14826902 sinais senoidais tensao e corrente alternadas[1]

Centro Federal de Educao Tecnolgica de Santa Catarina Gerncia Educacional de Eletrnica

Tenso e Corrente Alternadas

SINAIS SENOIDAIS:

Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi Terceira Edio Florianpolis Maro, 2006.

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS

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SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi Verso 3.0 17 de maro de 2006

NOTA DO AUTOREsta apostila um material de apoio didtico utilizado pelo autor nas suas aulas das disciplinas ministradas na Gerncia Educacional de Eletrnica do Centro Federal de Educao Tecnolgica de Santa Catarina (CEFET/SC). Este material no tem a pretenso de esgotar, tampouco inovar o tratamento do assunto por ele abordado. Tem por objetivo facilitar a dinmica de aula, com expressivos ganhos de tempo, alm de dar uma primeira orientao e compreenso aos alunos sobre o assunto abordado. Este trabalho foi construdo com base nas referncias bibliogrficas, citadas ao longo do texto, nas notas de aula e na experincia do autor na abordagem do assunto com os seus alunos. Em se tratando de um material didtico elaborado por um professor de uma Instituio Pblica de Ensino, so permitidos o uso e a reproduo do texto, desde que devidamente citada a fonte. O aluno deve desenvolver o hbito de consultar, estudar e, se possvel, adquirir a Bibliografia Referenciada original para melhores resultados no processo de aprendizagem. Quaisquer contribuies, correes e crticas construtivas a este trabalho sero bemvindas pelo autor. Agradeo a todos aqueles que fizerem uso deste material, em especial aos meus alunos, razo deste material e do meu trabalho.

Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi

[email protected]

Prof. Fernando L. R. Mussoi

CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


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ndiceNOTA DO AUTOR .....................................................................................................................................2 1. TENSO E CORRENTE ALTERNADAS SENOIDAIS ....................................................................6 2. GERAO DE CORRENTE ALTERNADA ......................................................................................7 2.1. INDUO ELETROMAGNTICA ...........................................................................................................7 2.2 - PRINCPIO DE FUNCIONAMENTO DO GERADOR DE CORRENTE ALTERNADA. ...................................9 2.3 TENSO E FREQNCIA DO GERADOR............................................................................................13 2.4 - GERADORES DE CORRENTE ALTERNADA ........................................................................................16 3. PARMETROS DA FORMA DE ONDA DA TENSO E DA CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL ................................................................................................................................................20 3.1. VALOR DE PICO: ...............................................................................................................................20 3.2. PERODO (T): ....................................................................................................................................21 3.3. FREQNCIA (F): ..............................................................................................................................21 3.4. FREQNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR (): .................................................................22 3.5. FUNO MATEMTICA DA TENSO E DA CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL. ..............................24 3.5.1. Tenso Instantnea: ..................................................................................................................25 3.5.2. Corrente Instantnea: ...............................................................................................................27 3.6. VALOR MDIO ..................................................................................................................................28 3.7. VALOR EFICAZ..................................................................................................................................30 3.8. FATOR DE FORMA .............................................................................................................................33 3.9. FASE INICIAL E DEFASAGEM ANGULAR. ..........................................................................................33 3.10. OSCILOSCPIO ................................................................................................................................36 3.11. EXERCCIOS: ...................................................................................................................................37 4. NMEROS COMPLEXOS..................................................................................................................41 4.1. PLANO CARTESIANO COMPLEXO......................................................................................................41 4.2. FORMA RETANGULAR OU CARTESIANA ...........................................................................................43 4.3. FORMA POLAR ..................................................................................................................................45 4.4. CONVERSO ENTRE FORMAS ............................................................................................................46 4.4.1. Converso de Retangular para Polar .......................................................................................46 4.4.2. Converso de Polar para Retangular .......................................................................................47 4.5. OPERAES MATEMTICAS COM NMEROS COMPLEXOS ................................................................48 4.5.1. Conjugado Complexo ................................................................................................................48 4.5.2. Recproco ou Inverso de um nmero complexo ........................................................................49 4.5.3. Adio e Subtrao de nmeros complexos ..............................................................................49 4.5.4. Multiplicao de nmeros complexos .......................................................................................49 4.5.5. Diviso de nmeros complexos .................................................................................................50 4.5.6. Potenciao de nmeros complexos..........................................................................................51 4.6. EXERCCIOS ......................................................................................................................................51 5. REPRESENTAO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS ............................................................54 5.1 INTRODUO .....................................................................................................................................54 5.2. FASOR ...............................................................................................................................................56 5.3. REPRESENTAO FASORIAL COM NMEROS COMPLEXOS ..............................................................60 5.4. OPERAES MATEMTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS ...........................................63 5.5. TABELA RESUMO ..............................................................................................................................66 5.6. EXERCCIOS: .....................................................................................................................................67 6. RELAES ENTRE TENSO E CORRENTE ALTERNADAS NOS ELEMENTOS PASSIVOS DE CIRCUITOS........................................................................................................................................70Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


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6.1. RESISTOR EM CORRENTE ALTERNADA .............................................................................................70 6.1.1. Exerccios:.................................................................................................................................75 6.2. CAPACITOR EM CORRENTE ALTERNADA..........................................................................................75 6.2.1. Reatncia Capacitiva Xc: ..........................................................................................................80 6.2.2. Lei de Ohm para o Capacitor em Corrente Alternada..............................................................81 6.2.3. Resposta em freqncia para o Capacitor ................................................................................84 6.2.4. Modelo do Capacitor Real ........................................................................................................85 6.2.5. Exerccios:.................................................................................................................................85 6.3. INDUTOR EM CORRENTE ALTERNADA..............................................................................................86 6.3.1. Reatncia Indutiva XL: ..............................................................................................................90 6.3.2. Lei de Ohm para o Indutor em corrente alternada ...................................................................92 6.3.3. Resposta em freqncia para o Indutor ....................................................................................94 6.3.4. Modelo do Indutor Real ............................................................................................................95 6.3.3. Exerccios:.................................................................................................................................96 6.4. IMPEDNCIA .....................................................................................................................................96 6.4.1. Diagrama de Impedncias e Tringulo de Impedncias ........................................................101 6.4.2. Associao de Impedncias: ...................................................................................................104 6.4.3. Tabelas-resumo .......................................................................................................................106 6.4.4. Exerccios ................................................................................................................................108 6.5. ADMITNCIA...................................................................................................................................108 6.5.1. Associaes de Admitncias....................................................................................................109 6.5.2. Diagrama de Admitncias.......................................................................................................110 6.6. ANLISE DE CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA .....................................................................111 6.6.1. Anlise de Circuitos RC ..........................................................................................................111 6.6.2. Anlise de Circuitos RL...........................................................................................................114 6.6.3. Anlise de Circuitos RLC ........................................................................................................116 6.6.4. Exerccios:...............................................................................................................................122 7. POTNCIA E ENERGIA ELTRICA EM CORRENTE ALTERNADA....................................124 7.1. POTNCIA INSTANTNEA ...............................................................................................................124 7.2. POTNCIA MDIA OU POTNCIA ATIVA .........................................................................................127 7.3. ESTUDO DA POTNCIA NO RESISTOR, NO INDUTOR E NO CAPACITOR. ..........................................129 7.3.1. Potncia no Resistor................................................................................................................129 7.3.2 - Potncia no Indutor Ideal ......................................................................................................132 7.3.3. Potncia no Capacitor Ideal ...................................................................................................135 7.3.4. Potencia na Impedncia de um circuito misto ........................................................................138 7.4. POTNCIA APARENTE E TRINGULO DE POTNCIAS ......................................................................140 7.4.1. Tringulo de Potncias ...........................................................................................................141 7.5. FATOR DE POTNCIA E ENERGIA ....................................................................................................143 7.5.1. Energia Eltrica ......................................................................................................................144 7.6 - NOTAO COMPLEXA DA POTNCIA .............................................................................................144 7.7. RELAES ENTRE P E Q E OS ELEMENTOS PASSIVOS R, L E C........................................................146 7.8. CORREO DO FATOR DE POTNCIA:.............................................................................................150 7.9. EXERCCIOS ....................................................................................................................................153 8. EXERCCIOS E PROBLEMAS PROPOSTOS...............................................................................156 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS: .................................................................................................170 ANEXOS ..................................................................................................................................................171 A.1. RELAES TRIGONOMTRICAS............................................................................................172 A.2. DERIVADA......................................................................................................................................173 A.3. MEDIO DA DEFASAGEM USANDO OSCILOSCPIO .....................................................................175 A.4. ESPECTRO DE FREQNCIAS..........................................................................................................176 A.5. SRIES DE FOURIER........................................................................................................................177Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


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A.6. TEOREMA DA MXIMA TRANSFERNCIA DE POTNCIA ................................................................182 A.6.1. Transferncia de Potncia em Circuitos de Corrente Contnua.............................................182 A.6.2. Transferncia de Potncia em Circuitos de Corrente Alternada............................................182 A.6.3. Exerccios Propostos: .............................................................................................................183 A.8. FATOR DE DESLOCAMENTO E TAXA DE DISTORO HARMNICA ...............................................184 A9. INFORMAES RELEVANTES ..........................................................................................................185




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1. TENSO E CORRENTE ALTERNADAS SENOIDAISUma forma de onda de um sinal de tenso ou corrente alternada aquela onde a intensidade e a polaridade alteram-se ao longo do tempo. Em geral so sinais peridicos como as formas de onda apresentadas na figura 1.1

+

-

t

+

-

t

+

-

t

Figura 1.1 formas de onda alternadas e peridicas

Uma Corrente Alternada (ICA) aquela que inverte, periodicamente, o sentido no qual est circulando. Ela tambm varia a intensidade continuamente no tempo. Uma Tenso Alternada (VCA) aquela que inverte, periodicamente, a polaridade da tenso. J Tenso ou Corrente Alternada Senoidal aquela cuja forma de onda representada por uma senide. Dizemos que um sinal senoidal. A forma de onda peridica mais importante e de maior interesse a alternada senoidal de tenso e de corrente, porque a energia gerada nas usinas das concessionrias e a maioria dos equipamentos usam tenso e corrente alternadas senoidais. A maior parte da energia eltrica consumida gerada e distribuda na forma de tenso e corrente alternadas para os consumidores que so as residncias, o comrcio e, principalmente, as indstrias. A principal razo pela qual a energia eltrica gerada e distribuda em grande escala ser em tenso e corrente alternadas que ela apresenta uma facilidade tanto na gerao como na transformao dos nveis de tenso (elevao ou reduo). Para transportar a energia a longas distncias necessrio elevar a tenso a nveis que chegam a 750kV, para reduzir as perdas no transporte (principalmente por Efeito Joule). Nos centros de consumo a tenso novamente reduzida e distribuda aos consumidores. Os motores de corrente alternada so construtivamente menos complexos que os motores de corrente contnua. Isto uma grande vantagem pois, reduz custos e cuidados com a manuteno. Por isso so os mais baratos e os mais usados nos equipamentos. Outra importante razo a caracterstica tpica de comportamento dos circuitos eltricos e seus elementos passivos (R, L e C) quando submetidos a sinais senoidais. O tratamento matemtico permite que os mesmos teoremas de anlise de circuitos de corrente contnua (CC) possam ser aplicados anlise de circuitos com sinais alternados senoidais. Alm disso, os sinais senoidais de tenso e de corrente so muito estudados porque so, em muitos casos, a base para vrios outros sinais. Isto quer dizer que muitos sinais podem ser analisados pela combinao de mais de um sinal senoidal. O objetivo desta apostila apresentar o processo de gerao da corrente alternada senoidal e especificar as suas caractersticas, parmetros e terminologias, bem como processos matemticos para anlise do comportamento dos elementos passivos (resistor, capacitor e indutor) em circuitos de corrente alternada senoidal.




