17_previsao de enchente

Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduao 7. Previso de Enchentes

Prof. Antenor Rodrigues Barbosa Jr.

150

7. PREVISO DE ENCHENTES

7.1. GENERALIDADES

O termo previso de enchentes, neste curso, aplica-se ao clculo de uma enchente de

projeto por extrapolao dos dados histricos para as condies mais crticas. Como exemplo,

considera-se certa seo fluviomtrica de um rio para a qual se dispe de 30 anos de dados de

vazo. Assim, a maior vazo observada tem a probabilidade aproximada de ocorrer, ou ser

superada, uma vez a cada 30 anos. Se o problema for o clculo da vazo mxima provvel de

acontecer uma vez a cada 100 anos, estar-se- tratando, basicamente, da extrapolao de dados

histricos para a previso da enchente de 100 anos.

interessante fazer a distino dos conceitos de cheia (ou enchente) e inundao. A

enchente caracteriza-se pela ocorrncia da vazo relativamente grande do escoamento

superficial, enquanto a inundao distingue-se pelo extravasamento do canal. Uma enchente

pode ou no causar inundao. Obras de controle podem ser realizadas no rio para evitar a

ocorrncia da inundao. Por outro lado, a existncia de alguma obstruo no escoamento natural

do rio pode levar inundao, mesmo no havendo grande aumento do escoamento superficial.

Em suma, a enchente refere-se a uma ocorrncia natural, cclica, que normalmente no afeta

diretamente os habitantes da regio; j as inundaes so decorrentes de alteraes no uso do

solo e podem provocar danos de grandes propores.

7.2. CLCULO DA VAZO DE ENCHENTE

O clculo da enchente, utilizado no projeto de obras hidrulicas (bueiros, canais,

vertedores etc.), um procedimento necessrio no dimensionamento de obras de controle e

proteo contra inundaes. A finalidade do clculo da vazo de enchente pode ser:

a) para definir a vazo mxima de projeto;

b) para estabelecer, se possvel, o hidrograma da cheia, isto , para determinar a distribuio das

vazes ao longo do tempo, desde o instante em que se tem o aumento da vazo determinado pelo

escoamento superficial produzido por determinada chuva, at o fim da contribuio do

escoamento superficial.

No clculo da vazo de enchente podem ser utilizados mtodos baseados em dados de

chuva, que fazem a transformao da chuva em vazo, como o mtodo do hidrograma unitrio1 e

o mtodo racional, vistos no captulo anterior. Pode-se, ainda, quando se dispe da srie histrica

de vazo, recorrer a modelos ou leis de probabilidade j consagrados, que permitem prever a

enchente com base na descrio das frequncias de ocorrncia dos eventos extremos de vazo. A

seleo da tcnica mais apropriada para a determinao da enchente de projeto depende do tipo,

quantidade e qualidade dos dados hidrolgicos disponveis.

1 O mtodo do hidrograma unitrio (mtodo do HU) empregado no clculo da vazo de enchente requer poucos

dados e facilmente adaptvel s chuvas de diferentes duraes e intensidades. Contudo, ele no permite a

associao do perodo de retorno aos resultados obtidos. Mesmo quando o perodo de retorno da chuva conhecido,

a transformao efetuada pelo modelo geralmente afeta a distribuio de frequncia do evento.



151

Os mtodos de transformao de chuva em vazo j foram estudados no captulo anterior,

que trata do escoamento superficial. Por isso, no presente captulo tratar-se- apenas do uso de

leis de probabilidade na previso da vazo de enchente.

7.3. PERODO DE RETORNO PARA O CLCULO DA ENCHENTE

Conforme j visto, o perodo de retorno ou intervalo de recorrncia de uma enchente o

tempo mdio, em anos, em que a enchente igualada ou superada pelo menos uma vez. Como

forma de determinao do perodo de retorno para o clculo da vazo de enchente pode ser

utilizado um critrio baseado na fixao do risco, ou um critrio econmico ou, ainda, um

critrio baseado na experincia do projetista, este ltimo sendo o mais comumente adotado no

Brasil.

i) Critrio de Fixao do Risco

Para a escolha do perodo de retorno da enchente de projeto pode-se recorrer ao

procedimento de fixao do risco assumido para o caso de a obra vir a falhar dentro do seu

tempo de vida til. Isto porque a estrutura projetada para determinada vazo de pico correr certo

risco de falha dentro do seu perodo de vida til: isso significa que a vazo de projeto poder ser

excedida dentro do perodo de vida til da obra. A seleo do risco que se deseja correr depende

da gravidade da falha para o funcionamento da estrutura ou obra, bem como dos recursos

disponveis para a sua construo, entre outros fatores.

Para obter uma expresso para o perodo de retorno em funo do risco, considere o

evento de magnitude Qp2, com intervalo de recorrncia Tr. Ento a probabilidade de que este

evento seja igualado ou superado em um ano qualquer pode ser expressa por

Tr

1QQP p . (1)

Assim, em outras palavras, se determinada obra (vertedor de barragem, galeria de guas pluviais,

bueiro, canal de sistema de drenagem, etc.) for construda para a vazo de cheia de projeto Qp,

correspondente a um intervalo de recorrncia de Tr anos, ento, para cada ano de funcionamento

do sistema, a probabilidade de ocorrer falha (vazo de projeto ser superada) igual a 1/Tr.

Considerando-se somente as possibilidades de que a falha ocorra ou no, a probabilidade

de no ocorrncia da falha num ano qualquer ser, ento, Tr11 .

Para n anos de vida til da obra, ou para um tempo de construo de n anos, a

probabilidade do sistema no falhar nenhuma vez neste perodo a chamada segurana, S:

n

vezesn

Tr11STr11Tr11Tr11S

. (2)

Consequentemente, numa srie de n anos, o risco de falha ser representado pela

probabilidade R de que ao menos um evento iguale ou exceda o evento de intervalo de

recorrncia Tr. Ou seja,

nTr111R S1R . (3)

Dessa maneira, pode-se escolher o perodo de retorno da cheia a ser utilizado no projeto

da obra hidrulica, conhecendo-se o tempo de vida provvel da estrutura, ou o tempo de durao

da sua construo, e fixando-se o risco que se deseja correr de que a obra venha a falhar. A ttulo

de ilustrao, na Tabela 7.1 apresentam-se os perodos de retorno para diferentes valores do risco

2 Qp a vazo de pico ou de projeto.



152

e da vida til provvel da estrutura, calculados com base na Eq. (3). Sugere-se ao estudante

completar a tabela para os valores de Tr correspondentes ao risco assumido de 90%.

Tabela 7.1 Perodo de retorno estabelecido de acordo com o critrio de fixao do risco

Perodo de retorno, Tr (anos)

Risco a ser

assumido

Vida provvel da estrutura, n (anos)

1 10 20 50 100 1000

1% 100 995 1990 4975 9950 99500

5% 20 195 390 975 1950 19496

10% 10 95 190 475 950 9492

50% 2 15 29 73 145 1443

90%

99% 1,0 2,7 4,9 11 22 217

EXEMPLO 7.1

Para uma usina hidreltrica como a de Itaipu, para a vazo de projeto dos vertedores assumiu-se

um risco de falha de 1%. Se a vida til do sistema estimada em 100 anos, qual o perodo de

retorno da vazo de projeto?

SOLUO

A partir da Eq. (3) rearranjada, possvel expressar o perodo de retorno como uma funo da

vida til n e do risco R. Este perodo de retorno, chamado perodo de retorno de projeto,

calculo como

n1R111

Tr

. (4)

Assim, com os dados do problema,

9950Tr

01,011

1Tr

1001

anos.

O resultado desse problema confere com aquele apresentado na Tabela 7.1.

EXEMPLO 7.2

Para a canalizao de um crrego urbano adotou-se a vazo de projeto correspondente ao

perodo de retorno Tr = 20 anos. Se a vida til da obra de 50 anos, qual o risco que se corre de

a obra falhar?

SOLUO

Pela Eq. (3): %9292,020

111R

50

.



153

Observao:

Admitindo-se que o perodo de retorno de uma vazo de cheia de vazo Qp = 1.000m3/s seja de

100 anos, a probabilidade de que essa vazo seja excedida num ano qualquer ser:

P{QQp} = 1/Tr = 1/100 = 0,01.

Ou seja, a probabilidade de excedncia da vazo de 1.000m3/s ser igual a 1%. Importante compreender que ao se fixar uma cheia de 100 anos no significa que a vazo

correspondente ser excedida exatamente a cada 100 anos, e sim que, para um nmero

extremamente grande de ocorrncias, ter-se-, em mdia, uma excedncia da vazo de cheia a

cada 100 anos. Este perodo de 100 anos , portanto, um perodo de retorno mdio.

Vazes de enchente seguem um modelo de Bernoulli, para o qual a probabilidade de ocorrncia

de um evento independente do tempo e do histrico das ocorrncias e no ocorrncias. Para tal

modelo, num tempo qualquer, um evento de dada magnitude poder ocorrer com a probabilidade

P=1/Tr, ou no ocorrer com a probabilidade (1P) = (11/Tr). Assim, por exemplo, a probabilidade de ocorrer um nico evento em 3 anos ser:

P(1P)(1P) + (1P)P(1P) + (1P)(1P)P

que igual a 3P(1P)2.

