1° em 4° bimestre

58

Matemática – 1a série – Volume 2

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 RAMPAS, CORDAS, PARSECS: RAZÕES PARA ESTUDAR TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

VOCÊ APRENDEU?

1. Dizemos que uma rampa tem inclinação de 10% se nos elevarmos verticalmente 10 metros a cada 100 metros percorridos horizontalmente. Faça um desenho, em escala, de uma rampa com inclinação de 40%.

59


2. Para calcular a inclinação a de uma rua, podemos observar o ângulo b formado pelo poste (verti-cal) com o leito da rua, conforme indica a figura a seguir. Se tal ângulo for igual a 84°, qual será a inclinação da rua?

(Dica: consulte a tabela trigonométrica disponível no Anexo, no final deste Caderno.)

b

a

a

3. Ao lado de uma rua, na forma de uma rampa de inclinação de 10%, foi construída uma escada para pedestres. O trecho da rua em que ela foi construída tem 80 m de comprimento, medidos horizontalmente. Se os degraus da escada devem ser iguais, tendo uma altura de, no máximo, 16 cm, quantos degraus, no mínimo, deverá ter a escada?

60


4. Em uma circunferência de raio 1 m, podemos traçar cordas de todos os tamanhos possíveis de 0 m a 2 m. Algumas dessas cordas, de comprimento c1 a c7 , estão representadas na figura a seguir. Os quatro ângulos indicados têm medida de 60°.

c4 c5

c3

c1

c6

c2c7

a) Calcule o comprimento de cada uma das cordas.

61


b) Calcule a razão entre a semicorda e o raio em cada caso. Em seguida, faça uma tabela com os valores da semicorda e da razão anteriormente referida. Indique também na tabela os ângulos centrais correspondentes a cada corda e os ângulos dos quais tais razões são os senos.

c) Explique como você poderia utilizar a tabela que construiu para calcular o comprimento de uma corda correspondente a um ângulo central de 60° em uma circunferência de raio 5 m.

62


d) Calcule o raio de uma circunferência na qual uma corda de 100 m corresponde a um ângulo central de 60°.

e) Calcule o raio de uma circunferência na qual uma corda de 100 m corresponde a um ângulo central de 6°.

63


Leitura e análise de texto

No triângulo retângulo de hipotenusa c, o ângulo a é oposto ao cateto a e o ângulo b é

oposto ao cateto b. Já sabemos que a razão ab

é a tangente de a, a razão ac

é o seno de a

e, analogamente, a razão ba

é a tg b e a razão bc

é o sen b.

sen a = ac

; tg a = ab

sen b = bc

; tg b = ba

ac

a

b

b

Sobre as retas secantes às circunferências, podemos dizer que o que se chama secante de a é a razão c __

b , sendo representada por sec a; analogamente, sec b = c __ a .

Assim, como se convencionou chamar o seno do complementar de a de cosseno de a,

representando-se por cos a o sen (90° – a), também se convenciona chamar:

•atangente do complementar de a de cotangente de a, representando-se por cotg a;

•asecante do complementar de a de cossecante de a, representando-se por cossec a.

LIÇÃO DE CASA

5. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, mostre que:

a) sen a = cos b

64


b) sen b = cos a

c) cossec b = sec a

d) tg a = cotg b

e) sec a = 1 _____ cos a

f ) cossec b = 1 _____ sen b

g) tg a = sen a _____ cos a

65


h) cotg a = cos a _____ sen a

i) sen2 a + cos2 a = 1

j) 1 + tg2 a = sec2 a

k) 1 + cotg2 a = cossec2 a


Distância astronômicas: das cordas ao parsec

Quando observamos um ponto P fechando os olhos alternadamente, temos uma visão um pouco diferente. Aparentemente, o ponto muda de posição, e essa mudança pode ser medida por um ângulo chamado paralaxe.

o1

o2

P

a = ângulo de paralaxe

a

Analogamente, quando olhamos para o Sol a partir de um ponto P da superfície da Terra, temos uma visão ligeiramente diferente da que teríamos se estivéssemos no centro C da Terra. Tal efeito é chamado paralaxe, e também se mede por um ângulo, conforme representado na figura a seguir:

66


PS

a = ângulo de paralaxe

a

O ângulo de paralaxe é muito utilizado em trabalhos científicos de Astronomia para a medida de distâncias entre os corpos celestes. As ideias básicas a seu respeito são:

•as observações astronômicas são comumente feitas tendo o Sol como referência. Ao se observar uma estrela E vista da Terra T e do Sol S, haverá uma diferença angular (paralaxe) entre as duas observações;

•quanto maior for o efeito de paralaxe, mais próxima estará a estrela e, quanto menor o ângulo de paralaxe, mais distante estará a estrela;

•convenciona-sequeaunidadeutilizadaparamedirdistânciasinterestelareséadistância

que corresponde a um ângulo de paralaxe de 1” ª 160 do minuto, ou seja, 13 600 do grauº;

•talunidadededistânciaéchamadaparsec (uma contração das palavras paralaxe e second ). A figura a seguir representa essa afirmação:

distância TS ≅ 150 milhões de km (distância da Terra ao Sol)se o ângulo a = 1”, então a distância SE será 1 parsec

(a figura não está em escala)S

T

aE

Para calcular 1 parsec em km, basta notar que tg a = ST ___ SE e, em consequência, SE = ST ____ tg a .

Sabemos que a distância aproximada (média anual) da Terra ao Sol é de 150 milhões de km. Obtendo-se o valor da tangente de 1” em uma tabela de tangentes ou em uma calculadora, encontramos tg 1” = 0,000004848.

Logo, SE = 150 ⋅ 106 ___________

0,000004848 ≅ 3,09 ⋅ 1013 km, ou seja, 1 parsec ≅ 3,09 ⋅ 1013 km.

Exemplo ilustrativo

QuandoobservadadaTerra,aestrelaAlfaCentauri,queéamaispróximado Sistema Solar, apresenta um ângulo de paralaxe de 0,75”. Como é menor do que 1”, tal ângulo mostra que a distância de Alfa Centauri até o Sol é maior do que 1 parsec. De fato, obtendo a tangente de 0,75” em uma calculadora, te mos tg 0,75” ≅ 0,000003636. Logo, a distância SE é igual a:

SE ≅ 150 ⋅ 106 ___________

0,000003636 ≅ 4,13 ⋅ 1013 km ≅ 1,34 parsec.

C

67


VOCÊ APRENDEU?

6. Responda às questões a seguir.

a) Se uma estrela está a 10 parsec do Sol, o ângulo de paralaxe é maior ou menor do que 1”?

b) AdistânciadaTerraaoSoléconhecidacomoUnidadeAstronômica,eérepresentadapela sigla UA. A quantas UA corresponde 1 parsec?

c) Uma unidade muito utilizada para medir grandes distâncias é o ano-luz, que é igual à dis-tância percorrida pela luz em 1 ano. A quantos anos-luz corresponde 1 parsec?

(Dica: a velocidade da luz no vácuo é de aproximadamente 300 000 km/s.)

7. Uma estrela vista da Terra apresenta um ângulo de paralaxe de 0,5”. Calcule:

a) a distância da estrela ao Sol em UA;

68


b) a distância da estrela à Terra em parsec.

69


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 DOS TRIÂNGULOS À CIRCUNFERÊNCIA: VAMOS DAR UMA VOLTA?

VOCÊ APRENDEU?

1. Sabemos que sen² a + cos² a = 1. Tendo como referência a circunferência de raio igual a 1 representada a seguir, calcule o valor do sen 45o e, com ele, complete a tabela com os valores do seno de cada um dos ângulos indicados.

315o

225o

135o

45o

ângulo Seno

45°

135°

225°

315°

2. Considere o hexágono regular de lado igual a 1 representado a seguir. Lembrando que sen 30° = 1 __ 2 , calcule o seno dos ângulos a, b, y e d indicados na figura.

ab

γ

δ

70


LIÇÃO DE CASA

3. Construa uma tabela com os valores das seis razões trigonométricas (sen, cos, tg, cotg, sec e cossec) para os ângulos de 0°, 90°, 180°, 270° e 360°, indicando também os sinais das razões nos intervalos compreendidos entre tais valores.

71


VOCÊ APRENDEU?

4. Construindo-se uma circunferência de raio 1 com centro no sistema de coordenadas, pode-mos representar geometricamente todas as razões trigonométricas. Já vimos que o seno e o cosseno de um ângulo a, medidos a partir do eixo x em sentido anti-horário, são, respectiva-mente, a ordenada e a abscissa do ponto A da circunferência que corresponde ao ângulo a. Identifique, na circunferência citada, o segmento orientado que representa:

a) a tangente de a b) a secante de a

5. Conhecendo os valores do sen 30° = 1 __ 2 e do cos 30° = ® __

3 ____ 2 , calcule o seno e o cosseno dos ân-gulos a indicados a seguir:

a) 120°

72


b) 150°

c) 210°

d) 240°

e) 300°

f ) 330°

LIÇÃO DE CASA

6. Em uma circunferência de raio 1 m, um ponto P percorre um arco s correspondente a um ângulo central a. Calcule os valores de s e do seno de a nos casos indicados a seguir:

360º

30º

90º45º180º

73


a) a = 360°

b) a = 180°

c) a = 90°

d) a = 45°

e) a = 30°

74


VOCÊ APRENDEU?