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2. GERAO DE CORRENTE ALTERNADANo estudo do Eletromagnetismo j foram vistos os princpios da Induo Eletromagntica. Para entender a produo de uma onda (sinal) senoidal devemos conhecer bem os princpios das tenses e correntes induzidas:

2.1. INDUO ELETROMAGNTICAQuando a regio onde um circuito eltrico se encontra apresenta uma variao de fluxo magntico, surge nesse circuito, uma corrente eltrica. Este fenmeno chamado de induo eletromagntica. Esta corrente induzida circuila no circuito devido uma diferena de potencial (tenso), chamada de fora eletromotriz induzida (FEM), ou simplesmente, tenso induzida. A induo eletromagntica regida por duas leis: Lei de Lenz e Lei de Faraday, j estudadas. A Lei de Faraday diz que a Fem (tenso) induzida mdia em um circuito igual ao resultado da diviso da variao do fluxo magntico numa bobina com N espiras pelo intervalo de tempo em que ocorre, com sinal trocado. Ou seja, quanto mais o fluxo variar num intervalo de tempo, tanto maior ser a tenso induzida.

e=onde:

N t

e fora eletromotriz induzida (tenso induzida) [V] /t taxa de variao do fluxo magntico no tempo [Wb/s] N nmero de espiras. A Lei de Lenz diz que o sentido da corrente induzida tal que origina um fluxo magntico induzido, que se ope variao do fluxo magntico indutor.

N

S

S

N

N

S

N

S

NCorrente I

S

Corrente Nula (I=0)

Corrente I

a) m parado no induz corrente

b) m se aproximando

c) m se afastando

Figura 2.1.1 Induo Eletromagntica

Por exemplo, na figura 2.1.1 a aproximao do im provoca um aumento do fluxo magntico perto da bobina. Conseqentemente comea a circular, na bobina, uma corrente que cria um campo magntico com polaridade inversa ao do im. O campo criado tenta impedirProf. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


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a aproximao do im, tenta parar o im, para manter o fluxo magntico constante (variao de fluxo nula). Quando o m se afasta, o efeito contrrio e a corrente induzida tem o seu sentido alternado. Um condutor se movimentando num campo magntico tambm produz variao de fluxo magntico e sofre, consequentemente, induo magntica de corrente. H trs condies fundamentais que devem existir antes que uma tenso possa ser produzida por magnetismo. Deve haver um CONDUTOR no qual a tenso ser induzida. Deve haver um CAMPO MAGNTICO na vizinhana do condutor. Deve haver movimento relativo entre o campo e o condutor. De acordo com estas condies, quando o condutor (ou condutores) se MOVER atravs de um campo magntico de maneira que as linhas de campo o atravesse, eltrons DENTRO DO CONDUTOR sero estimulados em uma direo ou outra. Assim, uma fora eletromotriz, ou tenso eltrica, induzida (criada). Sabemos que:

= B A sen onde: - fluxo magntico [Wb] B intensidade do campo magntico [T] A rea do condutor [m2] - ngulo de incidncia da linhas de campo no condutor [o ou rad] Ou seja, o fluxo magntico depende da intensidade do campo magntico, da rea do condutor atingida pelas linhas do campo magntico e do ngulo em que estas linhas atingem o condutor. O sentido da corrente induzida num condutor em movimento dentro de um campo magntico pode ser dado pela Regra da Mo Direita (Regra de Fleming), como indica a figura 2.1.2.

Figura 2.1.2 Determinao do sentido da corrente induzida com o uso da Regra da Mo Direita [2].




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As figuras 2.1.3 e 2.1.4 indicam algumas situaes de induo de corrente num condutor e o seu sentido, em funo da polaridade magntica e do sentido do movimento do condutor.

N

N

N

SCorrente Induzida Nula (a)

SCorrente Induzida Mxima (b)

SCorrente Induzida (c)

Figura 2.1.3 Movimento de um condutor dentro de um campo magntico. A amplitude da corrente induzida depende do ngulo no qual o condutor corta as linhas de fluxo [2].

N

N

S

S (a) S (b) N (c)

Figura 2.1.4 Mudar a direo do movimento ou a polaridade do campo muda o sentido da corrente induzida [2].

2.2 - PRINCPIO DE FUNCIONAMENTO DO GERADOR DE CORRENTE ALTERNADA.Um gerador de corrente alternada funciona com base na induo de fora eletromotriz num condutor em movimento dentro de um campo magntico. Para entender o seu funcionamento considere-se o esquema da figura 2.2.1, onde uma espira gira dentro de um campo magntico, gerando uma tenso (FEM) e uma corrente induzidas.




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Eixo Espira a B

Nb Terminais da Espira Sentido de rotao

S

Figura 2.2.1 Gerador de Corrente Alternada Elementar: espira girando num campo magntico

A figura 2.2.2(a) ilustra , passo a passo, a induo de uma corrente na espira do gerador de corrente alternada elementar da figura 2.2.1. Em t1 os condutores a e b esto se movimentando paralelamente ao fluxo magntico (com sentidos opostos). Como nenhuma linha de fluxo cortada =0O=180O, nenhuma tenso ou corrente induzida. No instante t2, o movimento dos condutores j corta as linhas de fluxo magntico em um determinado ngulo e uma tenso induzida e esta proporciona uma corrente induzida com o sentido indicado, dado pela regra da mo direita. No instante t3 o movimento dos condutores corta as linhas de fluxo perpendicularmente (ngulo de 90o) e a variao do fluxo mxima. A tenso induzida mxima e, portanto, h o pico de corrente induzida. Em t4, o movimento dos condutores corta as linhas de fluxo magntico em um determinado ngulo e uma tenso menor induzida. Como o ngulo complementar a 2 a tenso induzida igual a do instante t2. Em t5 os condutores a e b esto novamente se movimentando paralelamente ao fluxo magntico (com sentidos opostos) e nenhuma tenso ou corrente induzida. Neste ponto, a primeira meia volta da espira produziu a forma de onda de corrente induzida apresentada na figura 2.2.2(b). O eixo vertical indica a intensidade da corrente (ou da tenso) induzida em cada instante. O eixo horizontal indica os instantes de tempo ou o ngulo do movimento da espira no campo magntico. Como: = B A sen com a variao do ngulo devido ao movimento de giro da espira no campo magntico, o fluxo tem uma variao senoidal e, portanto, como a tenso induzida depende da variao do fluxo, ela assumir um comportamento tambm senoidal. Como a tenso e a corrente induzidas dependem da variao do fluxo e este varia de acordo com o seno do ngulo de incidncia das linhas no condutor da espira ( = B.A.sen) devido ao movimento giratrio da espira, a forma de onda resultante peridica a cada volta (cclica) e tem a forma senoidal.




11a =0 = 0 e=0 0 0 e0 = 90 = mx e mx 0 0 e0 =0 = 0 e=0o o o o o

Instante t1

Nb a N S b N

S

Instante t2

N

S

Instante t3

N

a S b S

b

S

Instante t4

Na

N

S

Instante t5

b

Na

S

(a)

v(V) i (A)

t1 o 0

t2

t3 o 90

t4

t5 o 180

t (s)

(b)Figura 2.2.2 Gerao de Corrente: (a) primeira meia volta da espira [1]; (b) forma de onda do sinal gerado.

A figura 2.2.3 representa a segunda meia volta da espira. Nota-se que, do instante t5 para t6 a direo na qual o condutor corta o fluxo invertida. Portanto, a polaridade da tenso induzida invertida e, conseqentemente, o sentido da corrente alternado, formando, a partir da, o semiciclo negativo da forma de onda, pelo mesmo processo anterior. A figura 2.2.4 indica a forma de onda senoidal produzida pelo giro de 360o (2. rad) de um condutor de uma espira em um campo magntico. O eixo vertical indica a amplitude da tenso (FEM) induzida. O eixo horizontal pode representar o tempo que a forma de onda leva para completar um ciclo inteiro (perodo). Cada instante de tempo est relacionado com a posio angular do condutor no campo magntico. Quando o eixo horizontal indicar diretamente a posio angular em graus, chamamos de ngulo eltrico. A vantagem de se indicar o eixo horizontal em graus em vez de unidades de tempo que os graus eltricos independem da velocidade com que a espira gira no campo magntico (e conseqentemente da freqncia e do perodo).




12b =0 = 0 e=0 0 0 e0 = 90 = mx e = mx 0 0 e0 =0 = 0 e=0o o o o o

Instante t5

Na b N S a N

S

Instante t6

N

S

Instante t7

N

b S a S

a

S

Instante t8

Nb

N

S

Instante t9

a

Nb

S

(a)

v(V) i (A)180o 270o 360o

t5

t6

t7

t8

t9 t (s)

(b)Figura 2.2.3 Gerao de Corrente: (a) segunda meia volta da espira [1]; (b) forma de onda do sinal gerado.

A corrente alternada resultante do processo de induo magntica, no gerador estudado, tem a forma senoidal, isto , a corrente varia no tempo periodicamente tanto em intensidade como em sentido, a cada 360o, como indica a figura 2.2.5. O mesmo ocorre para a FEM induzida: uma tenso que varia periodicamente, em intensidade e polaridade. A amplitude da tenso e da corrente induzidas nas bobinas depende: do nmero de espiras das bobinas rotativas; da velocidade na qual as bobinas se movimentam; da densidade do fluxo do campo magntico.