Pode-se, ento, generalizar para a probabilidade de ocorrncia de exatamente k eventos em n

anos, a qual ser igual ao nmero de modos de se arranjar k valores de P, entre os n itens. Em

termos da probabilidade de excedncia, isso corresponde a uma distribuio binomial de

probabilidade:

knknkx P1PCanosn em eventosk exatamentef

em que:

P = probabilidade de excedncia de um evento num ano qualquer;

fx = probabilidade de ocorrncia de k eventos (excedncia) em n anos;

!kn!kn!

Cnk

.

Em estudos hidrolgicos, usualmente no importante conhecer a probabilidade com que a cheia

excedida exatamente k vezes, e sim a probabilidade de ocorrncia de um ou mais eventos de

excedncia em n anos. Ou seja, interessa conhecer

anosn em evento zerof1anosn em eventos maisou 1fx . Ou,

0n0n0x P1PC1anosn em eventos maisou 1f

,

que resulta em

nx P11anosn em cheia uma menos pelof . A ltima expresso fornece, ento, a probabilidade, fx, da obra ou estrutura falhar ao menos uma

vez, em anos. Representa, portanto, o risco de ocorrncia R de uma cheia com vazo superior

de projeto (ou vazo superior de recorrncia Tr), em n anos de vida til da obra.

Alternativamente, para o tempo de vida til do projeto, n, e para um nvel de risco de falha

aceitvel, R = fx100 (%), a probabilidade de excedncia P e o perodo de retorno Tr (Tr=1/P) da cheia de projeto podem ser calculados a partir daquela expresso, que idntica Eq. (3).

EXEMPLO 7.3

Um bueiro projetado para um intervalo de recorrncia de 50 anos. Qual a probabilidade de

ocorrer exatamente uma cheia da magnitude igual de projeto em 100 anos de vida til da

estrutura?



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SOLUO

knknkx P1PCanosn em eventosk exatamentef

No caso: Tr = 50 anos; n = 100 anos; k = 1.

Assim, P = probabilidade de excedncia = 1/Tr = 1/50 = 0,02.

Portanto,

27,002,0102,0!1100!1

!100P1PCanos 100 em evento 1 exatamentef

99111001100

1x

%2727,0fx .

EXEMPLO 7.4

Qual a probabilidade do bueiro do problema exemplo 7.3 experimentar pelo menos uma cheia de

projeto em seu tempo de vida til?

SOLUO

O que se procura, agora, exatamente o risco:

R = 100x P11anos 100n em cheia uma menos pelof Portanto,

R = 87,002,011anos 100n em cheia uma menos pelof 100x R = %8787,0fx .

ii) Critrio Econmico de Fixao do Risco

Pelo critrio econmico, o perodo de retorno da vazo de projeto deveria ser aquele que

conduzisse ao menor custo global. Por exemplo, em caso de existncia de seguro contra

enchentes, poder-se-ia construir uma curva que fizesse a representao dos custos anuais do

seguro em funo do perodo de retorno Tr e, no mesmo grfico, se lanariam os gastos anuais

de amortizao do capital aplicado na obra. A soma dessas duas parcelas geraria uma nova curva

que, passando por um ponto de mnimo, produziria neste ponto o perodo de retorno mais

econmico. A Figura 7.1 procura ilustrar a aplicao do critrio econmico.

iii) Critrios usualmente adotados no Brasil

Em geral, a ausncia de seguros contra enchentes ou a dificuldade de obteno de

informaes a esse respeito conduz utilizao de outros critrios para a fixao do perodo de

retorno da vazo de cheia de projeto. A depender do tipo de obra, as principais variveis

consideradas para a fixao do perodo de retorno so: a) a vida til da obra, b) o tipo de

estrutura, c) a facilidade de reparao e ampliao, e d) o perigo de perda de vida. Baseado

nestes parmetros, adotam-se os seguintes valores mdios do perodo de retorno:

Para o dimensionamento do extravasor de barragem de terra: Tr 1000 anos

Para o dimensionamento do extravasor de barragem de concreto: Tr 500 anos

Para galerias de guas pluviais: Tr 5 a 20 anos

Para pequena barragem de concreto para fim de abastecimento: Tr 50 a 100 anos



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Figura 7.1 Obteno do perodo de retorno pelo critrio econmico.

7.4. USO DE LEI DE PROBABILIDADE NA PREVISO DE ENCHENTES

Todos os projetos de engenharia so planejados para o futuro, no havendo certeza

absoluta das exatas condies de trabalho da obra ou estrutura. Na rea estrutural, por exemplo,

o projetista estabelece as cargas atuantes, mas no tem certeza de que estas cargas no sero

excedidas. Para levar em conta as incertezas, lana mo de hipteses, baseadas na razo, e

considera fatores de segurana nos dimensionamentos. Da mesma forma, o engenheiro de

recursos hdricos no estar absolutamente certo da vazo que afetar o projeto. Contudo, deve

estar consciente de que um erro acentuado de previso das quantidades hidrolgicas poder

causar efeitos destruidores indesejveis, que podem inviabilizar economicamente todo o projeto.

Uma vez que o comportamento exato das vazes em anos futuros no pode ser

absolutamente previsto, procura-se introduzir leis de probabilidade de modo a estabelecer as

provveis variaes para permitir que o plano seja completado com base em um risco calculado.

Recorre-se, pois, anlise estatstica com o propsito de utilizar os eventos de descargas

observadas (srie histrica de vazes) num dado perodo, como meio de se efetuar a projeo

para um perodo de tempo maior.

Na previso de enchentes, ou seja, na determinao da magnitude das vazes de pico das

cheias (que so as vazes crticas ou de projeto), recorre-se ao uso de modelos de probabilidade,

a partir de um enfoque estatstico que consiste em definir a relao entre as descargas mximas e

as correspondentes frequncias de ocorrncia, apoiando-se no estudo de uma srie3 de dados

observados. A suposio bsica que as cheias verificadas durante um determinado perodo

possam ocorrer em um perodo futuro de caractersticas hidrolgicas similares, isto , com uma

expectativa de repetio.

As funes matemticas de distribuio de probabilidade mais utilizadas na anlise de

frequncia das vazes de enchente so:

1) distribuio gama, tambm conhecida como distribuio Pearson tipo III;

2) transformao logartmica da distribuio gama, tambm conhecida como distribuio log-

Pearson tipo III;

3) transformao de potncia da distribuio gama, ou distribuio de Kritskiy-Menkel; 3 Na anlise de frequncia das cheias, a srie anual mais popular do que a srie parcial.



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4) distribuies exponenciais, tambm conhecidas como distribuies de valores extremos ou

distribuies de Fisher-Tippett, que so de trs tipos: tipo I, duplo exponencial, conhecida como

distribuio Gumbel; tipo II, conhecida como distribuio de Frchet; e tipo III, conhecida como

distribuio de Goodrich ou Weibull;

5) distribuio gaussiana (distribuio normal de probabilidade);

6) transformao logartmica da distribuio normal, tambm conhecida como distribuio log-

normal ou distribuio de Galton.

Em princpio, no existe nenhuma razo para considerar um dos modelos acima como

superior aos demais. Por isso, na seleo da distribuio mais apropriada a ser ajustada a uma

determinada base emprica de dados recorre-se, normalmente, a tcnicas matemticas de ajuste

de curvas. Um procedimento simples e rpido, embora no necessariamente o mais preciso,

consiste em lanar os pares de valores de frequncia e vazo em papel de probabilidade4. Assim,

se num dado papel de probabilidade os dados ajustarem-se segundo uma linha reta, ento a

distribuio de probabilidade correspondente ser considerada adequada para a realizao das

previses.

Ven Te Chow mostrou que a maioria das distribuies de probabilidade usadas em

hidrologia pode ser posta na forma

sKxxTr (05)

onde:

xTr = magnitude da varivel (vazo ou chuva) atingida ou superada pelo menos uma vez em Tr

anos,

x = valor mdio da varivel considerada,

s = desvio-padro, e

K = fator de frequncia.

O fator de frequncia da equao de Chow depende do tipo de distribuio, da frequncia (ou

perodo de retorno) e do coeficiente de assimetria.

Apresentam-se, a seguir, algumas distribuies de probabilidade normalmente

empregadas na anlise de frequncia das cheias e outros eventos extremos.

7.4.1 A DISTRIBUIO NORMAL

Um fenmeno completamente aleatrio segue a distribuio de probabilidade de Gauss,

ou distribuio normal. Se uma varivel aleatria x tem distribuio normal, a funo densidade

de probabilidade da varivel aleatria x, f(x), dada por

2x

2

1

2

1xf exp (06)

onde e so, respectivamente, a mdia e o desvio-padro da populao.

Para uma amostra da populao, as estimativas da mdia e do desvio-padro podem ser

obtidas, respectivamente, de

N

x

x

N

1i

i , (07)

4 Cada distribuio ter um papel probabilidade especfico.



157

1N

xx

s

N

1i

2

i

. (08)

Ao medir x, a probabilidade de se encontrar um valor menor ou igual a um valor extremo

xp dada pela funo densidade de probabilidade acumulada:

dxxfxxPxF px

pp . (09)

Para a distribuio normal, os grficos representativos das expresses de f(x) e F(x), em

funo da varivel x, so mostrados nas Figuras 7.2 e 7.3.

