator que relaciona a tensão e a corrente em um circuito é a resistência. Em uma equação fica:

REI

aresistêncipotencialdediferençaCorrente

A equação acima é conhecida como lei de Ohm em homenagem a Georg Simon Ohm, físico alemão (1789-1854). Esta expressão mostra claramente que para uma resistência fixa, quanto maior for a tensão aplicada aos terminais de um resistor, maior será a corrente.

Na Figura 1, a tensão pressiona a corrente em um sentido tal que ela atravessa a bateria do terminal negativo para o positivo. Isto sempre acontece em um circuito com fonte única. O símbolo usado para designar a tensão da bateria é a letra maiúscula E, enquanto a queda de energia potencial sobre o resistor é simbolizada por V. A polaridade da queda de tensão sobre o resistor é determinada pela polaridade da fonte porque os dois terminais da bateria são conectados diretamente aos terminais do resistor.

Figura 1 – Circuito básico.

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Determine a corrente resultante quando conectamos uma bateria de 9 V aos

terminais de um circuito cuja resistência é 2,2 Ω. Solução:

A09,4I2,2

9REI

2. Calcule a resistência do filamento de uma lâmpada de 60 W se uma corrente de 500 mA for estabelecida em função de uma tensão aplicada de 120 V.

Solução:

240R10500

120IER 3

GRÁFICO DA LEI DE OHM O gráfico em linha reta da Figura 2, indica que a resistência não varia com os

níveis de tensão e corrente; ao contrário; ela é uma grandeza que se mantém fixa. Através deste gráfico, qualquer valor de corrente ou tensão pode ser determinado quando se conhece uma das grandezas envolvidas.

2

Por exemplo, para V = 25 V, se uma linha vertical for traçada na Figura 2 do ponto 25 do eixo horizontal até a curva característica, a corrente resultante pode ser encontrada traçando uma reta horizontal até o eixo vertical, obtendo assim um resultado de 5 A. Da mesma maneira, para V = 10 V, se for traçado uma reta vertical até a curva característica e uma reta horizontal até o eixo vertical, se verificará que a corrente no resistor será de 2 A, como determinado pela lei de Ohm. Para fins de comparação, as curvas características de resistores de 1 Ω e 10 Ω foram traçadas no gráfico da Figura 3.

Figura 2 – Gráfico da lei de Ohm.

Observa-se que quanto menor a resistência, maior é a inclinação da reta.

POTÊNCIA A potência é uma grandeza que mede

quanto trabalho (conversão de energia de uma forma em outra) pode ser realizado em deter-minado período de tempo, ou seja, é a veloci-dade com que um trabalho é executado. Por exemplo, um grande motor elétrico tem mais potência do que um pequeno porque é capaz de converter quantidade maior de energia elétrica em energia mecânica no mesmo intervalo de tempo. Como a energia convertida é medida em joules (J) e o tempo em segundo (s), a potência

Figura 3 – Gráfico V-I, mostrando que, quanto

maior for a resistência maior será a inclinação da reta.

é medida em joules/segundo (J/s). A unidade elétrica de medida de potência é o watt (W). Na forma de equação, a potência é determinada por:

)s/J,segundo/joulesou,W,watts(t

WP

Com a energia W medida em joules e o tempo em segundos. A unidade de medida, o watt, é derivada do sobrenome de James Watt, inventor escocês (1736-1819), que realizou trabalhos fundamentais para o estabelecimento de padrões de medida de potência. Ele introduziu o termo “horsepower” (hp) como sendo a potência média desenvolvida por um cavalo robusto ao puxar uma carroça durante um dia inteiro de trabalho. Um hp equivale a 746 watts.

A diferença de potencial, V, é um indicador da quantidade de energia envolvida na movimentação de uma carga entre dois pontos de um sistema elétrico e pode ser definida por:

QVWQWV

A potência consumida por um sistema ou dispositivo elétrico pode ser

3

determinada em função dos valores de corrente e tensão, ou seja:

IVPentão,tQImas,

tQV

tWP

Utilizando a lei de Ohm, a equação para o cálculo da potência pode ser expressa de mais duas maneiras:

RVP

RVVIVP

2

ou 2IRPI)IR(IVP

WATTÍMETROS Existem instrumentos que podem medir a potência fornecida por uma fonte a um

elemento dissipativo. Como a potência é uma função dos valores de tensão e corrente, quatro terminais têm de ser conectados, como mostra a Figura 4, para medir a potência no resistor R.

Figura 4 – Conexões de um wattímetro.

Se as conexões das bobinas de corrente (BC) e as das bobinas de tensão (BT) do wattímetro forem conforme se vê na Figura 4 se observa uma deflexão do ponteiro no sentido crescente da escala. Se uma das bobinas estiver com a ligação invertida, ocorrerá deflexão do ponteiro no sentido contrário.

EFICIÊNCIA A Figura 5 ilustra o fluxo de ener-

gia em um sistema no qual energia muda de forma. Em particular, a quantidade de energia na saída é sempre menor do que a que entrou no sistema devido ás perdas e, às vezes, ao armazenamento de energia no interior do sistema. A melhor situação que pode esperar é que os valores absolutos Wo e Wi sejam relativamente próximos um do outro. Figura 5 – Fluxo de energia em um sistema.

De acordo com a conservação de energia: Entrada de energia = saída de energia + energia perdida ou armazenada

4

Dividindo ambos os lados desta igualdade por t, se obtém:

tW

tW

tW armazenadaouperdidasaídaentrada

Como P = W / t, tem-se a seguinte expressão: armazenadaouperdidasaídaentrada PPP

A eficiência (η) de um sistema é então determinada pela seguinte equação:

i

oPP

entradadepotênciasaídadepotênciaEficiência

Onde η (letra grega eta minúscula) é um número decimal. Em termos percentuais:

%100PP

i

o

A máxima eficiência possível é 100 %, o que equivale a Po = Pi, ou seja, nenhuma energia é perdida ou armazenada pelo sistema.

Figura 6 – Componentes básicos de um sistema de geração de energia elétrica

A figura ilustra esquematicamente os componentes básicos de um sistema de geração de energia elétrica. A fonte de energia mecânica é uma roda de pás que gira impulsionada por uma queda d’água potencializada por uma barragem. Um conjunto de engrenagens faz com que o eixo do gerador gire sempre com a velocidade angular adequada. Uma linha de transmissão transporta a energia elétrica até o consumidor final. Para cada componente do sistema estão indicadas as potências de entrada e de saída. A eficiência de cada um desses subsistemas é dada por:

%100PP

1i

1o1 %100

PP

2i

2o2 %100

PP

3i

3o3

Fazendo o produto dessas três eficiências e levando em conta que Pi2 = Po1 e Pi3 = Po2, as simplificações resultantes levarão ao resultado final Po3 / Pi1, que expressa a eficiência do sistema como um todo. Em geral, para sistemas em cascata a eficiência total é calculada como;

n321total

5

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Um motor de 2 hp opera com uma eficiência de 75 %. Qual a potência de entrada

em watts? Se a tensão aplicada ao motor é 220 V, qual a corrente de entrada? Solução:

W33,1989PP

)hp/W746()hp2(10075%100

PP

iii

o

e

A04,9IV220

W33,1989EPIIEP i

i

ENERGIA ELÉTRICA Para que uma potência, que determina a velocidade com que um trabalho é

realizado, produza uma conversão de uma forma de energia em outra, tem que ser gasto um intervalo de tempo. Por exemplo, um motor pode ter de acionar uma grande carga, porém, a menos que o motor seja usado ao longo de um intervalo de tempo, não haverá conversão de energia. Além disso, quanto mais tempo o motor for usado para acionar uma carga, maior será a energia utilizada.

A energia (W) consumida ou fornecida por um sistema é determinada por: tPW (watts-segundos, Ws, ou joules, J)

A unidade mais comumente utilizada é a watt-hora (Wh ou kWh). Como referência desta unidade, 1 kWh é a quantidade de energia dissipada por uma de 100 W ligada durante 10 horas.

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Calcule a quantidade de energia (em kWh) necessária para manter uma lâmpada de

filamento com 60 W, acesa continuamente durante um ano (365 dias). Solução:

kWh6,525WWh525600Wdias365)dia/h24()W60(tPW

BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004. Gussow, M. – ELETRICIDADE BÁSICA – 2ªEdição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 1997.

1

ELETRICIDADE BÁSICA

CIRCUITOS EM SÉRIE

INTRODUÇÂO Atualmente dois tipos de correntes elétricas são usados os equipamentos elétricos

e eletrônicos. Um deles é a corrente contínua (CC), cujo fluxo de cargas (corrente) não varia em intensidade e sentido com o tempo. O outro é a corrente alternada (CA) senoidal, cujo fluxo de cargas varia continuamente em intensidade e sentido com o tempo.

Em circuitos de corrente contínua com apenas uma fonte de tensão, a corrente convencional sempre passa de um potencial mais baixo para um potencial mais alto ao atravessar uma fonte de tensão. Entretanto, o fluxo convencional sempre passa de um potencial mais alto para um potencial mais baixo ao atravessar um resistor, qualquer que seja o número de fontes de tensão no mesmo circuito.

CIRCUITOS EM SÉRIE Um circuito consiste de um

número qualquer de elementos unidos por seus terminais, estabelecendo pelo menos um caminho fechado através do qual a carga possa fluir. O circuito visto na Figura 1 possui três elementos, conectados em três pontos (a, b e c), de modo a constituir um caminho fechado para a corrente I.

Figura 1 – Circuito em série.

Dois elementos estão em série se: 1. Possuem somente um terminal comum (isto é, um terminal de um está conectado somente a um terminal do outro). 2. O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento percorrido por corrente.