7. Em uma circunferência de raio R, um ângulo central de medida a em graus corresponde a um arco de comprimento s e a uma corda de comprimento c. Complete a tabela a seguir. Caso necessário, utilize uma calculadora.

a s c

180°

120°

90°

60°

30°

10°

0°

75



ângulos notáveis em polígonos regulares inscritos

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, isto é, pode ter todos os seus vértices pertencentes a uma mesma circunferência, que é chamada circunferência circunscrita ao polígono. Chamaremos de l3 o lado do triângulo regular inscrito (triângulo equilátero), de l4 o lado do quadrilátero regular (quadrado), de l6 o lado do hexágono regular, e assim por diante.

l3

l4

l6

Na figura, estão representados os três polígonos regulares citados. Observamos que o ângulo central correspondente ao lado de cada um deles é igual a 360° dividido pelo número de lados, ou seja, é de 120° para o triângulo equilátero (360° ÷ 3), de 90° para o quadrado (360° ÷ 4) e de 60° para o hexágono (360° ÷ 6).

l3

l4

l6

60º90º120º

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS: REGULARIDADES NA INSCRIÇÃO E NA CIRCUNSCRIÇÃO

76


De modo geral, sendo n o número de lados do polígono regular inscrito considerado,

a medida do ângulo central correspondente a seu lado é igual a 360o

n . O ângulo central

correspondente ao lado do pentágono regular, por exemplo, é igual a 72°.

Sendo a o ângulo central correspondente ao lado de um polígono regular de n lados,

temos, então: a = 360o

n .

l3

60º

30º

30º

α = 120º

l4

l6

120º

α = 90º

90º

= 60º

45º

45º

60º

60ºα

l3

60º

30º

30º

α = 120º

l4

l6

120º

α = 90º

90º

= 60º

45º

45º

60º

60ºα

77


l3

60º

30º

30º

α = 120º

l4

l6

120º

α = 90º

90º

= 60º

45º

45º

60º

60ºα

Consideremos agora a medida do ângulo interno de cada um dos polígonos inscritos. Ela é igual a 60° no caso dos triângulos equiláteros, 90° no caso dos quadrados e 120° no caso dos hexágonos.

De modo geral, notamos que, em cada caso, a soma de duas metades do ângulo interno com o ângulo central deve ser igual a 180°, uma vez que tais ângulos constituem um triângulo.

Em consequência, sendo ai o ângulo interno de um polígono regular de n lados, temos:

2 ai __ 2 + 360o

n = 180°, ou seja, ai= 180° – 360o

n .

Comparando as expressões obtidas para a e para ai, notamos que, em cada polígono, esses ângulos são suplementares, ou seja, a + ai = 180°.

VOCÊ APRENDEU?

1. Complete a tabela a seguir, indicando o ângulo central correspondente ao lado e o ângulo in-terno de cada um dos polígonos regulares indicados.

78


Polígono regular (n lados)

ângulo central a (em graus)

ângulo interno ai (em graus)

triângulo (n = 3)

quadrado (n = 4)

pentágono (n = 5)

hexágono (n = 6)

heptágono (n = 7)

octógono(n=8)

eneágono (n = 9)

decágono (n = 10)

dodecágono (n = 12)

pentadecágono (n = 15)

icoságono (n = 20)

hectógono(n=100)

quilógono(n=1000)

79


2. Observando a tabela obtida na atividade anterior, notamos que, quanto maior o número deladosdeumpolígonoregular,menoréseuângulocentralemaispróximade180°éamedida de seu ângulo interno, o que significa que o polígono vai ficando cada vez mais arredondado. Podemos imaginar uma circunferência como se fosse um polígono com um número de lados tão grande que o ângulo central correspondente a cada lado é zero e o ângulo interno é 180°. Tente desenhar um icoságono regular de lado 1 cm e verifique como ele pode, praticamente, ser identificado com uma circunferência. Agora, imagine o que acon-teceria se você tentasse desenhar umquilógonoregular...Registresuasconclusões.

