XXIII CONGRESSO PANAMERICANO DE AVALIAÇÕES

TÉCNICAS DE INFERÊNCIA ESPACIAL APLICADAS NAS AVALIAÇÕES EM MASSA1

Autores

PORTUGAL, JOSÉ LUIZ

Engenheiro Cartógrafo, Doutor em Saúde Pública. Departamento de Engenharia Cartográfica da UFPE. e-mail: portugal@ufpe.br

DANTAS, RUBENS ALVES

Engenheiro Civil, CREA 8349-D/PE, Doutor em Economia Professor da UFPE e da UPE. Fone: (081) 3268.3888 - e-mail: rubens@dantas.eng.br

PRADO, JOÃO FREIRE

Engenheiro Civil. Pós-graduação em Engenharia de Avaliações. Diretor do Cadastro Imobiliário da Prefeitura de Aracaju: joao.prado@aracaju.se.gov.br

Resumo:

A inferência espacial tem se mostrado uma ferramenta de suma importância para a avaliação de imóveis, principalmente quando se trata de avaliações em massa, muito utilizadas nas avaliações cadastrais, com o objetivo de cobrança de impostos imobiliário. Esta metodologia leva vantagem sobre aquela tradicionalmente utilizada, uma vez que considera o georreferenciamento dos dados, o que permite a consideração dos efeitos de interação espacial presente nos mesmos e a avaliação dos fatores microlocalizativos. Vários trabalhos científicos têm demonstrado que a incorporação dos efeitos espaciais ao modelo de avaliações tradicionalmente utilizado reduz a margem de erros nos valores encontrados, respondendo com maior fidelidade o comportamento do mercado imobiliário. Neste trabalho a inferência será realizada pelo método da Krigagem, que leva em consideração tanto efeitos locais como efeitos globais em sua estimativa, ou seja, é função dos dados e da covariância espacial. Para realização do estudo será considerada uma região da cidade de Aracaju, Brasil, conhecida como Praia de Atalaia. Assim, com base em uma amostra de 2250 dados, desenvolvem-se procedimentos metodológicos de ajustamentos espaciais com a finalidade de identificar e mensurar padrões, estruturas e variabilidade espacial e temporal dos preços dos terrenos na região em estudo, com base em modelos de avaliações em massa.

1 Pesquisa financiada pelo Lincoln Institute of Land Policy

San Jose, Costa Rica, Abril de 2008

Sobre os Autores

José Luiz Portugal Possui graduação em Oficial do Exército Brasileiro pela Academia Militar das Agulhas Negras (1976) , graduação em Bacharel em Administração pelo Centro de Estudos Superiores do Estado do Pará (1979) , graduação em Engenharia Cartográfica pelo Instituto Militar de Engenharia (1985) , mestrado em Sistemas e Computação pelo Instituto Militar de Engenharia (1992) e doutorado em Saúde Pública pela Fundação Oswaldo Cruz (2003) . Atualmente é Professor Adjunto da Universidade Federal de Pernambuco. Tem experiência na área de Saúde Coletiva , com ênfase em Saúde Pública e na área de Geodésia, com ênfase em posicionamento por satélites. Atua principalmente nos seguintes temas: Geoprocessamento, Interpolação Espacial, Sistema de Informações Geograficas e Cartografia. Informações para contato: Avenida Acadêmico Hélio Ramos, s/n, UFPE – CTG – DECart, Recife, Pernambuco, Brasil. Tel (81) 2126-8714; (81) 9976-3644; Fax (81) 2126-8235. Email: Portugal@rce.neoline.com.br Rubens Alves Dantas Engenheiro Civil pela UFPE, com mestrado em Engenharia de Produção e Doutorado em Economia. Professor Adjunto da UFPE e da UPE, onde ministra a disciplina de Engenharia de Avaliações desde 1981 e de cursos de pós-graduação em diversas universidades brasileiras. Atua na área de pesquisa de efeitos espaciais sobre os preços de imóveis com vários trabalhos publicados. Engenheiro de Avaliações da Caixa Econômica Federal do setor de Engenharia de Avaliações. Participou como membro da comissão de estudos da ABNT na elaboração da norma de Avaliação de Bens, NBR 14.653. Presidiu o Instituto Pernambucano de Avaliações e Perícias de Engenharia e atualmente é Vice-Presidente Técnico da SOBREA – Sociedade Brasileira de Engenharia de Avaliações. Informações para contato: Estrada das Ubaias, 301/401-A, Casa Forte-Recife-PE, CEP: 52061-080, Brasil. Tel. (081)3268.8870. Cel. (081) 9976.3431. Fax: (081) 3268.8870. E-mail: rubens@dantas.eng.br João Freire Prado Engenheiro Civil pela UFPE, com pós-graduação em Gestão Pública- Fundação Getúlio Vargas, Qualidade e Produtividade – UFS-SE e Engenharia de Avaliações e Perícia –UFS-SE. Diretor do Departamento de Cadastro Imobiliário da Prefeitura de Aracaju. Diretor do Instituto Brasileiro de Engenharia de Avaliações de Sergipe. Coordenador Geral do Projeto de Recadastramento Imobiliário de Aracaju e membro da Comissão de Cadastramento e Reavaliação dos Bens Imóveis de Propriedade do Município de Aracaju, com participação na Implantação e Elaboração de Cadastro Imobiliário e Mobiliário e da Planta Genérica de Valores dos Município de Lagarto e Estância em Sergipe. Comissão de Trabalho para Elaboração da Planta de Valores Imobiliários de Aracaju. Informações para contato: Prefeitura Municipal de Aracaju. Tel (079)8802-5744. Email: joao.prado@aracaju.se.gov.br