Na Figura 1, os resistores R1 e R2 estão em série porque possuem apenas o ponto b em comum. As outras extremidades dos resistores estão conectadas a outros pontos do circuito.

Pela mesma razão, a bateria E e o resistor R1 estão em série (terminal c em comum). Visto que todos os elementos estão em série, o circuito é chamado circuito série.

Se o circuito da Figura 1 for modificado de modo que um resistor R3 percorrido por corrente seja introduzido, conforme ilustra a Figura 2, os resistores R1 e R2 não estarão mais em série porque a parte (2) da definição de elementos em série não será verdadeira.

Figura 2 – Situação na qual R1 e R2 não estão em

série.

2

A corrente é a mesma através dos elementos em série Portanto, no circuito mostrado na Figura 1, a corrente I através de cada resistor é

a mesma que passa na bateria. Um ramo do circuito é qualquer parte do circuito que possui um ou mais

elementos em série. A resistência total de um circuito em série é a soma das resistências do circuito.

Na Figura 1, por exemplo, a resistência total (RT) é igual a R1 + R2. Observe que a resistência total é a resistência “vista” pela bateria. Para se determinar a resistência total (ou equivalente) de N resistores em série, é aplicada a seguinte equação:

N321T RRRRR Uma vez conhecida a resistência total, o

circuito visto na Figura 1 pode ser redesenhado como mostrado na Figura 3.

Desde que o valor de RT seja conhecido, a corrente drenada da fonte pode ser determinada usando a lei de Ohm da seguinte forma:

Ts R

EI Figura 3 – Resistência total ou equivalente.

Como a tensão E é fixa, a intensidade da corrente da fonte depende somente do valor de RT. O fato de a corrente ser a mesma em todos os elementos do circuito mostrado na Figura 1 permite calcular a tensão entre terminais de cada resistor usando diretamente a lei de Ohm, ou seja:

NN332211 RIVRIVRIV,RIV A potência fornecida a cada resistor pode então ser determinada utilizando

qualquer uma das três equações, conforme listado a seguir, considerando a resistência R1:

1

21

121111 R

VRIIVP

A potência fornecida pela fonte é: IEPfornecida

A potência total fornecida a um circuito resistivo é igual a potência total dissipada pelos elementos resistivos.

Ou seja:

N321fornecida PPPPP

EXEMPLO NUMÉRICO 1. (a) Determine a resistência total para o circuito em série da figura abaixo.

(b) Calcule a corrente fornecida pela fonte. (c) Determine as tensões V1, V2 e V3.

3

(d) Calcule a potência dissipada por R1, R2 e R3. (e) Determine a potência fornecida pela fonte e a compare com a soma das potências calculadas no item (d).

Solução: a) 8R512RRRR T321T b)

A5,2I820

REI sT

s

c)

V5,12V55,2RIVV5,2V15,2RIV

V5V25,2RIV

333

222

111

d)

W25,31P55,12

RVP

W25,6P15,2RIPW5,12P5,25IVP

32

3

23

3

22

22221111

e) W50P5,220IEP fornecidafornecida Somando as potências P1, P2 e P3 também se obtêm 50 W.

FONTES DE TENSÃO EM SÉRIE As fontes de tensão podem ser conectadas em série, como mostra a Figura 4, par

aumentar ou diminuir a tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada somando-se as tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A polaridade resultante é aquela para a qual a soma é maior.

(a) (b)

Figura 4 – Fontes de tensão CC em série. Na Figura 4(a) a tensão total é 18 V e na Figura 4(b) a maior força é para

esquerda, o que resulta em uma tensão total de 8 V.

LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES A lei de Kirchhoff para tensões (LKT) afirma que a soma algébrica das elevações e quedas de potencial em uma malha fechada é zero.

Uma malha fechada é qualquer caminho con-tínuo que, ao ser percorrido em um sentido a partir de um ponto, retorna ao mesmo ponto vindo do sentido oposto, sem deixar o circuito. Na Figura 5, seguindo a corrente, pode-se traçar um caminho contínuo que deixa o ponto através de R1 e retorna através de E sem deixar o circuito. Assim abcda é uma malha fe-chada. Para se aplicar a lei de Kirchhoff para tensões, a soma das elevações e quedas de potencial precisa ser feita percorrendo a malha em um certo sentido.

Figura 5 – Aplicação da lei de Kirchhoff.

4

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), alemão e professor de física elaborou definições relacionando tensões e correntes em um circuito.

Por convenção o sentido horário será usado para todas as aplicações da lei de Kirchhoff para tensões. Entretanto, o mesmo resultado pode ser obtido se o sentido escolhido for o anti-horário.

Um sinal positivo indica uma elevação de potencial (de – para +), e um sinal negativo, uma queda (de + para –). Seguindo a corrente na Figura 5 a partir do ponto a, primeiro encontra-se uma queda de tensão V1 (de + para –) entre os terminais de R1 e outra queda V2 entre os terminais de R2. Ao se passar pelo interior da fonte, tem-se um aumento de potencial E (de – para +) antes de retornar ao ponto a. Em forma simbólica pode-se representar a lei de Kirchhoff como: Σ V = 0. No circuito da Figura 5, usando o sentido horário, obtém-se a partir do ponto d:

2121 VVE0VVE

O que revela que a tensão aplicada a um circuito em série é igual à soma algébrica das quedas de tensão nos elementos em série.

A aplicação da lei de kirchhoff para tensões não precisa seguir um caminho que inclua elementos percorridos por corrente.

Na Figura 6 há uma diferença de potencial entre os pontos a e b, embora os dois pontos não estejam conectados por um elemento percorrido por corrente. A aplicação da lei de Kirchhoff para tensões em torno da malha fechada irá resultar em uma diferença de potencial de 4 V entre os dois pontos.

Figura 6 – Fluxo de energia em um sistema.

EXEMPLO NUMÉRICO

1. Determine a tensão V1 no circuito ao lado. Solução:

V8,2V92,416EVEV

0EVVE

1

2211

2211

2. Determine a tensão Vx no circuito ao lado. Solução:

V20V1232VEV

0VVE

x

1x

x1

5

REGRAS DOS DIVISORES DE TENSÃO Nos circuitos em série:

A tensão entre os terminais dos elementos resistivos dividi-se na mesma proporção que os valores de resistência.

Na Figura 7, o maior resistor, de 6 Ω, captura a maior parte da tensão aplicada, enquanto o menor, R3, fica com a menor. Observa-se também que R1 é seis vezes maior que R3, e que a tensão sobre R1 é seis vezes maior que a tensão sobre R3. Da mesma forma R2 é três vezes maior que R3, resultando que a tensão sobre R2 é três vezes maior que a tensão sobre R3. Portanto, a tensão entre os terminais de resistores em série está na mesma proporção que suas resistências.

Note-se que se o valor de todos os resistores aumentar na mesma proporção, os valores de tensão permanecerão os mesmos.

Figura 7 – Divisor de tensão.

A relação entre os valores dos resistores é que importa para a divisão da tensão, e não o valor absoluto dos resistores. O valor da corrente será profundamente afetado pela mudança nos valores das resistências da Figura 7, mas os valores de tensão permanecerão os mesmos.

Existe um método denominado regra dos divisores de tensão, que permite determinar as tensões sem ser necessário determinar primeiro a corrente. Utilizando a Figura 7, tem-se:

321T RRRR e TR

EI

Aplicando a lei de Ohm:

T

33

T33

T

22

T22

T

11

T11

RERR

RERIV

RERR

RERIV

RERR

RERIV

Nota-se que o formato para V1, V2 e V3 é:

T

xx R

ERV (regra dos divisores de tensão)

Onde Vx é a tensão entre os terminais de Rx, E é a tensão aplicada aos elementos em série e RT é a resistência total do circuito série.

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Usando a regra dos divisores de tensão, determine as tensões V1 e V3 para o circuito

em série visto na figura abaixo.

6

Solução:

V6V1500090000

800050002000452000

RERV 1

T

11

3

3 3T

R E 8000 45 360000V V 24VR 2000 5000 8000 15000

RESISTÊNCIA INTERNA DAS FONTES DE TENSÃO Toda fonte de tensão, seja ela um gerador ou uma

bateria, possui uma resistência interna. O circuito equivalente de qualquer fonte de tensão real é parecido ao mostrado na Figura 8.

Uma fonte de tensão ideal não possui resistência interna, e sua tensão de saída é E volts com carga máxima ou sem carga. Nas fontes reais, onde se considera os efeitos da resistência interna, a tensão de saída é de E volts somente quando a fonte não está ligada a nenhuma carga. Quando uma carga é conectada à fonte, a tensão de saída da fonte diminui devido à queda de tensão na resistência interna.

Figura 8 – Circuito equivalente

de uma fonte de tensão CC.

Figura 9 – Fonte de tensão (a) ideal Rint = 0; (b) determinação de VNL; (c) determinação de Rint.

Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões ao circuito fechado da Figura 9(c), e definindo VNL como a tensão da fonte sem carga, obtém-se:

0VRIE LintL , mas NLVE então 0VRIV LintLNL

Portanto, intLNLL RIVV

Um gráfico da tensão de saída (VL) em função da corrente, para um gerador CC, é mostrado na Figura 10 e seu circuito interno é dado na Figura 8. Observa-se que um aumento da corrente de carga, a partir de qualquer nível de tensão corresponde a uma queda na tensão entre os terminais de saída do gerador devido a maior queda de tensão na resistência interna.

7

Figura 10 – Gráfico da tensão de saída VL em função da corrente para um gerador CC com uma resistência interna

de 2 Ω. Quanto maior a resistência interna, maior a inclinação da curva característica

mostrada na Figura 10. Uma conseqüência direta da queda da tensão de saída é uma queda de potência fornecida à carga.