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NTenso Induzida 5 6 7 4 3 2 1 12 1 2 4

+

6 7 8

x

8

B

x

9

10

11

x

10

Tempo 1 12

x

x

SFigura 2.2.4 Gerando uma onda senoidal atravs do movimento de rotao de um condutor dentro de um campo magntico [2].

i (A)Mximo (pico +)

t (s)0o

90

o

180

o

270

o

360

o

Mnimo (pico -)

tempo para uma o rotao (360 ) Perodo

Figura 2.2.5 - Grfico da corrente produzida pelo gerador.

2.3 TENSO E FREQNCIA DO GERADORObservando as figuras 2.2.2 e 2.2.3 podemos concluir que o fluxo magntico na espira varia de um mximo positivo (+) em t3, a um mximo negativo (-) em t7, passando por zero durante meia volta da espira no campo magntico. Assim, a amplitude de variao do fluxo magntico na espira em meia volta dado por:

= + max ( max ) = 2Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


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Essa variao ocorre durante um dado intervalo de tempo t. Considerando a quantidade de rotaes por minuto (rpm), temos a relao: t 60s (1min) assim: rotao n rotaes

t =

30 n

No gerador das figuras 2.2.2 e 2.2.3 temos apenas dois plos magnticos produzindo um = 2 em meia volta. Se tivermos um nmero p de plos teremos:

= p sendo a fora eletromotriz induzida proporcional ao nmero de espiras

e = N substituindo

t

e = N

p 30 n

assim

e = N onde:

p n 30

e fora eletromotriz (tenso) mdia induzida [V]; - fluxo magntico por plo [Wb]; p nmero de plos; n velocidade [rpm]; N nmero de espiras O gerador de dois plos da figura 2.2.2 e 2.2.3 completa um ciclo a cada rotao. Em cada segundo teremos n/60 rotaes. Assim: 2 plos p plos equacionando, temos: n/60 rotaes por segundo f rotaes por segundo

f=onde:

np 120

f freqncia da tenso induzida em ciclos por segundo, Hertz [Hz]; p nmero de plos; n rotao em rpm. Substituindo esta equao na anterior, temos para a tenso induzida:Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


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e = 4 f NA figura 2.3.1 mostra dois geradores com o campo magntico girante no rotor e a armadura fixa no estator. O primeiro apresenta 8 plos e o segundo 2 plos. Como ambos giram a mesma velocidade, o gerador de mais plos produz um sinal de maior freqncia do que o outro. Assim, para uma dada freqncia desejada (como 60Hz, por exemplo), um gerador de mais plos pode girar a uma velocidade menor.

Geradores de 8 e de 2 plos girando a mesma velocidade

Gerador de 8 plos

Gerador de 2 plos

Figura 2.3.1 Nmero de plos magnticos influencia a freqncia da tenso gerada.

Nos circuitos eltricos, fonte de tenso alternada senoidal e fonte de corrente alternada senoidal so representadas como mostra a figura 2.4.2. Na conveno adotada, a polaridade da tenso e o sentido da corrente indicado se referem ao semiciclo positivo.

+v(t)

~ -

+i(t)

-

~

+

Figura 2.4.2 smbolo e conveno para polaridade de fontes de tenso e de corrente alternadas senoidais.




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2.4 - GERADORES DE CORRENTE ALTERNADAA figura 2.4.1 apresenta as partes essenciais de um gerador de corrente alternada elementar. chamado de elementar porque possui apenas uma espira.

Figura 2.4.1 Gerador CA. A espira em movimento conectada carga atravs de anis coletores e escovas [2].

Um gerador real consiste de muitas espiras em srie e em paralelo formando conjuntos de bobinas. O conjunto das bobinas num gerador chamado enrolamento, que montado em torno de um ncleo de ao silcio (material ferromagntico) e que constitui a chamada armadura, onde induzida a fora eletromotriz (tenso). O campo magntico produzido no gerador da figura 2.4.1 criado por um m permanente. Nos geradores comerciais, o campo magntico criado por um eletrom alimentado por uma fonte de corrente contnua. O rotor a parte que gira. O estator a parte que permanece estacionria. Nos geradores de corrente alternada a armadura pode estar no rotor ou no estator Nos geradores de corrente alternada de grande potncia, encontrados nas usinas, a armadura fixa no estator e o campo magntico que gira em torno delas, como mostra a figura 2.4.2 e tambm a figura 2.3.1. Como h um movimento relativo entre elas, h a induo eletromagntica.

Figura 2.4.2 Gerador de Corrente Alternada de Plos Girantes e Armadura Estacionria.




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No gerador CA de armadura giratria o sinal CA gerado levado carga atravs de anis coletores e escovas deslizantes, como mostra a figura 2.4.1. A armadura giratria encontrada somente em alternadores de baixa potncia devido limitao de corrente nos anis coletores e escovas. O gerador CA de campo giratrio tem o enrolamento de armadura estacionrio e o enrolamento de campo girante no rotor (o campo magntico criado por bobinas eletroms). A vantagem da armadura estacionria que a tenso gerada pode ser conectada carga diretamente, sem necessidade de anis coletores e escovas. Isso possibilita gerao de grandes nveis de tenso e de corrente (alta potncia), pois os anis e escovas s permitem operao em baixas tenses e correntes. O estator consiste de um ncleo de ferro laminado com os enrolamentos da armadura embutidos neste ncleo, como mostrado na Figura 2.4.3. O ncleo a armadura do estator.

Ncleo Laminado

Armadura do Estator

Enrolamentos da armadura

Figura 2.4.3 Armadura do Estator de um gerador de corrente alternada.

Todos os geradores, grandes ou pequenos, de corrente alternada ou de corrente contnua, requerem uma fonte de potncia mecnica para girar seus rotores. Esta fonte de energia mecnica chamada de fonte primria. Fontes primrias so divididas em duas classes: para gerador de alta velocidade e baixa velocidade. Turbinas a Vapor e a Gs so fontes primrias de alta velocidade, enquanto mquinas de combusto interna (como motores a exploso), turbinas hidrulicas em quedas de gua e turbinas elicas (hlices) so consideradas fontes primrias de baixa velocidade. O tipo de fonte primria tem um papel importante no projeto de alternadores, desde que a velocidade qual o rotor girado determina certas caractersticas de construo do alternador e operao. A figura 2.4.4 mostra uma turbina hidrulica acionando um gerador.




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Figura 2.4.4 Turbina hidrulica acionando mecanicamente o gerador.

Alternadores so avaliados de acordo com a tenso para a qual eles so projetados e pela mxima corrente que so capazes de fornecer. O produto da tenso alternada pela corrente alternada de projeto do gerador fornece a capacidade de potncia gerada, cuja unidade o Volt-Ampre. A corrente mxima que pode ser fornecida por um alternador depende da mxima perda de calor que ele pode suportar na armadura. Esta perda de calor (que uma potncia eltrica perdida, principalmente por Efeito Joule) age aquecendo os condutores e, se excessiva, destri o seu isolamento, podendo causar m operao ou curto-circuito. Sistemas de refrigerao so incorporados em grandes geradores para limitar o aquecimento. Quando um alternador sai da fbrica, este j destinado para um trabalho muito especfico. A velocidade para a qual projetado para girar, a tenso que produzir, os limites de corrente, e outras caractersticas de operao so conhecidas. Esta informao normalmente estampada em uma placa de especificaes para que o usurio conhea suas caractersticas. A figura 2.4.5 mostra dois tipos de rotores para geradores de plos girantes e armadura estacionria. O primeiro adequado para turbinas de alta velocidade como aquelas acionadas por vapor ou gs. A segunda para turbinas de baixa velocidade como aquelas acionadas por turbinas hidrulicas e motores de exploso.




19

Anis Coletores

Rotor de alta velocidade (>1200rpm)

Seo Transversal:

Rotor de Plos Salientes para baixa velocidade (0); - argumento (ngulo) do vetor desde o eixo horizontal, medido no sentido anti-horrio.Observao: O smbolo usado para indicar o argumento de um nmero complexo na forma polar e l-se:com ngulo de ou com argumento de.

Os ngulos do argumento so sempre obtidos a partir do eixo das abscissas x e deve ser adotada a seguinte conveno:ngulos positivos (+) so medidos no sentido anti-horrio a partir do eixo horizontal x. ngulos negativos (-) so medidos no sentido horrio a partir do eixo horizontal x.

Exemplo 4.3.1: representar os nmeros complexos no plano. a) C = 5 30o ver figura 4.3.1.y, Im z=5 = 30o

C = 530

o

x, Re

Figura 4.3.1 soluo do exemplo 4.3.1(a)

b) C = 5 -30o

ver figura 4.3.2.y, Im = 30 z=5o

x, Reo

C = 5-30

Figura 4.3.2 soluo do exemplo 4.3.1(b)

c) C = -5 30o = 5 210oProf. Fernando L. R. Mussoi

ver figura 4.3.3.CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


46y, Im = +210o

x, Re

z=5 C = 5210o

Figura 4.3.3 soluo do exemplo 4.3.1(c)

Observao:

Um sinal negativo no mdulo indica uma direo oposta, ou seja:

C = z = z 180 o

(

)

4.4. CONVERSO ENTRE FORMASPela figura 4.1.3 podemos observar que as formas retangular e polar esto associadas atravs das relaes trigonomtricas do tringulo retngulo formado pelo vetor z e suas projees ortogonais x e y, como est grifado na figura. A forma retangular composta pelas projees ortogonais real (x) e imaginria (y), ou seja, os catetos adjacente e oposto ao ngulo do tringulo retngulo xyz, respectivamente.