Em vez de plotar F(x) em escala aritmtica, pode-se utilizar o chamado papel aritmtico

de probabilidade, onde a escala de F(x) tal que transforma a curva em S, caracterstica da distribuio normal, em uma reta, tendo a abscissa escala aritmtica, conforme ilustrado na

Figura 7.4. Para o traado desta reta, lana-se mo de algumas propriedades da distribuio

normal, sendo suficiente, no caso, considerar:

F( x ) = P{x < x }= 0,5;

F( sx ) = P{X < sx } = 0,1587;

F( sx ) = P{X < sx } = 0,8413.

Nos manuais de estatstica e probabilidade, os valores das frequncias acumuladas da

distribuio normal so fornecidos em tabelas construdas em termos de uma nova varivel,

chamada de varivel reduzida z, que se obtm da transformao:

s

xxz

. (10)

Esta nova varivel z, tambm chamada varivel normalizada, tem mdia zero e desvio-padro

igual a unidade. Consequentemente, a funo densidade de probabilidade escrita para a varivel

normalizada z, tambm chamada funo densidade de probabilidade normalizada, exprime-se

na forma:

2z

2

1exp

2

1zf . (11)

E a funo densidade de probabilidade acumulada correspondente escreve-se como

dzzfzFpz

p P{z



158

Figura 7.2 Distribuio normal funo densidade de probabilidade

Figura 7.3 Distribuio normal funo densidade de probabilidade acumulada

Figura 7.4 Distribuio normal funo densidade de probabilidade acumulada em papel de probabilidade



159

Figura 7.5 Representaes grficas das frequncias relativas e acumuladas para a varivel reduzida z da

distribuio normal de probabilidade.

7.4.2 A DISTRIBUIO LOG-NORMAL

Os registros das vazes mdias dirias durante um ano hidrolgico mostram que estas no

constituem um evento completamente aleatrio. Em verdade, as vazes dependem de um

conjunto de fatores5, tais como precipitao, solo, vegetao, topografia, precipitao

antecedente, temperatura, estao do ano, obras no curso dgua, etc. Os pesos desses fatores na formao do escoamento superficial, que juntamente com a contribuio subterrnea d a vazo

do rio, no so iguais: as influncias da precipitao e dos fatores geomorfolgicos so mais

determinantes.

Conforme exposto, as vazes mximas anuais, isto a srie anual dos eventos extremos

constitudos pelas mximas vazes mdias dirias de cada ano, por no serem tais vazes

completamente aleatrias no seguem uma distribuio de Gauss. Entretanto, se ao invs das

vazes forem considerados os logaritmos dos seus valores, esses ltimos aproximam-se

relativamente bem da distribuio normal.

Assim, denotando por x varivel hidrolgica (no caso, x representando a vazo Q), e

fazendo-se

xy log (15)

ter-se-

2

yys

yy

2

1

2s

1yf exp (16)

onde

y mdia dos logaritmos de x; e

ys desvio-padro dos logaritmos de x.

5 Tais fatores foram vistos e analisados nos captulos anteriores.



160

Tabela 7.2 Funo de distribuio acumulada de probabilidade Lei normal ou de Gauss

( = 0; = 1)

K=z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 06517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,5700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9888 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

Observaes:

1) Para valores negativos de z, utilizar o complemento aritmtico para 1 dos valores de F(z)

correspondentes ao valor positivo. Isto , F(z) = 1 F(z) o mesmo que P{Z < z}= 1 P{Z



161

Isto ,

N

x

N

y

y

N

1i

i

N

1i

i

log

(17)

e

1N

yy

s

N

1i

2

i

y

(18)

Para a varivel y (transformada logartmica de x), a funo distribuio acumulada de

probabilidade, F(y), se escreve como

y

dyyfyYPyF (19)

Os valores desta integral so fornecidos na Tabela 7.2, agora em termos da tambm varivel

reduzida

ys

yyz

. (20)

Pela distribuio log-normal, a previso da enchente de perodo de retorno Tr, com base

no modelo de Chow, exige que a Eq. (5) seja reescrita na forma

yTr sKyy , (21)

sendo K o fator de frequncia de Chow determinado com o auxlio da Tabela 7.2.

Uma vez que y = log x, a varivel procurada, xTr (ou a vazo QTr), se obtm da transformao

Try

Tr 10x . (22)

7.4.2.1 USO DO PAPEL LOGARTMICO DE PROBABILIDADE POSIO DE PLOTAGEM

Para facilitar o uso prtico da distribuio log-normal, utiliza-se o chamado papel

logartmico de probabilidade, no qual: i) a escala das abscissas logartmica, dispensando o

clculo dos logaritmos da varivel x (entra-se diretamente com os valores de vazo); ii) a escala

das ordenadas (escala normal de probabilidade) tal que transforma a curva em S em um reta.

Quando a srie de valores mximos anuais das descargas6 suficientemente grande (N >

30 anos de registros), a sequncia de procedimentos abaixo pode ser utilizada para as estimativas

das frequncias:

1o - classificar os dados da srie de vazo em ordem crescente;

2o - definir a dimenso do intervalo de classe e agrupar os dados dentro dos intervalos;

3o - contar o nmero de observaes (frequncias absolutas) dentro de cada intervalo;

4o - calcular as frequncias relativas (dividir o nmero de observaes de cada intervalo pelo

total de observaes); 6 Srie anual dos valores mdios dirios na seo de um curso dgua natural (estao fluviomtrica).



162

5o - calcular as frequncias acumuladas, F(y), que so medidas das probabilidades de

ocorrncia de vazes menores (ou iguais) ao valor superior da classe;

6o - plotar as frequncias (probabilidades) em ordenadas e as vazes em abscissas, em papel

logartmico de probabilidade;

7o - traar a reta representativa da distribuio log-normal de probabilidade.

Convm destacar que a reta mencionada passa, necessariamente, pelos pontos:

F( y ) = P{ yy }=50% y50 10x % ;

F( ysy ) = P{ ysyy }=15,87%; sy

8715 10x%, ; e

F( ysy ) = P{ ysyy }=84,13% sy

1384 10x%, .

Se os valores plotados apresentarem boa aderncia em relao reta traada poder-se-

dizer, com boa segurana, que as frequncias dos logaritmos das vazes seguem uma

distribuio normal (ou que as frequncias das vazes seguem uma distribuio log-normal). Da

surge a possibilidade de previso de enchentes pela extrapolao dos dados histricos baseando-

se no modelo log-normal de probabilidade.

Alternativamente, a anlise de frequncia poderia ser feita utilizando-se o mtodo de

Weibull7: os eventos, em termos de sua magnitude, so classificados em ordem decrescente,

atribuindo-se um nmero de ordem a cada evento. O evento de maior magnitude teria, ento,

ordem m=1 e o de menor magnitude ordem m=N, sendo N o nmero de anos da srie (na srie

anual, N tambm o nmero de dados ou observaes). A frequncia do evento de ordem m, ou

a probabilidade de que um evento da mesma magnitude, ou de magnitude maior, venha a ocorrer

num ano qualquer (no caso, probabilidade de excedncia) pode ser calculada por

F(x) = 1N

mxXP

. (23)

Da definio de perodo de retorno,

m

1N

xXP

1Tr

. (24)

No presente captulo, foi definida a frequncia F(x) como uma probabilidade de no

excedncia, isto , xXPxF . Assim, como, ento

Tr

11xXP1xXPxF . (25)

Para a distribuio log-normal, empregando-se as Eqs. (22) e (25), as posies de

plotagem podem ser prontamente obtidas no papel logartmico de probabilidade.

EXEMPLO 7.5

Considere a srie anual das vazes mximas dirias referidas seo de um curso dgua natural, conforme fornecido nas duas primeiras colunas da Tabela 7.3. Com base nesses dados, pede-se:

a) testar visualmente, por meio de construes grficas, a validade dos modelos normal e log-

normal de probabilidade;

b) estimar as magnitudes das cheias de 100 anos e de 200 anos de recorrncia.

7 V. captulo de Precipitao.



163

SOLUO

a) Teste do modelo gaussiano de probabilidade e da distribuio log-normal

Nas colunas 5 e 8 da Tabela 7.3, os dados de vazo e do logaritmo decimal da vazo,

respectivamente, so classificados em ordem decrescente. A ordem da classificao (ranking),

m, posta na coluna 3 da Tabela.

Pela Eq. (23), as frequncias F(x), que so probabilidade de excedncia (a classificao feita

em ordem decrescente) so calculadas e subtradas da unidade, antes de serem lanadas na

coluna 4 da Tabela 7.2, que contm os valores de F(x).8

As estatsticas mdia e desvio-padro so calculadas pelas Eqs. (7), (8), (17) e (18) e os

resultados so introduzidos no final da Tabela 7.3.

Nos grficos das Figuras 7.6 e 7.7 encontram-se lanados os valores das vazes mximas anuais,

no eixo das abscissas, em funo das frequncias acumuladas, nas ordenadas. Nestes grficos, as

frequncias, como calculadas na Tabela 7.3, representam as probabilidades de no excedncia,

isto , F(Qp) = P{Q < Qp}.

Para testar o modelo gaussiano, na Figura 7.6 os valores de F encontram-se em escala de

probabilidade e os valores de Q em escala aritmtica (papel aritmtico de probabilidade). A linha

traada representa, neste grfico, a distribuio normal definida pela Eq. (9). Conforme tambm

ilustrado na Figura 7.4, a reta passa pelos pontos caractersticos:

34194QQ , m3/s e F=50%

17110178434194sQQ ,,, m3/s e F=15,87%

51278178434194sQQ ,,, m3/s e F=84,13%.

