TENSÃO

Admita que o corpo mostrado na figura a seguir está submetido às forças externas F e está em equilíbrio. A superfície S tem uma direção qualquer. Se material do corpo for retirado acima da superfície S, para que o corpo se mantenha em equilíbrio, é necessário a aplicação de uma força R1 sobre esta mesma superfície, sendo R1 a resultante das forças eliminadas junto com a porção de material retirada do corpo. A direção e o módulo da força Resultante R1 dependem da direção da superfície S. Assim, também, se uma das forças atuantes na porção superior do corpo for retirada, a direção e o módulo da resultante serão alteradas. O ponto P está situado sobre a superfície S e é o local de aplicação da resultante R1.

Figura 1 – Equilíbrio de forças no corpo

Define-se tensão como o resultado do carregamento da superfície S, ou seja,

Tensão =

P é um ponto de S. Então a tensão atuante em P será:

Tensão =

Se P é infinitamente pequeno, tem-se:

=

Componentes da tensão

A tensão atuante na área S pode ser decomposta segundo um sistema triortogonal, em uma componente normal e duas componentes tangenciais à área S.

1

Seja o sistema de referência denotado pelos eixos x,y,z. Desta forma a tensão será descrita por [], onde o primeiro índice refere-se ao plano onde atua a tensão e o segundo índice à direção:

[] =

Esta representação matricial é denominada Tensor de Tensão.

Para melhorar o entendimento, vamos indicar por as tensões normais e por as tensões tangenciais. Também podemos suprimir um dos índices das tensões normais de forma que simbolizaremos xx por x e assim por diante. O tensor de tensão será então:

[] =

A representação gráfica do tensor de tensão é a da Figura 2, a seguir:

Figura 2 – Tensor de Tensão

Equilíbrio das Tensões:

Condição para não haver translação: Tomemos a somatória das forças na

direção x, por exemplo, de acordo com as tensões no cubo infinitesimal mostrado na

figura a seguir

2

Desprezando-se as forças de corpo, temos

xx(dy dz) + yx (dx dz) + zx (dx dy) – (xx + – (yx + dy) (dz dx) – - (zx + dz) (dx dy) = 0

Lembre-se: Força = Tensão x Área

Fazendo as operações de subtração e dividindo tudo por dx dy dz, obtemos:

+ + = 0

De modo semelhante, vamos estabelecer o equilíbrio de rotação do corpo em relação a um ponto situado no centro do cubo. Para facilitar o entendimento, vamos fazê-lo tomando com base o plano x y, conforme a Figura 4.

xy (dy.dz) ) + (xy + (dy.dz) – yx (dx.dz) – (yx + ) (dx.dz) = 0

Os termos são de quarta ordem e podem ser desprezados.

De onde obtemos; xy = yx;

Do mesmo modo, obtemos:

xy = yx; xz = zx e yz = zy

3

Figura 3 – Equilíbrio na direção x

Figura 4 – Equilíbrio à rotação

Desta forma o tensor de tensão se reduz a um tensor simétrico da forma:

[] =

TENSÕES PRINCIPAIS

Existem planos no corpo onde só ocorrem tensões normais, não havendo, portanto, nestes planos, tensões cisalhantes. À estas tensões normais chamamos tensões principais. De acordo com a figura a seguir, que representa um plano onde ocorre tensão principal, esta deve ser paralela à direção n.

Figura 5 – Plano de aplicação da carga

Existe uma tensão normal a A, de valor . O equilíbrio das forças na direção x será:

A cos x – yx Ay - zx Az - x Ax = 0

Ax = A cos x

Ay = cos y

Az = cos z

Substituindo, temos: A cos x – yx cos y - zx cos z - x A cos x = 0

Dividindo tudo por A:

x - )cos x + yx cos y + zx cos z = 0

O mesmo pode ser feito para as direções y e z, e então teremos:

yx cos x + y - )cos y + zy cos z = 0zx cos x + yz cos y + z - ) cos z = 0

Que pode ser escrito como: = 0

Para que o sistema tenha solução não trivial:

4

det = 0

x - )y - )z - ) + 2yxxzyz - x - )yz - y - )xz - z - )xy = 0

Que resulta em

3 + 2 (x + y +z) - (x y + x xz + y z - xy - yz - xz) + (x y z + 2yxxzyz - x

yz - y xz - z xy) = 0

Que é uma equação do 3º grau. As três raízes destas equações são as tensões principais atuando em planos ortogonais entre si.

Podemos substituir:I1 = x + y +z, que é a soma da diagonal principal do tensor de tensão;I2 = x y + x xz + y z - xy - yz - xz eI3 = x y z + 2yxxzyz - x yz - y xz - z xy, que é o determinante do tensor de tensão.

Então a equação se torna:

3 + I1 2 - I2 + I3 = 0.

Os termos I1, I2 e I3 são chamados invariantes do tensor. Isto é, um determinado estado de tensão pode ser representado por diversos tensores, todos eles tendo os mesmos invariantes.

Exemplo: Seja o estado de tensão: x = 100; y = 80; z = 20; yx = 20; xz = 20; yz = 20

O tensor de tensão fica:100 20 20

20 80 2020 20 20

I1 = 200; I2 = 10400 e I3 = 96000

3 - 200 2 + 10400 - 96000 = 0.

Aplicaremos o método de Newton para resolver a equação. Este método consiste em adotar um valor para e calcular o valor da equação. Aplicar o mesmo valor adotado à derivada primeira da equação. O próximo valor a ser adotado deve ser o resultado da diferença entre o valor admitido e a divisão entre os resultados obtidos na equação e a sua derivada. Vamos passo a passo:

Seja = 0. Substituindo 0 na equação, temos

F(3 - 200 2 + 10400 - 96000

5

F(0) = 3 - 200 (2 + 10400 ( - 96000 = -96000

A derivada da equação é:

32 - 400 + 10400

substituindo por0 obtemos;

F’(32 - 400 (0) + 10400 = 10400

O próximo valor de deve ser

100 – (-56000/110400) = 9,2308

Repetimos até que o valor da equação se iguale a zero (ou muito próximo disso)

Resultado da

equação

Resultado da

derivada0 -96000 10400

9,230769 -16254,9 6963,31411,56513 -926,226 6175,20411,71512 -3,71554 6125,68311,71573 -6,1E-05 6125,483

O processo converge em quatro passos, dando como resultado a raiz:

11,71573

Agora fazemos a divisão de 3 - 200 2 + 10400 - 96000 por - 11,71573 e obtemos a equação de segundo grau:

2 -188,284 + 8194,113 = 0

Que nos fornece as outras duas raízes:

12068,26427

Colocamos as raízes na ordem decrescente (

12068,2642711,71573

Finalmente, podemos escrever:

100 20 20 120 0 0 20 80 20 p 0 68,26427

20 20 20 0 0 11,71573

6

Verifique que os invariantes de [] são os mesmos de [p]

DIREÇÕES PRINCIPAIS

Já vimos que as tensões principais atuam em planos perpendiculares entre si. Também já vimos que:

= 0

onde x, y,z são os cossenos diretores dos planos onde atuam as tensões principais. Substituindo-se os valores das tensões principais na multiplicação acima, obtemos, para cada tensão principal um sistema de equações lineares, cujos resultados são os cossenos diretores dos planos.

Note-se que a tensão principal 1 é perpendicular ao plano principal 1 e, portanto, é paralela ao eixo principal 1. Devemos, para solucionar o sistema, fazer x1 = 1.

= 0

Sabemos que x+

yz = 1

=

x1 = y1 = y1 =

De modo semelhante, fazemos y2 = 1 e z3 = 1.

Veja o exemplo:

Exemplo 2

Seja o estado de tensão: x = 12; y = 3; z = -5; yx = 2; xz = 1; yz = 0 O tensor de tensão fica:

12 2 1 2 3 0

1 0 -5

I1 = 10 I2 = -44 e I3 = -163

3 - 10 2 - 44 +163 = 0.

equação derivada0 163 -44

7

3,704545 -86,3967 -76,91992,581343 -0,01207 -75,63692,581183 -5,7E-08 -75,63612,581183 0 -75,6361

Obtemos a raiz 2,581 e a equação de segundo grau:

2 -7,419 - 63,148 = 0

Cujas raízes são 12, 479 e -5,060

2,581

-5,060

Agora podemos calcular os cossenos diretores.