LintLNLL I)RIVV(

int2LLNLLL RIIVIV

Potência fornecida = Potência fornecida – Potência perdida a carga pela bateria na forma de calor

REGULAÇÃO DE TENSÃO Para qualquer fonte de tensão, o ideal é que a tensão da saída se mantenha

constante para qualquer valor de corrente dentro da faixa especificada para a corrente de carga (IL). Uma medida que indica o quanto uma fonte está próxima das condições ideais é dada pela característica de regulação de tensão da fonte. Por definição, a regulação de tensão de uma fonte entre as condições “sem carga” e “em plena carga” (ver Figura 10) é dada pela seguinte equação:

%100V

VV%)VR(tensãodegulaçãoReFL

FLNL

Pode ser demonstrado que a regulação também pode ser expressa por:

%100RR%)VR(tensãodegulaçãoRe

L

int

Em outras palavras, quanto menor for a resistência interna de uma fonte, menor será sua regulação e mais ela se aproxima de uma fonte ideal. BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.

1

ELETRICIDADE BÁSICA

CIRCUITOS EM PARALELO

ELEMENTOS EM PARALELO Dois elementos, ramos ou circuitos estão conectados em

paralelo quando possuem dois pontos em comum. Na Figura 1 os elementos 2 e 2 têm terminais a e b em

comum; portanto estão em paralelo. Na Figura 2 todos os elementos estão em paralelo porque satisfazem ao critério já citado. Na Figura 3 os elementos 1 e 2 estão em paralelo, pois possuem os terminais a e b em comum. Esta combinação em paralelo está em série com o elemento 3, pois possuem o terminal b em comum. Na Figura 4, os elementos 1 e 2 estão em série devido ao ponto comum a, e esta combinação em série

Figura 1 – Elementos em

paralelo.

está em paralelo com o elemento 3, pois possuem as conexões em comum b e c.

Figura 2 – Configurações com três elementos em paralelo.

Figura 3 – Circuito onde 1 e 2 estão e paralelo e 3 está em série com a ligação em paralelo formada por 1 e 2.

Figura 4 – Circuito onde 1 e 2 estão e série e 3 está em

paralelo com a ligação em série formada por 1 e 2.

CONDUTÂNCIA E RESISTÊNCIAS TOTAIS Nos circuitos com resistores conectados em série a resistência total é a soma das

resistências individuais. No caso dos elementos em paralelo, a condutância total é a soma das condutâncias individuais. Para o circuito visto na Figura 5 pode-se escrever:

N321T GGGGG Como quanto maior a condutância maior é a intensidade da corrente total no

circuito (mantendo constante a tensão aplicada), quanto maior for o número de termos que aparece na equação anterior, maior será a corrente de entrada no circuito.

2

Figura 5 – Determinação da condutância total para circuito em paralelo.

Como G = 1/ R, a resistência total do circuito pode ser determinada por:

N321T R1

R1

R1

R1

R1

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Determine a condutância e a resistência totais para o circuito em paralelo visto na

figura abaixo.

Solução:

2RS5,0

1G1R

S5,0GS167,0S333,0G61

31GGG

TT

T

TT

21T

2. Determine o efeito da condutância e resistência totais do circuito do circuito anterior se um resistor adicional de 10 Ω for colocado em paralelo com os outros elementos. Solução:

667,1RS6,0

1G1R

S6,0GS1,0S5,010

1S5,0G

TT

T

TT

Nota-se que a adição de mais um resistor em paralelo aumentou a condutância e consequentemente, diminui na resistência.

3. Determine a condutância e a resistência totais para o circuito em paralelo visto na figura abaixo.

Solução:

053,1RS95,0

1R

S95,0S2,0S25,0S5,051

41

21

R1

R1

R1

R1

TT

321T

3

Em qualquer conjunto de resistores em paralelo, a resistência total é sempre menor que a do resistor de menor resistência.

Quanto maior for a diferença entre os valores das resistências de dois resistores em paralelo, mais o valor da resistência total será próximo do valor da menor resistência. Por exemplo, a resistência total para um resistor de 3 Ω em paralelo com um de 6 Ω vale 2 Ω. Entretanto, a resistência total de um resistor de 3 Ω em paralelo com um de 60 Ω é 2,85 Ω.

Quando as resistências de um circuito em paralelo são todas iguais, o cálculo da resistência total torna-se mais simples. Para N resistores de mesmo valor em paralelo, têm-se:

NRR

R1N

R1

R1

R1

R1

R1

TT

ou GNGT

Com freqüência é necessário calcular a resistência equivalente para apenas dois ou três resistores em paralelo. Para este cálculo utilizam-se as equações abaixo;

21

21T

21

21

21T RRRRR

RRRR

R1

R1

R1

para dois resistores.

323121

321T RRRRRR

RRRR

para três resistores.

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Determine o valor de R2 a partir do circuito visto na figura abaixo de modo que a

resistência total do circuito seja 9 kΩ.

Solução:

T1

1T22T11T

2T211T

212T1T

2121T21

21T

RRRRRR)RR(RR

RRRRRRRRRRRR

RR)RR(RRRRRR

Substituindo valores numéricos fica:

k36R3

108912

129RRRRR 2

T1

1T2

CIRCUITOS EM PARALELO O circuito da Figura 6 é o mais simples dos circuitos em paralelo. Os terminais a

e b são comuns a todos os elementos. A corrente fornecida pela fonte é:

TS R

EI

Como os terminais da bateria estão diretamente ligados aos terminais de R1 e R2, tem-se que as tensões obtidas entre os terminais de elementos em paralelo são iguais,

4

Figura 6 – Circuito em paralelo.

isto é:

EVV 21 e 11

11 R

ERVI e

também 22

22 R

ERVI

Usando a equação para o cálculo da resistência total e multiplicá-la, em ambos os lados, pela tensão aplicada fica:

21T21T RE

RE

RE

R1

R1E

R1E

Usando a lei de Ohm, verifica-se que a corrente fornecida pela fonte:

21S III A equação acima indica que: Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, a corrente fornecida pela fonte (IS) é a igual à soma das correntes em cada um dos ramos do circuito. A potência dissipada pelos resistores e a potência fornecida pela fonte podem ser

obtidas por:

1

21

121111 R

VRIIVP , 2

22

222222 R

VRIIVP e

T

2T

2TtT R

ERIIEP

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Considerando os dados fornecidos na figura abaixo, (a) determine R3; (b) calcule E;

(c) determine IS; (d) determine I2; (e) calcule P2.

Solução:

a)

10R202

20125

R1

201

101

41

R1

R1

201

101

41

R1

R1

R1

R1

33

33321T

5

b) V40E104RIVE 111

c) A10I4

40REI ST

S

d) A2I2040

RVI 2

2

22

e) W80P202RIP 22

2222

LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTE Esta lei afirma que:

A soma algébrica das correntes que entram e saem de uma região, sistema ou nó é igual à zero, isto é, a soma das correntes que entram

deve ser igual à soma das correntes que saem. Em forma de equação tem-se:

saementram II

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Determine I1, I3, I4 e I5 para o circuito mostrado na figura abaixo.

Solução: No ponto a, tem-se: A1I4I5IIIII 1121saementram No ponto b, tem-se: A1IIIII 331saementram No ponto c, tem-se: A4IIIII 442saementram No ponto d, tem-se: A551IIIIII 5543saementram

2. Determine as correntes I3 e I5, no circuito visto na figura abaixo, aplicando a LKC.

Solução: Como no ponto b existem duas correntes desconhecidas e no ponto a apenas uma aplica-se a LKC primeiro no ponto a. Para o nó a:

A734IIII 3321 No ponto b, tem-se:

A617IIII 5543

6

3. Encontre o valor e o sentido das correntes I3, I4, I6 e I7 no circuito abaixo. Note que os elementos não estão nem em série nem em paralelo, mas ainda assim é possível aplicar a LKC.

Solução: Considerando o sistema como um todo, sabe-se que a corrente que entra é igual à corrente que sai, portanto:

A10II 71 No ponto a entra I1 = 10 A e sai I2 = 10 A, portanto a corrente I3 tem que estar entrando em a (o sentido da corrente I3 deve ser de c para a) e valendo:

A21012IIII 3312 No ponto b entra I2 valendo 12 A e sai I5 valendo 8 A, portanto a corrente I4 tem que estar saindo de b e valendo:

A4812IIII 4452 No ponto c entra I4 valendo 8 A e sai I3 valendo 2 A, portanto a corrente I6 tem que estar saindo de c e valendo:

A224IIII 6634 A confirmação dos resultados pode ser dada através da verificação do valor de I7 que deve ter o mesmo valor que I1, isto é:

17657 IA10I28III

REGRA DO DIVISOR DE CORRENTE Quando se tem dois elementos com resistências iguais em paralelo, a corrente se

dividirá igualmente. Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o elemento de menor

resistência será percorrido pela maior fração da corrente. A razão entre os valores das correntes nos dois ramos será inversamente

proporcional à razão entre as suas resistências. Por exemplo, se a resistência de um dos resistores de uma combinação em

paralelo for o dobro da resistência do outro, então a corrente que o atravessa será a metade da corrente que percorre o resistor de menor resistência.

Na Figura 7, como I1 vale 1 mA e o valor de R1 é seis vezes o de R3, a corrente através de R3 tem que ser 6 mA. No caso de R2 a corrente tem de ser 2 mA, pois R1 é o dobro de R2.

Figura 7 – Como a corrente se divide entre resistências em uma ligação em paralelo.