A Figura 7.6 mostra que, na faixa de valores extremos de vazo, a aderncia da linha aos pontos

no boa. Nota-se, ainda, que para o caso de previses por extrapolao dos dados histricos

com base no modelo gaussiano seriam obtidos valores subestimados das vazes.

De forma semelhante, para testar o modelo log-normal, na Figura 7.7 os valores de F encontram-

se em escala de probabilidade, enquanto os valores de Q so lanados em escala logartmica

(utiliza-se o papel logartmico de probabilidade). A linha traada, que representa o modelo

normal de probabilidade para a funo transformada logartmica das vazes, Eq. (19), passa

agora pelos pontos:

8417610Q247582yy 24758250 ,,,

% m3/s e F=50%

2211310Q053942syy 0539428715y ,,,

%, m3/s e F=15,87%

2027610Q441222syy 4412221384y ,,,

%, m3/s e F=84,13%.

V-se que, neste caso, o modelo log-normal, representado pela linha reta que passa pelos pontos

acima na Figura 7.7, apresenta uma boa aderncia aos dados da srie.

Portanto, numa inspeo visual comparativa das duas figuras conclui-se que, pela maior

aderncia dos pontos reta, o modelo log-normal de probabilidade superior ao modelo

gaussiano. Conclui-se, ainda, que o modelo log-normal pode ser considerado como capaz de

fornecer boas estimativas para as vazes de enchentes por extrapolao dos dados histricos.

b) Estimativas das cheias de 100 e 200 anos de recorrncia

8 F(x) = 1 F(x)



164

Da concluso tirada no item (a) do presente problema, as extrapolaes seriam confiveis se

realizadas empregando-se o modelo log-normal. Contudo, apenas a ttulo de ilustrao do uso do

modelo gaussiano, far-se-o as determinaes das vazes com recorrncia de 100 e 200 anos por

ambos os modelos e segundo a equao de Chow (Eq. 5).

b1. Para Tr = 100 anos, F=11/Tr = 11/100 = 0,99.

Distribuio Normal:

Da Tabela 7.3, para F=0,99 z = K 2,33. Da Eq. (5),

46390Q178433234194Q 100Tr100Tr ,,,, m3/s.

Distribuio log-Normal:

Como antes, K = 2,33. Da Eq. (21),

7849910Q69878219364033224762y 698782100Tr100Tr ,,,,,, m

3/s.

b2. Para Tr = 200 anos, F=11/Tr = 11/200 = 0,995.

Distribuio Normal: Da Tabela 7.3, para F=0,995 z = K 2,575. Da Eq. (5),

08411Q1784575234194Q 100Tr200Tr ,,,, m3/s.

Distribuio log-Normal: Como antes, K = 2,575. Da Eq. (21),

4755710Q746222193640575224762y 746222100Tr200Tr ,,,,,, m

3/s.

7.4.3 DISTRIBUIO DE PEARSON TIPO III

A funo distribuio de probabilidade de Pearson tipo III constitui um caso especial da

funo gama. A forma matemtica da funo densidade de probabilidade desta distribuio

xx1

xf

1

exp (26)

sendo x a varivel aleatria, , e parmetros da distribuio e

0

1x dxxe .

O uso da distribuio Person tipo III para a previso de cheias pode ser feito segundo o

mtodo de Foster, conforme Vilela & Mattos (1975), ou ainda empregando-se a relao de

Chow, definida pela Eq. (5).

Para considerar a natureza assimtrica da distribuio de Pearson tipo III, o fator de

frequncia da Eq. (5) funo da frequncia (ou perodo de retorno) e do coeficiente de

assimetria, este ltimo definido como

3

N

1i

3

i

s

xx

2N1N

Ng

. (27)

com x representando a varivel hidrolgica, N o nmero de dados da srie e os demais elementos

como anteriormente definidos.



165

Tabela 7.3 Srie anual das descargas mximas dirias

(Fonte de dados: U.S. Geological Survey Open File Report I 19.2: W75, 1971)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

ano Q(m3/s) m F(Q) % Q (m

3/s) 2QQ 3QQ y=log(Q) 2yy 3yy

1896 96,79 1 98,65 438,65 59687,91 14582419,82 2,64212 0,15566 6,1414x10-2 1897 124,24 2 97,30 430,16 55611,59 13114386,61 2,63363 0,14903 5,7535x10-2 1898 81,08 3 95,95 376,39 33142,60 6033647,34 2,57564 0,10762 3,5306x10-2 1899 153,67 4 94,59 331,11 18706,33 2558485,85 2,51997 0,07420 2,0211x10-2 1900 77,83 5 93,24 325,45 17190,12 2253815,61 2,51248 0,07017 1,8589x10-2

1901 176,31 6 91,89 319,79 15737,98 1974346,71 2,50486 0,06620 1,7031x10-2 1902 86,32 7 90,54 314,13 14349,91 1718991,22 2,49711 0,06226 1,5537x10-2 1903 144,33 8 89,19 305,64 12387,93 1378790,78 2,48521 0,05647 1,3419x10-2 1904 146,03 9 87,84 297,15 10570,12 1086725,90 2,47298 0,05080 1,1451x10-2 1905 183,10 10 86,49 294,32 9996,22 999433,11 2,46882 0,04895 1,0829x10-2

1906 205,18 11 85,14 291,49 9438,34 916944,75 2,46462 0,04711 1,0224x10-2 1907 144,33 12 83,78 288,66 8896,47 839124,83 2,46039 0,04529 9,6373x10-3 1908 123,11 13 82,43 285,83 8370,62 765837,36 2,45611 0,04348 9,0676x10-3 1909 96,79 14 81,08 282,72 7811,22 690364,11 2,45136 0,04152 8,4618x10-3 1910 99,05 15 79,73 270,83 5850,89 447540,89 2,43270 0,03427 6,3436x10-3

1911 88,30 16 78,38 259,79 4283,85 280382,47 2,41462 0,02790 4,6610x10-3 1912 259,79 17 77,03 253,57 3508,32 207801,84 2,40410 0,02450 3,8344x10-3 1913 231,21 18 75,68 240,27 2109,67 96899,28 2,38070 0,01772 2,3590x10-3 1914 240,27 19 74,32 240,27 2109,67 96899,28 2,38070 0,01772 2,3590x10-3 1915 120,56 20 72,97 231,21 1359,48 50125,45 2,36401 0,01356 1,5782x10-3

1916 253,57 21 71,62 228,10 1139,81 38481,30 2,35813 0,01222 1,3509x10-3 1917 228,10 22 70,27 224,70 921,80 27986,75 2,35160 0,01082 1,1256x10-3 1918 205,74 23 68,92 221,87 757,96 20867,51 2,34610 0,00971 9,5621x10-4 1919 179,71 24 67,57 221,02 711,88 18993,77 2,34443 0,00938 9,0849x10-4 1920 305,64 25 66,22 217,91 555,60 13096,03 2,33828 0,00823 7,4607x10-4

1921 185,65 26 64,86 215,08 430,19 8922,68 2,33260 0,00723 6,1456x10-4 1922 438,65 27 63,51 211,40 291,08 4966,16 2,32510 0,00601 4,6593x10-4 1923 285,83 28 62,16 210,84 272,29 4493,02 2,32395 0,00583 4,4547x10-4 1924 206,02 29 60,81 210,27 253,80 4043,31 2,32278 0,00565 4,2521x10-4 1925 120,84 30 59,46 206,02 136,45 1593,86 2,31391 0,00440 2,9182x10-4

1926 126,50 31 58,11 205,74 129,99 1481,97 2,31332 0,00432 2,8410x10-4 1927 179,42 32 56,76 205,18 117,53 1274,15 2,31214 0,00417 2,6902x10-4 1928 221,02 33 55,41 202,06 59,62 460,30 2,30548 0,00335 1,9411x10-4 1929 319,79 34 54,05 198,10 14,15 53,20 2,29688 0,00243 1,1986x10-4 1930 82,07 35 52,70 185,65 75,50 -655,99 2,26869 0,00045 9,4139x10-6

1931 61,13 36 51,35 183,10 126,31 -1419,62 2,26269 0,00023 3,4487x10-6 1932 120,56 37 50,00 179,99 205,89 -2954,31 2,25525 0,00006 4,5093x10-7 1933 150,56 38 48,65 179,71 214,00 -3130,65 2,25457 0,00005 3,4186x10-7 1934 169,80 39 47,30 179,42 222,57 -3320,55 2,25387 0,00004 2,4896x10-7 1935 270,83 40 45,95 176,31 325,04 -5860,14 2,24628 1,69810

-6 -2,2125x10-9

1936 210,84 41 44,59 174,61 389,23 -7679,07 2,24207 0,00003 -1,6737x10-7 1937 179,99 42 43,24 172,06 496,35 -11058,12 2,23568 0,00014 -1,6852x10-6 1938 325,45 43 41,89 169,80 602,16 -14776,29 2,22994 0,00031 -5,4912x10-6 1939 314,13 44 40,54 168,95 644,60 -16365,59 2,22776 0,00039 -7,7881x10-6 1940 138,10 45 39,19 164,99 861,36 -25279,91 2,21746 0,00091 -2,7332x10-5

(continua...)



