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11. Circuitos de corrente alternada No fim da década de 1880 viveu-se nos Estados Unidos da América um período conhecido como a Guerra das Correntes. Nessa época já existia uma rede elétrica pública, usada principalmente para alimentar lâmpadas incandescentes e motores elétricos. A exploração dessa rede elétrica revertia grandes benefícios a Thomas A. Edison que tinha obtido várias patentes pela invenção da lâmpada e de vários dispositivos para gerar corrente contínua. Outras pessoas tentaram entrar nesse novo negócio milionário com as suas inovações; George Westinghouse, que já tinha tido sucesso comercial com as suas próprias patentes, contratou Nicola Tesla, um cientista brilhante, imigrante da Croácia. Tesla obteve uma patente pelo dispositivo esquematizado acima, utilizado para produzir e distribuir corrente alternada. A guerra das correntes acabaria por ser ganha pelo sistema de corrente alternada de Tesla e Westinghouse; uma das principais vantagens sobre o sistema de corrente contínua de Edison é a facilidade de poder aumentar ou diminuir a tensão por meio de transformadores. As perdas de energia na transmissão de corrente em grandes distâncias são tanto menores quanto maior for a tensão usada. Usa-se alta tensão para transportar a corrente desde às centrais elétricas até as localidades onde é consumida e a tensão é reduzida antes de ser disponibilizada para consumo doméstico, de modo a reduzir os riscos de segurança.

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  • 11. Circuitos de corrente alternada

    No fim da dcada de 1880 viveu-se nos Estados Unidos da Amrica um perodo conhecidocomo a Guerra das Correntes. Nessa poca j existia uma rede eltrica pblica, usadaprincipalmente para alimentar lmpadas incandescentes e motores eltricos. A exploraodessa rede eltrica revertia grandes benefcios a Thomas A. Edison que tinha obtidovrias patentes pela inveno da lmpada e de vrios dispositivos para gerar correntecontnua. Outras pessoas tentaram entrar nesse novo negcio milionrio com as suasinovaes; George Westinghouse, que j tinha tido sucesso comercial com as suas prpriaspatentes, contratou Nicola Tesla, um cientista brilhante, imigrante da Crocia. Tesla obteveuma patente pelo dispositivo esquematizado acima, utilizado para produzir e distribuircorrente alternada. A guerra das correntes acabaria por ser ganha pelo sistema de correntealternada de Tesla e Westinghouse; uma das principais vantagens sobre o sistema decorrente contnua de Edison a facilidade de poder aumentar ou diminuir a tenso pormeio de transformadores.

    As perdas de energia na transmisso de corrente em grandes distncias so tanto menoresquanto maior for a tenso usada. Usa-se alta tenso para transportar a corrente desde scentrais eltricas at as localidades onde consumida e a tenso reduzida antes de serdisponibilizada para consumo domstico, de modo a reduzir os riscos de segurana.

  • 170 Circuitos de corrente alternada

    11.1. Circuito LC

    No circuito do lado esquerdo da figura 11.1, o interruptor S1 est fechado (h muito tempo)e o interruptor S2 aberto. Num instante, t = 0, abre-se o interruptor S1 e, simultaneamente,fecha-se o interruptor S2. Assim, para t 0 o circuito equivalente o representado no ladodireito da figura 11.1, denominado circuito LC.

    S1

    S2 C

    L

    R

    C

    L

    Figura 11.1.: Circuito LC, em t < 0 (lado esquerdo) e circuito equivalente para t 0 (ladodireito) em que S1 est aberto e S2 fechado.

    A impedncia do condensador 1/(C s) e a do indutor Ls. A lei de Ohm generalizada,V = Z I deixa de ser vlida para o indutor, porque no instante t = 0 a corrente que opercorre no nula. Lembrando que a lei de Ohm foi obtida transformando a expressopara os indutores:

    V = Ld Id t

    (11.1)

    conclui-se que, para os indutores, a relao mais geral entre as transformadas da tenso eda corrente

    V = L(s I I0

    )(11.2)

    Com o condensador no h problema, porque neste caso se admite que a sua cargainicial nula, pelo que a transformada da tenso nas armaduras Z I = I/(C s). Outradiferena em relao aos circuitos estudados anteriormente que, quando no h fontes,os condensadores e os indutores deixam de ser elementos passivos que respondem smudanas na fonte; neste exemplo, em cada instante um dos elementos passivo (perdeenergia) e o outro ativo (absorve energia). Consequentemente, as tenses no condensadore no indutor so iguais em valor absoluto, mas com sinais opostos e a equao do circuito:

    L(s I I0

    )=

    IC s

    = s2 I s I0 = ILC (11.3)

    Esta equao algbrica a transformada de Laplace da equao diferencial do circuito:

    I = ILC

    (11.4)

  • 11.2 Funes sinusoidais 171

    que a equao de um oscilador harmnico simples, estudado no livro de Dinmica eSistemas Dinmicos[14] (seces 5.3 e 9.5). A matriz jacobiana dessa equao linear temdois valores prprios imaginrios i1/(LC) e a soluo da equao

    I(t) = I0 cos( t) (11.5)

    em que a frequncia angular do circuito,

    =1LC

    (11.6)

    A carga no condensador, em funo do tempo,

    Q(t) =CV =C L d Id t

    =I0

    sin( t) (11.7)

    e como tal, a corrente e a carga oscilam com frequncia f = /(2pi), desfasadas 180, deforma que quando uma delas nula, a outra tem o seu valor absoluto mximo (figura 11.2).

    t

    I0

    I0

    Qmx

    Qmx

    I

    Q

    Figura 11.2.: Corrente e carga no circuito LC (Qmx = I0/).