I2 deve ser 2 mA

2

RR

2

1

I3 deve ser 6 mA

6

RR

3

1

7

É possível, portanto, deduzir uma fórmula que expresse esta regra. Usando o cir-cuito da Figura 8 e sabendo que Ix é a corrente que atravessa a resistência Rx, tem-se:

T

xx

T RRI

RVI

e IRRI

x

Tx

Figura 8 – Circuito equivalente de uma fonte de tensão CC.

No caso particular de dois resistores em paralelo, tem-se:

21

21T RR

RRR

e IRRI

1

T1 , então:

IRR

RIIR1

RRRRII

RRRRR

I21

21

121

211

1

21

21

1

, logo IRR

RI21

12

Como regra geral pode-se estabelecer que: A corrente sempre procura o caminho de menor resistência.

Para dois resistores em paralelo, a maior corrente passará através do resistor de menor resistência.

Uma corrente que entre em uma configuração de vários resistores em paralelo se divide entre estes resistores na razão inversa do valor de suas resistências, como na Figura 9.

Figura 9 – Divisão da corrente entre ramos paralelos.

8

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Determine a corrente I2, no circuito abaixo usando a regra do divisor de corrente.

Solução:

A2I1224

8464

RRIRI

2

21

S12

FONTES DE TENSÃO EM PARALELO Fontes de tensão podem ser colocadas em paralelo, como na Figura 10, somente

se as tensões nos seus terminais forem idênticas. A razão para se ligar baterias em paralelo está na necessidade de se obter uma maior intensidade de corrente e, portanto, uma potência mais alta, a partir da fonte composta.

Figura 10 – Fontes de tensão em paralelo.

Se duas baterias de tensões diferentes forem conectadas em paralelo, acabarão ambas descarregadas ou danificadas, pois a tendência da bateria de tensão mais elevada é cair rapidamente até igualar-se à da fonte de tensão mais baixa. No exemplo ilustrado na Figura 11, as resistências internas das baterias são os únicos elementos de limitação da corrente no circuito série resultante. Essa corrente vale:

A120I05,06

02,003,0612

RREEI

2int1int

21

O valor obtido acima excede em muito as correntes usuais de operação da bateria de capacidade mais elevada, resultando em uma rápida descarga de E1 e um impacto destrutivo na bateria de menor tensão.

Figura 11 – Baterias de tensões diferentes em paralelo.

9

CIRCUITOS ABERTOS E CURTOS-CIRCUITOS Um circuito aberto consiste

simplesmente de dois terminais isolados sem qualquer conexão entre si (Figura 12). Como não existe um caminho fechado para condução, a corrente em um circuito aberto é sempre nula.

Em um circuito aberto se pode ter uma diferença de potencial qualquer

entre seus terminais, mas o valor da corrente é sempre zero.

Figura 12 – Características de um circuito aberto.

Um curto-circuito é uma baixa resistência conectada diretamente entre dois pontos de um circuito, como na Figura 13(b).

A corrente através do curto-circuito pode ter um valor qualquer, porém a tensão sobre o curto-circuito sempre será nula porque a resistência

atribuída a um curto-circuito é essencialmente nula.

(a) (b)

Figura 13 – Efeito de um curto-circuito nos níveis de corrente. EXEMPLO NUMÉRICO 1. Determine a tensão Vab para o circuito abaixo.

Solução: Para que se caracterize um circuito, é necessário que I seja nula. Portanto, a queda de tensão sobre os dois resistores também será nula. Aplicando a LKT para a malha, conclui-se que:

V20EVab 2. Determine a tensão Vab e Vcd para o circuito abaixo.

Solução: A corrente através do circuito é nula, resultando em uma queda de tensão nula sobre os resistores. Aplicando a LKT para a malha, conclui-se que:

V10EV 1ab

10

Para obter Vcd através da LKT faz-se: V20V3010V0VEE cdcdcd21

O sinal negativo indica que Vcd tem polaridade oposta à indicada no circuito acima.

VOLTÍMETRO: EFEITO DA CARGA A colocação de um instrumento

em paralelo com um resistor resulta sempre em uma combinação em paralelo de dois resistores (Figura 14). Como a resistência de dois ramos em paralelo é sempre inferior à da menor resistência, implica que a resistência interna de um voltímetro deve ser a mais alta possível.

Na Figura 14 a resistência do multímetro digital (DMM) vale 11 MΩ. Ele está medindo a tensão sobre a resistência de 10 kΩ.

Figura 14 – Efeito da carga de um voltímetro.

A resistência total desta combinação é:

k99,9R

)1011()1010()1011()1010(M11||k10R T63

63T

O resultado acima mostra que se a resistência interna do multímetro, quando usado como voltímetro, for alta, faz com que o circuito permaneça praticamente inalterado.

Para o caso de amperímetros é desejável que a resistência interna do instrumento seja a menor possível para evitar que haja queda de tensão considerável sobre a resistência interna do aparelho, uma vez que ele é ligado em série com o ramo que se quer medir a corrente.

BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.

1

ELETRICIDADE BÁSICA

CIRCUITOS EM SÉRIE-PARALELO

RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS Existem alguns procedimentos que ajudam na análise de circuitos mais

complexos onde surgem elementos combinados em conexões em série-paralelo. De maneira geral deve-se:

Analisar cada região do circuito separadamente antes de associá-las em combinações série-paralelo. Isso simplifica o circuito e revela um método direto para a determinação dos valores de uma ou mais incógnitas. Redesenhar o circuito, quando possível, com os ramos simplificados, mantendo

intactas as quantidades desconhecidas para deixar o circuito de modo mais fácil de ser entendido e proporcionar circuitos reduzidos para que, a partir da fonte, se determinem as quantidades desconhecidas. Ao se obter uma solução, verifique se ela é razoável, considerando os valores

associados à fonte de energia e aos elementos do circuito.

Método de redução e retorno Nos casos de muitos circuitos em série-paralelo com

uma única fonte, a análise a ser usada consistem em reduzir o circuito em direção à fonte, determinar a corrente fornecida pela fonte e então determinar o valor da grandeza desconhecida. Por exemplo, na Figura 1(a) se deseja obter V4. Note que não existe uma conexão sim-ples em série ou em paralelo entre R4 e a bateria. É neces-sário reconhecer combinações em série e em paralelo dos elementos para estabelecer o circuito reduzido mostrado na Figura 1(b). Assim os elementos em série podem ser combinados para se obter a configuração mais simples possível, como visto na Figura 1(c). A corrente fornecida pela fonte agora pode ser determinada usando a lei de Ohm. Realizando o procedimento inverso, como indicado na Figura 1(d), a tensão V2 pode ser calculada e a regra dos divisores de tensão pode ser usada para determinar a tensão V4, podendo ser redesenhado o circuito original, visto na Figura 1(e), determinando-se o valor de V4:

243

44 V

RRRV

Embora nem todos os detalhes da análise tenham sido descritos anteriormente, o procedimento geral para a solução de diversos circuitos em série-paralelo emprega o procedimento descrito acima, ou seja, redução do circuito para o cálculo de IF seguido do retorno ao circuito original.

Figura 1 – Método de redução e

retorno.

2

Método do digrama de blocos Na Figura 2, os blocos B e C estão

em paralelo (os pontos b e c são comuns) e a fonte de tensão E está em série com o bloco A (o ponto a é comum). A combinação em paralelo de B e C também está em série com A e com a fonte de tensão E devido aos pontos comuns b e c, respectivamente.

Quando dois elementos estiverem em série e em paralelo serão usadas as seguintes notações:

Figura 2 – Método do diagrama de blocos.

212,1 RRR e 21

21212||1 RR

RRR||RR

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Se cada bloco da Figura 2 representasse um resistor, seria obtido um circuito como o

da figura abaixo.

Solução: A combinação em paralelo de RB e RC resulta em:

k44000600012000600012000R

RRRRR||RR

C||B

BA

BACBC||B

A resistência equivalente RB||C está em série com RA, portanto a resistência total vista pela fonte, RT, será:

k66000R40002000R||RRR TCBAT

O resultado é um circuito equivalente, como visto na figura abaixo. Agora é possível determinar a corrente fornecida pela fonte, IS, ao circuito.

mA9I6000

54REI ST

S

Como a bateria e RA estão em série: mA9II SA

Usando a regra do divisor de corrente para determinar as correntes IB e IC tem-se:

mA36000120001096000

RRIR

I3

CB

ACB

mA660001200010912000

RRIRI

3

CB

ABC

Aplicando a LKC também se pode determinar a corrente IC: mA6I39III CBSC

3

2. Determine a corrente I4 e a tensão V2 para o circuito abaixo.

Fica claro que os três ramos estão em paralelo e, portanto, a tensão sobre o ramo B é a tensão da fonte. Disto resulta:

O método empregado deve possibilitar apenas a obtenção das incógnitas desejadas. Com o uso do método do diagrama em blocos, o circuito apresenta a estrutura mostrada abaixo.

V12EV4 e A5,18

12RVI

4

44

3. Determine as tensões V1, V3 e Vab no circuito ao lado e calcule a corrente IS fornecida pela fonte.

Solução: O circuito acima pode ser redesenhado, como mostra a figura logo abaixo à direita. A tensão da fonte resultante da combinação é dada pela diferença entre as tensões das fontes originais, tendo a polaridade da fonte de maior tensão. a) Usando a regra dos divisores de

tensão para determinar V1 e V3:

V5,735

125RRERV

21

11

e

V926

126RRERV

43

33

A tensão de circuito aberto Vab é determinada aplicando a LKT à malha indicada na figura acima, seguindo o sentido indicado a partir de a:

b) Pela lei de Ohm: V5,1V5,79VVVV0VVV

abab

13abab31

A5,155,7

RVI

1

11 e A5,1

69

RVI

3

33

Aplicando a LKC: A3I5,15,1III S31S

4

4. Determine, no circuito abaixo, as tensões V1 e V2 e a corrente I.

Solução: O circuito ao lado pode ser redesenhado, como mostra a figura logo abaixo. Nota-se a conexão comum a terra e o uso explícito das fontes de tensão. Agora fica claro que:

V6EV 12 O sinal negativo indica que a polaridade escolhida para V2 na figura abaixo é oposta à real.

