1

Curso de Nivelamento

Equações do 1º e 2º grau

Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo

Recife

Contatos

Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo

Apelido: Alexandre Cordel

E-mail/gtalk: alexandrecordel@gmail.com greinaldo@fbv.edu.br

Site: http://www.alexandrecordel.com.br/fbv

Celular: (81) 9801-1878

O que são equações?

Em matemática, uma equação é uma sentença aberta, ou seja, uma sentença que apresenta letras, expressa por uma igualdade envolvendo expressões matemáticas. Estas possuem 2 membros, o 1º está à esquerda da igualdade e o 2º está à direita. No caso, estamos tratando de equações de 1º grau, por isso o expoente da variável é sempre dada por 1.

Ex: x + 7 = 16 1º MEMBRO 2º MEMBRO

Raízes de uma equação

A raiz de uma equação é o valor que a torna verdadeira, ou seja, que ao substituí-la podemos encontrar o mesmo resultado.

Ex: Seu João foi comprar x laranjas e 3x tomates. Se x é igual a 2, quantas laranjas e tomates Seu João comprou ?

x + 3x = 2 + 3.2 = 8

R= Ele comprou 2 laranjas e 6 tomates.

EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras .

3x+5=2-x+4

Sou equação

3+(5-2-4) = 3+1

Não sou equação

xxx 4322

3

1º membro 2º membro

• termos: ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x

• incógnita: x

• termos com incógnita: 3x ; - x ;

• termos independentes: -2 ; -4

x2

3

x2

3

Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira

183 x 6 SOLUÇÃO

verdadeiraproposição1863

127 x 1520 x5 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO

Equações equivalentes: 127 x 1520 xMesmo conjunto solução

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

DO 1º GRAU

Equações sem parênteses e sem denominadores

4365 xx

• Resolver uma equação é determinar a sua solução.

102 x

• efetuamos as operações.

2

10

2

2

x

• Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita.

Conjunto solução 5

5x

• Determinamos a solução.

4635 xx

• Numa equação podemos mudar termos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinal

• Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes

EQUAÇÕES E A IDEIA DA BALANÇA

Imagine que alguém colocou quatro objetos iguais em um dos pratos da balança e dois pesinhos (que você sabe quanto pesam!). Se os pratos ficarem equilibrados, quer dizer que os objetos de um lado têm a mesma massa das do outro.

Como você não sabe quanto pesam os cubinhos, você vai dizer que eles pesam "x":

Se for colocado um objeto x de cada lado, a balança continua em equilíbrio, já que é a mesma massa que foi adicionada a cada lado.

Agora imagine outra situação. Em uma dessas balanças de pratinho, você tem, de um lado, 5 pesinhos de valor desconhecido e um pesinho de 31 gramas. Do outro, um pesinho de 86 gramas. E os dois lados estão em equilíbrio. Quanto pesará, então, cada um dos pesinhos?

Podemos começar retirando 31 gramas de cada lado da balança. De um lado, você terá apenas os pesinhos de massa x gramas. Do outro, 86 - 31 gramas.

Como você tem 5 pesinhos, e quer saber quanto pesaria um deles sozinho, divida, os dois lados, por 5 .

Sua equação está resolvida!

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES

• simplificação de expressões com parênteses:

• Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses trocando os sinais

dos termos que estão dentro

53225322 xxxx

• Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os

sinais que estão dentro.

15231523 xxxx

• Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a

propriedade distributiva. 22661332 xxxx

8625312 xxx

Como resolver uma equação com parênteses.

• Eliminar parênteses.8661512 xxx

• Agrupar os termos com incógnita.

8661152 xxx

• Efetuar as operações

312 x

• Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita

12

3

12

12

x

4

1x

• Determinar a solução, de forma simplificada.C.S =

4

1

EQUAÇÕES COM DENOMINADORES

436 3

3

4

2

2

1 xx • Redui-se todos os termos ao

mesmo denominador.

12

412

12

6

12

6 xx

12

412

12

66 xx

• Duas frações com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. xx 41266 • Podemos tirar os

denominadores desde que sejam todos iguais.

12646 xx

182 x

92

18x

Esta fração pode ser apresentada da seguinte forma 2

3

2

5

2

2

2

3xx

Sinal menos antes de uma fração

2

3523

xx • O sinal menos que se encontra antes da fração afeta todos os termos do numerador.

1

(2) (6) (3) (3)22

18

3

21 xx

7

43

7

43437

348234

334842

xxx

xx

xx

2

18

3

21 xx

• Começamos por “desdobrar” a fração que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!)

• Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores.

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES

• Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores

3

12

22

13

xxx

3

1

3

2

22

3

2

3

xxx (3) (3) (3) (2) (2)

24399 xxx 29439 xxx

112 x 2

11

2

11

xx C.S.=

2

11

Dizemos que uma equação do 1º grau está na forma canónica se está escrita na forma

com a e b IR.

0bax0, aonde

Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braço em equilíbrio!

1) Qual é o peso do cachorro?

x + 16 = 25

9kg

2) Desenvolva a Equação.

3) Os dois sacos tem pesos iguais. Quanto pesa cada saco?

