potência em circuitos senoidais
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Potência em cicuitos trifásicosTRANSCRIPT
84
CAPÍTULO VIII
POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS
85
1. Potência instantânea
( ) ( ) ( )p t v t i t
2. Potência média
0
0
1( )
t T
t
P p t dtT
3. Valores eficazes de corrente e tensão
Método para comparar a potência média dissipada num resistor alimentada por forma de onda diferente.
0I
R( ) cos( )
pI t I t
R
2
1 0P RI P2 = P1 se ( ) cos( )
pi t I t
0
2pI I
Verificação:
Potência no resistor alimentado por CC
rede
linear
( )i t
( )v t
( )p t
T ( )t s0t
86
2
1 0P R I
Potência no resistor alimentado por CA
2 2 2 2
2
1( ) ( ) cos ( ) cos (1 cos 2 )
2
1 cos2( )2
p
p
p t Ri t R I t ora A A
R It
1 2P P
2
2
02
pR I
R I
0 0
22
p
p
II I I
Conclusão: Uma senoide com amplitude de pico igual a pI dissipa a mesma
potência que uma corrente constante de valor 2
pI sobre um resistor.
Método genérico para determinar o valor eficaz de uma grandeza
0
0
0
0
2
2 2
2
1( )
2
1( )
t Tp
rms t
t T
rms t
IP R R I R i t dt
T
I i t dtT
Obs.: para senoide 2
p
rms
II ,
2
p
rms
VV
87
4. Potência em elementos passivos
4.1. Caso geral (impedância qualquer)
v i
( ) cosp
v t V t
0p p
p
V VVI I
Z ZZ
( ) cos( )p
i t I t
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )p p
p t v t i t V t I t
1 1( ) cos( ) cos(2 )
2 2p p
p t V I t t t ,ora
1cos cos cos( ) cos( )
2A B A B A B
1 1( ) cos( ) cos(2 )
2 2p p p p
p t V I V I t
( ) cos( ) cos(2 )rms rms rms rms
p t V I V I t ,ora
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B
( ) cos( ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )rms rms rms rms
p t V I V I t t
( ) cos( ) 1 cos(2 ) sin( )sin(2 )rms rms rms rms
p t V I t V I t
potência instantânea na potência instantânea na
parte resistiva de Z parte reativa de Z
Potência média:
0
1( ) cos( )
T
rms rmsP p t dt V I
T, [ W ]
V
I
Z Z
88
Potência reativa: Valor de pico da potência instantânea da parte reativa.
sin( )rms rms
Q V I
4.2. Circuito resistivo
Tensão e corrente em fase.
0v i
.
( ) 1 cos(2 )rms rms
p t V I t
0
11 cos(2 )
T
R rms rmsP V I t dt
T2
2 rms
R rms rms rms
VP V I RI
R0
RQ
4.3. Circuito exclusivamente indutivo
0 90 90v i
( ) sin(2 )rms rms
p t V I t
0LP
2
2 rms
L rms rms L rms
L
VQ V I X I
X
4.4 Circuito exclusivamente capacitivo
0 90 90v i
( ) sin(2 )rms rms
p t V I t
0CP
2
2 rms
C rms rms C rms
C
VQ V I X I
X
89
5. Potência aparente e fator de potência
a) Potência aparente:
rms rmsS V I , [VA] potência desenvolvida pela fonte.
b) Fator de potência:
Fator de potência: coseno do ângulo da carga, ou coseno da defasagem entre a tensão e a corrente.
cos( ) cos( )p v iF [adimensional]
Como a função coseno é uma função par, cos( ) cos( )v i i v
.
Acrescenta-se “atrasado” ou “indutivo” se a corrente da carga é atrasada em relação à tensão nos seus terminais, e “adiantado” ou “capacitivo” se a corrente da carga é adiantada em relação à tensão.
Fluxo da potência num circuito:
F
o
n
t
e
R
L
C
Carga
Relações adicionais:
cos( )P S
sin( )Q S
2 2S P Q
tan( )Q
P
90
6. Potência complexa
v
i
cos( ) cos( )rms rms rms rms v i
P V I V I
cos( ) sin( )rms rms v i rms rms v i
P V I jV I( )v ij
rms rmsP V I e
v ij j
rms rmsP V e I e
*
P V I
P S
Definindo a potência complexa *
S V I S
Portanto P S
ImQ S S P jQ
S S
cos( )pF
rms iI I
rmsV V v Z Z
91
Conservação da potência complexa:
*
S V I* *
1 2S V I I
* *
1 2S V I V I
1 2S S S
Não importa como os elementos estão conectados entre eles, para determinar a potência complexa desenvolvida pela fonte, basta somar todas as potências complexas de cada elemento.