1. Introdução

A inferência espacial tem se mostrado uma ferramenta de suma importância para a avaliação de imóveis, principalmente quando se trata de avaliações em massa, muito utilizadas nas avaliações cadastrais, com o objetivo de cobrança de impostos imobiliários. Esta metodologia leva vantagem sobre aquela tradicionalmente utilizada, uma vez que considera o georreferenciamento dos dados, o que permite medir os efeitos de interação espacial presente nos mesmos e a avaliação dos fatores microlocalizativos. Vários trabalhos científicos têm demonstrado que a incorporação dos efeitos espaciais ao modelo de avaliações tradicionalmente utilizado reduz a margem de erros nos valores encontrados, respondendo com maior fidelidade o comportamento do mercado imobiliário. Neste trabalho a inferência será realizada pelo método da Krigagem, que leva em consideração tanto efeitos locais como efeitos globais em sua estimativa, ou seja, é função dos dados e da covariância espacial. Para realização do estudo será considerada uma região da cidade de Aracaju, Brasil, conhecida como Praia de Atalaia, que entre 2003 e 2006, recebeu investimentos de cerca de R$ 20.000.000,00 (vinte milhões de reais) envolvendo a urbanização de mais de 6 km de praia. Assim, com base em uma amostra de 2250 dados, desenvolvem-se procedimentos metodológicos de ajustamentos espaciais com a finalidade de identificar e mensurar padrões, estruturas e variabilidade espacial e temporal dos preços dos terrenos na região em estudo, com base em modelos de avaliações em massa. A cidade de Aracaju, mostrada na Figura 1, é capital do Estado de Sergipe – Brasil. Segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE, 2002) o município conta com uma população de 505.286 habitantes, residente numa área de 183 km2. Atualmente, seu cadastro imobiliário possui aproximadamente 180.000 unidades imobiliárias, 5.000 quadras e 115.000 lotes, distribuídos em 37 bairros e uma área de expansão urbana (Prefeitura Municipal de Aracaju, 2006).

Figura 1 – Cidade de Aracaju – Sergipe – Brasil

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A década de 1970 marcou o início de significativo desenvolvimento do bairro de Atalaia e arredores, devido à implantação de rede de distribuição de água tratada. Em meados de 1994, iniciou-se a primeira etapa do chamado Projeto Orla, envolvendo recursos do Programa de Desenvolvimento Turístico do Nordeste (PRODETUR), com execução de obras de pequeno e médio porte. Entre 2003 e 2006, houve efetivamente uma mudança substancial nesse projeto com um investimentos de cerca de R$ 20.000.000,00 (vinte milhões de reais) e este passou a denominar-se Projeto da Nova Orla de Atalaia (Prefeitura Municipal de Aracaju, 2006). O novo projeto envolveu a urbanização de mais de 6 km de praia, com desenho arquitetônico combinando beleza, lazer, segurança e diversão. Atualmente a Nova Orla possui equipamentos de ginástica, banheiros, ciclovia com mais de 5 mil metros de extensão, três lagos para a prática de esportes e passeios de pedalinho, parques infantis, caramanchões, passarelas sobre as areias de acesso ao mar, quadras de tênis e de vôlei de praia, campos de futebol de areia, parede de escaladas, complexo de esportes radicais dotado de half pipe com 22 rampas de skate, amplos estacionamentos com capacidade de 1.359 automóveis, o Centro de Arte e Cultura de Sergipe com 1.610 m2 que abriga 48 boxes e o primeiro oceanário do Nordeste, com o formato de uma tartaruga gigante o qual é composto de 20 aquários que mostram a rica e diversificada flora e fauna marítima e fluvial de Sergipe. Ainda são encontradas bancas de revista, 25 refletores dirigidos ao mar, 15 telefones, tótens de informações, fontes luminosas, delegacia especial para o turista e um kartódromo (Prefeitura Municipal de Aracaju, 2007). Esta intervenção urbana causou grande impacto na vida cotidiana da cidade e no o mercado imobiliário da região. Assim, pretende-se desenvolver procedimentos metodológicos de ajustamentos de modelos não tendenciosos e eficientes, que expliquem de maneira satisfatória a formação dos preços da terra urbana no bairro de Atalaia e cidade de Aracaju, com a finalidade de identificar e mensurar padrões, estruturas e variabilidade espacial e temporal dos preços dos terrenos na região em estudo.