2x = 12

6kg

4) Desenvolva a Equação.

5) As 3 caixas possuem o mesmo peso. Qual o peso de cada caixa?

3x = 18

6kg

6) Desenvolva a Equação.

7) Qual o peso do coelho?

x + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

2kg

8) Desenvolva a Equação. x + 3 = 5

9) As bolsas são iguais. Qual o peso de cada uma?

2x = x + 3 + 2

5kg

10) Desenvolva a Equação. 2x = x + 5

Os processos da álgebra levados para a vida moderna são decisivos muitas vezes, para resumir experiências realizadas ou desenvolver roteiros que nos levam até a entender mistérios da natureza.

Tente responder as questões abaixo:1) Queremos cortar um pedaço de barbante de 30 cm de comprimento em duas partes não necessariamente iguais. Quanto deverá medir cada parte?

2) Agora se quer cortar um pedaço de barbante, também com 30 cm de comprimento, em duas partes de forma que uma dessas partes meça o dobro da outra. Quanto deverá medir cada parte?

3) O que se deseja é dividir um pedaço de barbante de 35 cm de comprimento em quatro partes de modo que uma dessas parte seja igual ao triplo de uma das outras três, quanto deverá medir cada parte?

4) Ache um número que:

a) adicionado ao seu triplo resulte 20.

b) somado com o seu quadrado resulte 30.

Problema...

A minha infância durou 1/6 de minha vida, a barba surgiu após 1 /12 depois de outro

1/7 de minha vida, casei-me. 5 anos depois nasceu meu filho, que viveu somente a

metade de minha idade. Morri 4 anos após a morte do meu filho....

x x_6= +x_

12x_7+ +5+x_

2+4

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Dizemos que uma equação do 2º grau está na forma canónica se está escrita na forma

com a, b e c IR.

02 cbxax

0, aonde

EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA1) DEFINIÇÃO

Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda equação que assume a forma:

ax² + bx + c = 0.

Onde:

x é a incógnita.

a, b e c são números reais, com a ≠ 0.

a é coeficiente do termo em x².

b é coeficiente do termo em x.

c é o coeficiente do termo independente de x.

Exemplos:

a) 3x² + 4x + 1 = 0 (incógnita x)

a = 3 b = 4 c = 1 (Equação completa)

b) p² - 5p + 6 = 0 (incógnita p)

a = 1 b = -5 c = 6 (Equação completa)

c) -5t² + 7t – 2 = 0(incógnita t)

a = -5 b = 7 c = -2 (Equação completa)

d) 2y² - 10y = 0 (incógnita y)

a = 2 b = -10 c = 0 (Equação incompleta)

e) 4z² - 100 = 0 (incógnita z)

a = 4 b = 0 c = -100 (Equação incompleta)

f) 7m² = 0 (incógnita m)

a = 7 b = 0 c = 0 (Equação incompleta)

FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

• Uma equação do 2º grau, com uma incógnita, está na forma normal ou reduzida quando assume a forma geral ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.

• Exemplos:

a) x² - 7x + 10 = 0

b) y² - 81 = 0

c) -2t² + 5t – 2 = 0

d) -6m² + m = 0

FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

• Vejamos alguns exemplos de equações do 2º grau, com uma incógnita, que serão representadas na forma reduzida aplicando os princípios aditivo e multiplicativo das equações.

a) x² - 16 = 48

x² - 16 – 48 = 0 - Aplicando o princípio aditivo.

x² - 64 = 0 - Forma reduzida.

b) y² + 2y = 3y + 1

y² + 2y – 3y – 1 = 0 - Aplicando o princípio aditivo.

y² - y – 1 = 0 - Reduzindo os termos semelhantes.

y² - y – 1 = 0 - Forma reduzida.

FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

c) (3m + 1)² = 7 – (m + 8)(m – 3)

9m² + 6m + 1 = 7 – m² - 5m + 24 - Eliminando os parênteses.

9m² + m² + 6m + 5m + 1 – 7 – 24 = 0 - Aplicando o princípio aditivo.

10m² + 11m – 30 = 0 - Forma reduzida.

d)

- Reduzindo ao mesmo denominador.

- Aplicando o princípio aditivo.

- Forma reduzida.

+ =-

+ - -=

- -

+ - = -

+ - - + =

- + =

1 2

4 22 . .( 4) 2.2( 4)

2 ( 4) 2 ( 4)

2 ² ² 4 4 16

2 ² ² 4 4 16 0

3 ² 8 16 0

x

x xx x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU

1º CASO: Equação do tipo ax² + bx = 0.

a) O quadrado de um número real positivo é igual ao seu quíntuplo. Determine esse número.

RESOLUÇÃO

Representando o número procurado por x obtemos a equação:

x² = 5x

x² - 5x = 0 - Forma reduzida.

x.(x – 5) = 0 - Fator comum em evidência.

Para que o produto entre dois números reais seja igual a zero um desses dois números precisa ser zero. Logo:

x = 0 - Uma raiz da equação.

ou

x – 5 = 0 x = 5 - Outra raiz da equação.

As raízes da equação são 0 e 5.