    A corrente (11.5) chama-se corrente alternada e a carga (11.7) uma carga alternada.No captulo sobre induo eletromagntica tambm se estudou um gerador que produztenso alternada (equao (9.10)). Em geral, uma funo alternada uma funo peridicacom valor mdio igual a zero; a carga e a corrente no circuito LC, assim como a tenso dogerador de tenso alternada, so 3 exemplos particulares em que a funo alternada oseno ou cosseno.

    11.2. Funes sinusoidais

    Uma funo sinusoidal F(t) uma funo alternada que oscila entre dois valores Fmxe Fmx e tem a mesma forma da funo seno ou cosseno, como mostra a figura 11.3. Bastasaber os valores das 3 distncias T , Fmx e tmx referidas na figura, para caraterizar cadauma dessas funes.

    O intervalo T entre dois mximos ou dois mnimos sucessivos o perodo da funo e oseu inverso, f = 1/T , a frequncia.

  • 172 Circuitos de corrente alternada

    t

    F

    T

    Fmx

    tmx

    Figura 11.3.: Funo sinusoidal com perodo T e valor mximo Fmx.

    Designando por tmx o valor absoluto da coordenada t onde a funo atinge o seu valormximo Fmx, pela ltima vez antes de t = 0, define-se a fase da funo como:

    = 2pi(tmx

    T

    )(11.8)

    Uma funo sinusoidal tambm pode ser caraterizada pelo seu valor mximo Fmx (tambmchamado amplitude), a sua fase e a sua frequncia angular: , definida por:

    =2piT

    (11.9)

    Assim sendo, as funes sinusoidais tm todas a forma geral:

    F(t) = Fmx cos( t+) (11.10)

    Note-se que possvel representar a mesma funo de vrias formas. Pode-se substituir ocosseno por seno e subtrair pi/2 fase, sem alterar o resultado. Pode-se tambm inverter ossinais da frequncia angular e da fase, simultaneamente, e ainda somar ou subtrair qualquermltiplo de 2pi fase. No entanto, para facilitar a identificao vista, utilizam-se apenasa funo cosseno, frequncias angulares positivas e fases no intervalo [0,2pi[. Essas 3escolhas so arbitrrias, mas so habituais.

    Duas funes sinusoidais que no tenham o mesmo valor mximo, fase e frequncia angular,so necessariamente diferentes. E duas funes sinusoidais com a mesma frequnciaangular tero, necessariamente, a mesma frequncia e o mesmo perodo.

    11.3. Fasores

    As funes sinusoidais com a forma (11.10) podem ainda ser escritas usando a frmula deEuler e a funo Re(z) que extrai a parte real de um nmero complexo z:

    Fmx cos( t+) = Re(

    Fmx ei( t+))= Re

    (Fmx ei ei t

    )(11.11)

  • 11.3 Fasores 173

    Esta forma facilita a identificao de uma propriedade importante na soma de duas funessinusoidais com diferentes valores mximos e fases, mas com a mesma frequncia:

    Re(

    Fmx ei ei t)+Re

    (Gmxei ei t

    )= Re

    (Fmx ei ei t +Gmx ei ei t

    )= Re

    ((Fmx ei +Gmx ei

    )ei t

    )(11.12)

    Nomeadamente, a soma de duas funes sinusoidais com a mesma frequncia tambmuma funo sinusoidal com a mesma frequncia.

    Quando se trabalha com vrias funes sinusoidais, todas com a mesma frequncia, pode-seadmitir implicitamente a funo Re() e a parte que depende do tempo, ei t , representandocada funo pelos nmeros complexos que multiplicam essa exponencial:

    F= Fmx ei , G= Gmx ei , H= Hmx ei . . . (11.13)

    Essas expresses complexas que definem o valor mximo e a fase das funes sinusoidaisso denominadas fasores. Adoptaram-se letras especiais para lembrar que essas expressespodem ser somadas mas no multiplicadas como nmeros complexos ordinrios, j querepresentam s uma parte da expresso completa da funo.

    O fasor correspondente soma de duas funes sinusoidais de igual frequncia a somados fasores das duas funes, como foi demonstrado na equao (11.12). No entanto,o fasor do produto de duas funes sinusoidais de igual frequncia no existe, j que oresultado no outra funo sinusoidal.

    Outra forma til de representar os fasores consiste em escrever o seu valor mximo e afase separados pelo smbolo de ngulo: F= Fmx . tambm til a representao grfica, em que o fasor uma seta no plano complexo (verfigura 11.4). Podem-se imaginar essa seta a rodar, no sentido anti-horrio, com velocidadeangular ; o resultado de multiplicar por ei t e obter a parte real, corresponde no grficoa projetar a seta no eixo real. Como tal, a projeo no eixo real do fasor no grafico 11.4indica o valor da respetiva funo sinusoidal em t = 0 e enquanto a seta roda para t > 0, aessa projeo indica a variao da funo em ordem ao tempo.

    Real

    Imag.

    Fmx cos()

    Fmx sin()Fmx

    Figura 11.4.: Representao grfica de um fasor F.

  • 174 Circuitos de corrente alternada

    Exemplo 11.1Num n num circuito de corrente alternada entram duas correntes e saem outras duascorrentes. Sabendo que as expresses das correntes que entram so

    2 sin( t+pi/4)

    e 2

    2 cos( t + pi/4), e uma das correntes que sai (33) cos( t), calcule aoutra corrente que sai, indicando o seu valor mximo e a sua fase.