LIÇÃO DE CASA

3. Verifique se existe um polígono regular:

a) cujo ângulo externo seja igual ao ângulo interno;

b) cujo ângulo interno seja igual ao dobro do ângulo externo;

c) cujo ângulo central seja igual ao ângulo interno.

80



Inscrevendo polígonos na circunferência

Quando inscrevemos um polígono regular em uma circunferência de raio 1, existe uma relação simples entre o lado x do polígono e o ângulo central a correspondente.

De fato, temos sen ª a __ 2 º = x __ 2 e, em consequência, x = 2 ⋅ sen ª

a __ 2 º .

l

Li

x

R

a

Li2

x2

a2

Se o raio da circunferência for igual a R, então o lado Li do polígono inscrito será pro-porcionalmente maior, e teremos: R __ 1 =

Li __ x .

Logo, temos Li = R ⋅ x, ou seja, Li = 2Rsen ª a2 º .

Exemplos ilustrativosNa tabela a seguir, estão indicados os ângulos centrais correspondentes aos lados dos

polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 7 e 8 lados e os comprimentos dos lados correspondentes.

Polígonos regulares ângulo central (em graus) Comprimento do ladotriângulos 120 R ®

__ 3

quadrados 90 R ® __

2 pentágonos 72 ≅ 1,176Rhexágonos 60 Rheptágonos ≅ 51,4 ≅ 0,867Roctógonos 45 ≅ 0,765R

81


Observação!

• Os valores dos senos necessários foram obtidos em uma tabela ou em uma calculadora.

• Note que, dividindo Li por 2R, obtemos o seno da metade do ângulo central, em cada caso.

• Como a medida do ângulo central a é igual a 360° _____ n , o comprimento do lado do polígono regular inscrito fica determinado pelo valor de n: para cada valor de n asso-ciamos o valor de a correspondente, e, para cada a, o valor de Li está determinado.

Analogamente, quando circunscrevemos um polígono regular a uma circunferência de raio 1, sendo Lc o lado do polígono circunscrito, temos:

• polígono inscrito: Li __ 2 = sen ª

a __ 2 º ;

• polígono circunscrito: Lc __ 2 = tg ª

a __ 2 º .

l

l

Li

Lc

a a2

sen ª

a2 º

tg ª

a2 º

Logo, concluímos que, em uma circunferência de raio 1, os valores de Li e Lc são tais que:

Li = 2sen ª a __ 2 º Lc = 2tg ª

a __ 2 º

Se a circunferência tiver raio R, analogamente ao que foi mostrado para os polígonos inscritos, o valor de Lc é ampliado na mesma proporção do raio, que passou de 1 para R. Assim:

Li = 2Rsen ª a __ 2 º Lc = 2Rtg ª

a __ 2 º

82


VOCÊ APRENDEU?

4. Calcule o lado do polígono regular de n lados inscrito e do polígono de n lados circunscrito à circunferência de raio 1 nos seguintes casos:

a) n = 3, 6, 12, 24

b) n = 4, 8, 16, 32

(Observação: obtenha valores aproximados para os lados, usando a tabela de senos disponível no final deste Caderno ou uma calculadora.)

83


5. Em uma circunferência de raio 5 cm, inscreve-se um polígono regular de 36 lados. Tendo por base o comprimento da circunferência, qual é a diferença porcentual entre o perímetro desse polígono e o comprimento da circunferência? (Dado: sen 5° ≅ 0,0872.)

84


a2

sen

ª

a2 º

6. Em uma circunferência de raio 1 dm, circunscreve-se um polígono regular de 36 lados. A área do polígono circunscrito supera em quantos por cento a área do círculo correspondente? (Dado: tg 5° ≅ 0,0875.)

l

l

Li

Lc

a

tg ª

a2 º

85


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 A HORA E A VEZ DOS TRIÂNGULOS NÃO RETÂNGULOS

VOCÊ APRENDEU?

1. Mostre que, se um ângulo a é inscrito em uma circunferência, sua medida é igual à metade da medida do ângulo central t correspondente.

2. Dado um triângulo qualquer de lados a, b e c, sempre podemos inscrevê-lo em uma cir-cunferência, de modo que os ângulos correspondentes a, b e y sejam ângulos inscritos na circunferência, conforme mostra a figura a seguir.

A

c

b

a

b

a

B

C

γ

86


Mostre que é válida a proporção: a _____ sen a = b _____ sen b = c _____ sen y (Lei dos Senos).

