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C/2007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT3.5939ita(prova)/ÿCleo15.6.07

TURNO: MANHÃ No QUESTÕES: 30

PROFESSORES: Max e Onofre DATA: 21/06/2007

Simulado de Matemática – ITA

COLÉGIO 7 DE SETEMBRO

O Colégio que ensina o aluno a estudar FUNDADOR PROF. EDILSON BRASIL SOÁREZ

ALUNO(A):_______________________________________________________ No _____ TURMA: ______

3

oEnsinoMédio

Central de Atendimento: 4006.7777

C E A R Á

SEDE EDNILDO GOMES DE SOÁREZ

SEDE EDILSON BRASIL SOÁREZ

SEDE NILA GOMES DE SOÁREZ

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA

VESTIBULAR SIMULADO / 2007

PROVA DE MATEMÁTICA

INSTRUÇÕES

1. Esta prova tem duração de quatro horas.

2. Não é permitido deixar o local de exame antes de decorridas duas horas do início da prova.

3. Você poderá usar apenas lápis (ou lapiseira), caneta, borracha e régua. É proibido portar qualquer outro material escolar.

4. Esta prova é composta de 20 questões de múltipla escolha (numeradas de 01 a 20) e de 10 questões dissertativas (numeradas de 21a 30).

5. As 20 questões de múltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questões dissertativas aos 50% restantes.

6. Você recebeu este caderno de questões e um caderno de soluções com duas folhas de rascunho. Verifique se o caderno de questõesestá completo.

7. Numere seqüencialmente de 21 a 30, a partir do verso da capa, cada página do caderno de soluções. número atribuído a cada páginacorresponde ao da questão a ser resolvida. Não escreva no verso da parte superior da capa (região sombreada) do caderno desoluções. As folhas centrais coloridas deverão ser utilizadas apenas como rascunho e, portanto, não devem ser numeradas e nemdestacadas pelo candidato.

8. Cada questão de múltipla escolha admite uma única resposta.

9. As resoluções das questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, podem ser feitas a lápis e de ser apresentadas de forma clara, concisae completa. Respeite a ordem e o espaço disponível no caderno de soluções. Sempre que possível, use desenhos e gráficos.

10. Antes do final da prova, você receberá uma folha de leitura óptica, destinada à transcrição das respostas das questões numeradasde 01 a 20. Usando caneta preta, assinale a opção correspondente à resposta de cada uma das questões de múltipla escolha. Vocêdeve preencher todo o campo disponível para a resposta, sem extrapolar-lhe os limites.

11. Cuidado para não errar no preenchimento da folha de leitura óptica. Se isso ocorrer, avise o fiscal, que lhe fornecerá uma folha extracom o cabeçalho devidamente preenchido.

12. Não haverá tempo suplementar para o preenchimento da folha de leitura óptica.

13. Na última página do caderno de soluções, existe uma reprodução da folha de leitura óptica, que deverá ser preenchida com um simplestraço a lápis, durante a realização da prova.

14. A não devolução do caderno de soluções e/ou da folha de leitura óptica implicará a desclassificação do candidato.

15. Aguarde o aviso para iniciar a prova. Ao terminá-la, avise o fiscal e aguarde-o no seu lugar.

C E A R Á

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2COLÉGIO7 DE SETEMBRO

Prova de Matemática –3o Ano/EM (SIMULADO ITA/2007)Professores: Max e Onofre

2C E A R Á

QUESTÃO 01

Determine o número de pares ordenados (x; y) de inteiros tais que (|x| – 2)2 + (|y| – 2)2 < 5 .

A) 18

B) 24C) 42

D) 48

E) 54

QUESTÃO 02

Seja U um conjunto não-vazio e A, B, C subconjuntos não-vazios de U. Sobre as afirmações:

I. (A ∩ B) – C = A ∩ (B – C)II. (A ∪ B) – C = A ∪ (B – C)III. A – (B – C) = (A – B)∪ (A∩ C) podemos afirmar que:

A) todas as afirmações estão corretas;

B) só existe uma afirmação correta;

C) as afirmações I e II estão corretas;

D) as afirmações II e III estão corretas;

E) as afirmações I e III estão corretas.

QUESTÃO 03

Considere o conjunto A = {x ∈ R ; x ≥ 0 e x2 ≥ 2x}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:

I.

3

A2 ∈ .

