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  • Sistemas de Informao Universidade

    Estcio de S

    Curso de Pesquisa Operacional

    Prof. e M. Sc. Marcelo Silva

  • Curso de Pesquisa Operacional 2

    1 - PESQUISA OPERACIONAL: HISTRIA E CONCEITOS

    1.1 Introduo O objetivo do curso apresentar alguns MTODOS MATEMTICOS essenciais Pesquisa

    Operacional (PO). Este captulo pretende dar a origem e as idias fundamentais da PO.

    Infelizmente, um curso introdutrio de PO no pode responder completamente as perguntas:

    a) O que deve (o aluno) aprender sobre PO se pretende ser um economista (dirigente,

    gerente, administrador) mais que um especialista?

    b) O que deve (o aluno) aprender sobre PO tendo em vista que deseja aplic-la a problemas

    reais?

    No contexto destas duas perguntas o objetivo principal do curso :

    1) Introduzir as idias mais importantes em PO, as quais so fundamentais e permanentes.

    2) Dar o curso em nvel que o aluno possa entender e apreciar a fora e as limitaes

    inerentes a PO.

    3) Preparar e motivar futuros especialistas em PO.

    4) Apresentar e aplicar alguns mtodos de PO (METODOLOGIA).

    1.2 Notas Histricas Desde o advento da primeira revoluo industrial o mundo tem apresentado um notvel

    desenvolvimento e crescimento em tamanho e complexidade de suas organizaes.

    Os caminhos da PO podem ser traados a muitas dcadas atrs, quando foi aplicada a

    administrao cientifica s organizaes.

    Como a tendncia natural aumentar a complexidade e a especializao das organizaes,

    torna-se mais e mais difcil alocar seus recursos disponveis pelas suas vrias atividades de

    maneira a obter a melhor eficincia para a organizao.

    Entretanto, o termo PO geralmente atribudo aos servios militares durante a Segunda

    Grande Guerra Mundial (1939). Os dirigentes militares chamaram equipes de cientistas para

    estudar problemas estratgicos e tticos associados com a defesa area e terrestre do pas. Seu

    objetivo era determinar a melhor utilizao efetiva dos recursos militares limitados.

  • Curso de Pesquisa Operacional 3

    l .3 conceitos Conceito 1: PO a aplicao do mtodo cientfico, por equipes interdisciplinares, a

    problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados (homem-mquina) com a

    finalidade de obter as solues que melhor satisfazem aos objetivos da organizao, como

    UM TODO.

    Conceito 2: A PO se esfora ao mximo para compensar a incerteza, mas no a pode

    eliminar. (Pois importante assinalar que como esto implicados fatores humanos e

    mquinas, fornecida uma estimativa da incerteza no resultado previsto e nos valores, nas

    eficincias e nos custos da ao proposta).

    Conceito 3: A PO firmou-se como uma atividade que pode colocar a servio da gerncia - e

    realmente o faz - novas atitudes, novos conceitos e novas tcnicas; ajudando-a a resolver

    problemas complexos e tomar decises importantes.

    ESTRATGIA - significa o dispositivo bsico de recursos disponveis ao dirigente.

    TTICA - exprime a maneira de utilizar os recursos confiados a uma atividade determinada.

    TECNOLOGIA - o termo que se aplica s coisas fsicas envolvidas na transformao de

    "INPUTS" em "OUTPUTS" da atividade.

    ORGANIZAO - quer dizer virtualmente qualquer complexo identificvel de homens e

    mquinas trabalhando no sentido de um objetivo determinado, quer o complexo seja militar

    ou civil, industrial ou comercial, governamental ou privado.

    Conceito 4: PO a aplicao de anlises quantitativas dos problemas gerenciais. O objetivo

    da anlise encontrar as melhores solues dos problemas, isto , escolher as boas decises.

    Conceito 5: Pesquisa Operacional a preparao cientfica das decises, visando a

    modificao do binmio "Experincia - Intuio" pela "Informao - Racionalidade".

    Conceito 6: A PO o conjunto de mtodos que depois de haver analisado, recorrendo as

    diversas disciplinas cientificas envolvidas, as relaes que unem os fatores de ordem tcnica

    ou psicolgica que concorrem na formao de um fenmeno econmico ou humano se

  • Curso de Pesquisa Operacional 4

    propem, com a finalidade de preparar as decises que se devem tomar, determinar

    racionalmente as solues mais eficientes (eficazes) ou as mais econmicas, recorrendo a

    procedimentos estatsticos e/ou matemticos cuja aplicao exige na maioria das vezes o

    emprego de computadores.

    Em resumo, podemos concluir da PO:

    1) Pesquisa sobre operaes;

    2) Aplicao de mtodo cientifico por equipes interdiciplinares;

    3) Apresenta novas atitudes, novos conceitos e novas tcnicas;

    4) Aplicao de analises quantitativas aos problemas gerenciais;

    5) Resolver problemas complexos;

    6) Tomar decises importantes (ou escolher as boas decises);

    7) A problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados;

    8) Compensar a incerteza.

  • Curso de Pesquisa Operacional 5

    2 - MTODO DA PESQUISA OPERACIONAL

    2.1 Introduo Um estudo de PO consiste em construir um modelo da situao fsica. Um modelo de PO

    definido como uma representao idealizada de um sistema organizacional. Este sistema pode

    j ser existente ou pode ainda ser uma idia a espera de execuo.

    No primeiro caso, o objetivo do modelo analisar as operaes do sistema para verificar sua

    performance. No segundo, o objetivo e identificar a melhor estrutura do futuro sistema.

    A complexidade de um sistema real resulta do grande nmero de variveis que comandam as

    operaes do sistema, embora um sistema real possa envolver um nmero substancial de

    variveis, geralmente uma pequena frao destas variveis domina as operaes do sistema.

    Ento, a simplificao do sistema real em termos de um modelo condensado, identificando

    apenas as variveis dominantes e as relaes entre elas, o empregado.

    Exemplo 1: A fabricao de um produto experimenta um certo nmero de operaes desde o

    tempo de sua concepo pelo projetista, at chegar s mos do consumidor. Aps a aprovao

    do projeto, a ordem de produo transmitida ao Departamento de Produo (DP), o qual

    requisita o material necessrio do Departamento de Material (DM).

    O Departamento de Material satisfaz a requisio do seu estoque ou entra em ligao com o

    Departamento de Compras (DC) para comprar o material necessrio para atender requisio

    do DP. Aps a fabricao do produto, o Departamento de Vendas (DV), em conjuno com o

    Departamento de Marketing (DMK), assumem a responsabilidade para distribui-lo para os

    consumidores.

    Suponha que o objetivo determinar o nvel de PRODUO DA INDSTRIA. Observando

    o sistema v-se que um grande nmero de variveis influem diretamente no nvel de

    produo. Segue alguns exemplos destas variveis:

    a) DEPARTAMENTO DE PRODUO: Avaliar mquinas - horas, homens - hora,

    especificar a seqncia de operaes nas mquinas, nmeros de itens defeituosos, razo de

    inspeo, etc.

    b) DEPARTAMENTO DE MATERIAL: Avaliar o estoque de material, taxa mdia de

    sada e entrada de material, limitaes de armazenagem.

  • Curso de Pesquisa Operacional 6

    c) DEPARTAMENTO DE MARKETING: Calcular as vendas, intensificar as campanhas

    promocionais, capacidade de distribuio de produtos, efeito dos produtos competitivos.

    Cada uma das variveis acima afeta (direta ou indiretamente) o nvel da produo. uma

    tarefa ingrata tentar estabelecer relaes explicitas entre estas variveis e o nvel de produo.

    Definindo o sistema em funo de suas variveis dominantes, ele pode ser representado por

    duas variveis:

    1a - Uma, representando a taxa de produo do item;

    2a - Uma, representando sua razo de consumo.

    Para se determinar a taxa de produo, variveis tais como avaliao mquina - hora, homem-

    hora, sequenciamento e avaliao do material devem ser considerados no clculo da taxa de

    produo.

    A razo de consumo determinada em termos das variveis associadas com o Departamento

    de Marketing.

    fcil agora pensar em termos do sistema real adotado. Para a taxa de produo e consumo,

    pode-se estabelecer medidas para o excesso ou falta em estoque para um dado nvel de

    produo.

    Um modelo abstrato do sistema pode ento ser construdo para balancear os custos do excesso

    ou falta de estoque. Por exemplo, pode-se estar interessado em determinar o nvel de

    produo para um mximo de itens em estoque abaixo de um certo limite.

    Em geral, no h regras fixas para determinar o nvel de abstrao citado. A validade do

    modelo representando o sistema depende principalmente da criatividade, insight, e

    imaginao dos analistas de PO e a equipe de trabalho no projeto.

    Embora no seja possvel fixar regras acerca de como um modelo construdo, pode-se

    socorrer das presentes idias sob os possveis tipos de modelos de PO, suas estruturas e

    caractersticas gerais.

    Em um estudo de PO ocorrem normalmente as seguintes fases:

    1. Formulao (ou definio) do problema;

    2. Construo do modelo matemtico;

    3. Obteno de uma soluo a partir do modelo;

    4. Teste do modelo e avaliao da soluo obtida;

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    5. Estabelecimento de controle sobre a soluo;

    6. Implantao da soluo.

    2.2 Formulao do Problema Para se obter a soluo de um problema, necessitasse antes formul-lo de modo a tornar

    possvel a pesquisa.

    Ao contrario dos exemplos que sero apresentados no decorrer do curso, a maioria dos

    problemas prticas so trazidos a uma equipe de pesquisa operacional de uma maneira vaga e

    imprecisa.

    Em conseqncia, o primeiro passo consiste em estudar o sistema e estabelecer de uma

    maneira bem definida o problema a ser considerado. Para isto vrios elementos devem ser

    determinados exatamente tais como, os objetivos a atingir, as restries que devem ser

    consideradas, o inter-relacionamento entre o setor a ser estudado e outros setores da

    organizao, as possveis linhas de ao alternativas, etc.

    Como todas as concluses sero obtidas a partir desta formulao, esta fase tem importncia

    capital para o estudo e a formulao inicial deve ser continuamente revista luz dos novos

    dados obtidos durante as fases posteriores.

    Para determinao dos objetivos apropriados necessrio identificar a pessoa (ou pessoas)

    que toma as decises relativas ao sistema em estudo, investigar seus objetivos e analis-los a

    fim de estabelecer precisamente os principais objetivos a atingir a fim de que no sejam

    eliminadas metas ou alternativas de valor.

    Por sua natureza a pesquisa operacional preocupa-se em resolver os problemas da organizao

    considerada como um todo e no somente os de alguns de seus setores.

    Por isto, os objetivos formulados devem ser aqueles de toda a organizao, no significando

    entretanto que cada problema deva ser resolvido em um estudo de toda organizao. Na

    realidade os objetivos fixados devem ser to especficos quanto possveis, desde que

    englobem as principais metas de tomada de deciso e mantenham um grau razovel de

    consistncia com os objetivos de nvel mais elevado da organizao. Os efeitos laterais em

    outros setores da organizao devem, ento, ser considerados somente para verificar se esto

    coerentes com estes objetivos nvel mais elevado.

    Para formular um problema precisa-se, pois, examinar os seguintes aspectos:

    1 - Quem toma a deciso?

    2 - Quais os objetivos?

  • Curso de Pesquisa Operacional 8

    (A partir destas informaes e de outros dados estabelecemos uma medida de desempenho,

    para avaliar as alternativas de ao).

    3 - Quais aspectos da situao esto sujeitos ao controle de quem toma a deciso (as variveis

    controladas) e dentro de que limites essas variveis podem ser controladas (restries).

    4 - Que outros aspectos do meio ambiente, envolvam ou no seres humanos, podem afetar os

    resultados das escolhas disponveis (as variveis no controladas)

    Portanto, formular um problema para pesquisa consiste em identificar, definir e especificar as

    medidas dos componentes de um modelo de deciso. A determinao da relao entre estes

    componentes (a funo f) o objetivo da fase da pesquisa denominada construo do modelo.

    Nesta primeira fase do estudo, portanto, requer a definio do problema. Do ponto de vista da

    PO, isto indica trs aspectos principais:

    a) uma exata descrio dos objetivos do estudo;

    b) uma identificao das variveis de deciso do sistema;

    c) reconhecimento das limitaes, restries, as possveis linhas de ao alternativas, o inter-

    relacionamento entre o setor a ser estudado e outros setores da organizao.

    impossvel extrair respostas certas de um problema errado. No se deve esquecer as

    principais partes que afetam os negcios de uma firma:

    a) o proprietrio (acionistas) que deseja lucros (dividendos, aes, bonificaes, valorizao

    do capital, etc.).

    b) os empregados, que desejam emprego estvel com razovel salrio.

    c) os clientes, que desejam um produto confivel a um preo mdico (razovel).

    d) os vendedores, que desejam integridade e uma boa remunerao pelas boas qualidades de

    vendedor.

    e) o governo e, consequentemente, a nao, que deseja o pagamento de taxas justas e

    consideraes de interesses nacionais.

    2.3 Construo do Modelo Matemtico Conforme o exemplo dado, os modelos so representao idealizada (abstrata) dos problemas;

    geralmente faz-se aproximaes e hipteses simplificadoras para que sejam resolvveis. Nesta

  • Curso de Pesquisa Operacional 9

    fase do estudo faz-se a construo do modelo. Um modelo deve especificar as expresses

    quantitativas para o objetivo e as restries do problema em termos de suas variveis de

    deciso. Existem vrios tipos bsicos de modelo. O modelo matemtico o modelo universal

    da PO. Sua 1inguagem so as equaes. Na formulao destes tipos admite-se que todas as

    variveis relevantes so quantificveis.

