01 - a carta de smith de impedâncias · a carta de smith pode inclusive ser aplicada ao caso de...

Universidade Estadual Paulista – UNESPFaculdade de Engenharia de Ilha Solteira - FEISDepartamento de Engenharia Elétrica - DEE

Ondas e Linhas de Comunicações

Capítulo 6 – Métodos Gráficos em LT (Smith Chart)

Ilha Solteira 2018

01 - A Carta de Smith de Impedâncias

A carta de Smith foi desenvolvida em 1939 por P. Smith nos Bell Telephone Laboratories.

O leitor pode imaginar que, nesses dias de calculadoras científicas e poderosos computa-dores, soluções gráficas não tenham lugar na engenharia moderna.

Contudo, a carta de Smith é mais que uma técnica gráfica!

Além de ser parte integral de muitos softwares para CAD - Computer-Aided Design atuais, e, de muitos equipamentos de teste para projetos de microondas, a carta de Smith proporciona uma maneira extremamente útil de visualização de fenômenos em LTs e, portanto, também é importante por motivos pedagógicos.

A carta de Smith é muito útil no projeto de circuitos de micro-ondas, e, é usado até mesmo na área de acústica na faixa de microondas (microwave ultrasound).

Um engenheiro de microondas pode desenvolver sua intuição a respeito de problemas de LT e casamento de impedâncias, aprendendo a raciocinar em termos de carta de Smith.

Como na engenharia elétrica se trabalha com valores de tensão e corrente, esta ferra-menta é aplicável ao caso de LTs com ondas TEM, onde essas ondas são univocamente definidas.

A carta de Smith pode inclusive ser aplicada ao caso de linhas com ondas não-TEM como, por exemplo, em guias de ondas.

Um network analyser é um equipamento cujo display é uma carta de Smith e, portanto, o conhecimento dessa técnica é de fundamental importância à sua operação.

Vectorial network analyser

No projeto de circuitos de RF, o projetista está interessado em ondas de tensão [V(d)] e corrente [I(d)], impedâncias de onda [Z(d)] e coeficientes de reflexão [Γ(d)].

Através de um tipo de Transformação Conforme, chamada de transformação bilinear, a carta de Smith permite realizar, com simplicidade, a transformação de impedância quando se ‘caminha’ longo de uma LT, e converter esse valor num coeficiente de reflexão, e vice-versa.

A transformação de impedâncias é necessária, por exemplo, para proporcionar:

• Máxima transferência de potência, ao se casar a carga com a LT (assumindo gerador casado);

• Melhoria da relação sinal-ruído (SNR) de um sistema, como consequência do casamento de impedâncias entre os componentes de um receptor sensível (antena, amplificador de baixo ruído, etc.);

• Redução dos erros de amplitude e de fase devido ao casamento de impedâncias numa rede de distribuição de potência (como um alimentador de array de antenas).

0( )d d

L

d dL

e eZ d Z

e e

γ γ

γ γ

−

−

+ Γ = − Γ

Para uma LT sem perdas, a impedância de onda medida em relação à carga é dada por:

Quando se trabalha com impedâncias na carta de Smith, grandezas normalizadas são usadas, as quais serão denotadas por letras minúsculas; a constante de normalização geralmente é a impedância característica da LT.

Define-se a impedância de onda normalizada em função da posição d como:

onde r e x são as resistência e reatância de onda normalizadas.

Substituindo na expressão de z(d), é possível mostrar que:

2

0 0 2

1( )

1

j d j d j dL L

j d j d j dL L

e e eZ d Z Z

e e e

β β β

β β β

− −

− −

+ Γ + Γ = = − Γ − Γ

2

20

1( )( )1

j dL

j dL

eZ dz d r jxZ e

β

β

−

−

+ Γ= = +− Γ

LjLL e φΓ=Γ

LjLL e φΓ=Γ

2

2

11 2 cos( 2 )

L

L L L

rdφ β

− Γ=

+ Γ − Γ −

2

2 sen( 2 )1 2 cos( 2 )

L L

L L L

dx

dφ β

φ βΓ −

=+ Γ − Γ −

( 2 )( ) Lj dLd e φ β−Γ = Γ

O coeficiente de reflexão numa posição ‘d’ da LT, Γ(d), pode ser representado por:

Definindo-se um novo sistema de coordenadas (ξ,η) como:

tem-se:

{ }( ) cos( 2 ) sen( 2 )L L Ld d j dφ β φ βΓ = Γ − + −

cos( 2 )L L dξ φ β= Γ −

sen( 2 )L L dη φ β= Γ −

( 2 )( ) Lj dLd e jφ β ξ η−Γ = Γ = +

η

ζ

2L dφ β−LΓ

( 2 )2( ) Lj dj dL Ld e e jφ ββ ξ η−−Γ = Γ = Γ = +

cos( 2 )L L dξ φ β= Γ −


2

2

11 2 cos( 2 )

L

L L L

rdφ β

− Γ=

+ Γ − Γ −

2

2 sen( 2 )1 2 cos( 2 )

L L

L L L

dx

dφ β

φ βΓ −

=+ Γ − Γ −

Com isso, é possível mostrar que r e x podem ser escritos como:

A manipulação algébrica desse sistema de equações conduz a:

uma transformação bilinear*, do plano (r,x) para o plano (ξ,η).______________________________________________________*Trata-se de um tipo de mapeamento conforme, no qual, segmentos perpendiculares no plano (r,x) são

convertidas em segmentos perpendiculares no plano (ξ,η), e, círculos são mapeados em círculos.

2 2

2 21

1 2r ξ η

ξ η ξ− −=

+ + −

2 22

1 2x η

ξ η ξ=

+ + −

2 22 1

1 1r

r rξ η − + = + +

( )2 2

2 1 11x x

ξ η − + − =

2 22 1

1 1r

r rξ η − + = + +

( , ) ,01

rm nr

= +

A) Análise da equação

Trata-se de uma família de círculos no plano (ξ,η), com raios R=1/(1+r) e centros nos

pontos .

O raio máximo é igual a 1 e ocorre quando r=0, no centro (0,0).

transformação

jη

ξ

1

1-1

-1

0

r

5 r

jx

210,30

transformação

jη

ξ

r =0

r =1/3

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1

1

-1

•

R=3/4

(m,n)=(1/4,0)

2 22 1

1 1r

r rξ η − + = + +

r

5 r

jx

210,30

transformação

jη

ξ

r =0

r =1/3

r =1

1

-1

•

R=1/2

(m,n)=(1/2,0)

2 22 1

1 1r

r rξ η − + = + +

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1

r

5 r

jx

210,30

transformação

jη

ξ•

r =0

r =1/3

r =1r =2

1

-1

R=1/3(m,n)=(2/3,0)

2 22 1

1 1r

r rξ η − + = + +

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1••

r

5 r

jx

210,30

transformação

jη

ξ

r =0

r =1/3

r =1r =2

r =5

1

-1

•

R=1/6(m,n)=(5/6,0)

2 22 1

1 1r

r rξ η − + = + +

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1•• • •

r

5 r

jx

210,30

transformação

jη

ξ•

r =0

r =1/3

r =1r =2

r =5r =∞

1

-1

2 22 1

1 1r

r rξ η − + = + +

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1• • • • •

rr r r r r •

r =∞

jη

ξ

1( , ) 0,m nx

=

B) Análise da equação

Trata-se de uma família de círculos no plano (ξ,η), com raios R=1/⏐x⏐ e centros nos

pontos .