4.4.1. Converso de Retangular para PolarPara transformar um nmero complexo da forma retangular para a forma polar, desejamos obter a hipotenusa z e o ngulo a partir dos catetos adjacente x e oposto y do tringulo retngulo xyz. Atravs das relaes trigonomtricas, temos:

z2 = x2 + y2assim, a hipotenusa do tringulo retngulo xyz o mdulo da forma polar e pode ser dado por:

z = x2 + y2sabemos que,

tg =

y x

ento o argumento da forma polar pode ser dado pelo ngulo:

y = tg 1 xconclumos que um nmero complexo na forma polar :

y C = z = x 2 + y 2 tg 1 x Exemplo 4.4.1: converter os nmeros complexos da forma retangular para a forma polar:

a) C = 60 + j80Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


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z = 60 2 + 80 2 = 100 80 = tg 1 = 53,13 o 60

C = 10053,13 ob) C = 5 j5

z = 5 2 + ( 5) 2 = 50 = 5 2 5 o = tg 1 = 45 5 C = 5 2 45 o c) C = -5 + j7

z=

( 5)2 + 7 2

= 8,6

7 o = tg 1 = 54,46 5C = 8,6125,54oObservao:

Se o nmero complexo deve aparecer no segundo, terceiro ou quarto quadrantes, devemos convert-lo para estes quadrantes e determinar o ngulo apropriado a ser associado com o seu mdulo. No exemplo 4.4.1(c) o nmero 5+j7 aparece no 2o quadrante e portanto o ngulo de 54,46o deve ser associado a este quadrante ou seja 180o+(-54,46o) = 125,54o.

4.4.2. Converso de Polar para RetangularPara transformarmos um nmero complexo da forma polar para a forma retangular, desejamos obter o cateto adjacente x e o cateto oposto y a partir da hipotenusa z e do ngulo do tringulo retngulo xyz indicado na figura 4.1.3. Atravs das relaes trigonomtricas, temos:

cos =

x z

assim, o cateto adjacente que representa o nmero real x, pode ser dado por;

x = z cos e

sen =

y z

assim, o cateto oposto que representa o nmero imaginrio y, pode ser dado por;

y = z sen conclumos que um nmero complexo na forma retangular :

C = x + jy = z cos + j(z sen )Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


48

Exemplo 4.4.2: converter os nmeros complexos da forma polar para a forma retangular:

a) C = 20045o

x = 200 cos 45 o = 141,42y = 200 sen 45 o = 141,42C = 141,42 + j141,42 b) C = 30-240o

x = 30 cos 240 o = 15y = 30 sen 240 o = 25,98C = -15 + j25,98

4.5. OPERAES MATEMTICAS COM NMEROS COMPLEXOSPara podermos operar algebricamente nmeros complexos, devemos lembrar de algumas relaes. Sabemos que, para um nmero imaginrio:

j = 1fazendo:

j2 =ento:

( 1)2 = 1j 2 = 1

e ainda:j j 1 1 j = = j 2 = 1 = j j j j ento:

1 = j j

4.5.1. Conjugado ComplexoO conjugado de um nmero complexo, representado por C*, pode ser determinado simplesmente pela mudana do sinal da parte imaginria na forma retangular ou do sinal do ngulo na forma polar. Seja:

C = x + jy = zento o conjugado C* dado por:

C * = x jy = z Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


49

Exemplo 4.5.1: determine o conjugado dos nmeros complexos:

a) C = 5 + j7 b) C = 100-30o

C* = 5 j7 C* =100+30o

4.5.2. Recproco ou Inverso de um nmero complexoO recproco ou o inverso de um nmero complexo, representado por C-1 dado por:

C 1 =

1 1 10 o = = C x + jy z

Essa diviso de nmeros complexos ser estudada no item 4.5.5.

4.5.3. Adio e Subtrao de nmeros complexosA adio (soma) ou subtrao algbricas de nmeros complexos deve ser feita sempre na forma retangular. No se somam ou se subtraem nmeros complexos na forma polar. Uma transformao deve ser feita antes desta operao algbrica.Soma e Subtrao algbrica de nmeros complexos so feitas na forma retangular.

A regra para soma ou subtrao de nmeros complexos na forma retangular :Somam-se ou subtraem-se algebricamente as partes reais e as partes imaginrias, separadamente.

Assim:

C1 + C 2 = ( x 1 + jy 1 ) + ( x 2 + jy 2 ) = ( x 1 + x 2 ) + j( y 1 + y 2 )C1 C 2 = ( x 1 + jy 1 ) ( x 2 + jy 2 ) = ( x 1 x 2 ) + j( y 1 y 2 )Exemplo 4.5.2: efetuar as operaes algbricas com nmeros complexos, sendo C1 = 3 + j4 e C2 = 5 + j6: a) C3 = C1 + C2: C3 = C1 + C2 = (3 + j4) + (5 + j6) = (3 + 5) + (j4 + j6) = 8 + j10 b) C3 = C1 - C2: C3 = C1 - C2 = (3 + j4) - (5 + j6) = (3 - 5) + (j4 - j6) = -2 j2 c) C3 = C1 + C2*: C3 = C1 + C2* = (3 + j4) + (5 - j6) = (3 + 5) + (j4 - j6) = 8 j2

4.5.4. Multiplicao de nmeros complexosA multiplicao de nmeros complexos deve ser feita na forma polar. No recomendvel a multiplicao na forma retangular, embora possa ser realizada.Multiplicao de nmeros complexos feita na forma polar.

Consideremos dois nmeros complexos na forma polar C1 = z11 e C 2 = z 2 2 . Efetuemos a multiplicao:Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


50 C1 C 2 = (z11 ) (z 2 2 )

Na forma trigonomtrica:

C1 C 2 = z1 (cos 1 + jsen1 ) z 2 (cos 2 + jsen 2 ) = z1 z 2 (cos 1 + jsen1 ) (cos 2 + jsen 2 ) == z1 z 2 cos 1 cos 2 + j cos 1 sen 2 + jsen1 cos 2 + j 2 sen1 sen 2 =

(

)

= z1 z 2 [(cos 1 cos 2 sen1 sen 2 ) + j(cos 1 sen 2 + sen1 cos 2 )] =Das identidades trigonomtricas conhecidas, temos: cos 1 cos 2 sen1 sen 2 = cos(1 + 2 ) cos 1 sen 2 + sen1 cos 2 = sen(1 + 2 ) Substituindo:

C1 C 2 = z1 z 2 [cos(1 + 2 ) + jsen(1 + 2 )]C1 C 2 = z1 z 2 (1 + 2 ) Portanto, a regra para multiplicao de nmeros complexos na forma polar :Multiplicam-se os mdulos e somam-se algebricamente os ngulos.

Assim:

C1 C 2 = z11 z 2 2 = z1 z 2 (1 + 2 )Exemplo 4.5.3: efetuar as operaes algbricas com nmeros complexos, sendo C1 = 1045o e C2 = 2030o. a) C3 = C1 x C2: C3 = C1 x C2 = 1045o x 2030o = 10x20 (45o+30o) = 200 75o b) C3 = C1 x C2: C3 = C1 x C2 = 10-45o x 2030o = 10x20 (-45o+30o) = 200 -15o* *

Tambm podemos multiplicar nmeros complexos na forma retangular utilizando-se a propriedade distributiva. Assim: C1 C 2 = ( x 1 + jy 1 ) ( x 2 + jy 2 ) = ( x 1x 2 ) + j( x 1y 2 ) + j( y 1x 2 ) + j 2 ( y 1y 2 ) =

= ( x 1x 2 ) + j( x 1y 2 ) + j( y 1x 2 ) + ( 1)( y 1y 2 ) = x 1x 2 y 1y 2 + j ( x 1y 2 + x 2 y 1 ) C1 C 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + j ( x 1 y 2 + x 2 y 1 )Propriedade: o produto de um nmero complexo pelo seu conjugado um nmero real. Seja C=x+jy. Assim:

C C * = ( x + jy ) ( x jy ) = x 2 jxy + jxy j 2 y 2 = x 2 ( 1)y 2C C* = x 2 + y 2 O mesmo raciocnio vlido para a forma polar.

4.5.5. Diviso de nmeros complexosA diviso de nmeros complexos deve ser feita na forma polar.Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


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Diviso de nmeros complexos feita na forma polar.

A regra para diviso de nmeros complexos na forma polar :Dividem-se os mdulos e subtraem-se algebricamente os ngulos.

Assim:

C1 z z = 1 1 = 1 (1 2 ) C 2 z 2 2 z 2Exemplo 4.5.4: efetuar as operaes algbricas com nmeros complexos, sendo C1 = 1045o e C2 = 2030o. a) C3 = C1 / C2: C3 = C1 / C2 = 1045o / 2030o = 10/20 (45o-30o) = 0,5 15o b) C3 = C1 / C2 : C3 = C2 / C1 = 2030o / 10-45o = 20/10 (30o-(-45o)) = 2 75o* *

4.5.6. Potenciao de nmeros complexosConsideremos o complexo C = z . Dado o nmero natural no nulo n, temos: C n = C C ... Cn

= z z ... z[ + + ... + ]

C n = z n (n ) Esta equao conhecida como Frmula de Moivre.Exemplo 4.5.5: Efetue as operaes:

a) C = 230 o

(

) = (2 )(3 30 ) = 8903 3 o 2

o

b) C = (3 + j4 ) = 3 2 + 2 3 j4 + ( j4 ) = 9 + j24 + j 2 16 = 9 + j24 + ( 1 16 ) = 7 + j242

(

)

4.6. EXERCCIOS4.6.1. a) b) c) d) e) f) g) Represente os nmeros complexos num mesmo plano cartesiano e obtenha a forma polar: C1=5+j2 C2=4-j3 C3=-j4 C4=-1-j1 C5=2 C6=-7-j7

C 7 = 4 3 16

4.6.2. Represente os nmeros complexos num mesmo plano cartesiano e obtenha a forma retangular: a) b) C1=530o C2=2180oCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica



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c) d) e) f)

C3=445o C4=3-60o C5=6-150o C6=2,590o

4.6.3. Determine o argumento e o mdulo dos nmeros complexos a seguir e os represente geometricamente no plano cartesiano: a) b) 4.6.4. a) b) c) d) e) f) g) 4.6.5. 4.6.6. a) b) 4.6.7. 4.6.8. a) b) c) d) 4.6.9. a) b) c) d) e) f) C=j4

C = 2 + j2 3Faa as operaes algbricas com os nmeros complexos: (6+j5)+(2-j)= (6-j)+(4+j2)= (2,5+j3,5)-(2,5-j4,5) (4-j).(2+j3)= (1+j).(2-j).(3+j2)= (5+j2)2= (2+j).(j)-1= Calcule a e b, para que (4+j5)-(-1+j3)=a+jb Determine o conjugado de: C=(3+j)-(2+j5)= C=(1-j).(3+j).(-1)= Determine o CC, tal que: 2C+3C*=4-j Dados os complexos C1=3+j4 e C2=6-j8, determine: |C1.C2|= |C1-C2|= |C1/C2|= |(2C1+C2)/(C1+C2)|= Seja C1 = 2135 o , C 2 = 460 o , C 3 = 1 30 o e C4=3-j4, calcule: (C1.C2)/C3= C1+C2-C3= (C1.C3*)-C2= C2/C4= C1-C4*= (3C1.C2).(C3.4C4)/(2C2-C3)=

4.6.10. Prove matematicamente (literal - sem nmeros) que o produto de um nmero complexo na forma polar pelo seu conjugado um nmero real igual ao mdulo ao quadrado. 4.6.11. Prove matematicamente (literal sem nmeros) que 4.6.12. Calcule: a) j4=CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

C1 z z = 1 1 = 1 (1 2 ) . C 2 z 2 2 z 2



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b) c) d) e)

j5= (1+j)8= (1+j3)5= (1-j)-2=




54

5. REPRESENTAO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAISNeste captulo ser apresentada uma prtica ferramenta grfica e matemtica que permitir e facilitar as operaes algbricas necessrias aplicao dos mtodos de clculo e anlise de circuitos eltricos que operem com sinais senoidais de tenso e de corrente de mesma freqncia. Este mtodo faz uso de um vetor radial girante denominado Fasor.