2. Objetivo

O objetivo do presente trabalho é mostrar as técnicas de inferência espacial aplicada às avaliações em massa utilizando-se técnicas de interpolação por Krigeagem, coma identificação da componente global dos preços dos terrenos no bairro de Atalaia e na cidade de Aracaju, através de modelos estatísticos clássicos de regressão e, em seguida, a componente local ou microlocalizativa que será utilizada como fator de correção.

3. Metodologia

A metodologia emprega uma amostra de 2.250 terrenos, abrangendo toda a cidade, obtida a partir do cadastro imobiliário fornecido pela Prefeitura Municipal de Aracaju.

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Esta amostra, referente aos anos compreendidos entre 2003 e 2006, contém variáveis sobre características físicas dos terrenos (área, frente, topografia, situação na quadra e infra-estrutura), características econômicas (oferta ou venda e renda dos chefes de domicílio do setor censitário onde se localiza o terreno) e características locacionais (logradouro, bairro, zoneamento e posição geográfica).

Os terrenos, com atributos de valor, são cartografiamente espacializados em seus centróides, sendo analisados com recursos de modelos clássicos de regressão (MCR), de sistemas de informação geográfica (SIG) e de análise estatística espacial. A posição geográfica dos terrenos, mostrada na Figura 2, é expressa em coordenadas (E,N), sendo referidas ao sistema geodésico South American Datun - 69 (SAD-69) e projetadas no sistema de projeção Universal Transverso de Mercator (UTM).

Figura 2 – Distribuição dos terrenos em Aracaju

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O desenvolvimento da metodologia emprega dois modelos estatísticos que interagem entre si, o modelo clássico de regressão e o modelo espacial.

3.1 Modelo Clássico de Regressão

Uma das maneiras de se analisar o comportamento do mercado de terras é através de ajustamento de regressões hedônicas dos preços observados dos terrenos sobre as suas respectivas características. Esse modelo (Bayley & Gatrell, 1995), na forma linear é mostrado em (3.1).

)()( sxszT

s εβ += (3.1)

onde: )(sz é a variável dependente, representada pelos preços observados dos

terrenos no mercado, na posição (s); T

sx são as variáveis independentes,

correspondentes às suas características estruturais (área, frente, posição, infra-estrutura, etc.), de localização (bairro onde se situa o terreno, distância a pólos de influência, amenidades do entorno, posição geográfica, etc.), bem como aspectos econômicos (época do evento, condições de pagamento, natureza do evento: em oferta ou efetivamente vendido, etc.); β são os parâmetros do modelo, também chamados de preços hedônicos; )(sε são os erros aleatórios, na posição (s) que não podem ser explicados explicitamente, causados principalmente pelas variações do próprio comportamento humano (uns com mais habilidades na negociação, desejos, necessidades, caprichos, ansiedades, poder aquisitivo etc.), por medidas inexatas ou pela não inclusão de variáveis independentes que pouco contribuem para a formação dos preços de mercado. Os parâmetros deste modelo geralmente são estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários, onde o atendimento de alguns pressupostos é fundamental (Dantas, 2001) para se obter estimativas não-tendenciosas, eficientes e consistentes. Os pressupostos exigidos são que os erros aleatórios devem satisfazer as hipóteses de (i) variância constante (modelo homocedástico); (ii) normalidade; (iii) ausência de autocorrelação; (iv) não conter erros de especificação, ou seja, na sua composição devem estar incluídas apenas variáveis explicativas relevantes, com escalas adequadamente escolhidas, de modo a garantir a linearidade do modelo (Hastie & Tibishirani, 1997). A não-tendenciosidade indica que a média de todas as possíveis médias de amostras extraídas do mercado coincide com o verdadeiro valor de mercado. A eficiência está associada à dispersão destas possíveis médias estimadas em torno da verdadeira média, sendo que na comparação entre diversos estimadores não-tendenciosos, o estimador eficiente é aquele que apresente a menor variância. A propriedade da consistência indica que a medida que a amostra cresce, a sua média se aproxima do verdadeiro valor de mercado. Uma crítica ao MCR, quando empregado em avaliação de terras, é que o mesmo desconsidera a autocorrelação espacial. Uma opção possível para tratar essa

questão é incluir na componente βT

sx as coordenadas dos centróides dos terrenos.