Aplicando a LKT na malha indicada, tem-se:

V24V618EEV

0EVE

1

121

211

Aplicando LKC à junção d, tem-se:

A5,5I126

66

624

RRE

RE

RVIIII

32

1

4

1

1

1321

5. Calcule as correntes e tensões indicadas na figura abaixo.

Solução: Redesenhando o circuito após combinar as resistências em série fica:

A corrente I5 pode ser calculada por:

51,2,3||4 5

5

EIR R

72I 3mA12000 12000

A tensão V7 é determinada por:

V6,1916500324000V

120004500724500

RRER

V

7

6)9,8(||7

)9,8(||77

5

A corrente I6 é encontrada por: 7

6 67||(8,9)

V 19, 6I I 4,35 mAR 4500

Finalmente IS é dada por: mA35,7I35,43III S65S

6. Utilize a LKT par determinar as tensões V1, V2 e V3 no circuito abaixo.

Definindo as malhas para a aplicação da LKT, obtém-se o circuito ao lado.

Para a malha 1:

V12V820EEVEVE 1311311 Para a malha 2:

V7V125VEV0VVE 2122212 A polaridade negativa indica que V2 tem polaridade oposta àquela do circuito. Para a malha 3:

3 3 2 3 3 2 3E V V 0 V E V 8 ( 7) V 15 V A polaridade negativa indica que V2 tem polaridade oposta àquela do circuito.

CIRCUITOS EM CASCATA Um circuito em cascata é mostrado na Figura 3. Estes circuitos recebem este

nome devido à sua estrutura repetitiva.

Figura 3 – Circuito em cascata.

Dois métodos podem ser usados para resolver problemas nestes circuitos. Método 1 → calcula-se a resistência total e a corrente fornecida pela fonte e,

em seguida, repete-se os passo no sentido inverso até obter a corrente ou tensão desejada. Método 2 → associando uma letra à corrente no último ramo do circuito é

analisado o circuito na direção da fonte, mantendo explícita esta corrente ou

6

qualquer outra que haja interesse. A corrente desejada pode então ser determinada diretamente.

Exemplo: Utilizando o método 1 no circuito da Figura 3 para calcular a tensão V6. Efetuando as combinações de elementos em série e em paralelo como mostra a

Figura 4, chega-se ao circuito reduzido da Figura 5.

Figura 4 – Aplicação do método 1 para resolver o circuito da Figura 3.

Figura 5 – Cálculo de RT e IS do circuito da

Figura 3.

8R35R TT

A30I8

240REI ST

S

Trabalhando em sentido inverso para obter I6, (Figura 6) chega-se a:

A30II S1

Figura 6 – Retornando para I6.

Figura 7 – Cálculo de I6.

A15I3

302II 3S

3 e finalmente (Figura 7):

A10I9156

36I6I 63

6

e V20v210RIv 6666

Exemplo: Utilizando o método 2 no circuito da Figura 3 para calcular a tensão V6. Denotando a corrente no último ramo por I6, tem-se:

Figura 8 – Método 2 para circuito em cascata.

7

6444

65

46 I3V

3V

21V

RRVI

e 65 II

Ainda

646

4

44 I5,0I

6I3

RVI

e 6366643 I5,1III5,0III

636333 I6V4I5,1RIV Também;

6266432 I9VI3I6VVV Assim:

626

2

22 I5,1I

6I9

RVI

e 6S6632S I3II5,1I5,1III

Mas: S11S111 I5VRIRIV

Logo: 6666S21 I24EI9)I3(5I9I5VVE

Portanto:

A10I24

24024EI 66 e V20V210RIV 6666

BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.

1

ELETRICIDADE BÁSICA

MÉTODOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS CC

INTRODUÇÃO Os procedimentos vistos até agora só permitem que sejam analisados circuitos

onde exista uma fonte, ou duas ou mais fontes, em série ou em paralelo. Eles não podem ser aplicados se as fontes não estiverem em série ou em paralelo.

Para resolver este problema existem métodos que permitem de forma sistemática analisar circuitos com qualquer arranjo. Note que estes métodos também podem ser usados em circuitos com apenas uma fonte. Os métodos são:

Análise das correntes nos ramos. Métodos das malhas. Método dos nós. Qualquer deles pode ser aplicado a um mesmo circuito. O melhor método é

aquele no qual se ganhar maior habilidade na utilização.

FONTES DE CORRENTE A fonte de corrente é chamada de dual da fonte de tensão. Uma bateria fornece

uma tensão fixa, sendo que a corrente pode variar; porém, a fonte de corrente fornece uma corrente fixa no ramo do circuito onde está inserida, enquanto a tensão em seus terminais pode variar em função do circuito no qual é conectada. Em resumo:

Uma fonte de corrente determina a corrente no ramo onde está situada.

A intensidade e a polaridade da tensão entre os terminais de uma fonte de corrente são uma função do circuito do qual ela faz parte.

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Determine a tensão da fonte VS e a corrente I1 no circuito mostrado abaixo.

Solução: I1 = I = 10 mA VS = V1 = I1∙R1 = (10×10-3)∙(20000) → VS = 200 V

2. Determine a tensão VS e as correntes I1 e I2 no circuito mostrado abaixo.

Solução: VS = E = 12 V

A3I4

12RE

RVI 2

R2

Aplicando a LKC;

A4I37IIIIII

1

2121

2

3. Determine a corrente I1 e a tensão VS no circuito mostrado abaixo.

Solução: Usando a regra dos divisores de corrente:

A2I2161

RRIRI 1

12

21

A tensão V1 é: V1 = I1∙R1 = (2)∙(2) →V1 = 4 V Aplicando a LKT: +VS – V1 – 20 = 0 → VS = V1 + 20 V → VS = 4 + 20 → VS = 24 V

CONVERSÕES DE FONTES Todas as fontes, sejam de tensão ou de corrente, possuem alguma resistência

interna nas posições relativas mostradas na Figura 1(a) e (b).

(a) (b)

Figura 1 – (a) Fonte de tensão real; (b) fonte de corrente real.

Para a fonte de tensão, se RS = 0 Ω tem-se uma fonte ideal. Para a fonte de corrente de RS = ∞ Ω tem-se uma fonte de corrente ideal.

Conversões definem fontes que são equivalentes somente no que se refere aos seus terminais exteriores. As características internas de cada tipo são bastante diferentes.

Deseja-se a equivalência entre fontes para assegurar que a carga aplicada às fontes mostradas na Figura 1 receba a mesma corrente, tensão e potência dos dois tipos de fonte, sem ‘saber’ qual tipo de fonte está presente.

Na Figura 1(a) a corrente de carga IL é dada por:

LSL RR

EI

, multiplicando por S

SRR

obtém-se:

IRR

RIRE

RRR

RR

RREI

LS

SL

SLS

S

S

S

LSL

A equação acima é a mesma que se obtém quando se aplica a regra dos divisores de corrente ao circuito da Figura 1(b). O resultado é uma equivalência entre os circuitos da Figura 1(a) e (b), que requer apenas que I = E / RS e que o resistor em série RS da Figura 1(a) seja colocado em paralelo, como mostra a Figura 1(b).

Na Figura 2 as fontes equivalentes aparecem com as equações que efetuam a

3

conversão em ambos os sentidos..

Figura 2 – Conversão de fontes.

O resistor RS é o mesmo em cada fonte. A corrente da fonte de corrente (ou a tensão da fonte de tensão) é determinada usando a lei de Ohm e os parâmetros da outra configuração. Vale ressaltar que para realizar uma conversão de um tipo de fonte para outro, a fonte de tensão tem de ter um resistor em série, e a fonte de corrente, um em paralelo.

EXEMPLO NUMÉRICO 4. Converta a fonte de tensão da figura abaixo em uma fonte de corrente e calcule a

corrente através de uma carga de 4 Ω para cada tipo de fonte. Após, substitua a carga de 4 Ω por uma de 1 kΩ e calcule a corrente IL para a fonte de tensão. Repita o cálculo considerando uma fonte de tensão ideal, e verifique que para quando RL é muito maior que RS é possível considerar uma fonte real como uma fonte ideal.

Solução: Para a fonte de tensão:

A1I42

6RR

EI LLS

L

Para a fonte de corrente:

A1I4232

RRIRI L

LS

SL

Aumentando a carga para 1 kΩ fica:

mA99,5I100026

RREI L

LSL

Agora considerando a fonte de tensão ideal, ou seja, RS = 0:

mA00,6I100006

RREI L

LSL

Este é um caso que considerar a fonte como ideal não leva a erros importantes.

FONTES DE CORRENTE EM PARALELO Duas fontes de corrente em paralelo podem ser substituídas por uma única fonte

4

de corrente cuja intensidade e o sentido da corrente da fonte resultante podem ser determinadas pela soma das correntes das fontes originais. A nova resistência interna é dada pela resistência equivalente das resistências em paralelo das fontes originais.

EXEMPLO NUMÉRICO 5. Reduza as fontes de corrente em paralelo da figura abaixo em uma fonte de corrente

única.

6. Reduza o circuito da figura abaixo a uma fonte única e calcule a corrente através de

RL.