5.1 INTRODUOJ sabemos que podemos representar sinais de tenso e de corrente alternadas senoidais atravs das seguintes expresses matemticas no chamado domnio do tempo ou domnio temporal, pois so funo do tempo: Tenso instantnea: Corrente instantnea: v(t) = Vp . sen (w.t V) i(t) = Ip . sen (w.t I)

Estas expresses matemticas para tenses e correntes, na forma trigonomtrica do domnio do tempo, no permitem mtodos prticos para a anlise de circuitos eltricos, pois no so fceis de serem algebricamente operadas.Exemplo 5.1.1: Sabemos que potncia eltrica o produto da tenso pela corrente. Obtenha a equao da potncia eltrica multiplicando a tenso instantnea v(t)=10sen(100t) pela corrente instantnea i(t)=2sen(100t-60o):

Resolvendo, temos:

p( t ) = v( t ) i( t ) = 10sen(100t ) 2sen(100 t + 60 o ) = 20 sen(100 t ) sen(100t + 60 o )A questo : como multiplicar os dois senos de ngulos diferentes? A resposta est no uso das chamadas identidades trigonomtricas. Algumas delas esto apresentadas no anexo A1. Para o produto de senos temos:sen sen = 1 [cos( ) cos( + )] 2

Assim: p( t ) = 20 sen(100 t ) sen(100 t + 60 o ) = 1 cos100 t 100 t + cos100 t + 100 t + 2 3 3

p( t ) =

1 cos cos 200 t + = 0,5 0,5 cos 200 t + = 0,25 cos 200 t + 2 3 3 3 3

Podemos concluir que uma simples multiplicao de dois sinais para a determinao da potncia num circuito no uma operao to simples e evidente.Exemplo 5.1.2: Sabemos que numa malha de um circuito eltrico devemos somar as tenses. Some os dois sinais de tenso na forma trigonomtrica e obtenha as formas de onda, sendo v1(t)=10sen(100t)) e v2(t)=15sen(100t+60o).

Para somarmos algebricamente tenses senoidais e obtermos a forma de onda resultante uma soluo pouco prtica e trabalhosa seria fazer esta operao de soma ponto a ponto das curvas senoidais, ao longo do eixo das abscissas, como mostra a figura 5.1.1. Outra soluo seria operarmos os sinais buscando alguma identidade trigonomtrica. De ambas as formas, conclumos que esta tarefa no simples, nem rpida e nem evidente.




55

v 1 ( t ) + v 2 ( t ) = 10sen(100 t ) + 15sen(100 t + 60 o )

25 20 15 10

tenso (V)

5 0 -5 -10 -15 -20 -25 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

graus

v1

v2

v1+v2

Figura 5.1.1 soma de senides ponto a ponto

Precisamos, portanto, encontrar uma ferramenta que nos facilite as operaes algbricas com sinais senoidais de tenses e correntes para que possamos fazer uma anlise rpida e correta de circuitos eltricos. No estudo do captulo 3, pudemos perceber que os parmetros mais importantes dos sinais de tenso e de corrente alternadas so: Valor de Pico: Valor Eficaz: Velocidade Angular: Freqncia: Perodo: Fase Inicial: V p e Ip Vef e Ief f T

Sabemos que todo o sistema eltrico do Brasil opera a uma mesma freqncia (60Hz). O que diferencia em algumas regies so as tenses (110; 127; 220; 227V, por exemplo). Da mesma forma, no mtodo que ser apresentado, se todas as fontes de tenso e de corrente de um circuito possurem a mesma freqncia angular poderemos omitir na representao da tenso v e da corrente i. Seja, por exemplo, o circuito da figura 5.1.2, com trs fontes de tenso alternadas operando com mesmas freqncias angulares =200rad/s, onde: v1(t) = 10.sen(200.t + 0o) v2(t) = 5,0.sen(200.t + 45o) v3(t) = 20.sen(200.t + 90o)

Todas as trs fontes apresentam a mesma freqncia angular = 200 rad/s. Desta forma, no diferencia as tenses e pode ser omitida na representao de v1, v2 e v3. A diferenciao entre estas tenses dever ser feita, ento, em funo da tenso de pico Vp (ou da tenso eficaz Vef) e do ngulo de fase inicial de cada fonte.Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


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Ser apresentado neste captulo, um mtodo para representao de sinais senoidais, de mesma freqncia, que permita facilidade nas operaes algbricas necessrias anlise e clculo de circuitos de corrente alternada. Esse mtodo chamado Representao Fasorial de Sinais Senoidais.

v2(t) v1(t) v3(t)

Figura 5.1.2: circuito com trs fontes de tenso operando mesma freqncia [1]

5.2. FASORDo estudo da Fsica, sabemos que um ponto se deslocando em um movimento circular uniforme (movimento harmnico) pode ser representado atravs de suas projees num plano cartesiano formando uma senide, como mostra a figura 5.2.1. A recproca tambm verdadeira, ou seja, uma senide pode ser representada pelas projees de seus pontos como um ponto girando em um movimento circular uniforme.Um movimento harmnico giratrio pode ser descrito por uma senide e vice-versa.

90o 120o 150o 90o

60o

v(t)

+VP

C

30o

C210o 240o270o300o 330o 360o

180

o

VP 0

o

0

o

30

o

60 90 120 150 180

o

o

o

o

o

=t (o, rad)

210o 240o 300o

330o

270

o

-VP

Figura 5.2.1: Projees de valores instantneos de um sinal senoidal [3]

Cada ponto de uma senide pode ser representado por um vetor de mdulo constante numa posio diferente, como indicado na figura 5.2.1. A medida que a senide descrita o vetor assume posies diferentes. Quando a senide completa um ciclo, o vetor descreveu um giro completo e se encontra na mesma posio inicial novamente. Este vetor , portanto, um vetor girante. Se o ciclo da senide foi descrito num dado intervalo de tempo (perodo T), o vetor deu uma volta completa no mesmo perodo da senide. Assim, podemos concluir que para uma dada freqncia f do sinal senoidal, o movimento harmnico (giratrio) do vetor possui a mesma freqncia e, portanto o vetor gira no sentido anti-horrio com a mesma freqncia ou velocidade angular da senide.




57

Analisando a figura 5.2.1 podemos observar que o ponto C, em qualquer posio angular do seu movimento giratrio, forma um vetor radial girante cujo mdulo constante e igual ao valor de pico (amplitude) da senide. Ento:Uma senide pode ser descrita por um vetor radial girante com mdulo igual sua amplitude (valor de pico) e mesma freqncia angular

A cada ciclo completado da senide, o vetor radial girante volta sua posio inicial. Se observarmos a projeo do valor da senide no instante inicial t=0 ou na posio angular inicial =t=0o, o vetor radial girante est posicionado a um determinado ngulo em relao ao eixo x. Aps um perodo T (360o) o valor estar na mesma posio de partida. Podemos observar que este ngulo corresponde ao ngulo de fase inicial da senide.A cada perodo ou ciclo completado o vetor radial girante est sempre na mesma posio angular inicial .

Se o ciclo da senide iniciar adiantado, o ngulo de fase inicial 0 positivo. Se o ciclo da senide iniciar atrasado, o ngulo de fase inicial 0 negativo, conforme ilustra a figura 5.2.2.

VP

v(t) VP V0 - t

V0

(a)

v(t) VP - t

V0(b)

VP

V0

Figura 5.2.2: ngulo inicial do vetor radial girante: (a) adiantado, positivo; (b) atrasado, negativo [3]

Considerando que este vetor radial: gira mesma freqncia angular constante da senide de origem; possui mesma freqncia f e perodo que a senide de origem; a cada volta se encontra na mesma posio inicial correspondente ao ngulo de fase inicial da senide de origem possui um mdulo constante e igual ao valor de pico Vp da senide de origem;




58

Ento esse vetor girante possui os mesmos parmetros que descrevem a senide e considerando uma dada freqncia, para defini-lo basta o seu mdulo e o seu ngulo de fase inicial. A este vetor radial girante chamamos de Fasor.Fasor um vetor radial girante com freqncia , com mdulo igual ao valor de pico VP e com ngulo de fase inicial , que representa uma senide de iguais parmetros.

Assim, os sinais senoidais de tenso e corrente tambm podem ser representados atravs de vetores girantes, chamados Fasor Tenso e Fasor Corrente, como indica a figura 5.2.2. Um fasor pode ser entendido como um vetor preso em uma das suas extremidades e girando, como os ponteiros de um relgio, uma velocidade angular dada em radianos por segundo. Se a extremidade presa do vetor girante for a origem de um plano cartesiano x-y pode-se traar as projees x e y de cada instante do deslocamento de sua extremidade livre (ponta da seta) neste plano, como mostra a figura 5.2.1. A projeo do fasor no eixo y uma funo seno que representa a amplitude instantnea da senide resultante, como ilustra a figura 5.2.3. A amplitude mxima (valor de pico) corresponder ao mdulo do fasor. Assim, a projeo y pode ser dada pela funo senoidal: y = v(t) = Vp . sen w.t = 0o = 30o = 60o = 90o = 120o = 150o = 180o = 210o = 240o = 270o = 300o = 330o = 370o v() = Vp . sen 0o = 0 v() = Vp . sen 30o = 0,5.Vp v() = Vp . sen 60o = 0,866.Vp v() = Vp . sen 90o = 1.Vp v() = Vp . sen 120o = 0,866.Vp v() = Vp . sen 150o = 0,5.Vp v() = Vp . sen 180o = 0 v() = Vp . sen 210o = -0,5.Vp v() = Vp . sen 240o = -0,866.Vp v() = Vp . sen 270o = -1.Vp v() = Vp . sen 300o = -0,866.Vp v() = Vp . sen 330o = -0,5.Vp v() = Vp . sen 370o = 0 ou y = v() = Vp . sen e os valores instantneos (amplitudes) podem ser calculados da seguinte forma:

v(t)Projeo y funo senoidal v(t)

Vp CFasor vetor girante

y

0

x

t

Figura 5.2.3: Diagrama Fasorial e as projees do fasor de um sinal senoidal.




