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8/16/2019 048_ita III - Prova
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C/2007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT3.5939ita(prova)/ÿCleo15.6.07
TURNO: MANHÃ No QUESTÕES: 30
PROFESSORES: Max e Onofre DATA: 21/06/2007
Simulado de Matemática – ITA
COLÉGIO 7 DE SETEMBRO
O Colégio que ensina o aluno a estudar FUNDADOR PROF. EDILSON BRASIL SOÁREZ
ALUNO(A):_______________________________________________________ No _____ TURMA: ______
3
oEnsinoMédio
Central de Atendimento: 4006.7777
C E A R Á
SEDE EDNILDO GOMES DE SOÁREZ
SEDE EDILSON BRASIL SOÁREZ
SEDE NILA GOMES DE SOÁREZ
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
VESTIBULAR SIMULADO / 2007
PROVA DE MATEMÁTICA
INSTRUÇÕES
1. Esta prova tem duração de quatro horas.
2. Não é permitido deixar o local de exame antes de decorridas duas horas do início da prova.
3. Você poderá usar apenas lápis (ou lapiseira), caneta, borracha e régua. É proibido portar qualquer outro material escolar.
4. Esta prova é composta de 20 questões de múltipla escolha (numeradas de 01 a 20) e de 10 questões dissertativas (numeradas de 21a 30).
5. As 20 questões de múltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questões dissertativas aos 50% restantes.
6. Você recebeu este caderno de questões e um caderno de soluções com duas folhas de rascunho. Verifique se o caderno de questõesestá completo.
7. Numere seqüencialmente de 21 a 30, a partir do verso da capa, cada página do caderno de soluções. número atribuído a cada páginacorresponde ao da questão a ser resolvida. Não escreva no verso da parte superior da capa (região sombreada) do caderno desoluções. As folhas centrais coloridas deverão ser utilizadas apenas como rascunho e, portanto, não devem ser numeradas e nemdestacadas pelo candidato.
8. Cada questão de múltipla escolha admite uma única resposta.
9. As resoluções das questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, podem ser feitas a lápis e de ser apresentadas de forma clara, concisae completa. Respeite a ordem e o espaço disponível no caderno de soluções. Sempre que possível, use desenhos e gráficos.
10. Antes do final da prova, você receberá uma folha de leitura óptica, destinada à transcrição das respostas das questões numeradasde 01 a 20. Usando caneta preta, assinale a opção correspondente à resposta de cada uma das questões de múltipla escolha. Vocêdeve preencher todo o campo disponível para a resposta, sem extrapolar-lhe os limites.
11. Cuidado para não errar no preenchimento da folha de leitura óptica. Se isso ocorrer, avise o fiscal, que lhe fornecerá uma folha extracom o cabeçalho devidamente preenchido.
12. Não haverá tempo suplementar para o preenchimento da folha de leitura óptica.
13. Na última página do caderno de soluções, existe uma reprodução da folha de leitura óptica, que deverá ser preenchida com um simplestraço a lápis, durante a realização da prova.
14. A não devolução do caderno de soluções e/ou da folha de leitura óptica implicará a desclassificação do candidato.
15. Aguarde o aviso para iniciar a prova. Ao terminá-la, avise o fiscal e aguarde-o no seu lugar.
C E A R Á
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2COLÉGIO7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática –3o Ano/EM (SIMULADO ITA/2007)Professores: Max e Onofre
2C E A R Á
QUESTÃO 01
Determine o número de pares ordenados (x; y) de inteiros tais que (|x| – 2)2 + (|y| – 2)2 < 5 .
A) 18
B) 24C) 42
D) 48
E) 54
QUESTÃO 02
Seja U um conjunto não-vazio e A, B, C subconjuntos não-vazios de U. Sobre as afirmações:
I. (A ∩ B) – C = A ∩ (B – C)II. (A ∪ B) – C = A ∪ (B – C)III. A – (B – C) = (A – B)∪ (A∩ C) podemos afirmar que:
A) todas as afirmações estão corretas;
B) só existe uma afirmação correta;
C) as afirmações I e II estão corretas;
D) as afirmações II e III estão corretas;
E) as afirmações I e III estão corretas.
QUESTÃO 03
Considere o conjunto A = {x ∈ R ; x ≥ 0 e x2 ≥ 2x}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:
I.
3
A2 ∈ .
II. n(A ∩ Z) = 3.
III. Se a; b ∈ A, então a b2
+ ∈ AA.
Podemos armar que:
A) todas as afirmações estão erradas;
B) só existe uma afirmação correta;
C) as afirmações I e II estão corretas;
D) as afirmações I e III estão corretas;
E) as afirmações II e III estão corretas.