Resposta: Como o problema nos pede um número real positivo, concluímos que o número procurado é o 5.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU

b) Determine os números reais que satisfazem a equação: 3m² - 21m = 0.

RESOLUÇÃO

3m² - 21m = 0

m.(3m – 21) = 0 - Fator comum em evidência.

m = 0 - Uma raiz da equação.

ou

3m – 21= 0

m = 7 - Outra raiz da equação.

As raízes da equação são 0 e 7.

Resposta: Os números procurados são 0 e 7.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU

2º CASO: Equação do tipo ax² + c = 0.a) Do quadrado de um número real subtraí 2 e obtive 34. Qual é esse número?

RESOLUÇÃO

Representando o número procurado por x, obtemos a equação:

x² - 2 = 34

x² - 2 – 34 = 0

x² - 36 = 0

x² = 36

x = + = +6 , pois (+ )² = 36

x = - = - 6 , pois (- )² = 36

x = ± 6

As raízes da equação são -6 e 6.

Resposta: O número real procurado é -6 ou 6.

36

36

36

36

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU

b) Quais os valores reais de x que satisfazem a proporção: ?

RESOLUÇÃO

x² = 45 - Propriedade fundamental das proporções.

x = - ou x = +

x = - ou x = +

x = ±

As raízes da equação são - e +

RESPOSTA: Os valores de x procurados são - e + .

=3

15

x

x

45 45

3 5 3 5

3 5

3 5 3 5

3 5 3 5

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU

c) Existem números reais que satisfazem a equação m² + 9 = 0 ?

RESOLUÇÃO

m² + 9 = 0

m² = - 9

m = - ou m = +

Temos que: não representa um número real.

RESPOSTA: Não existem números reais que satisfaçam tal equação.

- 9 - 9

- 9

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU

Seja a equação do 2º grau na forma normal:

ax² + bx + c = 0, com a≠0.

Para determinarmos as raízes dessa equação, caso existam, utilizaremos a fórmula resolutiva de Bhaskara:

Onde: b² - 4.a.c , é chamado de discriminante da equação e representado pela letra grega delta ( ). Assim:

b b² 4.a.cx

2.a

b

x2.a

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU

Se (positivo), a equação do 2º grau terá duas raízes reais e diferentes : x’ ≠ x”.

Se (nulo), a equação terá duas raízes reais e iguais: x’ = x”.

Se (negativo) , a equação não terá raízes reais:

e

0

0

0

x 'x"

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU

a) Determine as raízes reais da equação: x² - 5x + 4 = 0.

- Temos que: a=1, b=-5 e c=4.

- Calculando o discriminante da equação, obtemos:

- Substituindo os valores na fórmula resolutiva de Bhaskara:

- A equação tem duas raízes reais e diferentes que são 1 e 4.

b² 4.a.c ( 5)² 4.1.4 25 16

9

1

2

b ( 5) 9 5 3x

2.a 2.1 25 3 8

x 42 2

5 3 2x 1

2 2

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU

b) Determine as raízes reais da equação: 3p² + 6p + 3 = 0.

- Calculando o discriminante, obtemos:

- Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:

- A equação tem raízes reais e iguais. A raiz é -1.

6² 4.3.3 36 36

0

1

2

6 0 6 0p

2.3 66

p 166

p 16

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU

c) Determine as raízes reais da equação: 4y² - 2y + 1 = 0.

- Calculando o discriminante da equação:

- Aplicando na fórmula de Bhaskara, obtemos:

- Observe que no Conjunto dos Números Reais não existe raiz de índice par de radicando negativo.

- Logo, a equação não tem raízes reais.

( 2)² 4.4.1 4 16

12

( 2) 12y

2.4

SITUAÇÃO 01A Professora de Artes quer um painel retangular para a exposição educativa. Ela quer um painel que tenha 600 cm² de área. Mas, ela quer o painel com 10 cm a mais no comprimento do que na largura.

RESOLUÇÃO

• Se representarmos por X a medida da largura da página, seu comprimento será representado por (X + 10).

X

X + 10

• Sabemos que para determinarmos a área de um retangular devemos multiplicar o comprimento pela largura:

(X + 10) . X

• Como a área tem que ser igual a 600, obtemos:

(X + 10) . X = 600

• Desenvolvendo o produto, no 1º membro:

X² + 10X = 600

• A equação X² + 10X = 600, é chamada de equação do 2º grau na variável X.

SITUAÇÃO 02O número de diagonais de um polígono pode ser calculado pela fórmula matemática ,

em que d representa o número de diagonais e n representa o número de lados. Determine a equação que representa a quantidade de lados desse polígono, sabendo que o número de diagonais é igual ao número de lados.

RESOLUÇÃO

Se o número de diagonais (d) é igual ao número de lados (n), podemos escrever: d = n . Substituindo na fórmula, podemos escrever a equação:

A equação 2n = n² - 3n é chamada de equação do 2º grau na variável n.

-=

( 3)

2

n nd

- -= =

( 3) ² 3

2 2

n n n nn

-=

= -

² 3

22 ² 3

n nn

n n n

47

Curso de Nivelamento

Equações do 1º e 2º grau

Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo

Recife