59

Os fasores so representados graficamente atravs de diagramas fasoriais, como mostra a figura 5.2.3. Se o diagrama fasorial representar apenas a posio do fasor no instante inicial, o seu mdulo corresponde ao segmento OC na figura 5.2.3 e representa o valor de pico da senide. O ngulo desse fasor corresponde ao ngulo de fase inicial da senide. A projeo sobre o eixo y representa a amplitude da senide no instante inicial t=0. Portanto, a funo que este fasor representa : v() = Vp . sen ( ) ou em funo do tempo: v(t) = Vp . sen (.t )Exemplo 5.2.1: Representar graficamente os sinais senoidais atravs do diagrama fasorial e de sua projeo senoidal:

v(t) = 10.sen(100t + 0o) V i(t) = 5.sen(100t + 45o) ASoluo: O fasor V correspondente ao sinal senoidal v(t) deve ser posicionado sobre o eixo x, pois o seu ngulo de fase inicial =0o, e deve ter mdulo igual a 10 unidades da escala adotada, como mostra a figura 5.2.4. O fasor I correspondente ao sinal senoidal i(t) deve ser posicionado a +45o a partir do eixo x e deve ter mdulo de 5 unidades da escala adotada, como mostra a figura 5.2.4.

y eixo imaginrio

fasor I 5 45o 0

10 x eixo real fasor V

Figura 5.2.4: diagrama fasorial para os exemplos 5.2.1 e 5.2.2.

Observao: Um diagrama fasorial pode conter um ou vrios Fasores (vrios sinais senoidais) desde que sejam todos de mesma freqncia. Exemplo 5.2.2: Do diagrama fasorial da figura 5.2.4, obter a defasagem entre os sinais senoidais correspondentes aos fasores V e I: Soluo: o fasor corrente I est adiantado de 45o do fasor tenso, pois =45o-0o=45o. Tambm podemos dizer que a tenso est atrasada de 45o da corrente. Exemplo 5.2.3: Um fasor de tenso de mdulo 10 descreve uma rotao completa em 0,02s partindo da posio inicial -30o. Determine:

a) o diagrama fasorial para o instante inicial e obtenha o comportamento senoidal desse sinal; b) o ngulo em que a tenso 10V. c) a freqncia angular e a expresso matemtica para as variaes instantneas desse sinal; d) o valor da tenso no instante t=0s;Soluo: o fasor tem mdulo de 10V e parte de -30o (ou /6 rad). Sua representao grfica fica como apresentada na figura 5.2.5(a). Como a fase inicial de =-30o a senide comea o seu semiciclo positivo no ngulo =+30o.Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


60

O valor de pico positivo (10V) ocorrer em 90o+=120o e assim por diante, como mostra o grfico da figura 5.2.5(b). Como a rotao completada aps 0,02s, a freqncia angular pode ser determinada por: = 2f = 2 2 = = 314,16rad / s T 0,02

A funo instantnea para este sinal dada por: v( t ) = VP sen(t + ) = 10sen(314,16 t ) 6 No instante t=0s a funo senoidal assume o valor: v( t ) = 10sen(314,16 t ) = 10sen(314,16 0 ) = 10sen( ) = 10 0,5 = 5 6 6 6

Tambm podemos obter o valor inicial de v(t) para t=0 atravs da projeo do fasor sobre o eixo vertical (y) do diagrama fasorial:

v(0) = y(0) = 10 cos( 30 o ) = 10 ( 0,5) = 5y

v(t) +10

-30o v(0)=-5 10 0 -5

30o

t(o) 120o 210o 390o

(a)

-10

(b)

Figura 5.2.5: soluo do exemplo 5.2.3. (a) diagrama fasorial e (b) forma de onda

5.3. REPRESENTAO FASORIAL COM NMEROS COMPLEXOSComo vimos, um mtodo mais prtico e eficiente para representao grfica de sinais senoidais faz uso de um vetor radial girante denominado Fasor. Para que estes fasores permitam facilidade nas operaes algbricas dos sinais que eles representam, como na aplicao dos mtodos de anlise de circuito eltricos de corrente alternada, necessria uma ferramenta matemtica para representar tais fasores. Esta ferramenta faz uso dos nmeros complexos e de sua lgebra. Como estudado no captulo 4, um nmero complexo representado na forma retangular (ou forma cartesiana) um nmero composto por uma parte real e uma parte imaginria:C = x + jy

Um nmero complexo representado na forma polar composto por um mdulo de um vetor radial e um ngulo (ou argumento).C=z

onde:Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


61

x nmero real y nmero imaginrio j operador imaginrio ( j = z mdulo - ngulo ou argumento. Um fasor um vetor radial traado desde a origem cujo mdulo (comprimento) constante e corresponde ao valor de pico do sinal senoidal e cujo ngulo formado com o eixo das abscissas corresponde fase inicial do sinal senoidal no instante inicial t = 0. Se este fasor, que um vetor radial, for traado num plano cartesiano complexo, como mostrado na figura 5.3.1, podemos perceber que ele forma um tringulo retngulo com o eixo real x e podemos represent-lo matematicamente atravs de nmeros complexos, tanto na forma polar como na forma retangular.

1)

y eixo imaginrio y z 0 x

hipotenusa

cateto oposto x eixo real

cateto adjacenteFigura 5.3.1 representao de um fasor no plano cartesiano complexo.

Portanto, uma funo senoidal no domnio do tempo dada por:

v( t ) = Vp sen( t )pode, ento ser passada para o chamado domnio fasorial e transformada num fasor representado atravs de um nmero complexo na forma polar, tal que o mdulo corresponde a um valor fixo que identifique a senide como o valor de pico ou o valor eficaz (que proporcional ao valor e pico e constante) e o argumento corresponde ao ngulo de fase inicial:

& V = Vp ou Vp 2

& V=

& V = Vef onde:

& V - fasor representado por um nmero complexo;Vp valor de pico (amplitude) do sinal senoidal de origem; - ngulo de fase inicial do sinal senoidal de origem.Um fasor um nmero complexo na forma polar.




62

Importante: como o valor eficaz (rms), em vez do valor de pico, usado mais freqentemente na especificao e anlise de dispositivos e circuitos eltricos de corrente alternada e que, para sinais senoidais vlida e constante a relao:

Vp = Vef 2 , a representao fasorial de sinais senoidais de tenso e corrente pode usar o valor eficaz como mdulo do fasor, permanecendo o mesmo ngulo de fase para o argumento. Assim:Fasor Tenso:

& V = Vef v

onde:

& V - fasor tenso (Volts);Vef tenso eficaz (Volts); v ngulo de fase inicial do sinal senoidal de tenso (graus ou radianos) A aplicao desse raciocnio tambm vlido para sinais senoidais de corrente, ento:Fasor Corrente:

& = I I ef i

onde:

& - fasor corrente (Ampres); IVef corrente eficaz (Ampres); i ngulo de fase inicial do sinal senoidal de corrente (graus ou radianos) Como um fasor um nmero complexo, tambm podemos represent-lo na forma retangular, usando as projees x e y, como mostra a figura 5.3.1. A converso de um fasor na forma polar para a forma retangular e vice-versa atravs dos procedimentos apresentados no captulo 4.Exemplo 5.3.1: Na figura 5.2.4, considerando-se o eixo x como eixo real e o eixo y como eixo imaginrio, representar os fasores atravs de nmeros complexos, na forma polar e na forma retangular. Soluo: para o fasor V o seu mdulo 10 e o seu ngulo 0o, ento na forma polar:

& 10 0 o = 7,070 o V V= 2e para o fasor I o seu mdulo 5 e o seu ngulo +45o, ento na forma polar:& = 5 + 45 o = 3,54 + 45 o I 2

A

para obtermos a forma retangular devemos obter as projees dos fasores nos eixos x e y. Assim para o fasor V: x= 10 2 cos 0 o = 10 2 10 2 = 7,07

y= ento:

sen0 o = 0

& V = 7,07 + j0 Ve para o fasor I:Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


63 x=y=

5 25 2

cos 45 o = 2,5 sen45 o = 2,5

ento

& = 2,5 + j2,5 A IExemplo 5.3.2: transforme para o domnio fasorial os sinais senoidais:

a) v( t ) = 311 sen(377 t ) V b) i( t ) = 10 2 sen( t + 30 o ) A c) v( t ) = 50 cos( t 15 o ) mV

& V = 2200 o V & = 1030 o A I & 50 75 o mV V= 2

Exemplo 5.3.3: transforme para o domnio do tempo os seguintes fasores:

a) & = 11060 o A I

i( t ) = 110 2 sen( t + 60 o ) A v( t ) = 20 2 sen( t 45 o ) V

& b) V = 20 45 o V

5.4. OPERAES MATEMTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAISA representao fasorial importante na anlise de circuitos eltricos pois permite realizar facilmente diversas operaes matemticas entre tenses, correntes e potncias, sem usar a funo do domnio do tempo (expresses trigonomtricas) ou a representao grfica da onda. A representao trigonomtrica permite algumas operaes matemticas usando equaes chamadas identidades trigonomtricas, mas dificultam os clculos. Considerando que sinais senoidais de tenso e de corrente podem ser representados atravs de fasores e estes, por sua vez, podem ser representados por nmeros complexos, podemos oper-los atravs da lgebra aplicvel aos nmeros complexos. Feito isso podemos converter novamente o fasor resultante para o domnio do tempo e encontrarmos novamente uma funo senoidal. A figura 5.4.1 representa esse procedimento.Fasores podem ser operados atravs da lgebra dos nmeros complexos.Formas de Onda

Domnio do Tempo

Domnio Fasorial

Domnio Fasorial

Domnio do Tempo

Funo Instantnea

FASOR Operao Algbrica de Nmeros Complexos

FASOR

Funo Instantnea

v(t) = VP.sen(t ) i(t) = IP.sen(t )

& V = Vef v &=I Ief i

& V = Vef v &=I Ief i

v(t) = VP.sen(t ) i(t) = IP.sen(t )

Formas de Onda

Figura 5.4.1 seqncia para operaes algbricas de sinais senoidais usando fasores.Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


64

Observao: Na notao fasorial a funo seno sempre a referncia e a freqncia no representada, portanto: A lgebra fasorial para sinais senoidais aplicvel somente para sinais de mesma freqncia.