    Ento, os smbolos matemticos so usados para representar as variveis, as quais so ento

    representadas por funes matemticas apropriadas para descrever as operaes do sistema.

    A soluo do modelo ento procurada pela manipulao matemtica apropriada.

    Em complementao dos modelos matemticos, modelos de simulao e heursticos so

    usados.

    A estrutura bsica dos modelos de PO assumem a forma:

    Z = f (x1, x2, x3, ......, xn; y1, y2, y3, ......, yn)

    Onde:

    Z = funo objetivo (medida de eficincia do sistema)

    x1, x2, x3, ......, xn = sistemas de variveis que so sujeitas ao controle

    y1, y2, y3, ......, yn = sistemas de variveis que no so sujeitas ao controle

    Os modelos simulados e heursticos no tem nenhuma estrutura fixada, um modelo

    matemtico inclu trs conjuntos fundamentais de elementos, sendo eles:

    a) VARIAVEIS DE DECISO E PARMETROS: As variveis de deciso so as

    incgnitas para serem determinadas da soluo do modelo. Os parmetros representam os

    variveis controladas do sistema. No exemplo, o nvel de produo representa a varivel

    de deciso; os parmetros, neste exemplo, so a taxa de produo e consumo. Os

    parmetros podem ser determinsticos ou probabilsticos.

    b) LIMITAES OU RESTRIES: Para considerar as limitaes fsicas do sistema, o

    modelo deve incluir restries que limitam os valores possveis das variveis de deciso.

    Isto , usualmente, expresso em forma de equaes e/ou inequaes matemticas. Por

    exemplo, seja x1 e x2 o nmero de unidades produzidas de dois produtos (variveis de

  • Curso de Pesquisa Operacional 10

    deciso) e seja a1 e a2 a matria prima (recursos) por unidade (parmetros). Se o total dos

    recursos disponveis (MP) A, a Funo restritiva dada por a1x1+a2x2 = A.

    c) FUNO OBJETIVO (FO): Define a medida de efetividade do sistema como uma

    funo matemtica de suas variveis de deciso. Por exemplo, se o objetivo do sistema

    maximizar o lucro total, a funo objetiva deve especificar o lucro em termos das

    variveis de deciso. Em geral, a soluo tima do modelo obtida quando os melhores

    valores correspondentes das variveis de deciso so substitudos na PO, enquanto

    satisfazem as restries. Os modelos matemticos, em PO, podem ser especificados,

    geralmente, como determinar os valores das variveis de deciso xj , j= 1,2,...,n a qual

    otimiza Z = f (x1,x2,...,xn) sujeito a uma srie de restries. Na maioria dos sistemas reais,

    as restries de no - negatividade aparecem como condio natural.

    Antes da construo de um modelo matemtico deve-se responder a 4 perguntas:

    1) Qual a medida de efetividade do objetivo? Isto , como ser expressa a soluo do

    problema (em reais economizados, unidades vendidas, itens produzidos, etc.)

    2) Quais so os fatores sob controle (variveis controladas)? Isto , quais aspectos do

    problema pode-se fazer alguma coisa?

    3) Quais so os fatores no controlados (as variveis no controladas)? Isto , quais aspectos

    do problema tem-se de aceitar como dados?

    4) Quais so as relaes entre estes fatores e os objetivos? Isto , pode esta relao ser

    expressa em forma de relaes matemticas que constituiro um modelo do problema?

    Otimizao geralmente tomada para significar a maximizao ou minimizao da FO.

    Analistas trabalhando no mesmo problema independentemente podem chegar a modelos

    diferentes e tambm a funes objetivo (FO) tambm diferentes. Por exemplo, o analista A

    pode preferir maximizar os lucros, enquanto o analista B pode preferir minimizar os custos.

    Os dois critrios no so equivalentes no sentido que com as mesmas restries os dois

    modelos no devem produzir a mesma soluo tima. Isto pode ser mostrado claramente,

    enquanto o custo deve estar sob o controle imediato da organizao no qual o estudo feito,

    o lucro deve ser efetuado por fatores incontrolveis, tais como a situao de mercado ditada

    pelos competidores.

  • Curso de Pesquisa Operacional 11

    No se deve pensar que a soluo tima do modelo a melhor soluo do problema. Ela a

    melhor somente se o critrio adotado pode ser justificado como verdadeiro para toda

    organizao.

    Na prtica, torna-se muito difcil incluir todos os objetivos (possibilidades conflitantes) num

    critrio simples (singular) pois isto pode resultar numa funo matemtica complexa para a

    qual nenhuma soluo tcnica pode ser prontamente obtida, porque alguns objetivos so

    tambm inatingveis para serem quantificados.

    Por exemplo, na determinao da poltica do nvel timo de estoque, o verdadeiro objetivo

    deve incluir os objetivos (metas) conflitantes dos departamentos de produo, material,

    vendas e finanas.

    Quando o critrio objetivo do modelo representa algum, mas no todos os aspectos

    conflitantes, chamamos de uma soluo sub - tima, e que pode no ser a melhor para a

    organizao como um todo.

    Aps o modelo matemtico ser construdo, pode ser necessrio simplific-lo para ser tratado

    analiticamente. Algumas simplificaes comuns incluem:

    a) Transformar variveis discretas em contnuas;

    b) Linearizar funes no lineares;

    c) Eliminar algumas das restries.

    2.4 Obteno de uma Soluo a partir do Modelo Em modelos matemticos, isto e, feito usando tcnicas de otimizao bem definidas, o

    modelo dito de soluo tima.

    Se modelos de simulao ou heursticos so usados, o conceito de soluo tima no bem

    definido e a soluo neste caso usada para obter solues aproximadas do sistema.

    Como um modelo mais uma representao ideal do que exata, s pode-se afirmar que a

    soluo tima para o modelo ser provavelmente a melhor possvel para o problema real,

    devido aos fatores imponderveis e as incertezas associadas ao problema.

    2.5 Teste do Modelo e avaliao da Soluo obtida Uma das primeiras lies da PO, que no geralmente suficiente confiar somente na

    intuio. Isto aplica-se no somente na obteno da soluo de um problema, como tambm

    na avaliao do modelo que foi formulado para representar este problema.

  • Curso de Pesquisa Operacional 12

    O critrio indicado para julgar a validade de um modelo verificar se ele prediz ou no os

    efeitos relativos das linhas de ao alternativas com suficiente preciso de maneira a permitir

    uma satisfatria deciso. Devido dificuldade de comunicar e relacionar todos os aspectos e

    sutilezas de um problema operacional complexo, existe a possibilidade que a equipe de

    pesquisas operacionais ou no tenha considerado todos os aspectos relevantes da situao ou

    no os tenha interpretado apropriadamente.

    Antes de aplicar testes mais elaborados conveniente verificar se o modelo no apresenta

    erro. Um novo exame na formulao do problema e sua comparao com o modelo pode

    revelar alguns desses erros. Outra verificao muito usada consiste em verificar se todas as

    expresses matemticas esto dimensionalmente corretas.

    Finalmente, ou a equipe de PO, ou o pessoal que dever tomar decises podem observar

    detalhes na soluo obtida que surgiram particulares omisses ou erros no modelo. Outros

    procedimentos mais sistemticos podem ainda ser empregados.

    2.6 Estabelecimento de controle sobre a Soluo Quando uma soluo for usada repetidamente, esta soluo s permanecer vlida para o

    problema real enquanto o modelo respectivo permanecer vlido. Entretanto, as condies

    variam constantemente no caso real. Em conseqncia, se essas variaes invalidarem o

    modelo, vital que isto seja verificado to cedo quanto possvel de maneira que o modelo, sua

    soluo e resultante linha de ao possa ser convenientemente modificada. Assim sendo,

    sempre que uma soluo e resultante estratgia para um ao futura so aplicadas

    repetidamente, esta soluo deve ser mantida sob controle.

    Este controle feito identificando-se os parmetros crticos, determinando-se estatisticamente

    as variaes relevantes nesses parmetros e finalmente ajustando a soluo e conseqente

    linha de ao sempre que uma variao observada.

    2.7 Implantao da soluo A ltima fase de um estudo de pesquisa operacional consiste em implantar a soluo final.

    Esta fase critica porque aqui, porque aqui, os benefcios do estudo so obtidos. Em

    conseqncia importante para a equipe de PO participar do desenvolvimento desta fase, no

    s para assegurar-se que a soluo corretamente transformada em um procedimento

    operacional como tambm para corrigir qualquer imperfeio descoberto na soluo.

  • Curso de Pesquisa Operacional 13

    2.8 Concluso Os problemas de PO tem as seguintes caractersticas:

    1) Compilao de dados anteriores, relativos a operaes de produo, vendas ou outros

    setores da empresa;

    2) Anlise dos dados colhidos atravs de tcnicas estatsticas;

    3) Criao do modelo matemtico destinado a previso e deciso no tocante as mesmas

    operaes no futuro.

    O curso baseia-se na aplicao da PO a uma grande variedade de problemas que podem ser

    representados por um pequeno nmero de problemas tpicos.

    2.9 Mtodos e Modelos da PO: Os mtodos mais comuns que so usados no mbito da PO so:

    1. Teoria da deciso;

    2. Modelos seqenciais (seqncia e coordenao);

    3. Modelos de alocao;

    4. Modelos de designao;

    5. Modelos de competio;

    6. Tcnicas clssicas de otimizao;

    7. Modelos de substituio (reposio);

    8. Modelos de estoque (teoria dos estoques);

    9. Modelos de filas;

    10. Tcnicas de simulao;

    11. Modelos de programao dinmica;

    12. Modelos de rotas;

    13. Mtodos heursticos.

  • Curso de Pesquisa Operacional 14

    3 - TIPOS BSICOS DE MODELO DE PO 3.1 Teoria da Deciso A caracterstica essencial da Teoria da Deciso que as conseqncias dos cursos de ao so

    geralmente desconhecidas. Nestes exemplos (casos), probabilidades so associadas com os

    vrios estados do sistema. Dependendo das informaes que se sabe dos estados do sistema,

    no pode-se referir deciso fazendo-a sob certeza, risco, ou incerteza. A maioria dos

    problemas de negcios trata com a ltima condio. Um caminho adicional de predizer o

    futuro, embora somente um mnimo de informaes so estimadas atravs da estatstica

    Bayesiana.

    3.2 Modelo de Sequenciamento Modelos sequenciais envolvem a determinao da seqncia tima para um conjunto de

    tarefas ou eventos ou a melhor seqncia para atendimento de clientes com o objetivo de

    minimizar o tempo total e custos. Esta tcnica aplicada pesquisa e desenvolvimento,

    construo, planejamento de novos produtos. Por exemplo, o procedimento para uma rede de

    anlise de PERT. Outros problemas sequenciais tais como programao de mquinas so

    resolvidos pela aplicao de tcnicas de simulao e heursticas.

    3.3 Modelos de Alocao Quando existe um nmero de atividades para serem realizadas, caminhos alternativos de faz-

    las, e recursos limitados ou meios para executar cada atividade na melhor linha eficaz, h um

    problema de alocao destes recursos escassos. O problema combinar as atividades e os

    recursos de uma maneira tima para que toda eficincia seja maximizada, isto , o lucro

    mximo e os custos so mnimos. Isto conhecido como "programao matemtica".

    Quando as restries so expressas como equaes lineares, chamada "programao linear".

    Se uma das restries no linear denominada "programao no linear". A Teoria da

    Dualidade da programao linear estabelece a relao entre duas diferentes formulaes do

    mesmo problema. Em adio aos programas lineares e no lineares, existem outros tipos de

    programaes - inteira, quadrtica, convexa, estocstica, deciso, paramtrica e dinmica.

    Elas diferem na espcie dos dados e podem ser manipulados de acordo com as suposies

    feitas.

  • Curso de Pesquisa Operacional 15

    3.4 Modelos de Designao O mais simples tipo de modelo de alocao envolve a distribuio de um numero de tarefas

    para o mesmo numero de recursos (homens). Isto chamado um problema de designao

    (atribuio).

    Este tipo de problema torna-se mais complexo se alguma das tarefas requer mais que um

    recurso e se os recursos podem ser usados para mais de uma tarefa. Um exemplo disto o

    problema de transportes.

    3.5 Modelos de Competio A teoria dos jogos d um conceito estrutural dentro do qual a maioria dos problemas de

    competio podem ser formulados. Ela tem sido usada efetivamente pelos negcios

    (transaes comerciais) para desenvolver estratgias de publicidade, polticas de preos, e

    escolha do momento oportuno (senso de oportunidade, timming) para introduo de novos

    produtos. A teoria estatstica da deciso e simulao tem sido empregadas com sucesso nos

    jogos.

    O processo de Markov um mtodo de predizer variaes competitivas no tempo de clientes

    fieis a uma marca (determinado produto) e cotas atuais de mercado so conhecidas.

    3.6 Tcnicas de Otimizao Clssicas s tcnicas de otimizao clssica ou tradicional so associadas com o procedimento de

    clculo do mximo ou mnimo. Resumidamente, quando uma caracterstica pode ser

    representada por uma equao a uma varivel que pode ser representada graficamente como

    uma curva continua uniforme, os valores de mximo e mnimo da curva podem ser obtidos

    pelo conjunto das primeiras derivadas iguais a zero. Ento, o sinal algbrico da segunda

    derivada daquele conjunto de pontos so examinados para a obteno de soluo do

    problema. Quando dois parmetros esto envolvidos, por exemplo, x e y para determinar a

    varivel z, o mximo e mnimo podem ser encontrados pela aplicao de derivadas parciais

    num processo similar ao empregado para uma varivel. As reas de clculo necessrias sao:

    diferenciao, integrao, derivadas parciais, e os multiplicadores de Lagrange. Estas tcnicas

    matemticas as quais so aplicadas para otimizao de problemas so capazes de diretamente

    selecionar a melhor deciso sem a necessidade de muitos passos interativos.

