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1 FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA –
PDE. TURMA 2016
Título: ESTUDO DE PERÍMETRO E ÁREA DE FIGURAS PLANAS POR MEIO DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM ALUNOS DE UM 6º ANO
Autor: Sandra Mara Tanajura da Silva
Disciplina/Área: Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização:
Escola Estadual “Anastácio Cerezine” – Ensino Fundamental
Município da escola: Alvorada do Sul
Núcleo Regional de Educação: Londrina
Professora Orientadora: Profª Drª Ana Lúcia da Silva
Instituição de Ensino Superior: UEL – Universidade Estadual de Londrina
Relação Interdisciplinar: Arte, Ciências
Resumo:
Esta proposta de intervenção pedagógica foi pensada no formato de Unidade Didática, onde se encontram as tarefas que serão desenvolvidas a partir da resolução de problemas. Elas foram baseadas nas etapas propostas por Onuchic e Allevato (2009), com o objetivo de que os alunos aprendam sobre perímetro e área organizando o pensamento matemático sem a preocupação com o excesso de formalização, mas, por uma abordagem mais significativa a partir do desenvolvimento da capacidade de administrarem as informações ao seu redor. Esta escolha considerou o lugar que a Geometria tem ocupado no desenvolvimento curricular e na experiência da professora-autora.
Palavras-chave: Educação Matemática; Geometria; Perímetro; Área.
Formato do Material Didático: Unidade Didática
Público:
Alunos do 6º ano do Ensino Fundamental
2 APRESENTAÇÃO
Esta proposta de intervenção pedagógica nasceu da experiência de tantos
anos junto a alunos das séries finais do Ensino Fundamental, por ter percebido que
este público aprende a geometria, parte importantíssima da matemática,
desenvolvendo seu senso e relação espacial a partir do desenho, da visualização
e da comparação, quando então eles passam a transformar essa percepção e
conseguem classificar figuras e discutir ideias a partir da experimentação de
hipóteses, que precedem as definições e a sistematizações.
Trata-se do desenvolvimento muito especial de pensamento, onde o aluno
se utiliza dessas hipóteses enquanto descreve ou representa o mundo onde vive.
Por isso, a exploração da geometria a partir da resolução de problemas surge como
motivação para uma matemática mais produtiva, especialmente junto a este
público.
A expectativa é a de que o ensino da geometria, pautado na investigação,
baseado no uso das figuras geométricas e suas relações, seja capaz de trazer
definições e conceitos, neste caso, de perímetro e área.
Para a exposição dessa prática, resolveu-se utilizar do formato de Unidade
Didática, modelo escolhido por trazer tarefas claras a respeito da construção de um
estudo sobre perímetro e área em figuras planas, ou seja, um estudo que tem como
objetivo maior aprender geometria, muito antes de unidades de medida. Tudo isso
via exploração de estratégias como a do uso das malhas quadriculadas, do
Tangram e de atividades da OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das
Escolas Públicas) e baseado em referenciais teóricos e na proposta pedagógica de
Onuchic e Allevato (2009).
A proposta pedagógica visa o aprendizado de matemática que se dá de
forma gradativa, que vai se estruturando em situações favoráveis ao
desenvolvimento do raciocínio lógico, da criatividade e da capacidade de resolver
problemas.
Todas as tarefas de resolução de problemas serão desenvolvidas
respeitando as 9 (nove) etapas de Onuchic e Allevato (2009), com o objetivo maior
de que os alunos aprendam sobre perímetro e área organizando o pensamento
matemático sem a preocupação com o excesso de formalização, mas, por uma
abordagem mais significativa a partir do desenvolvimento da capacidade de
administrarem as informações ao seu redor.
Portanto, vale salientar que o foco dessa proposta de intervenção didático-
pedagógica não está em encontrar a solução para os problemas apresentados,
mas, em fazer com que estes problemas sirvam como caminho para a aquisição de
novos conhecimentos ou do processo, de forma que possam ser aplicados na
construção da aprendizagem. Considerando também que, para Vigotsky (1999) a
presença de um problema é, dentre outros, um fator importante para o surgimento
do pensamento conceitual.
Deste modo, as tarefas aqui apresentadas, a partir da metodologia da
resolução de problemas, objetivam oferecer condições para que os alunos, por
meio de conhecimentos já adquiridos, sejam capazes de interpretar o que lhes foi
anunciado, elaborando estratégias para a solução dos problemas, considerando
seu próprio raciocínio e construindo, gradualmente, a compreensão do que é
perímetro e área.