3. Um triângulo tem lados de medidas 5 m, 6 m e 10 m.

a) Esse triângulo é retângulo?

b) Se dobrarmos as medidas dos três lados, o novo triângulo terá seus ângulos alterados?

c) Seria possível reduzir o lado de 6 m ao meio, construindo um triângulo de lados 5 m, 3 m e 10 m?

87


d) Qual é a razão entre o seno do ângulo oposto ao lado de 5 m e o seno do ângulo oposto ao lado de 10 m?

LIÇÃO DE CASA

4. Um ângulo a inscrito em uma circunferência de diâmetro 10 m subentende uma corda de 5 m. Determine a medida de a em graus.

10

a

a

a

5

88


VOCÊ APRENDEU?

5. Um triângulo tem ângulos a, b e y opostos aos lados a (2 m), b (3 m) e c (4 m).

a) Esse triângulo é retângulo?

b) Calcule o cosseno do ângulo y.

c) Calcule o seno dos ângulos a e b.

89


6. Quando duas forças de intensidades F1 e F2 agem simultaneamente sobre o mesmo ponto P, a força resultante pode ser representada pela Regra do Paralelogramo e tem uma intensidade R que pode ser calculada de acordo com a Lei dos Cossenos. Sendo t o ângulo formado pelas duas forças, conforme a figura a seguir, mostre que devemos ter R2 = F1

2 + F22 + 2F1⋅ F2 ⋅ cos t.

θ

RF1

F2

F1

P

LIÇÃO DE CASA

7. Duas forças de 100 N são aplicadas a uma pequena esfera. O ângulo formado pelas suas linhas de ação é igual a t, conforme mostra a figura. Calcule a intensidade da resultante R das duas forças em N para os seguintes valores de t:

100R

100

θ

a) 0°

90


b) 30°

c) 45°

d) 60°

e) 90°

91


f ) 120°

g) 150°

h) 180°

92


ANEXO

TABELA TRIGONOMÉTRICA

ângulo (em graus) Seno Cosseno Tangente

1 0,017452 0,999848 0,0174552 0,034899 0,999391 0,0349213 0,052336 0,998630 0,0524084 0,069756 0,997564 0,0699275 0,087156 0,996195 0,0874896 0,104528 0,994522 0,1051047 0,121869 0,992546 0,1227858 0,139173 0,990268 0,1405419 0,156434 0,987688 0,15838410 0,173648 0,984808 0,17632711 0,190809 0,981627 0,19438012 0,207912 0,978148 0,21255713 0,224951 0,974370 0,23086814 0,241922 0,970296 0,24932815 0,258819 0,965926 0,26794916 0,275637 0,961262 0,28674517 0,292372 0,956305 0,30573118 0,309017 0,951057 0,32492019 0,325568 0,945519 0,34432820 0,342020 0,939693 0,36397021 0,358368 0,933580 0,38386422 0,374607 0,927184 0,40402623 0,390731 0,920505 0,42447524 0,406737 0,913545 0,44522925 0,422618 0,906308 0,46630826 0,438371 0,898794 0,48773327 0,453990 0,891007 0,50952528 0,469472 0,882948 0,53170929 0,484810 0,874620 0,55430930 0,5 0,866025 0,577350

93



31 0,515038 0,857167 0,60086132 0,529919 0,848048 0,62486933 0,544639 0,838671 0,64940834 0,559193 0,829038 0,67450935 0,573576 0,819152 0,70020836 0,587785 0,809017 0,72654337 0,601815 0,798636 0,75355438 0,615661 0,788011 0,78128639 0,629320 0,777146 0,80978440 0,642788 0,766044 0,83910041 0,656059 0,754710 0,86928742 0,669131 0,743145 0,90040443 0,681998 0,731354 0,93251544 0,694658 0,719340 0,96568945 0,707107 0,707107 146 0,719340 0,694658 1,03553047 0,731354 0,681998 1,07236948 0,743145 0,669131 1,11061349 0,754710 0,656059 1,15036850 0,766044 0,642788 1,19175451 0,777146 0,629320 1,23489752 0,788011 0,615661 1,27994253 0,798636 0,601815 1,32704554 0,809017 0,587785 1,37638255 0,819152 0,573576 1,42814856 0,829038 0,559193 1,48256157 0,838671 0,544639 1,53986558 0,848048 0,529919 1,60033559 0,857167 0,515038 1,66427960 0,866025 0,5 1,732051

94



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1° em 4° bimestre

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