19/11/2009

Trigonometria

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O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da conjunção de três palavras:

Tri – três

Gonos – ângulo

Metrein - medir

Trigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos.

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Algumas aplicações da Trigonometria

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Triângulo retângulo

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Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°.

catetocateto

hipotenusacateto

cateto

hipotenusa

A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo;

Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°;

Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°;

Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses ângulos são complementares.

Teorema de Pitágoras

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Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

c = 4

b = 3

a = 5

252516925

435 222

222

cba

Aplicação do Teorema de Pitágoras

9

22:2

2

3

4

3

42:1

22222

22

222

222

ddd

hhhh

Teorema de Tales

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Um feixe de retas paralelas, intersectado por duas transversais, determina, sobre essas transversais segmentos proporcionais.

Exemplo de aplicação:

11

Solução:

Relações Trigonométricas num triângulo retângulo12

Seno

13

Exemplo de aplicação:

14

Cosseno

15

Exemplo de aplicação:

16

Tangente

Exemplo de aplicação:

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Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis

Seno, cosseno e tangente de 30° e 60º

adjacente cateto

oposto catetotgα

hipotenusa

adjacente catetocosα

hipotenusa

oposto catetosenα

18

2

Seno, cosseno e tangente de 45°

adjacente cateto

oposto catetotgα

hipotenusa

adjacente catetocosα

hipotenusa

oposto catetosenα

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Construção da Tabela Trigonométrica

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Relações entre seno, cosseno e tangente21

22

23

Observe a situação a seguir:

Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do fio necessário para a instalação?

Pela necessidade de solucionar problemas relacionados a triângulos que não são retângulos, se desenvolveram formas de trabalhar com senos e cossenos de ângulos obtusos ( maiores que 90°).

Teorema ou Lei dos Senos

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A lei dos senos pode ser utilizada em qualquer triângulo. No caso de triângulos retângulos, basta considerar sen 90° = 1.

Aplicação da Lei dos Senos

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A Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos internos e a medida do cateto oposto a um desses ângulos.

Teorema ou Lei dos Cossenos

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A Lei dos Cossenos é geralmente usada, quando são conhecidas as medidas de dois lados e o ângulo formado por eles.

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Exemplo:

Área de um triângulo

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Existem problemas em que se deseja calcular a área de um triângulo e não são conhecidas as medidas da base e altura. Nesses casos, a área pode ser calculada de duas maneiras diferentes:

1ª maneira: Área de um triângulo em função da medidas de dois lados e do ângulo compreendido entre eles.

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2ª maneira: Fórmula de Heron

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32ARCOS E ÂNGULOS

33ÂNGULO CENTRAL

Todo ângulo central possui um arco correspondente, e reciprocamente, a todo arco corresponde um ângulo central.

A medida de um arco é entendida como a medida do seu ângulo central. Para medir um arco, usamos o grau ou o radiano.

O comprimento de um arco é a sua medida linear e é expresso em centímetros, metros...

IMPORTANTE

Os arcos AB e A’B’ têm a mesma “abertura”, ou seja, a mesma medida (mesmo ângulo), mas

possuem comprimentos diferentes.

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MEDIDA DE ARCOS: O GRAU

O grau é definido, dividindo-se uma circunferência em 360 partes iguais. Cada

uma dessas partes, corresponde a um arco de um grau (1°).

Transferidor: usado para

medir ângulos.

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MEDIDA DE ARCOS: O RADIANO

Observe o arco AB da circunferência, em que o comprimento é igual a medida do

raio:

Dizemos que, a medida do arco AB ou do ângulo central BÔA, é igual a 1 radiano

(1 rad).

Assim, dizemos que um arco AB que possui comprimento igual ao raio da

circunferência, mede 1 radiano.

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Qual é o comprimento de uma circunferência?

RCR

C

Diâmetro

oCompriment

22

141592654,3

(Pi)

Qual é a medida em radianos de um arco de 360°?

)(360ncia circunferêuma de arco domedida rad rad

rad

arco doMedida arco do oCompriment

22

2

1

2

21

xR

Rx

RxR

x

rad

R

R

xπR rad R

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Quantos graus mede um arco de 1 radiano?

rad rad

1802360Portanto, temos que:

35714,3

180180

2

360

3602

1

2360

12º360

,xπ

x

x

π

x

rad x radπ

radianos em arco doMedida graus em arco doMedida

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CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

40

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA: Arcos Simétricos

180:IIQ

180:IIIQ

π-αIV

2360:

:IQ

290

180

2

3270

2360

41SENO, COSSENO E TANGENTE NA

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

Sinal SENO:

= 30°

= 45°

= 60°

90°

120° =

135° =

150° =

210° =

225° =

240° =

270°

= 300°

= 315°

= 330°

3602

Seno

42

Sinal COSSENO:

= 30°

= 45°

= 60°

90°

120° =

135° =

150° =

210° =

225° =

240° =

270°

= 300°

= 315°

= 330°

3602Cosseno

43

Sinal TANGENTE:

= 30°

= 45°

= 60°

90°

120° =

135° =

150° =

210° =

225° =

240° =

270°

= 300°

= 315°

= 330°

3602

Tangente

44

= 30°

= 45°

= 60°

90°

120° =

135° =

150° =

210° =

225° =

240° =

270°

= 300°

= 315°

= 330°

3602

Tangente

Seno

Cosseno

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DEMAIS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Secante: o sinal da secante é o mesmo do cosseno x

xcos

1sec

Cossecante: o sinal da cossecante é o mesmo do seno x

xsen

1seccos

Cotangente: o sinal da cotangente é o mesmo da tangente. x

xgx

sen

coscot