Espera-se que através desta metodologia, aplicada com os alunos do sexto
ano do ensino fundamental, os objetivos propostos no projeto sejam alcançados
com êxito.
Prof ª. Sandra Mara
3 MATERIAL DIDÁTICO
As etapas que se seguirão abaixo, irão apresentar algumas tarefas com
diferentes perspectivas acerca do trabalho com Geometria, mais especificamente
com perímetro e área, para alunos de um 6º Ano das séries finais do Ensino
Fundamental.
As tarefas iniciais fazem parte de uma investigação diagnóstica que deverá
levantar as dificuldades discentes a respeito do tema no desenvolvimento do
processo de ensino e de aprendizagem.
3.1 ATIVIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS
METODOLOGIA: as tarefas deverão respeitar as etapas propostas por
Onuchic e Allevato (2009): a preparação do problema, a leitura individual, a
leitura em grupo, a resolução dos problemas, a observação e o incentivo, o
registro e a resolução na lousa, o debate posterior, a busca do consenso e,
por último, a formalização do conteúdo.
DESENVOLVIMENTO: para a execução dos trabalhos, durante todo este
processo de intervenção, pretende-se que os alunos realizem as tarefas em
grupo.
3.1.1 – 1ª TAREFA
OBJETIVO: Aprofundar a noção intuitiva dos conceitos de perímetro e área;
1) Observe a figura abaixo:
FIGURA A
a) Utilizando o (quadradinho) como unidade de medida, conte quantos
cabem na figura A.
b) Utilizando o (quadrado maior) como unidade de medida, conte
novamente, quantos deles cabem na figura A.
c) Com um lápis de sua cor preferida contorne a figura e conte quantos lados
de quadradinhos tem a figura A.
d) Em uma malha quadriculada construa uma figura diferente que tenha a
mesma quantidade de (quadradinhos) da figura A. Com um lápis colorido,
contorne a nova figura e descubra quantos lados de quadradinho ela tem
agora1.
e) Descreva as semelhanças, diferenças e impressões que observou sobre as
contagens que acabou de realizar.
3.1.2 – 2ª TAREFA
OBJETIVOS
Perceber que as medidas de área e de perímetro têm conceitos distintos;
que figuras planas diferentes podem ter a mesma área; que figuras
1OBS: O professor fornecerá a malha quadriculada ao aluno (ANEXO 1).
Observando o que sugere Onuchic e Allevato (2009) para a última
etapa proposta, a formalização do conteúdo partirá do que os
alunos aprenderam informalmente, levando-os a sistematizarem
os conceitos de perímetro e área.
diferentes podem ter a mesma área e diferentes perímetros e que figuras
com áreas distintas podem ter perímetros iguais.
1) Observe as figuras abaixo
A B C
D E F
Agora compare e responda: a) Quais figuras têm a mesma área da figura A?
b) Quais figuras têm o mesmo perímetro que a figura A? 2) Observe o retângulo a seguir2 Figura G.
2 Este retângulo constará em uma folha separada, entregue a cada aluno (ANEXO 2)
a) Utilizando o (triângulo) como unidade de medida, determine a
área do retângulo acima.
b) Utilizando o lado do (quadrado) como unidade de medida de
comprimento, determine o perímetro do retângulo.
c) Recorte a figura G sobre as linhas pontilhadas. Forme uma figura diferente
utilizando todas as 4 peças obtidas.
Encontre sua área usando o triângulo como unidade de medida, como fez
no item a.
Encontre seu perímetro utilizando o lado do quadrado como unidade de
medida, como fez no item b.
d) Escreva o que você pode concluir com essa atividade.
Durante o desenvolvimento dessas tarefas, espera-se que o nível de abstração do aluno evolua conforme o grau de exigência dos enunciados. Eles deverão perceber que o triângulo apresentado como unidade de comparação equivale à metade de cada quadrado que compõe a figura.
3) Considere como unidades de medida: a) Observe as figuras a seguir e complete o quadro a seguir. Figura A (azul) Figura B (azul)
Área
Área Perímetro
Figura A
Figura B
VAMOS CHAMAR ...
De a o lado (lado de dois quadradinhos);
De u (um quadradinho unitário);
De U (quadrado formado por quatro quadradinhos).