A representao fasorial atravs de nmeros complexos na forma retangular e na forma polar, permite todas as operaes matemticas mais direta e facilmente e segue as mesmas regras para operaes com nmeros complexos estudadas em matemtica.Observao: possvel transformar nmeros complexos da forma de polar para a forma retangular e vice-versa. Por exemplo, podemos transformar um fasor tenso na forma polar para a forma retangular e vice-versa, como demonstrado na figura 5.4.2.

x = Vef.cos

y = Vef.sen

& V = Vef FORMA POLAR

& Vef = x 2 + y 2

= arctg

y x

& V = x + jyFORMA RETANGULAR

Figura 5.4.2 transformao de polar em retangular e vice versa.

O diagrama fasorial permite somente operaes grficas de adio e subtrao. Elas podem ser realizadas pelo mesmo processo usado para soma e subtrao de vetores atravs do Mtodo do Paralelogramo. Assim como para os vetores, podemos efetuar a soma de dois fasores de forma grfica ou analtica, como mostra a figura 5.4.3:V1 V2Figura 5.4.3 soma de fasores pelo mtodo do paralelogramo

VR

Analiticamente, efetuamos a soma atravs da aplicao da equao trigonomtrica:2 2 VR = V1 + V2 + 2 V1 V2 cos

O ngulo do fasor resultante pode ser dado por:

V2 sen = tan 1 V + V cos 2 1Exemplo 5.4.1: some e subtraia os sinais senoidais

v 1( t ) = 20 2 sen(377 t + 45 o ) e

v 2 ( t ) = 40 2 sen(377 t 30 o ) :

& & Soluo: transformando em fasores, temos: V1 = 2045 o V e V2 = 40 30 o V.Como devemos somar e subtrair os sinais, devemos operar estes nmeros complexos na forma retangular. Assim, transformando para a forma retangular:Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


65

& & V1 = 14,14 + j14,14 V e V2 = 34,64 j20 V.Fazendo a operao de soma temos:

& & V1 + V2 = (14,14 + j14,14 ) + (34,64 j20 ) = (14,14 + 34,64 ) + j(14,14 j20 ) = 48,78 j5,86 VFazendo a operao de subtrao temos:

& & V1 V2 = (14,14 + j14,14 ) (34,64 j20 ) = (14,14 34,64 ) + j(14,14 + j20 ) = 20,5 + j34,14 VTransformando os resultados das operaes para a forma polar, obtemos os fasores:

& & V1 + V2 = 49,13 6,85 o V & & V1 V2 = 39,82120 o VReescrevendo os sinais senoidais no domnio do tempo, temos:

v 1( t ) + v 2 ( t ) = 49,13 2 sen(377 t 6,85 o ) V v 1( t ) v 2 ( t ) = 39,82 2 sen(377 t + 120 o ) VA partir dos sinais senoidais no domnio do tempo, as formas de onda podem ser traadas, como indica a figura 5.4.4. Podemos perceber como a lgebra fasorial facilita as operaes com os sinais senoidais que, na forma trigonomtrica, apresentam maior complexidade.

80 60 40

tenso (V)

20 0 0 -20 -40 -60 -80 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

graus

v1

v2

v1+v2

v1-v2

Figura 5.4.4 grfico para o exemplo 5.4.1.

Exemplo 5.4.2: Some os fasores do exemplo 5.4.1 aplicando as equaes trigonomtricas.2 2 VR = V1 + V2 + 2 V1 V2 cos = 20 2 + 40 2 + 2 20 40 cos 75 o = 49,13

V2 sen 20 sen 75 1 o = tan 1 V + V cos = tan 40 + 20 cos 75 = 23,15 2 1




66

este ngulo o ngulo entre a resultante e o vetor V1, ento deve ser corrigido para obtermos o ngulo a partir do eixo x:

= 30 o + 23,15 o = 6,85 oento a resultante :

& VR = 49,13 6,85 oA figura 5.4.5 mostra a soma grfica dos fasores do exemplo 5.4.2.V1 20 +45o

-30

o

-6,85

o

49,13 40

V1+V2

V2Figura 5.4.5 Soma grfica dos fasores do exemplo 5.4.2.

5.5. TABELA RESUMODe acordo com o que estudamos, podemos concluir que h quatro maneiras de representarmos um sinal senoidal: atravs do grfico da forma de onda, do diagrama fasorial, da expresso matemtica trigonomtrica e dos fasores. A forma de onda a representao mais visual, mostrando a variao peridica do sinal atravs dos grficos em funo do tempo ou em funo do ngulo. O osciloscpio o instrumento utilizado para visualizarmos a forma de onda de um sinal eltrico de tenso. O diagrama fasorial uma forma grfica simplificada de representarmos o sinal senoidal, permitindo fazermos operaes grficas de soma e subtrao entre vrios sinais de tenso ou entre sinais de corrente. A expresso matemtica na forma trigonomtrica representa a funo de forma completa, mostrando todos os detalhes do sinal e permite a determinao dos seus valores instantneos. A representao de sinais senoidais atravs dos fasores utiliza os nmeros complexos e a forma mais simplificada da funo, contendo apenas a amplitude e o ngulo de fase inicial do sinal. Essa representao permite facilmente operaes de soma, subtrao, multiplicao e diviso entre vrios sinais eltricos. A tabela 5.5.1 apresenta um resumo das representaes matemticas para os sinais senoidais de tenso e corrente.




67

Tabela 5.5.1 Representaes Matemticas de Sinais Senoidais

Tenso (V) Valor Instantneo

Corrente (A)

Domnio do TempoForma Trigonomtrica Fasor

v( t ) = Vp sen( t v )

i( t ) = Ip sen( t i )

Domnio FasorialForma Polar Fasor

& V = Vef v

& = I I ef i

Domnio FasorialForma Retangular (Cartesiana) Valor Eficaz

& V = Vef cos v + j Vef sen v & = Ief cos i + j Ief sen i I

(Mdio Quadrtico, RMS)

Vef =

Vp 2

Ief =

Ip 2

5.6. EXERCCIOS:5.6.1. Determine os fasores para os seguintes sinais senoidais e os represente atravs do diagrama fasorial: a) v 1( t ) = 15 sen 120 t + 30 o

(

)

2 b) v 2 ( t ) = 2 115 sen100 t 3 c) v 1( t ) = 311 sen(377 t ) 5.6.2. Dados os grficos e funes abaixo [1]: a) determine o perodo, freqncia, velocidade angular, fase inicial, valor de pico, pico a pico, valor eficaz e valor mdio; b) tome um sinal como referncia e verifique as defasagens em cada grupo de sinais; c) represente os sinal atravs de fasores (forma polar e retangular) e elabore o diagrama fasorial para cada conjunto de sinais de tenso e corrente; I) v1(t) = 8,0sen(500t + 25o)V; v2(t) = 4,5sen(500t)V; i1(t) = 1,0sen(500t - 135o)A II) i1(t)=10sen(400t+60o)A; i2(t)=8,0sen(400t-45o)A; v1(t)=12sen(400t-45o)V; i3(t)=7,0sen(400t)A. III) v1(t)=5,0sen(400t)V; v2(t)=2,0sen(400t-90o)V; i1(t)=2,5sen(400t-30o)A; v (t)=3,5sen(400t+180o)3

IV)



SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADASv ,i ( V ,A ) v 1 ( t) v 2 ( t)

68

6 4 2

t (s) 0 0 -2 -4 i 1 ( t) -6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

V)15 10 5 0 0 -5 -1 0 -1 5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 i 2 ( t) t ( s) v ,i ( V ,A ) i 1 ( t) v 2 ( t)

VI)10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -1 0 i 1 ( t) /4 /2 3 /4 3 /2 2 w t ( r a d /s ) i,v ( A ,V ) v 1 (t) i 2 ( t)

& & 5.6.3. Considere os fasores de mesma freqncia V1 = 1000 o , V2 = 50 30 o e &1 = 10 45 o . Ia) Faa a soma e a subtrao algbrica das tenses, na forma fasorial; b) Faa, algebricamente, o produto de cada tenso pela corrente c) Faa a soma e a subtrao das tenses graficamente, atravs do diagrama temporal (formas de onda) e atravs do diagrama fasorial;Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


69

5.6.4. Considerando o diagrama fasorial abaixo: a) Escreva as expresses matemticas no domnio do tempo (instantneas); b) Trace as curvas senoidais; c) Determine a defasagem e a freqncia dos sinais.=120 10 /4 0 7 -7/12

Figura 5.6.4 diagrama fasorial para o problema 5.6.4.




70

6. RELAES ENTRE TENSO E CORRENTE ALTERNADAS NOS ELEMENTOS PASSIVOS DE CIRCUITOSSabemos, do estudo da fsica, que uma relao entre causa e efeito no ocorre sem um oposio, ou seja, a relao entre causa e efeito uma oposio:Oposio = Causa Efeito

Nos circuitos eltricos a causa pode ser entendida como a tenso e o efeito o estabelecimento de uma corrente eltrica. A resistncia eltrica , portanto, uma oposio. Neste captulo sero estudadas as relaes existentes entre as tenses e as correntes alternadas senoidais nos Resistores, nos Capacitores e nos Indutores e sua forma de representao matemtica, alm de como a freqncia dos sinais senoidais afeta as caractersticas de comportamento desses elementos. Esse comportamento determinado pela caracterstica de oposio desses componentes quando submetidos a sinais de tenso e corrente senoidais. A forma de onda senoidal tem particular importncia pois associa naturalmente fenmenos matemticos e fsicos relacionados aos circuitos eltricos:A forma de onda senoidal a nica forma de onda alternada cuja forma no afetada pelas caractersticas de respostas dos elementos resistivos, indutivos e capacitivos.

Em outras palavras, se a tenso num resistor, indutor ou capacitor for senoidal, a corrente resultante em cada um tambm ter caractersticas senoidais (e vice-versa). Se uma outra forma de onda for aplicada, a resposta ter forma de onda diferente daquela aplicada. A notao fasorial apresentada, juntamente com as relaes entre tenso e corrente nos elementos passivos, permitir usar para circuitos com sinais senoidais de tenso e corrente, os mesmos teoremas e conceitos adotados na anlise de circuitos em corrente contnua. A essa anlise chamamos de Resposta Senoidal dos Elementos Passivos em regime permanente. Em regime permanente pois consideramos passado o efeito transitrio dos circuitos, ou seja, sem alterao de sua condio operacional.