Triângulos de potência (interpretação geométrica da potência complexa):
0 carga indutiva
Relações adicionais:
V Z I2
* *2 rms
rms
IS V I Z I I S Z I
Y* 2
*2
* *
rms
rms
VVV S Y VZ Z
I
V
1I 2I
S
P
Q
92
7. Correção do fator de potência
Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem alterar a energia útil absorvida pela carga.
S
P
Q
'Q'
S'
Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potência igual a 0,6 atrasado, é alimentado sob uma tensão de 13,8 kVrms. f = 60 Hz a) Determinar a corrente da carga b) Deseja-se corrigir o fator de potência para 0,9 atrasado, através da
ligação de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor da capacitância requerida.
c) Calcular a nova corrente da carga.
Solução:
a)
3
3
500 1036,2
13,8 10rms
SI AV
b)3
1 500 10 53,13 cos( ) 0,6 53,13S VA
300 400k j k
300P kW ' cos(0,9) 25,84Q arc
400Q kVAR ' 333,33cos( ')
PS kVA
' 'sin( ') 145,3Q S kVAR
S
P
Q
'Q'
S'
93
Potência reativa do capacitor:
' 254,7CQ Q Q kVAR
Potência complexa no capacitor: *
CC CS V I P0
C CjQ
V
C
*
CCC
V I jQ* 2
* *
C CC
C C
CC
VVV jQ jQ
ZZ
*1 1C CZ Z
jc jc
2
2
C
C
QC
f V
3
3
254,7 103,55
2 60 13,8 10C F
c)
3
3
' 333,33 10' 24,15
13,8 10
SI A
V
94
8. Transferência máxima de potência
Objetivo: obter LZ de modo que a potência ativa na carga seja máxima.
SVL L LZ R jX
S S SZ R jX
A
B
8.1 Carga puramente resistivaL LZ R
SVLR
SZ
LI
S S
L
S S LS L
V VI
R jX RZ R
2 2( )
S
L
S L S
VI
R R X
Potência na carga:
2
2
2 2( )
L S
L L L
S L S
R VP R I
R R X max 0L
L
L
dPP se
dR
2 2
L S S SR R X Z
95
8.2 Carga com RL fixo e XL variável
SVLR
SZ
LI
A
B
LjX
( ) ( )
S
L
S L S L
VI
R R j X X
2 2( ) ( )
S
L
S L S L
V
IR R X X
Potência na carga:
2
2
2 2max
( ) ( )
L S
L L L L S L
S L S L
R VP R I P se X X
R R X X
2
max 2( )
L S
L
S L
R VP
R R
8.3 Carga com RL variável e XL fixo
SVLR
SZA
B
LjX
96
2 2
S
L
S L S L
VI
R R X X
2
2 2
L S
L
S L S L
R VP
R R X X ;
max0L
L
L
dPP se
dR
então 22
L S S LR R X X
8.4 Carga com RL variável e XL variável
2
2 2
L S
L
S L L S
R VP
R R X X
Fazendo LX variar:
maxLP para
L SX X .
Então:
2
2' L S
L
S L
R VP
R R.
Em seguida, fazendo LR variar:
max
'0L
L L S
L
dPP se R R
dR.
Então: *
L S S SZ R jX Z .
SVLR
SZ
LjX
97
CAPÍTULO IX
CIRCUITOS TRIFÁSICOS
98
1. Tensões trifásicas equilibradas
Um sistema de tensões trifásicas equilibradas é um conjunto de 3 tensões senoidais com mesma a mesma amplitude, a mesma freqüência mas defasadas entre si de 120º.
As tensões são chamadas tensões de fase a, b, c.
Seqüência de fases (defasagem entre as tensões de fase):
Seqüência abc, positiva ou direta
0an PV V 120bn PV V 120cn PV V
bnV
cnV
anV
Seqüência acb, negativa ou indireta
0an PV V 120bn PV V 120cn PV V
0an bn cnV V V
bnV
cnV
anV
99
Tipos de ligações possíveis de um gerador 3 ideal:
caV
bcV
abV
a
c
b
tipo Y tipo
2. Análise do circuito Y-Y (equilibrado)
anV
cnV bnV
a
c b
A
CB
n NNnI
aAI
bBI
cCI
Z
Z Z
Tensões nas fases:
Tensões entre o neutro e cada uma das linhas, ou tensões nos terminais de cada elemento.