    Resoluo. Em termos matemticos, o que est a ser pedido o clculo de

    2 sin( t+pi/4)+2

    2 cos( t+pi/4) (3

    3) cos()

    de forma a obter uma nica funo cosseno.

    Comeando por escrever os fasores das 3 correntes, no caso da primeira corrente neces-srio subtrair pi/2 fase, para substituir o seno por cosseno. O fasor da quarta corrente asoma dos dois primeiros fasores, subtrado do terceiro:

    I4 = I1+ I2 I3 =(

    2 pi/4)+(

    2

    2 pi/4)(

    3

    3 0)

    Em seguida, calculam-se as partes real e imaginria de cada fasor, tarefa que facilitadausando a representao grfica (lado esquerdo na figura 11.5).

    Real

    Imag.

    II1

    II2

    II3Real

    Imag.

    2 2

    2 II1II2

    II3II4

    Figura 11.5.: Soma de fasores.

    Assim, o fasor da quarta corrente :

    I4 = (1 i)+(2+ i2) (3

    3) =

    3+ i

    O valor mximo desse fasor a hipotenusa do tringulo retngulo com catetos de

    3 e 1unidades, nomeadamente Imx = 2. A fase o ngulo oposto ao cateto de comprimento 1nesse tringulo retngulo, = arctan(1/

    3) = pi/6. O resultado obtido :

    I4(t) =

    2 sin( t+pi/4)+2

    2 cos( t+pi/4) (3

    3) cos() = 2 cos( t+pi/6)

    Embora os fasores no sejam verdadeiros vetores, somam-se exatamente como se fossemvetores, somando coordenadas, ou geometricamente, como no lado direito da figura 11.5.

  • 11.4 Tenso alternada 175

    11.4. Tenso alternada

    Uma tenso alternada um sinal sinusoidal dado por:

    V =Vmx cos( t+) (11.14)

    Nos diagramas de circuito, uma fonte ideal de tenso alternada representa-se pelo smboloindicado na figura 11.6. Junto do smbolo indica-se a tenso mxima e pode tambmindicar-se a frequncia ou a fase. Os valores apresentados na figura so os que esto emuso na rede eltrica pblica da Unio Europeia: frequncia f de 50 Hz e tenso mxima de325 V.

    325 V, 50 Hz 325 0 +

    325 0

    Figura 11.6.: Trs formas de representar fonte ideal de tenso alternada com tensomxima de 325 V e frequncia de 50 Hz.

    O instante t = 0 pode ser escolhido de forma a fazer com que a fase da tenso seja nula.Se se especifica um valor da fase no diagrama, importante indicar qual a diferena depotencial que o fasor representa: a diferena entre o potencial do terminal identificadocom o sinal + e o potencial do terminal com o sinal . Observe-se que essa diferena depotencial muda de sinal periodicamente e em alguns intervalos o potencial no terminal passa a ser maior do que no terminal +. Por vezes utiliza-se tambm uma ligao e,nesse caso, no necessrio indicar sinais e admite-se que o fasor da tenso representa adiferena de potencial entre o terminal que no est ligado terra e a terra.

    11.5. Impedncia complexa

    Se todas as fontes de tenso num circuito forem fontes de tenso alternada com a mesmafrequncia, em qualquer parte do circuito a tenso tambm alternada, com a mesmafrequncia, j que a regra das malhas garante que a tenso igual soma das outras tensesna mesma malha, com sinal oposto e conclui-se que se a tenso em algum segmento damalha sinusoidal, a tenso em qualquer outro segmento tambm ser sinusoidal e com amesma frequncia.

    No captulo anterior deduziu-se a lei de Ohm generalizada para as transformadas deLaplace da tenso e da corrente (equao (10.28)):

    V (s) = Z(s) I(s) (11.15)

  • 176 Circuitos de corrente alternada

    Como V uma funo sinusoidal, a sua transformada de Laplace (ver apndice A):

    V (s) =V

    s i (11.16)

    e, portanto,

    I(s) =V

    (s i)Z(s) (11.17)

    Admitindo que Z(i) no igual a zero, a expanso em fraes parciais da expresso nosegundo membro deve incluir um termo com denominador (s i)

    I(s) =I

    s i + Itrans(s) (11.18)

    em que o termo Itrans a corrente transitria, que no tem nenhum fator (s i) nodenominador.

    Substituindo essa expresso e a transformada da tenso na lei de Ohm generalizada,obtm-se:

    Vs i = Z(s)

    (I

    s i + Itransit.)

    (11.19)

    Multiplicando ambos os membros da equao por (s i) e substituindo s por i obtm-se:

    V= Z(i)I (11.20)

    Isto , os fasores da tenso e da corrente tambm verificam a lei de Ohm generalizada,com a frequncia real s substituda por uma frequncia imaginria i , o que conduz auma impedncia complexa Z(i). Alguns autores preferem chamar Z(i) simplesmenteimpedncia; tambm pode-se usar a notao Z(), em vez de Z(i), mas Z(i) mostraem forma explcita a sua relao com a impedncia generalizada Z(s).