Façamose x1 = 1

= 0

Bastam duas equações:2 y1 + z1 = 0,4799,479y1 = 2

y1 = 0,211z1 = - 0,057= 1,0236x1 = 0,9769 12º 20’y1 = 0,206 78º 6’z1 = - 0,0557 93º 11’

Façamos, agora, e x1 = 1

= 0

Bastam duas equações:9,419 y2 + z2 = -22 y2 = -0,419

x2 = - 0,2095z2 = - 0,0267= 1,022x2 = - 0,205 101º 48’y1 = 0,978 12º 2’z1 = - 0,026 93º 30’

Façamos, agora, e x1 = 1

= 0

8

Bastam duas equações:17,06 x3 + 2 y3 = -12 x3 - 8,06 y3 = 0

x3 = - 0,06y3 = 0,015

= 1,019

x3 = - 0,06 93º 26’y3 = 0,015 89º 8’z3 = 0,998 3º 36’

Na figura 6 mostram-se os planos e as direções onde atuam as tensões principais

CÍRCULO DE MOHR DAS TENSÕES

O círculo de Mohr descreve, graficamente, o tensor de tensões. A construção do Círculo de Mohr para três dimensões faz –se da seguinte forma:

1) Traça-se dois eixos perpendiculares , sendo o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas;

2) Marcam-se os pontos 1, 2 e 3 sobre o eixo das tensões normais;3) Traçam-se os círculos passando pelos pontos 1 e 2, 2 e 3, 1 e 3;

9

x

y

z

Figura 6 – Planos principais

Para a determinação da tensão em um plano qualquer, necessita-se dos cossenos diretores deste plano. Chamemos estes ângulos de 1n, 2n e 3n.

O ponto G que representa o plano onde atuam n e n, é obtido da seguinte forma:

4) Desenhamos uma reta passando s1 e fazendo um ângulo g1n com a vertical que passa por s1, definindo os pontos A e B;

5) Desenhamos uma reta passando por s3 e fazendo um ângulo g3n com a vertical que passa por s3 e definindo os pontos C e D;

6) Passamos um arco pelos pontos A e B, com centro no círculo que passa por s1 e s2;

7) Passamos um arco pelos pontos C e d, com centro no círculo que passa por s2 e s3;

8) O ponto G é o ponto definido pelo cruzamento destes dois arcos.

Exemplo 3:

Seja o tensor:

Obtemos:

167,9564 85,95502 36,08859

Cossenos 1 2 3x 0,8916 -0,4270 -0,1510y 0,4189 0,9042 -0,0832z 0,1721 0,0109 0,9850

ângulos 1 2 3x 26,92905 115,275 98,68632y 65,23387 25,2839 94,77435z 80,09041 89,37317 9,929791

10

Figura 7 – Círculo de Morh

Vamos obter o ponto G para 1x, 2x e 3x

Neste plano – que neste caso é o próprio plano x, as tensão normal é 150 e temos duas tensões cisalhantes, 30 e 20, cuja resultante é = 36,06

Veja que 74,7º é o suplemento de 115,3º, assim como 81,3º é o suplemento de 98,9º.

Podemos obter o ponto G para qualquer plano. tomemos o plano “n” com os seguintes cossenos diretores:

0,4; 0,5 e 0,768.

Precisamos situar a direção n no sistema 1, 2 e 3. Isto se faz multiplicando-se a matriz transposta dos cossenos das direções principais pela matriz da direção n

[C]T.[n] = [R] 0,891568 0,418915 0,172094 0,4 0,698-0,42696 0,904203 0,01094 0,5 = 0,289-0,15102 -0,08323 0,98502 0,768 0,654

Com os cossenos rotacionados para o novo sistema, encontramos os ângulos que eles fazem com as direções principais:

c1n = 0,698 1n= 45,7ºc2n = 0,289 2n = 73,2ºc3n = 0,654 3n = 49,1º

O valor da tensão é obtido fazendo-se:[F] = [T] x [N]

11

Figura 8 – Traçado do círculo de Mohr

=

Os valores da tensão neste ponto são dadas por:

sn = [F]T x [N]x = 104,58

A tensão cisalhante é obtida por

n = = 63,22

Tensão de Cisalhamento Máxima

Um vez que adotamos a ordem decrescente das tensões principais, isto é, 1

2 3, Vê-se que a maior tensão cisalhante ocorre para:

máx =

Tensões Octaédricas

Com o sistema ortogonal das direções principais pode-se construir um octaedro regular com as direções das diagonais deste octaedro coincidente com as direções principais. Os cossenos diretores das faces deste octaedro será:

(n1)2 + (n2 )2 + (n3)2 = 1 e n1 = n2 = n3

Resolvendo, obtemos:

n1 = n2 = n3 = O valor das tensões octaédricas (normal e cisalhante) é calculado por:

[p] . [n] = [Fp]

oct = [Fp] T . [n]

oct =

12

Figura 9 – Círculo de Mohr

Vejamos:

a tensão normal oct, obtem-se por:

[Fp] = =

oct = =

A tensão cisalhante, obtem-se por:

oct =

oct =

oct =

oct = oct =

oct =

ESTADOS TRIPLOS DE TENSÃO PARTICULARES

1. Estado de Tensão Uniaxial: neste estado existe apenas carregamento normal em uma única direção. O carregamento pode ser de compressão ou tração.A figura mostra o carregamento e o círculo de Mohr correspondente..

2. Estado de cisalhamento puro:

Ocorre quando o corpo está submetido à torção pura, conforme se mostra:

13

Figura 10 – Estado uniaxial de tração

O tensor ficará: ==> I1 = 0; I2 = - 2; I3 = 0

e

3. Estado cilíndrico:

Ocorre para o caso em que:

O círculo de Mohr é do tipo:

3. Estado Hidrostático.

Ocorre para

Em qualquer plano = 0

14

Figura 12 – Estado de cisalhamento puro

Figura 13 – Estado Cilíndrico

TENSÕES REDUZIDAS

No estado hidrostático não existem tensões de cisalhamento e a tensão normal pode ser representada pela tensão média.

m =

O tensor de tensão para os eixos principais é:

O Tensor pode ser decomposto em:

= +

[Tp] = [Tm] + [Tr]

Onde [Tp] = tensor de tensões principais [Tm] = Tensor de tensões médias = hidrostático

[Tr] = tensor de tensões reduzidas.

Intensidade da Tensão de cisalhamento

A intensidade da tensão de cisalhamento é definida como a raiz quadrada do segundo invariante do tensor de tensões reduzidas:

I = I =

I =

I =

I =

I = I =

I =

Calculando a intensidade de tensão para os casos particulares:

15

Figura 14 – Estado Hidrostático

Caso 1: Tração pura ou compressão pura

1 0; 2 = 3 = 0 I =

Caso 2: Torção pura

1 = - 3; 2 = 0 I = 1

Caso 3: Estado hidrostático

1 = 3 = 2 I = 0

Elipsóide das tensões

Pode-se mostrar que:

Cos Cos Cos

(Cos )2 + (Cos )2 + (Cos

+ + = 1

Que é a equação de um elipsóide, com eixos iguais às tensões principais:

DEFORMAÇÕES

Quando um corpo é submetido a um esforço ele sofre alterações em sua forma inicial. Estas alterações podem ser permanentes ou não. À esta mudança de forma, denominamos deformação. Entretanto, se em razão do esforço aplicado, o movimento de material do corpo não implicar em mudança de forma, ou seja, a distancia entre cada parte do corpo permanecer constante, haverá somente o deslocamento de um corpo rígido. O deslocamento pode consistir de translação e rotação

COMPONENTES DA DEFORMAÇÃO

16

Figura 15 – Elipsóide das tensões

Deformações lineares

Seja o segmento de reta AB, conforme figura 2.1. o segmento de reta é deformado para A’B’. Devido a deformação o segmento de reta AB aumenta de um valor dx1. o ponto deslocou-se para A’ de um valor u1. O ponto B se deslocou para B’ de um valor u1 + dx1. Se a taxa de mudança de comprimento for u1/x1, o incremento total em relação ao comprimento original dx1 será (u1/x1) dx1. O ponto B deslocou-se portanto do valor u1 +(u1/x1) dx1.