Com essas informações, respondam aos itens b e c.
b) Construa uma figura que tenha perímetro 4a e área 3u.
c) Construa um retângulo que tenha a mesma área que a figura A e responda: o
retângulo muda se utilizarmos como unidades U ou u ?
d) Escreva como você chegou aos resultados das atividades anteriores.
3.1.3 – 3ª TAREFA
OBJETIVOS: Introduzir a relação existente entre as áreas de retângulos e
triângulos e identificar a relação entre o produto das dimensões lineares do
retângulo e o cálculo de sua área.
1) Utilizando o (quadradinho) como unidade de medida, determine a área da
figura abaixo e faça o mesmo utilizando o (triângulo).
2) Na malha a seguir, observe como foi feito para os retângulos A e D e desenhe
um triângulo com metade da área de cada retângulo dado.
3) Observe como foi feito para o triângulo A e faça o desenho de um retângulo com
o dobro da área de cada triângulo dado.
4) Determine a área das figuras a seguir. 10 5
4
2
12 5
12 9 4
7
8
5) Escreva como você conseguiu realizar a atividade 4, passo a passo.
3.1.4 – 4ª TAREFA
OBJETIVO: Utilizar o Tangram para construir e formalizar os conceitos de perímetro
e área de figuras planas.
Para esta etapa será utilizado como recurso a apresentação de um
vídeo: a História do Tangram e a leitura de um texto informativo
sobre a origem desse jogo.
REFLEXÃO
Neste ponto do trabalho espera-se que o aluno tenha percebido que o número correspondente à área de uma figura depende da unidade de medida escolhida para a comparação. Portanto, no item 4 o professor deverá promover uma discussão conjunta entre todos os grupos, chamando a atenção para a necessidade de se ter uma unidade de medida padronizada.
A LENDA DO TRANGRAM E AS SETE PEÇAS MÁGICAS
Autor: Sandra Gobert
Ano: 2001
Duração: 2:02 min.
Disponível em:<https://www.youtube.com/watch?v=I-RxCw_QdV0>
>
Texto Informativo:
A Lenda do Tangram
O Tangram é um quadrado formado por sete peças, com as quais é possível
representar as mais diversas figuras, como animais, plantas e objetos, dizem que
a partir de suas peças é possível criar e montar cerca de 1700 figuras.
Este jogo foi trazido da China para o Oriente por volta da metade do século
XIX eem 1818 já era conhecido na América, Alemanha, França, Itália e Áustria.
Sobre sua origem, conta a lenda que um sábio chinês deveria levar ao
Imperador uma placa de jade, mas no meio do caminho, o sábio tropeçou e deixou
cair a placa que se partiu em sete pedaços geometricamente perfeitos. Eis que o
sábio tentou remendar e, a cada tentativa, surgia uma nova figura.
Depois de muito tentar, ele, finalmente, conseguiu formar novamente o
quadrado e levou ao seu Imperador. Os sete pedaços representariam as sete
virtudes chinesas, onde uma delas, com certeza, seria a paciência. O sábio mostrou
aos seus amigos as figuras que havia conseguido montar e cada um construiu o
seu Tangram.
____________ Fonte: Disponível em:<http://www.escolamobile.com.br/arquivos/2014/infantil/outros/jogos/tangram.pdf>
1º momento – a tarefa será realizada individualmente e, para isso,
cada aluno receberá o enunciado numa ficha, onde ele deverá
desenvolver as respostas das questões 1, 2 e 3. No 2º momento,
os alunos serão divididos em grupos para realizarem as demais
tarefas.
O Tangram é um quebra-cabeça chinês que possui sete peças: 5 triângulos (2 triângulos grandes, 1 triângulo médio e 2 triângulos pequenos), 1 quadrado e 1 paralelogramo. A denominação para os tamanhos dos triângulos: grande, médio e pequeno, nesta tarefa, terá como referência o Tangram apresentado aos alunos.
1 º Momento:
Observe o Tangram e responda às questões 1, 2, 3 e 4:
1) Quantas são as figuras que formam o Tangram?
2) Quais são as figuras do Tangram que você conhece?
3) Existe alguma peça do Tangram que você não conhece? Desenhe-a aqui:
4) Quantos triângulos grandes, médios e pequenos são necessários para formar o
Tangram?
2 º Momento:
Agora, em grupo, é hora de discutir as repostas dadas às questões
anteriores, comparando-as e percebendo se houve diferenças entre elas e
em que elas diferiram. Se desejarem e tiverem certeza, poderão alterar as
respostas!