II. n(A ∩ Z) = 3.

III. Se a; b ∈ A, então a b2

+ ∈ AA.

Podemos armar que:

A) todas as afirmações estão erradas;

B) só existe uma afirmação correta;

C) as afirmações I e II estão corretas;

D) as afirmações I e III estão corretas;

E) as afirmações II e III estão corretas.

QUESTÃO 04

Seja f :R * → R uma função definida por f(x) = 1xx

+ . Podemos então concluir que:

A) f é injetora, mas não sobrejetora;

B) f é sobrejetora, mas não injetora;

C) f é bijetora;

D) f não é injetora nem sobrejetora;

E) a imagem de f éR .

QUESTÕES OBJETIVAS

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3C E A R Á

QUESTÃO 05

Dadas as funções f : R → R , estritamente crescente, e g : R → R , estritamente decrescente, tais que a função f o g : R → R sejasobrejetora, considere as afirmações:

I. f é sobrejetora, inversível e sua inversa é estritamente crescente.

II. g é sobrejetora, inversível e sua inversa é estritamente decrescente.

III. f o g é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente.

Sobre as afirmações acima, podemos afirmar que:

A) apenas I é verdadeira.

B) apenas II é verdadeira.

C) apenas II e III são verdadeiras.

D) todas são falsas.

E) todas são verdadeiras.

QUESTÃO 06

Determine a imagem da função2

2

x 1 x 1f ( x )x 1 x 1

+ + −=+ + +

.

A) R

B) [– 1;+∞)C) (– ∞; 1]D) (– 1; 1)

E) (– ∞; – 1) ∪ (1;+ ∞)

QUESTÃO 07

Sobre os lados AB, BC e AC do triângulo ABC, respectivamente, tomamos pontos D, E e F tais que as razões AD/ DB, BE/ EC e CF/ FAformam uma progressão geométrica de razão q. A razão entre a área do triângulo DEF e a área do triângulo ABC é igual a:

A)2

2

q q 1

(q 1)

+ −+

B)2

q 1

q 1

++

C)2

2

q q 1

q

− +

D)2

q

(q 1)+

E)2

1

q 1+

QUESTÃO 08

No triângulo ABC, as medidas dos seus lados são inteiros consecutivos e a mediana relativa ao lado BC é perpendicular a bissetriz

interna do ângulo ∠ABC. Qual maior valor possível para o perímetro do triângulo ABC?A) 6

B) 8

C) 9D) 12

E) 16

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4C E A R Á

QUESTÃO 09

Se x, y e z são três números reais positivos tais que xyz(x + y + z) = 1, o menor valor possível da expressão (x + y)(y + z) é igual a:

A)1

2

B)2

3

C)4

3

D)3

2

E) 2

QUESTÃO 10

Se (x2 + 3x – 4)3 + (2x2 – 5x + 3)3 = (3x2 – 2x – 1)3 então a diferença entre a maior e a menor raiz real desta equação é igual a:

A) 5

B)11

2

C) 6

D)13

2

E) 7

QUESTÃO 11

O valor da expressão tg20º + tg80º + tg140º é:

A) 3

B) 1

C) 3

D)3

3

E) 3 3

QUESTÃO 12

Seja (1 + x + x2)10 = A0 + A

1x + A

2x2 + A

3x3 + ... + A

20x20. Assinale a alternativa na qual consta o valor de A

1 + A

3 + A

5 + ... + A

19.

A) 1 + 3 + 32 + ... + 37 + 38 + 39

B) 0

C) 103D) – 1 + 3 – 32 + ... + 37 – 38 + 39

E) 1

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5C E A R Á

QUESTÃO 13

Determine a soma de todos os valores de x no intervalo [0, π], que são soluções da equação:

3

2

1tg x 1 3cot g x 3

2cos x

π − + − − =

A)3π

B)2

3

π

C)3

4

π

D)7

4

π

E) π

QUESTÃO 14

Se A e B são ângulos agudos tal que:( ) ( )

2 23 sen A 2 sen B 1

3 sen 2A 2 sen 2B 0

⋅ + ⋅ =

⋅ − ⋅ = então A + 2B é igual a:

A)2

π

B)4

π

C)2

3

π

D)7

12

π

E)7

10

π

QUESTÃO 15

Um segmento de reta desloca-se no plano cartesiano de tal forma que uma de suas extremidades permanece sempre no eixo y e o seu

ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma:

A) circunferência.B) parábola.