  • Curso de Pesquisa Operacional 16

    3.7 Modelos de Reposio Problemas de reposio so geralmente de dois tipos: aqueles envolvendo itens que

    degeneram num perodo de tempo e aqueles que falham aps um certo tempo de uso.

    O primeiro grupo refere-se ao ativo fixo das empresas - mquinas, caminhes e equipamentos

    - os quais so itens altamente custosos. Aqueles no segundo tipo so relativamente baratos

    tubos de vcuo, pneumticos, vlvulas, tubos e itens semelhantes.

    A programao dinmica usada para obteno das solues do primeiro tipo. A teoria

    estatstica amostral e probabilidade pode ser empregada na soluo do segundo tipo.

    3.8 Modelos de Estoques Modelos de estoques so os que dizem respeito com duas decises: quanto ordenar num

    determinado tempo e quando ordenar esta quantidade para minimizar o custo total. Custo de

    movimentao, custos de ordens de armazenamento (estocagens), e custo de deficits so

    determinados assim como uma medida de efetividade dos custos (modelo) podendo ser

    usados pelos gerentes para selecionar um balano apropriado entre custos e deficits. deciso

    pelo critrio do mnimo custo pode tambm ser obtida pelo clculo, teoria de probabilidades,

    programao dinmica e simulao pelo computador.

    3.9 Modelos de Filas Filas, algumas vezes referida como teoria das linhas de espera, trata (diz respeito) com

    chegadas uniformes ou aleatrias num servio ou meios de processamento de capacidade

    limitada.

    O objetivo deste modelo permitir determinar se o nmero timo de pessoas ou meios

    necessrios para servir clientes quando considerando o custo do servio e o custo de espera.

    Um problema de estoque pode ser visto como um problema de filas. Itens em estoque podem

    ser considerados como um meio de servio ocioso esperando por clientes. demanda pelo

    estoque uma chegada para servio e a sada do estoque pode ser considerada como uma fila

    de clientes A teoria das filas faz uso da teoria das probabilidades e clculo.

  • Curso de Pesquisa Operacional 17

    3.10 Tcnicas de Simulao Simulao presta-se ao emprego dos computadores, gera fatores como potencial de vendas ou

    atrasos na expedio pelo exame de tabelas de nmeros aleatrios que so essenciais aos

    programas.

    O computador mostra a sada de resultados que (poderiam) teriam sido obtidos se o critrio de

    deciso tivesse sido usado. Nmeros aleatrios so usados para simular chegadas e tempo de

    servios.

    3.11 Modelos de Programao Dinmica A maioria dos problemas de programao dinmica requer o uso de um computador para

    manipular a grande quantidade de dados (informaes). Os modelos de programao

    dinmica so extremamente usados para processo que se estende por vrios perodos de tempo

    ou eventos. Ao invs de otimizar cada deciso como ela ocorre a programao dinmica leva

    em considerao os efeitos da deciso de hoje nos futuros perodos de tempo.

    3.12 Modelos de Rotas Um dos mais famosos problemas de rota o do "Caixeiro Viajante". O objetivo selecionar o

    caminho (itinerrio que parte de sua prpria cidade, passa atravs de cidades apenas uma vez,

    e retorna para sua cidade, pela menor distncia em termos de tempo ou dinheiro. O modelo de

    rotas tem sido aplicado produo onde o nmero de produtos ou itens produzidos

    (fabricados) anlogo ao de cidades. Troca-se os custos de produo correspondentes aos

    custos de viagens entre cidades.

    3.13 Mtodos heursticos Mtodos heursticos indicam aprendizado ou avaliao de sistemas. Os mtodos heursticos

    usam regras de manusear e avaliar, instrudos para explorar o caminho mais provvel para se

    chegar a uma concluso. Isto recoloca em check todas as alternativas (tambm para muitas

    quantidades aproximadas) para encontrar a melhor soluo.

  • Curso de Pesquisa Operacional 18

    4 - INTRODUO A PROGRAMAO LINEAR 4.1 GENERALIDADES Sem dvida nenhuma a Programao Linear uma das tcnicas da Pesquisa Operacional das

    mais utilizadas em se tratando de problemas de otimizao.

    Os problemas de Programao Linear (PL) buscam a distribuio eficiente de recursos

    limitados para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar

    custos. Em se tratando de PL, esse objetivo expresso atravs de uma funo linear,

    denominada de "Funo Objetivo".

    necessrio tambm que se defina quais as atividades que consomem recursos e em que

    propores os mesmos so consumidos. Essas informaes so apresentadas em forma de

    equaes as inequaes lineares, uma para cada recurso. Ao conjunto dessas equaes e/ou

    inequaes, denomina-se "Restries do Modelo".

    Normalmente se tem inmeras maneiras de distribuir os recursos escassos entre as diversas

    atividades em estudo, bastando para com isso que essas distribuies estejam coerentes com

    as restries do modelo. No entanto, o que se busca, num problema PL a funo objetivo,

    isto , a maximizao do lucro ou a minimizao dos custos. A essa soluo d-se o nome de

    soluo tima.

    Assim, a Programao linear se incube de achar a soluo tima de um problema, uma vez

    definida o modelo linear, ou seja, a funo objetivo e as restries lineares.

    4.2 PROBLEMAS DE PROGRAMAO LINEAR Como foi dito anteriormente, est-se diante de um problema de PL quando os problemas

    prticos que se pretende resolver pode ser escrito de forma de maximizao (ou minimizao)

    de uma funo objetivo linear, sujeita a um conjunto de restries que podem ser expressos

    sob a forma de inequaes ou equaes lineares.

    Exemplos de problemas que podem ser resolvidos por programao linear: a) Um fabricante est iniciando a ltima semana de produo de quatro diferentes modelos de

    consoles em madeira para aparelhos de televiso, designados respectivamente, I, II, III e IV.

    Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam,

    respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para montagem e de 2, 1, 5, 3 e 3 horas para decorao.

    Os lucros sobre as vendas dos modelos so respectivamente 7, 7, 6 e 9 reais. O fabricante

  • Curso de Pesquisa Operacional 19

    dispe de 30.000 horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40

    horas por semana) e de 20.000 horas para decorao (500 decoradores trabalhando 40 horas

    por semana). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta ltima semana

    a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades possam ser vendidas.

    b) Seja o caso de um investidor que, dispondo de $6000 esteja contemplando a possibilidade

    de compra de dois seguintes tipos de aes:

    Tipo 1 - preo unitrio de compra de $ 5,00 e rentabilidade anual esperada de 30%.

    Tipo 2 - preo unitrio de compra de $ 3,00 e rentabilidade anual estimada em 35%.

    Supondo que o investidor no deseje adquirir mais do que 1750 aes, e que seu corretor s

    possa conseguir 1000 aes do tipo 1 e 1500 aes do tipo 2, que quantidades deve comprar

    de cada tipo de ao, na hiptese de que seja seu objetivo maximizar o total de capital no fim

    de um ano?

    c) Uma empresa esta analisando um conjunto de alternativas de projetos de investimentos

    disponveis e apresentados na tabela seguir.

    Projeto Investimento no ano 1

    Investimento no ano 2

    Vida til Economia anual nos prximos 3 anos

    1 12 3 5 anos 9.29 2 54 7 5 anos 26.85 3 6 6 5 anos 9.88 4 6 2 5 anos 7.92 5 30 35 5 anos 35.33 6 6 6 5 anos 8.14 7 48 4 5 anos 22.78 8 36 3 5 anos 16.91 9 18 2 5 anos 11.04

    O oramento para investimento de 50 para o primeiro ano e 20 para o segundo. Sabendo-se

    que a TMA da empresa de 10% a.a., qual a combinao tima desses projetos.

  • Curso de Pesquisa Operacional 20

    4.3 OBTENDO FUNO OBJETIVO E AS RESTRIES Antes de discutir as tcnicas possveis para obteno de resultados, atravs de um problema

    ser discutido como obter a funo objetivo e as restries.

    4.3.1 Exemplo para discutir a obteno da funo objetivo e as restries: Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado vendido

    por $27 e usa $10 de matria prima. Cada soldado que fabricado tem um custo adicional de

    $14 relativo a mo de obra. Um trem vendido por $21 e gasta $9 de matria prima. O custo

    de mo de obra adicional para cada trem de $10. A fabricao destes brinquedos requer dois

    tipos de mo de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para

    acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de

    carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matria prima, mas tem

    a disposio at 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens

    ilimitada, mas a venda de soldados de no mximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar

    seu lucro dirio (receitas-custos). Formular o modelo matemtico que poder ser usado por

    Giapetto para maximizar seu lucro semanal.

    Soluo:

    Sabendo que a matria primanecessria obtida sem problemas,

    Giapetto tem como objetivomaximizar o lucro semanal (receitas -

    custos).Vamos ento formular

    matematicamente a situao deGiapetto com o objetivo de maximizar

    o lucro semanal.

  • Curso de Pesquisa Operacional 21

    Primeiro ponto importante:Variveis de deciso

    Em qualquer modelo de PL, as variveisde deciso devem descrever

    completamente as decises a seremfeitas.

    Caso de Giapetto: quantos soldados e trensdevem ser feitos na semana.

    Variveis de deciso

    X1 = nmero de soldados produzidoscada semana;

    X2 = nmero de trens produzidos a cadasemana.

    Segundo ponto importante:Funo objetivo

    Em qualquer modelo de PL, o decisorquer maximizar ou minimizar alguma

    funo das variveis de deciso.Caso de Giapetto: custos fixos (aluguel,

    seguro) no depende dos valores de X1e X2, assim ele pode se concentrar em

    maximizar a venda da semana.

  • Curso de Pesquisa Operacional 22

    Receitas e custos: podem ser expressos emtermos das variveis X1 e X2. Seria tolice

    Giapetto produzir mais soldados que ele possavender, assim assumimos que todos

    brinquedos produzidos podem ser vendidos.Assim:

    Receita da semana = receita dos soldados +receita dos trens

    Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana

    Receita por semana = 27*X1 + 21*X2

    Tambm podemos escrever:

    Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2 Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2

    Ento Giapetto quer maximizar:(27X1 + 21X2) - (10X1 + 9X2) - (14X1 + 10 X2) = 3X1 + 2X2

    Assim o objetivo de Giapetto escolher X1 e X2 para maximizar 3X1 + 2X2

    Objetivo:maximizar Z = 3X1 + 2X2

    oumax Z = 3X1 + 2X2

    Varivelusualmente

    utilizada

  • Curso de Pesquisa Operacional 23

    Terceiro ponto importante:restries

    Se X1 e X2 aumentam, a funo objetivo deGiapetto ser sempre maior. Mas infelizmente X1

    e X2 so limitados pelas seguintes restries: 1 - cada semana, no mais que 100 horas de

    acabamento; 2 - cada semana, no mais de 80 horas de

    carpintaria; 3 - limitao de demanda, no mais de 40

    soldados por semana.

    M.P. ilimitada, portanto no hrestries. Como, prximo

    passo, necessrio expressar asrestries 1, 2 e 3, em termo das

    variveis de deciso: X1 eX2.

    Restrio 1:no mais de 100 h de acabamento

    Total de h de acab./semana = horas de aca./sold. * sold. feitos/semana + horas de acab./trem * trens feitos/semana

    Total de h de acab./semana = 2*X1 + 1*X2

    Restrio 1 - 2X1 + X2

  • Curso de Pesquisa Operacional 24

    Restrio 2:no mais de 80 h de carpintaria

    Total de h de carp./semana = horas de carp./sold. * sold. feitos/semana + horas de carp./trem * trens feitos/semana

    Total de h de carp./semana = 1*X1 + 1*X2

    Restrio 2 - 1X1 + X2

  • Curso de Pesquisa Operacional 25

    Quarto ponto importante:Restries adicionais

    Para completar a formulao do problema: X1 >= 0 X2 >= 0

    Resumindo

    max Z = 3X1 + 2X2 (1)sujeito a:

    2X1 + X2

  • Curso de Pesquisa Operacional 26

    durante a transmisso de futebol $100000. A empresa gostaria que pelo menos 28 milhes de

    mulheres e 24 milhes de homens de grande poder aquisitivo assistissem sua propaganda.

    Obter a programao matemtica que ir permitir a empresa atender as suas necessidades de

    propaganda a um mnimo custo.

    2) Uma empresa fabrica carros e caminhonetes. Cada veculo precisa ser trabalhado nas

    sees de pintura e montagem. Se a seo de pinturas trabalhar s com caminhonetes, 40 por

    dia podem ser pintados. Se estiver trabalhando s com carros, 60 por dia sua capacidade. Se

    a seo de montagem estiver trabalhando s com caminhonetes, 50 podem ser montados por

    dia. O mesmo nmero possvel para carros se este for o nico produto na linha. Cada

    caminhonete contribui $300 para o lucro, e cada carro $200. Obter a formulao matemtica

    que determinar a programao de produo que maximizar o lucro da empresa.

    3) Supondo que a empresa do exemplo anterior, por necessidades dos vendedores, tem de

    produzir pelo menos 30 caminhonetes e 20 carros diariamente, qual ser a nova formulao

    do problema?

    4.4 SOLUO DE UM PROBLEMA DE P.L. - MTODO GRFICO Um problema de P.L. s pode ser resolvido graficamente desde que o modelo, em estudo,

    apresentar duas variveis.

    O fato de que a funo objetivopara um PL precisar ser umafuno linear de variveis tem

    2 implicaes: 1 - A contribuio para a funo objetivo

    de cada varivel de deciso proporcinalao valor da varivel de deciso;

    2 - A contribuio para a funo objetivopara cada varivel independente dosvalores de outras variveis de deciso.