    A impedncia complexa Z(i) uma funo complexa que pode ser dividida nas suaspartes real e imaginria:

    Z(i) = R()+ iX() (11.21)

    sendo a funo real R() designada de resistncia e a funo real X() designada dereatncia. A resistncia sempre positiva, independentemente da frequncia angular ,enquanto que a reatncia pode ser positiva para algumas frequncias (reatncia indutiva)e negativa para outras frequncias (reatncia capacitiva).Para um determinado valor de , o mdulo |Z| e o argumento Z da impedncia complexaZ(i) podem ser calculados usando a representao grfica de R+ iX no plano complexo,obtendo-se o tringulo de impedncia apresentado na figura 11.7. Como R no pode tervalores negativos, o ngulo Z situa-se sempre entre pi/2 e pi/2 radianos.Note-se que a impedncia complexa Z(i) no um fasor mas sim um nmero complexoordinrio, que pode ser multiplicada e somada a outras impedncias usando as regras do

  • 11.5 Impedncia complexa 177

    Re(Z)

    Im(Z)

    R

    X|Z|

    Figura 11.7.: Tringulo de impedncia, com a resistncia R e a reatncia X nos catetos.

    produto e a adio de nmeros complexos. Tambm se pode multiplicar ou dividir umfasor por vrias impedncias e o resultado outro fasor com a mesma frequncia.

    Se os fasores da tenso e da corrente forem VmxV e ImxI , a lei de Ohm para fasores(equao (11.20)) resulta em:

    VmxV = (|Z| Imx)(Z +I) (11.22)podendo-se portanto separar a equao complexa (11.20) em duas equaes reais:

    Vmx = |Z| Imx V = Z +I (11.23)

    Resistncias

    Numa resistncia, a impedncia generalizada independente da frequncia e igual a R;como tal, o mdulo da impedncia complexa |Z|= R e o seu argumento nulo Z = 0.As equaes (11.23) indicam que as fases de V e I so iguais e os seus valores mximosverificam a relao,

    Vmx = RImx (11.24)

    O lado esquerdo da figura 11.8 mostra os fasores da tenso e da corrente na resistncia;imaginando esses dois fasores a rodar no sentido anti-horrio, com a mesma velocidadeangular, as suas projees no eixo real (tenso e corrente em funo do tempo) so comoindicado no lado direito da figura. Diz-se que a tenso e a corrente esto em fase: osdois fasores tm a mesma direo e sentido, de forma que ambas as funes atingem osrespetivos valores mximo e mnimo em simultneo.

    Re

    Im

    IIVV

    t

    Vmx

    Vmx

    Imx

    Imx

    V

    I

    Figura 11.8.: Fasores da tenso e da corrente numa resistncia.

  • 178 Circuitos de corrente alternada

    Condensadores

    Nos condensadores, a impedncia generalizada 1/(C s) e a impedncia complexa ento:

    Z(i) =1

    iC=

    1C

    pi2

    (11.25)

    Em particular, a reatncia de um condensador negativa e inversamente proporcional frequncia angular,

    XC = 1C (11.26)sendo a sua resistncia nula.

    Aplicando as equaes (11.23) obtm-se

    I=VmxC(V +pi/2)

    e a fase da corrente pi/2 maior que a da tenso. Na representao grfica dos fasores (ladoesquerdo da figura 11.9) o fasor da corrente perpendicular ao da tenso e est adiantado(no sentido em que rodam). Imaginando os fasores a rodar no sentido anti-horrio asprojees no eixo real conduzem aos grficos representados no lado direito da figura. Oadiantamento em pi/2 do fasor da corrente traduz-se no facto de I(t) atingir os seus valoresmximos e mnimos sempre antes do que acontece a V (t) e nos instantes em que a tensoou a corrente atingem o seu valor mximo ou mnimo, a outra funo nula nesse instante.

    Re

    Im

    IIVV

    t

    Vmx

    Vmx

    Imx

    Imx

    V

    I

    Figura 11.9.: Fasores da tenso e da corrente num condensador.

    Indutores

    Nos indutores a impedncia generalizada Ls, sendo a impedncia complexa:

    Z(i) = i L = Lpi/2 (11.27)

    A reatncia de um indutor positiva e diretamente proporcional frequncia angular:

    XL = L (11.28)

  • 11.5 Impedncia complexa 179

    sendo a sua resistncia nula.

    Pelas equaes (11.23) conclui-se que a fase da corrente pi/2 menor que a da tenso.Na representao grfica dos fasores (lado esquerdo da figura 11.10) o fasor da corrente perpendicular ao da tenso e est atrasado (no sentido da sua rotao). As projeesno eixo real quando os fasores rodam no sentido anti-horrio conduzem s duas funesrepresentadas no lado direito da figura. O atraso em pi/2 do fasor da corrente traduz-seem I(t) atingir os seus valores mximos e mnimos sempre a seguir a V (t) e, tal como noscondensadores, nos instantes em que a tenso ou a corrente atingem o seu valor mximoou mnimo, a outra funo nula nesse instante.

    Re

    Im

    II

    VV

    t

    Vmx

    Vmx

    Imx

    Imx

    V

    I

    Figura 11.10.: Fasores da tenso e da corrente num indutor.

    Exemplo 11.2Cacule a tenso e corrente instantneas em todos os elementos do circuito representadono diagrama.