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Dessa forma, a componente passa a representar uma tendência dos preços em escala global e os resíduos )(sε passam a representar uma componente local, desde que se comprove autocorrelação espacial entre eles. A comprovação de autocorrelação espacial dos resíduos bem como sua mensuração podem ser obtidos por modelos estatísticos espaciais (Burrough & Mcdonnell, 1998).

3.2 Modelo Estatístico Espacial

O modelo estatístico espacial considera que o espaço tem influência no processo. Essa consideração tem suporte na análise de dados espaciais, cuja ênfase é mensurar propriedades e relacionamentos, a partir da localização espacial dos eventos de forma explícita (Câmara, 2001). A localização, quando definida por um sistema de coordenadas cartesiano, como o UTM, permite a explicitação da ocorrência do evento de modo geometricamente correto, ou seja, as distâncias, direções e áreas podem ser obtidas de modo preciso (Maling, 1992).

Um conceito de fundamental importância para a análise de dados espaciais é a dependência espacial. Esta tem por princípio a primeira lei da geografia, sendo definida por Tobler (apud Câmara, 2001) ao dizer que: “todas as coisas são parecidas, mas coisas mais próximas se parecem mais que coisas mais distantes”.

A dependência espacial pode ser medida quantitativamente a partir de indicadores de correlação espacial. Dentre estes, menciona-se o índice de Moran, o índice de Geary, o correlograma e o variograma (Burrough & McDonnell, 1998). Dada a analogia entre o índice de Moran com o correlograma e o índice de Geary com o variograma, somente serão detalhados, no presente trabalho, o índice de Moran e o variograma.

O índice de Moran, identificado pela fórmula (3.2), testa a hipótese nula de independência espacial e sua variação encontra-se no intervalo [-1, +1]. Quando seu valor for zero a hipótese nula é aceita. O resultado do índice deve sempre ser acompanhado de um teste de significância estatística (Bailey & Gatrell, 1995).

∑ ∑∑

∑∑

= ≠

= =

−

−−

=n

i ji

h

iji

n

i

n

j

ji

h

ij

h

wzsz

zszzszwn

I

1

)(2

1 1

)(

)(

))(( ])([

])(][)([

(3.2)

onde: )(hI é o índice de Moran, considerando-se uma distância h entre pares amostrais; )(h

ijw são pesos definidos em função da distância h;

z é o valor médio amostral na região de estudo;

)(),( ji szsz são pares amostrais separados por uma distância h.

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O variograma, mostrado na Figura 3, é um gráfico construído segundo a fórmula (3.3).

onde:

)(ˆ hγ é a semivariância de todos os pares de amostras )( isz e )( hisz + ;

)(hn é o número de pares de valores medidos.

Figura 3 - Variograma

Observando-se a Figura 3, verifica-se que a semivariância entre duas amostras )( isz e )( hisz + cresce à medida que aumenta a distância (h) ente elas, até

um valor de estabilização onde os efeitos locais não tem mais influência. Assim, identificam-se os seguintes parâmetros do variograma (Aronoff, 1989): • Range (A): materializa a distância onde as amostras apresentam-se correlacionadas espacialmente; • Sill (C): valor da semivariância correspondente ao range. A partir desse ponto conclui-se que não existe mais dependência espacial, dado que a variância da diferença entre pares de amostras torna-se aproximadamente constante; • Nugget (C0): teoricamente a curva deve passar pela origem, entretanto uma descontinuidade pode acontecer por se considerar distâncias menores que a menor distância entre as amostras, por erros de medição ou pelo acaso.

∑=

+−=)(

1

2)]()([)(2

1)(ˆ

hn

i

hii szszhn

hγ (3.3)

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A hipótese implícita para a validade do índice de Moran e do variograma, com os parâmetros de range, sill e nugget bem definidos, é que a amostra seja estacionária de primeira e segunda ordem.

A estacionariedade de primeira ordem é considerada como efeito de natureza global, cuja propriedade é a existência de média constante no espaço. A estacionariedade de segunda ordem é considerada como efeito de natureza local. Ela se caracteriza por ter variância, entre amostras separadas por distâncias iguais, também constante. Esse conceito indica que a diferença entre pares amostrais nos locais )( isz e )( hisz + depende somente da posição relativa entre eles.

Uma vez comprovadas as estacionariedades de primeira e segunda ordem, ela pode ser considerada dependente espacialmente e assim sujeita ao desenvolvimento de modelos inferenciais espaciais. Em função do dado disponível nesse trabalho, que é uma amostra pontual com atributo de valor, o modelo inferencial classificado como de variação contínua, pode ser empregado. Ele considera que a partir de uma amostra de um atributo z, coletada em vários pontos s de uma região A é possível inferir uma superfície contínua dos valores de z em A.