Aplicando a regra dos divisores de corrente no circuito resultante (c):

A3I146106

RRIRI L

LS

SSL

Solução: Primeiro a fonte de tensão será convertida em uma fonte de corrente (circuito (b)):

A10I64III

S

21S

e

6R24||8R||RR

S

21S

FONTES DE CORRENTE EM SÉRIE A corrente em qualquer ramo de um circuito só pode ter um valor. Portanto:

Fontes de corrente de diferentes intensidades não podem ser ligadas em série, da mesma maneira que fontes de tensão com tensões diferentes

não podem ser ligadas em paralelo

RAMO, NÓ E MALHA (DEFINIÇÕES) RAMO = Um ramo do circuito é qualquer parte do circuito que possui um ou

mais elementos em série. NÓ = uma junção de dois ou mais ramos.

(a)

(b)

(c)

5

MALHA = qualquer conexão contínua de ramos que permite seguir um caminho partindo de um ponto em um sentido e retornando ao mesmo ponto no sentido oposto sem deixar o circuito.

ANÁLISE DAS CORRENTES NOS RAMOS A aplicação do método das correntes nos ramos é dividida em cinco passos.

Esse método fornecerá a corrente em cada ramo do circuito. Uma vez que elas sejam conhecidas, todas as outras grandezas, como tensão e potência, podem ser determinadas. Os passos do método são os seguintes:

1. Associa-se uma corrente distinta de sentido arbitrário a cada ramo do circuito. 2. Indique as polaridades para cada resistor, de acordo com o sentido escolhido

para a corrente. 3. Aplique a LKT em cada malha do circuito. 4. Aplique a LKC ao número mínimo de nós que inclua todas as correntes nos

ramos dos circuitos. 5. Resolva as equações lineares simultâneas resultantes para as correntes de ramo

escolhidas.

EXEMPLO NUMÉRICO 7. Aplique o método das correntes nos ramos ao circuito mostrado abaixo.

Solução 1: Passo 1: como há três ramos distintos (cda, cba e ca) são escolhidas três correntes de sentido arbitrário (I1, I2 e I3). Os sentidos das correntes I1 e I2 foram escolhidos para combinar com as fontes E1 e E2, respectivamente. Como I1 e I2 estão entrando no nó a, I3 está saindo.

Passo 2: As polaridades de cada resistor são identificadas de acordo com os sentidos postulados para as correntes.

Definido por I1

Definido por I2

Definido por I3

Polaridade fixa

Polaridade fixa

6

Passo 3: A LKT é aplicada em cada malha, no sentido horário. Malha 1: 0VVE0V 3R1R1

Malha 2: 0EVV0V 22R3R

Malha 1: 1 3V 0 2 (2 ) I (4 ) I 0

Malha 2: 3 2V 0 (4 ) I (1 ) I 6 0

Passo 4: Aplicando a LKC ao nó a tem-se: 321 III

Passo 5: Foram obtidas três equações e três incógnitas, isto é; 1 32 2 I 4 I 0

3 24 I 1 I 6 0

321 III Rearranjando:

31

2 3

1 2 3

4 I2 I 0 20 I 4 I 6I 0I I

Usando determinantes de terceira ordem, tem-se:

A1

111410402110

416402

I1

A2

111410402101

460422

I2

A1

111410402

011610202

I3

O sinal negativo indica que a corrente real tem sentido oposto ao escolhido

Solução 2: Em vez de usar um determinante de terceira ordem, se poderia reduzir as três equações para duas substituindo a terceira equação na primeira e segunda equações:

1 1 2

1 2 2

2 I2 4 (I I ) 04 (I I ) I 06

→ 1 2

1 2

6 I 4 I 24 I 5 I 6

Se 6I42I 2

1

, então

A2I28I14

36I30I1686I56

I1686I56

I424

22

2222

22

e

A1I6

242I 11

MÉTODO DAS MALHAS O segundo método de análise é o método das malhas. Os passos para a

aplicação deste método são os seguintes: 1. Associa-se uma corrente ao sentido horário a cada malha fechada independente

7

do circuito. 2. Indique as polaridades de cada resistor dentro de cada malha, de acordo com o

sentido da corrente adotado para esta malha. Isso pode requerer, como indicado na Figura 3, que o resistor de 4 Ω tenha duas polaridades associadas.

3. Aplica-se a LKT em todas as malhas, no sentido horário. a) Se um resistor é percorrido por duas ou mais correntes, a corrente total que o

atravessa é dada pela corrente da malha à qual a lei de Kirchhoff está sendo aplicada mais as correntes de outras malhas que o percorrem no mesmo sentido e menos as correntes que o atravessam em sentido oposto.

b) A polaridade de uma fonte de tensão não é afetada pela escolha do sentido das correntes nas malhas.

Figura 3 – Definindo as correntes de malha para um circuito de ‘duas janelas’.

4. Resolvem-se as equações lineares simultâneas resultantes para obter as correntes de malhas.

EXEMPLO NUMÉRICO 8. Aplique o método das malhas ao circuito mostrado abaixo e determine a corrente

sobre a resistência R2.

Solução: Os passos 1 e 2 estão indicados no circuito. Note que as polaridades do resistor de 6 Ω são diferentes para cada corrente de malha.

Passo 3: é aplicada a LKT em cada malha, no sentido horário: Malha 1:

010)II(6I150EVVE

211

2211

Malha 2: 2 2 3 2 1 2E V V 0 10 6 (I I ) 2 I 0 As equações são reescritas como:

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

5 I 6 I 6 I 10 0 7 I 6 I 510 6 I 6 I 2 I 0 6 I 8 I 10

8

Se 75I6I 2

1

, então 10I87

30I3610I87

5I66 22

22

A2I40I2070I5630I36 2222 e A1I7

526I 11

.

Como I1 e I2 são positivos e fluem em sentidos opostos através do resistor de 6 Ω e da fonte de 10 V, corrente total nesse ramo é igual à diferença entre essas duas correntes no sentido da de maior intensidade. Portanto:

A1I12III 2R122R , no sentido de I2.

Supermalhas Há ocasiões em que existem fontes de corrente no circuito ao qual deve aplicar-

se o método das malhas. Em tais casos é possível converter a fonte de corrente em uma fonte de tensão (caso haja um resistor em paralelo) e proceder como antes, ou introduzir o conceito de supermalha e proceder da maneira descrita a seguir:

1. Primeiro admiti-se uma corrente de malha para cada malha independente. 2. Redesenha-se o circuito substituindo-se as fontes de corrente por circuitos

abertos. 3. Aplica-se a LKT a todos os caminhos independentes restantes do circuito,

usando as correntes de malha previamente definidas. Qualquer caminho resultante, incluindo duas ou mais correntes de malha, é definido como caminho de uma corrente de supermalha.

4. Relacionam-se as correntes da malha escolhida para o circuito às fontes de corrente independentes do circuito.

5. Resolvem-se as equações resultantes para obter as correntes de malha.

EXEMPLO NUMÉRICO 9. Usando o método das

malhas, determine as correntes no circuito mostrado na figura abaixo.

Solução:

1. Primeiro admiti-se uma corrente de malha para cada malha independente.

9

2. Redesenha-se o cir-cuito substituindo-se as fontes de corrente por circuitos abertos.

3. Aplica-se a LKT a todos os caminhos independentes restantes do circuito, usando as correntes de malha previamente definidas. Qualquer caminho resultante, incluindo duas ou mais correntes de malha, é definido como caminho de uma corrente de supermalha.

1 1 2 1 220 6 I 4 I 2 I 12 0 10 I 2 I 32

4. Relacionam-se as correntes da malha escolhida para o circuito às fontes de corrente independentes do circuito.

O nó a é usado para relacionar as correntes de malha e a fonte de corrente usando a LKC:

21 III

O resultado é um sistema de duas equações 1 2

1 2

10 I 2 I 32I I 4

5. Resolvem-se as equações resultantes para obter as correntes de malha. A67,0I8I124032I2I1032I2)I4(10 222222

A33,3I67,04III 121

Note que I1 não é igual a I2, porque a remoção da fonte de corrente é apenas um método para solução do problema.

MÉTODO DOS NÓS Um nó é definido como uma junção de dois ou mais ramos. Escolhendo um nó

qualquer do circuito como referência (ponto com potencial nulo, ou terra), os nós restantes do circuito terão potencial fixo em relação a esta referência. Portanto, para um circuito de N nós, existirão (N – 1) nós com potencial fixo em relação ao nó de referência escolhido. As equações relacionando essas tensões nodais podem ser escritas aplicando a LKC a cada um dos (N – 1) nós. Para obter a solução completa do circuito, essas tensões nodais são calculadas da mesma maneira que as correntes de malha foram calculadas no método das malhas. Os passos para a aplicação deste método são os seguintes:

1. Determinar o número de nós do circuito. 2. Escolhe-se um nó de referência e rotula-se cada nó restante com um valor

subscrito de tensão: V1, V2 e assim por diante.

10

3. Aplica-se a LKC a todos os nós exceto o de referência. Cada nó deve ser tratado como uma entidade isolada, não importando o sentido que uma corrente possa ter tido quando analisando outro nó.

4. Resolvem-se as equações resultantes para obter as tensões dos nós.

EXEMPLO NUMÉRICO 10. Aplique o método dos nós ao circuito mostrado na figura abaixo.

Solução: 1. Determinar o número de nós do circuito.

O circuito possui dois nós, como se vê na figura abaixo:

Escolhe-se um nó de referência e rotula-se cada nó restante com um valor subscrito de tensão: V1, V2 e assim por diante. O nó inferior foi tomado como re-ferência e outro nó como V1, que é a tensão no nó 1 em relação ao terra.

2. Aplica-se a LKC a todos os nós exceto o de referência. Cada nó deve ser tratado como uma entidade isolada, não importando o sentido que uma corrente possa ter tido quando analisando outro nó.