Na fonte: anV , bnV , cnV
Na carga: ANV , BNV , CNV
anV
cnV bnV
a
c
b
100
Tensões de linhas:
Tensões entre as linhas
Na fonte = na carga : abV , bcV , caV .
Corrente no neutro:
Nn aA bB cCI I I I
10an bn cn
Nn an bn cn
V V VI V V V
Z Z Z Z
Portanto, não existe corrente circulando no neutro num sistema equilibrado. Então:
Quando existe impedância de linha no neutro, o mesmo pode ser considerado como um curto circuito.
Quando o neutro não está disponível, o mesmo pode ser colocado no circuito para efeito de cálculo.
Relação entre as tensões de fase e de linha:
Supondo seqüência então:
0an PV V
120bn PV V
120cn PV V
Sabendo que ab an nbV V V
0 120an bn P PV V V V
3 3
(cos( 120 ) sin( 120 ))2 2
P P PV V j V j
Logo
3 30ab PV V
3 90bc PV V da forma mais geral fase PV V
3 150ca PV V 3 30linha PV V
101
bnV
cnV
anV30
abV
Circuito monofásico equivalente (válido somente para sistema equilibrado):
anV
ZbnV
cnV
a,b,c A,B,C
n N
102
3. Análise do circuito Y- (equilibrado)
anV
cnV
bnV
a
c
b
A
CB
n
aAI
bBI
cCI
Z
ABI
BCI
CAI
Z
Z
Correntes de fase:
Na carga: , ,AB BC CAI I I
Na fonte: , ,aA bB cCI I I
Correntes de linhas:
Na carga = na fonte: , ,aA bB cCI I I
Determinação das correntes de linhas:
Ex.: anaA
Y
VI
Z
cncC
Y
VI
Z
bnbB
Y
VI
Z
Circuito monofásico equivalente
aAI
3Y
ZZ
a,b,c A,B,C
n N
cCI
bBI
103
Determinação das correntes de fases nas cargas pela relação entre correntes de linhas e correntes de fase:
aA AB CAI I I
Supondo seqüência : 0AB pI I
120BC pI I
120CA pI I
0 120aA p pI I I
(cos(120 ) sin(120 ))aA p pI I I j
3 3
2 2aA pI I j
3 30aA pI I
3 150bB pI I
3 90cC pI I
da forma mais geral,
0fase pI I
3 30linha pI I
Observação: se o gerador estiver ligado em , substitui-se o mesmo por um gerador equivalente ligado em Y tal que a tensão de linha senha a mesma.
a
c
b
22090
3
22030
3
220150
3
seqüência
3 30 303
linhalinha fase fase
VV V V
220120
a
c
b
220 0
220 120
104
4. Circuitos 3 desequilibrados
4.1. Carga desequilibrada em Y com neutro
A
C
B
N
NI
AI
BI
CI
AZ
BZ
CZ
3 circuitos independentes.
0N A B CI I I I
Neste caso ANA
A
VI
Z
BNB
B
VI
Z
CNC
C
VI
Z
4.2. Carga desequilibrada em Y sem neutro
anV
cnV
bnV
AI
BI
CI
BZ
AZ
CZ
1I
2I
Utiliza-se o método das malhas ou análise nodal.
105
4.3. Carga desequilibrada em
Caso não se conhece as tensões de linha na carga, substitui-se o
circuito por seu equivalente em Y, e utiliza-se o método das malhas.