6.1. RESISTOR EM CORRENTE ALTERNADAJ foi estudado que um resistor oferece uma oposio passagem da corrente eltrica em um circuito, devido sua resistncia eltrica. Em um circuito eltrico, como mostra a figura 6.1.1, a relao entre causa e efeito a resistncia eltrica e expressa pela relao entre tenso e corrente num resistor , chamada de Lei de Ohm.

V

+

R

I

Figura 6.1.1 tenso e corrente em um resistor.

Assim:

R=

V ICEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica



71

onde: R - resistncia do resistor (); V - tenso nos terminais do resistor (V); I - corrente que atravessa o resistor (A); Seja o circuito da figura 6.1.2, no qual uma fonte de tenso alternada senoidal v(t)=Vp.sen(.t + V) alimenta um resistor R:

i(t)

~

v(t)

R

Figura 6.1.2 circuito resistivo alimentado por uma tenso senoidal.

Pela Lei de Ohm, a relao entre causa e efeito dada por: R= v( t ) i( t )

Sabemos que a resistncia eltrica uma caracterstica dos materiais e pode, para nossos estudos, ser considerada constante. Assim: iR ( t ) = v( t ) Vp sen( t + v ) Vp = = sen( t + v ) R R R

Como tambm vlida a relao:

Ip =Ento:

Vp R

iR ( t ) = Ip sen( t + V ) Observa-se que a nica diferena existente entre as funes senoidais v(t) e i(t) o valor de pico. No h diferena nos ngulos de fases das duas funes. Isto ocorre porque num resistor a corrente sempre diretamente proporcional tenso, ou seja: tenso zero, corrente zero; tenso dobra, corrente dobra e assim por diante. Assim:

I = VAssim: iR ( t ) = Ip sen( t + I )




72

+VP

v(t) i(t)

+VP

+IP

+IP0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o /2

3/4 2 o o o 210 240 270 300 330 360oo o

=t ( , rad)o

-IP

-IP

-VP

-VPFigura 6.1.3 Corrente em fase com a tenso em um circuito resistivo.

Se traarmos as funes tenso vR(t) e corrente iR(t) no resistor, como mostra o grfico da figura 6.1.3, podemos concluir que um resistor, quando submetido a uma tenso alternada, produz uma corrente eltrica com a mesma forma de onda, mesma freqncia e mesma fase da tenso, porm, com amplitude que depende dos valores da tenso aplicada e da resistncia, conforme a Lei de Ohm. Portanto, em um circuito resistivo puro de corrente alternada (CA) as variaes na corrente ocorrem em fase com a variao da tenso aplicada.Nos terminais de um resistor, a corrente est sempre em fase com a tenso:

V = I No domnio fasorial a relao entre a tenso e a corrente determinada por:

R=resolvendo para a corrente:

& VR & IR

& & = VR IR RComo R um nmero real:

& = VRe f V = VRe f ( 0 o ) IR V R R0 oSabemos que o valor eficaz de um sinal CA corresponde a uma tenso contnua de mesmo valor sobre uma resistncia. Ento: IRe f = Assim:Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

VRe f R


73

& = I IR Re f VPodemos mais uma vez, portanto, concluir que o ngulo da corrente no resistor o mesmo da tenso: v = i. Reescrevendo:

& = I IR Re f IExemplo 6.1.1: A um resistor de 6 aplicada uma tenso de senoidal de 12Vef , 60Hz e ngulo de fase inicial zero.

a) b) c) d)

Determine a expresso trigonomtrica e o fasor para a tenso; Determine a expresso trigonomtrica e o fasor para a corrente; Trace as formas de onda para v(t) e i(t); Trace o diagrama fasorial para a tenso e corrente. Como a freqncia 60Hz, ento a freqncia angular determinada por: = 2 f = 2 60 = 377

rad/s

Assim, podemos determinar a expresso da tenso instantnea:

v( t ) = 12 2 sen(377 t + 0) = 16,97 sen(377 t )E o fasor tenso:& V = 120 o

V

V

O fasor corrente determinado pela relao:o & & = V = 120 = 20 o I R 6

A

A corrente instantnea : i( t ) = 2 2 sen(377 t + 0) = 2,83 sen(377 t ) A

Com as duas formas trigonomtricas para a tenso v(t) e corrente i(t), podemos atribuir valores para a varivel tempo (t) e traar as formas de onda com auxlio de um software de planilha eletrnica, como mostra a figura 6.1.4. Podemos perceber que a tenso e a corrente esto em fase, como era esperado. A figura 6.1.5 apresenta o diagrama fasorial para a tenso e corrente no resistor. Mais uma vez percebemos que a tenso e a corrente esto em fase num circuito resistivo.




74

20 15

tenso (V), corrente (A)

10 5 0 0 -5 -10 -15 -20 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

graus

v(t)x1

i(t)

Figura 6.1.4 Formas de onda de tenso e corrente em fase para o exemplo 6.1.1.

& = 20 o I

& V = 120 o

Figura 6.1.5 Diagrama fasorial para o exemplo 6.1.1: tenso e corrente em fase no resistor.

Observao:

Estamos considerando neste estudo, resistncias hmicas constantes, apesar de sabermos que a resistncia pode variar com a tenso aplicada (no hmica) e com a temperatura. Estamos considerando tambm que a resistncia de um resistor independente da freqncia aplicada. Na verdade um resistor real apresenta uma certa capacitncia parasita e indutncia dos condutores que so sensveis freqncia do sinal a ele aplicado. Geralmente os nveis de capacitncia e indutncia so to pequenos que seu efeito real no significante at a faixa operacional de megahertz (MHz). Nesta faixa, a curva de resistncia versus freqncia para alguns resistores de filme de carbono apresentada na figura 6.1.6. Podemos notar que os valores de resistncia diminuem com o aumento da freqncia e este comportamento mais sensvel para resistores de maior valor de resistncia nominal. Este comportamento se deve s componentes de capacitncia e indutncia intrnsecas ao resistor real e que so sensveis freqncia, como ser estudado nos itens posteriores. Neste trabalho continuaremos considerando a resistncia uma constante e tambm independente da freqncia do sinal aplicado para simplificao das anlises. Porm, o leitor deve ter em mente que estas consideraes devem ser analisadas em circuitos de alta freqncia.




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R (% do valor nominal)

f (escala logartmica)Figura 6.1.6 Comportamento da resistncia com a freqncia [fonte: Boylestad].

6.1.1. Exerccios:Dados os circuitos da figura 6.1.5, determine: a. b. c. d. e. O fasor tenso da fonte; a corrente fornecida pela fonte na forma trigonomtrica e fasorial; a tenso e a corrente em cada resistor (forma trigonomtrica e fasorial) formas de onda da tenso e corrente da fonte e em cada resistor em funo do tempo num mesmo grfico diagrama fasorial completo.R1=20 ; R2=30

Dados: v1(t) = 220.sen(377.t+90o) ; v2(t) = 100.sen(1000.t+0o) ; v3(t) = 100.sen(1000.t-60o)

I)

II)

III)

Figura 6.1.5 circuitos para o exerccio 6.1.1.

6.2. CAPACITOR EM CORRENTE ALTERNADANos circuitos eltricos, o capacitor um elemento capaz de armazenar energia eltrica. Sua constituio fsica composta por duas placas condutoras metlicas, separadas por um material isolante chamado dieltrico. Seu comportamento eltrico consiste em uma corrente eltrica (cargas eltricas) entrando em uma das placas do capacitor, obrigando a sada de igual corrente da outra placa por repulso eletrosttica. Decorrido algum tempo tem-se cargas armazenadas em ambas as placas. EsteProf. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


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acmulo de cargas corresponde uma energia armazenada na forma de campo eltrico existente entre as placas do capacitor. Estas cargas armazenadas produzem um campo eltrico de tal forma que se estabelece uma diferena de potencial ddp (tenso) entre as placas do capacitor. Um capacitor s admite corrente em seus terminais enquanto estiver sendo carregado ou descarregado. Quanto mais carga houver no capacitor maior ser o campo eltrico criado e maior ser a diferena de potencial (tenso) existente entre as placas. A relao entre a quantidade de carga armazenada e a tenso admitida entre as placas de um capacitor uma constante chamada Capacitncia. Ou seja: C= Q V [Farad]

Podemos comprovar matematicamente, do estudo dos capacitores que a energia armazenada no capacitor dada por:

En =

1 C V2 2

[Joule]

De acordo com o estudo do carregamento e descarregamento5 do capacitor, feito anteriormente e observando a figura 6.2.1, conclumos que: Em regime permanente, um capacitor carregado comporta-se como um circuito aberto em tenso contnua constante, mas permite a conduo de corrente no circuito para tenso varivel; A corrente admitida diretamente proporcional variao de tenso no tempo, sendo a capacitncia C, a constante de proporcionalidade, pois:C= dQ dv

fazendo: C= dQ dt dQ dt dt = = i( t ) dv dt dt dv dv

isolando i(t), a corrente no capacitor em funo do tempo dada por: iC (t ) = C dv C dt

A tenso nos terminais de um capacitor no pode sofrer variaes instantneas bruscas. Se ocorresse uma variao instantnea (dt0) a corrente tenderia a um valor infinito [iC(t)], o que no possvel fisicamente. Por esse motivo dizemos que o capacitor se ope variao de tenso;

A tenso acumulada nos terminais do capacitor dada por:

vC = 5

1 iC dt C

A corrente no capacitor pode variar instantaneamente, como podemos observar na figura 6.2.1(c); S existe corrente no ramo do capacitor, enquanto existir variao de tenso sobre ele (pois se V0, ento ic(t)0). Quando a corrente mxima, a tenso nula e quando a tenso mxima a corrente nula.

Este estudo apresentado na referncia bibliogrfica: MUSSOI, F.L.R. Capacitores. Florianpolis: CEFET/SC, 2003. Disponvel em: www.cefetsc.edu.br/mussoiCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica



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IC t=t1 t=t3 + (a) (b) + IC

VC(V) Vmx

IC(A) +Imx

t1

t2

t3

t4

t (s)

t1 -Imx

t2

t3

t4

14826902 sinais senoidais tensao e corrente alternadas[1]

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