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Matrizes
Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo
Recife
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O QUE É UMA MATRIZ Uma matriz pode ser definida como uma tabela onde os
valores são dispostos em linhas e colunas. A diferença fundamental entre uma matriz e uma tabela normal é que na matriz representamos apenas os dados numéricos da tabela, para que os cálculos sejam facilitados...
Vamos entender melhor como interpretar as informações de uma tabela analisando a tabela abaixo que mostra as informações nutricionais de quatro alimentos vendidos em uma lanchonete.
MATRIZES É uma tabela disposta em “m” linhas e “n” colunas.
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn m n
a a a aa a a a
a a a a
A tabela representada anteriormente pode ser representada na forma de uma matriz com 4 linhas e 6 colunas, ou uma matriz 4x6.
MATRIZES
Em relação à essa matriz, vamos responder às seguintes perguntas:
a) Em que linha e coluna está o número 302?• Na quarta linha e primeira coluna.
b) Na matriz, o que representa o número 4,2?• A quantidade de gorduras trans, em gramas, presentes em uma porção de batatas.
MATRIZES
c) Que elemento está na terceira linha e quinta coluna?• É o número 0
d) Quantos elementos há na matriz.• 24 elementos.
Observação: podemos encontrar o número de elementos de uma matriz multiplicado seu número de linhas por seu número de colunas.
MATRIZES
De maneira geral, representamos uma matriz da seguinte forma: Amxn, ordem m indica o número de linhas e n o número de colunas da matriz.
Poderíamos representar a matriz do exemplo anterior por
MATRIZES
Já os elementos costumam ser representados com uma letra minúscula (aij), onde i indica a linha na qual o elemento se encontra e j a coluna.
Na matriz indicada no exemplo, temos que:
MATRIZES
A matriz dada como exemplo inicial possui 4 linhas e 6 colunas, logo, ela poderia ser representada por A = (aij), com 1 i 4 e 1 j 6.
Se uma matriz possuir 3 linhas e 5 colunas ela poderá ser indicada por: A = (aij), com 1 i 3 e 1 j 5.
MATRIZES
EXEMPLO Com relação à matriz genérica A = (aij), com 1 i 5
e 1 j 8, responda: a) Quantas linhas há na matriz A
• Há 5 linhas na matriz A, pois com 1 i 5
b) E quantas colunas:• 8 colunas, já que: com 1 j 8
c) Quantos elementos compõe a matriz A• O número de elementos é 8.5 = 40 elementos
Os elementos de uma matriz também podem ser representados por meio de equações. Nesse caso encontramos os elementos fazendo a substituição dos valores propostos na fórmula (como em uma função), para encontrarmos os elementos da matriz.
MATRIZES
Os elementos de uma matriz também podem ser representados por meio de equações. Nesse caso encontramos os elementos fazendo a substituição dos valores propostos na fórmula (como em uma função), para encontrarmos os elementos da matriz.
Por exemplo, construir uma matriz A2x2, onde os elementos são dados por aij = 2i + 3j – 1. Nesse caso temos:
A matriz procurada nesse caso é:
MATRIZES
TIPOS DE MATRIZ MATRIZ QUADRADA: Uma matriz é dita
quadrada quando seu número de linhas e de colunas é igual. Por exemplo:
Os elementos 2; 0 e 5 são os elementos da chamada diagonal principal e os elementos 7; 0 e 6 são os elementos da chamada diagonal secundária.
Toda matriz quadrada possui duas diagonais, uma chamada de principal, formada pelos elementos aij, tais que i = j e a outra chamada secundária, formada pelos elementos aij tais que i + j = n + 1, onde n indica a ordem da matriz.
MATRIZES
MATRIZ IDENTIDADE É toda matriz na qual os elementos da
diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são nulos.
Abaixo estão representadas as matrizes identidades de ordens dois e três.
matriz identidade matriz identidadede 2ª ordem de 3ª ordem
1 0 01 0
0 1 00 1
0 0 1A B
diagonal principal
MATRIZ IDENTIDADE
Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original.
632420531
A
645323201
TA
MATRIZ TRANSPOSTA
MATRIZ TRANSPOSTA Outro exemplo:
Observe que ao transpormos uma matriz, sua ordem fica alterada, exceto no caso de uma matriz quadrada.
Indicamos a transposta de uma matriz por . Se uma matriz for tal que A = , ela é dita simétrica e
se = -A (oposta de A), a matriz é dita anti-simétrica.
MATRIZ TRANSPOSTA
Matriz Simétrica: TAA1 2 02 7 40 4 3
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.
Matriz Anti-Simétrica: TAA
0 5 25 0 12 1 0
Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.
MATRIZ SIMÉTRICA E ANTI-SIMÉTRICA
MATRIZ TRIANGUAR Uma matriz quadrada é dita triangular quando os
elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.
MATRIZ DIAGONAL Uma matriz quadrada é dita diagonal quando todos
os elementos da diagonal principal são não nulos e todos os demais elementos são nulos.
Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Traço da Matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal. Traço: 4 + 2 + 6 = 12
Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
613025004
300050002
Traço da Matriz
Dúvidas
?
Referências LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. Rio
de Janeiro: LTC, 1998. CALLIOLI, Carlos A. Álgebra linear e aplicações. São
Paulo: Atual, 2006. http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/
aplicacoes.html