I1 e I2 são consideradas como deixando o nó na figura acima e a LKC é aplicada como segue:

21 III

As correntes I1 e I2 são determinadas pela lei de Ohm:

1

1

1

1R1 R

EVR

VI e

2

1

2

2R2 R

VR

VI

Então

IRE

R1

R1V

RV

RE

RV

RV

REVI

1211

2

1

11

1

2

1

1

1

3. Resolvem-se as equações resultantes para obter as tensões dos nós.

Substituindo por valores numéricos, tem-se:

V20V541V1

624

121

61V 111

As correntes I1 e I2 podem ser determinadas usando as equações anteriores

A667,0I64

62420

REVI 1

1

11

11

O sinal negativo indica que a corrente I1 possui sentido oposto ao indicado no circuito acima.

A667,1I1220

RVI 2

2

12

CIRCUITOS EM PONTE O circuito em ponte pode surgir em um dos três formatos mostrados na Figura 4

Figura 4 – Vários formatos para um circuito em ponte.

EXEMPLO NUMÉRICO 11. Analisar o circuito em ponte da Figura 5 usando o método dos nós e o método das

malhas.

Figura 5 – Circuito em ponde do exemplo 11.

O método das malhas (veja Figura 6) leva a;

0I5I2I)152(0I5I4I)254(20I2I4I)243(

213

312

321

0I5I11I420I2I4I9

321

321

Figura 6 – Definindo as correntes de malha.

0I8I5I2 321

Que resulta em: A667,2IA667,2IA4I 321

A corrente total sobre o resistor de 5 Ω é: A0I667,2667,2III 5325

O método dos nós (veja Figura 7) leva a:

Figura 7 – Definindo os nós do circuito.

0V11

21

51V

51V

21

0V51V

51

21

41V

41

320V

21V

41V

21

41

31

321

321

321

12

Resolvendo o sistema de equações encontra-se: V667,2VV667,2VV8V 321

A tensão entre os terminais do resistor de 5 Ω é: V0V667,2667,2VVV 5325

Observa-se a simetria das soluções.

A condição V5Ω = 0 ou I5Ω = 0 existe somente para uma relação particular entre os resistores do circuito. Esta relação pode ser deduzida usando o circuito da Figura 8, onde é indicado que I = 0 A e V = 0 V, implicando que o circuito em ponte está equilibrado (balanceado).

Figura 8 – Circuito em ponte em equilíbrio.

Se V = 0 V (curto-circuito entre a e b), então:

1

221221121 R

RIIRIRIVV

Além disso, quando V = 0 V: 443343 RIRIVV

Fazendo I = 0 A, então: 13 II e 24 II

O que faz com que a equação anterior se torne: 4231 RIRI

Substituindo I1, tem-se:

4231

22 RIRR

RI

→

4

2

3

1RR

RR

Em resumo, se a razão entre R1 e R3 for igual à razão entre R2 e R4, a ponte estará equilibrada, e I = 0 A ou V = 0 V. Esta regra se verifica no exemplo 11.

BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Capítulo 8. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.

a b

1

ELETRICIDADE BÁSICA

TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS

INTRODUÇÃO Serão apresentados os teoremas fundamentais da análise de circuitos. Isto inclui

os teoremas da superposição, de Thévenin e de Norton.

TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO O teorema da superposição, bem como os métodos vistos anteriormente, pode ser

usado para encontrar a solução para circuitos contendo uma ou mais fontes que não estejam em série nem em paralelo. A vantagem mais evidente deste método é dispensar o uso de ferramentas matemáticas, como os determinantes, para calcular as tensões e correntes solicitadas. Em vez disso, o efeito de cada fonte é levado em conta separadamente e o valor da incógnita é obtido efetuando a soma algébrica desses efeitos individuais.

O enunciado do teorema da superposição é o seguinte: A corrente através de um elemento, ou a tensão entre seus terminais, em um circuito linear bilateral é igual à soma algébrica das correntes ou das tensões

produzidas independentemente por cada uma das fontes. Ao se aplicar o teorema, é possível considerar os efeitos de duas fontes ao

mesmo tempo e reduzir o número de circuitos a serem analisados. Mas, em geral: Números de circuitos a serem analisados = Números de fontes

independentes Para considerar os efeitos de cada fonte independentemente, é necessário que

estas sejam removidas e substituídas sem afetar o resultado final. Uma fonte de tensão, na aplicação do teorema, deve ser substituída por um curto-circuito e uma fonte de corrente deve ser substituída por um circuito aberto.

A corrente total em qualquer parte do circuito é a igual à soma algébrica das correntes que seriam produzidas separadamente por cada uma das fontes

O princípio da superposição não pode ser usado para calcular a potência dissipada em um circuito, já que a dissipação de potência em um resistor varia com o quadrado da corrente ou da tensão, sendo, portanto um efeito não-linear.

EXEMPLO NUMÉRICO 1. Determinar a corrente I1 para o circuito da Figura 1.

Figura 1 – Circuito do exemplo 1.

Solução:

Fazendo E = 0 V no circuito visto na Figura 1, obtém-se o circuito mostrado na Figura 2. Notar que toda a corrente fornecida pela fonte de 3 A irá passar pelo ramo onde está o curto-circuito e assim I’1 = 0.

2

Figura 2 – Contribuição de I para I1.

Substituindo-se a fonte de corrente por um circuito aberto, obtém-se o circuito mostrado na Figura 3. Aplicando a lei de Ohm:

A5I4

126

30REI ''

11

''1

Como I’1 e I”1 têm o mesmo sentido, a corrente I1 é dada pela soma dessas duas correntes:

Figura 3 – Contribuição de E para I1.

A5I50III 1''

1'11

Note que neste caso a fonte de corrente não afeta a corrente no resistor. A tensão entre os terminais do resistor é 30 V, pois ele está em paralelo com a fonte de tensão.

EXEMPLO NUMÉRICO 2. Usando o teorema da superposi-

ção, determinar a corrente no re-sistor de 4 Ω na Figura 4.

Solução: Considerando os efeitos da fonte de 54 V (ver Figura 5):

27R3244||1224R||RRR

T

321T Figura 4 – Circuito do exemplo 2.

Figura 5 – Efeito de E1 sobre a corrente I3.

A2I2754

REI

T

1

Usando a regra dos divisores de corrente: ' '23 3

2 3

R I 12 2 24I I 1,5AR R 12 4 16

Considerando agora os efeitos da fonte de 48 V (ver Figura 6):

3

12R8412||244R||RRR T213T

Figura 6 – Efeito de E2 sobre a corrente I3.

A4I1248

REI

T

2''3

A corrente resultante no resistor de 4 Ω é: A5,2I5,14III 3

'3

''33 no sentido de I”3.

EXEMPLO NUMÉRICO 3. Usando o teorema da superposição,

determinar a corrente I2 no resistor de 12 kΩ na Figura 7.

Solução: Considerando o efeito da fonte de corrente de 6 mA (ver Figura 8) e aplicando a regra dos divisores de corrente:

Figura 7 – Exemplo 3.

mA2I120006000

1066000RRIRI '

23

21

1'2

Considerando o efeito da fonte de 9 V (ver Figura 9):

Figura 8 – Efeito da fonte de tensão sobre a

corrente I2.

mA5,0I120006000

9RR

EI ''2

21

''2

Figura 9 – Efeito da fonte de corrente sobre a corrente I2.

4

Como I’2 e I”2 têm o mesmo sentido em R2, a corrente desejada é dada pela soma dessas duas correntes:

mA5,2ImA5,0mA2III 2''2

'22

TEOREMA DE THÉVENIN O teorema de Thévenin afirma que:

Qualquer circuito de corrente contínua bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente constituído por

uma fonte de tensão e um resistor em série. Na Figura 10(a) o circuito no interior da caixa só está ligado o exterior por dois

terminais, que denominamos a e b. Usando o teorema de Thévenin, é possível substituir tudo o que existe no interior da caixa por uma fonte e um resistor, como mostrado na Figura 10(b), sem mudar as características do circuito entre os terminais a e b. Ou seja, qualquer carga conectada aos terminais a e b se comportará da mesma maneira se estiver conectada ao circuito da Figura 10(a). Nos dois casos a carga receberá a mesma corrente, tensão e potência.

Figura 10 – Efeito da aplicação do teorema de Thévenin.

Para o circuito mostrado na Figura 10(a), o circuito equivalente de Thévenin pode ser determinado diretamente combinando as baterias e resistores em série. Mas, na maioria dos casos, existem outros elementos conectados à direita ou à esquerda dos terminais a e b. Entretanto, para aplicar o teorema, o circuito a ser reduzido à sua forma equivalente de Thévenin tem de ser isolado como mostra a Figura 10, e os terminais ‘de conexão’ identificados.

A aplicação desse teorema permite determinar qualquer valor particular de tensão ou corrente num circuito linear com uma, duas ou qualquer outro número de fontes. É possível também separar uma parte de um circuito, substituindo-o pelo equivalente de Thévenin. Por exemplo, na Figura 11, após se obter o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada, pode-se calcular facilmente a corrente no resistor variável RL e a tensão entre seus terminais para qualquer valor que RL possa assumir.

Na Figura 11, todo o circuito, com exceção de RL, deve ser substituído por uma bateria e um resistor em série. Os valores desses dois componentes do circuito equivalente têm de ser escolhidos de modos a garantir que o resistor RL se comporte, no circuito visto na Figura 11(a), da mesma forma que no circuito mostrado na Figura 11(b). Em outras palavras, a corrente e tensão no resistor RL devem ser as mesmas para os dois circuitos para qualquer valor de RL.

5

Figura 11 – Substituição de um circuito complexo pelo circuito equivalente de Thévenin.