O raio máximo é igual a ∞ e ocorre quando r=0, no centro (0,0).

( )2 2

2 1 11x x

ξ η − + − =

transformação

ξ

jη

5

3

2/56/5

-3/5-1-2

jx

r

jη

1

-1

x =3

ξ

transformação

•(m,n)=(1, 1/3)

R=1/3( )

2 22 1 11

x xξ η − + − =

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1•• •••

•

•

•

•

•

•

5

3

2/56/5

-3/5-1-2

jx

r

jη

1

-1

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1

x =3

ξ

•

x =-2

R=1/2(m,n)=(1,-1/2)

transformação

( )2 2

2 1 11x x

ξ η − + − =

•• •••

•

•

•

•

•

•

5

3

2/56/5

-3/5-1-2

jx

r

jη

1

-1

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1

x =3

ξ

•x =-1

x =-2

R=1

(m,n)=(1,-1)

transformação

( )2 2

2 1 11x x

ξ η − + − =

•• •••

•

•

•

•

•

•

5

3

2/56/5

-3/5-1-2

jx

r

jη

1

-1

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1

•

x =3

ξ

x =-1

x =6/5=1,2

x =-2

(m,n)=(1, 5/6)

R=5/6

transformação

( )2 2

2 1 11x x

ξ η − + − =

•• •••

•

••

•

•

•

5

3

2/56/5

-3/5-1-2

jx

r

jη

1

-1

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1

x =3

ξ

x =-1

x =2/5=0,4

x =6/5=1,2

x =-2

transformação

( )2 2

2 1 11x x

ξ η − + − =

•• •••

•

•

•

•

•

•

5

3

2/56/5

-3/5-1-2

jx

r

jη

1

-1

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1

x =3

ξ

x =-1

x =0

x =2/5=0,4

x =6/5=1,2

x =-2

transformação

( )2 2

2 1 11x x

ξ η − + − =

•• •••

•

•

•

•

•

•

5

3

2/56/5

-3/5-1-2

jx

r

jη

•

1

-1

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1

x =3

ξ

x =-1

x =0

x =2/5=0,4

x =6/5=1,2

x =-2x =-0,6

transformação

( )2 2

2 1 11x x

ξ η − + − =

•• •••

•

•

•

•

•

•

5

3

2/56/5

-3/5-1-2

jx

r

jη

•

1

-1

x =∞

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1

x =3

ξ

x =-1

x =0

x =2/5=0,4

x =6/5=1,2

x =-2x =-0,6

transformação

( )2 2

2 1 11x x

ξ η − + − =

••• •••

•

•

•

•

•

•

5

3

2/56/5

-3/5-1-2

jx

r

jη

•

1

-1

x =∞

-1 -3/4 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 3/4 1

x =3

ξ

•x =-1

x =0

x =2/5=0,4

x =6/5=1,2

x =-2x =-0,6

(m,n)=(1,-1)

x =-∞

transformação

( )2 2

2 1 11x x

ξ η − + − =

••• •••

•

•

•

•

•

•

jη

1

-1

x =∞

ξj x =0

x

x

x

x

xx

•

Exemplo:

Complete Smith chart:

r

r

x

x

x

x

Exemplo:

ξ

jηExemplo:

Apendix:

Carta de Smith de impedâncias: Transformação bilinear

Right Half Z PlaneInterior Unit Circle Γ Plane

02 – Propriedades da Carta de Smithde Impedâncias

z(d)=r+jx•

x

r

jη

ξ+1

+1

-1

-1 •

- Carta de Smith de impedâncias:Um ponto P na carta de Smith representa Γ(d), e, simultaneamente, z(d).

Ponto P: ( )d jξ ηΓ = +( )z d r jx= +

P

•

Exemplo:

• Característica da carta de Smith de impedâncias

i) A parte superior da carta (r>0, x>0) está associada à cargas indutivas.ii) A parte inferior (r>0, x<0), à cargas capacitivas.

z(d)=r+jx•

x

r

jη

ξ+1

+1

-1

-1 •

comportamentoindutivo

comportamentocapacitivo

ξ

jηExemplo:

z(d)=r+jx•

x

r

jη

ξ+1

+1

-1

-1


iii) Periferia da carta (r=0): cargas puramente reativas.iv) Eixo horizontal (x=0): cargas puramente resistivas.

r=0

x=0

resistivo•

ξ

jηExemplo:

, G(d)=0


v) Centro da carta (r=1,x=0) → z=1: carga casada, Γ(d)=0 (não há reflexão).

z(d)=r+jx•

x

r

jη

ξ+1

+1

-1

-1 •(1,0)


vi) Ponto (ξ=-1,η=0) → r=0 e x=0, ou z=0: curto-circuito.vii) Ponto (ξ=+1,η=0) → r=∞ e x=∞, ou z=∞: circuito aberto.

z(d)=r+jx•

jη

ξ+1

+1

-1

-1 • ••(r=0,x=0) (r=∞,x= ∞)curto-circuito circuito aberto

x

r

r=0

x=0

Resumo:

d

•

•

•

•

•

φL

φL-2βd

jη

ξ

0

ΓL

ΓL=Γ(0)

Γ(d)

jη

ξ

em direção ao gerador

0( 2 )( ) Lj d

Ld e φ β−Γ = Γ

subtrair


viii) Deslocamento na carta de Smith, da carga em direção ao gerador

Gerador carga

Para qualquer ponto ‘d’ da LT, ⏐Γ(d)⏐ permanececonstante, desde que não se mude a carga:

⏐Γ(d)⏐= ⏐ΓL⏐

Caminhar na LT, da carga para o gerador, equivale a percorrer a carta de Smith sobre um círculo de raio constante ⏐ΓL⏐, no sentido horário.

ix) Deslocamento de d=λg/2 em direção ao gerador:

é equivalente a uma volta completa na carta de Smith.

22 2 22

g

g

dλπβ π

λ= =

aumentar ‘d’:

subtrair


x) Normalmente, a carta é graduada em comprimento de onda. Uma volta completa equivale a caminhar λg/2 na LT.

λg/40

3λg/8

λg/8

λg/2

η

ξ

Smith chart App for nerds (limited edition):

03 – Utilização da carta de Smith

• Determinação do coeficiente de reflexãoConsidere-se uma LT com Z0=570Ω e ZL=(200+j150)Ω. Pede-se para calcular ΓL através da carta de Smith.

Solução:A impedância normalizada é:

zL=ZL/Z0=0,351+j0,263

Obs:

A partir da carta de Smith se obtém (usar regra de três): ΓL= 0,51 / 1470

0,35

1

zL

•0 ξ

jη

0

00

0

0

200 150 570200 150 570

394, 2157,93370 150770 150 784,511,02

0,53146,91

LL

L

Z Z j ZZ Z j Z

jj

− + −Γ = =+ + +

− += =+

=

Regra de três:raio/circulo, mm → 1 raio vetor, mm → | ΓL |

1-1

1

-1

r

jx

1470

r

r

r

r

Escala de ângulo: φL

|ΓL|: regra de trêsraio/circulo, mm → 1raio vetor, mm → | ΓL |

Cuidado:medição de φL

Erro!

j0,263

r=0,351

• Círculos de SWR constante

Sabe-se que: ,

e também, que , e assim, .

Portanto, é possível escrever o SWR como (para qualquer d),

o qual não depende da fase de Γ(d) (ou de ΓL). Ou seja, para qualquer ‘d’ numa LT com carga ZL, o SRW permanece constante.