  • Curso de Pesquisa Operacional 27

    Definio: regio de soluo- para um problema de PL

    o conjunto de todos ospontos que satisfazem todasas restries do problema.

    Restries: 2X1 + X2

  • Curso de Pesquisa Operacional 28

    regio de soluo

    Pontos que atendem e onde ser procuradaa soluo tima

    Soluo tima

    Ponto da regio de soluo, que leva ao maiorvalor da funo objetivo.

    A maioria dos problemas de PL, temsomente uma soluo tima;

    Alguns no tem soluo tima; Alguns tem infinitas solues.

    Para o problema de Giapetto, soluo tima:X1=20 e X2 = 60

    Z = 3*20 +2*60 = 180lucro = 180 - 100 = 80/semana

    Soluo grfica para oproblema de 2 variveis

    Um PL com 2 variveispode ser resolvido

    graficamente. Ns semprenomeamos as variveis X1

    e X2 e os eixoscoordenados por X1 e X2.

  • Curso de Pesquisa Operacional 29

    Se ns queremos delimitar emum grfico o conjunto de

    pontos que satisfaa a:

    2X1+3X2

  • Curso de Pesquisa Operacional 30

    X2

    X120

    40

    60

    80

    100

    120

    20 40 60 80 100 120

    (2)

    (3)

    (4)

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    Poligono DGFEH - regio de soluo

    Encontrando a soluo tima

    Aps a identificao da regio desoluo, ns devemos procurar a

    soluo tima, que ser o ponto daregio que levar ao maior valor de

    Z = 3X1+2X2

    Para encontrar a soluo tima, nsprecisamos desenhar uma linha sobra

    a qual todos os pontos levem ao mesmovalor de Z.

    Escolhe-se qualquer ponto da regio desoluo:

    (20, 0) - Z = 3X1+2X2 = 60Assim (20, 0) cai sobre a reta:

    Z = 3X1 + 2X2 = 60X2 = 30 - 3/2X1

  • Curso de Pesquisa Operacional 31

    3X1 + 2X2 = 60tem coeficiente angular = -3/2

    Assim todas as retas 3X1+2X2 =constante tero o mesmo coeficiente

    angular.

    Importante: uma vez desenhada a reta, podemos encontrar

    todas as outras pelo movimento paralelo da retaque desenhamos.

    X2

    X120

    40

    60

    80

    100

    120

    20 40 60 80 100 120

    (4)(2)

    (3)

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    HX2 = 30 - 3/2 X1

    Indica o ponto timo - G (20, 60)

    Ponto timo:Z = 3*20 + 2*60 = 180

  • Curso de Pesquisa Operacional 32

    Resolver graficamente os exerccios 1, 2 e 3, formulados anteriormente no item 4.3, e as

    seguintes formulaes:

    1) max Z = 5X1 +2X2

    sujeito a:

    X1 3

    X2 4

    X1 + 2X2 9

    X1 0

    X2 0

    2) max Z = 2X1 -1X2

    sujeito a:

    X1 X2 1

    2X1 + X2 6

    X1 0

    X2 0

    Pela discusso apresentada neste item, foi visto que um problema de PL com duas variveis,

    necessariamente cair em um dos 4 casos possveis, sendo eles:

    1) Caso 1: a formulao tem soluo nica;

    2) Caso 2: a formulao tem mltiplas solues;

    3) Caso 3: a formulao no tem soluo;

    4) Caso 4: a formulao no tem fronteira, a regio de soluo permite arbitrrios valores

    para Z (grandes valores de Z, para problemas de max, e pequenos valores de Z, para

    problemas de min).

    E qualquer outra formulao, com maior nmero de variveis, tambm sempre se enquadrar

    em um destes casos.

  • Curso de Pesquisa Operacional 33

    4.5 PROBLEMAS INTERESSANTES QUE PODEM SER FORMULADOS PARA SEREM RESOLVIDOS POR PROGRAMAO LINEAR

    O que ser visto a seguir a formulao de vrios problemas complicados da Programao

    Linear. O passo mais importante na formulao de um modelo a escolha apropriada das

    variveis de deciso. Se as variveis de deciso forem selecionadas adequadamente, a funo

    objetivo e as restries devem ser obtidas sem muita dificuldade. Problemas na determinao

    da funo objetivo e restries normalmente devido a uma escolha incorreta das variveis de

    deciso.

    4.5.1 Exemplo 1: Problema de programao do trabalho Muitas aplicaes de programao linear envolvem determinar o mnimo custo e satisfazer as

    necessidades de nmero de trabalhadores necessrios. O exemplo a seguir ilustra as

    caractersticas comuns para muitas destas aplicaes.

    Uma empresa de entregas necessita de diferentes nmeros de funcionrios durante os

    diferentes dias da semana. Os nmeros de funcionrios necessrios mostrado na tabela a

    seguir.

    Nmero de funcionrios necessrios Dia 1 = Segunda-feira 17 Dia 2 = Tera-feira 13 Dia 3 = Quarta-feira 15 Dia 4 = Quinta-feira 19 Dia 5 = Sexta-feira 14 Dia 6 = Sbado 16 Dia 7 = Domingo 11

    As leis do sindicado asseguram que os funcionrios devem trabalhar 5 dias consecutivos e 2

    de folga. Por exemplo, um funcionrio que trabalhou de Segunda a Sexta folga Sbado e

    Domingo. O escritrio quer funcionar apenas com funcionrios de tempo integral. Formular o

    problema de tal modo que a empresa possa minimizar o nmero de empregados de tempo

    integral que precisam ser contratados.

    4.5.2 Exemplo 2: Problema de oramento de capital Uma empresa de petrleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O

    fluxo de caixa e valor presente (em milhes de reais) so dados na tabela a seguir.

  • Curso de Pesquisa Operacional 34

    Inv. 1 Inv. 2 Inv. 3 Inv. 4 Inv. 5

    Desembolso

    instante 0

    11 53 5 5 29

    Desembolso

    instante 1

    3 6 5 1 34

    Valor

    presente

    13 16 16 14 39

    A empresa tem no momento $ 40 milhes para investir; e estima-se que no primeiro ano

    estaro disponveis $ 20 milhes para investimento. A empresa pode comprar qualquer frao

    de cada investimento. Neste caso, o fluxo de caixa e valor presente so ajustados de acordo

    com a proporo do investimento realizado. Por exemplo, se a empresa comprar 1/5 do

    investimento 3, ento o pagamento necessrio ser de 1/5 ($5) = $1 nos tempos 0 e 1. O valor

    presente do investimento 3 ser de 1/5 (16) = $3.2 milhes. A empresa quer maximizar o

    valor presente que pode ser obtido pelos investimentos realizados entre as opes 1 a 5.

    Formular o problema para atingir este objetivo. Assumir que qualquer fundo no usado no

    instante 0 no poder ser usado no primeiro ano (instante 1).

    4.5.3 Exemplo 3: planejamento financeiro de curto prazo

    Uma empresa eletrnica que fabrica gravadores e rdios, tem seus custos de mo de obra,

    matria prima e preo de venda de cada produto discriminados na tabela a seguir.

    Gravador Rdio

    Preo de venda 100 90

    Mo de obra 50 35

    Custo matria prima 30 40

    Em primeiro de dezembro de 98, a empresa ter matria prima que suficiente para fabricar

    100 gravadores e 100 rdios. Na mesma data, o balancete previsto da empresa o mostrado a

    seguir, e a razo entre ativo circulante e as suas obrigaes (dvida com banco) ser 2

    (20000/10000).

  • Curso de Pesquisa Operacional 35

    Ativo circulante Obrigaes Caixa 10000

    Contas a receber 3000 Estoques 7000 Dvidas em bancos 10000

    A empresa precisa determinar quantos gravadores e rdios devero produzidos em Dezembro.

    A demanda alta o suficiente para garantir que todos os produtos fabricados sero vendidos.

    Todas as vendas so feitas a crdito, pagamentos por produtos fabricados em Dezembro no

    sero recebidos at primeiro de Fevereiro de 99. Durante Dezembro, a empresa ir receber

    $2000 e precisar pagar $1000 devido ao emprstimo bancrio e $1000 referente ao seu

    aluguel. Em primeiro de janeiro de 99, a empresa receber um carregamento de matria prima

    no valor de $2000, que ser pago em Fevereiro de 99. A gerncia decidiu que em primeiro de

    janeiro de 99 precisa ter pelo menos $4000 em caixa. Tambm o banco exige que a razo

    entre dinheiro disponvel e financiamento seja de pelo menos 2. Para maximizar o lucro da

    produo em Dezembro, o que deveria empresa produzir durante este ms?

    4.5.4 Exemplo 4: problema de Blending (mistura) Uma refinaria produz 3 tipos de gasolina (gasolina 1, gasolina 2 e gasolina 3). Cada tipo

    produzida pela mistura de 3 tipos de petrleo (petrleo 1, petrleo 2 e petrleo 3). Os preos

    de venda por barril da gasolina e da compra de petrleo so:

    Preo de venda por

    barril Preo de compra por

    barril Gasolina 1 70 Petrleo 1 45 Gasolina 2 60 Petrleo 2 35 Gasolina 3 50 Petrleo 3 25

    A refinaria pode comprar at 5000 barris de cada tipo de petrleo por dia. Os 3 tipos de

    gasolina se diferem na octanagem e no enxofre presente. O petrleo misturado para fabricar a

    gasolina 1 precisa ter uma octanagem mdia de pelo menos 10 e conter quando muito 1% de

    enxofre. O petrleo misturado para fabricar a gasolina 2 precisa ter uma octanagem mdia de

    pelo menos 8 e conter quando muito 2% de enxofre. O petrleo misturado para fabricar a

    gasolina 3 precisa ter uma octanagem mdia de pelo menos 6 e conter quando muito 1% de

    enxofre. A taxa de octanagem e de enxofre que contm os 3 tipos de petrleo so as seguintes:

  • Curso de Pesquisa Operacional 36

    Octanagem Enxofre Petrleo 1 12 0.5% Petrleo 2 6 2% Petrleo 3 8 3% Custa $4 para transformar 1 barril de petrleo em 1 barril de gasolina, e a refinaria pode

    produzir at 14000 barris por dia. Os clientes da refinaria necessitam das seguintes quantias

    de cada tipo de gasolina: gasolina 1 3000 barris por dia; gasolina 2 2000 barris por dia;

    gasolina 3 1000 barris por dia. A empresa considera sua obrigao atender a estas

    demandas. A empresa tambm tem a opo de propagandas para estimular a demanda por

    seus produtos. Cada 1$ gasto diariamente em propaganda de um tipo particular de gasolina

    incrementa a demanda diria desta gasolina em 10 barris. Por exemplo, se a refinaria decide

    gastar $20 diariamente para divulgar a gasolina 2, o aumento da demanda diria desta

    gasolina ser de 200 barris. Formular o problema para que a refinaria maximize seu lucro

    dirio.

    Usando Programao Linear para resolver problemas de deciso multi perodos At aqui, todas as formulaes discutidas so exemplos estticos, ou modelos de 1 perodo.

    Nos modelos estticos, se assume que todas as decises so feitas em um simples instante do

    tempo. Nos exemplos a seguir ser mostrado como a Programao Linear pode ser usada para

    determinar decises timas em multi perodos, ou modelos dinmicos. Modelos dinmicos

    aparecem quando o decisor toma decises em mais de um ponto do tempo. Em um modelo

    dinmico, decises tomadas durante o perodo de tempo corrente influem em decises de

    perodos futuros. Por exemplo, considere uma empresa que precisa determinar quantas

    unidades de um produto devem ser fabricadas cada ms. Se ele produzir uma quantidade

    grande no ms corrente, poderia reduzir o nmero de unidades a produzir nos meses futuros.

    Os 3 prximos exemplos ilustram como decises iniciais afetam decises posteriores.

    4.5.5 Exemplo 5: Um modelo de estoques Uma empresa de barcos precisa determinar quantos veleiros devem ser produzidos durante

    cada um dos 4 prximos trimestres. A demanda de cada um dos trimestres : primeiro

    trimestre, 40 veleiros; segundo trimestre, 60 veleiros; terceiro trimestre, 75 veleiros; quarto

    trimestre, 25 veleiros. A empresa quer atender a demanda prontamente. No incio do primeiro

    trimestre, a empresa tem 10 veleiros em estoque. No incio de cada trimestre, a empresa

  • Curso de Pesquisa Operacional 37

    precisa decidir quantos veleiros devem ser produzidos durante o trimestre. Por simplicidade,

    assume-se que os veleiros fabricados durante um trimestre podem ser usados para atender a

    demanda deste trimestre. Durante cada trimestre, a empresa pode produzir at 40 veleiros com

    sua mo de obra regular a um custo de $ 400 por veleiro. Tendo de trabalhar com horas extras

    durante o trimestre, a empresa pode produzir veleiros a mais a um custo total de $ 450 por

    barco.

    No final de cada trimestre (aps ter ocorrido a produo e a demanda do trimestre ter sido

    atendida), um custo de transporte ou armazenagem de $ 20 por barco ocorre. Usar a

    programao linear para determinar a seqncia de produo para minimizar a soma dos

    custos de produo e estoques durante os 4 prximos trimestres.

    4.5.6 Exemplo 6: Modelos de financiamento multi perodo O exemplo a seguir ilustra como a programao linear pode ser usada para problemas de

    gerenciamento de fluxo de caixa. A chave determinar as relaes de dinheiro nas mos

    durante diferentes perodos.

    Uma empresa de investimentos precisa determinar a estratgia de investimento para os

    prximos 3 anos. Atualmente a empresa tem $100.000 disponvel para investir. Os

    investimentos A, B, C, D e E esto disponveis. O fluxo de caixa associado com investir $1

    em cada opo dado na tabela a seguir.