A inferência dessa superfície é feita a partir de interpoladores, citando-se a krigagem como particularmente interessante. Este interpolador leva em consideração tanto efeitos locais como efeitos globais em sua estimativa, ou seja, é função dos dados e de covariância espacial. A krigagem identifica que a variação espacial de uma variável regionalizada pode ser expressa por três componentes: uma componente estrutural, associada a um valor médio constante ou a uma tendência constante; uma componente aleatória, espacialmente correlacionada; um ruído aleatório ou resíduo. Esse modelo é expresso por (3.4) e visualizado na Figura 4(a) com )(sm constante e em 4(b) com )(sm apresentando tendência constante.

εε ′′+′+= )()()( ssmsu (3.4)

onde:

)(su é o valor da função aleatória numa posição s ;

)(sm é uma função determinística que descreve a componente estrutural de u numa posição s ;

)(sε ′ é um termo estocástico correlacionado com variação local;

ε ′′ é um ruído aleatório não correlacionado, normalmente distribuído.

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Figura 4 – Variação espacial da variável regionalizada

Um caso particular da krigagem é a chamada krigagem ordinária. Ela considera que )(sm é constante na região de estudo, indicando que os efeitos globais são

praticamente inexistentes. Desse modo, o modelo (3.4) recai sobre a determinação do termo estocástico )(sε ′ , que é obtido em função do variograma (Bailey & Gatrell, 1995).

A superfície gerada pela krigagem ordinária, corresponde a uma grade regular, cujos pontos são calculados em função da variação local da amostra, conforme definido no modelo (3.5).

∑=

=n

i

ii susu1

0 )()(ˆ λ (3.5)

onde

)(ˆ 0su são os valores calculados dos pontos da grade;

)( isu são os valores amostrais;

iλ são os pesos, com 11

=∑=

n

i

iλ .

Os pesos iλ são obtidos quando ),(),( 0

1

ssss iji

n

i

i γφγλ =+∑=

para todo j. Nesse caso:

)( , ji ssγ corresponde a semivariância de u entre os pontos amostrais is e js , obtida

pelo variograma;

),( 0ssiγ corresponde a semivariância de u entre os pontos amostrais is e os

desconhecidos 0s , também obtida pelo variograma.

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3.3 Procedimentos metodológicos sugeridos

Observando-se que o modelo clássico de regressão tem por propriedade a detecção da variação global e o modelo espacial a detecção da variação local, sugerem-se procedimentos que envolvam esses dois modelos de acordo com os seguintes passos: (i) Implementa-se o MCR como definido em (3.1), incluindo no modelo as coordenadas (E,N) dos centróides, de forma a controlar a tendência global dos

preços que corresponde a componente βT

sx ;

(ii) Testa-se a estacionariedade de primeira e segunda ordem dos resíduos )(sε , caso isso se comprove eles passam a ser considerados como o termo )(su de (3.4) porque o termo )(sm estará livre de tendência;

(iii) Gera-se, por (3.5), a superfície de )(ˆ 0su que corresponde a variação localizada

dos preços; (iv) Calcula-se o valor de qualquer terreno sobre a superfície, somando-se a

tendência global βT

sx com a componente local )(ˆ 0su , retirada da superfície.

(v) Testa-se se houve ganho com a implementação do modelo espacial em relação ao clássico. A opção possível é verificar qual deles fornece valores de preços preditos que mais se aproximem dos valores de preços observados. Isso é feito empregando-se o teste DHS de Tukey2. (vi) Criam-se superfícies de preços no bairro de Atalaia nos anos estudados, de modo a detetar a variação por m2, em relação ao ano base de 2003.

O modelo (3.1) é implementado com a variável dependente )(sz representando o preço unitário dos terrrenos, numa posição (s), em escala logarítmica. As variáveis independentes são abaixo descritas. • Setor: Variável intervalar proxy de macrolocalização, correspondendo a renda média do chefe da família, mensurada em salários mínimos, obtidas no Censo Demográfico 2000 (IBGE, 2003). Esses valores são empregados sem correção para os anos seguntes, por não ter havido variações substanciais na renda média brasileira. A escala de medida original é transformada para a logarítmica; • Ano: Variável que identifica o período em que os preços foram coletados (2004, 2005 e 2006). Esta foi transformada nas dummys Ano-2004, Ano-2005 e Ano-2006, recebendo o valor 1 caso pertençam ao período considerado e 0 caso contrário. O ano de referência é 2003, porque marca o início da intervenção; • Atalaia: Variável dummy que identifica se o terreno pertence ao bairro de Atalaia ou não, recebendo o valor 1 caso positivo e 0 caso contrário. Ela foi incluída no modelo interagindo com a variável Ano, sendo identificada por Atalaia*2004, Atalaia*2005 e Atalaia*2006. Isso é necessário porque se deseja mensurar a variação da valorização dos terrenos, em relação à 2003 dentro do bairro de Atalaia;

2 O teste DHS de Tukey (Levin, 1987) tem por finalidade comparar múltiplas médias e localizar onde se situam

as diferenças mais significantes entre elas. A primeira etapa do DHS de Tukey consiste em testar a hipótese nula

de que as médias não diferem significativamente. Caso a hipótese nula seja rejeitada, realiza-se a segunda etapa

do teste, que identifica onde se encontram as diferenças significativas.