Podemos escrever:

dx1 =

O alongamento relativo ao comprimento original é expresso por

1 =

de modo análogo pode-se mostrar que:

2 =

3 =

Deformações cisalhantes

A deformação cisalhante em um ponto é igual ao deslocamento angular do ponto. Considere a figura 17. Nela está representado o deslocamento de um ponto levando em consideração as componentes de deslocamento linear e rotacional.

17

Figura 16 – Deformação linear

Na figura 17, o ângulo formado pelos segmentos OA e OB é 90º. Após a deformação, os pontos se movem para O’A’ e O’B’, com angulo diferente de 90º. A deformação cisalhante é dada por

sendo tan =

Para pequenos deslocamentos podemos considerar O’A” = OA e = tan

Assim= =

= =

Do mesmo modo, mostra-se que:

18

du2+

dx 1

du2 +

dx 2

du1+ dx2

x2

du 2

dx1

du1

du1+ dx1

Figura 17 – Elemento antes e após deformado

x1

=

E, em consequência:

+

Então para o sistema triortogonal x1, x2 e x3, teremos:

12 = + 13 = + 23 = +

Metade da do desvio do angulo de 90º é a tensão cisalhante, isto é:

12 =12 13 =13

23 =23

TENSOR DEFORMAÇÃO

Note que as deformações lineares também podem ser escritas:

1 = 2 = 3 =

Então o tensor deformação pode ser escrito na forma:

ij =

ou ainda na forma

ij =

TENSOR DESVIO DA DEFORMAÇÃO

Como no tensor de tensão, a deformação hidrostática é obtida por:

hid = = m

o tensor deformação hidrostática será:

hid =

19

O tensor desvio da deformação é obtido subtraindo-se o tensor deformação hidrostática do tensor deformação:

desvio =

DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS

De modo análogo ao tensor de tensão, existirá para o tensor deformação um conjunto de planos ortogonais entre si onde só ocorrem deformações lineares, ou seja, xy = xz = yz = 0

Assim, existem os invariantes do tensor deformação:

E1 = xx + yy + zz

E2 = xy + xz + yz - xxyy - xxzz - yyzz

E3 = xxzzzz + 2xyzzyz - xy zz - xz yy -yz xx

Que leva à equação do terceiro grau:

- E1 + E2 - E3 = 0

cujas raízes serão as deformações principais eNo caso da deformação plástica E1 = 0

GRANDES DEFORMAÇÕES

O corpo na figura 19 foi tracionado aumentando o seu comprimento de L para L1. A seção transversal AA deslocou-se para A’A’ após a deformação.

20

Figura 18 – Corpo sob grande deformação linear.

Nas condições mostradas podemos escrever:

Mas, como vimos anteriormente:dx =

Fazendo as substituições devidas, obteremos:

dx =

e, finalmente obtemos:

x= = ln

A deformação assim calculada é denominada deformação logarítmica ou deformação verdadeira.

TAXA DE DEFORMAÇÃO

O processo de deformação ocorre ao longo de um determinado tempo. A velocidade instantânea de um ponto no corpo sob deformação é dada por:

v =

as velocidades nas direções x y e z serão, então:

vx = vy = vz =

Como havíamos mostrado o tensor deformação é:

ij =

21

A taxa de deformação é definida como a variação da deformação por unidade de tempo, ou

ij =

ij =

ij =

Lembrando que vi = e vj =

Teremos:

ij =

x =

y =

z =

xy = +

xz = +

yz = +

E o tensor taxa de deformação se escreverá:

ij =

e finalmente, da mesma forma que já mostrado para o tensor deformação, pode-se encontrar as taxas de deformações principais.

Exemplo 1 – Cálculo de deformações

Um corpo foi submetido à torção no plano xy. O ângulo de torção foi xy = 1º. Vamos estudar as deformações geradas no corpo.

xy 1º xy= 0,01745

xy= = 0,008725

O tensor deformação será:

0 0,008725 0 0,008725 0 0

0 0 0

Os invariantes do tensor deformação são:

E1 = 0

22

E2 = - 7,6.10-5

E3 = 0

Que fornece a equação:

3 - 7,6.10-5 = 0

Cujas raízes são:

0,008725 0 -0,008725

Para calcular os cossenos diretores, faremos:. =

. =

0 0,008725 0 k1x 0,0087250,008725 -0,00873 0 k1y = 0

0 0 -0,0087 k1z 0

analiticamente, temos

[] . [k] = [1]

Então

[]-1 . [1] = [k]

114,6132 114,6132 0 0,008725 k1x

114,6132 0 0 0 = k1y

0 0 -114,613 0 k1z

que fornece o resultado

[k] =

O módulo de [k} =

e os cossenos diretores são:

De forma semelhante encontramos:

n2x = - 0707 2x = 135º

23

n2y = 0,707 2y = 45ºn2z = 0 2z = 90º

e

n3x = 0 3x = 90ºn3y = 0 3y = 90ºn3z = 1 3z = 0º

O circulo de Mohr é mostrado na figura a seguir

O círculo de Mohr mostrada na figura mostra as deformações multiplicadas por 1000.

O plano N, mostrado no circulo mostra a posição da tensão para um plano qualquer no corpo. Neste caso, o plano N é:

N =

As deformações neste plano são, então:

n = 0,00581

n = 0,00411

24

RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO

Como vimos, quando um corpo é submetido a um carregamento sofre uma deformação. Em razão disto, na direção de aplicação do esforço, sua dimensão resultará aumentada, se o esforço for trativo, ou, reduzida, se o esforço for compressivo. A alteração nas dimensões do corpo não ocorrerá, contudo, somente na direção de aplicação da força, senão também nas outras duas direções que definem as dimensões do corpo. Se o esforço em uma direção causa aumento da dimensão naquela direção, provocará redução nas direções perpendiculares àquela. Caso contrário, provocará redução nas direções perpendiculares àquela. As deformações perpendiculares relacionam-se entre si de acordo com o coeficiente de Poisson, isto é:

= - = - = - = - = - = -

O coeficiente de Poisson n é uma propriedade de cada material.

RELAÇÕES NO REGIME ELÁSTICO

Como dissemos, se o corpo é carregado terá suas dimensões alteradas. Se, após a retirada do carregamento, o corpo retornar às suas dimensões originais, diremos que o carregamento ocorreu no regime elástico. Caso, contrário, diremos que ocorreu no regime plástico. A figura abaixo mostra o um ensaio de tração de um corpo e representa a parte elástica e plástica do material sob carregamento.

No regime elástico, a tensão é proporcional á deformação. Segundo a Lei de Hooke, escreve-se:

= E

Sendo E = módulo de elasticidade ou módulo de Young.

25

Figura 19 – Curva tensão x deformação

Podemos então, escrever:

= = - = -

= = - = -

= = - = -

As sobreposição dos efeitos de , e sobre as deformações será então:

= -+ )] = -+ )] = -+ )]

Para as deformações angulares, a lei de Hooke se escreve:

= G

Onde G = módulo de elasticidade transversal.

Lembrando que = 2

= 2G

= 2G

= 2G

As equações acima podem ser escritas para as direções principais:

= -+ )]= -+ )] = -+ )]

Existe uma relação entre G e E, que pode ser obtida quando se considera o estado de torção pura.

na torção pura : = -; = 0= =

substituindo na equação acima para , temos: = -- )] = (1+) = (1+) = (1+)

26

de onde se tira:

G =

Princípios da plasticidade

Princípio da incompressibilidade:

Um corpo submetido a um esforço, no regime plástico, mudará de forma permanentemente sem contudo mudar seu volume. Na verdade, há uma variação volumétrica desprezível.

Tomemos um corpo de comprimento c, altura h e largura w. Ao se deformar plasticamente passa a Ter as dimensões cf, hf e wf.Seu volume inicial será:

V = c.h.w

Enquanto seu volume final será:

Vf = cf . hf . wf

Sendo

V = Vf = 1

= ln 1 = 0 x + y +z = 0

Podemos também afirmar que:x + y +z = 0

Coeficiente de Poisson no Regime Plástico

O coeficiente de Poisson relaciona as deformações longitudinais, como vimos para o regime elástico. Considerando o volume constante, no regime plástico, teremos:

y =z

x + y +z = 0x + 2 y = 0y =

Então, o coeficiente de Poisson é, neste caso, = 0,5

27

CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO

O corpo sob carregamento deixará de se comportar elasticamente sob determinado nível de carregamento. Para determinar este nível, precisamos adotar algum critério. A seguir, apresentamos os dois critérios mais empregados.