Os passos do método são os seguintes: 1. Remove-se a parte do circuito para a qual deseja obter o equivalente Thévenin.

No caso da Figura 11(a), é necessário remover temporariamente o resistor RL. 2. Assinalam-se os terminais do circuito remanescente. 3. Calcula-se RTh, colocando primeiro todas as fontes em zero (substituindo as

fontes de tensão por curtos-circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos) e em seguida determine a resistência equivalente entre os dois terminais escolhidos.

4. Calcula-se ETh retornando primeiro todas as fontes às suas posições originais no circuito e em seguida determinando a tensão entre os dois terminais escolhidos, mantendo o circuito aberto entre os terminais a e b.

5. Desenha-se o circuito equivalente de Thévenin e recoloca-se entre os terminais do circuito equivalente a parte que foi previamente removida.

EXEMPLO NUMÉRICO 4. Determinar o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do circuito da

Figura 12. Em seguida, determinar a corrente em RL considerando que essa resistência tenha valores de 2 Ω, 10 Ω e 100 Ω.

Figura 12 – Circuito do exemplo 4.

Solução: Os passos 1 e 2 levam ao circuito da Figura 13.

Figura 13 – Circuito após a aplicação dos

passos 1 e 2.

Passo 3: Substituindo-se a fonte de tensão E1 por um curto-circuito, obtém-se o circuito da Figura 14(a), onde:

2R6363R||RR Th21Th

6

Passo 4: Introduz-se novamente a fonte de tensão (ver Figura 15). Neste exemplo, a tensão de circuito aberto ETh é a mesma que a queda de tensão entre os terminais da resistência de 6 Ω. Aplicando a regra dos divisores de tensão:

V6954

3696

RRERE

12

2Th

Figura 14 – Determinação de RTh.

Passo 5, ver Figura 16:

LTh

ThL RR

EI

A5,122

6I2R LL

L L6R 10 I 0,5A

2 10

Figura 15 – Determinação de ETh.

L L6R 100 I 0,059A

2 100

Se não fosse possível a aplicação do teorema de Thévenin, cada mudança no valor de RL necessitaria de que todo o circuito mostrado na Figura 12 fosse anali- sado para se determinar os valores de tensão e corrente em RL.

Figura 16 – Substituição do circuito externo a RL

pelo circuito equivalente de Thévenin.

EXEMPLO NUMÉRICO 5. Determinar o circuito equivalente de

Thévenin para a parte sombreada do circuito da Figura 17.

Figura 17 – Circuito do exemplo 5.

Solução: Os passos 1 e 2 levam ao circuito da Figura 18.

Figura 18 – Circuitos após os passos 01 e 02..

Passo 3 (ver Figura 19): Neste caso, a substituição da fonte de tensão E por um curto-circuito estabelece uma conexão direta entre os pontos c e c’ na Figura 19(a), o que permite ‘dobrar’ o circuito, tendo como eixo a reta horizontal que liga a e b, resultando no circuito mostrado na Figura 19(b).

7

Figura 19 – Determinação de RTh.

Então:

5R3212||43||6

R||RR||RRR

Th

4231

baTh

Passo 4: O circuito redese-nhado é mostrado na Figura 20. A ausência de uma cone-xão direta entre a e b resulta em um circuito com três ra-mos em paralelo. Portanto as tensões V1 e V2 podem ser determinadas usando a regra dos divisores de tensão:

Figura 20 – Determinação de ETh.

11 1

1 3

22 2

2 4

R E 6 72 432V V 48 VR R 6 3 9

R E 12 72 864V V 54 VR R 12 4 16

Considerando a polaridade indicada na Figura 20 para ETh e aplicando a LKT à malha superior no sentido horário, obtém-se:

V6E4854VVE0VVEV Th12Th21Th

Passo 5: Ver Figura 21

Figura 21 – Circuito equivalente de Thévenin.

A aplicação do teorema de Thévenin não

se restringe a apenas um elemento passivo, como mostrado nos exemplos anteriores, pois ele pode ser aplicado em fontes, ramos inteiros, partes dos circuitos ou qualquer configuração de circuito. Pode acontecer também que seja necessário utilizar um dos métodos anteriores, como o das malhas ou da superposição para determinar o circuito equivalente de Thévenin.

EXEMPLO NUMÉRICO 6. Determinar o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do circuito da

Figura 22. Solução:

8

O circuito é redesenhado e os passos 1 e 2 são aplicados como mostra a Figura 23.

Passo 3: Ver Figura 24.

2000R6001400R

2400||8001400R6000||4000||8001400R

R||R||RRR

Th

Th

Th

Th

3214Th

Passo 4: Aplicando o teorema da superposição, serão conside-rados primeiro os efeitos da fonte de tensão E1 (ver Figura 25). O circuito aberto faz com que V4 = I4∙R4 = 0∙R4 = 0 V e:

3'Th VE e

6000||4000R||RR 32'T

Figura 22 – Circuito do exemplo 6.

Figura 23 – Circuito da Figura 22 redesenhado.

2400R 'T

Aplicando a regra dos divisores de tensão:

800240062400

RR

ERV

1'T

1'T

3

'Th33 EV5,4V

320014400V

Figura 24 – Determinação de RTh.

A aplicação do método da superposição para a fonte E2 resulta no circuito mostrado na Figura 26. Novamente tem-se V4 = I4∙R4 = 0∙R4 = 0 V e:

3''Th VE

706R

6000||800R||RR''T

31''T

Figura 25 – Contribuição da tensão E1 para ETh.

Aplicando a regra dos divisores de tensão:

9

''Th3

2''T

2''T

3 EV5,1V47067060

400070610706

RR

ERV

Como E’Th e E”Th têm polaridades opostas: V3E5,15,4EEE Th

''Th

'ThTh

Figura 26 – Contribuição da tensão E2 para ETh.

Passo 5: Ver Figura 27.

Figura 27 – Circuito equivalente de Thévenin.

TEOREMA DE NORTON Já foi visto que para qualquer fonte de

tensão em série com uma resistência interna é possível se determinar uma fonte de corrente equivalente. O circuito com fonte de corrente equivalente ao circuito de Thévenin, como mostra a Figura 28, pode ser obtido com o auxílio do teorema de Norton.

O teorema de Norton afirma que:

Figura 28 – O circuito equivalente de Norton.

Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente formado por

uma fonte de corrente e um resistor em paralelo Os passos do método são os seguintes: 1. Remove-se a parte do circuito para a qual deseja obter o equivalente de

Norton. 2. Assinalam-se os terminais do circuito remanescente. 3. Calcula-se RN, colocando primeiro todas as fontes em zero (substituindo as

fontes de tensão por curtos-circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos) e em seguida determine a resistência equivalente entre os dois terminais escolhidos. Nota-se que este passo é idêntico ao que foi descrito para o teorema de Thévenin.

4. Calcula-se IN retornando primeiro todas as fontes às suas posições originais no circuito e em seguida determinando a corrente de curto-circuito entre os dois terminais escolhidos. Esta corrente é a mesma que seria medida por um amperímetro conectado entre os terminais assinalados.

5. Desenha-se o circuito equivalente de Norton e recoloca-se entre os terminais

10

do circuito equivalente a parte que foi previamente removida. Pode-se obter o circuito equivalente de Norton a partir do circuito equivalente de

Thévenin e vice-versa utilizando as técnicas de transformação de fontes, discutidas anteriormente e reproduzidas na Figura 29.

Figura 29 – Determinação de RTh.

EXEMPLO NUMÉRICO 7. Determinar o circuito equivalente de

Norton para a parte sombreada do circuito da Figura 30.

Solução: Os passos 01 e 02 são mostrados na Figura 31.

O passo 3 é mostrado na Figura 32

N 1 23 6R R || R 23 6

Figura 30 – Circuito do exemplo 7.

Figura 31 – Identificação dos terminais de interesse.

Figura 32 – Determinação de RN.

O passo 4 é mostrado na Figura 33, indicando claramente que o curto-circuito entre os terminais a e b está em paralelo com R2, eliminando qualquer efeito dessa resistência. Portanto IN é a corrente que atravessa R1, já que:

V0V60RIV 2222

Portanto: A3I39

REI N

1N Figura 33 – Determinação de IN.

11

Passo 5: Ver Figura 34. Este circuito é o mesmo no qual foi aplicado o teorema de thévenin inicialmente. Uma simples conversão indica que os circuitos de Thévenin e Norton são, de fato, os mesmos (ver Figura 35).

Figura 34 – Determinação de RTh.

Figura 35 – Conversão entre os circuitos equivalentes de Norton e de Thévenin.

EXEMPLO NUMÉRICO 8. Determine o circuito equivalente de Norton para a parte do circuito à esquerda dos

pontos a e b vistos na Figura 36.

Figura 36 – Circuito do exemplo 8.

Solução: Passos 1 e 2 ver Figura 37.

Figura 37 – identificação dos terminais de saída.

O passo 3 é mostrado na Figura 38 e:

N 1 24 6R R || R 2,44 6

Figura 38 – Determinação de RN.

12

Passo 4: (Usando o teorema da superposição). Para a bateria de 7 V (ver Figura 39):

' '1N N

1

E 7I I 1,75AR 4

No caso da fonte de 8 A (ver Figura 40), tem-se que tanto R1 quanto R2 foram curto-circuitadas pela ligação direta entre a e b e: Figura 39 – Contribuição da fonte de tensão E1.

''NI I 8A

'' '

N N N

N

I I I 8 1,75I 6,25A

Passo 5: ver Figura 41.

Figura 40 – Contribuição da fonte de corrente I.

Figura 41 – Circuito equivalente de Norton.

BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. L. – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS – 10ª Edição. Capítulo 9. Pearson Education do Brasil. São Paulo / SP. 2004.