5) Recorte o Tangram nas linhas indicadas.
Observe as peças do Tangram e depois responda:
6) Qual é a peça que possui a menor área?
7) Qual é a peça que possui a maior área?
8) Qual seria a peça mais adequada para utilizarmos como unidade de medida para
encontrar a área do Tangram?
Levando em consideração as peças deste Tangram, quantos triângulos
pequenos são necessários para formar:
O quadrado? ...........................................................
Quanto mais capricho mais bonito ficará!
O triângulo médio? ..................................................
O triângulo grande? .................................................
O paralelogramo? ....................................................
10) Utilizando-se de todas as peças do Tangram produzam uma figura.
a) Cada integrante do grupo deverá criar uma figura diferente. Mas atenção,
existe uma regra para essa montagem:
Não se deve colocar uma peça sobre a outra.
b) Escolham uma unidade de medida entre as peças do Tangram e encontrem
a área dessa figura que acabaram de montar.
11) Compare a área de sua figura com as figuras criadas pelos colegas do grupo.
O que vocês podem concluir?
Comentários: A partir da questão 4, é importante o trabalho em grupo para que os
alunos possam discutir entre eles as possibilidades de estratégias para a resolução
do problema.
Os alunos não costumam ter dificuldade na nomeação de quadrados e
triângulos. No entanto, o paralelogramo não é uma figura muito conhecida, por isso
o professor poderá nomeá-la durante a realização da tarefa.
3.1.5 – 5ª TAREFA
OBJETIVO: Determinar a área de uma figura plana, utilizando a diagonal de um
retângulo.
1) Sr. José dividiu sua fazenda com seus 6 filhos, mantendo uma parte para
Reserva Florestal. A divisão é demonstrada na figura abaixo, e a área destinada a
cada filho está indicada por um número. A área colorida é a Reserva Florestal. A
fazenda tem formato retangular e a linha AB é uma diagonal.
Fonte: adaptado de Banco de Questões – Olimpíada Brasileira
de Matemática das Escolas Públicas – OBMEP 2012
Agora responda:
a. Quanto de área receberam juntosLucas, Marcos e Pedro?
b. Observe que a linha AB transforma a figura retangular da fazenda em dois
triângulos com a mesma área. Sabendo disso determine a área da Reserva
Florestal.
c. Explique como você fez para descobrir qual é a área da reserva florestal.
d. Para preparar os terrenos para o plantio, cada um dos seis filhos gastou
uma quantia em dinheiro de acordo com a área de seu terreno. Paulo gastou
R$ 950,00. Descubra quanto Mateus gastou para fazer a preparação do
plantio da sua área.
3.1.6 – 6ª TAREFA
OBJETIVO: Calcular o perímetro de figuras planas irregulares.
1) Juntando, sem sobreposição, quatro ladrilhos retangulares de 10 cm por 45 cm
e um ladrilho quadrado de 20 cm de lado, Rodrigo montou a figura abaixo. Com
uma caneta vermelha, ele traçou o contorno da figura. Qual é o perímetro dessa
figura? Descreva como você fez para encontrar o resultado.
Fonte: OBMEP, Prova Nível 1–1ª Fase (2014)
Esta atividade encerra o processo gradual da proposta de intervenção
pedagógica que objetivou que o público-alvo conseguisse reconhecer e diferenciar
perímetro e área de figuras planas, cujos resultados serão tratados e discutidos
num posterior artigo cientifico.
4 ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Durante a produção desta proposta de intervenção didático-pedagógica,
buscou-se observar o fato de que a Geometria é uma disciplina de possibilidades,
especialmente quando colocada diante de situações-problema. Ela também é um
dos ramos da matemática que mais desenvolve capacidades e habilidades, como:
a criatividade, a percepção espacial, o raciocínio hipotético-dedutivo, conduzindo a
uma leitura interpretativa do mundo (LORENZATTO, 1995).
Considerou-se, acima de tudo a importância da Geometria para o processo
da aprendizagem matemática, pela necessidade do desenvolvimento de
competências que coloquem os alunos frente a outras áreas do saber, permitindo-
lhes observar como e para que se aprende matemática.