    0 1 2 3 A -$1 $0.50 $1 $0 B $0 -$1 $0.50 $1 C -$1 $1.2 $0 $0 D -$1 $0 $0 $1.9 E $0 $0 -$1 $1.5

    Por exemplo, 1$ investido na opo B requer um pagamento de $1 no ano 1 e retorna $0.50

    no ano 2 e $1 no ano 3. Para assegurar que o portiflio da empresa seja diversificado, a

    poltica da empresa a de aplicar at $ 75.000 em um nico investimento. Adicionalmente

    aos investimentos A-E, a empresa pode obter taxas de 8% ao ano mantendo o dinheiro no

    investido em fundos do mercado. Ganhos dos investimentos podem ser imediatamente

  • Curso de Pesquisa Operacional 38

    reinvestidos. Por exemplo, o dinheiro recebido no ano 1 do investimento C pode ser

    imediatamente reinvestido na opo B. A empresa tem como diretriz no emprestar dinheiro

    de fundos, assim o dinheiro disponvel para investimento a qualquer tempo limitado ao

    disponvel. Formular a programao linear que maximiza o dinheiro em mos no ano 3.

    4.5.7 Exemplo 7: Programao de trabalho multi perodo Em exemplo anterior foi visto que a programao linear poderia ser usada para programar

    funcionrios em um ambiente esttico onde a demanda no se altera. O exemplo a seguir,

    mostra como a programao linear pode ser usada para programar treinamento para

    funcionrios quando a empresa se depara com uma demanda que se altera.

    CLS uma cadeia de lojas de servios voltados para computadores. O nmero de horas de

    trabalho especializado que a CLS necessitar nos prximos 5 meses ser:

    Ms 1 (janeiro): 6000 horas;

    Ms 2 (fevereiro): 7000 horas;

    Ms 3 (maro): 8000 horas;

    Ms 4 (abril): 9500 horas;

    Ms 5 (maio): 11000 horas.

    No incio de Janeiro, 50 tcnicos faro parte do quadro de funcionrios da CLS. Cada tcnico

    pode trabalhar at 160 horas por ms. Para atender futuras demandas, novos tcnicos precisam

    ser treinados. necessrio um ms para se treinar um novo tcnico. Durante o ms de

    treinamento, o novo funcionrio precisa de ser supervisionado por um tcnico experiente por

    50 horas. Cada tcnico com experincia recebe $ 2000 por ms (mesmo se ele no trabalhar as

    160 horas). Durante o ms de treinamento, o novo funcionrio recebe $ 1000 por ms. No

    final de cada ms, 5% dos tcnicos experientes saem para se juntar a outra empresa de

    computadores. Formular o problema de tal modo que sua soluo permitir a CLS minimizar

    os custos relativos a pagamento de salrios atendendo a programao prevista para os

    prximos 5 meses.

  • Curso de Pesquisa Operacional 39

    4.6 SOLUO DE PROBLEMAS DE P.L. - MTODO SIMPLEX Nas formulaes anteriores, problemas com mais de 2 variveis no poderiam ser

    solucionados com o mtodo grfico. Desta forma necessrio o estudo de outro procedimento

    para a busca de solues.

    Agora, ser apresentado mais um procedimento geral para resoluo de problemas de

    programao linear, denominado "Mtodo Simplex" e que foi desenvolvido em1947 por

    George B. Dantzig.

    O mtodo simplex um mtodo interativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a

    soluo tima de um problema de P.L. .

    4.6.1 Teoremas Bsicos Teorema 1 - O conjunto de todas as solues compatveis do modelo de programao linear

    um conjunto convexo cujos vrtices (pontos extremos) correspondem a solues bsicas

    viveis.

    Teorema 2 - Se a funo objetiva possui um mximo (mnimo) finito, ento pelo menos uma

    soluo tima um ponto extremo do conjunto convexo do teorema 1.

    4.6.2 Procedimentos do Mtodo Simplex Supondo o seguinte problema para maximizao:

    Max z = 5X1 + 2X2

    Sujeito a:

    X1 3

    X2 4

    X1 + 2X2 9

    X1, X2 0

    A soluo grfica do problema a seguinte:

  • Curso de Pesquisa Operacional 40

    Sabe-se que a soluo tima do modelo uma soluo compatvel bsica do sistema, ou seja,

    um ponto extremo do polgono ABCDE.

    O mtodo simplex, para ser iniciado, necessita conhecer uma soluo compatvel bsica

    (soluo inicial) do sistema, isto , um dos pontos A, B, C, D ou E do trapzio. Suponha-se

    que essa soluo seja o ponto A.

    O mtodo simplex verifica se a presente soluo tima. Se for o processo est encerrado. Se

    no for tima, porque um dos pontos adjacentes fornece um valor maior que o ponto A.

    Neste caso, o mtodo simplex faz ento a mudana do ponto A para o ponto extremo

    adjacente que mais aumente o valor da funo objetivo. No caso o ponto B.

    Agora, tudo que foi feito para o ponto extremo A feito para o ponto extremo B. O processo

    finaliza quando se obtm um ponto extremo onde todos os pontos extremos a ele adjacentes,

    fornecem valores menores que a funo objetivo.

    Como fazer, algebricamente, a mudana de um ponto extremo para outro, a ele adjacente?

    Achar, portanto, a prxima soluo bsica (ponto extremo adjacente) exige a escolha de uma

    varivel bsica para deixar a base atual, tornando-se no bsica, e a escolha de uma varivel

    no bsica para entrar na base em sua substituio.

    O mtodo simplex compreender, portanto, os seguintes passos:

    1. Achar uma soluo compatvel bsica inicial.

    2. Verificar se o soluo atual tima. Se for, pare. Caso contrrio, siga para o passo III.

    3. Determinar a varivel no-bsica que deve entrar na base.

    4. Determinar a varivel bsica que deve sair da base.

    5. Achar a nova soluo compatvel bsica, e voltar ao passo II

    Pontos extremos

    X2

    X1

    E(0, 4) D(1, 4)

    C(3, 3)

    A(0, 0)

    B(3, 0) A B C D E

    Z

    ZB = 15

    ZE = 8

    ZD = 13

    ZC = 24

  • Curso de Pesquisa Operacional 41

    4.6.3 O Mtodo Simplex A seguir ser mostrado passo a passo o mtodo simplex.

    Definio Geral de Programao Linear:

    Maximizar ou Minimizar Z = C 1X 1 + C2 X2 + .... + Cn Xn sujeito a:

    a11X1 + a12X1 + ..........+ a1nXn ( ou = ou ) b1

    a21X1 + a22X1 + ..........+ a2nXn ( ou = ou ) b2

    a31X1 + a32X1 + ..........+ a3nXn ( ou = ou ) b3

    am1X1 + am2X1 + ..........+ amnXn ( ou = ou ) bm

    X1, X2, X3, Xn 0

    O Mtodo Simplex aplicado diretamente quando:

    1. todas as restries so bi

    2. todos os bi 0

    3. se quer maximizar Z

    Quando uma dessas condies no atendida estamos em presena de um caso particular.

    O Mtodo Simplex ser estudado, acompanhando a seguinte formulao:

    Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 5x3

    Sujeito a

    x1+ 2x2 + x3 430

    3x1 + 2x3 460

    xl + 4x2 420

    x1, x2, x3 0

  • Curso de Pesquisa Operacional 42

    Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas em um

    sistema de M equaes lineares.

    Para isso adiciona-se a cada uma das desigualdades uma varivel no-negativa chamada

    Varivel de Folga".

    Obs: Tem-se tantas variveis de folga quantos forem as restries.

    Representao das Folgas = xn+1 , xn+2 , ... , xn+m.

    Assim temos:

    x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430

    3x1 + 2x3 + x5 = 460

    xl + 4x2 + x6 = 420

    Segundo passo: Colocar as equaes em forma de tabela

    Z - 3x1 - 2x2 - 5x3 = 0

    x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430

    3x1 +2x3 + x5 = 460

    xl + 4x2 + x6 = 420

    Terceiro passo: Determinar uma soluo inicial vivel.

    Pode ser demonstrado que a soluo tima de um problema de programao linear uma

    soluo bsica. Uma soluo bsica para um sistema de M equaes e N incgnitas.

    Possui M variveis diferentes de O (zero) e (N - M) variveis iguais a 0 (zero). As variveis

    diferentes de 0 (zero) so chamadas "Variveis Bsicas" e aquelas iguais a 0 (zero) so as

    "Variveis No Bsicas".

    No Mtodo Simplex escolhe-se como variveis bsicas aquelas em cuja coluna aparece um

    valor igual a 1 e os demais iguais a 0 (zero).

    Quarto passo: verificar se a soluo tima.

    Examinar os valores dos coeficientes das Variveis no bsicas na la linha (no exemplo, linha

    de Z) e concluir:

    a. Se todos os valores forem positivos a soluo tima e nica.

    b. Se aparecerem valores positivos e alguns nulos a soluo tima mas no nica.

    c. Se aparecer algum valor negativo a soluo no tima. Deve-se, ento executar o 5o

    passo.

  • Curso de Pesquisa Operacional 43

    Como pode se verificar na tabela a seguir, existem nmeros negativos na primeira linha,

    assim a soluo no tima, e precisa-se continuar os passos do mtodo.

    Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.

    Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3

    Quinto passo: Determinar a varivel que entra (xe )

    A varivel que entra deve satisfazer as seguintes condies:

    - ser igual a 0 (zero) na soluo atual (ou seja deve ser no bsica)

    - ter coeficiente menor ou igual a 0 (zero) na linha de Z (na la linha)

    - possuir em sua coluna, pelo menos um coeficiente positivo. Escolher para entrar na base

    aquela que apresentar, na linha de Z, o coeficiente negativo de maior valor absoluto. Marcar a

    coluna na tabela.

    Sexto passo: Determinar a varivel que sai (xs).

    Calcula-se o valor de bi/aie para cada linha da tabela e escolhe-se para sair a varivel para a

    qual o quociente tiver o menor valor no negativo.

    Marcar na matriz a linha de xs. O quinto e sexto passos podem ser vistos nesta tabela:

    Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3

    Stimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as operaes convenientes

    nas linhas da matriz.

    Os coeficientes da nova matriz podem ser calculados da seguinte maneira:

    10 - Dividir todos os elementos da linha marcada pelo piv (esta linha no muda mais).

    entra

    sai Piv

  • Curso de Pesquisa Operacional 44

    20 - Multiplicar a linha marcada pelo fator Fi= aie / ase Subtrair a linha i da matriz, da linha marcada e multiplicada pelo fator Fi.

    30 - Substituir na coluna base a varivel que sai pela varivel que entra.

    O resultado destas operaes na tabela anterior resulta em:

    Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. Z 1 4.5 -2 0 0 2.5 0 1150 0 X4 0 -0.5 2 0 1 -0.5 0 200 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 ind. 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 105 3

    Como na primeira linha da coluna de X2 aparece um nmero negativo, a soluo ainda no a

    tima.

    Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 40 ao 70, tantas vezes quanto forem necessrias, at

    que a soluo tima seja encontrada. O resultado final da tabela anterior aparece na prxima

    iterao, e como no existem mais nmeros negativos na primeira linha a soluo tima. O

    resultado mostrado a seguir.

    Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.

    Z 1 4 0 0 1 2 0 1350 0 X2 0 -0.25 1 0 0.5 -0.25 0 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 2 X6 0 2 0 0 -2 1 1 20 3

    O mximo Z 1350, para X2 = 100, X3 = 230 e X6 = 20.

    4.6.4 EXEMPLO - Resolver o problema do GIAPETTO pelo simplex.

  • Curso de Pesquisa Operacional 45

    Resolvendo o problema deGiapetto pelo simplex

    max Z = 3X1 + 2X2 (1)sujeito a:

    2X1 + X2 =0

    max Z = 3X1 + 2X2 (1)sujeito a:

    2X1 + X2 + X3 = 100 (2) X1 + X2 + X4 = 80 (3) X1 + X5 = 40 (4) X1, X2, X3, X4 e X5 >=0

    Variveis no bsicas: X1 = X2 = 0Variveis bsicas: X3 = 100 X4 = 80 X5 = 40

  • Curso de Pesquisa Operacional 46

    O problema pode ser representado assim:

    Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazoBase 1 -3 -2 0 0 0 0 (1)X3 0 2 1 1 0 0 100 (2)X4 0 1 1 0 1 0 80 (3)X5 0 1 0 0 0 1 40 (4)

    Pivo

    100/2=5080/1=8040/1=40

    Indica que X1 entra nolugar de X5

    Soluo parcial: (0, 0, 100, 80, 40)

    Prximo quadro - Base: X3, X4 e X1

    Devem se colocadas na forma cannica

    Pivo

    Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazoBase 1 0 -2 0 0 3 120 (1)+3(4) (1)X3 0 0 1 1 0 -2 20 (2)-2(4) (2)X4 0 0 1 0 1 -1 40 (3)-(4) (3)X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)

    Ainda no a soluo tima

    20/1=2040/1=40

    40/0

    Indica que X2 entra nolugar de X3

    Soluo parcial: (40, 0, 20, 40, 0)

    Prximo quadro - Base: X2, X4 e X1

    Devem se colocadas na forma cannica

    Ainda no a soluo tima Pivo

    -102040

    Indica que X5 entra nolugar de X4

    Soluo parcial: (40, 20, 0, 20, 0)

    Prximo quadro - Base: X2, X5 e X1

    Devem se colocadas na forma cannica

    Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazoBase 1 0 0 2 0 -1 160 (1)+2(2) (1)X2 0 0 1 1 0 -2 20 (2) (2)X4 0 0 0 -1 1 1 20 (3)-(2) (3)X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)

  • Curso de Pesquisa Operacional 47

    soluo tima

    Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazoBase 1 0 0 1 1 0 180 (1)+(3) (1)X2 0 0 1 -1 2 0 60 (2)+2(3) (2)X5 0 0 0 -1 1 1 20 (3) (3)X1 0 1 0 1 -1 0 20 (4)-(3) (4)

    Valor mximo possvelpara a funo objetivo

    Soluo tima: (20, 60, 0, 0, 20)

    A restrio 4 tem um folga de 20

    max Z = 3X1 + 2X2 (1)sujeito a:

    2X1 + X2 + X3 = 100 (2) X1 + X2 + X4 = 80 (3) X1 + X5 = 40 (4) X1, X2, X3, X4 e X5 >=0

    Soluo do problema deGiapetto pelo simplex

    Soluo tima: (20, 60, 0, 0, 20) Z = 3*20 + 2*60 = 180

    A restrio 4 tem um folga de 20

    Resolver pelo Simplex a seguinte formulao:

    max Z = 5X1 +2X2

    sujeito a:

    X1 3

    X2 4

    X1 + 2X2 9

    X1 0

    X2 0 4.6.5 Procedimento para minimizar Z Se as variveis de deciso forem os custos, por exemplo, nosso objetivo ser minimiz-lo.

