1 diferenÇas de potencial num campo elÉctrico uniforme (a) quando o campo eléctrico e está...
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DIFERENÇAS DE POTENCIAL NUM CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
(a) Quando o campo eléctrico E está direccionado para baixo, o ponto B está num potencial eléctrico mais baixo que o ponto A.
Quando uma carga positiva de prova se desloca de A par B, o sistema carga-campo perde energia potencial eléctrica.
(b) Quando o corpo com massa m se desloca para baixo na direcção do campo gravitacional g, o sistema corpo-campo perde energia potencial gravitacional.
B
A
B
A
B
AAB EdsdsEsdEVVV
0cos
Como E é constante, pode ser colocado fora da integral:
EddsEVB
A
o sinal negativo resulta do facto de que o ponto B está num potencial mais baixo do que o ponto A ou seja VB < VA
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Quando a carga de prova q0 se desloca de A para B
A variação da energia potencial eléctrica do sistema campo – carga é
EdqVqU 00
Por esse resultado, vemos que se q0 for positiva, então U é negativa
Se q0 for negativa, então U na equação acima é positiva e a situação está invertida.
O sistema campo - carga perde energia potencial eléctrica quando uma carga negativa se desloca na direcção oposta à do campo eléctrico.
Não temos nenhum análogo para essa situação no caso gravitacional porque nenhuma massa negativa foi observada até o momento.
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O sistema campo - carga perde energia potencial eléctrica quando uma carga negativa se desloca na direcção oposta à do campo eléctrico.
O sistema campo - carga perde energia potencial eléctrica quando uma carga positiva se desloca na direcção do campo eléctrico.
Exemplo
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Considere agora o caso mais geral de uma partícula carregada que se desloca entre dois pontos quaisquer num campo eléctrico uniforme
rEsdEsdEVB
A
B
A
representa o vector deslocamento entre os pontos A e B r
A variação na energia potencial eléctrica do sistema campo - carga é
rEqVqU
00
Os nossos resultados mostram que todos os pontos num plano perpendicular a um campo eléctrico uniforme estão no mesmo potencial
Da figura, obtemos: VB - VA = rE
cosrE = - Ed = VC - VA
r
VB = VC
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As superfícies equipotenciais dum campo eléctrico uniforme consistem numa família de planos, todos perpendiculares ao campo.
O nome superfície equipotencial é dado a toda superfície que consista numa distribuição contínua de pontos que têm o mesmo potencial eléctrico.
Observe que, como , nenhum trabalho é necessário para mover uma partícula de prova entre dois pontos quaisquer e numa superfície equipotencial.
VqU 0
Exemplos: Quatro superfícies equipotenciais.
O campo eléctrico é perpendicular às superfícies
Trabalho realizado pelo campo eléctrico sobre uma partícula carregada quando se move de um extremo a outro.
KWU E
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Num campo elétrico, transporta-se uma carga q de 2 µC de ponto X até um ponto Y. O trabalho da força elétrica é de -0,6 µJ. Determine a ddp entre os pontos X e Y.
EXEMPLO
qUV
V 3.0102106.0
6
6
V
KWU E
C 2J6.0
qμWE
X
Y
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POTENCIAL ELÉCTRICO DEVIDO À CARGAS PONTUAIS
Vamos agora focalizar nossa atenção nas cargas pontuais, que sabemos que produzem campos eléctricos que não são uniformes.
