1 Análise dimensional

Problema 1 Uma unidade de energia usada comummente pelas companhias de electri­cidade corresponde ao QuiloWatt-Hora (kWh). Determine o valor equivalente de 1 kWhem unidades do SI.

Problema 2 A posição de um ponto material é dada por x = kv2 m, onde v representaa velocidade, e k é uma constante. Determine as unidades de k.

Problema 3 A posição de um ponto material é dada por x = ka2 m, onde a representaa aceleração, e k é uma constante. Determine as unidades de k.

Problema 4 A aceleração de um ponto material é dada por a = kv2 m/s2, onde vrepresenta a velocidade, e k é uma constante. Determine as unidades de k.

Problema 5 Uma grandeza T depende de duas grandezas g e R através da expressão:

T = 27r fR ,Yfi

onde [g] = m/s2 e [R] = m. Determine as unidades de T.

Problema 6 Considere um ponto material que se desloca em linha recta ao longo doeixo x de acordo com a lei:

Determine as dimensões das constantes ao, aI, a2 e as.

Problema 7 Considere um ponto material que se desloca de acordo com a seguinte lei:

x(t) = aotsin(wt) + aI cos(wt) m .

Determine as dimensões das constantes ao, aI e w.

Problema 8 Um ponto material em movimento rectilíneo tem uma aceleração dada pelaseguinte lei:

2ma(t) = ao + alt 2"'s

Determine as dimensões das constantes ao e aI.

Problema 9 Um ponto material move-se em linha recta de acordo com aceleração. m

a(t) = aot + ale"Yt + a2 sm(wt) 2"s

Determine as dimensões das constantes ao, aI, a2, , e w.

Problema 10 De acordo com a Lei de Gravitação Universal de Newton a intensidadeda força atractiva entre dois corpos de massa ml e m2, separados por uma distância r, édada pela expressão

F _ mlm2-, 2 .r

Tendo em conta que no sistema SI de unidades [ml] = [m2] = kg, [F] = N e [r] = m,determine as unidades de ,.

1

2 Cálculo Vectorial

Problema 11 Desenhe numa folha de papel quadriculado os seguintes vectores: v =(v, O) = (30mm,00), (30mm,45°), (30mm,900), (30mm,1200), (30mm,1800), (30mm,-900),(45mm,300), (45mm,2100) e (45mm,-1500).

Problema 12 Desenhe numa folha de papel os vectores VI = (40mm,300) e V2 = (65mm,­60°). Calcule VI + V2.

Problema 13 Desenhe numa folha de papel quadriculado os seguintes vectores: V =(x, y) = (20mm,30mm), (30mm,20mm), (20mm,-30mm), (-20mm,30mm) e (-20mm,-30mm).

Problema 14 Transforme de notação polar para cartesiana, e viceversa, os seguintesvectores:

a) v = (v, O) = (15mm,300), (15mm,900), (15mm,1200), (15mm,-1200);

b) v = (x, y) = (20mm,lOmm), (20mm,-lOmm), (-20mm,-lOmm), (-20mm,10mm).

Problema 15 Na Fig.l estão representados os vectores VI e V2, de módulos 7 e 8unidades, respectivamente, a = 45°. Determine:

a) S = VI + V2;

b) D=VI-V2;

c) o ângulo que S e D formam com o eixo X( +).

y

x

Figura 1

Problema 16 Determine a resultante das forças representadas na Fig.2 e o ângulo queesta faz com a horizontal, sabendo que a = 20°, {3= 60°, FI = 300 N e F2 = 200 N.

Problema 17 Um navio de carga, avariado, é arrastado por três rebocadores, comomostra a Fig.3. Sabendo que a tensão em cada cabo é 5000 N, e que a = 20°, {3= 10°, ry

= 15°, determine a força resultante que actua na proa do navio, utilizando as componentesdas forças num sistema de coordenadas cartesianas.