  • Curso de Pesquisa Operacional 48

    O mtodo empregado na minimizao converter o problema em um equivalente, envolvendo

    maximizao, procedendo-se, ento da maneira usual do simplex. Esta converso consiste em

    maximizar, negativamente, a funo objetivo original. Ento, se funo objetivo (FO) tratar

    de minimizar Z, resolve-se o problema para mximo (-Z); isto , troca-se o sinal da FO e

    mantm-se inalteradas as inequaes (e/ou equaes) resolvendo-se o problema de modo

    convencional. Determinado (-Z), troca-se seu sinal.

    Resolver pelo Simplex as seguintes formulaes:

    1) min Z = 2X1 - 3X2

    sujeito a:

    X1 + X2 4

    X1 - X2 6

    X1 0

    X2 0

    2) min Z = 4X1 - X2

    sujeito a:

    2X1 + X2 8

    X2 5

    X1 - X2 4

    X1 0

    X2 0

    4.7 O MTODO BIG M O Mtodo simplex explicado diretamente quando:

    1. Todas as restries so bi

    2. Todos os bi 0

    3. Se quer maximizar Z

    Quando uma dessas condies no satisfeita estamos em presena de um caso particular.

    4.7.1 Procedimento a aplicar quando as restries so () ou (=) bi, sendo todos os bi 0 Obs: Sempre que os bi de alguma restrio for negativo, multiplicar a respectiva restrio por

    (-1). Exemplo:

  • Curso de Pesquisa Operacional 49

    x1 - 4x2 + 2x3 - 23 -x1 + 4x2 2x3 23

    Quando as restries so () ou (=) a bi, no temos uma base, isto , uma soluo inicial,

    conforme mostrado Simplex. Neste caso, usa-se as tcnicas (ou mtodos):

    a) Mtodo "Big M" ou "Mtodo das penalidades";

    b) Mtodo das duas fases ou Mtodo da funo objetivo artificial.

    4.7.2 O mtodo Big M Para empregar o mtodo Big M, procede-se da seguinte maneira:

    1. Acrescenta-se as variveis de folga as restries do tipo () ou () para torn-las

    equaes. No caso ( ) soma-se, no () subtra-se a varivel de folga.

    2. No caso de restries () ou (=) a bi, bi 0; adiciona-se s restries mais uma varivel

    no negativa, chamada varivel de artificial (X1a), uma para cada restrio que for

    necessria. A adio das variveis artificiais s equaes causa uma violao das

    respectivas restries. Esta violao contornada, assegurando-se que estas variveis

    artificiais sejam iguais a zero na soluo final. Isto feito atribuindo-se uma penalidade

    muito grande para estas variveis artificiais na funo objetivo. Tal penalidade ser

    designada por (-M) para os problemas de maximizao, sendo M > 0.

    3. Substitui-se as variveis artificiais da FO, pelo seu valor tirado das equaes restritivas

    onde aparecem.

    4. Procede-se da maneira usual do Simplex.

    Obs: Se a varivel artificial for diferente de zero na soluo final, o problema no tem

    soluo.

    Resolver as seguintes formulaes:

    1) min Z = 2X1 +3X2

    sujeito a:

    1/2X1 + 1/4X2 4

    X1 + 3X2 20

    X1 + X2 = 10

    X1 0

    X2 0

    2) min Z = 2X1 +3X2

  • Curso de Pesquisa Operacional 50

    sujeito a:

    2X1 + X2 4

    X1 - X2 -1

    X1 0

    X2 0

    4.7.3 O Mtodo das duas fases Primeira fase: formular um novo problema, trocando a funo objetivo original por uma

    artificial, representada pela soma das variveis artificiais. Como o objetivo tornar nulas

    todas as variveis devemos minimizar, primeiramente, a funo objetivo artificial W,

    levando-se em conta os seguintes fatos, no algoritmo simplex:

    a. A FO W;

    b. A FO Z do problema principal tratada como qualquer outra varivel durante a operao

    de pivotagem;

    c. A deciso a respeito da varivel que sai da base no inclui a linha correspondente a Z.

    Resolvido o simplex para o problema artificial e obtida a soluo tima, W = W , encerra-se a

    primeira fase do processo.

    Neste caso, tem-se duas hipteses:

    1a) W > O : neste caso o problema principal no tem soluo;

    2a) W = O : existe uma soluo inicial para o problema principal. Passa-se a segunda fase.

    Segunda Fase: Inicia-se a segunda fase tomando-se as seguintes providncias:

    a. suprime-se todas as variveis artificiais;

    b. suprime-se a funo objetivo artificial e trabalha-se com a funo objetivo do problema

    principal.

    Resolver as formulaes do item anterior, e a proposta a seguir pelo mtodo das duas fases.

    max Z = -1X1 +2X2

    sujeito a:

    X1 + X2 2

  • Curso de Pesquisa Operacional 51

    -1X1 + X2 1

    X2 3

    X1 0

    X2 0

  • Curso de Pesquisa Operacional 52

    5 - SOFTWARES COMPUTACIONAIS A utilizao de programao linear recomendada para problemas de maior porte, em que

    muitas variveis e restries devem ser consideradas. Por isso, o desenvolvimento de

    algoritmos computacionais eficientes e precisos tm sido a maior preocupao entre os

    pesquisadores. Programas adequados existem, virtualmente, para cada sistema computacional

    comercial desenvolvido nos ltimos 20 anos.

    Problemas de grande porte requerem sistemas computacionais potentes e, portanto, sistemas

    paralelos tm sido utilizados nos ltimos anos. Entretanto, problemas menores podem ser

    resolvidos em um computador pessoal utilizando um dos softwares desenvolvidos para

    resoluo de problemas de programao linear, como por exemplo XPress-MP LINDO e

    MINOS.

    Para problemas considerados mdios, recomendvel a utilizao de planilhas eletrnicas

    com recursos para resoluo de problemas. Exemplos destas planilhas so o "What's Best?"

    (LINDO Systems) para Lotus 1-2-3, o Microsoft Excel e Borland Quattro e ainda o solver

    para microsoft Excel. Todos eles so ferramentas poderosas, apesar de sua aparncia simples.

    O Solver do Excel ser utilizado em alguns exemplos apresentados. Outro programa que

    tambm ser visto o LINDO.

    O instituto de pesquisa operacional e cincias administrativas (INFOR-MS) publica,

    eventualmente, pesquisas sobre os softwares de programao matemtica em seu peridico

    OR/MS Today. O relatrio de 1995 apresenta softwares que rodam em computadores pessoais

    e destaca softwares capazes de atacar problemas maiores tanto quanto extenses de planilhas

    eletrnicas.

    5.1 Uma introduo ao uso do LINDO LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) foi desenvolvido por Linus Schrage

    (1986). Ele um programa de computador que pode ser usado para resolver problemas de

    programao linear, inteira e quadrtica. Para ilustrar seu uso, vamos usar o exemplo de

    Giapetto, discutido anteriormente, e que foi sintetizado na seguinte formulao:

  • Curso de Pesquisa Operacional 53

    O programa executvel tem o nome LINDO.EXE, apesar dele ser originalmente desenvolvido

    para o ambiente DOS, pode-se execut-lo pelo WINDOWS. O LINDO assume que todas as

    variveis so no negativas, e as restries adicionais no precisam ser fornecidas.

    5.1.1 Comandos do LINDO So os seguintes os comandos do LINDO:

    MAX entrada inicial para o problema de maximizao;

    MIN entrada inicial para o problema de minimizao;

    END finalizao da formulao, deixando o LINDO pronto para aceitar outros comandos;

    GO resolve a formulao corrente e apresenta a soluo;

    LOOK mostra seleo estabelecida da atual formulao;

    ALTER altera um elemento da formulao corrente;

    EXT soma uma ou mais restries ao modelo;

    DEL retira uma ou mais restries do modelo;

    DIVERT sada para um arquivo, de tal forma que possa ser impresso;

    RVRT finaliza o comando DIVERT;

    SAVE salva uma formulao, de tal forma que possa ser recuperada para uso futuro;

    RETRIEVE recupera um arquivo anteriormente salvo;

    EDIT chama o editor do programa;

    SOLU mostra a soluo da formulao (usar o comando GO antes do SOLU);

    TABLEAU mostra a tabela da formulao pelo simplex;

    TAKE habilita o LINDO a trabalhar com arquivos gerados por outros editores.

    Uma lista completa dos comandos pode ser obtida atravs do comando COMMAND.

    max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a: 2X1 + X2

  • Curso de Pesquisa Operacional 54

    5.1.2 Usando o LINDO O programa assume que todas as variveis precisam ser no negativas. Assim, usando o

    programa no necessrio digitar as variveis de no negatividade. Para entrar com ou ,

    basta digitar > ou

  • Curso de Pesquisa Operacional 55

    Para verificar o resultado do problema, basta digitar GO. Para obter uma impresso preciso

    criar um arquivo e imprimir este arquivo. Isto realizado com o comando DIVERT.

    Para resolver o problema, basta usar GO. Apenas a soluo tima mostrada na tela, mas a

    soluo inteira pode ser vista no arquivo de sada para impresso. Em seguida o programa

    pergunta se desejo fazer uma anlise de sensibilidade. Digitar NO ou YES. Para sair do

    programa necessrio digitar QUIT.

    Qualquer problema no uso do programa, o comando HELP fornece algumas informaes.

    Finalmente, o LINDO no aceita parnteses e virgulas. Assim 400(X1+X2) precisa ser

    digitado como 400X1+400X2.

    5.1.3 O editor do LINDO Em verses mais novas do LINDO usando o comando EDIT, um editor para corrigir e

    verificar a formulao inteira uma ferramenta bastante interessante. Neste editor as teclas

    tem as seguintes funes:

    Home manda o cursor para o inicio da formulao;

    End manda o cursor para o fim da formulao;

    PgUp movimenta uma pgina a frente;

    PgDn movimenta uma pgina a trs;

    Setas movimenta o cursor de uma posio;

    Esc sai do editor;

    Del apaga caracter;

    Backspace apaga o caracter a esquerda do cursor;

    Enter muda o texto a direita para a prxima linha;

    Crtl seta direita manda o cursor para o fim da prxima palavra;

    Crtl seta esquerda manda o cursor para o fim da palavra anterior;

    Crtl-S move o cursor para o incio da linha;

    Crtl-E move o cursor para o fim da linha;

    5.2 UTILIZANDO O SOLVER DO EXCEL Como foi dito anteriormente, a aplicao de programao linear no mais limitada pela

    necessidade de um software especialista. Planilhas eletrnicas geralmente possuem

    ferramentas que podem ser utilizados para atacar problemas de programao linear de

  • Curso de Pesquisa Operacional 56

    tamanho considervel. Talvez as duas planilhas mais utilizadas sejam o Excel, que contm um

    opcional conhecido como solver, e o Lotus 1-2-3, que possui o mdulo What's best?. Ambos

    os sistemas so muito simples de serem utilizados e, embora sejam um pouco mais lentos que

    os softwares especialistas, podem resolver problemas de tamanho razovel. Existem, claro,

    alguns perigos na sua facilidade de uso, assim como existem armadilhas que devem ser

    evitadas quando modelos de programao linear so construdos e rodados, as quais podem

    ser encobertas neste software amigvel. Entretanto, a disponibilidade deste software algo

    passvel de ser elogiada.

    A discusso apresentada a seguir baseada no Microsoft Excel v7. Verses mais recentes ou

    mais antigas deste software podero apresentar pequenas diferenas na estrutura, mas as

    idias bsicas so as mesmas.

    5.2.1 Formulao para o Solver Na base de qualquer modelo de programao linear existe um conjunto de restries s quais

    uma funo objetivo a ser otimizada est submetida. O exemplo simples de Giapetto foi

    formulado anteriormente, neste captulo, atravs das equaes algbricas representadas a

    seguir:

    Max Z = 3X1+ 2X2

    Sujeita a:

    2X1 + X2 100

    X1 + X2 80

    X1 40

    Funo objetivo

    Restrio quanto a tempo de acabamento

    Restrio quanto a tempo de carpintaria

    Restrio de venda mxima de soldados

    Estas equaes podem ser representadas de maneira diferente, atravs da utilizao de

    matrizes. Esta representao est exposta a seguir:

  • Curso de Pesquisa Operacional 57

    X1 = nmero de soldados

    X2 = nmero de trens

    maximizar 3 2

    Sujeito as restries

    limite

    2 1 100

    1 1 80

    1 0 40

    Lucro bruto

    Soluo 0 0 0

    Com exceo da ltima linha, denominada soluo, as demais restries expostas nas matrizes

    j eram conhecidas. A linha de soluo representa os valores atribudos a X1 e X2 antes de

    qualquer otimizao. No estado atual, ambos X1 e X2 so definidos como zero, o que resulta

    em um lucro bruto de zero unidades.