Conhece-se as tensões de linha na carga:
anV
cnV
bnV
A
CB
aI
1Z
ABI
2Z
3Z
1
ABAB
VI
Z 2
CACA
VI
Z => a CA ABI I I
gZ
gZ
gZ
1Z 2Z
3Z
106
5. Potência em sistema 3
A A AZ Z
B B BZ Z
C C CZ Z
, , , ,, , A B C A B CA B C v i
Tensões de fase instantâneas: Correntes de fase instantâneas:
( ) cos( )AN Ap vAv t V t ( ) cos( )
AN Ap iAi t I t
( ) cos( )BN Bp vBv t V t ( ) cos( )
BN Bp iBi t I t
( ) cos( )CN Cp vCv t V t ( ) cos( )
CN Cp iCi t I t
Sabendo que 1
cos cos cos( ) cos( )2
A B A B A B
Potências instantâneas em cada fase:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos 2ABC
A AN A A rms A rms A A rms A rms v AB B B B B B B B BC C C C C C C C C
P t v t i t V t I t V t I t t
Potência instantânea total: ( ) ( ) ( ) ( )A B Cp t p t p t p t
Potência ativa total: cos cos cos
rms rms rms rms rms rmsA B C A A A B B B C C CP P P P V I V I V I
5.1. Para um sistema equilibrado
rms rms rmsA B C rmsV V V V
A B C A B CZ Z Z Z
rms rms rmsA B C rmsI I I I
Potência instantânea: ( ) 3 cosrms rmsp t V I
A
C
B
( )AI t
( )BI t
( )CI t
AZ
BZ
CZ
107
Potência média: 3 cosrms rmsP V I
Para carga ligada em Y
fase linhaI I
3 fase linhaV V
3 cos 3 cos3
linhaY linha Y linha linha
VP I P V I
Para carga ligada em
fase linhaV V
3 fase linhaI I
3 cos 3 cos3
linhalinha linha linha
IP V P I V
YP P
Resumo: V e I em valores eficazes.
Por fase Total
Potência ativa cosf f fP V I 3 cos 3 cosT f f L LP V I V I
Potência reativa sinf f fQ V I 3 sin 3 sinT f f L LQ V I V I
Potência aparente f f fS V I 3 3T f f L LS V I V I
Potência complexa *
ff fS V I
*
3T f fS V I
Fator de potência cospF cospF
5.2. Para um sistema desequilibrado
Potência ativa total: T A B CP P P P
Potência reativa total: T A B CQ Q Q Q
Potência aparente total: 2 2T T TS P Q
Fator de potência: cos TT
T
P
S
Potência complexa total: T A B CS S S S
108
6. Medida da potência média em um circuito 3
6.1. O Wattímetro
I
V
C
A
R
G
A
bobina da tensão
(resistência alta)
bobina da corrente
(resistência baixa)
Observação: Bobina da corrente em série com a carga Bobina da tensão em paralelo com a carga.
cos( )v iW V I
6.2. O método dos dois Wattímetros
1 cos( )ac aac a v IW V I
2 cos( )bc bbc b v IW V I
1 2P W W
ou
Y
a
c
b
1W
2W
109
Exemplo: Se a carga estiver ligada em Y, e o gerador ligado em Y:
Seqüência
0anV V
120bnV V
120cnV V
Z Z
3 30linha faseV V
3 30bc bnV V
3 120 30bcV V
3 90bcV V
ac caV V
3 30ca cnV V
3 30 120caV V
3 150caV V
3 150 3 330 3 30V V V V
0ana
V VI I
ZZ
120120bn
b
V VI I
ZZ
1 3 cos( 30 ( ))W V I 2 3 cos( 90 ( 120 ))W V I
1 cos( 30 )L LW V I 2 cos( 30 )L LW V I
Obs.: Para o sistema equilibrado é possível determinar o fator de potência da carga.
1 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I
2 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I
110
2 1( ) 2 cos( ) cos(30 )L LW W V I 2 1
2 1
cos(30 ) cos( )
sin( ) cos(30 )
W W
W W
2 1( ) 2 sin( ) sin(30 )L LW W V I
2 1
2 1
3cos( )
321 tan( )
sin( )2
W W
W W
1 2
1 2
tan( ) 3W W
W W
1 2 tan( ) 0 0 cos( ) 1W W carga resistiva
1 2W W com sinais apostos carga reativa pura
1 2 0W W carga indutiva
1 2 0W W carga capacitiva
111
CAPÍTULO X
INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS DE SELEÇÃO
DE FREQÜÊNCIAS
112
1. Introdução
Até agora, em nossas análises de circuitos com fontes senoidais, supomos que a freqüência da fonte era constante. Neste capitulo, vamos estudar o
efeito da variação da freqüência sobre as tensões e correntes do circuito resposta em freqüência do circuito.
jL
se
0se
1
jC
se
0se
Escolhendo adequadamente os valores das componentes e a forma de ligação entre eles, podemos montar circuitos que deixam passar apenas
sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa circuitos de seleção de freqüência ou Filtros.
Exemplos de aplicação: telefone, televisão, satélites, rádios, equalizadores, etc.
Principais tipos de filtro: filtro passa-baixas, filtro passa-altas, filtro de banda de passagem, filtro de banda de rejeição.