Definem-se os círculos de SWR constante aqueles nos quais o raio, isto é, ⏐Γ(d)⏐, permanece constante e igual a ⏐ΓL⏐.

max

min

11

1L

L

VSWR

V+ Γ

= = ≥− Γ

( 2 )( ) Lj dLd e φ β−Γ = Γ ( ) LdΓ = Γ

1 1 ( )1 1 ( )

L

L

dSWR

d+ Γ + Γ

= =− Γ − Γ

0

0

ZZZZ

L

LL −

−=Γ

•

jη

ξ

LG SWR constante

•zL

ξ

jη

Como medir o valor de cada SWR?

Exemplo: círculos de SWR’s constantes

1=

• Medição de SWR na carta de Smith:

a) Foi visto que 1≤SWR≤∞; também, que nos pontos onde a tensão é máxima e com Z0real, ocorre (ver Capítulo 5) Z(d)|Vmax=Z0 SWR puramente real. Nestes pontos,

puramente real (r0).

Com isto, SWR=zVmax=r0>1 (lado direito da carta de Smith), sendo r0 é puramente real.

b) Foi visto que nos pontos onde a tensão é mínima e com Z0 real, ocorre (ver Capítulo 5)Z(d)|Vmin=Z0 / SWR puramente real. Nestes pontos,

puramente real (r’0).

Com isto, SWR=1/zVmin=1/r’0>1 → r’0<1 (lado esquerdo da carta de Smith), r’0 real.

Como o SWR deve ser o mesmo, independentemente da forma de medição → r0=1/r’0.

Observação: existe uma outra forma de se mostrar o resultado acima.

maxmax

0

( )V

V

Z dz SWR

Z= =

minmin

0

( ) 1VV

Z dz

Z SWR= =

1=

Medição de SWR na carta de Smith:Pode-se escrever z(d) como:

No caso particular onde, na distância “d”, z(d) é puramente real (como em zVmax e zVmin), pode-se escrever:

a) Se r0>1, é positivo, e daí:

onde r0 está no semi-plano direito do espaço (η,ξ).

b) Se r’0<1, é negativo, e daí:

onde 1/r’0 está no semi-plano esquerdo do espaço (η,ξ).

2

20

1( )( )1

j dL

j dL

eZ dz d r jxZ e

β

β

−

−

+ Γ= = +− Γ

2( ) j dLd e β−Γ = Γ

1 ( )( )1 ( )

dz d r jxd

+ Γ= + =− Γ

0

0

11

rr

−+

0

00

0

0

111 ( ) 11 ( ) 11

1

rd r

SWR rd r

r

−+ + Γ + = = =− Γ −− +

max

min

11

1L

L

VSWR

V+ Γ

= = ≥− Γ

0

0

00

0

111 ( ) 1 11 ( ) 11

1

rd r

SWRd rr

r

′ −− ′+ Γ + = = =′− Γ ′ −+ ′ +

0

0

11

rr′ −′ +

00

0

11 ( )0 ( )1 ( ) 1

rdr j dd r

−+ Γ+ = Γ =− Γ +

1/SWR SWR

-1

-1

1

1

jη

ξr’0 r0

r=1r<1 r>1

LG de jx=0 [z(d)=r, puramente real]

•• •

Exemplo:

•zL

ΓL

r0=5=SWRr’0=1/5, SWR=5

Exemplo:

jη

ξ1

1

-1

-1

0•

•

2,8

1,6

j1,2

zL 390

0,36

Exemplo: medição do coeficiente de onda estacionáriaConsiderando-se uma LT com Z0=50Ω e ZL=(80+j60)Ω, medir ΓL e o SWR.

Solução:

Carga normalizada:

zL=ZL/Z0=1,6+j1,2

Pela carta, ΓL=0,47/390

(continua...)

00

0

0, 475 39LL

L

Z ZZ Z

−Γ = =

+(continua...)

(continua...)

jη

ξ1

1

-1

-1

0•

•

2,8

zL 390

0,36

Exemplo: medição do coeficiente de onda estacionáriaConsiderando-se uma LT com Z0=50Ω e ZL=(80+j60)Ω, medir ΓL e o SWR.

Solução:

Carga normalizada:

zL=ZL/Z0=1,6+j1,2

Pela carta, ΓL=0,47/390

SWR = 1/r=1/0,36=2,8

SWR = intercepto do círculode raio |ΓL| com o eixo real,lado esquerdo.

SWR=r=2,8

SWR = intercepto do círculo de raio |ΓL| com

o eixo real, lado direito.00

0

0, 475 39LL

L

Z ZZ Z

−Γ = =

+1

2,7641

L

L

SWR+ Γ

= =− Γ

(continua...)

1,6

j1,2

Cuidado com esta leitura:não é 3, mas sim 2,8!!!

####

região de pouca resolução!!

####

Nomógrafo: régua abaixo da carta de Smith

Uso da régua abaixo da carta de Smith:

Neste curso, somente algumas réguas serão estudadas.


a) Medição do coeficiente de reflexão

A terceira régua de cima para baixo fornece o módulo do coeficiente de reflexão numa escala linear.Como envolve apenas módulo, pode ser usada para medir o coeficiente de reflexão para onda de tensão ou de corrente.Esta escala varia entre zero (posição 0), no centro (CENTER), e a unidade, no extremo esquerdo, refletindo o fato que o módulo do coeficiente de reflexão varia entre 0 (nenhuma reflexão) e 1 (reflexão total).

Procedimento:

(i) Medir, com régua ou compasso, o comprimento da linha entre o centro da carta de Smith e o ponto zL.

(ii) Com a ponta seca em CENTER, referir-se ao sistema de coordenadas do lado esquerdo para medir | ΓL |.


b) Medição do coeficiente de onda estacionária (SWR)

A primeira régua de cima para baixo fornece o valor do coeficiente de onda estacionária (SWR), em escala linear ou em decibéis (dBS), para onda de tensão/corrente.Esta escala linear varia entre a unidade, no centro (CENTER), e infinito, no extremo esquerdo, refletindo o fato que o SWR varia entre 1 (LT casada com a carga, centro da carta de Smith) e infinito (carga em curto-circuito).Na escala em dBS, tem-se 20×log(SWR), válido para razões entre tensões (não entre potências). Assim, SWR=10 corresponde a 20dBs, SWR=100 corresponde a 40dBS.

Procedimento:

(i) Medir, com régua ou compasso, o comprimento da linha entre o centro da carta de Smith e o ponto zL.

(ii) Com a ponta seca em CENTER, referir-se ao sistema de coordenadas do lado esquerdo para medir SWR.

• Locais dos pontos de máximos e mínimos na LT:

a) SWR=zVmax=r0>1 (lado direito da carta de Smith), r0 é puramente real.

b) SWR=1/zVmin=1/r’0>1 → r’0<1 (lado esquerdo da carta de Smith), r’0 real.

max0 max

0

( )V

V

Z dr z SWR

Z= = = min

0 min0

( ) 1VV

Z dr z

Z SWR′ = = =

•

z(d=0)

z(d1)=r+jx

z(d2)z(d3)

z(dVmax)=r0>1, SWR=r0, real

z(dVmin)=r’0<1, SWR=1/r’0, real

r’0r0••Vmax

Vmin

cargazL=rL+jxL

•

jη

ξ

•

z(d=0)

z(d1)=r+jx

z(d2)z(d3)

z(dVmax)=r0>1, SWR=r0, real

z(dVmin)=r’0<1, SWR=1/r’0, real

r’0r0••Vmax

Vmin

cargazL=rL+jxL

•

jη

ξ

max max

min•

• •

zVmax=SWR=r0

zVmin=1/SWR=r’0=1/r0

zL

vg

zg

d 0

z(0)=zL=rL+jxL

z(d)=r+jx

•min

λ/4=0,25λ

λ/2=0,5λ

Exemplo:

Dados ZL=(100+j150)Ω, Z0=75Ω e comprimento da LT =0,6λg, determinar os locais ”d ” de máximos e mínimos de tensão.

