1ª. Lei da Termodinâmica para um Volume deControle

Grande parte dos problemas de interesse na Engenharia envolve sistemasabertos, ou seja, sistemas nos quais há fluxo de massa através de suas fronteiras. É,portanto, conveniente obtermos uma expressão da 1ª. Lei válida para sistemas abertos.O estudo de sistemas abertos é simplificado pelo emprego do conceito de volume decontrole. Conforme vimos anteriormente, um volume de controle é definido como umaregião fixa no espaço, com forma e volume fixos. Em princípio, um volume de controlepoderia ser definido de forma menos restritiva, permitindo-se que ele se movesse emudasse de volume. Nesse caso, porém, seria necessário computar explicitamente otrabalho realizado (ou recebido) pela sua fronteira (a superfície de controle). É, assim,usual simplificar a análise e adotar volumes de controle fixos e rígidos; no que se segue,admitiremos essas qualidades para o volume de controle.

1. A Conservação de Massa para um Volume de Controle

Para um sistema fechado, a conservação de massa é satisfeita de forma trivialpela própria definição de sistema fechado: uma coleção fixa de partículas. Em umvolume de controle pode haver fluxo de massa através de suas fronteiras e o balanço demassa deve levar esse fluxo em conta.

Consideremos um volume de controle (VC) que no instante t contém em si umamassa m(t). Suponhamos que no intervalo de tempo Dt uma massa Dme adentrou ovolume de controle através de sua fronteira, a superfície de controle (SC), enquanto umamassa Dms deixou o volume de controle. A massa no volume de controle no instante t +Dt é, portanto:

( ) ( ) se mmtmttm D-D+=D+

A variação de massa no volume de controle no intervalo Dt é:

( ) ( ) seVC mmtmttmm D-D=-D+=D

A variação média de massa no volume de controle durante o intervalo Dt éobtida dividindo-se a variação de massa VCmD pelo intervalo decorrido Dt:

( ) ( )t

m

t

m

ttmttm

t

m seVC

D

D-

D

D=

D-D+

=D

D

No limite de 0ÆDt temos, assim, as taxas instantâneas de variação de massa:

(1)

(2)

(3)

seVC

VC mmdt

dmm &&& -==

A equação (4) expressa o Princípio da Conservação de Massa para um volumede controle. Ele essencialmente afirma que a variação de massa no volume de controle éigual ao fluxo líquido de massa através da superfície de controle.

Nota:

O cálculo dos fluxos de entrada e saída de massa é feito caso a caso para cadaproblema. Um volume de controle pode ter um ou vários fluxos de entrada esaída, com propriedades homogêneas ou não homogêneas. Genericamente, olado direito da equação (4) pode se expresso por uma integral ao longo dasuperfície de controle:

Ú=SC

VC VdAdt

dmr

onde r é a densidade local do fluido, V é a velocidade local do fluido normal adA (positiva para dentro) e dA é o elemento de área da superfície de controle.

2. 1ª Lei Para um Volume de Controle

Apresentamos agora uma dedução simples da 1ª. Lei para um volume decontrole assumindo inicialmente que há apenas um fluxo de entrada e um fluxo de saídade massa através da superfície de controle. Em seguida, generalizaremos para múltiplosfluxos. Naturalmente, a expressão da 1ª. Lei para o volume de controle será obtida apartir da aplicação da 1ª. Lei para um sistema (fechado) convenientemente definido.

Consideremos assim o sistema (fechado) e o volume de controle mostrados nafigura:

(4)

(5)

O sistema (fechado) é definido de modo a ser composto pela massa no interiordo volume de controle no instante t mais a massa Dme que adentrará o volume decontrole no intervalo Dt. Desta forma, no instante (t + Dt), o sistema (fechado) écomposto pela massa no interior do volume de controle no instante (t + Dt), a qual agorainclui a massa Dme, mais a massa Dms, que deixou o volume de controle no intervaloDt. Note-se que o sistema (fechado) é sempre composto pelas mesmas partículas demassa.

Para simplificar nossa dedução vamos admitir que os fluxos de entrada e saídaestão em equilíbrio termodinâmico, de modo a podermos empregar suas propriedadesintensivas (tais como volume específico e energia interna específica) como se estasestivessem distribuídas de forma homogênea nas porções Dme e D ms de massa. Essahipótese simplificadora é razoável desde que o intervalo Dt seja pequeno e que as áreasde entrada e saída sejam pequenas (e também desde que não existam descontinuidadesnas propriedades, como no caso de ondas de choque).

