111

MECÂNICA

Entender o movimento é uma das metas das Física

A Mecânica Clássica se divide em:

Cinemática

Dinâmica

A Mecânica estuda o movimento e as suas causas

222

MECÂNICA CLÁSSICA

CINEMÁTICA

DINAMICA

estuda os movimentos sem levar em conta as causas do movimento

estuda as forças e os movimentos originados por essas forças

Força

333

CINEMÁTICA

Movimento em uma dimensão

O movimento representa uma mudança contínua da posição de um corpo

O movimento ao longo do eixo x

Todo movimento é definido em relação à um referencial

x x

Utilizaremos o MODELO DE PARTÍCULA porque o tamanho do corpo real não tem consequência na análise do seu movimento

444

Um corpo é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado, relativamente a um ponto de referência (o observador), em geral a origem (x = 0)

Posição numa dimensão

-3 -2 -1 0 1 2 3 x (m)

555

Deslocamento numa dimensão

O deslocamento unidimensional de um objecto num intervalo de tempo (t2 - t1) é a diferença entre a posição final (xf ) no instante tf e a posição inicial (xi) no instante ti

Exemplo

Corrida de 100 m

x = xf - xi

t = tf – ti

deslocamento

intervalo de tempo

666

Exemplo 1. Corrida de 100 metros. O corredor parte de x1= 0 m para x2= 100 m. O deslocamento do corredor é

x = xf - xi = 100 m - 0 = 100 m

Exemplo 2. Uma pessoa andando se desloca do ponto x1= 200 m para x2= 100 m. O deslocamento da pessoa é x = xf - xi = 100 - 200 = - 100 m

Exemplos

777

Velocidade média

A velocidade média é a distância x = xf - xi percorrida pela partícula

num intervalo de tempo t = tf - ti

x

t

Temos a noção intuitiva de velocidade como sendo o espaço percorrido por um corpo num certo tempo

txvm

xfxi

tfti

txv

ou

88

posição x como uma function do tempo t

x

t

x1

x2

t1 t2 t

x

Deslocamento : x = xf - xi

txv

Declive de uma secante

99

A velocidade média nos dá informações sobre um intervalo de tempo

• Se movimento à esquerda, ou no sentido de decréscimo de x)

• Se movimento para a direita, ou no sentido de crescimento de x

00 m vx

00 m vx

m

9h 20.0t

m 5x m/h 25

h 0.20m 5

mv

txv

101010

Exemplo 3. Na corrida de 100 m, o corredor nos primeiros 5.01 s, percorre 40 m e depois percorre 60 m. O tempo total da corrida é de 10.5 s. Determinar : a) a velocidade média do corredor até o instante de 5.01 s . b) a velocidade média do corredor após este instante e até o final da corrida. c) a velocidade média do corredor em todo o intervalo do tempo de duração da corrida.

a) De 0 a 5.01 s : x = xf - xi= 40 - 0 = 40 m e t = tf – ti= 5.01 s- 0 = 5.01 s

m/s 0.8s 01.5

m 40

txvm

Exemplos

b) De 5.01 a 10.5 s:

c) Em todo o intervalo (de 0 a 10.5 s) :

x = xf - xi= 100 m – 40 m = 60 m e t = tf – ti= 10.5 s - 5.01 s = 5.49 s

m/s 9.10s 49.5

m 60

txvm

x = xf - xi= 100 m – 0 = 100 m e t = tf – ti= 10.5 s – 0 m = 10.5 s

m/s 5.9s 0.51

m 100

txvm

111111

Velocidade instantânea

É a velocidade que a partícula tem a cada instante

A velocidade instantânea é a derivada da posição (x) em relação ao tempo (t)

xevv

Velocidade na direcção x:x

xe t

dtdx

txv

t

0

lim

1212

Velocidade instantânea é a média sobre um intervalo de tempo infinitesimal :

vdtdx

txttt

and 0 , 12

v é o declive da tangente para o gráfico x versus t

Fisicamente , v é a taxa de variação de x, dx/dt.

dtdx

txv

t

0

lim

x

tt

131313

Entretanto, elas podem ser bastante diferentes

Exemplo: partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P e retorna a O, depois de decorrido um tempo total e ter percorrido uma distância total L