    325 V, 50 Hz

    3.6 F

    2.5 k 7.2 H

    Resoluo. Este o circuito analisado no exemplo 10.3 do captulo anterior. Usando omesmo sistema de unidades tem-se: impedncia em k, capacidade em F, indutnciaem H, tempo em ms, frequncia em kHz, tenso em V e corrente em mA. A frequnciaangular da fonte : = 2pi50 Hz, mas como deve ser convertida para kHz, tem ovalor pi/10.A impedncia da resistncia 2.5, a do condensador 10/(3.6pi) pi/2= 0.884 pi/2e a do indutor 7.2pi/10pi/2 = 2.26pi/2. Como a resistncia est em srie com oindutor, podem ser substitudos por um nico elemento com impedncia igual soma dasimpedncias:

  • 180 Circuitos de corrente alternada0.884 pi/2

    2.5 0 2.26 pi/2

    0.884 pi/2

    3.37 0.735

    Como os dois elementos no circuito simplificado esto em paralelo, o fasor da tenso o mesmo para os dois e igual ao fasor da fonte: 3250. Dividindo esse fasor pelasimpedncias dos dois elementos calculam-se as correntes correspondentes. Em seguida,multiplicando o fasor da segunda corrente pelas impedncias da resistncia e do indutor,calculam-se os fasores das tenses:

    +

    368 pi/2

    96.4 0.735

    +

    241 0.735 218 0.835+ +

    A partir dos fasores podem-se exprimir as tenses e correntes instantneas:

    condensador: V = 325 cos(0.1pi t) I = 368 cos(0.1pi t+pi/2)resistncia: V = 241 cos(0.1pi t0.735) I = 96.4 cos(0.1pi t0.735)indutor: V = 218 cos(0.1pi t+0.835) I = 96.4 cos(0.1pi t0.735)

    Interessa mostrar a resoluo deste exemplo usando o Maxima. As impedncias docondensador, resistncia e indutor representam-se por z1, z2 e z3, respetivamente e z4representa a impedncia da associao em srie da resistncia com o indutor em srie. Paraobter maior preciso numrica, escrevem-se os valores dados no enunciado na forma denmeros racionais:(%i1) s: %i*%pi/10$(%i2) z1: 10/36/s$(%i3) z2: 5/2$(%i4) z3: 72*s/10$(%i5) z4: z2 + z3$

    Os fasores da tenso e a corrente no condensador so:(%i6) V1: 325$(%i7) I1: V1/z1$

  • 11.6 Potncia nos circuitos de corrente alternada 181

    A corrente mxima e a fase so o mdulo e o argumento do nmero complexo I1, que noMaxima so obtidos com as funes cabs e carg:(%i8) float(cabs(I1));(%o8) 367.5663404700058(%i9) carg(I1);

    %pi(%o9) ---

    2

    Os fasores da corrente e as tenses na resistncia e no indutor so:(%i10) I4: V1/z4$(%i11) float(cabs(I4));(%o11) 96.39884655483593(%i12) float(carg(I4));(%o12) - .7354489942158552(%i13) V2: I4*z2$(%i14) float(cabs(V2));(%o14) 240.9971163870898(%i15) float(carg(V2));(%o15) - .7354489942158552(%i16) V3: I4*z3$(%i17) float(cabs(V3));(%o17) 218.0490538688657(%i18) float(carg(V3));(%o18) .8353473325790414

    11.6. Potncia nos circuitos de corrente alternada

    Em qualquer ponto de um circuito de corrente alternada, a corrente uma funo sinusoidal;em cada perodo de oscilao, a mudana de sinal da funo sinusoidal indica que o sentidoda corrente muda. O integral da funo, em cada perodo nulo, o quer dizer que a cargatotal transferida nula; durante metade do perodo h transporte de carga num sentido e nomeio perodo seguinte a mesma carga transportada no sentido oposto.

    No h transferncia efetiva de carga nos circuitos de corrente alternada. As cargas deconduo simplesmente oscilam volta de uma posio de equilbrio. Apesar de no havertransferncia efetiva de cargas, h dissipao efetiva de energia eltrica, pois a oscilao dascargas contrariada pela resistncia dos condutores e h efeito Joule, independentementedo sentido da corrente.

    Em qualquer dispositivo passivo num circuito com fonte de tenso alternada, a tenso ea corrente so funes sinusoidais com a mesma frequncia da fonte, aps uma possvelresposta transitria inicial:

    V (t) =Vmx cos( t+V ) I(t) = Imx cos( t+I) (11.29)

  • 182 Circuitos de corrente alternada

    A potncia instantnea, P(t), a potncia no dispositivo em qualquer instante t

    P(t) =V (t) I(t) =Vmx Imx cos( t+V ) cos( t+I) (11.30)

    Usando uma relao trigonomtrica para o produto de dois cossenos e o facto de ser(V I) = Z (equao (11.23)), conclui-se que a expresso anterior equivalente a:

    P(t) =12

    Vmx Imx [cos(2 t+V +I)+ cos(Z)] (11.31)

    Note-se que o primeiro cosseno dentro dos parntesis retos em (11.31) uma funosinusoidal, com frequncia igual ao dobro da frequncia da fonte, enquanto o segundocosseno uma funo constante. Ou seja, o produto das duas funes sinusoidais (V e I)com a mesma frequncia no conduz outra funo sinusoidal com a mesma frequncia,mas a uma funo sinusoidal com o dobro da frequncia, deslocada no eixo das ordenadas.

    A potncia instantnea (11.31) pode ser positiva ou negativa em alguns intervalos e nula emalguns instantes, dependendo do valor da constante cos(Z), chamada fator de potncia.Como Z est entre pi/2 e pi/2, o fator de potncia situa-se entre 0 e 1.Se a reatncia for nula (dispositivo resistivo) o argumento da impedncia (Z) nulo, ofator de potncia igual a 1 e a potncia instantnea sempre positiva, indicando que odispositivo est sempre a dissipar energia. J se a resistncia for nula (dispositivo reativo),o argumento da impedncia pi/2, o fator de potncia nulo e os intervalos em que apotncia instantnea positiva (dissipao de energia) so do mesmo comprimento que osintervalos em que negativa (fornecimento de energia); a potncia mdia nula.

    No caso geral, em que o fator de potncia maior que 0 e menor que 1, os intervalosem que h dissipao de energia so mais compridos do que os intervalos em que hfornecimento de energia e, em mdia, o circuito dissipa energia.