Do mesmo modo, sendo Dt pequeno, vamos admitir que as taxas de transmissãode calor Q& e trabalho xW& são constantes durante Dt, de forma que o calor trocado e o

trabalho transferido durante Dt podem ser dados por:

tWW

tQQ

xtx

t

D⋅=

D⋅=

D

D

&

&

Além do trabalho transferido de ou para o sistema mostrado em (6b), o sistemarealiza trabalho de fronteira nas áreas de entrada e saída de massa. Denominando porDVe e DVs os volumes correspondentes aos fluxos de entrada e saída, respectivamente, efazendo uso da hipótese de equilíbrio desses fluxos para denotar por pe e p s suaspressões, temos que o trabalho de fronteira é dado por:

Fronteirado

sistema(fechado)

xW& xW&

Q&

emD

Q&

smD

ee

ss

a) Instante t b) Instante (t + Dt)

(6a)

(6b)

eesstf VpVpW D-D=D

Os volumes DVs e DVe podem ser expressos em função das respectivas massas evolumes específicos como:

sss

eee

mvV

mvV

D⋅=D

D⋅=D

De forma que o trabalho total realizado pelo sistema durante Dt é:

eeesssxtftxt mvpmvptWWWW D⋅-D⋅+D⋅=+=DDD

&

A energia total dos fluxos de massa Dme e Dms pode ser dada pela soma de suascomponentes de energia interna, cinética e potencial (aqui restrita ao potencialgravitacional):

˜¯

ˆÁË

Ê ++D=D

˜¯

ˆÁË

Ê ++D=D

ssmsssm

eemeeem

gzvumE

gzvumE

2

2

2

1

2

1

ue, us : energias internas específicas

smem vv , : velocidades médias

ze, zs : cotas

A energia total no sistema (fechado) nos instantes t e (t + Dt) é, assim, dada por:

smttVCtt

emtVCt

EEE

EEE

D+=

D+=

D+D+

onde tVCE e ttVCE D+ são as energias totais no volume de controle nos

respectivos instantes (lembremos aqui da definição do sistema e sua relação com ovolume de controle).

A variação de energia no sistema (fechado) é:

(7)

(8a)

(8b)

(9)

(10a)

(10b)

(11a)

(11b)

emsmVCttt EEEEEE D-D+D=-=D D+

onde tVCttVCVC EEE -=D D+ é a variação de energia no interior do volume de

controle.

A 1ª. Lei para o sistema (fechado) aplicada entre t e (t + Dt) fornece:

tt WQE DD -=D

Combinando a expressão (9) de WDt com as expressões (10a) e (10b) para Dme eDms, empregando a expressão (6a) para QDt e substituindo-as em (13) e (12), temos:

eeesss mvpmvptWtQE D⋅+D⋅-D⋅-D⋅=D &&

˜¯

ˆÁË

Ê ++D-˜¯

ˆÁË

Ê ++D+D=D eemeessmssVC gzvumgzvumEE 22

21

21

De (14) e (15) temos, fazendo 0ÆDt , que:

( ) ( ) ˙̊˘

ÍÎ

È +++-˙̊˘

ÍÎ

È ++++=- eemeeeessmssssVC

x gzvvpumgzvvpumdt

dEWQ 22

21

21

&&&&

Os termos (us + psvs) e (ue + peve) são, por definição, as respectivas entalpias desaída e entrada, hs e he :

˜¯

ˆÁË

Ê ++-˜¯

ˆÁË

Ê +++=- eemeessmssVC

x gzvhmgzvhmdt

dEWQ 22

21

21

&&&&

Finalmente, a equação (17) pode ser generalizada para múltiplos fluxos deentrada e saída tornando-se suas somatórias:

 ˜¯

ˆÁË

Ê ++-˜¯

ˆÁË

Ê +++=-entradas

eemeesaídas

ssmssVC

x gzvhmgzvhmdt

dEWQ 22

21

21

&&&&

Esta é a equação geral da 1ª. Lei para um volume de controle, válida para regimepermanente e não-permanente e múltiplas entradas e saídas.

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)