Em algumas situações

1t

Velocidade escalar média

A velocidade escalar média é uma forma diferente de descrever a rapidez com que uma partícula se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente da direção e sentido:

tvem

totaldistância

O P

t

x

1t21t

2L

Neste caso:0mv

1tLvem e

mem vv

1414

A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída de qualquer indicação de direcção e sentido

Velocidade escalar

Exemplo: O velocímetro de um carro marca a velocidade escalar instantânea e não a velocidade, já que ele não pode determinar a direcção e o sentido

1515

Movimento rectilíneo uniforme

Chama-se movimento rectilíneo uniforme ao movimento em que a velocidade é constante

é a posição da partícula no instante inicial t = t0

é a velocidade com que a partícula se desloca

a equação do movimento rectilíneo uniforme

Equação horária

é constante

0

0

ttxxv

0x

v

v

Para t0 = 0 temos

tvxx 0

15a equaçãoPara t0 0 temos )( 00 ttvxx

1616

x

tt

v

Graficamente temos

Equação da Recta

tvxx 0

Velocidade constante

cv

constante cv

Espaço variável

00

16

0x

Movimento rectilíneo uniforme MRU

171717

Exemplo 6. O treinador de uma corredora determina sua velocidade enquanto ela corre a uma taxa constante. O treinador inicia o cronómetro no momento em que ela passa por ele e pára o cronómetro depois da corredora passar por outro ponto a 20 m de distância. O intervalo de tempo indicado no cronómetro é de 4.4 s. a) Qual é a velocidade da corredora? b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador?

m/s 5.4s 4.4

0-m 200

txxv

a) Qual é a velocidade da corredora?

00 x t = 4.4 st0=0tvxx 0

b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador?

m 45s) m/s)(10 5.4(00 tvxx

Exemplos

181818

Aceleração média

Quando a velocidade da partícula se altera,

diz-se que a partícula está acelerada

tva x

m

A aceleração média é a variação da velocidade num intervalo de tempo t

if

if

ttvv

a

m ou

xv

tva x

ou a notação

191919

Exemplo 8. Considere o movimento do carro da Figura 2. Para os dados apresentados na Figura 2, calcule a aceleração média do carro.

Figura 2

if

if

ttvv

am2m/s 5.7

0s 0.2m/s 30m/s 15

A velocidade escalar diminui com o tempo

a

av

O carro está desacelerando

202020

Aceleração instantânea

Em algumas situações a aceleração média pode variar em intervalos de tempo diferentes

portanto é útil definir a aceleração instantânea

xeaa

Aceleração na direcção xx

xe

2

2

dtxd

dtdx

dtd

dtdva

dtdv

tva

t

0

lim

212121

Movimento rectilíneo uniformemente variado

Um movimento é uniformemente variado quando a aceleração é constante

no instante t = 0

se a velocidade da partícula aumenta com o tempo o movimento é uniformemente acelerado

se a velocidade da partícula diminui com o tempo o movimento é uniformemente retardado

Substituindo obtemos

Integrando fica

é a velocidade da partícula

é a aceleração da partícula é constante

atvv 0

200 2

1 attvxx

0v

dtdxv atv

dtdx

0

22

232323

Exemplo 9. Um avião parte do repouso e acelera em linha recta no chão antes de levantar voo. Percorre 600 m em 12 s. a) Qual é a aceleração do avião? b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?

a) Qual é a aceleração do avião?

200 2

1 attvxx 0 0 x 0 0 v (parte do repouso)

2

21 atx

Substituindo os valores na equação0 0 x 0 0 v

2

222 m/s 3.8s 144m 1200

s 12m 60022

txa

b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?

atvv 0 0 0 v (parte do repouso)

m/s 100s 12m/s 3.8 2 atv

24242424

v

0 t t

a

Graficamente temos

Equação da recta

tavv 0

Aceleração constante

a

constante a

Velocidade variável

0v

0 t

xEspaço variável

0

0x

200 2

1 attvxx

Parábola

Movimento rectilíneo uniformemente variado MRUV