Critério de Tresca:

Segundo este critério um corpo escoa quando a tensão de cisalhamento máxima atinge um valor crítico.

No ensaio de tração a tensão de cisalhamento máxima é dada por

máx =

Na tração pura, 2 = 3 = 0. Seja k o valor crítico da tensão de cisalhamento máxima onde se inicia o escoamento. Então substituindo-se estes dados na equação anterior, obtemos

k =

No ensaio de tração, o corpo escoa quando a tensão atinge o limite de escoamento do material (o). Logo:

K = = -

Na torção pura, temos que 1 = -3 e 2 = 0 o = 1 -1) o =1 ou 1 =

Isto é, precisa-se da metade da tensão para deformar plasticamente um corpo por torção pura do que o necessário para deformar este corpo por tração pura.

Critério de von Mises.

Este é um critério de energia. Segundo este critério, o corpo escoa quando a energia de deformação do tensor-desvio atingir um valor crítico.

O tensor-desvio para as tensões principais é:

= [ij]

m =

A energia de deformação será:

W = [ij].[ij]

Mas, ij =

28

Logo, W = [ij]. =

W = (1 – m)2 + (2 – m)2 + (3 – m)2 W = 1)2 - 21m + (m)2 + 2)2 - 22m + (m)2 +3)2 - 23m + (m)2}W = { 1)2 + 2)2 + 3)2 - 2m(123) + 3(m)2}W = { 1)2 + 2)2 + 3)2 - 2 ) (123) + 3()2}

W = { 1)2 + 2)2 + 3)2 – + }

W = { 1)2 + 2)2 + 3)2 – }W = { 1)2 + 2)2 + 3)2 – [1)2 + 2)2 + 3)2 + 212) + 213) + 223)]}

W = { 1 -2)2 + 2 - 3)2 + 13)2} = k

Onde k = valor crítico a partir do qual inicia-se o escoamento

Vamos aplicar a o critério para o ensaio de tração. Neste caso, como já vimos:2 = 3 = 01 = o (Limite de escoamento para o ensaio de tração)

Substituindo na função do critério:

k = { 1 -2)2 + 2 - 3)2 + 13)2}

k = { o - 0)2 + ( - 0)2 + o – 0)2}

k = (o)2

Igualando-se as duas equações, obtemos o critério de von Mises:

o =

Vamos, agora, aplicar o critério para a torção pura:

1 = -3 e 2 = 0

o = o = 1 = = 0,577o

Compare os critérios:

Tração pura Torção puraTresca 1 = o 1 = 0,5 o

von Mises 1 = o 1 = 0,577o

29

Uma comparação gráfica dos dois critérios pode ser feita traçando-se a a linha que representa o limite de escoamento no plano (estado biaxial com 3 = 0) onde o eixo y corresponda a 2\o e o eixo x a 1\º

Para o critério de von Mises teremos:o =

Substituindo os valores obtemos:

+ = 0

Que é a equação de uma elipse que passa pelos pontos (1,0) (1,1) (0,1) (-1,0) (-1,-1) (0,-1) e esta representada pela linha azul.

Para o critério de Tresca teremos, fazendo uma das tensões igual a zero:

o = x - y

No primeiro quadrante, como as tensões só podem ser positivas,

30

Figura 20 – Critérios de Tresca e von Mises

x = o ou y = o

Da mesma forma, no terceiro quadrante, as tensões são negativas, podendo ocorrer:

x = -o ou y = - o

No segundo e no quarto quadrantes as tensões são uma positiva e a outra negativa. Nestas circunstancias vale a equação da reta

o = x - y ou o = y – x

RELAÇÕES TENSÃO – DEFORMAÇÃO NO REGIME PLÁSTICO

No regime plástico, as deformações não são proporcionais à tensão, como no caso do regime elástico. Considere a figura abaixo, que representa o escoamento de um material no ensaio de tração.

Na parte plástica da curva, a inclinação da reta dependerá do incremento d. seja a inclinação da reta . Então:

d = d

Diferenciando a equação em relação ao tempo, teremos:

Ou

=

31

Figura 21 – Relações no Regime Plástico

Em termos de tensoriais, podemos escrever:

=

As relações tensão deformação podem ser escritas na forma:

= d

onde

Isto é:

= d ()= d ()

= d

Contudo

=

Usando o critério de von Mises para a tração pura (ensaio de tração), e substituindo pela tensão desvio;

=

=

=

=

=

=

é denominada tensão efetiva, equivalente ou tensão comparada (equivalente á tensão aplicada na tração pura) é denominada taxa de deformação equivalente, efetiva ou comparada e pode ser calculada por:

=

Agora, tomando a expressão:

32

= , e substituindo, obtemos:

de onde

d = d d =

Finalmente podemos obter a relação entre a tensão deformação:

= d

Então:

=

=

De modo similar:

= =

= = =

ESTADO DE DEFORMAÇÃO PLANA

A figura a seguir apresenta o ensaio de deformação plana. O corpo está submetido à compressão “-p”, ocorrendo o atrito = p, na direção x, na interface entre a peça e as ferramentas. O corpo está livre para escoar nas direções x e y. Entretanto, devido à restrição do material ao redor da zona de deformação, o corpo escoa muito pouco (desprezível) na direção y. Isto equivale dizer que y = 0. Como não há escoamento na direção y, não há movimento relativo do material da peça em relação ao material das ferramentas e, portanto, não há atrito nesta direção.

33

y

zx

-p

-p

-p

Figura 22 – Forjamento em deformação plana

y= 0 dy=0

dy = = 0

z = -p; x = 0

donde:

y = - p/2

O tensor de tensão fica:

[T] =

I1 = -3p/2

I2 =

I3 = 3 – I1 2 + I2 - I3 = 0

cujas raizes são:

= = -p/2 =

fazendo c =

Temos

= ; = -p/2 ; = - ) = -pc/2 - ) = -pa/2 - ) = -pc

Aplicando critério de von Mises para o escoamento, teremos: =

= Se não houver atrito, c = 1 e = Lembrando que na tração pura = x , então

p = x = 1,155 x

34

p

-p

p

-p/2

Ou seja, é necessário um esforço 15,5% maior para deformar um material em deformação plana do que o necessário para deformar o material por tração pura.

Aplicação das relações tensão deformação no regime elástico

Um anel de contração é aquecido e sobreposto a um inserto conforme mostrado na figura 23.

O diâmetro interno do anel de contração antes de ser colocado sobre o inserto é 99,8 mm. O diâmetro externo é 120 mm. O inserto tem um diâmetro de 100 mm.

O material do inserto tem as seguintes propriedades: Einserto = 70 GPa e = 0,3

O material do anel tem as seguintes propriedades: Eanel = 200 GPa e = 0,25

Qual o valor da pressão de contato anel-inserto?

A figura a seguir mostra o corte do anel e o equilíbrio das forças atuantes.

35

100

120

Figura 23 – Anel montado sobre inserto

Figura 24 – Equilíbrio do anel em corte

Para haver o equilíbrio do anel é necessário que:

50.30 = 2.20.30

=

A tensão é trativa e atua no sentido de aumentar o perímetro do anel de contração. A deformação devida ao alongamento é:

= / Eanel

= 3,926/ 200 .10 9

= 1,963 .10 –11

As tensões no inserto são como mostradas a seguir:

Adotando o plano da face do inserto como o plano xy, temos que:

= = = 0

Aplicando as relações:

=

= = - 1,071 10-11

Logo:

=

=

36

Figura 25 – Tensões no inserto

=

= 7.14 10-12

O círculo de Mohr para a tensão e deformação é o mostrado a seguir

Após o resfriamento o diâmetro interno do anel será igual ao diâmetro externo do inserto.