QUESTÃO 04
Seja f :R * → R uma função definida por f(x) = 1xx
+ . Podemos então concluir que:
A) f é injetora, mas não sobrejetora;
B) f é sobrejetora, mas não injetora;
C) f é bijetora;
D) f não é injetora nem sobrejetora;
E) a imagem de f éR .
QUESTÕES OBJETIVAS
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3COLÉGIO7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática –3o Ano/EM (SIMULADO ITA/2007)Professores: Max e Onofre
3C E A R Á
QUESTÃO 05
Dadas as funções f : R → R , estritamente crescente, e g : R → R , estritamente decrescente, tais que a função f o g : R → R sejasobrejetora, considere as afirmações:
I. f é sobrejetora, inversível e sua inversa é estritamente crescente.
II. g é sobrejetora, inversível e sua inversa é estritamente decrescente.
III. f o g é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente.
Sobre as afirmações acima, podemos afirmar que:
A) apenas I é verdadeira.
B) apenas II é verdadeira.
C) apenas II e III são verdadeiras.
D) todas são falsas.
E) todas são verdadeiras.
QUESTÃO 06
Determine a imagem da função2
2
x 1 x 1f ( x )x 1 x 1
+ + −=+ + +
.
A) R
B) [– 1;+∞)C) (– ∞; 1]D) (– 1; 1)
E) (– ∞; – 1) ∪ (1;+ ∞)
QUESTÃO 07
Sobre os lados AB, BC e AC do triângulo ABC, respectivamente, tomamos pontos D, E e F tais que as razões AD/ DB, BE/ EC e CF/ FAformam uma progressão geométrica de razão q. A razão entre a área do triângulo DEF e a área do triângulo ABC é igual a:
A)2
2
q q 1
(q 1)
+ −+
B)2
q 1
q 1
++
C)2
2
q q 1
q
− +
D)2
q
(q 1)+
E)2
1
q 1+
QUESTÃO 08
No triângulo ABC, as medidas dos seus lados são inteiros consecutivos e a mediana relativa ao lado BC é perpendicular a bissetriz
interna do ângulo ∠ABC. Qual maior valor possível para o perímetro do triângulo ABC?A) 6
B) 8
C) 9D) 12
E) 16
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4COLÉGIO7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática –3o Ano/EM (SIMULADO ITA/2007)Professores: Max e Onofre
4C E A R Á
QUESTÃO 09
Se x, y e z são três números reais positivos tais que xyz(x + y + z) = 1, o menor valor possível da expressão (x + y)(y + z) é igual a:
A)1
2
B)2
3
C)4
3
D)3
2
E) 2
QUESTÃO 10
Se (x2 + 3x – 4)3 + (2x2 – 5x + 3)3 = (3x2 – 2x – 1)3 então a diferença entre a maior e a menor raiz real desta equação é igual a:
A) 5
B)11
2
C) 6
D)13
2
E) 7
QUESTÃO 11
O valor da expressão tg20º + tg80º + tg140º é:
A) 3
B) 1
C) 3
D)3
3
E) 3 3
QUESTÃO 12
Seja (1 + x + x2)10 = A0 + A
1x + A
2x2 + A
3x3 + ... + A
20x20. Assinale a alternativa na qual consta o valor de A
1 + A
3 + A
5 + ... + A
19.
A) 1 + 3 + 32 + ... + 37 + 38 + 39
B) 0
C) 103D) – 1 + 3 – 32 + ... + 37 – 38 + 39
E) 1
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5COLÉGIO7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática –3o Ano/EM (SIMULADO ITA/2007)Professores: Max e Onofre
5C E A R Á
QUESTÃO 13
Determine a soma de todos os valores de x no intervalo [0, π], que são soluções da equação:
3
2
1tg x 1 3cot g x 3
2cos x
π − + − − =
A)3π
B)2
3
π
C)3
4
π
D)7
4
π
E) π
QUESTÃO 14
Se A e B são ângulos agudos tal que:( ) ( )
2 23 sen A 2 sen B 1
3 sen 2A 2 sen 2B 0
⋅ + ⋅ =
⋅ − ⋅ = então A + 2B é igual a:
A)2
π
B)4
π
C)2
3
π
D)7
12
π
E)7
10
π
QUESTÃO 15
Um segmento de reta desloca-se no plano cartesiano de tal forma que uma de suas extremidades permanece sempre no eixo y e o seu
ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma:
A) circunferência.B) parábola.
C) reta.
D) elipse.
E) hipérbole.
QUESTÃO 16
O número máximo de pontos de intersecção entre 2007 circunferências distintas é:
A) 4014
B) 4026042
C) 2013021
D) 2007
E) 20072007
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6COLÉGIO7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática –3o Ano/EM (SIMULADO ITA/2007)Professores: Max e Onofre
6C E A R Á
QUESTÃO 17
Determine o menor inteiro maior que ( )6
3 2+ .