    O primeiro estgio de uso Solver escrever esta matriz na planilha, como apresentado na

    Figura 1. Como em qualquer planilha, muito importante observar que algumas clulas

    contm valores constantes, mas outras contm frmulas as quais assumem os valores que so

    exibidos nas mesmas. Neste exemplo, as clulas D4, D5, D6 e E8 contm frmulas. As

    demais contm textos, que so utilizados para deixar o exemplo mais claro, ou contm

    valores.

    Figura 1 - Formulao bsica do problema.

  • Curso de Pesquisa Operacional 58

    Uma rpida explicao da Figura 1 dada abaixo:

    1. Neste exemplo, as colunas B e C possuem os valores dos coeficientes das expresses

    utilizadas na formulao algbrica e na tabela anteriormente.

    2. A linha 2 contm os valores dos coeficientes da funo objetivo (2 e 1).

    3. As linhas 4 a 6 apresentam os valores dos coeficientes das restries descritas

    anteriormente.

    4. A linha 8 contm os valores dados inicialmente para X1 e X2 antes de qualquer

    otimizao.

    5. A coluna D possui suas linhas com valor zero, porm suas clulas representam a utilizao

    das trs restries. Assim, a clula D4 contm a frmula:

    = $B$8*$B4 + $C$8*$C4

    Observe que as referncias s clulas B10 e C10 so ambas absolutas. Assim, esta frmula

    estendida da clula D4 a D6 dada por:

    D4 = $B$8*$B4 + $C$8*$C4

    D5 = $B$8*$B5 + $C$8*$C5

    D6 = $B$8*$B6 + $C$8*$C6

    A coluna E foi utilizada para que os limites mximos e mnimos das restries fossem

    observados, a qual freqentemente conhecida como right-hand-sides (abreviada como RHS

    por muitas pessoas). Assim, existe um limite de 100 horas para acabamento, de 80 horas para

    carpintaria e venda mxima de 40 soldados. A coluna D, como mencionado anteriormente,

    usada para armazenar a utilizao atual dos recursos. Assim, a clula D4 representa a

    quantidade da restrio horas de acabamento que foi utilizada e seu valor zero, uma vez que

    as clulas B8 e C8 contm valor zero antes de qualquer otimizao.

    Finalmente, uma clula da planilha deve ser utilizada para armazenar o resultado da

    otimizao (neste caso, o valor do lucro semanal obtido); nesta planilha, este valor est

    contido na clula E8.

  • Curso de Pesquisa Operacional 59

    5.2.2 Janela de Parmetros do Solver Utilizando os botes do mouse ou o teclado, devemos selecionar o Solver a partir do menu de

    ferramentas do Microsoft Excel. A Figura 2 apresenta a janela que ir aparecer na tela. Esta

    janela de parmetros do Solver utilizada quando o usurio fornece ao Solver as informaes

    necessrias para que o mesmo busque a soluo otimizada.

    Figura 2 Janela de parmetros do Solver.

    Para chegarmos soluo tima do exemplo, o Solver precisa das seguintes informaes:

    1. Onde o valor da funo objetivo ser armazenado? Este valor representa o resultado da

    otimizao dado pela combinao de valores de X1 e X2 determinada. Neste caso, o

    resultado ser armazenada na clula E8. Isto significa que a clula E8 deve conter a

    frmula apropriada para a otimizao, a qual, neste caso, dada por: = $B$2*$B$8 +

    $C$2*$C$8. Observe que as clulas de referncia so absolutas - o que recomendvel,

    porm no necessrio.

    2. Quais so as restries e que forma as mesmas possuem? Para fornecer estas informaes

    para o Solver, clique no boto adicionar da subjanela de restries da janela dos

    parmetros do Solver. Uma caixa de dilogo, como a apresentada na Figura 3, ir

    aparecer. Neste caso, a caixa de dilogo corresponde primeira restrio, a restrio das

    horas de acabamento, a qual possui seus coeficientes nas clulas B4 e C4 e sua expresso

    est contida na clula D4. Assim, a clula $D$4 deve ser digitada na caixa referncia de

    clula, uma vez que a mesma contm a expresso da restrio. Esta restrio do tipo

    menor ou igual a, assim devemos selecionar este smbolo da caixa central da janela.

  • Curso de Pesquisa Operacional 60

    Finalmente, o valor mximo para esta restrio encontra-se na clula $E$4 e esta clula

    deve ser indicada na caixa esquerda da janela. Aperte o boto OK e a caixa de dilogo

    ir fechar-se retornando janela de parmetros do Solver. Cada uma das restries deve

    ser descrita do mesmo modo como a anterior.

    Figura 3 - Janela para entrada das restries.

    3. Quais clulas iro conter os valores de X1 e X2, os quais sero modificados at que se

    otimize a funo objetivo, e qual tipo de otimizao deve-se procurar? Esta informao

    deve ser fornecida pelo usurio atravs da janela de parmetros do Solver. As clulas

    cujos valores sero variados so a B8 e a C8 e, como mostra a Figura 4, devem ser

    descritas como clulas de referncia na caixa clulas variveis. Como se busca a

    maximizao destas variveis, a opo Mx deve ser selecionada.

    Figura 4 - Entrada das clulas que iro variar para que a soluo tima seja encontrada

    (clulas variveis).

    Antes de executar a otimizao, interessante informar ao Solver que todas as restries so

    expresses lineares, assim como a funo objetivo. Estas informaes devem ser fornecidas,

    pois estamos tratando de um problema de programao linear. Para entrar com esta

  • Curso de Pesquisa Operacional 61

    informao, clique o boto opes da janela dos parmetros do Solver. Uma nova janela ir

    aparecer onde a opo presume modelo linear deve ser selecionada. Isto ir aumentar a

    velocidade da otimizao e, tambm, far com que os relatrios fornecidos sejam adaptados

    para o formato de problemas de programao linear (veja a seguir). Para executar a otimizao, retorne janela de parmetros do Solver e aperte o boto resolver. A Figura 5

    apresenta o resultado da otimizao.

    Figura 5 - Soluo do problema

    importante observar que muitas outras informaes, alm do valor timo das variveis

    estudadas, podem ser obtidas a partir da soluo fornecida para um problema de programao

    linear. Um bom pacote computacional como o Solver fornece relatrios que ajudam o usurio

    a entender muito mais sobre a soluo apresentada. O Solver fornece trs relatrios padro e

    permite que sua soluo seja exportada para outro pacote se uma anlise mais detalhada for

    necessria.

    5.2.3 O Relatrio de Resultados do Solver O relatrio resume os resultados da pasta de trabalho e tambm fornece algumas informaes

    a mais. Estas informaes extras podem ser calculadas pelo usurio, mas importante guard-

    las em algum lugar. O relatrio da otimizao para o problema apresentado mostrado na

    Figura 6 e possui trs partes, como descrito abaixo:

  • Curso de Pesquisa Operacional 62

    Clula de destino (Mximo): apresenta o mximo lucro obtido pelo Solver. Se este fosse

    um problema de minimizao, esta seo iria conter o valor mnimo.

    Clulas ajustveis: mostram as variveis de entrada, seus valores aps a soluo tima e

    seus valores iniciais (zero, neste caso).

    Restries: indicam a utilizao de cada um dos recursos ao final da otimizao. A coluna de

    status classifica as restries como obrigatria (restrio com utilizao mxima) ou no-

    obrigatria, estas ltimas so as que apresentam algum recurso que no foi utilizado -

    indicado pelo valor diferente de zero na coluna diferencial (slacks - folgas).

    Os outros dois relatrios fornecem mais informaes sobre a sensibilidade da soluo tima,

    informaes que podem ser importantes por vrias razes. Primeiro, porque so raros os casos

    de programao matemtica em cincias administrativas nos quais todos os coeficientes ou

    valores do modelo so conhecidos com preciso. Geralmente, alguns coeficientes so

    conhecidos e vrios sero aproximaes, estimativas ou at mesmo hipteses. O que fazer, se

    os valores tomados forem errados? Qual ser o efeito destes erros na soluo? Assim, uma

    soluo alternativa no to tima pode ser, algumas vezes, melhor que uma soluo tima que

    se toma sensvel aos valores atribudos aos coeficientes. A segunda razo que torna

    importante a anlise de sensibilidade est relacionada idia de que o mundo dinmico e,

    por isso, as coisas esto mudando constantemente. Por exemplo, pode ser verdade que esta

    semana a matria-prima tenha um certo custo, porm, se o perodo observado for um ms,

    este custo pode ser diferente. Assim, importante conhecer quais so os efeitos que as

    mudanas nos coeficientes podem gerar na soluo tima.

    Figura 7 - Relatrio de resposta para o problema

  • Curso de Pesquisa Operacional 63

    6 - CASOS PARTICULARES NO SIMPLEX

    6.1 - CASO DE MLTIPLAS SOLUES Se um problema de PL (programao linear) tem mais de uma soluo, ns dissemos que o

    problema tem mltiplas solues alternativas. Vejamos como identificar isto no Simplex.

    A anlise ser feita atravs do seguinte problema: Um fabricante de mveis fornece os

    seguintes produtos: mesas, armrios e cadeiras. A fabricao de cada tipo de produto requer

    chapas de mogno e dois tipos de mo de obra, uma para acabamento e outra para carpintaria.

    A quantidade de recursos para cada tipo de produto dada na tabela abaixo.

    Recurso armrio mesa cadeira

    Mogno 8 m2 6 m2 1 m2

    Horas de acabamento

    4 2 1.5

    Horas de carpintaria

    2 1.5 0.5

    No momento, 48 m2 de chapas de mogno, 20 horas de acabamento e 8 horas de carpintaria

    esto disponveis. O armrio vendido por $60, a mesa por $35 e a cadeira por $20. A

    empresa acredita que a demanda por armrios e cadeiras seja ilimitada, mas que o mercado

    adquire no mximo 5 mesas. Uma vez que os recursos estejam disponveis, a empresa deseja

    maximizar o seu lucro. A formulao do problema a seguinte:

    Variveis de deciso:

    X1 = nmero de armrios a serem produzidos

    X2 = nmero de mesas a serem produzidas

    X3 = nmero de cadeiras a serem produzidas

    Max Z = 60X1 + 35X2 + 20X3 Sujeito a:

    8X1 + 6X2 + X3

  • Curso de Pesquisa Operacional 64

    2X1 + 1.5X2 + 0.5X3

  • Curso de Pesquisa Operacional 65

    Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 b razo

    base 1 0 0 0 0 10 10 0 280 X4 0 1.6 0 0 1 1.2 -5.6 0 27.2 27.2 X3 0 1.6 0 1 0 1.2 -1.6 0 11.2 11.2 X2 0 0.8 1 0 0 -0.4 1.2 0 1.6 1.6 X7 0 -0.8 0 0 0 0.4 -1.2 1 3.4 3.4

    Uma importante observao que devido a X2 ter coeficiente 0 (zero) na primeira linha da

    tabela de resultado timo, o fato de X2 entrar na base no muda a primeira linha. Isto significa

    que todas as variveis na nova primeira linha continuam com coeficientes positivos. Assim, a

    nova tabela tambm tima. Uma vez que o piv no mudou o valor de Z, uma soluo

    alternativa para o exemplo Z = 280, X4 = 27.2, X3 = 11.2, X2 = 1.6 e X1 = X5 = X6 = 0.

    Em resumo, a empresa pode obter um lucro de $280 fabricando 2 armrios e 8 cadeiras ou

    fabricando 1.6 mesas e 11.2 cadeiras. Assim, o problema tem mais de um ponto timo

    extremo. Cada ponto entre a linha que liga estes pontos tambm soluo.

    Quando a formulao tem apenas 2 variveis, como a formulao abaixo, esta situao

    facilmente identificada na soluo grfica, como mostra a figura do QM for Windows a

    seguir.

    Max Z = 3X1 + 2X2

    Sujeito a:

    1/40X1 + 1/60X2

  • Curso de Pesquisa Operacional 66

    6.2 - CASO DE SOLUO ILIMITADA Este caso ocorre quando a varivel que entra na base no possui em sua coluna nenhum

    coeficiente positivo. Os programas de computador apresentam a ltima soluo bsica antes

    que a soluo se torne ilimitada.

    Um caso de soluo ilimitada o seguinte:

    Max Z = 2X1 X2

    Sujeito a:

    X1 X2 = 6

    X1, X2 >= 0

    O grfico e soluo do problema pelo QM for Windows visto na figura a seguir.

    Na outra figura mostra-se que a varivel que vai entrar na base a X3, mas todos os

    coeficientes so negativos, configurando o caso de soluo ilimitada.

  • Curso de Pesquisa Operacional 67

    6.3 - PROBLEMA DA DEGENERAO No desenvolvimento do simplex, a linha piv a restrio que apresenta o menor quociente

    no negativo, na diviso dos termos independentes pelos coeficientes positivos da varivel

    que entra.

    Pode ocorrer que haja mais de um resultado nessas condies. Deve-se escolher

    arbitrariamente um deles para calcular a soluo. Entretanto, essa soluo apresentar

  • Curso de Pesquisa Operacional 68

    variveis bsicas com valor nulo. A sada de uma varivel bsica nula provoca o aparecimento

    de outra varivel bsica nula na soluo seguinte, sem alterao do valor do objetivo.

    Neste caso, a soluo chamada degenerada. Se os coeficientes da funo objetivo retornam

    no negativos em alguma iterao, o caso no apresenta dificuldade. O problema aparece

    quando a iterao leva a longos circuitos, sem caracterizar a soluo tima. Embora o caso

    seja raro, h maneiras de solucion-lo. Entretanto, a discusso deste caso no relevante a

    nvel deste curso.