Solução:

=0,6λg=0,5λg+0,1λg → 1 volta+720

•

•

•

•

=0,6λg

max maxmin

0,055λg0,3055λg0,555λg

1o. Vmax → d=0,055λg1o. Vmin → d=0,055λg +λg/4=0,555λg2o. Vmax → d=0,055λg +λg/2=0,3055λg

(continua...)

Exemplo: (continuação)

Dados ZL=(100+j150)Ω, Z0=75Ω e comprimento da LT =0,6λg, determinar os locais ”d” de máximos e mínimos de tensão.

Solução:

=0,6λg=0,5λg+0,1λg → 1 volta+720

•

•

•

•

=0,6λg

max maxmin

0,055λg0,3055λg0,555λg

1o. Vmax → d=0,055λg1o. Vmin → d=0,055λg +λg/4=0,555λg2o. Vmax → d=0,055λg +λg/2=0,3055λg

zL

dmax=0,25λ-0,19λ=

• Medição de carga desconhecida I

Como foi visto, no ponto de mínimo da onda estacionária de tensão, e, para Z0 real, ocorre:

independentemente da carga ZL.

Além disso, este ponto está sobre o eixo horizontal do plano (ξ,η), no seu lado esquerdo.

min min1( )Vz z d

SWR= =

dmin0

minmin

maxZL

Z0

antena

d

Exemplo:Seja uma LT com SWR=4, Z0=100Ω, distância entre a carga e o primeiro mínimo de tensão igual a 6,8cm, f=500MHz e vp=2c/3. Determinar o valor de ZL.

Solução:

Partindo-se da carga, deve-se percorrer dmin=0,17λ em direção ao gerador, sobre o círculo de SWR constante, até chegar ao ponto de Vmin. Ainda,

Portanto, a carga está a 0,17λ, partindo-se do ponto de mínimo e em direção à carga, sobre o círculo de SWR constante.

min min1 1( ) 0, 25

4Vz z dSWR

= = = =

(continua...)

Portanto, a carga está a 0,17λ, partindo-se do ponto de mínimo e em direção à carga, sobre o círculo de SWR constante. A partir da carta de Smith, obtém-se:

Portanto,

ZL=Z0zL →

jη

ξ0,25

Ponto de Vmin

Percorrer0,17λ em

direção à carga.

r=0,25 Ponto de Vmax

rL

xL4

∞•

carga•

(continua...)

#####

• Medição de carga desconhecida II

d

RF generator

Antenna (load)

Slotted line

ZL

ZL

Exemplo:

Uma LT com Z0=50Ω é constituída por um cabo coaxial preenchido com ar. O valor de SWR medido resultou igual a 3,3, na frequência de 30GHz. A substituição da carga por um curto-circuito faz com que o mínimo de tensão se mova 1cm em direção ao gerador. Determinar a impedância de carga.

Solução:

Comprimento de onda: λ=c/f=3×108/3×109 = 0,1m = 10cm.

Desenhando o círculo de SWR=3,3, lembra-se que o ponto de tensão mínima está em zVmin=1/(3,3)=0,3 na carta de Smith.

Atenção: ao contrário do exemplo anterior, agora não se sabe a distância entre carga e o primeiro mínimo de tensão (mas apenas entre os mínimos de carga e curto).

O ponto de mínimo do curto-circuito está 1cm à frente do ponto de mínimo da carga, andando na direção carga-gerador:

Δd/λ=1cm/10cm=0,1 → Δd=0,1λ.

λ

(continua...)

curt

o-circ

uito

carg

a

phan

tom

phan

tom

phan

tom

curt

o

curt

o

curt

o

• • • •

0,1λ 0,4λ 0,4λ

min

d

d

0

0

λ/2λ/2λ/2

maxcélula 1...célula 2célula N...

λ/2Nλ/2 λ

Para resolver o exemplo anterior, bastou empregar a célula 1 do desenho abaixo. Agora, o problema pode ser interpretado da seguinte forma: partindo-se da carga, se atravessa a célula 1, célula 2, ..., até chegar a célula N, a partir da qual se tem uma situação igual ao do exemplo anterior.

gerador

gerador

Equivalentemente, caminhando-se 0,5λ+0,5λ+... 0,5λ=N×0,5λ a partir do zero do curto-circuito, em direção ao gerador, chega-se ao final da célula N. Aí então, pode-se aplicar a solução padrão, ou seja, caminhar 0,4λ do mínimo de tensão em direção à carga.

(continua...)

Em termos de carta de Smith, andar 0,5λ+0,5λ+... 0,5λ = N×0,5λ a partir do curto, signi-fica dar N voltas completas na carta e retornar ao curto; depois, caminha-se mais 0,4λ .

Procedimento: partindo-se do ponto de mínimo de tensão, caminha-se 0,4λ em direção à carga (sentido horário), sobre o círculo de SWR=3,3 constante.

Justificativa:

Note-se que, angularmente, o curtoe o ponto de mínimo estão no mesmo patamar (00) na carta, porém, elesestão espacialmente distantes (ver figura anterior) por 0,1λ.

Além disso, o curto do lado esquerdo da célula N (um phantom de carga) está 0,1λ atrás do ponto de mínimo; ou então, o curto do lado direito da célula N (outro phantom) está 0,4λ à frente do ponto de mínimo.

Para determinar a carga zL, caminhar 0,4λ , do ponto de mínimo em direção à carga, ou então, 0,1λ , do ponto de mínimo em direção ao gerador.

•

•0λ

0,5λ+ 0,5λ+...+0,5λ+ 0,4λ

N voltas completasjη

ξ

1

10-1

-1

•

em direção à carga

•

SWR cte.zL

zVmin

0,3

SWR=

3,3 0,25λ

curtoz=0

(continua...)

Na carta de Smith, parte-se do ponto de mínimo de tensão e caminha-se 0,4λ sobre o círculo de SWR=3,3 constante, em direção à carga (sentido horário), e determina-se zL.

Ou então, parte-se do ponto de mínimo de tensão e caminha-se 0,1λ sobre o círculo de SWR=3,3 constante, em direção ao gerador (sentido anti-horário), e determina-se zL.Ambos os casos são equivalentes.

Valor obtido:zL=0,44+j0,63

isto é,ZL=Z0×zL=50 ×(0,44+j0,63)

ZL=(22+j31,5)Ω

(continua...)

50

50

(continua...)

####

Z01=100Ω Z0

ZA

•

•

•

jη

ξ

zL

zA

0

0

1LL A

L L

ZZz zZ z Z

= → = =

• Casamento de impedâncias com transformador de quarto-de-ondaConsidere uma LT com impedância característica Z01=100Ω terminada numa carga ZL=400Ω. Encontrar a impedância característica de um transformador de quarto-de-onda, Z0, que casa a linha à carga.

Solução: Normalizando a carga: (simétrico em relação a origem)

Como se sabe, um transformador de λ/4 (caminhar 0,25λ na LT) converte zL em yL, e também, Γ→-Γ, z→y, etc. Ainda,

Deseja-se ZA=Z01=100Ω, assim

A mesma expressão obtida no capítulo 5.