Ranel = Rinserto

Ranel = 49,9 (1 + )

Ranel = 49,9 (1 + 1,963 .10 –11)

Rinserto= 50 (1 + )Rinserto= 50 (1 - 1,071 10-11 )

Então:49,9 (1 + 1,963 .10 –11) = 50 (1 - 1,071 10-11 )

= 66 MPa

37

figura 26 – Círculo de Mohr no inserto

ENSAIO DE TRAÇÃO

A curva típica do ensaio de tração de um material metálico tem o seguinte aspecto:

Limite de Proporcionalidade: é a tensão onde a curva deixa de ser retilínea (proporcional)Limite de Resistência à Tração (): É a carga máxima dividida pela área da seção transversal do corpo de prova.Limite de Escoamento Convencional: (): É a tensão necessária para produzir uma deformação permanente de 0,2%

Limite de Ruptura () : É a tensão onde ocorre o rompimento do corpo de prova

Deformação uniforme (e): Deformação correspondente à carga máximaDeformação convencional ou de engenharia (e): É definida como sendo a variação linear do comprimento útil do corpo de prova pelo seu comprimento original.

e = onde;

L = comprimento do corpo de prova após a deformação

Lo = comprimento inicial do corpo de prova

Tensão Média (s) = É definida como a tensão obtida pela divisão da carga pela área inicial

38

Figura 27- Curva obtida no ensaio de tração

S = onde P = carga e Ao = área inicial

Considerando a constância de volume:

Ao Lo = AL

= e, também, - 1 = - 1

Como - 1= e, temos que a área real após uma deformação do corpo será:A =

A tensão verdadeira será, então:

= (e + 1)

A deformação verdadeira é definida como a deformação instantânea do corpo e pode ser calculada por:

= = ln = ln (e+1)

A figura 28 mostra a comparação entre as curvas tensão-deforrmação

verdadeira e de engenharia (convencional).

Como se pode ver na figura, a curva tensão deformação verdadeira é sempre crescente. Esta curva, para muitos metais, pode ser expressa por

39

NOTE BEM: Não confundir deformação com redução de diâmetro. Por exemplo, para corpos de seção transversal circular a deformação será: = = = 2 ln

Figura 28 – Curvas convencional e verdadeira

= K (Equação de Holloman)

Onde K é o Coeficiente de Resistência e n e o coeficiente de encruamento

Esta expressão pode ser adaptada para

log = log k + n log

Que representa a equação de uma reta do tipo Y = B + AX , sendo B = log K e A = n = inclinação da reta

Da figura 29, temos n = = =

Instabilidade em tração

Quando se atinge a carga máxima (Limite de Resistência à Tração), geralmente, inicia-se o empescoçamento do corpo de prova. O pescoço é uma deformação localizada. Isto significa que, naquele instante, a diminuição da seção transversal do corpo se torna maior que a resistência do material ao carregamento devido ao encruamento. Esta condição ocorre para dP = 0

Sendo P = AdP = A d + dA = 0 -

sendo = - = d

Então,

40

Figura 24 – Curva linearizada

Figura 29 – Curva tensão deformação verdadeira linearizada

Note que a taxa de encruamento é diferente do coeficiente de encruamento.

Sendo = ln (1 + e)

d =

41

......................... Taxa de encruamento = n ......................Coeficiente de encruamento

Figura 30 – Determinação do ponto de instabilidade à tração

O que leva à construção de Considère:

Na figura a linha que passa pelo ponto e = -1 e tangencia a curva tensão verdadeira x deformação convencional determina o Limite de Resistência do material. O ponto onde a linha corta o eixo das tensões determina a tensão média no Limite de Resistência do material.

Os dados da tabela abaixo foram obtidos para o ensaio de tração de um corpo de prova de cobre ETP, com comprimento útil de 50 mm e diâmetro de 8mm.

desloca-mento

d [mm]

força

P [N]

Tensãomédia

S [Mpa]

deformação de

engenhariae

deforma-ção

verdadeira

Ärea real

A [mm2]

Tensãoverdadeira

Mpa]

0 0 0 0 0 50,2654 03 3400 67,64085 0,0600 0,0583 47,42027 71,69936 4500 89,52466 0,1200 0,1133 44,8799 100,26769 5300 105,4401 0,1800 0,1655 42,59787 124,419412 5800 115,3873 0,2400 0,2151 40,53668 143,080315 6200 123,3451 0,3000 0,2624 38,66576 160,348618 6400 127,324 0,3600 0,3075 36,95991 173,160621 6600 131,3028 0,4200 0,3507 35,39823 186,4524 6700 133,2923 0,4800 0,3920 33,96316 197,272627 6800 135,2817 0,5400 0,4318 32,63992 208,333830 6900 137,2711 0,6000 0,4700 31,41593 219,633833 6900 137,2711 0,6600 0,5068 30,28041 227,8701

42

Exemplo

Figura 31 – Construção de Considère

36 6800 135,2817 0,7200 0,5423 29,22412 232,6845

A área inicial do corpo de prova Ao = 50,2654.

e = = ln (1+ e) A = S = P/Ao = P/A

O gráfico a seguir mostra as curvas tensão-deformação verdadeira e convencional. A equação 0,536 foi obtida por regressão estatística empregando-se o método dos mínimos quadrados.

A gráfico mostra a construção de Considère.

Todos softwares de planilha de dados executam funções de regressão estatística. Utilizando o método dos mínimos quadrados temos, para a equação de Holloman:

= Kn

ln () = ln (K) + n ln (), que corresponde à equação da reta

Y = B + AX sendo Y = ln ()B = ln (K)X = ln ()

a solução pelo método dos Mínimos Quadrados é dada pelo sistema:

43

Apêndice

y = 326,49x0,5361

0

50

100

150

200

250

300

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8

138 MPa2

33 M

Pa

Y= cB + AX XY = b X + A X2

onde c é o número de pontos a serem ajustados.

No exemplo anterior, montamos a seguinte tabela

c X = ln () Y = ln () XY X2

1 -2,84269 4,272481 -12,1453 8,0808672 -2,17746 4,607843 -10,0334 4,7413453 -1,7987 4,823658 -8,6763 3,235314 -1,5366 4,963406 -7,62677 2,3611385 -1,33802 5,07735 -6,7936 1,7903016 -1,17933 5,154219 -6,07853 1,3908197 -1,04795 5,228163 -5,47884 1,0981938 -0,93639 5,284586 -4,94841 0,8768199 -0,83983 5,339142 -4,48399 0,7053210 -0,75501 5,391962 -4,07101 0,57004711 -0,6796 5,428776 -3,68942 0,46186212 -0,61189 5,449684 -3,33461 0,374411 -15,7435 61,02127 -77,3602 25,68643

o sistema a ser resolvido é:

Cuja solução é B = 5,7883 B = ln (K) K = e5,7883 = 326,46

A = 0,536

ATRITO E CONFORMAÇÃO

No decorrer do processo existe o movimento relativo entre o material da peça que esta sendo formada e as ferramentas. As forças de atrito resultantes deste movimento relativo dependerão da existência ou não de um meio lubrificante na interface. No caso da existência de um meio lubrificante líquido o atrito dependera da eficiência da lubrificação e da viscosidade do fluido. Se o meio lubrificante for sólido, o atrito dependerá da resistência ao cisalhamento do material lubrificante. De um modo geral podemos supor quatro modos de lubrificação na conformação:

44

Atrito a seco Lubrificação limítrofe

Lubrificação filme espessoLubrificação filme fino

Figura 32 – Tipos de lubrificação

1 – Atrito a seco: Ocorre sem a presença de lubrificante. O contato entre metal/metal rege o atrito que será determinado pela tensão de cisalhamento do material mais mole. Costuma-se adotar, neste caso, valores de atrito 0,3.

2 – Lubrificação Limítrofe ou mista: Ocorre quando o file lubrificante não é suficientemente espesso para separar as superfícies e o contato metal/metal surge em algumas regiões. Nesta caso, o atrito será dependente tanto da natureza das superfícies em contato quanto do material lubrificante. Em geral, adota-se valore s de = 0,03 a 1.

3 – Atrito de filme fino: Quando a espessura do filme é da ordem de algumas vezes o tamanho da molécula do lubrificante, surge o regime de filme fino. Nestes casos, o atrito é da ordem de = 0,1 a 0,3

4 – Atrito de filme espesso: Se a espessura do filme lubrificante é suficiente para separar completamente a s duas superfícies em contato, ocorre o regime de filme espesso. Este regime pode ser obtido tanto por lubrificação hidrostática quanto por lubrificação hidrodinâmica. Neste caso o atrito será da ordem de 0,03

TIPOS DE ATRITO

O atrito é definido como a resistência ao movimento de um corpo quando este está em movimento relativo a outro corpo com qual mantenha contato.