166

Tabela 7.3 Srie anual das descargas mximas dirias (continuao)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

ano Q(m3/s) m F(Q) % Q (m

3/s) 2QQ 3QQ y=log(Q) 2yy 3yy

1941 202,06 46 37,84 154,52 1585,54 -63134,65 2,18898 0,00343 -2,0118x10-4 1942 224,70 47 36,49 153,67 1653,96 -67264,71 2,18659 0,00372 -2,2688x10-4 1943 331,11 48 35,14 150,56 1916,59 -83906,29 2,17771 0,00488 -3,4110x10-4 1944 172,06 49 33,78 146,88 2252,35 -106893,92 2,16696 0,00650 -5,2394x10-4 1945 215,08 50 32,43 146,03 2333,75 -112740,89 2,16444 0,00691 -5,7464x10-4

1946 291,49 51 31,08 144,33 2500,89 -125066,76 2,15936 0,00778 -6,8667x10-4 1947 168,95 52 29,73 144,33 2500,89 -125066,76 2,15936 0,00778 -6,8667x10-4 1948 154,52 53 28,38 138,10 3162,81 -177873,17 2,14019 0,01153 -1,2384x10-3 1949 113,77 54 27,03 126,50 4602,12 -312202,51 2,10209 0,02117 -3,0796x10-3 1950 198,10 55 25,68 124,24 4913,86 -344455,89 2,09426 0,02351 -3,6040x10-3

1951 297,15 56 24,32 123,11 5073,56 -361383,83 2,09029 0,02474 -3,8911x10-3 1952 430,16 57 22,97 120,84 5402,09 -397047,55 2,08221 0,02735 -4,5224x10-3 1953 294,32 58 21,62 120,56 5443,33 -401602,61 2,08120 0,02768 -4,6055x10-3 1954 112,63 59 20,27 120,56 5443,33 -401602,61 2,08120 0,02768 -4,6055x10-3 1955 164,99 60 18,92 113,77 6491,35 -523000,74 2,05603 0,03669 -7,0285x10-3

1956 211,40 61 17,57 112,63 6676,34 -545516,75 2,05165 0,03839 -7,5210x10-3 1957 93,96 62 16,22 99,05 9079,97 -865220,78 1,99585 0,06337 -1,5951x10-2 1958 94,84 63 14,86 97,64 9350,68 -904200,21 1,98963 0,06654 -1,7164x10-2 1959 221,87 64 13,51 96,79 9515,79 -928254,64 1,98583 0,06851 -1,7933x10-2 1960 376,39 65 12,16 96,79 9515,79 -928254,64 1,98583 0,06851 -1,7933x10-2

1961 210,27 66 10,81 94,84 9900,03 -985042,20 1,97699 0,07322 -1,9812x10-2 1962 240,27 67 9,46 93,96 10075,92 -1011410,12 1,97294 0,07543 -2,0715x10-2 1963 217,91 68 8,11 88,30 11244,25 -1192327,72 1,94596 0,09097 -2,7440x10-2 1964 97,64 69 6,76 86,32 11668,08 -1260373,46 1,93611 0,09701 -3,0216x10-2 1965 282,72 70 5,41 82,07 12604,31 -1415071,56 1,91418 0,11115 -3,7058x10-2

1966 146,88 71 4,05 81,08 12827,58 -1452837,42 1,90891 0,11469 -3,8843x10-2 1967 288,66 72 2,70 77,83 13574,32 -1581529,53 1,89115 0,12704 -4,5283x10-2 1968 174,61 73 1,35 61,13 17744,61 -2363740,12 1,78625 0,21282 -9,8180x10-2

14186,74 510128,46 31110154,95 164,07326 2,69982 -0,10185

Q 194,339 y 2,24758

Estatsticas s 84,173 ys 0,19364

g 0,745 yg -0,200

Observao:

Os resultados encontrados no problema Exemplo 7.3 tambm poderiam ser obtidos graficamente,

pelas Figuras 7.6 e 7.7. Para isso, apoiando-se nas linhas retas representativas dos modelos de

probabilidade, bastaria obter os valores de vazo correspondentes s frequncias de 99% e

99,5%.



167

0 100 200 300 400 500

0,01

1

10

40

70

95

99,5

99,999

Fre

qn

cia

acum

ula

da,

F(Q

) %

vazo, Q (m3/s)

Figura 7.6 Grfico das frequncia das cheias anuais (mximos valores de cada ano), para os dados da Tabela 7.3, em papel aritmtico de probabilidade.

100 1000

0,01

1

10

40

70

95

99,5

99,999

Fre

qn

cia

acum

ula

da,

F(Q

) %

vazo, Q (m3/s)

Figura 7.7 Grfico das frequncias das cheias anuais (mximos valores de cada ano), para os dados da Tabela 7.3, em papel logartmico de probabilidade.



168

Valores do fator de frequncia da distribuio Pearson tipo III de probabilidade, para uso

com a Eq. (5) de Chow, so apresentados na Tabela 7.4.

A distribuio Pearson tipo III assimtrica e no admite valores negativos da varivel

hidrolgica. A assimetria pode ser positiva ou negativa, conforme se procura representar na

Figura 7.8.

Figura 7.8 Distribuies assimtricas de probabilidade: assimetria positiva para a mdia maior que a mediana; assimetria negativa para a mdia menor que a mediana.

EXEMPLO 7.6

Usando os dados da Tabela 7.3, determinar a magnitude das cheias de 100 e de 200 anos de

recorrncia, empregando a distribuio de probabilidade Pearson tipo III.

SOLUO

Das estatsticas produzidas na Tabela 7.3: 339194Q , m3/s, 17384s , m3/s e 7450g , .

- para Tr = 100 anos e g = 0,745, obtm-se K da Tabela 7.4 por interpolao:

g = 0,7 K = 2,824; g = 0,8 K = 2,891 e g = 0,745 K=?

7080

707450

82428912

8242K

,,

,,

,,

,

K = 2,854

Da Eq. (5),

173848542339194Q 100Tr ,,, 57434Q 100Tr , m3/s.

- para Tr = 200 anos e g = 0,745, da Tabela 7.4:

g = 0,7 K = 3,223; g = 0,8 K = 3,312 e g = 0,745 K=?

7080

707450

22333123

2233K

,,

,,

,,

,

K = 3,263.

Da Eq. (5),

173842633339194Q 200Tr ,,, 00469Q 100Tr , m3/s.



169

Tabela 7.4 Valores do fator de frequncia K para a distribuio de Pearson tipo III

Coef. de Tr, Perodo de Retorno (anos)

assime- 1,0101 1,0526 1,1111 1,2500 2 5 10 25 50 100 200

tria, F = probabilidade de no excedncia (%)