20

0A AL

ZZ z ZZ

= =

20

01 0 01 LL

Z Z Z Z ZZ

= =

0 01 0100 400 200LZ Z Z Z= = × = Ω

####

0,25λ

se

Exemplo: casamento de impedâncias com transformador de λ/4 e carga complexa

Dada uma LT com Z01=50Ω, projetar um circuito casador utilizando um transformador de quarto-de-onda para uma antena, se sua impedância de entrada for igual a ZL=(15+j35)Ω.

Solução: Como a impedância da carga não é puramente real, é necessário compensar sua parte imaginária, inserindo outro segmento de LT (com comprimento d), entre a carga e um transformador de λ/4 cuja impedância característica é Z0.

Deseja-se calcular: d e Z0.

Procura-se tornar o comprimento ‘d’ o menor possível, dentro do qual se acomoda somente um máximo ou um mínimo da onda de tensão.

A carga ZL é normalizada na base Z01:

correspondente ao ponto A na carta de Smith, na posição 0,102λ.

ZB=R(ZVmax)+j0

d

Z01Z01 Z0

Z01

0

15 35 0,3 0,750

LL

Z jz jZ

+= = = +

(continua...)

(continua...)

Movendo-se no círculo de SWR=5 constante, em direção ao gerador (sentido horário), para chegar ao ponto B, cuja impedância é real zB=SWR=5+j0 (ponto de máximo), obtém-se ZB=zB×Z01=5 ×50=250Ω, na posição 0,25λ.

O comprimento dessa seção compensadora é: d=0,25λ-0,102λ → d=0,148λ .

Do exemplo anterior,

A seguir, normaliza-se ZB na base Z0 (como se fosse uma nova carga, z’L):

o que equivale a uma mudança horizontal na carta, para o ponto C.

Atravessando o transformador de λ/4 (caminhando-se 0,25λ no sentido do gerador), sobre o círculo de SWR=2,23 constante, atinge-se o ponto D, onde zin=0,446+j0.

Esta impedância de entrada vale Zin=zinZ0=0,446×112 → Zin≅50Ω.

ZB

d

Z01Z01 Z0

Zin

0 01 50 250 112BZ Z Z= = × = Ω

0

250 2, 23 0112

BL

Zz jZ

′ = = = +

zLZB

(continua...)

Movendo-se no círculo de SWR=5 constante, em direção ao gerador (sentido horário) para chegar ao ponto B, cuja impedância é real zB=SWR=5+j0 (ponto de máximo), obtém-se ZB=zB×Z01=5 ×50=250Ω, na posição 0,25λ.







d

Z01Z01 Z0

Zin

0 01 50 250 112BZ Z Z= = × = Ω

0

250 2, 23 0112

BL

Zz jZ

′ = = = +

zL

(continua...)

ZB

0 112Z→ = Ω








d

Z01Z01 Z0

Zin

0 01 50 250 112BZ Z Z= = × = Ω

0

250 2, 23 0112

BL

Zz jZ

′ = = = +

zL

(continua...)

z’L ZB

0 112Z→ = Ω








0 01 50 250 112BZ Z Z= = × = Ω

0

250 2, 23 0112

BL

Zz jZ

′ = = = +

(continua...)

d

Z01Z01 Z0

zin , Zin

zLz’L ZB

0 112Z→ = Ω

Deixando o transformador de λ/4, retornando a LT principal e normalizando Zin≅50Ω na base Z01, resulta:

ou seja, Zin=Z01 (sistema casado).

Esta última ação implica em outro movimento horizontal na carta, chegando ao ponto E, o centro da carta.

Resposta:

01

50 1 050

inZz jZ

= = = +

#####

d

Z01Z01=50Ω Z0

z=1,Z=Z01

Zin≅50Ω

d=0,148λ

Z01=50Ω Z0=112Ω ZL=(15+j35)ΩZ01=50Ω

Deixando o transformador de λ/4, retornando a LT principal e normalizando Zin≅50Ω na base Z01, resulta:

ou seja, Zin=Z01 (sistema casado).

Esta última ação implica em outro movimento horizontal na carta, chegando ao ponto E, o centro da carta.

Resposta:

01

50 1 050

inZz jZ

= = = +

#####

d

Z01Z01 Z0Zin

z=1,Z=Z01

d=0,148λ

Z01=50Ω Z0=112Ω ZL=(15+j35)ΩZ01=50Ω

em relação ao centro

• Cálculo da admitância:

Para d=λg/4,

Na LT sem perdas:

Portanto, uma impedância de carga normalizada zL, vista a d=λg/4 de distância, se trans-forma na admitância correspondente, yL=1/zL.

Da mesma forma, o inverso de z(d) (para um d qualquer) é obtido através do simétrico em relação ao centro da carta.

Como será visto adiante, este raciocínio dará origem à carta de Smith de admitâncias.

2 2 tg4 2

g

g g

d d dλπ π πβ β

λ λ= = = → = ±∞

d=λg/4

zL

00

0

tg( )tg

L

L

Z jZ dZ d ZZ jZ d

ββ

+= +

0

00

( ) tg( )

tg

L

L

Z jZZ d dz d ZZ jZ

d

β

β

+ = =

+

0

0

0( ) 1( )0 L

L L

jZZ dz d yZ jZ z

+ = = = = +

z(d)=yL

Caminhar λg/4 em direção ao

gerador

= r + jx

= 1/ zL

0λ

mλ, 0<m<0,5

0,5λ

mλ+λ/4

0,25λ

Exemplo:

•

Exemplo:

Determinar a admitância de

zL=1+j1

(soma=associação série).

Solução:

Pela carta de Smith:

yL=1/zL=0,5-j0,5

(soma=associação em paralelo).

z1=1+jx

y1=1-jb z2=1-jx

y2=1+jb

circulo de r=1 circulo de g=1z=r+jx

y=1/z

r=1g=1

•

Círculo de condutância unitária, g=1:

Basta desenhar o LG dos pontossimétricos do círculo vermelho(círculo r=1, para qualquer x).

Desenhando ponto a ponto,resulta no círculo azul(círculo g=1, para qualquer b).

___________________________Obs: ‘b’ corresponde a susceptância.

Exemplo:

Projetar uma rede de casamento, para casar a impedância de um dispositivo cuja impedância de saída é ZL=(15+j15)Ω, a uma LT com Z0=50Ω, na frequência igual af=300MHz.

Solução: zL=ZL/Z0=0,3+j0,3 e z0=1

Estratégia:

Usar uma reatância indutiva jxserie paratransformar a impedância zL=rL+jxL naadmitância yB=1-jbshunt.

Usando uma susceptância capacitiva jbshunt, em paralelo com esta admitância, resulta:

y=yB+jbshunt=1-jbshunt+jbshunt=1 → z=1/y=1 (casamento!!)

zL=0,3+j0,3rede

decasamento

z0=1

zL=rL+jxLz0=1

•

•

jbshunt

jxserie

yB=1-jbshunt

z=1

(continua...)