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• Pavimentação: Variável dummy que identifica se o terreno localiza-se em rua pavimentada ou não. Recebe o valor 1 caso positivo e 0 caso contrário; • Topografia: Variável dummy que identifica se o terreno localiza-se em relevo plano ou não. Recebe o valor 1 caso positivo e 0 caso contrário; • Área: Variável intervalar que corresponde a área do terreno, mensurada em m2. A escala de medida original é transformada para a logarítmica; • Situação: Variável dummy que identifica se a localização do terreno é de esquina ou não. Recebe o valor 1 caso positivo e 0 caso contrário. • Eixo: Variável ordinal que identifica a classificação do logradouro onde o terreno se localiza. Recebe o valor 3 caso o logradouro seja um eixo principal, o valor 2 caso seja um eixo secundário e o valor 1 para as demais situações; • E, N, E2, N2, E*N: E, N são coordenadas, tratadas como variáveis intervalares, que indicam a posição geográfica dos centróides dos terrenos; E2, N2 são seus quadrados e E*N corresponde a interação entre elas. Estas variáveis representam um polinômio de tendência de grau 2 que tem por objetivo controlar as variações globais dos preços, restando apenas os efeitos microlocalizados. Para evitar problemas de multicolinearidade, geralmente presente nesse tipo de modelo, empregam-se coordenadas transformadas em termos de desvios em relação à média (Olmo e Guerrós, 2002). • Zona: Variável intervalar que identifica a relação entre a área do terreno e a área que nele pode ser construído, corresponde a um coeficiente de aproveitamento. A escala de medida original é transformada para a logarítmica.

4. Resultados e discussão

Os resultados gerais da implementação do MCR são mostrados na Tabela 1 e os coeficientes das variáveis independentes e respectivas estatísticas na Tabela 2.

Tabela 1 – Resultados gerais da regressão

Discriminação Valor Desvio padrão 0,46 Estatística Fc 180,75 Probabilidade associada a Fc 0,00 Coeficiente de determinação 0,63 Coeficiente de determinação ajustado 0,63 Observações 2250,00

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Tabela 2 – Coeficientes das variáveis independentes

Variável Escala Coeficientes Desvio Padrão Estatística t Nível de Significância

Interseção 2,4384 0,1673 14,5790 0,0000 Setor ln(x) 0,5065 0,0234 21,6094 0,0000

Ano-2004 x 0,1311 0,0308 4,2589 0,0000 Ano-2005 x 0,1957 0,0289 6,7672 0,0000 Ano-2006 x 0,3803 0,0315 12,0910 0,0000

Atalaia*2004 x 0,0798 0,0925 0,8627 0,3884 Atalaia*2005 x 0,1594 0,0908 1,7560 0,0792 Atalaia*2006 x 0,2229 0,0888 2,5109 0,0121 Transação x 0,1570 0,1075 1,4606 0,1443

Oferta x 0,4559 0,0439 10,3947 0,0000 Pavimentação x 0,0330 0,0236 1,3969 0,1626

Topografia x 0,1102 0,0531 2,0747 0,0381 Área ln(x) -0,2535 0,0136 -18,6983 0,0000

Situação x 0,0548 0,0267 2,0503 0,0405 Zona ln(x) 1,1599 0,1077 10,7746 0,0000 Eixo x 0,2511 0,0205 12,2344 0,0000

E x 0,0019 0,0104 0,1818 0,8558 N x 0,0505 0,0063 8,0077 0,0000 E2 x -0,0102 0,0021 -4,9124 0,0000 N2 x -0,0042 0,0004 -9,3115 0,0000 E*N x 0,0117 0,0014 8,1562 0,0000