Estes filtros são chamados filtros passivos, pois são construídos a partir de componentes passivos.
113
2. Filtros passa-baixas
iV oV
R
C
Para identificar o tipo de filtro, examina-se o gráfico da resposta de freqüência no domínio da freqüência.
iV oVR
jL
( )i oo
i
RV V RV H j
R jL R jLV
22
( ) ( )
R R
L LH j H jR
RjL
L
( ) arctanL
jR
Gráfico de amplitude:
Para freqüências altas o circuito deixa passar
pouco sinal.
iV oVR
L
0
1
1
2
( )H j
c
Banda
rejeitada
Banda
passante
114
Gráfico de fase:
Tensão de saída atrasada de 90º em relação à tensão de entrada.
A freqüência limite entre a banda rejeitada e
a banda passante é chamada freqüência de corte c . Ela corresponde
à freqüência pela qual
max
1( )
2cH j H .
Amplitude da função de saída é igual a pelo menos 70,7% do valor máximo possível.
Razão da escolha de max
2
Hpara definir c :
Potência máxima na saída: 2
max1
2
R
R
VP
R
Potência na saída quando c :
max max
1 1( ) ( )
2 2c o R c RH j H V V j V
2
2 2maxmax
1
( )1 1 12
2 2 2 2c
R
RRR c
P
VVV j
PR R R
1
2c RP P
No limite entre a banda rejeitada e a banda passante a potência média fornecida à carga = 50% da potência média máxima.
c = freqüência de meia potência.
Dentro da banda passante, a potência fornecida a uma carga é pelo menos 50% da potência média máxima.
0( )j
90
115
3. Filtros de banda de passagem
Circuitos que deixam passar sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa e rejeitam sinais cujas freqüências estejam fora desta faixa.
Exemplo:
No domínio da freqüência:
iVR
1
jCjLi
1
VI
R j LC
22
1
1 1( ) tan
11
LI CH j arc
RV R j L
R LCC
22
1
1
H j
R LC
iV oVR
CLi
iV oV
R
C L
116
1
( ) arctan
LCjR
Freqüência de ressonância 0 :
Freqüência pela qual ( )H j é máxima. max
1 IH
R V.
Na freqüência de ressonância a impedância equivalente do circuito é um resistor puro. As impedâncias do capacitor e do indutor têm
módulos iguais e de sinais opostos. a tensão de entrada e a corrente estão em fase.
1eqZ R j L
C, como na ressonância 0( )eqZ R
117
0 00
1 10L
C LC
Freqüências de cortes 1 e 2
Potência máxima = Potência na freqüência de ressonância
20 max
1
2pP R I .
Freqüências de cortes = Freqüência para max
2
pII =freqüência ½
potência.
1 2
2 2max max
0
1 1 1
2 2 2 22
p pI IP P R R P
max
1 22 2 2
( ) ( )2 2 2
p p p pI V V VI I
R R R R
22 1
pVI
R LC
22 1 1R L R L
C C
a) 22 2 2
2
1 10R L L R
C C
2
2
4
2
LR R
C
L
2
2
4
2
LR R
C
L
b) 21 1 1
1
1 10R L L R
C C
2
1
4
2
LR R
C
L
2
1
4
2
LR R
C
L
Banda passante
Largura de banda da passagem:
118
2 1
R
L
0 1 2
Fator de qualidade Q
0 0LQ
R
Q maior, circuito mais seletivo.
119
Bibliografia
1) Electric Circuits, James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Ed. Prentice Hall, Sixth Edition, 1999. ISBN 0-201-43653-1.
2) Fundamentos de análise de Circuitos Elétricos, David E. Johnson, John L. Hilburn, Johnny R. Johnson. Ed. Prentice Hall do Brasil, Quarta Edição, 1994. ISBN 85-7054-047-7.
3) Linear Circuit analysis, Artice M. Davis. Ed. PWS Publisching Company, 1998. ISBN 0-534-95095-7.
4) Introdução à Analise de Circuitos, Robert L. Boylestad. Ed. Prentice Hall do Brasil, 8a Edição, 1998. ISBN 85-7054-078-7.
5) Análise de Circuitos em Engenharia, J. David Irwin. Ed. Pearson Education, 4a Edição, 2000. ISBN 85-346-0693-5.
6) Análise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt Jr., Jack E. Kemmerly. Ed. McGraw-Hill, 1973.
7) Circuitos Elétricos, Joseph A. Edminster. Ed. McGraw-Hill, 1980.