B
AAB sdEVV
Considere uma carga pontual positiva isolada q
drdssdr
sdrrqksdE e
cosˆonde
ˆ2
mas
Substituindo na integral ficaB
A
B
A
B
A
r
r
er
re
r
re
B
AAB r
qkrdrqkdr
rqksdEVV
22
ABe rrqk 11 esta equação expressa o importante
resultado de que a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos A e B depende somente das coordenadas radiais rA e rB
Os dois círculos tracejados representam secções transversais das superfícies equipotenciais esféricas
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Como já vimos pode-se definir o potencial de referência como sendo zero em rA =
Com essa escolha, o potencial eléctrico devido a uma carga pontual a qualquer distância r da carga é
rqkV e
V é constante sobre uma superfície esférica de raio r centrado na carga pontual
O potencial eléctrico de duas ou mais cargas pontuais é obtido aplicando-se o princípio da sobreposição
Para um conjunto de cargas, podemos escrever o potencial total em P na forma
i i
ie r
qkV
Observe que a soma nessa equação é uma soma algébrica de grandezas escalares em vez de uma soma vectorial (que é utilizada para calcular o campo eléctrico de um conjunto de cargas)
Além disso é muito mais fácil calcular V para muitas cargas do que calcular o campo eléctrico
q
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ENERGIA POTENCIAL ELÉCTRICA DEVIDO À CARGAS PONTUAIS
Energia potencial eléctrica de interacção de um sistema de partículas carregadas
Se V2 for o potencial eléctrico no ponto P devido à carga q2, o trabalho (de um agente externo) necessário para trazer uma segunda carga q1 do infinito ao ponto P será
21VqW
12r1q
2q
P
esse trabalho representa uma transferência de energia para o sistema na forma de energia potencial U
12
2121 r
qqkVqU e
12r 2q
Prq
kV e2
2
Se tivermos três cargas:
23
32
13
31
12
21
rqq
krqq
krqq
kU eee 12r 23r
13r1q
2q3q
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OBTENÇÃO DO CAMPO ELÉCTRICO PELO POTENCIAL ELÉCTRICO
B
A
B
A
dVVsdEV
sdEdV
Portanto podemos escrever que a diferença de potencial dV entre dois pontos que distam ds um do outro como sendo
Para temos que
dxEsdE x
xEE
dxEdV x
oudxdV
Ex
o campo eléctrico é igual a menos derivada do potencial eléctrico com respeito a alguma coordenada
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Distribuição de carga tem simetria esférica drEsdEdV r
drdVEr
dxdVEx dy
dVE y dzdVEz
Em geral, o potencial eléctrico é uma função de todas as três coordenadas espaciais ),,( zyxV
A variação no potencial é nula para qualquer deslocamento perpendicular ao campo eléctrico
Isso é consistente com a noção de que as superfícies equipotenciais são perpendiculares ao campo:
Campo eléctrico uniforme Carga pontual Dipolo eléctrico
e VE
)( zyx ez
ey
ex
é uma equação diferencial, onde o operador gradiente
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POTENCIAL ELÉCTRICO DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
rdqkdV e
r
dqkV e
Potencial dV em qualquer ponto P devido ao elemento de carga dq é
O potencial total será
B
A
sdEqUV
0
Um outro método para calcular o potencial de uma distribuição contínua de carga é utilizar
Substituímos E e escolhemos, V como zero em algum ponto conveniente.
Esse procedimento é útil para quando o campo eléctrico já é conhecido a partir de outras considerações, tais como a lei de Gauss.
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Exemplo: Calcular o potencial no ponto P de um eixo perpendicular ao centro no centro de um anel de raio a e carga Q
rdqkV e
dqax
kV e
22
como 22 axr
22 ax
dqkV e
22
ax
QkV e
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POTENCIAL ELÉCTRICO DUM CONDUTOR CARREGADO
Considere um condutor de formato arbitrário com um excesso de carga positiva
O condutor está em equilíbrio electrostático
- toda a carga permanece na superfície, e E = 0 dentro do condutor- o campo eléctrico na face externa do condutor é perpendicular à superfície
Demonstraremos que todo ponto na superfície de um condutor carregado em equilíbrio electrostático está no mesmo potencial eléctrico
0 B
AAB sdEVVV
090cos EdssdE
E é sempre perpendicular ao deslocamento ds entre dois pontos da superfície. Então
A densidade superficial de carga não é uniforme
como o campo eléctrico é zero dentro do condutor, concluímos que o potencial é constante em todo lugar dentro do condutor e igual a seu valor na superfície.
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DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL
RESUMO
AB VVV Definição de diferença de potencial
B
A
sdEqUV
0
P
P sdEV no 0AVDefinição de potencial
Diferença de potencial e (ou) potencial:
EdV Num campo eléctrico Uniforme
Devido à uma carga pontual
ABe rrqkV 11
rqkV eou no para A
i i
ie r
qkVDevido à um conjunto de cargas pontuais
Devido à uma distribuição contínua de cargas cargas pontuais r
dqkV e rdqkdV e
no para A
Potencial eléctrico dum condutor carregado: AB
B
AAB VVsdEVVV 0
porque no volume, E=0 e na superfície E é perpendicular à trajectória ds
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Exemplo: Considere uma esfera metálica maciça de raio R e carga total positiva Q.