    O valor mdio da potncia, P, calcula-se integrando a funo (11.31) durante um perodo edividindo pelo valor do perodo. O integral do primeiro termo nulo, durante um perodo,enquanto que o valor mdio do termo constante igual a si prprio. Consequentemente, apotncia mdia :

    P =12

    Vmx Imx cosZ (11.32)

    e tem valor positivo ou nulo, indicando que, em mdia o dispositivo passivo no podefornecer energia.

    tambm habitual definir a tenso eficaz e a corrente eficaz:

    Vef =Vmx

    2Ief =

    Imx2

    (11.33)

    e como tal, a potncia mdia igual ao produto da tenso e corrente eficazes e o fator depotncia:

    P =Vef Ief cosz

  • 11.7 Filtros de frequncia 183

    A tenso mxima de 325 V usada na Unio Europeia corresponde a uma tenso eficaz de230 V. No continente americano usa-se tenso mxima de 170 V, a 60 Hz, que correspondea uma tenso eficaz de 120 V.

    11.7. Filtros de frequncia

    A equao (10.36), obtida no captulo anterior, vlida para qualquer sinal de entrada.Para um sinal de entrada Ve alternado, usando a expresso para a transformada de Laplacedas funes sinusoidais (apndice A) obtm-se,

    V (s) =Ve H(s)s i (11.34)

    Se H(i) tiver um valor finito, a expanso de V em fraes parciais conduz a

    V (s) =V

    s i +Vtrans(s) (11.35)

    onde V um nmero complexo, que corresponde ao fasor da sada (aps a respostatransitria), e o termo Vtrans a transformada da tenso de resposta transitria, que no temo fator (s i) no denominador.Substituindo essa expanso na equao (11.34), obtm-se:

    Vs i +Vtrans(s) =

    Ve H(s)s i (11.36)

    Multiplicando ambos os membros da equao por (s i) e substituindo s por i obtm-se:

    V= R()Ve (11.37)

    onde a funo complexa R() denominada resposta de frequncia:

    R() = H(i) (11.38)

    Assim, se a tenso de entrada for a tenso alternada Vmx cos( t+), a tenso de sada ,

    V =Vmx |R()| cos( t++ arg(R())) (11.39)

    onde |R()| e arg(R()) so o mdulo e o argumento da funo complexa R().Por exemplo, no caso do filtro passa-alto, mostrou-se no captulo anterior que a funo detransferncia (equao (10.38)):

    H(s) =tC s

    tC s+1(11.40)

  • 184 Circuitos de corrente alternada

    A funo de resposta de frequncia ento:

    R() =i tC

    1+ i tC(11.41)

    e o mdulo e o argumento so:

    |R()|= tC1+(tC)2

    arg(R()) =pi2 arctan(tC) (11.42)

    A figura 11.11 mostra a funo resposta de frequncia para um filtro passa-alto comfrequncia angular de corte (1/tC) igual a 0.5. Note-se que quando c = 1/tC, R temmdulo 1/

    2 = 0.707 e argumento igual a pi/4.

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    0 2 4 6 8 10

    |R(W)

    |

    W

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    0 2 4 6 8 10

    arg

    R(W

    )

    W

    Figura 11.11.: Mdulo e argumento da funo resposta de frequncia de um filtro passa-alto com frequncia angular de corte c = 0.5.

    Vrios filtros podem ser combinados, em forma sequencial, e a funo de resposta oproduto das funes de todos os filtros na sequncia. Por exemplo, o circuito na figura 11.12 a combinao de um filtro passa-alto, com frequncia angular de corte 1 = 1/(R1C1) eum filtro passa-baixo, com frequncia angular de corte 1/(R2C2).

    A tenso entre os pontos A e B a sada do filtro passa-alto, que constitui a tensode entrada do filtro passa-baixo. Como tal, multiplicando as funes resposta do filtropassa-alto (equao (11.41)) e do filtro passa-baixo (problema 7 do captulo anterior)obtm-se:

    R() =i tC1

    (1+ i tC1 )(1+ i tC2 )(11.43)

    onde as constantes de tempo so tC1 = R1C1 e tC2 = R2C2O filtro passa-alto atenua as frequncias angulares menores que 1 = 1/tC1 e o filtropassa-baixo atenua as frequncias maiores que 2 = 1/tC2 . Utilizando condensadores eresistncias com valores que verifiquem 1 < 2, o filtro atenuar as frequncias fora dabanda compreendida entre 1 e 2, deixando passar as frequncias angulares na banda[1,2]; esse tipo de filtro designado passa-banda. A figura 11.12 mostra o mdulo dafuno resposta de frequncia para o caso 1 = 2, 2 = 4.

  • 11.8 Ressonncia 185

    +

    C2

    C1

    R1

    R2

    Ve+

    V

    A

    B

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0 2 4 6 8 10

    |R(W)

    |

    W

    Figura 11.12.: Filtro passa-banda e mdulo da sua funo de resposta de frequncia comfrequncias de corte de 2 e 4.

    Um filtro ideal deveria ter uma funo de resposta nula, para as frequncias que se pretendeeliminar, e 1 nas outras frequncias. Com circuitos mais complicados conseguem-se obterfiltros com comportamento mais prximo do ideal. Outro fator a ter em conta a respostatransitria, que tem sido ignorada por ser nula aps algum tempo, ma num filtro de boaqualidade necessrio garantir que a resposta transitria desaparece o mais rapidamentepossvel.