Analisando-se os resultados apresentados na Tabela 1 e 2, salientam-se: • O modelo apresenta poder explicativo de 63% e a hipótese nula de que o conjunto de variáveis explicativas adotadas não explica a variabilidade dos preços dos terrenos é fortemente rejeitada, de acordo com a estatística F ao nível de significância de 1%; • O sinal positivo da variável Setor indica que há expectativa de elevação do valor unitário dos terrenos, com o aumento do padrão sócio econômico do setor censitário onde o mesmo esteja localizado; • O sinal positivo das variáveis Pavimentação, Topografia, Situação, Zona e Eixo indicam, respectivamente, que os terrenos localizados em ruas pavimentadas, em relevo plano, em esquina, em eixos principais e com maior coeficiente de aproveitamento são mais valorizados; • O sinal negativo da variável Área indica que os terrenos com maior porte tenham valores unitários menores que os de menor porte, o que é esperado em condições “ceteres paribus”; • O coeficiente maior da variável Oferta sobre o da variável Transação também é esperado em condições “ceteres paribus”; • Os coeficientes das variáveis temporais Ano-2004, Ano-2005 e Ano-2006, indicam variações positivas dos preços dos terrenos na cidade quando comparados ao ano base de 2003; • Os coeficientes das variáveis Atalaia*2004, Atalaia*2005 e Atalaia*2006, indicam variações positivas dos preços dos terrenos no bairro de Atalaia quando

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comparados ao ano base de 2003. Os níveis de significância desses indicadores mostram que em 2004 não se chegou a diferença estatisticamente significante, em 2005 essa hipótese já é aceita ao nível de 7,92% e em 2006 ao nível de 1,21%, ano esse que coincide com a conclusão do Projeto. Também é observado que esses coeficientes são superiores aos das variáveis Ano-2004, Ano-2005 e Ano-2006, indicando maior valorização dos terrenos em Atalaia do que no restante da cidade; • Os coeficientes do polinômio de tendência indicam que o valor dos terrenos aumenta a medida que se desloca para o norte, porque o coeficiente N tem valor positivo. Isso é explicado porque o bairro de Mosqueiro, vizinho sul de Atalaia, abrange quase 40% da cidade e é o local onde os preços observados são menores. Apesar do eixo E não apresentar significância estatística, seu coeficiente indica que o valor dos terrenos aumenta a medida que se desloca para o este. Isto é explicado por influência da proximidade da praia nessa direção. A seguir, passa-se a testar a estacionariedade de primeira ordem dos resíduos )(sε , que apresentam os indicadores estatísticos mostrados na Tabela 3.

Tabela 3 – Estatística dos resíduos

Discriminação Valor

N (válidos) 2250 N (missing) 0

Média -1.9431370E-16 Desvio padrão .4591634

Skewness .296 Kurtosis -.127

O valores da Tabela 3 mostram que a média dos resíduos é praticamente zero, a kurtose negativa, indicando que a curva normal adaptada tem comportamento levemente leptocúrtico e skewness menor que um mostrando simetria em relação a média. Essas observações permitem concluir sobre a estacionariedade de primeira ordem dos resíduos e o gráfico da distribuição é apresentado na Figura 5.

Figura 5 – Gráfico da distribuição dos resíduos

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Para a verificação da estacionariedade de segunda ordem, inicialmente constrói-se o variograma de acordo com (3.3), que é mostrado na Figura 6. O melhor variograma adaptado é do tipo esférico, com um range de 515,15 m, caracterizando dependência espacial dentro dessa distância. O sill de 0.14811 indica que a variância estabiliza-se nesse valor. O nugget muito próximo de zero indica que a componente aleatória do modelo é praticamente desprezível.

Figura 6 – Variograma dos resíduos A consistência do variograma e também a presença/ausência de tendência pode ser verificada por validação cruzada. Esta se caracteriza por retirar cada ponto da amostra e recalculá-lo a partir dos demais, empregando-se as equações de kriging mostradas em (3.5). Isto resulta em um conjunto de n valores de erros, que representa a diferença entre os resíduos preditos e os observados. O resultado da validação cruzada é analisado a partir de um modelo de regressão linear, tendo como variável dependente os valores observados e como variável independente os valores preditos, ou vice-versa. A situação ideal é que a média das diferenças seja próxima de zero e o coeficiente angular normalizado seja próximo de 1(Burrough & McDonnell, 1998). A Tabela 4 mostra os resultados da regressão, onde o termo B(constant) representa a média das diferenças e o termo Beta o coeficiente angular normalizado, ambos com valores próximos da situação ideal. A visualização gráfica desse resultado é mostrada na Figura 7.

Tabela 4 – Resultados da regressão linear entre resíduos observados e calculados

Coeficientes não padronizados

Coeficientes padronizados

T Sig.

B Std. Error

Beta

Constante -2,389E-03 ,005 -,482 ,630 Predito ,99 ,012 ,859 79,452 ,000

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Figura 7 – Gráfico do modelo de regressão

Continuando a verificação da estacionariedade de segunda-se ordem, passa-se ao cálculo do índice de Moran de acordo com (3.2), fixando-se a distância h em 515,15 m, que corresponde ao range já obtido no variograma. Isso indica que somente pares de pontos, separados por no máximo essa distância, serão computados. O resultado do índice, mostrado na Tabela 5, comprova a existência de padrão de cluster espacial, pois o índice é maior que zero em valor absoluto e positivo. Observa-se também que a hipótese nula de não existir dependência espacial é rejeitada, em um nível de significância de 0.01, dado que 01.0=≥ αZZ score .