A lei de Coulomb estabelece que a força de atrito é proporcional a força normal ao movimento do corpo:

F= F

45

O coeficiente de atrito de Coulomb () é independente da velocidade e das áreas em contato. Sendo assim, pode-se escrever o atrito de Coulomb em razão das tensões na superfície em contato.

=

Uma outra forma de definir o atrito é admitindo a interação entre os materiais em contato e que o atrito dependera do cisalhamento do material mais mole. Assim o atrito ficará melhor descrito se adotarmos um fator de atrito (m) na forma:

m =

=tensão de cisalhamento no escoamento do material mais mole= tensão normal às superfícies em contato

O valor de m é constate entre 0 e 1 e independente da tensão normal.

O maior valor do atrito ocorrerá quando a tensão de cisalhamento do material mais mole atingir o valor da tensão limite de cisalhamento no escoamento.

A pior condição de atrito ocorre para o cisalhamento puro, isto é:

= ; = - = 0

Aplicando-se o critério de von Mises, obtemos:o = o = o = ==> o =

Assim

= e

= = 0,577

APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE LEVI-MISES

O corpo contido na matriz é submetido a uma tensão de compressão igual a -915 MPa. O corpo é constituído de um material com curva tensão-deformação igual = 1451 0,6. A lubrificação é perfeita, de modo que o atrito é nulo em todas as superfícies. Queremos determinar as dimensões finais do corpoAs dimensões inicias do tarugo são:Lx = 30

46

Ly = 40Lz = 30

Nestas condições:

x = 3; y = 1 e z = 2 (não havendo atrito, não há tensões cisalhantes nas superfícies e portanto as tensões nos eixos x,y,z são as tensões principais)Também, sabe-se que y = 1 = 0 ( está livre para escoar). E, ainda, quez = 0 (o material está restrito na direção z).

Então, aplicando as equações de Levy-Mises, obtemos:

= = 0

Para

= 0, obtemos

Lembrando que:e=

47

915 MPa

Matriz

Punção

Tarugo

X

YZ

Figura 33 – Forjamento em deformação plana

A deformação em cada eixo pode ser calculada da seguinte forma:1 – impõe-se um incremento de no eixo x2 – calcula-se o incremento no eixo z3 – calcula-se a tensão equivalente (tensão no eixo y é zero)4 – com o valor da tensão equivalente vai-se à curva tensão deformação e calcula-

se a deformação equivalente

5 – calcula-se o valor de dee

6 –calculam-se os valores de dex e dez

7 – impõe-se um novo incremento de e volta-se ao passo 1, até atingir a tensão prevista.

A tabela a seguir apresentam os valores calculados passo a passo:

y z x e e dy dz dx y z x

0 -45 -90 77,942 0,0076 00 -58 -115 99,593 0,0115 3,87E-05 0,0033 0 -0,0033 0,0033 0 -0,00330 -70 -140 121,24 0,016 3,68E-05 0,0039 0 -0,0039 0,0072 0 -0,00720 -83 -165 142,89 0,021 3,52E-05 0,0044 0 -0,0044 0,0116 0 -0,01160 -95 -190 164,54 0,0266 3,38E-05 0,0048 0 -0,0048 0,0164 0 -0,01640 -108 -215 186,2 0,0326 3,26E-05 0,0053 0 -0,0053 0,0216 0 -0,02160 -120 -240 207,85 0,0392 3,16E-05 0,0057 0 -0,0057 0,0273 0 -0,02730 -133 -265 229,5 0,0463 3,07E-05 0,0061 0 -0,0061 0,0334 0 -0,03340 -145 -290 251,15 0,0538 2,99E-05 0,0065 0 -0,0065 0,0399 0 -0,03990 -158 -315 272,8 0,0617 2,91E-05 0,0069 0 -0,0069 0,0468 0 -0,04680 -170 -340 294,45 0,0701 2,84E-05 0,0073 0 -0,0073 0,0541 0 -0,05410 -183 -365 316,1 0,0789 2,78E-05 0,0076 0 -0,0076 0,0617 0 -0,06170 -195 -390 337,75 0,0881 2,73E-05 0,008 0 -0,008 0,0697 0 -0,06970 -208 -415 359,4 0,0977 2,67E-05 0,0083 0 -0,0083 0,078 0 -0,0780 -220 -440 381,05 0,1077 2,63E-05 0,0087 0 -0,0087 0,0866 0 -0,08660 -233 -465 402,7 0,1181 2,58E-05 0,009 0 -0,009 0,0956 0 -0,09560 -245 -490 424,35 0,1289 2,54E-05 0,0093 0 -0,0093 0,105 0 -0,1050 -258 -515 446 0,14 2,5E-05 0,0096 0 -0,0096 0,1146 0 -0,11460 -270 -540 467,65 0,1515 2,46E-05 0,01 0 -0,01 0,1246 0 -0,12460 -283 -565 489,3 0,1634 2,43E-05 0,0103 0 -0,0103 0,1349 0 -0,13490 -295 -590 510,95 0,1756 2,39E-05 0,0106 0 -0,0106 0,1455 0 -0,14550 -308 -615 532,61 0,1882 2,36E-05 0,0109 0 -0,0109 0,1563 0 -0,15630 -320 -640 554,26 0,2011 2,33E-05 0,0112 0 -0,0112 0,1675 0 -0,16750 -333 -665 575,91 0,2144 2,3E-05 0,0115 0 -0,0115 0,179 0 -0,1790 -345 -690 597,56 0,228 2,28E-05 0,0118 0 -0,0118 0,1908 0 -0,19080 -358 -715 619,21 0,2419 2,25E-05 0,0121 0 -0,0121 0,2029 0 -0,20290 -370 -740 640,86 0,2561 2,23E-05 0,0123 0 -0,0123 0,2152 0 -0,21520 -383 -765 662,51 0,2707 2,2E-05 0,0126 0 -0,0126 0,2278 0 -0,22780 -395 -790 684,16 0,2856 2,18E-05 0,0129 0 -0,0129 0,2407 0 -0,24070 -408 -815 705,81 0,3009 2,16E-05 0,0132 0 -0,0132 0,2539 0 -0,25390 -420 -840 727,46 0,3164 2,14E-05 0,0135 0 -0,0135 0,2674 0 -0,26740 -433 -865 749,11 0,3323 2,12E-05 0,0137 0 -0,0137 0,2811 0 -0,28110 -445 -890 770,76 0,3484 2,1E-05 0,014 0 -0,014 0,2951 0 -0,29510 -458 -915 792,41 0,3649 2,08E-05 0,0143 0 -0,0143 0,3094 0 -0,3094

As dimensões finais se calculam da seguinte forma

x = ln hf = ho e x hf = 22,02

48

z = ln hf = ho e z hf = 30

y = ln hf = ho e y hf = 54,5

METODOS ANALÍTICOS

MÉTODO DA ENRGIA UNIFORME

O Método da Energia Uniforme não leva em consideração os trabalhos devido ao atrito e devido à mudança de forma.

Trefilação

O trabalho de deformação homogênea por unidade de volume para levar um corpo desde o diâmetro inicial do até o diâmetro final df é:WH =

Considerando-se s uma tensão constante média de escoamento, teremos

WH = WH =

Como = 2 ln WH = 2 ln

O trabalho das forças externas na trefilação éWext =

Volf = Af Lf

Então igualando o trabalho externo ao trabalho de deformação homogênea, obtemos a força de trefilação Ftref = 2tref ln

49

Laminação

Considere a figura a seguir, onde se compara a laminação com o forjamento entre matrizes planas:

Pelo triangulo retângulo, temos:

L2 = R2 –

Sendo R muito maior que h, podemos fazer:

L=

A carga de deformação homogênea, para uma tensão de escoamento média constante, será:

P = .L.w

w = largura da placa

P = .w

METODO DA DIVISAO EM ELEMENTOS

O Método da Divisão em Elementos busca estabelecer o equilíbrio das forças em um elemento diferencial dentro da zona deformada. O Método leva em consideração a deformação homogênea e o atrito.