Trata-se, no entanto, de uma proposta teórica que deverá ser efetivada na
prática para responder aos objetivos estabelecidos e proporcionar reflexões para a
educação matemática, bem como, novas organizações dos componentes
curriculares, em particular da Geometria que, no Ensino Fundamental, como
conteúdo estruturante, pretende que o aluno consiga, por exemplo, compreender a
geometria plana e, nela, os “cálculos geométricos: perímetro e área” (PARANÁ,
2008, p.56).
A proposta ressalta, a todo momento, durante sua execução, que a
Matemática não é uma ciência pronta, acabada, mas, que os resultados podem ser
conquistados a partir de cada potencial posto a serviço da resolução dos
problemas; do raciocínio criativo posto à prova pelos alunos, enquanto se dedicam
às soluções das questões apresentadas, fazendo uso de outras áreas do
conhecimento e ingressando na conquista do saber.
Fonseca et al (2009) fazem questão de salientar que as experiências iniciais
na vida da criança são geométricas e espaciais; necessárias para que elas
aprendam a distinguir os objetos, por exemplo; ou para que tomem ideia de espaço
para poderem se movimentar de um lugar para outro, ponderando que esse
aprendizado e a relação com a geometria, acompanha o ser humano ao longo de
toda a sua vida.
Também serviu como incentivo para a elaboração deste trabalho a
observação prática da experiência docente, somada à leitura de Grando et al
(2008), que tratando do Movimento da Matemática, esclareceram que quando a
Geometria revestiu-se de uma concepção voltada à linguagem, acabou ficando
relegada a segundo plano nos currículos e livros didáticos brasileiros. Diagnósticos
esses que levaram à construção dessa proposta para a discussão da abordagem
da resolução de problemas para o estudo de perímetro e área.
Trata-se aqui de realizar tarefas exploratórias-investigativas, enquanto se
observa como os alunos fazem a contextualização da geometria, como eles
abordam o tema com sua própria linguagem e como eles conseguem elaborar
textos que relatem a compreensão do conteúdo geométrico proposto nas
atividades.
Aliás, convém enfatizar que o registro dos alunos, será considerado como a
forma de comunicação de suas ideias, com observação direcionada ao modo como
eles chegam à generalização, tanto nas atividades individuais como nas que serão
realizadas em grupo.
Por fim, faz-se necessário destacar o papel das inferências, ou da mediação,
do qual o professor deverá fazer uso durante o movimento das ideias dos alunos,
de acordo com as necessidades observadas, de forma que colabore com a
organização das descobertas, levando-os à formalização dos conceitos.
A respeito da utilização do material didático para o ensino de Geometria,
considerou-se que ele sempre deve estar acompanhado de uma reflexão
pedagógica, para que não se incorra no erro da permanência do empirismo e o
aluno consiga, efetivamente, desenvolver um pensamento racional, a partir de um
diálogo aberto, veiculado entre a manipulação dos materiais e as situações-
problemas apresentadas.
Posteriormente, os resultados desta experiência serão analisados e, levando
em conta os objetivos pretendidos com a resolução dos problemas e a avaliação a
partir das 9 etapas indicadas por Onuchic e Allevato (2009), será elaborado um
artigo científico que socializará as considerações da autora.
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FONSECA, Maria da Conceição. et al.. O ensino de geometria na escola fundamental: três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. Belo Horizonte: Autêntica, 2009. GRANDO, Regina Célia; NACARATTTO, Mendes Adair; GONÇALVES, Luci Mara Gotardo. Compartilhando saberes em geometria: investigando e aprendendo com nossos alunos. IN: Cad. CEDES, Campinas, vol. 28, n. 74, p. 39-56, jan./abr. 2008. Disponível em:< http://www.scielo.br/pdf/ccedes/v28n74/v28n74a04.pdf> Acesso em 13 nov. 2016. LORENZATO, Sérgio. Porque ensinar Geometria? Educação A Matemática em Revista. São Paulo, v. 3, n. 4, p. 1-64, 1995. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G Trabalhando volume de cilindros através da resolução de problemas. Educação Matemática em Revista-RS, v. 10, n. 1, p. 95-103, 2009. Disponível em: <http://www.sbemrs.org/revista_mat_10_V1.pdf > acesso em 30 ago. 2016. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretoria de Tecnologias Educacionais. Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná: Matemática. Curitiba, PR: SEEPR, 2008. VYGOTSKY, Lev Semyonovich. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1999.
ANEXOS
Anexo 1- Folha Quadriculada
Anexo 2 Retângulo do Item 2, da Tarefa 3.1.2