(continua...)

zL

zB

•

•

•

A

B

B’

C•abertocurto

yB

zL=rL+jxLz0=1

•

•jbshunt

jxserie

yB=1-jbshunt

Usando a carta de Smith de impedâncias:

a) Parte-se do ponto A: zL=0,3+j0,3.b) Mantendo-se r=0,3 constante, caminha-se até o ponto B, que está sobre o círculo g=1.c) Neste caso, zB=0,3+j0,47=0,3+j0,3+j0,17, o que equivale a associar zL em série com

uma reatância indutiva, jxserie=j0,17.d) O ponto B está sobre o círculo g=1, então, deve ser tal que yB=1-jbshunt.

y,z=1

(continua...)

zL

zB

•

•

•

A

B

B’

C•abertocurto

yB

e) De fato, o ponto da impedância em B está associado ao ponto de admitância B’ (simetricamente oposto): yB=1-j1,45.

f) Então, associa-se uma reatância shunt capacitiva, com susceptância jbshunt=+j1,45.g) Lembra-se que uma associação paralela de admitâncias = soma de admitâncias.h) Desta forma, y=yB+jbshunt=1-j1,45+j1,45=1 → z=1, donde se atinge o centro da carta.i) Note que a susceptância shunt, jbshunt, equivale a reatância shunt: –jxshunt=1/jbshunt=

= 1/j1,45=-j0,69.

zL=rL+jxLz0=1

•

•jbshunt

jxserie

yB=1-jbshunt

y,z=1

(continua...)

Na operação:

y=yB+jbshunt=1-jbshunt+jbshunt=1

se mantém a parte realda admitância constante(igual a 1), e varia-se (diminui-se) apenas a parte imaginária.

Isto equivale a caminhar sobre o círculo r=1 em direção ao centro da carta.

jxserie=j0,17

jxshunt=-j0,69

Lá chegando, anula-se a parte imaginária de y, restando apenas g=1, ou, equivalentemente, r=1.

Rede de casamento de impedância:

jxserie=j0,17

jxshunt=-j0,69

(i) jxserie=j0,17 → Xserie=50Ω×0,17=8,5Ω=2πfL → L=8,5/(2π300M) → L=4,5nH

(ii) -jxshunt=-j0,69→ Xshunt=50Ω×0,69=34,5Ω=1/2πfC→ C=1/(34,5×2π300M)→ C=15,4pF

Problema: estes valores de L e C podem não ser disponíveis comercialmente. Além disso, devem ser medidos na frequência de 300MHz, através de um analisador de impedâncias vetorial.

jωL

-j/ωC zL=0,3+j0,3

z=1

z0=1

(continua...)

Analisador de impedâncias vetorial: versão digital

#####

Exemplo: casamento de impedâncias com stub em série

Através de um stub em série, casar a LT com sua carga zL=0,4-j0,4. Usar stubs curto-circuitados para encontrar duas soluções para a distância até a carga, 1, e seus resp-pectivos comprimentos, 2, conforme esquematizado na figura abaixo.

Solução:

A estratégia é usar um trecho de LT de comprimento 1 para transformar a carga zL numa impedância de entrada z1=1-jx (ou, genericamente, z1=1±jx), como mostrado na figura.

Deve ser lembrado que um stub curto-circuitado permite sintetizar impedâncias puramente imaginárias (reatâncias indutivas ou capacitivas, dependendo do comprimento do stub).

Então, deve-se selecionar um stub de comprimento 2 tal que sua impedância de entrada seja igual a z2=jx (ou, genericamente, z2= jx).

Como z1 e z2 estão em série, suas impedâncias se somam, produzindo uma impedância de entrada global (z) igual a unidade: z= z1+z2= 1−jx+jx = 1 (satisfazendo o casamento).

Portanto, o casamento de impedâncias é obtido selecionando-se adequadamente a posição do stub 1 e o seu comprimento 2.

z1

z2

z0=1

z=z1+z2=1−jx+jx=1

±

(continua...)

•

•

•

•curto• •aberto

zL

0,4

z1

z’1

r=1

r=1

1

0λ

•

•

a) Localizar a impedância normalizada zL=0,4-j0,4 na carta (em 0,431λ);

b) Lembra-se que caminhar na LT, da carga para o gerador, é equivalente a transformar a zL em algum outro valor, z1.

c) Ainda, caminhar na LT equivale simplesmente a caminhar sobre um círculo de SWR constante.

d) A transformação de zL em z1=1±jxpode ser obtida simplesmente caminhando sobre o círculo de SWR constante, da carga em direção ao gerador, até que se atinja o círculo de parte real unitária, ie, r=1.

e) Como se observa, existem pelo menos duas possibilidades para±jx: z1=1+j1,13 (em 0,166λ) ez’1=1-j1,13 (em 0,336λ);

f) Com isto, z2=-j1,13 (em 0,365λ)e z’2=+j1,13 (em 0,135λ), respectivamente;

g) O acréscimo de z2 só muda a parte imaginária de z1, e assim, caminha-se sobre o círculo de r=1 constante, até o centro da carta, quando o sistema estará casado. (continua...)

•

•

•

•curto0,5λ

• •aberto0,25λ

zL

0,4

z1

z’1

r=1

r=1

1

2

0λ

•

•

(continua...)

h) A distância 1 é igual a: 1=(0,5-0,431)λ+0,166λ 1=0,236λ. Caminha-se sobre o círculo verde, mas a escala de comprimento é lida na periferia da carta.

i) De forma similar, a distância ’1 é igual a: ’1=(0,5-0,431)λ+0,336λ 1=0,405λ;

j) O stub deve fornecer o reativo z2=jxdependendo apenas de seu comprimento 2. Para isto, o curto z=0 deve ser convertido em z2=-j1,13. Assim, deve-se caminhardo curto, em direção ao gerador, e sobre o círculo de SWR do curto, até se atingir z2. Tal círculo, é a própria periferia da carta.

k) Caminhando-se do curto atéz2=-j1,13, obtém-se 2=0,365λ;

l) De forma similar, o comprimento’2 será: ‘2=0,135λ (cujo valor é menor);

m) Em princípio, infinitas soluções para 1 e 2 são possíveis, bastando prosseguir girando sobre o círculo de SWR da carga, até encontrar o círculo r=1 sucessivas vezes.

1

(continua...)

#####

1=0,236λ

2=0,365λ

'1=0,405λ

'2=0,135λ

04 – A carta de Smith de admitâncias

• A carta de Smith de admitâncias

Dada a impedância de onda Z(d), calcula-se a admitância de onda (em siemens) como:

Define-se a admitância de onda normalizada por:

onde g e b são as condutância e susceptância normalizadas.

Lembrando-se que , pode-se mostrar que

Na sequência, recorde-se que

donde se definiu e .

0 00 0

1 1 1( ) ,( )

d j d d j dL L

d j d d j dL L

e e e eY d Y YZ d Z e e e e Z

γ β γ β

γ β γ β

− −

− −

− Γ − Γ= = = = + Γ + Γ

0

( )( )d j d

Ld j d

L

e eY dy d g jbY e e

γ β

γ β

−

−

− Γ= = ++ Γ

LjLL e φΓ=Γ

2

2

11 2 cos( 2 )

L

L L L

gdφ β

− Γ=

+ Γ + Γ −

2

2 sen( 2 )1 2 cos( 2 )

L L

L L L

db

dφ β

φ βΓ −

=+ Γ + Γ −

{ }( ) cos( 2 ) sen( 2 )L L Ld d j dφ β φ βΓ = Γ − + −

cos( 2 )L L dξ φ β= Γ −sen( 2 )L L dη φ β= Γ −

{ }( ) cos( 2 ) sen( 2 )L L Ld d j d jφ β φ β ξ ηΓ = Γ − + − = +cos( 2 )L L dξ φ β= Γ −


( 2 )( ) Lj dLd e jφ β ξ η−Γ = Γ = +

η

ζ

2L dφ β−LΓ

Novamente, tem-se o seguinte sistema de coordenadas:

Dadas as expressões de η e ξ acima, demonstra-se que g e b podem ser escritos como

a partir das quais se obtém:

2 2

2 21

1 2g ξ η

ξ η ξ− −=

+ + +

2 22

1 2b η

ξ η ξ=

+ + +

2 22 1

1 1g

g gξ η

+ + = + +

( )2 2

2 1 11b b

ξ η + + − =

Sem entrar em detalhes, pode-se verificar que as expressões acima correspondem a famílias de círculos de g constante e de b constante, respectivamente, no plano (ξ,η).