Tabela 5 – Índice de Moran

Discriminação Valor

N (válidos) 2250 N (missing) 0 Índice de Moran 0.296155 Z Score 77.557523 ZP=0.01 2.58

Comprovadas as hipóteses de estacionariedade de primeira e segunda ordem dos resíduos )(sε e a consistência do respectivo variograma, estes passam a ser tratados como o termo )(su de (3.4) e a superfície de corretores é gerada por (3.5). O resultado dessa superfície, materializada por uma grade com dimensões 30m x 30m é apresentado na Figura 8.

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Figura 8 – Superfície dos corretores )(ˆ 0su

Uma vez identificadas a variação global dos preços na Tabela 2 e a variação local dos preços na superfície dos corretores, a soma de ambas fornece o preço de qualquer ponto da cidade.

A última etapa dos procedimentos metodológicos consiste em verificar a existência de diferenças significativas entre os valores de preços preditos pelos modelos clássico e espacial em relação aos valores de preços observados, empregando-se o teste DHS de Tukey. A hipótese nula de que os preços médios dos terrenos não diferem significativamente )( espacialMCRobservado µµµ == é rejeitada, pois Fobs> Fα=0.01

conforme mostra a Tabela 6.

Tabela 6 – Análise de Variância

Fonte de variação SSQ gl QM Fobs Fαααα=0.01

Entre grupos 2.977.355,12 2 1.488.677,56

Dentro dos grupos 21.541.466,61 7747 2780,62 535,38 4.60

Total 24.518.821,73

A segunda etapa do DHS de Tukey, mostrada na Tabela 7, identifica diferença significativa entre as médias dos preços observados e as médias dos preços obtidos pela regressão clássica, pois 7.26 > 5.07, e também diferença significativa entre as médias dos preços obtidos pela regressão clássica e as e as médias dos preços obtidos pelo modelo espacial, uma vez que 6.35 > 5.07. Em contrapartida, não foi observada diferença significativa em relação às médias dos preços observados em

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relação aos obtidos pelo modelo espacial, porque 0.91 < 5.07. Esses resultados comprovam o ganho obtido com a implementação do modelo espacial.

Tabela 7 - Matriz de diferença de médias

MCRµ = 53.24 espacialµ = 59.59 observadoµ = 60.5 gl DHSq=0.01

MCRµ - 6.35 7.26

espacialµ - - 0.91 7747 5.07

observadoµ - - -

Comprovada a eficiência do modelo espacial, as superfícies de variação de preços no bairro de Atalaia, mostradas na Figura 9, nos períodos de 2004, 2005 e 2006 em relação a 2003, identificaram a valorização dos preços por m2, em reais, ocorridas no período considerado.

Figura 9 – Valorização dos preços dos terrenos no Bairro de Atalaia

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5. Conclusões

A metodologia sugerida identificou tanto uma componente global como uma componente espacial local nos preços dos terrenos do bairro de Atalaia e da cidade de Aracaju.

O modelo clássico de regressão, que identificou a componente global, apresentou poder explicativo de 63%, mostrando variação positiva crescente dos preços dos terrenos tanto no bairro de Atalaia, quanto no restante da cidade. Comprovou-se também maior valorização de Atalaia em relação aos demais. A afirmação de que a componente global foi controlada nesse modelo deve-se ao fato de que nele estão incluídas as coordenadas dos centróides dos terrenos.

Uma análise preliminar identificou os resíduos do modelo clássico como livres de tendência, por apresentarem estacionariedade de primeira e segunda ordem. Também neles foi detectada autocorrelação espacial, como mostraram os índices de Moran e o variograma. Essas características levaram ao emprego da krigagem ordinária como interpolador para geração da superfícies de corretores locais dos preços.

Vários modelos de variograma foram testados e os melhores adaptados corresponderam aos do tipo esférico e circular com os parâmetros de range, sill e nugget praticamente iguais. Optou-se pelo esférico porque foi o que apresentou melhor resultado na validação cruzada.

O ganho obtido com a incorporação do modelo espacial em adição ao modelo clássico foi comprovado a um nível de significância de 0.01 por teste de comparação de múltipas médias.

O modelo permitiu a visualização espaço-temporal no barro de Atalaia, onde pode ser observada a valorização crescente dos terrenos no período de 2003 a 2006, para diferentes regiões do bairro.

A metodologia sugerida pode ser empregada em outras regiões, desde que sejam identificados indícios de dependência espacial nos dados amostrais.

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6. Referências bibliográficas

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