2

x

Figura 2

Problema 18 Um corpo colocado num foguete é largado na horizontal do alto de umatorre. Admitindo que a aceleração provocada pelo foguete é horizontal e de valor 20 m/s2,calcule a aceleração a que fica sujeito o corpo (considere 9 = 10 m/s2).

Problema 19 Determine a resultante de três forças de intensidade iguais a FI = 1 N,F2 = 2 N e F3 = 3 N (ver FigA), cujas direcções e sentidos são as diagonais das três facescontíguas de um cubo, orientadas do vértice comum para o vértice oposto da respectivaface.

Problema 20 Prove que:

a) se o módulo da soma e a diferença de dois vectores são iguais então os vectares sãoperpendiculares;

b) se a soma e a diferença de dois vectores são perpendiculares, então os dois vectorestêm módulos iguais.

Problema 21 Utilizando a definição do produto interno deduza a lei do co-seno.

Problema 22 Determine o produto interno e o módulo do produto externo de dois vec­tores de módulos 6 e 7 unidades, se o ângulo entre os mesmos é de 60°.

Problema 23 Dados os vectores u= ex + 2ey + ez e v = ex + ey - ez determine:

a) os módulos dos dois vectores;

b) a soma e a diferença vectorial e os seus módulos;

c) o produto interno;

d) o produto externo e o módulo do mesmo;

e) o ângulo entre u e v.

Problema 24 Demonstre, usando coordenadas esféricas, que v2 = v; + v; + v;.

3

Figura 3

Problema 25 Determine o módulo de um vector que faz um ângulo de 45° com o eixoX( +) e de 60° com o eixo Y( +), se sabemos que a sua componente Vz = 3; escreva o

~--/ - --// /1

/ / 1

,L _1\ - - - I

1 \ F I\ 1 I1 \

I II I

1/ 1-)I F2 I / =ô> y~ '- I /- - - - - - ~j"./

x

Figura 4

4

vector em coordenadas ortogonais (cartesianas).

Problema 26 Dado o vector u = 5ex + 3ey - 2ez determine o módulo do mesmo e osângulos das correspondentes coordenadas esféricas.

Problema 27 Uma força é aplicada na origem de um referendal, e tem uma direcçãodeterminada pelos ângulos {}x = 75° e (}z = 112°. Sabendo que a componente em Y, daforça, é 1250 N, determine:

a) o valor de (}y;

b) as componentes e o módulo da força.

Problema 28 Determine o ângulo formado pelos vectores a, b e c, se

a + b + c = 5ey + 3ez ,

a - 3b + 2c = 3ex + 4ey ,

2a + b - c = 4ex + 2ez .

Problema 29 Uma antena com a altura de 27 m é sustentada pelos cabos AB, AC eAD como mostra a Fig.5, a = 17 m, b = 12 m, c = 14 m, d = 9 m, e = 8 m. Usandoo produto interno entre vectores determine o ângulo entre os cabos AB e AC e entre oscabos AC e AD.

Problema 30 Demonstre que u x (v x w) = v (u. w) - w (u· v).

Problema 31 Dado o vector a = 2ex + ey + 2ez determine:

a) o módulo do vector;

b) o vector unitário segundo a direcção de a;

c) o ângulo formado por a e b = 3ex - 4ey;

d) os co-senos directores de a x b.

Problema 32 Determine o valor de m para que os vectores uv = 2ex - mey - ez sejam perpendiculares entre si.

Problema 33 Determine o valor de a e b para que os vectores u = aex + 3ey + ez ev = 2ex + bey + 2ez sejam colineares entre si.

Problema 34 Determine a resultante de dois vectores VI e V2, sabendo que a projecçãoda resultante sobre um deles vale 4, que VI . V2 = O,e que IVI x V2! = 12.

Problema 35 Dados os vectores a + b = 11 (ex - ey) + 5ez e a - b = -5ex + 11ey+ gezdetermine:

a) a e b;

5