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Revisão do conceito de vetores

Pesquisa Operacional

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Tema da aula 02

Pesquisa Operacional:

Álgebra Linear – revisão de vetores.

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Vetores - conceituação

p é um vetor de dimensão n (possui n elementos).

pi indica o i-ésimo elemento do vetor.

elementos

p1 p2 p3 pn

p

índice do elemento do vetor

nome do vetor

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Soma de vetores

O resultado da soma será um vetor com a mesma dimensão dos vetores originais.

Dois vetores podem ser adicionados se e somente se, eles tiverem a mesma dimensão.

Soma de vetores = somar seus elementos.

r = p + q ri = pi + qi, para todo i.

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Soma de vetores

Exemplo:

p ( 4, 5, 1, 7) q (1, -2, 3, -4) r (1, 5, 4)

p + q =

4 5 1 7p

1 -2 3 -4q

5 3 4 3p + q =

(p + r) e (q + r) não podem ser somados, pois possuem dimensões diferentes. p e q possuem dimensão 4 e r possui dimensão 3.

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Subtração de vetores

O resultado da subtração será um vetor com a mesma dimensão dos vetores originais.

Dois vetores podem ser subtraídos se e somente se, eles tiverem a mesma dimensão.

Subtração de vetores = subtrair seus elementos.

r = p - q ri = pi - qi, para todo i.

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Subtração de vetores

Exemplo:

p ( 1, 4, 3) q (0, 2, -1)

p - q =

1 4 3p

0 2 -1q

1 2 4p - q =

Exemplo:

p (1, 3, -2) e escalar = 2 2 x p 2 (1, 3, -2)

Resultado = (2, 6, -4)

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Subtração de vetores – utilizando escalar

Um vetor pode ser multiplicado por um escalar, multiplicando-se cada elemento do vetor por este escalar.

Exemplo:

p (1, 4, 3) q (0, 2 -1) escalar = -1

-q = -1 (0, 2, -1) (0, -2, 1)

p – q = (1, 4, 3) + (0, -2, 1)

Resultado = (1, 2, 4)

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Subtração de vetores – utilizando escalar

Podemos na subtração somar o primeiro vetor com o produto do segundo vetor pelo escalar -1.

Um conjunto de vetores p1, p2 ..... pn é dito linearmente independente se e somente se, para todo Өj real n

∑ Өjpj = 0 implica que todo Өj = 0, onde Өj sãoJ=1

quantidades escalares.

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Vetores linearmente independentes (LI)

Definição informal de independência linear: Um grupo de vetores é dito linearmente independente se não for possível escrever qualquer deles como combinação linear dos outros.

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Vetores linearmente independentes (LI)

Exemplo: Sejam os vetores a, b e c

a ( 2, 1) b (5, 2) c (1, 1)

para que:

( 2, 1).Ө1 + (5, 2).Ө2 + (1, 1).Ө3 = (0, 0)

temos que: Ө1 = Ө2 = Ө3 = 0

Assim, o conjunto (a, b e c) é linearmente independente

Se, n

∑ Өjpj = 0 para alguns Өj ≠ 0, os vetores são ditos linearmente dependentes.

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Vetores linearmente dependentes (LD)

Dois vetores a e b são linearmente dependentes se e somente se, forem colineares ou paralelos. Caso contrário, são linearmente independentes

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Vetores linearmente dependentes (LD)

Exemplo: Sejam os vetores a, b e c

a ( 2, 1) b (4, 2) c (1, 1)

para que:

( 2, 1).Ө1 + (4, 2).Ө2 + (1, 1).Ө3 = (0, 0)

com Ө1 = -2, Ө2 = 1 e Ө3 = 0

Assim, o conjunto (a, b e c) é linearmente dependente

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Exercícios propostos

Sejam os vetores a, b, c, p e q

a ( 2, 1, 4, -1) b (4, 2, -3, 5) c (1, 1, -1, 4)p (2, 3, -5) q (-2, 4, -2)

Efetue as seguintes operações:

1)a + b2)c + b3)a + b + c4)p + q + a5)q + p

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Exercícios propostos

Sejam os vetores a, b, c, p e q

a ( -3, 1, 4, 6) b (-1, 2, -3, 1) c (2, 1, -2, 2)p (1, 3, -5) q (-2, 4, -6)

Efetue as seguintes operações:

1)a - b - c2)a - c + b3)a + b - c4)p + q - p5)q - p

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Exercícios propostos

Sejam os vetores p1 e p2

p1 (1, 2)p2 (2, 4)

Estes vetores são linearmente dependentes? Comprove.

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Memória de aula

1. Conceitue um vetor.2. Quais são regras para adição de vetores?3. Dados os vetores x (1, 4, 5, 7) e y (2, 4, 8). Eles

podem ser somados ou subtraídos? Justifique sua resposta.

4. Como podemos subtrair dois vetores utilizando um produto escalar?

5. Defina e dê exemplo de um vetor linearmente dependente.

6. Defina e dê exemplo de um vetor linearmente independente.

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Bibliografia indicada

ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2005. pg. 239 a 242

LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, 2002. versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).