    11.8. Ressonncia

    Nos circuitos com condensadores e indutores em srie, a reatncia equivalente X funocontnua da frequncia f . Quando f se aproxima de infinito, o limite da reatncia + equando f se aproxima de zero, o limite da reatncia . Nesses dois limites o mduloda impedncia equivalente +, que implica corrente nula no circuito.Existe uma frequncia intermdia, designada de frequncia de ressonncia, para a quala reatncia nula e o mdulo da impedncia mnimo; isso implica que o ngulo daimpedncia () nulo, o fator de potncia (cos) 1 e a corrente mxima e a potnciamdia atingem valores mximos em ordem a f . Ou seja, quando a frequncia da fonte igual frequncia de ressonncia do circuito, a tenso e a corrente oscilam em fase ediz-se que o circuito est em ressonncia com a fonte. A frequncia (ou frequncias) deressonncia um valor caraterstico de cada circuito. Nos circuitos em que os indutorese condensadores no esto em srie, a frequncia de ressonncia a que produz o valormximo possvel para Imx e nessas condies a reatncia no necessariamente nula nemo fator de potncia igual a 1.

  • 186 Circuitos de corrente alternada

    Exemplo 11.3Calcule a frequncia de ressonncia do circuito e a potncia mdia mxima que podefornecer a este circuito uma fonte com tenso mxima Vmx.

    2 pF

    3 M

    8 H

    Ve

    Resoluo. Com a resistncia em M e a capacidade em pF, convm usar s para aunidade de tempo e, portanto, MHz para a frequncia e H para a indutncia.

    A impedncia total do circuito a soma das 3 impedncias:

    Z = 3+ i8 i2

    = 3+ i(

    8 12

    )Observe-se que a parte real da impedncia equivalente no depende da frequncia, porqueo condensador e o indutor esto em srie e, como tal, o valor mnimo do mdulo daimpedncia obtm-se quando a parte imaginria seja igual a zero:

    8 12

    = 0 = = 14

    = f = 2pi

    = 0.0398

    No sistema de unidades utilizado, a frequncia de ressonncia f = 0.0398 MHz =39.8 kHz.

    Se a fonte tivesse essa frequncia, a impedncia equivalente seria real, Z = 3 M, e acorrente mxima teria o valor Imx =Vmx/3 (A, se Vmx estiver em volts). A potnciamdia mxima P =Vmx Imx/2 =V 2mx/6 (W, se Vmx estiver em volts).

    No circuito do exemplo anterior, a tenso de entrada carrega e descarrega o condensador.Inicialmente, a carga no condensador oscila com a frequncia de oscilao da tensona fonte; mas quando a carga no condensador elevada, a diferena de potencial docondensador pode contrariar a tenso da fonte, impedindo a entrada de mais carga.

    A situao semelhante a uma massa pendurada de uma mola elstica, na qual atua outrafora externa que tenta manter a massa oscilando para cima e para baixo. Se a fora externano oscila com a uma frequncia igual frequncia prpria de oscilao da mola elstica,h momentos em que a fora externa est a tentar fazer subir a massa, enquanto a molaelstica faz fora no sentido oposto.

    No caso do circuito, se a fonte no existisse mas o condensador tivesse uma carga inicial,comearia a descarregar, produzindo corrente. No momento em que o condensador

  • 11.8 Ressonncia 187

    descarrega completamente, o indutor faz com que a corrente persista por alguns instantes,recarregando o condensador com cargas de sinais opostos carga inicial. O ciclo repete-se,com uma frequncia prpria do circuito. No entanto, a resistncia faz com que a cargado condensador seja menor em cada ciclo, at desaparecer (equilbrio estvel). Existeressonncia quando a fonte oscila com a frequncia prpria do circuito.

    Se a resistncia fosse nula, quando a frequncia da fonte fosse a frequncia de ressonncia,Z seria nula e aparentemente Imx = Vmx/Z seria infinita. No entanto, a corrente noaumenta instantaneamente at esse valor, mas sim gradualmente, com as oscilaes dacarga no condensador. Quando essa carga mxima se torna muito elevada, h rutura dodieltrico no condensador ou a corrente elevada queima o indutor.

    Perguntas

    1. No circuito representado no diagrama,I1(t) = cos( t+2pi/3)I2(t) =

    3 cos( t+pi/6)

    Calcule I(t).I1

    I2

    I

    A. 3 cos( tpi/2)B. 2 cos( tpi/3)C. 3 cos( t+pi/2)D.

    3 cos( t+pi/2)E. 2 cos( t+pi/3)

    2. Um condensador de 2.73 F e uma re-sistncia de 1166 esto ligados em s-rie a uma fonte de tenso alternada comfrequncia de 50 Hz e tenso mxima de325 V. Calcule a corrente eficaz na resis-tncia.

    A. 247 mA

    B. 139 mA

    C. 99 mA

    D. 212 mA

    E. 170 mA

    3. Um condensador de 2.73 F e uma resis-tncia de 1166 esto ligados em sriea uma fonte de tenso alternada de 50 Hz.Pode-se concluir ento que a tenso dafonte est:

    A. Adiantada 90 em relao corrente.B. Adiantada 45 em relao corrente.C. Atrasada 90 em relao corrente.D. Atrasada 45 em relao corrente.E. Em fase com a corrente.