Isso dá origem a uma nova carta de Smith, chamada de carta de Smith de admitâncias, que constitui uma imagem espelhada da carta de Smith de impedâncias.

ξξ

jη jη

x

x

curto circuito 0 0 curto circuito∞

circ

uito

abe

rto

Carta de impedâncias Carta de admitâncias

capacitivoz2=1-j1

indutivoy1=1/z1=0,5-j0,5

indutivoz1=1+j1

capacitivoY2=1/z2=0,5+j0,5

As propriedades no sistema (ξ,η) não se alteram (pois ξ=|ΓL|cos(φL-2βd) e η=|ΓL|sen(φL-2βd) não mudaram).

As propriedades no sistema (g,b) são simétricas (espelhamento dos círculos de g e b).

••

curto-circuitog,b=∞y=g+jb=∞

circuito abertog,b=0

y=g+jb=0

b=1

b=-1

b=2

b=-2

b=1/2

b=-1/2

g=1

jη

ξ

Carta de admitâncias: trocar as posições do curto e do aberto em relação à carta de Impedâncias.

•y=g+jb

ΓL

g=0

g=2g=5

b=0•

Utilização da carta de Smith de impedâncias como carta de admitâncias:

z=1+j → y=1/z = 1/(1+j) = (1-j)/(1+j) = 1/2-j/2

Usando uma carta, originalmente de impedâncias, plotar a impedância “z”, determinar “y”,e, a partir daí, resolver o restante do problema usando a carta para admitâncias!!!!

girar

•

•

Y=1/2-j/2

ΓL

Y=1/2-j/2

z=1+j

g=1/2

g=1

••

•

g=0 g=1/2g=1 g=0 g=1

imagem especular objeto

espe

lho

ΓL

g=1

g=∞g=∞

Exemplo: casamento de impedâncias com stub em paralelo

Considere-se uma LT com Z0=15Ω, carga ZL=(150+j100)Ω e λg=80cm. Determinar a localização e o comprimento de um stub curto-circuitado que casa a carga à LT.

Solução:

Estratégia: trabalhar com admitâncias.

a) Caminhar um comprimento dT na LT principal, a fim de transformar a admitância de cargayL=1/zL na admitância yA=1+jb.

b) Cancelar a parte reativa de yA através do stub curto-circuitado: caminhar um compri-mento T na LT do stub, a fim de transformar a admitância do curto-circuito yshort=1/zshort=∞ na susceptância -jb.

c) Como yA e –jb estão em paralelo, y=1/z=yA+(-jb)=1+jb-jb=1 → z=1, casamento!!

z0=1 z0=1

z, y=1 yA=1+jb

zL

-jbzshort=0

T

dT

vg

zg

ou yL

(continua...)

•

•

•yL

zL

3aberto •curto

A impedância de carga normalizada será:

zL=ZL/Z0= (150+j100)/50 → zL=3+j2

Plotando este valor na carta de Smith de impedâncias, e refletindo em relação a origem, obtém-se a admitância de carga:

yL=0,231-j0,15.

na posição 0,475λ.

Ressalta-se que a carta de Smith de impedâncias serviu apenas para determinar yL.

A partir daqui, podemos “esquecer” que este passo foi executado, e, tendo yL, começar a tratar a carta de Smith como uma carta de admitâncias, como se nada tivesse acontecido até então.

Inclusive, este passo (o cálculo de yL ) poderia ter sido feito analiticamente. Usou-se a carta apenas pela facilidade do cálculo usando o método gráfico.

(continua...)

•

yL

A

dT

0λaberto

•

•

•curto

A fim de transformar yL em yA=1+jb, caminha-se, sobre o círculo de SWR constante, em direção ao gerador, até atingir o círculo com parte real unitária (g=1), obtendo-se:

yA=1+j1,65

na posição 0,18λ.

Para cancelar a parte imaginária de yA, o stub deverá ter susceptânciaigual a –j1,65, localizado na posição*:

dT=(0,5-0,475)λ+0,18λ=0,205λ = 0,205×80cm

dT=16,4cm

____________________________*Valor teórico: 16,41cm

(continua...)

yL

A•

•

•

•

• curtoaberto 0,25λ

T

Como visto, para cancelar a parte imaginária de yA=1+j1,65, o stub deverá ter susceptância igual a –jb=–j1,65, a qual pode ser obtida usando-se um stub curto-circuitadoem paralelo. Esta susceptância está na posição 0,337λ.

A fim de transformar o curto (ycurto=∞) em –j1,65, caminha-se sobre o círculo de SWR do curto (i.e., a própria periferia da carta), em direção ao gerador, até atingir a posição 0,337λ, obtendo-se*:

T=0,337λ-0,250λ=0,087λ → T=6,96cm

____________________________*Valor teórico: 7cm

(continua...)

yL

yA

zL

y=1

Trajeto percorrido na carta de Smith:

(continua...)

####

, conecta estar no mínimo a 5cm da carga. Se tal casamento for possível, obter a distância

Exercício:

Uma LT com Z0=70Ω, sem perdas e com εr=2,1 é terminada em ZL=50exp(j300)Ω em f=320MHz. A carga deve ser casada com uma seção curto-circuitada de LT com Z0s=50Ω e εr=2,3, conectada em paralelo. O stub precisa estar no mínimo a 5cm da carga. Se tal casamento for possível, obter a distância da carga e o comprimento do stub.

Solução:

LT principal:,

Stub:,

883 10 2,07 10 m/s

2,1pr

cvε

×= = = ×8

62,07 10 64,7cm320 10

pg

vf

λ ×= = =×

883 10 1,98 10 m/s

2,3psv ×= = ×8

61,98 10 61,8cm320 10gsλ ×= =

×

T

T

Z0=70Ω , εr=2,1Z0=70Ω, εr=2,1 ZL

(continua...)

030

0

50 43,3 25 0,67 0,36 1,9270 70

jL

LZ e jz j SWRZ

+= = = = + =

•

•

zL=0,62+j0,36

yL•

•

Y(dT1)

•

•SWR=1,92

• •

dT2

dT1

Y(dT2)

g=1

Usando a carta de Smith de admitâncias:

Ponto simetricamente oposto:

yL=1,2-j0,70 0,327λ

Caminhando-se sobre o círculo de SWR=1,92 cte., emdireção ao gerador, atéo círculo g=1

y(dT1)=1-j0,66 em 0,350λ

dT1=(0,350-0,327)λ=0,023λ=0,023×64,7cm=1,47cm<5cm (falso!)

Caminha-se, então, para o próximo intercepto com g=1

Y(dT2)=1+j0,66 em 0,151λ

dT2=(0,5-0,327)λ+0,151λ=0,324λ

=0,324×64,7cm dT2=20,96cm (OK!)(continua...)

T

T

Z0=70Ω, εr=2,1

Y(dT2)=1+j0,66

YL=1,2-j0,70 Z0=70Ω, εr=2,1

Agora é necessário cancelar a parte imaginária de y(dT2), contudo, a impedância característica da LT do stub (Z0s) é diferente da impedância característica da LT principal (Z0).