Como temos um condutor esférico a distribuição de carga é uniforme
2rQkE e Campo eléctrico fora da esfera
Potencial fora da esferarQkV e
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Para determinar como a carga se distribui num condutor não esférico, vamos analisar um sistema simples
O sistema consiste em duas esferas condutoras carregadas de raio r1 e r2, onde r1 > r2, ligadas por um fino fio condutor
Supomos que as duas esferas são tão separadas que o campo eléctrico duma esfera não influencia o campo eléctrico da outra esfera.
Como as duas esferas são ligadas por um fio condutor supomos que todo o sistema é um único condutor e que todos os pontos devem estar no mesmo potencial
2
2
1
1
rq
krq
kV ee
que esfera maior tem a maior quantidade de carga.
2
1
2
1 rr
21
11 r
qkE e 2
2
22 r
qkE e
Campo eléctrico em cada condutor
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Esta é a quarta propriedade listada para os condutores em equilíbrio electrostático:
212
221
212
221
22
2
21
1
2
1
rrrr
rqrq
rqk
rqk
EE
e
e
1
2
2
1 rr
EE
quer dizer que o campo eléctrico próximo à esfera menor é maior que o campo próximo à esfera maior.
Como o campo eléctrico próximo à superfície de um condutor é proporcional à densidade superficial de carga, a esfera menor tem a maior densidade superficial de carga.
Campo forte
Maior densidade superficial de carga
Campo fraco
Menor densidade superficial de carga
• NUM CONDUTOR DE FORMA IRREGULAR, A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA É MÁXIMA NOS LOCAIS ONDE É MÍNIMO O RAIO DE CURVATURA DA SUPERFÍCIE
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Exemplo: Duas esferas condutoras. A esfera menor tem raio a e carga Q positiva , e a esfera maior de raio c não está carregada (neutra).
Ao aproximarmos as duas esferas: - A esfera menor atrai as cargas negativas da esfera maior e repele as cargas positivas.
As curvas pontilhadas azuis correspondem as intersecções das superfícies equipotenciais com a página.
Como varia o potencial a partir o centro da esfera 1 até para a direita da esfera 2, considerando que b é a distância entre a superfície da esfera menor e o centro da esfera maior ?
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Uma cavidade dentro de um condutor em equilíbrio
Considere um condutor de formato arbitrário contendo uma cavidade.
Se não há cargas dentro da cavidade, o campo eléctrico dentro da cavidade tem de ser zero, independentemente da carga na superfície externa do condutor.
Todo ponto no condutor está no mesmo potencial
quaisquer dois pontos A e B na superfície da cavidade têm de estar no mesmo potencial
0 B
AAB sdEVVV
assim 0 AB VV
Por isso E deve ser zero.
Esta propriedade pode ser utilizada para blindar um equipamento electrónico ou até mesmo todo um laboratório dos campos externos cercando-o com paredes condutores.
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Exemplo : Blindagem electrostática
No século XIX, por Michael Faraday, através da seguinte experiência: Electrizou uma grande gaiola metálica, até que ela soltasse faíscas. Utilizando um electroscópio, verificou que:1º O interior da gaiola não ficou electrizado.2º As cargas em excesso foram tão distanciadas umas das outras que se concentraram na superfície da gaiola.
Esfera de cortiça pendurada num fio de seda a esfera não foi atraída pela parte interna da gaiola só pela parte externa.
Pêndulo electrostático
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A blindagem electrostática mostra que uma pessoa dentro de um carro atingido por um raio nada sofrerá, pois a estrutura metálica do carro isola o seu interior das influencias eléctricas externas.
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Campo Eléctrico Campo gravitacional
Campo (unidade)
Força
Campo no exterior duma esfera isoladaPotential no exterior duma esfera isolada
Energia transferida
qFE
mFg (N C-1) (N kg-1)
221
rqqkF e 2
21
rmmGF
2rQkE e 2r
MGg
rQkV e
rMGV
W=qV W=mV
COMPARAÇÃO ENTRE O CAMPO ELÉCTRICO E O CAMPO GRAVITACIONAL