Trefilação

50

Figura 34 - Laminação

A figura 35 mostra a trefilação de um placa plana:

Fazendo o somatório das forças na direção x:

= 0(hb) - (+ d)(h + dh)b – b – b = 0

Divide-se tudo por b, obtendo:

(h) - (+ d)(h + dh) – 2p tg dx – 2p dx = 0

h - h- h d- dh - ddh – 2p tg dx – 2p dx = 0

- h d- dh – 2p tg dx – 2p dx = 0

Da figura, sabe-se que:

= tg = dx

h d+ dh + 2p tg + 2p = 0

h d+ dh + p dh + p cotg dh = 0

Aplicando o critério de Tresca e admitindo que = e = -p, temos:

= + p p = -

51

dx

hpp

p

dx

h +

dh

p

Figura 35 – Trefilação de placas planas

h d+ [ + (- ) (1 + cotg dh = 0

Fazendo B = cotg , teremos:

h d + [ -B+ (1 + B)]dh = 0

=

B =

na trefilação:

hO= = 0

hF = =

B=

B ln = ln

=

=

Para obtenção da tensão de trefilação para um corpo cilíndrico devemos simplesmente substituir a altura h pelo raio r, de forma que:

Pois a área de um corpo cilíndrico varia com o raio ao quadrado.

A equação que se obtem é:

=

Extrusão

A extrusão se dá de forma semelhante à trefilação. Aproveitamos a mesma figura xx.

Fazendo o somatório das forças na direção x:

= 0

(hb) - (+ d)(h + dh)b – b – b = 0

Divide-se tudo por b, obtendo:

52

(h) - (+ d)(h + dh) – 2p tg dx – 2p dx = 0

h - h- h d- dh - ddh – 2p tg dx – 2p dx = 0

Considerando-se o produto ddh = 0 :

- h d- dh – 2p tg dx – 2p dx = 0

Da figura, sabe-se que:

= tg = dx

h d+ dh + 2p tg + 2p = 0

h d+ dh + p dh + p cotg dh = 0

Aplicando o critério de tresca e admitindo que = e = -p, temos:

= + p p = -

h d+ [ + (- ) (1 + cotg dh = 0

Fazendo B = cotg , teremos:

h d + [ -B+ (1 + B)]dh = 0

=

B =

na EXTRUSÃO

hF = = 0

hO = =

B=

B ln = ln

Invertendo ambos os lados da equação:

53

dx

=

=

Note que desta forma obtemos uma tensão negativa, compatível com o processo de extrusão.

Da mesma forma como fizemos para a trefilação de um corpo cilíndrico, a tensão de extrusão fica:

=

Forjamento Livre

A figura apresenta o estado de tensões atuantes para um corpo comprimido entre duas matrizes planas.

O equilíbrio das forças na direção x por unidade de largura do elemento é:

à esquerda da linha central

+ d) h - h -2 p dx = 0

à direita da linha central

+ d) h - h + 2 p dx = 0

Simplificando, obtemos:

h d 2 p dx = 0

Para atrito pequeno, podemos considerar – p e como tensões principais. Aplicando-se, então, o critério de Tresca:

- =

Assim:

+ p = d+ dp = 0d= - dpSubstituindo, temos:

h dp 2 p dx = 0

Integramos:

54

Figura 36 - Forjamento de placas planas

ln p = + C ou

p = c e

As condições de contorno à direita da linha de centro são:

x= b/2 = 0

Lembrando que + p = p =

= c e

c = e

Portanto

p = e

A distribuição da pressão p é simétrica à linha de centro. A pressão média se dá sobre linha ce centro (x=0) e vale:

p = e

Para valores de m pequenos a pressão média sobre as ferramentas pode ser escrita:

p =

Lembre-se que a expressão pode ser expandida pela série de Taylor

e

A figura a seguir mostra distribuição de pressão para diversos valores do atrito e para as seguintes condições: b = 10 unidadesh = 1 unidade

= 1 unidade

55

Forjamento de Disco Plano

As tensões atuantes no forjamento de um disco plano estão mostradas na figura 38.

+ d) h (r + dr) d - h r d - 2 h r dr sen - 2 d dr = 0

Que, desprezando as multiplicações de infinitesimais, dividindo tudo por d e fazendo sen = dse reduz a:

h r + h r d - h r d - h dr - 2 dr = 0

Admitindo que , e p são tensões principais e aplicando o critério de Tresca:

+ p =

Pode-se mostrar que o estado é cilíndrico, isto é: =

Fazendo = p, chega-se a:

– h dp – 2 p dr = 0

Integrando-se:

ln p = + C ou

p = c e

Para as condições de contorno r = D/2; = 0 e p = (do critério de Tresca):

p = e

56

Figura 37 – Distribuição da pressão na matriz

E desta forma obtivemos uma equação semelhante á obtida para a uma placa plana.

Método da Divisão em Elementos – Laminação de placas planas

57

Figura 38 – Equilíbrio das forças no forjamento de um disco plano

A figura a seguir exemplifica a laminação de uma placa plana.

Na figura observam-se os seguintes elementos

ho = altura de entrada da placahf = altura de saída da placa laminadaw = largura da placa

Durante a laminação a região de deformação é delimitada pelo arco de contato entre o cilindro e a placa. A velocidade de redução, considerando o volume constate da placa, pode ser expressa da seguinte forma:

WhoVo = whfVf Vf =

Vo = velocidade de entrada da placaVf = velocidade de saída da placa

Daí se conclui que a velocidade de saída da placa é maior que a velocidade de entrada e, portanto, a velocidade aumenta ao longo da região de contato. No início da laminação, a velocidade periférica dos rolos é maior que a velocidade de entrada da placa. Surge portanto uma resistência ao movimento no sentido de arrastar a placa para o interior da abertura dos rolos. A velocidade da placa em deformação então cresce até o ponto em que se iguala a velocidade periférica dos rolos. neste ponto não há atrito e o denominamos de ponto neutro por extensão, definimos um plano neutro). Após a este plano, a velocidade da placa é maior que a velocidade periférica dos rolos e o atrito se inverte.

Vamos fazer o equilíbrio das forças em um elemento diferencial dx situado à direita do plano neutro.

58

Figura 39 – Laminação de placas planas

(x + dx) (h + dh) - hx + 2 sen + 2 cos = 0

O equilíbrio à esquerda do plano neutro é obtido da mesma forma, porem com o sentido do atrito invertido.

h dx + x dh + 2 p dx tg - 2p dx = 0

Combinando as duas equações, teremos:

Fazendo dh = 2 dx tg

h dx + x dh + p dh ± p dh cotg = 0

d(h x) = -p (1 ± cotg dh

Para condições onde o ângulo é pequeno,

podemos admitir que x e y sejam as tensões principais. Sendo y = -p, aplicamos o critério de Tresca para o escoamento e obtemos:

x - y = o

x + p = o d(x) = d (o - p)d(h x) = d(h o – hp) = -p (1 ± cotg dh

A relação entre o ângulo a altura h o raio do cilindro é:

dh = 2 R d sen

d(h o – hp) = -2 p R sen (1 ± cotg d

= -2 p R sen (1 ± cotg

+ = -2 p R sen (1 ± cotg

A variação da tensão de escoamento com a altura h é muito menor que a variação da pressão ao longo do arco de contato, de modo que, para simplificar, podemos desprezar o termo: . Então:

= -2 p R sen (1 cotg

Mais algumas simplificações podem ser feitas:

a pequeno

sen = e cos 1 – 1

h = hf+ 2R(1 – cos ) hf + 2R

Logo:

59

hh +

dh

dx

= 2R

=

Cuja solução é:

ln = ln (hf/R + ± 2 + C

Fazendo-se H = 2

ln = ln ± + C

Cuja solução é:

= C

Aplicando as condições de contorno

a = 0 h = hf x = 0 H = 0

Substituindo na equação, obtemos:

C =

E a equação para o lado da saída é:

=

Do lado da entrada as condições de contorno são:

b h = ho x = 0 Ho = 2

Como x + p = o p = o

Substituindo em:

= C 1 = C

C =

E a equação para o lado da saída será:

= =

= para a saída

= para a entrada

60

Estas equações representam a pressão dos cilindros ao longo do arco de contato

Exemplo:

Seja a laminação de uma chapa plana de um material cuja curva tensão deformação é: = 300 e0,5

. A espessura da chapa na entrada é 6,14 mm e na saída tem 2,50 mm. Os rolos são de aço com raio 150 mm. Determinar a curva de pressão de laminação no rolo.