    4. Qual das afirmaes seguintes verda-deira, em relao a uma bobina de 2 mHe um condensador de 5 pF?

    A. O valor absoluto da reatncia da bo-bina menor.

    B. O valor absoluto da reatncia do con-densador menor.

    C. Se a corrente for contnua, o valorabsoluto da reatncia da bobina me-nor.

    D. Se a corrente for contnua, o valor ab-soluto da reatncia do condensador menor.

    E. Se a corrente for contnua, a reatnciados dois dispositivos nula.

  • 188 Circuitos de corrente alternada

    5. Num circuito RLC de corrente alternada,em srie, quando a reatncia equivalentefor nula, qual das seguintes afirmaes verdadeira:

    A. A impedncia nula.

    B. O fator de potncia nulo.

    C. O ngulo de desfasamento nulo.

    D. A corrente nula.

    E. A tenso nula.

    Problemas

    1. A resistncia de uma bobina 150 e a sua indutncia 1.4 H. A bobina ligada rede eltrica com tenso mxima 325 V e frequncia de 50 Hz. Encontre a expressopara a corrente na bobina em funo do tempo t.

    2. Uma bobina, com indutncia de 36 mH e resistncia de 40 , liga-se em paralelo comum condensador de 32 nF e com uma fonte de tenso alternada V (t) = 345cos(150pi t)(em volts, e o tempo t em segundos). Calcule: (a) A corrente mxima na bobina. (b) Acorrente eficaz no condensador. (c) A potncia mdia dissipada na bobina.

    3. Demonstre que a transformada inversa da equao (11.3) conduz corrente alternadaindicada em 11.5

    4. No problema 9 do captulo 9, calcule a frequncia do circuito e os valores mximos dacorrente e da carga.

    5. Nos dois circuitos representados na figura, calcule a corrente e a tenso em todos oselementos do circuito.

    3 k3 k

    2 H

    2 H

    1 F

    1 F

    (a) (b)

    170 V60 Hz

    325 V50 Hz

    6. A figura mostra um filtro rejeita-banda que atenua as frequnciasangulares prximas de 1 kHz. (a)Calcule a funo de resposta R()do circuito. (b) Mostre que para = 1 kHz, R() igual a zero.(c) Calcule o mdulo de R() edesenhe o seu grfico para entre0 e 2 kHz.

    +

    Ve V1 k

    10 F

    100 mH

    +

  • 11.8 Ressonncia 189

    7. Num segmento de um circuito de corrente alternada a tenso 24 cos(pi t/10+1.5) (emvolt, com t em milissegundos) e a corrente 8 cos(pi t/10+2.0) (A, com t em ms). (a)Calcule a resistncia e reatncia desse segmento. (b) O segmento do circuito avariou epretende-se substitu-lo com resistncias, condensadores ou indutores, mas o oramentos permite comprar dois dispositivos. Quais dispositivos deviam ser comprados, comque valores e como deviam ser ligados no circuito?

    8. A figura mostra a tenso e a corrente numcondensador. A corrente produzida pelatenso: se no houver tenso eltrica, noh corrente. Como se explica ento que noinstante t = 0 a corrente seja diferente dezero, sendo a tenso nula?

    t

    Vmx

    Vmx

    Imx

    Imx

    V

    I

    9. A figura mostra o ecr de um oscilosc-pio onde aparecem a tenso e a correntenum elemento de um circuito. As distnciasL e d foram medidas diretamente no ecr,obtendo-se os valores L = 6 cm, d = 1 cm.O osciloscpio tambm permite determinarque a tenso mxima Vmx = 36 V e a cor-rente mxima Imx = 12 mA. Com essesdados, calcule a parte real e a parte imagin-ria da impedncia do elemento do circuito.

    x

    y

    L

    dVmx Imx

  • 190 Circuitos de corrente alternada

    Respostas

    Perguntas: 1. E. 2. B. 3. D. 4. C. 5. C.Problemas

    1. I(t) = 0.669 sin(314.16 t1.2421) A.2. (a) 7.94 A. (b) 3.68 mA (c) 1.261 kW.

    3. A expresso para a transformada da corrente I =I0 s

    s2+2= Re

    (I0

    s i)

    , onde

    =

    1/(LC) e a transformada inversa a expresso (11.5).

    4. f = 1.779 kHz, Imx = 20 mA, Qmx = 1.789 C.5. (a) Tenses em V, correntes em mA, tempo em ms.

    condensador: V = 113 cos(0.378 t0.847) I = 42.5 cos(0.378 t+0.724)resistncia: V = 127 cos(0.378 t+0.724) I = 42.5 cos(0.378 t+0.724)indutor: V = 170 cos(0.378 t) I = 225 cos(0.378 tpi/2)

    (b) Tenses em V, correntes em mA, tempo em ms.

    condensador: V = 405 cos(0.314 t) I = 127 cos(0.314 t+pi/2)resistncia: V = 325 cos(0.314 t) I = 108 cos(0.314 t)indutor: V = 79.9 cos(0.314 t+pi) I = 127 cos(0.314 t+pi/2)

    6. (a) R() =10210

    10210 i

    (c) |R()|= 10210

    1004199 2+100

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    0 0.5 1 1.5 2

    |R(W)

    |

    W

    7. (a) resistncia 2.63 M e reatncia 1.44 M. (b) Uma resistncia de 2.63 M e umcondensador de 2.21 nF, ligados em srie.

    8. A tenso e corrente apresentadas no grfico apenas podero ter essas formas sinusoi-dais algum tempo aps ter sido ligada a fonte, quando a resposta transitria j tiverdesaparecido. Se a fonte de tenso fosse ligada apenas no instante t = 0, a corrente nopoderia ter nesse instante um valor diferente de zero; em vez da funo sinusoidal nogrfico, teramos uma funo que parte de zero e se aproxima gradualmente da funosinusoidal (resposta transitria mais resposta sinusoidal).

    9. z = (1.5+ i2.598) k