g 1 5 10 20 50 80 90 96 98 99 99,5

3,0 -0,667 -0,665 -0,660 -0,636 -0,396 0,420 1,180 2,278 3,152 4,051 4,970

2,9 -0,690 -0,688 -0,681 -0,651 -0,390 0,440 1,195 2,277 3,134 4,013 4,909

2,8 -0,714 -0,711 -0,702 -0,666 -0,384 0,460 1,210 2,275 3,114 3,973 4,847

2,7 -0,740 -0,736 -0,724 -0,681 -0,376 0,479 1,224 2,272 3,093 3,932 4,783

2,6 -0,769 -0,762 -0,747 -0,696 -0,368 0,499 1,238 2,267 3,071 3,889 4,718

2,5 -0,799 -0,790 -0,771 -0,711 -0,360 0,518 1,250 2,262 3,048 3,845 4,652

2,4 -0,832 -0,819 -0,795 -0,725 -0,351 0,537 1,262 2,256 3,023 3,800 4,584

2,3 -0,867 -0,850 -0,819 -0,739 -0,341 0,555 1,274 2,248 2,997 3,753 4,515

2,2 -0,905 -0,882 -0,844 -0,752 -0,330 0,574 1,284 2,240 2,970 3,705 4,444

2,1 -0,946 -0,914 -0,869 -0,765 -0,319 0,592 1,294 2,230 2,942 3,636 4,372

2,0 -0,990 -0,949 -0,895 -0,777 -0,307 0,609 1,302 2,219 2,912 3,605 4,398

1,9 -1,037 -0,984 -0,920 -0,788 -0,294 0,627 1,310 2,207 2,881 3,553 4,223

1,8 -1,087 -1,020 -0,945 -0,799 -0,282 0,643 1,318 2,193 2,848 3,499 4,147

1,7 -1,140 -1,056 -0,970 -0,808 -0,268 0,660 1,324 2,179 2,815 3,444 4,069

1,6 -1,197 -1,093 -0,994 -0,817 -0,254 0,675 1,329 2,163 2,780 3,388 3,990

1,5 -1,256 -1,131 -1,018 -0,825 -0,240 0,690 1,333 2,146 2,743 3,330 3,910

1,4 -1,318 -1,168 -1,041 -0,832 -0,225 0,705 1,337 2,128 2,706 3,271 3,828

1,3 -1,383 -1,206 -1,064 -0,838 -0,210 0,719 1,339 2,108 2,666 3,211 3,745

1,2 -1,449 -1,243 -1,086 -0,844 -0,195 0,732 1,340 2,087 2,626 3,149 3,661

1,1 -1,518 -1,280 -1,107 -0,848 -0,180 0,745 1,341 2,066 2,585 3,087 3,575

1,0 -1,588 -1,317 -1,128 -0,852 -0,164 0,758 1,340 2,043 2,542 3,022 3,489

0,9 -1,660 -1,353 -1,147 -0,854 -0,148 0,769 1,339 2,018 2,498 2,957 3,401

0,8 -1,733 -1,388 -1,166 -0,856 -0,132 0,780 1,336 1,993 2,453 2,891 3,312

0,7 -1,806 -1,423 -1,183 -0,857 -0,116 0,790 1,333 1,967 2,407 2,824 3,223

0,6 -1,880 -1,458 -1,200 -0,857 -0,099 0,800 1,328 1,939 2,359 2,755 3,132

0,5 -1,955 -1,491 -1,216 -0,876 -0,083 0,808 1,323 1,910 2,311 2,686 3,041

0,4 -2,029 -1,524 -1,231 -0,855 -0,066 0,816 1,317 1,880 2,261 2,615 2,949

0,3 -2,104 -1,533 -1,245 -0,853 -0,050 0,824 1,309 1,849 2,211 2,544 2,856

0,2 -2,178 -1,586 -1,258 -0,850 -0,033 0,830 1,301 1,818 2,159 2,472 2,763

0,1 -2,252 -1,616 -1,270 -0,846 -0,017 0,836 1,292 1,785 2,107 2,400 2,670

0,0 -2,326 -1,645 -1,282 -0,842 0 0,842 1,282 1,751 2,054 2,326 2,576

-0,1 -2,400 -1,673 -1,292 -0,836 0,017 0,846 1,270 1,716 2,000 2,252 2,482

-0,2 -2,472 -1,700 -1,301 -0,830 0,033 0,850 1,258 1,680 1,945 2,178 2,388

-0,3 -2,544 -1,726 -1,309 -0,824 0,050 0,853 1,245 1,643 1,890 2,104 2,294

-0,4 -2,615 -1,750 -1,317 -0,816 0,066 0,855 1,231 1,606 1,834 2,029 2,201

-0,5 -2,686 -1,774 -1,323 -0,808 0,083 0,856 1,216 1,567 1,777 1,955 2,108

-0,6 -2,755 -1,797 -1,328 -0,800 0,099 0,857 1,200 1,528 1,720 1,880 2,016

-0,7 -2,824 -1,819 -1,333 -0,790 0,116 0,857 1,183 1,488 1,663 1,806 1,926

-0,8 -2,891 -1,839 -1,336 -0,780 0,132 0,856 1,166 1,448 1,606 1,733 1,837

-0,9 -2,957 -1,858 -1,339 -0,769 0,148 0,854 1,147 1,407 1,549 1,660 1,749

-1,0 -3,022 -1,877 -1,340 -0,758 0,164 0,852 1,128 1,366 1,492 1,588 1,664

-1,1 -3,087 -1,894 -1,341 -0,745 0,180 0,848 1,107 1,324 1,435 1,518 1,581

-1,2 -3,149 -1,910 -1,340 -0,732 0,195 0,844 1,086 1,282 1,379 1,449 1,501

-1,3 -3,211 -1,925 -1,339 -0,719 0,210 0,838 1,064 1,240 1,324 1,383 1,424

-1,4 -3,271 -1,938 -1,337 -0,705 0,225 0,832 1,041 1,198 1,270 1,318 1,351

-1,5 -3,330 -1,951 -1,333 -0,690 0,240 0,825 1,018 1,157 1,217 1,256 1,282

-1,6 -3,388 -1,962 -1,329 -0,675 0,254 0,817 0,994 1,116 1,166 1,197 1,216

-1,7 -3,444 -1,972 -1,324 -0,660 0,268 0,808 0,970 1,075 1,116 1,140 1,155

-1,8 -3,499 -1,981 -1,318 -0,643 0,282 0,799 0,945 1,035 1,069 1,087 1,097

-1,9 -3,553 -1,989 -1,310 -0,627 0,294 0,788 0,920 0,996 1,023 1,037 1,044

-2,0 -3,605 -1,996 -1,302 -0,609 0,307 0,777 0,895 0,959 0,980 0,990 0,995

-2,1 -3,656 -2,001 -1,294 -0,592 0,319 0,765 0,869 0,923 0,939 0,946 0,949

-2,2 -3,705 -2,006 -1,284 -0,574 0,330 0,752 0,844 0,888 0,900 0,905 0,907

-2,3 -3,753 -2,009 -1,274 -0,555 0,341 0,739 0,819 0,855 0,864 0,867 0,869

-2,4 -3,800 -2,011 -1,262 -0,537 0,351 0,725 0,795 0,823 0,830 0,832 0,833

-2,5 -3,845 -2,012 -1,250 -0,518 0,360 0,711 0,771 0,793 0,798 0,799 0,800

-2,6 -3,889 -2,013 -1,238 -0,499 0,368 0,696 0,747 0,764 0,768 0,769 0,769

-2,7 -3,932 -2,012 -1,224 -0,479 0,376 0,681 0,724 0,738 0,740 0,740 0,741

-2,8 -3,973 -2,010 -1,210 -0,460 0,384 0,666 0,702 0,712 0,714 0,714 0,714

-2,9 -4,013 -2,007 -1,195 -0,440 0,390 0,651 0,681 0,683 0,689 0,690 0,690

-3,0 -4,051 -2,003 -1,180 -0,420 0,396 0,636 0,660 0,666 0,666 0,667 0,667



170

7.4.4 DISTRIBUIO LOG-PEARSON TIPO III

A funo de distribuio de probabilidade log-Pearson tipo III assim denominada

porque a funo de distribuio da Eq. (26) aplicada transformada logartmica da varivel x,

isto ,

yy1

yf

1

exp (28)

onde y = log(x) e as demais grandeza so como j definidas na seo 7.4.3.

Para obter a varivel de magnitude x do evento de recorrncia Tr com o emprego da

equao de Chow para a distribuio log-Pearson tipo III9 deve-se, preliminarmente, calcular as

trs estatsticas: mdia y (Eq. 17), desvio-padro sy (Eq. 18) e coeficiente de assimetria, gy,

agora definido como

3

y

N

1i

3

i

ys

yx

2N1N

Ng

log

. (29)

Com as Eqs. (21) e (22), determina-se a varivel Trx . De forma resumida, deve-se proceder de

acordo com a seguinte marcha de procedimentos de clculo:

i) construir a srie para a varivel transformada, calculando a transformada logartmica,

ii xy log ;

ii) calcular a mdia y , o desvio-padro sy e o coeficiente de assimetria gy para a srie

transformada;

iii) obter, por meio da Tabela 7.4, o fator de frequncia em funo do coeficiente de assimetria gy

e do perodo de retorno Tr;

iv) calcular Try por meio da Eq. (21) de Chow e obter Trx pela Eq. (22): yTr sKyy

Try

Tr 10x .

EXEMPLO 7.7

Empregando os dados da Tabela 7.3, determinar as magnitudes das cheias de 100 e 200 anos de

recorrncia com base na distribuio log-Pearson tipo III.

SOLUO

Das estatsticas produzidas conforme a Tabela 7.3: 247582y , , 193640sy , e 2000g y , .

para Tr = 100 anos e gy = 0,200, obtm-se K diretamente da Tabela 7.4 K = 2,178.

Da Eq. (21),

6693321936401782247582y 100Tr ,,,, 0146710Q669332

100Tr ,, m

3/s.

para Tr = 200 anos e gy = 0,200, da Tabela 4 K = 2,388.

Da Eq. (21),

9 Com o fim de estabelecer uma padronizao de procedimentos, o U.S. Water Resources Council adotou, em 1967,

a distribuio log-Pearson tipo III como o padro para uso pelas agncias federais americanas.



171

7099921936403882247582y 200Tr ,,,, 8551210Q709992

200Tr ,, m

3/s.

4.5 DISTRIBUIO TIPO I DE FISHER-TIPPETT OU GUMBEL

Em 1928, Fisher e Tippett, tomando de vrios conjuntos de muitas amostras o maior

valor de cada conjunto, mostraram que a distribuio dos valores extremos independente da

distribuio original e se comporta como funo limite. Gumbel, em 1945, sugeriu que essa

distribuio de valores extremos seria apropriada para a anlise de frequncia das cheias, desde

que a srie fosse anual, isto , cada vazo da srie de valores extremos fosse a maior vazo de

uma amostra de 365 possibilidades (maior vazo do ano).

Apoiando-se no argumento de que no h limite fsico para o valor da mxima vazo de

enchente, Gumbel sugeriu que a probabilidade de ocorrncia da cheia de magnitude igual ou

superior a um dado valor x (probabilidade de excedncia) pode ser expressa por

yee1xXP

(30)

sendo e a base dos logaritmos neperianos e y uma varivel reduzida, definida pela expresso

s450xxs77970

1y

,

,. (31)

Ou, definindo-se a frequncia F(x) pela probabilidade de no excedncia,

yeexXPxF

. (32)

EXEMPLO 7.8

Obter a expresso do fator de frequncia de Chow em funo do perodo de retorno para a

distribuio de Gumbel.