ho = 6,14hf = 5R = 150

O ângulo do arco de contato pode ser calculado por:

cos =

cos = (150 –0,57)/150 = 0,9962

= 5 º

O comprimento do arco de contato é

L = R sen = 150 . 0,8726 = 13,09 mm

A constante H na entrada vale:Ho = 2 = 4,88432

A deformação é calculada por;

= ln e o = 0,5

61

Figura 40 – Exemplo de laminação de placa plana

A tabela a seguir mostra os valores para o calculo de da pressão nos rolos

rad h h H o

p à direita do plano neutro

p à esquer-da do plano neutro

0,000 0,000 0,000 5,000 0,000 0,206 136,084 136,084 155,9300,654 0,004 0,003 5,003 0,262 0,205 135,895 138,487 152,9741,309 0,009 0,011 5,011 0,523 0,203 135,327 140,696 149,8281,963 0,013 0,026 5,026 0,784 0,201 134,377 142,688 146,5012,618 0,017 0,046 5,046 1,044 0,197 133,041 144,436 142,9963,272 0,022 0,071 5,071 1,303 0,192 131,312 145,904 139,3093,927 0,026 0,103 5,103 1,560 0,185 129,178 147,048 135,4324,581 0,031 0,140 5,140 1,816 0,178 126,628 147,814 131,3535,235 0,035 0,183 5,183 2,069 0,170 123,643 148,140 127,0505,889 0,039 0,231 5,231 2,321 0,161 120,202 147,947 122,4966,543 0,044 0,286 5,286 2,570 0,150 116,275 147,140 117,6547,197 0,048 0,346 5,346 2,816 0,139 111,823 145,601 112,4787,850 0,052 0,411 5,411 3,059 0,127 106,795 143,182 106,9048,504 0,057 0,483 5,483 3,300 0,114 101,121 139,694 100,8499,157 0,061 0,560 5,560 3,537 0,100 94,703 134,888 94,1999,810 0,065 0,643 5,643 3,771 0,085 87,395 128,417 86,793

10,463 0,070 0,731 5,731 4,001 0,069 78,973 119,777 78,38711,116 0,074 0,825 5,825 4,227 0,053 69,057 108,162 68,57511,769 0,079 0,925 5,925 4,450 0,036 56,901 92,076 56,58412,421 0,083 1,031 6,031 4,669 0,018 40,582 67,873 40,45113,073 0,087 1,142 6,142 4,884 0,000 0,000 0,000 0,000

O plano neutro e determinado igualando-se a expressão de p à esquerda e à direita:= = =

=

= =

ln =

62

Sabendo-se que H = 2

Calcula-se o valor de = 0,016295 rad = 0,93364º

Com este valor calculamos Lx = 2,44 mm

A figura 41 mostra a curva da pressão no arco de contato.

MÉTODO DO LIMITE SUPERIOR

O Método do Limite Superior se baseia no teorema do Limite Superior, o qual estabelece que, dentre todos os campos cinematicamente admissíveis existe um que minimiza a expressão:

J* = dV + -

A energia externa aplicada será menor ou igual à energia interna calculada pela expressão acima.

Trefilação de barras redondas

Tomemos o exemplo da trefilação de uma barra redonda.

63

PLANO NEUTRO

Figura 41 – Distribuição da pressão nos rolos

O campo de velocidades cinematicamente admissível é descrito na figura ww.

A barra está dividida em três zonas;

Zona I: a velocidade é uniforme e tem somente uma componente (vi).

Zona II: A direção da velocidade aponta para o ápice imaginário (C) do cone. A

velocidade pode ser decomposta em duas componentes Vo cos () e Vo sen ().

Devido à constância de volume:

vo = vf

Zona III: Ao atravessar a superfície 2 a velocidade volta a ser uniforme com uma só

componente (vf).

De acordo com o teorema do limite superior:

J* = dV + -

Em coordenadas esféricas, as componentes da velocidade são:

Ur = v = - vf cos ()

U = U = 0

No modelo, não há tensão à ré. Logo:

= 0

Trabalho de Deformação Homogênea

No sistema de coordenadas esféricas, com simetria axial em relação o eixo j, as taxas de deformação são:

64

Figura 42 – Campo de velocidades cinematicamente admissível

err ; e ; e = - (err e);

er ; er e= 0;

err 2 vf cos ()

e e= - vf cos ()

er sen ()

er e= 0;

Para o estado de cisalhamento puro:

=

dV = dV

W dV

W dV

dV = 2 r sem r d dr

W

W ln

Wf() ln

f() =

Trabalho de deformação redundante

Ao longo das superfícies 1 e 2, a energia consumida é:

Ws12 = = + =

Ws12 = 4 rf2 vf o

Ws12 = 2 rf2 vf o [ - sen () cos()] =

Ws12 = 2 rf2 vf o

Trabalho devido ao atrito:

65

O atrito ocorre ao longo das superfícies 3 , 4 . Na superfície 3 a energia consumida será:

Ws3 =

Ws3 =

Admitindo que i é independente de R, obtemos:

Ws3 = 2 rf2 vf i cotg ()

Ws3 = 2 rf2 vf i cotg () ln

A energia consumida na superfície de calibração é:

Ws5 = = 2 Rf vf c L

Trabalho externo:

J* = Rf2 vf tref

J* =

Rf2 vf tref =

= ln + 2 rf2 vf o +

+ 2 rf2 vf i cotg () ln + 2 rf

2 vf ii cotg () ln + 2 Rf vf c L

Dividindo tudo por Rf2 vf, obtemos:

tref = ln + 2 o + 2 i cotg () ln + 2 c

Nas superfícies de descontinuidade, e temos cisalhamento puro e, portanto:

o =

Substituindo, obtemos:

tref = ln + 2 + + 2 i cotg () ln + 2 c

Para as superfícies cilíndricas, a solução de Sachs para a trefilação é:

= C + o (1 - ln R2)

C = xb + o ln R2

O critério de von Mises para a trefilação é

= xf -

o atrito de Coulomb é dado por;

= = C - o (1 + ln (Ri Rf))

Substituindo i e ii

66

tref = ln + 2 +

+ 2[C - o(1 + ln (Ri Rf))] cotg () ln + 2c

Na zona cilíndrica

c = = (xf - )

portanto, substituindo e rearranjando, obtemos:

tref =

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Gopinathan, V. – Plasticity and its Application in <etal Forming. John Wiley & Sons. New York, 1982,.

AVITZUR, B. Handbook of metal-Forming Process. John Wiley & Sons. N. York, 1983.

Rowe, Geoffrey W. – onformado de los Metales. Ediciones Urmo, Bilbao, 1972.

Dieter, George E. – Workability Testing Techniques. Amerian society for Metals, Ohio, USa, 1984.

67

TENSÃO 1Componentes da tensão 1Equilíbrio das Tensões: 2

Tensões principais 4

Direções principais 7

Círculo de Mohr das tensões 10Tensão de Cisalhamento Máxima 13Tensões Octaédricas 13

Estados Triplos de Tensão Particulares 14

Tensões Reduzidas 16Intensidade da Tensão de cisalhamento 17Elipsóide das tensões 18

DEFORMAÇÕES 18

Componentes da deformação 18Deformações lineares 18Deformações cisalhantes 19

Tensor deformação 22

Tensor desvio da DEFORMAÇÃO 22

Deformações PRINCIPAIS 23

Grandes DEFORMAÇÕES 23

Taxa de DEFORMAÇÃO 24Exemplo 1 – Cálculo de deformações 26

RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO 28

Relações no Regime Elástico 29Princípios da plasticidade 31Coeficiente de Poisson no Regime Plástico 32

68

Critérios de Escoamento 32Critério de Tresca: 32Critério de von Mises. 33

Relações tensão – deformação no regime plástico 36

Estado de deformação Plana 39

ENSAIO DE TRAÇÃO 44Instabilidade em tração 47

ATRITO E CONFORMAÇÃO 51

TIPOS DE ATRITO 52

APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE LEVI-MISES 53

METODOS ANALÍTICOS 56

método da enrgia uniforme 56Trefilação 56Laminação 57

metodo da divisao em elementos 57Trefilação 58Forjamento Livre 62Forjamento de Disco Plano 64

método do limite superior 72Trefilação de barras redondas 72

Referências Bibliográficas 77

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