Assim, para calcular o comprimento do stub em curto, usando a carta de Smith, será necessário desnormalizary(dT2):

A função do stub é cancelar a susceptância de Y(dT2), porém, com um trecho de LT com Z0s=50Ω:

ys=(-j0,94×10-2)×Z0s=(-j0,94×10-2)×50=-j0,47

22 2 0 2

2 0 0

22 0

( )1( ) ( ) ( )( )

1 0,66( ) (1,4 0,94) 10 siemens @ 7070

TT T T

T

T

y dZ d z d Z Y dz d Z Z

jY d j Z−

= × = =×

+= = + × = Ω

T

T

Z0=70Ω

Y(dT2)=(1,4+j0,94)×10-2S @ Z0=70Ω

YL=1,2-j0,70

Ys=-j0,94×10-2S@ Z0s=50Ω

Z0=70Ω

(continua...)

Portanto, o stub deve gerar o reativo –j0,47 na sua própria base, Z0s.

1/Y=1/(1,4×10-2)=71Ω ≅ 70Ω

Comprimento do stub:

T=(0,43-0,25)λs =0,18×λs

=0,18×61,8cm

T=11,1cm

•zL=0,62+j0,36

yL•

•

•

•SWR=1,92

•

Y(dT2)

g=1

curt

o-circ

uito

0,25

λ

•

• T

T

T

Z0=70Ω

Y(dT2)=(1,4+j0,94)×10-2S @ Z0=70Ω

YL=1,2-j0,70

Ys=-j0,94×10-2S@ Z0s=50Ω

Z0=70Ω

Y=1,4×10-2S

Y=1,4×10-2S

Z0=70Ω

•

•Y(dT2)Ys

(continua...)

#####

•

••

g=1

ξ

jη

• Deslocamento do círculo g=1

Dada uma carta de Smith de admitâncias, o círculo g=1 se destaque por sua importância.

Contudo, em certas ocasiões, torna-se necessário deslocar este círculo na carta, ou seja, desenhar um círculo deslocado, tal que, caminhando de um de seus pontos, em direção à carga, possa se atingir o círculo g=1.

Na figura, o círculo verde corresponde ao círculo vermelho (g=1) deslocado demλ em direção à carga.

Um ponto no círculo vermelho é dado por yred=1±jbred, o qual pode ser transformado no pontoygreen=ggreen+jbgreen caminhando-se mλ sobre o círculo de SWR constante, em direção à carga.

Inversamente (e mais importante),qualquer ponto sobre o círculo verde, ygreen, quando rodado de mλ sobre seu próprio círculo de SRW constante, em direção ao gerador, deve cair sobre o círculo vermelho, de admitância com parte real unitária, g=1.

yred=1+jbred

ygreen=ggreen+jbgreen

• Casamento de impedâncias com dois stubs

Embora o casamento com stub simples permita casar qualquer carga dissipativa, ele não é realizável quando a posição do stub (dT) não puder ser estabelecida arbitrariamente na LT.

Por exemplo, o casamento nas LTs coaxiais, obriga que a posição do stub seja fixa.

Uma solução consiste em se usar dois stubs casadores, de tamanhos adequados e colocados à distâncias fixas e convenientes, como λ/8, λ/4, 3λ/8, etc.

O primeiro stub está a uma distância ‘d’ da carga, enquanto o segundo está a uma distância‘m’ do primeiro.

2

m d

12

2 1

y2=1+jb

m d

12

2 1

y2=1+jb y1

m d

12

2 1

y2=1+jb y1

g=1g=1 deslocado

Exemplo:

Solução:

m d

12

2 1

y2=1+jb y1

•

•

A

B

Trajeto entre os pontos A e B:

•

•

•

Trajeto entre os pontos B e C:

B

C

•

•

•

Deslocamento do círculo verde para o azul:

C

•

•

•C

D

Trajeto entre os pontos C e D:

•

Caminhar sobe o círculo de susceptância constante g=0,48, até encontrar o círculo g=1 deslocado.

Trajeto entre os pontos C e D:

m d

12

2 1

y2=1+jb y1 y

A diferença entre y e y1 corresponde a impedância de entrada do stub.

Conhecendo-se a impedância de entrada de um stub curto-circuitado pode-se determinar o seu comprimento.

•

•

D ••

•

m d

12

2 1

y2=1+jb y1 y

2

A partir de y1, caminhar sobre seu círculo de SWR constante até encontrar o círculo g=1 original.

Este ponto corresponderá à admitância y2.

•

•

•D

E

•••

Trajeto entre os pontos D e E:

Obviamente, o caminho percorridodeve ser igual a λ/8, o mesmodo deslocamento dos círculosde g=1.

•

•

•D

E

•••

•

F•

•

•

•D

E

•••

•

Trajeto entre os pontos D e F:

Com a conexão do stub, o ponto de operação caminha de y2 para o centro da carga, gerando y=1 (ou z=1, casamento).

• Dispositivos casadores de impedâncias práticos:

Toco triplo (freq. Toco triplomais baixas) (freq. mais altas)

Casamento com parafusos

05 – Casamento de impedâncias em banda

Casamento de impedâncias em banda

Conforme estudado, entende-se como casamento de impedância o projeto de uma rede de casamento, que na maioria das vezes é um duas-portas passivo e idealmente sem perdas, que transforma uma impedância em outra.

Na prática, deseja-se realizar esta transformação ao longo de uma banda de frequências, e com uma única rede de casamento. Diferentemente dos caso em seções anteriores, torna-se necessário acompanhar o que acontece em mais de uma frequência.

Utiliza-se o conceito de “macarrão”, para descrever a linha que liga os diferentes pontos correspondentes as frequências que se deseja utilizar.

Como, para cargas reativas, o casamento perfeito em toda a banda é impossível, a intenção é aproximar ao máximo os pontos para cada frequência de seus objetivos, qual seja, em vez da origem da carta de Smith, um círculo correspondente à perda de retorno máxima aceitável (em geral, com SWR≤2).

A dificuldade reside no fato de que, ao deslocar o macarrão, sempre se aumenta seu tamanho: a estratégia é enrolar o macarrão para que fique acomodado dentro do círculo de SWR≤2.

A maior disponibilidade computacional presente hoje em dia, tem diminuído a importância da carta de Smith como ferramenta de cálculo, e, realçado seu papel como elemento de visualização.

Por suas complexidades, as técnicas de casamento em banda não serão estudadas no curso.

06 – A carta de Smith generalizada

jx

r > 0r < 0

No projeto de amplificadores ou osciladores transistorizados em alta frequência, existe a preocupação de se manter a estabilidade, pata qualquer carga, na entrada e na saída, e em todas as frequências.

No caso de amplificadores, utiliza-se o conceito de estabilidade incondicional, na qual as oscilações estão associadas com a presença de resistências negativas.

Como dentro da carta, só existem resistências positivas, torna-se necessária a utilização da carta de Smith generalizada, incorporando-se a porção de resistência negativa e valores de coeficientes de reflexão maiores que a unidade.

O LG dos círculos de estabilidade de entrada e de saída, com porções fora da carta de Smith convencional, precisam ser traçados.

A carta de Smith generalizada:

Porção de resistência negativa e Γ≥1

A carta de Smith tridimensional:

THE END

01 - a carta de smith de impedâncias · a carta de smith pode inclusive ser aplicada ao caso de...

Documents