SOLUO

Comparando-se a equao de Chow (Eq. 5) com a Eq. (31), obtm-se

450K77970

1y ,

, . (33)

Da Eq. (30), lembrando que Tr1xXP , tem-se yee1Tr1

. Exprime-se, ento, y em

funo de Tr:

Tr

11y lnln . (34)

Finalmente, pelas equaes (33) e (34),

Tr

1177970450K lnln,, . (35)



172

EXEMPLO 7.9

Com base nos dados da Tabela 7.3, calcular os perodos de retorno das seguintes vazes de

enchente: a) Q = Q = 194,34m3/s; b) Q = 500m

3/s.

SOLUO

a) Neste caso, busca-se determinar o perodo de retorno da mdia da srie. Da Eq. (31) tem-se

que, se Q = Q y = 0,5771. E, como yee1Tr1

, tem-se

332e1

1

e1

1Tr

57710y ee,

,

anos.

Portanto, para a distribuio Gumbel o perodo de retorno da vazo mdia igual a 2,33 anos.

Isto , existe uma probabilidade terica de aproximadamente 43% de ocorrer uma vazo igual ou

superior mdia em um ano qualquer10

.

b) Para obter o Tr correspondente a Q = 500m3/s, calcula-se inicialmente o valor de y da Eq.

(31). Com Q = 194,34m3/s e s = 84,17m

3/s,

2355178445034194500178477970

1y ,,,,

,,

.

Finalmente, calcula-se Tr

188e1

1Tr

2355e

, anos.

Deve ser apontado que a expresso analtica do coeficiente K em funo de Tr, na forma

da Eq. (35), aplica-se apenas ao caso da distribuio Gumbel, referida a uma amostra muito

grande (dita Gumbel terica, com N = ). Para os casos reais de sries de tamanho finito (quando a distribuio tambm conhecida como Gumbel-Chow), o fator de frequncia deve

considerar ainda o tamanho N da srie, isto , K = K(Tr, N). Para esse ltimo caso, apresentam-

se na Tabela 7.5 os valores de K para diferentes perodos de retorno e tamanhos de amostra. Na

ltima linha desta tabela incluem-se os valores de K para a amostra de tamanho infinito.

EXEMPLO 7.10

Usando os dados da Tabela 7.3, estimar as magnitudes das cheias de 50 e 100 anos de

recorrncia, com base na distribuio Gumbel-Chow.

SOLUO

Da Tabela 7.3, Q 194,339m3/s e s 84,173m3/s.

para Tr = 100 anos e N=73, obtm-se K diretamente da Tabela 7.5 K = 3,4044.

Pela Eq. (5),

10

Note que, para a distribuio normal, esta probabilidade seria de 50%. Isto , para a distribuio normal, o perodo

de retorno da mdia de 2 anos.



173

90480Q1738440443339194Q ,,,, m3/s.

para Tr = 50 anos e N=73, da Tabela 7.5 K = 2,8167.

Pela Eq. (05),

43431Q1738481672339194Q ,,,, m3/s.

7.4.5.1 USO DO PAPEL DE PROBABILIDADE DE GUMBEL

As respostas ao problema-exemplo 7.10 tambm poderiam ser obtidas por meio da

construo do grfico de frequncia, com o emprego do papel de probabilidade de Gumbel. O

papel de Gumbel apresenta uma escala linear (abscissa) para a varivel sendo estudada (evento

extremo, chuva ou vazo) e uma escalar linear para a varivel reduzida de Gumbel, y (ordenada).

Por convenincia e para facilitar o lanamento dos dados em grfico, escalas deformadas de Tr e

F tambm so construdas (ordenadas). Na Figura 7.9 apresentado o papel de probabilidade de

Gumbel. Sugere-se ao aluno repetir o problema-exemplo 7.10 utilizando a construo do grfico

de probabilidade.

7.5 FRMULAS PRTICAS PARA A VAZO DE ENCHENTE DE PROJETO

No passado, para o clculo da enchente de projeto, os engenheiros sempre recorriam ao

uso de equaes empricas da vazo. Estas equaes, ainda hoje utilizadas, so normalmente

escritas em termos das caractersticas fsicas e climticas locais. Uma das formas mais simples

dessas equaes empricas exprime a vazo em funo da rea de drenagem da bacia

hidrogrfica, na forma

nAcQ , (36)

onde c e n so coeficientes empricos.

O expoente n da Eq. (36) frequentemente tomado como n= 0,5, indicando que os picos de vazo variam inversamente com a raiz quadrada da rea de drenagem. Por essa formulao

simples, as influncias dos outros fatores recaem sobre o coeficiente c.

Algumas outras frmulas empricas incluem, ainda, fatores que levam em conta, por

exemplo, a forma da bacia hidrogrfica e a precipitao anual mdia, numa tentativa de reduzir a

influncia das variaes no valor do coeficiente c.

O emprego de frmulas do tipo da Eq. (36) ocorreu com mais intensidade no passado,

basicamente pela ausncia de dados hidromtricos que permitissem o emprego de mtodos mais

precisos e elaborados, como aqueles discutidos no presente captulo. As frmulas prticas so

ainda hoje utilizadas na forma conhecida como modelos de regionalizao e requerem uma boa e

confivel base de dados para produzir um ajuste estatstico satisfatrio.

Deve ficar claro que uma expresso to simples como a Eq. (36) no , em geral, capaz

de representar a complexidade dos fenmenos envolvidos na ocorrncia de uma cheia. Ademais,

frmulas desse tipo no permitem a introduo da anlise de probabilidade para a vazo

calculada. Atualmente, em face da existncia de uma quantidade relativamente abundante de

dados e com a melhor compreenso dos fenmenos hidrolgicos, no mais se justifica o emprego

das frmulas empricas.



174

Tabela 7.5 Valores do fator de frequncia K para a distribuio Gumbel-Chow

tamanho Perodo de retorno, Tr, em anos da 2 5 10 15 20 25 50 75 100 1000

Amostra Probabilidade de no excedncia, F (%) N 50 80 90 93,33 95 96 98 98,67 99 99,9

10 -0,1355 1,0580 1,8483 2,8467 3,5874 4,3227

11 -0,1376 1,0338 1,8094 2,7894 3,5163 4,2379

12 -0,1393 1,0134 1,7766 2,7409 3,4563 4,1664

13 -0,1408 0,9958 1,7484 2,6993 3,4048 4,1050

14 -0,1422 0,9806 1,7240 2,6632 3,3600 4,0517

15 -0,1434 0,9672 1,7025 2,117 2,410 2,6316 3,3208 3,721 4,0049 6,265

16 -0,1444 0,9553 1,6835 2,6035 3,2860 3,9635

17 -0,1454 0,9447 1,6665 2,5784 3,2549 3,9265

18 -0,1463 0,9352 1,6512 2,5559 3,2270 3,8932

19 -0,1470 0,9265 1,6373 2,5354 3,2017 3,8631

20 -0,1478 0,9187 1,6247 2,023 2,302 2,5169 3,1787 3,563 3,8356 6,006

21 -0,1484 0,9115 1,6132 2,4999 3,1576 3,8106

22 -0,1490 0,9049 1,6026 2,4843 3,1383 3,7875

23 -0,1496 0,8988 1,5929 2,4699 3,1205 3,7663

24 -0,1501 0,8931 1,5838 2,4565 3,1040 3,7466

25 -0,1506 0,8879 1,5754 1,963 2,235 2,4442 3,0886 3,463 3,7283 5,842

26 -0,1510 0,8830 1,5676 2,4326 3,0743 3,7113

27 -0,1515 0,8784 1,5603 2,4219 3,0610 3,6954

28 -0,1518 0,8742 1,5535 2,4118 3,0485 3,6805

29 -0,1522 0,8701 1,5470 2,4023 3,0368 3,6665

30 -0,1526 0,8664 1,5410 1,922 2,188 2,3934 3,0257 3,393 3,6534 5,727

31 -0,1529 0,8628 1,5353 2,3850 3,0153 3,6410

32 -0,1532 0,8594 1,5299 2,3770 3,0054 3,6292

33 -0,1535 0,8562 1,5248 2,3695 2,9961 3,6181

34 -0,1538 0,8532 1,5199 2,3623 2,9873 3,6076

35 -0,1540 0,8504 1,5153 1,891 2,152 2,3556 2,9789 3,341 3,5976

36 -,01543 0,8476 1,5110 2,3491 2,9709 3,5881

37 -0,1545 0,8450 1,5068 2,3430 2,9633 3,5790

38 -0,1548 0,8425 1,5028 2,3371 2,9561 3,5704

39 -0,1550 0,8402 1,4990 2,3315 2,9491 3,5622

40 -0,1552 0,8379 1,4954 1,866 2,126 2,3262 2,9425 3,301 3,5543 5,576

41 -0,1554 0,8357 1,4920 2,3211 2,9362 3,5467

42 -0,1556 0,8337 1,4886 2,3162 2,9301 3,5395

43 -0,1557 0,8317 1,4854 2,3115 2,9243 3,5325

44 -0,1559 0,8298 1,4824 2,3069 2,9187 3,5259

45 -0,1561 0,8279 1,4794 1,847 2,104 2,3026 2,9133 3,268 3,5194 5,478

46 -0,1562 0,8262 1,4766 2,2984 2,9081 3,5133

47 -0,1564 0,8245 1,4739 2,2944 2,9031 3,5073

48 -0,1566 0,8228 1,4712 2,2905 2,8983 3,5016

49 -0,1567 0,8212 1,4687 2,2868 2,8937 3,4961

50 -0,1568 0,8197 1,4663 1,831 2,086 2,2832 2,8892 3,241 3,4908

51 -0,1570 0,8182 1,4639 2,2797 2,8849 3,4856

52 -0,1571 0,8168 1,4616 2,2763 2,8807 3,4807

53 -0,1572 0,8154 1,4594 2,2731 2,8767 3,4759

54 -0,1573 0,8141 1,4573 2,2699 2,8728 3,4712

(continua)