C) reta.

D) elipse.

E) hipérbole.

QUESTÃO 16

O número máximo de pontos de intersecção entre 2007 circunferências distintas é:

A) 4014

B) 4026042

C) 2013021

D) 2007

E) 20072007

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6C E A R Á

QUESTÃO 17

Determine o menor inteiro maior que ( )6

3 2+ .

A) 972

B) 971

C) 970

D) 969

E) 968

QUESTÃO 18

Dado um decágono, quantos são os triângulos cujos vértices são vértices não-consecutivos do decágono?

A) 120

B) 60

C) 55

D) 50

E) 35

QUESTÃO 19

Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 questões. Cada questão, independentemente da parte a que pertença, vale 1 ponto, sendo

o critério de correção “certo” ou “errado”. De quantas maneiras diferentes podemos alcançar 10 pontos nessa prova, se devem ser

resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 questões no total?

A) 1500

B) 500

C) 5000

D) 50

E) 3000

QUESTÃO 20

Considere a região do plano cartesiano xy definida pela desigualdade x2 + 4x + y2 – 4y – 8 ≤ 0. Quando esta região rodar um ângulo

de6

π radianos em torno da reta x + y = 0, ela irá gerar um sólido de superfície externa total com área igual a:

Observação: A área da superfície de uma esfera é dada por 4πR 2, onde R é o raio da esfera:

A)128

3

π

B)128

4

π

C)128

5

π

D)128

6

π

E)128

7

π

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7C E A R Á

QUESTÕES DISSERTATIVAS

QUESTÃO 21

Seja N = {0, 1, 2, ...}. Ache todas as funções f : N* → N tais que:• f(x . y) = f(x) + f(y)

• f(30) = 0

• f(x) = 0 sempre que o algarismo das unidades de x é 7.

QUESTÃO 22

Seja A = {1, 2, ... 2007}. Ache todas as funções injetoras f : A → A tais que |f(1) – 1| = |f(2) – 2| = ... = |f(2007) – 2007|.

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8C E A R Á

QUESTÃO 23

Para quantos valores inteiros de a, com |a| ≤ 2007, o sistema de equações2

2

x y a

y x a

= +

= + tem solução inteira?

QUESTÃO 24

Um quadrilátero convexo ABCD está inscrito numa semi-circunferência de diâmetro AB. Sejam S o ponto de interseção de AC e BD

e T o pé da perpendicular baixada de S a AB. Mostre que ST divide o ângulo ∠CTD ao meio.

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9C E A R Á

QUESTÃO 25

Sejam D e E, respectivamente, pontos sobre os lados BC e AC do triângulo ABC. Seja P o ponto de interseção das cevianas AD e BE. As

áreas dos triângulos ABD, ABE e ABP valem, respectivamente, 15 cm2, 12 cm2 e 8 cm2. Determine a área do quadrilátero CEPD.

QUESTÃO 26Dada a elipse x2 + 4y2 = 4, determine o lugar geométrico dos pontos M externos à elipse tais que as tangentes à elipse, traçadas por M,

sejam perpendiculares.

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10C E A R Á

QUESTÃO 27

Determine o conjunto imagem da função f(x) = a . sen2x + b . senx . cosx + c . cos2x, onde 0 ≤ x ≤ 2π e a, b, c ∈ R .

QUESTÃO 28

Determine em função de n o valor exato da expressão( )

k 1n

n

k 1

n 11 k S

k k 1

−

=

+− ⋅ = ⋅ +

∑ , onde n é um número inteiro com n ≥ 1.

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11C E A R Á

QUESTÃO 29

A equação 12x2 + y2 – 7xy + 2x – y – 2 = 0 representa duas retas. Sendo θ o ângulo agudo formado entre elas, determine:

A) o valor de ( )13

tg cot g5

⋅ θ + θ .

B) Determine a área do quadrilátero formado por essas retas e os eixos coordenados.

QUESTÃO 30

Quinze questões, numeradas de 1 a 15 foram proposta em um teste. Se N estudantes participaram desse teste, determine o valor máximo

de N, sabendo que:

I. Nenhum estudante respondeu corretamente dois problemas consecutivos.

II. Não existe dois estudantes com a mesma seqüência de respostas corretas.

III. Cada estudante respondeu toda a prova, ou seja, não deixou questão sem responder.

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