A) 972
B) 971
C) 970
D) 969
E) 968
QUESTÃO 18
Dado um decágono, quantos são os triângulos cujos vértices são vértices não-consecutivos do decágono?
A) 120
B) 60
C) 55
D) 50
E) 35
QUESTÃO 19
Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 questões. Cada questão, independentemente da parte a que pertença, vale 1 ponto, sendo
o critério de correção “certo” ou “errado”. De quantas maneiras diferentes podemos alcançar 10 pontos nessa prova, se devem ser
resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 questões no total?
A) 1500
B) 500
C) 5000
D) 50
E) 3000
QUESTÃO 20
Considere a região do plano cartesiano xy definida pela desigualdade x2 + 4x + y2 – 4y – 8 ≤ 0. Quando esta região rodar um ângulo
de6
π radianos em torno da reta x + y = 0, ela irá gerar um sólido de superfície externa total com área igual a:
Observação: A área da superfície de uma esfera é dada por 4πR 2, onde R é o raio da esfera:
A)128
3
π
B)128
4
π
C)128
5
π
D)128
6
π
E)128
7
π
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7COLÉGIO7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática –3o Ano/EM (SIMULADO ITA/2007)Professores: Max e Onofre
7C E A R Á
QUESTÕES DISSERTATIVAS
QUESTÃO 21
Seja N = {0, 1, 2, ...}. Ache todas as funções f : N* → N tais que:• f(x . y) = f(x) + f(y)
• f(30) = 0
• f(x) = 0 sempre que o algarismo das unidades de x é 7.
QUESTÃO 22
Seja A = {1, 2, ... 2007}. Ache todas as funções injetoras f : A → A tais que |f(1) – 1| = |f(2) – 2| = ... = |f(2007) – 2007|.
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8COLÉGIO7 DE SETEMBRO
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8C E A R Á
QUESTÃO 23
Para quantos valores inteiros de a, com |a| ≤ 2007, o sistema de equações2
2
x y a
y x a
= +
= + tem solução inteira?
QUESTÃO 24
Um quadrilátero convexo ABCD está inscrito numa semi-circunferência de diâmetro AB. Sejam S o ponto de interseção de AC e BD
e T o pé da perpendicular baixada de S a AB. Mostre que ST divide o ângulo ∠CTD ao meio.
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9COLÉGIO7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática –3o Ano/EM (SIMULADO ITA/2007)Professores: Max e Onofre
9C E A R Á
QUESTÃO 25
Sejam D e E, respectivamente, pontos sobre os lados BC e AC do triângulo ABC. Seja P o ponto de interseção das cevianas AD e BE. As
áreas dos triângulos ABD, ABE e ABP valem, respectivamente, 15 cm2, 12 cm2 e 8 cm2. Determine a área do quadrilátero CEPD.
QUESTÃO 26Dada a elipse x2 + 4y2 = 4, determine o lugar geométrico dos pontos M externos à elipse tais que as tangentes à elipse, traçadas por M,
sejam perpendiculares.
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10COLÉGIO7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática –3o Ano/EM (SIMULADO ITA/2007)Professores: Max e Onofre
10C E A R Á
QUESTÃO 27
Determine o conjunto imagem da função f(x) = a . sen2x + b . senx . cosx + c . cos2x, onde 0 ≤ x ≤ 2π e a, b, c ∈ R .
QUESTÃO 28
Determine em função de n o valor exato da expressão( )
k 1n
n
k 1
n 11 k S
k k 1
−
=
+− ⋅ = ⋅ +
∑ , onde n é um número inteiro com n ≥ 1.
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11/11
C/2007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT3.5939ita(prova)/ÿCleo15.6.07
11COLÉGIO7 DE SETEMBRO
Prova de Matemática –3o Ano/EM (SIMULADO ITA/2007)Professores: Max e Onofre
11C E A R Á
QUESTÃO 29
A equação 12x2 + y2 – 7xy + 2x – y – 2 = 0 representa duas retas. Sendo θ o ângulo agudo formado entre elas, determine:
A) o valor de ( )13
tg cot g5
⋅ θ + θ .
B) Determine a área do quadrilátero formado por essas retas e os eixos coordenados.
QUESTÃO 30
Quinze questões, numeradas de 1 a 15 foram proposta em um teste. Se N estudantes participaram desse teste, determine o valor máximo
de N, sabendo que:
I. Nenhum estudante respondeu corretamente dois problemas consecutivos.
II. Não existe dois estudantes com a mesma seqüência de respostas corretas.
III. Cada estudante respondeu toda a prova, ou seja, não deixou questão sem responder.