    7 - ANLISE ECONMICA

    A anlise econmica baseia-se nos coeficientes das variveis, na funo objetivo final. Este

    tpico ser explicado atravs da anlise dos coeficientes do problema de Giapetto.

    Reconsiderando o problema de Giapetto.

    Max Z = 3X1 + 2X2

    Sujeito a:

    2X1 + X2

  • Curso de Pesquisa Operacional 69

    X1 + X5 = 40 (Restrio de demanda)

    X1, X2 >= 0

    X3 = sobra de horas de acabamento;

    X4 = sobra de horas de carpintaria;

    X5 = sobra de demanda.

    Soluo do problema: Z = 180, X1 = 20; X2 = 60 e X5 = 20. X1 e X2 significam a ordem de

    produo, 20 soldados e 60 trens devero ser produzidos. A ltima tabela (soluo tima)

    pode ser vista novamente a seguir.

    Z X1 X2 X3 X4 X5 b Base 1 0 0 1 1 0 180 X2 0 0 1 -1 2 0 60 X5 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 1 1 0 20

    As interpretaes do resultado sero feitas a seguir.

    1. X5 = 20 (varivel bsica) significa que Giapetto vai deixar de atender o mercado em 20

    unidades de soldados;

    2. X3 = 0 (varivel no bsica), mas seu coeficiente na tabela igual a 1. Esta varivel

    representa a folga da restrio de acabamento. O valor 1 do coeficiente, significa que para

    cada 1 hora a mais de acabamento, o lucro de Giapetto aumentar de 1. Este valor

    significa o adicional mximo que se pode pagar por hora adicional de acabamento.

    Analogamente 1 hora a menos, significa que o lucro diminuir de 1. O zero como

    resultado da varivel no bsica tambm significa que o recurso escasso, ou seja toda a

    disponibilidade dele necessria para que o resultado seja atendido;

    3. X4 = 0 (varivel no bsica), mas seu coeficiente na tabela igual a 1. Esta varivel

    representa a folga da restrio de carpintaria. O valor 1 do coeficiente, significa que para

    cada 1 hora a mais de acabamento, o lucro de Giapetto tambm aumentar de 1. Este valor

    significa o adicional mximo que se pode pagar por hora adicional de carpintaria.

    Analogamente 1 hora a menos de carpintaria, significa que o lucro diminuir de 1. O zero

    como resultado da varivel no bsica tambm significa que o recurso escasso, ou seja

    toda a disponibilidade dele necessria para que o resultado seja atendido;

  • Curso de Pesquisa Operacional 70

    4. X5 = 20 (varivel bsica), mas seu coeficiente na tabela igual a 0 (zero). O fato do

    coeficiente ser igual a 0, significa que o recurso no escasso (produo abaixo do

    mercado). Este resultado poderia Giapetto rever seus possveis investimentos em

    marketing para soldados. Tambm poderia fazer pens-lo em aumentar o preo do

    soldado, uma vez que a demanda maior que a oferta.

    Fazer anlise semelhante para o problema a seguir.

    No programa de produo do prximo perodo, uma determinada empresa escolheu 3

    produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na

    produo.

    Produto Lucro por unidade

    Horas de trabalho

    Horas de uso de mquina

    Demanda mxima

    P1 2100 6 12 800 P2 1200 4 6 600 P3 600 6 2 600

    Os preos de venda foram fixados por deciso poltica e as demandas foram estimadas tendo

    em vista estes preos. A empresa pode obter um suprimento de 4800 horas de trabalho

    durante o perodo de processamento e pressupe-se usar trs mquinas que podem prover

    7200 horas de trabalho. Estabelecer um programa timo de produo para o perodo. Analisar

    os coeficientes das variveis de folga da soluo final.

    8 - DUALIDADE

    Em determinadas situaes, a quantidade de clculos necessria para resolver um modelo

    linear pelo mtodo Simplex pode ser reduzida. O modelo inicial chamado Primal, pode ser

    substitudo por outro modelo chamado Dual, cuja soluo mais rpida. Ser mostrado que

    uma vez conhecida a soluo do Dual, conhece-se em conseqncia a soluo do Primal, o

    que resolve o problema.

    Seja o seguinte problema, que ser chamado de Primal:

    Max Z = 2X1 + 3X2 + X3

    Sujeito a:

  • Curso de Pesquisa Operacional 71

    3X1 + 4X2 + 2X3 = 2

    4Y1 + 6Y2 - Y3 >= 3

    2Y1 + Y2 Y3 >= 1

    Y1, Y2, Y3 >= 0

    De modo anlogo, para o problema de minimizao e sinais de >= no Primal, o Dual obtido

    como mostrado no exemplo a seguir.

    Primal:

    Min Z = 10X1 + 20X2 + 30X3

    Sujeito a:

    Varivel Dual

    3X1 + 2X2 + X3 >= 2 Y1

    4X1 + 6X2 - X3 >= 3 Y2

    2X1 + X2 X3 >= 1 Y3

    X1, X2, X3 >= 0

  • Curso de Pesquisa Operacional 72

    Dual:

    Max W = 2Y1 + 3Y2 + Y3

    Sujeito a:

    Termos da direita

    3Y1 + 4Y2 + 2Y3

  • Curso de Pesquisa Operacional 73

    Termos da direita

    2Y1 + Y2 + Y3 >= 3 Coeficiente de X1

    Y1 + Y2 >= 2 Coeficiente de X2

    Y1, Y2, Y3 >= 0

    A ltima tabela do Primal, com a soluo tima vista a seguir.

    Z X1 X2 X3 X4 X5 b Base 1 0 0 1 1 0 180 X2 0 0 1 -1 2 0 60 X5 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 1 1 0 20

    A ltima tabela do Dual, com a soluo tima vista a seguir.

    Z Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Ya1 Ya2 b Base -1 0 0 20 20 60 M-20 M-60 -180 Y1 0 1 0 1 -1 1 1 -1 1 Y2 0 0 1 -1 1 -2 -1 2 1

    Correspondncia:

    Coeficiente de X1 = 0 (var. deciso) Valor de Y4 = 0 (var. folga)

    Coeficiente de X2 = 0 (var. deciso) Valor de Y5 = 0 (var. folga)

    Coeficiente de X3 = 1 (var. folga) Valor de Y1 = 1 (var. deciso)

    Coeficiente de X4 = 1 (var. folga) Valor de Y2 = 1 (var. deciso)

    Coeficiente de X5 = 0 (var. folga) Valor de Y3 = 0 (var. deciso)

    Coeficiente de Y1 = 0 (var. deciso) Valor de X3 = 0 (var. folga)

    Coeficiente de Y2 = 0 (var. deciso) Valor de X4 = 0 (var. folga)

    Coeficiente de Y3 = 20 (var. deciso) Valor de X5 = 20 (var. folga)

    Coeficiente de Y4 = 20 (var. folga) Valor de X1 = 20 (var. deciso)

    Coeficiente de Y5 = 60 (var. folga) Valor de X2 = 60 (var. deciso)

    Valor de Z = 180 Valor de W = 180

  • Curso de Pesquisa Operacional 74

    8.1 - INTERPRETAO ECONMICA DO DUAL

    As variveis de deciso do Dual representam os recursos do Primal. Assim

    Y1 = 1, esta varivel de deciso representa a primeira restrio (acabamento)

    e seu valor o mesmo do coeficiente da varivel de folga X3 do Primal. Seu

    significado portanto que para cada unidade adicional do recurso

    acabamento o lucro ser incrementado de 1.

    Y2 = 1, esta varivel de deciso representa a segunda restrio (carpintaria)

    e seu valor o mesmo do coeficiente da varivel de folga X4 do Primal. Seu

    significado portanto que para cada unidade adicional do recurso

    carpintaria o lucro ser incrementado de 1.

    A funo objetivo Dual mede, ento, a capacidade do estoque de recursos

    gerar lucros.

    8.2 EXEMPLO Suponha que um problema de produo tenha como modelo:

    Max L = X1 + 0,3X2 + 3X3

    Sujeito a:

    X1 + X2 + X3

  • Curso de Pesquisa Operacional 75

    Onde Xi so as decises de fabricao dos produtos Pi e XFi as sobras dos recursos Ri no

    programa. O objetivo maximizar o lucro devido a produo e comercializao dos produtos.

    Responder as seguintes perguntas:

    1. Qual a soluo mostrada no quadro?

    2. Quais os recursos escassos?

    3. O que ocorreria se por um motivo de fora maior tivssemos que fabricar uma unidade de

    P1?

    4. Se algum quisesse adquirir uma unidade do recurso R1, voc estaria disposto a vender?

    Qual o preo que compensa a venda?

    5. Se algum insistir em comprar uma unidade do recurso R2, que preo de venda

    compensaria o fato dele ser escasso?

    6. Construa o modelo Dual do problema?

    7. Obter a soluo do Dual.

    8. O que significa a varivel dual Y1?

    9. O que mede a funo objetivo Dual?

    10. O que mede o lado esquerdo da Segunda restrio Dual? E o lado direito?

    11. Em termos de valores interno e externo, como podemos justificar a no fabricao de P2

    no programa?

    12. Em termos de valores interno e externo, como podemos justificar a fabricao de P3?

    13. Quanto voc pagaria por uma unidade adicional do recurso R2? Por que?

    14. Quanto voc pagaria por uma unidade adicional do recurso R3? Por que?

  • Curso de Pesquisa Operacional 76

    9 - ANLISE DE SENSIBILIDADE

    Anlise de sensibilidade se refere a como mudanas na formulao de um problema de

    programao linear, afeta a soluo tima. Reconsiderando o problema de Giapetto.

    Max Z = 3X1 + 2X2

    Sujeito a:

    2X1 + X2

  • Curso de Pesquisa Operacional 77

    anloga se a contribuio decrescer a deciso lgica seria a produo de apenas trens (X1 se

    tornaria no bsica). Ser mostrado a seguir como o valor de contribuio para o lucro pode

    variar e a soluo tima ainda permanecer.

    Seja C1 a contribuio para o lucro de cada soldado. Para quais valores de C1 a corrente

    soluo permanece tima?

    Na formulao C1 = 3 e cada linha reta que representa a funo objetivo igual a uma constante

    tem a seguinte equao: 3X1 + 2X2 = constante, ou X2 = -3/2 X1 + constante/2. Cada linha

    paralela tem o coeficiente angular igual a 3/2. Da figura anterior pode-se ver que uma

    mudana em C1 causa uma mudana na inclinao desta linha. Se esta inclinao for menor

    que a da restrio de carpintaria, a soluo tima passar a ser a do ponto A. Se a contribuio

    para o lucro de cada soldado C1, o coeficiente angular da reta ser - C1/2. Uma vez que o

    coeficiente angular da restrio de carpintaria 1, a reta que representa a funo objetivo

    ser menos inclinada que a d restrio de carpintaria se C1/2> -1, ou C1 < 2, e a nova

    soluo tima ser (0, 80), ponto A da figura anterior.

    Se a inclinao da reta for maior que a da restrio de acabamento a soluo ira do ponto B

    para o ponto C. O coeficiente angular da restrio de acabamento 2. Se C1/2 < -2, ou C1

    > 4, a soluo corrente deixa de ser tima e o ponto C (40, 20) passar a ser timo.

    Em resumo, foi mostrado que (se todos outros parmetros permanecerem inalterados) a

    soluo corrente permanece tima para 2

  • Curso de Pesquisa Operacional 78

    Se um problema de programao linear tiver mais de 2 variveis de deciso, as variaes

    possveis dos coeficientes da funo objetivo e do valores do lado direito das inequaes que

    no mudam a soluo, no pode ser identificadas graficamente. O clculo das faixas de

    variao de forma manual normalmente tediosa. Para evitar este problema, normalmente se

    usa programas de computadores. O resultado de sensibilidade no LINDO para o problema do

    Giapetto pode ser visto a seguir. Para se obter este resultado, basta aps o comando GO que

    nos trs a resposta do problema, responder com Y (yes) para a obteno das faixas de

    variao.

  • Curso de Pesquisa Operacional 79

    Como exemplo, o coeficiente de X1 na funo objetivo pode alterar entre 2 e 4, que a soluo

    continuaria sendo X1 = 20, X2 = 60 e X5 = 20. J X2 pode variar entre 1, 5 e 3. J os valores

    de bi, por exemplo b2, pode variar entre 60 e 100, que a base continuaria sendo X1, X2 e X5.

    Na figura a seguir encontra-se os resultados destas variaes possveis apresentadas pelo

    programa QM for Windows. Esta janela acessada no menu WINDOW opo Ranging.

    Na figura a seguir esta o relatrio que se obtm atravs do Excel, selecionando quando

    utilizado o Solver a emisso do relatrio de sensibilidade.

  • Curso de Pesquisa Operacional 80

    9.3 EXEMPLO Suponha que um problema de produo tenha como modelo:

    Max Z = 2100X1 +1200X2 + 600X3

    Sujeito a:

    1) 6X1 + 4X2 + 6X3

  • Curso de Pesquisa Operacional 81

    3. Qual o coeficiente de estabilidade para o coeficiente de XF3? O que isto significa?

    4. Qual o coeficiente de estabilidade para o coeficiente de XF1? O que isto significa?

    5. Um novo produto, que use 3 horas de mquina, 5 horas de mo de obra e com demanda

    garantida de 200 unidades para um lucro mximo de $ 800, teria interesse no programa?

    6. Qual o limite para aquisio do recurso R1, aos custos correntes, que mantm a

    informao contida em seu susto de oportunidade?

    7. Idem para o recurso R2.

    8. O que significa a informao contida no custo de oportunidade do recurso R5?

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