175

Tabela 7.5 Valores do fator de frequncia K para a distribuio Gumbel-Chow (continuao)

tamanho Perodo de retorno, Tr, em anos da 2 5 10 15 20 25 50 75 100 1000

amostra Probabilidade de no excedncia, F (%) N 50 80 90 93,33 95 96 98 98,67 99 99,9

55 -0,1575 0,8128 1,4552 1,818 2,071 2,2669 2,8690 3,219 3,4667

56 -0,1576 0,8116 1,4532 2,2639 2,8653 3,4623

57 -0,1577 0,8103 1,4512 2,2610 2,8618 3,4581

58 -0,1578 0,8092 1,4494 2,2583 2,8583 3,4540

59 -0,1579 0,8080 1,4475 2,2556 2,8550 3,4500

60 -0,1580 0,8069 1,4458 1,806 2,059 2,2529 2,8518 3,200 3,4461

61 -0,1581 0,8058 1,4440 2,2504 2,8486 3,4424

62 -0,1582 0,8048 1,4424 2,2479 2,8455 3,4387

63 -0,1583 0,8038 1,4407 2,2455 2,8426 3,4352

64 -0,1583 0,8028 1,4391 2,2432 2,8397 3,4317

65 -0,1584 0,8018 1,4376 1,796 2,048 2,2409 2,8368 3,183 3,4284

66 -0,1585 0,8009 1,4361 2,2387 2,8341 3,4251

67 -0,1586 0,8000 1,4346 2,2365 2,8314 3,4219

68 -0,1587 0,7991 1,4332 2,2344 2,8288 3,4188

69 -0,1587 0,7982 1,4318 2,2324 2,8263 3,4158

70 -0,1588 0,7974 1,4305 1,788 2,038 2,2304 2,8238 3,169 3,4128 5,359

71 -0,1589 0,7965 1,4291 2,2284 2,8214 3,4099

72 -0,1590 0,7957 1,4278 2,2265 2,8190 3,4071

73 -0,1590 0,7950 1,4266 2,2246 2,8167 3,4044

74 -0,1591 0,7942 1,4254 2,2228 2,8144 3,4017

75 -0,1592 0,7934 1,4242 1,780 2,029 2,2211 2,8122 3,155 3,3991

76 -0,1592 0,7927 1,4230 2,2193 2,8101 3,3965

77 -0,1593 0,7920 1,4218 2,2176 2,8080 3,3940

78 -0,1593 0,7913 1,4207 2,2160 2,8059 3,3916

79 -0,1594 0,7906 1,4196 2,2143 2,8039 3,3892

80 -0,1595 0,7899 1,4185 1,773 2,020 2,2128 2,8020 3,145 3,3868

81 -0,1595 0,7893 1,4175 2,2112 2,8000 3,3845

82 -0,1596 0,7886 1,4165 2,2097 2,7982 3,3823

83 -0,1596 0,7880 1,4154 2,2082 2,7963 3,3801

84 -0,1597 0,7874 1,4145 2,2067 2,7945 3,3779

85 -0,1597 0,7868 1,4135 1,767 2,013 2,2053 2,7927 3,135 3,3758

86 -0,1598 0,7862 1,4125 2,2039 2,7910 3,3738

87 -0,1598 0,7856 1,4116 2,2026 2,7893 3,3717

88 -0,1599 0,7851 1,4107 2,2012 2,7877 3,3698

89 -0,1599 0,7845 1,4098 2,1999 2,7860 3,3678

90 -0,1600 0,7840 1,4089 1,762 2,007 2,1986 2,7844 3,125 3,3659

91 -0,1600 0,7834 1,4081 2,1973 2,7828 3,3640

92 -0,1601 0,7829 1,4072 2,1961 2,7813 3,3622

93 -0,1601 0,7824 1,4064 2,1949 2,7798 3,3604

94 -0,1602 0,7819 1,4056 2,1937 2,7783 3,3586

95 -0,1602 0,7814 1,4048 1,757 2,002 2,1925 2,7769 3,116 3,3569

96 -0,1602 0,7809 1,4040 2,1913 2,7754 3,3552

97 -0,1603 0,7804 1,4033 2,1902 2,7740 3,3535

98 -0,1603 0,7800 1,4025 2,1891 2,7726 3,3519

99 -0,1604 0,7795 1,4018 2,1880 2,7713 3,3503

100 -0,1604 0,7791 1,4010 1,752 1,998 2,1869 2,7700 3,109 3,3487 5,261

-0,1642 0,7197 1,3048 1,6350 1,8662 2,0442 2,5927 2,9115 3,1372 4,9363



176

Figura 7.9 Papel de probabilidade de Gumbel para a distribuio de frequncia de eventos extremos



177

BIBLIOGRAFIA

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178

EXERCCIOS: PREVISO DE ENCHENTES

7.1) Uma usina hidreltrica tem vida til de 50 anos. Qual o risco que se corre se o seu vertedor

projetado para uma cheia de tempo de recorrncia igual a:

a) vida til da obra? ; b) 1000 anos?; c) 10000 anos? R: a) 63%; b) 4,8%; c) 0,5%.

7.2) Qual o perodo de retorno a considerar no projeto da hidreltrica com vida til de 50 anos,

se se admite um risco de 10%? R: Tr = 475 anos.

7.3) Que perodo de retorno deve o engenheiro adotar no projeto de uma galeria de drenagem de

uma rodovia, se ele est disposto a aceitar somente 10% de risco de que a obra falhe nos

prximos 5 anos? R: Tr = 48 anos.

7.4) Uma ensecadeira dever ser construda para proteger as atividades de construo de uma

barragem durante os 5 anos de obra. Se a ensecadeira projetada para resistir uma cheia de 20

anos, qual o risco que a estrutura venha a ser sobrepassada a) no primeiro ano?; b) em um ano

qualquer dos 5 anos de construo da barragem? ; c) em nenhum ano dos 5 anos de construo? R: a) 5,0%; b) 22,6%; c) 77,4%.

7.5) O conjunto de dados abaixo foi obtido em um posto de medio de vazo, no perodo de

1940 a 1959 (inclusive).

mdia das cheias anuais (srie anual): 198,24 m3/s;

desvio-padro das cheias anuais: 28,32 m3/s;

coeficiente de assimetria das cheias: 1,0;

mdia dos logaritmos (base 10) das cheias anuais: 1,27;

desvio-padro dos logaritmos das cheias anuais: 0,50;

coeficiente de assimetria dos logaritmos das cheias anuais: 0,2.

Com base nestes dados, determinar a magnitude da cheia de 100 anos, assumindo que os picos

de vazo sigam as distribuies: a) Normal; b) Log-normal; c) Pearson tipo III; d) Log-Pearson

tipo III; e) Gumbel (terica); f) Gumbel-Chow. R: a) 264m3/s; b) 271m3/s; c) R: 284m3/s; d) 320m3/s; e) 287m3/s; f) 307m3/s

7.6) Os dados de vazes mximas anuais da bacia do rio Jacupiranga, correspondentes a 28 anos

de observao so fornecidos na tabela abaixo. a) Estimar as cheias de 100 anos e de 1000 anos

com base nas distribuies Log-normal, Log-Pearson III e Gumbel-Chow. b) Discutir os

resultados, lanando os dados em papel de probabilidade. (Utilizar relao de Weibull para a

posio de plotagem: dados da srie anual em ordem decrescente):

Ordem m Q(m3/s) Ordem m Q(m3/s) Ordem m Q(m3/s) Ordem m Q(m3/s)

1 261 8 182 15 167 22 150

2 239 9 180 16 163 23 140

3 210 10 179 17 158 24 137

4 196 11 176 18 153 25 126

5 190 12 172 19 151 26 120

6 189 13 170 20 151 27 111

7 189 14 169 21 150 28 104

7.7) As cheias anuais de um rio seguem uma distribuio Log-normal de probabilidade. A cheia

de perodo de recorrncia de 2 anos foi estimada em 113m3/s e a de 10 anos em 150m

3/s.

Determine a magnitude da cheia de 25 anos. R: QTr=25 =166m3/s.



179

7.8) Repetir o Exemplo 7.10 utilizando a construo grfica em papel de probabilidade de

Gumbel.

7.9) O registro das mximas vazes anuais em um rio, levantado durante 40 anos, indica que tais

eventos se distribuem segundo Gumbel e tm mdia e desvio-padro respectivamente iguais a

60m3/s e 23m

3/s.

a) Qual a probabilidade de ocorrer um evento de magnitude menor que 85 m3/s?

b) Qual o valor de uma cheia com perodo de retorno de 200 anos?

c) Qual a probabilidade de que ao menos uma cheia com perodo de retorno de 100 anos venha

ocorrer durante os prximos 25 anos? R: a) P{Q

17_previsao de enchente

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