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© Jorge Salvador Marques, 2009

Wavelets


Motivação


Qual é a melhor escala?

Os objectos aparecem na imagem com dimensões muito diferentes.

Não uma escala única que seja apropriada. Há uma escala adequada para representar cada objecto

representações multi-escala


Espaço-escala

)(*)(),( xxx sGIsI = 22

2||||

2 )(

21 s

x

eGs

s

−=

πx

Define-se espaço-escala como o sinal


Pirâmide gaussiana

M ..., 1, )2()( )(*)()( 1 === + iJ IGIJ iisii kkkkk

Discretização do espaço e da escala

Recursão:

dificuldade: o número de variáveis aumenta!


Wavelets

As wavelets permitem obter imagens de baixa resolução mantendo toda a informação da imagem original, sem aumentaro número de coeficientes.

coeficientes de detalhe

imagem de baixa resolução


Wavelets


Correlação entre pixels

posição relativa dos pixels

pixels vizinhos são correlacionados


Coeficientes de detalhe

Os coeficientes de detalhe são descorrelacionados (aproximadamente).

detalhe

ruído gaussiano

horizontal vertical diagonal

posição relativa dos coeficientes


Representação de Haar


Aproximação de funções

)()( kxφcxf jk

kj −∑=

∞+

−∞=2

⎪⎩

⎪⎨⎧ <≤

=..

)(cc

xxφ

0

101

f f

f1f0

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

f

f2

0 1 2 3 4


Base: impulsos rectangulares

)( 72 −xφ j

)( 62 −xφ j

0

)( xφ j2

1j=3

)( 52 −xφ j

)( 12 −xφ j

)( 22 −xφ j

)( 42 −xφ j

)( 32 −xφ j

0 1

base ortogonal


Base alternativa: funções de Haar (1909)

0 1 j=3

0 1

h0(x)

h1(x)

h3(x)

h2(x)

h4(x)

h5(x)

h6(x)

h7(x)

gera o mesmo espaço que a base anterior

Wavelet de Haar

base ortogonal e multi-escala


Funções de Haar

Nxhxh 1

000 == )()(

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<≤−

−<≤−

==

contrário caso

//).( 2-

/).(/)(2

)()( p/2

p/2

0

2250

25021

1 pp

pp

Npqk qxq

qxq

xhxh

12 −+= qk p

p - escalaq - deslocamento

hp,q(x)


Transformada de Haar

Hcd =[ ][ ]TN

TN

... d ddd

... c ccc

110

110

−

−

=

=

( )Nj

iij hH =

Realiza a mudança de base

Matriz de Haar

hi – função de Haar

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−−

−−

−−−−

=

22000000

00220000

00002200

00000022

22220000

00002222

11111111

11111111

81H

Exemplo

H ortogonal: H-1=HT

A transformação de Haar é a transformada de Wavelet mais simples!


Análise Multi-resolução


Expansão em Série

∑=k

kk xφαxf )()( )(xφk

dxxfxφxfxφα kkk )( )(~ )(),(~ *∫>==<

Seja f(x) uma função de quadrado integrável (f∈ L2(IR))

expansão em série

funções de base

cálculo dos coeficientes

)(~ xφk função dual de

se a base for ortonormada )()(~ xφxφ kk =

)(xφk


Função de Escalamento

)()( /, kxφxφ jjkj −= 22 2

)(xφ

Pretende-se que as funções de base se obtenham por escalamento e deslocamento de uma função ϕ(x) designada por função de escalamento.

)(, xφ 23

820 1 0 1

Exemplo: função de Haar

j - escalak - deslocamento


Espaço de resolução j

∑=k

kjk xφαxf )()( ,

Designa-se por sub-espaço de resolução j, o conjunto de funções Vj que se podem escrever como combinação linear de funções ϕjk(x)

Se j for escolhido cuidadosamente os conjuntos Vj são embebidos (nested)

1+⊂ jj VVV0

V1

V2


Análise Multi-resolução

Uma função de escalamento ϕ e um conjunto de subespaços Vj por ela gerados definem uma análise multi-resolução se

1) a função de escalamento ϕ(x) for ortogonal às suas versões deslocadas:

2) os subespaços Vj gerados por ϕ(x-k), ∀k são embebidos nos espaços de índice maior

… ⊂ V-2⊂ V-1⊂ V0⊂ V1⊂ V2⊂…

ϕ(x) ⊥ ϕ(x-k), ∀k

3) a única função pertencente a todos os subespaços Vj é a função nula

4) qualquer função de quadrado integrável f pode ser aproximada com precisão arbitrária por uma função de Vj.


Equação de dilatação

Como ϕ(x) pertence a V0, também pertence a V1 também

Assim pode exprimir-se como combinação linear das funções de base de V1.

)( 2 )()( nxφnhxφ φn

−∑= 2

)( )()( , xφnhxφ nφn

2∑=

coeficientes da função de escalamento


Espaços ortogonais

V0

V1

V2

V0W0W1Vj+1=Vj⊕Wj

jj WWWVV ⊕⊕⊕⊕= ...100

Wj é um subespaço vectorial

soma directa de sub-espaços


Wavelets

)( 2 )()( nxφnhxψ ψn

−∑= 2

Se {Vj} for uma análise multi-resolução então existe uma função ψ(x) (wavelet)tal que

1) as funções wavelets ψjk(x)=2j/2 ψ(2jx-k) são uma base de Wj

2) ϕjk(x) ⊥ ψjm(x) ∀j,k,m

Pode-se provar que

e que

)()()( nhnh φn

ψ 1−=


Desenho da função de escalamento

O desenho da função de escalamento ϕ(x) e respectiva wavelet ψ(x) não é abordada neste curso. Há várias famílias de funções propostas (p.ex., por Daubechies).

O caso mais simples é o impulso rectangular (Haar)

⎪⎩

⎪⎨⎧ <≤

=..

)(cc

xxφ

0

101


Exemplo

⎪⎩

⎪⎨⎧ <≤

=..

)(cc

xxφ

0

101

Admitamos que ϕ é a função de Haar

)()()( 122222

12

1 −+= xφxφxφ

Assim

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤−

<≤

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

..

.

.

)(

..

)(

..

)(

cc

x

x

xψ

cc

n

n

nh

cc

n

n

nh ψφ

0

1501

5001

0

1

0

0

1

0

21

21

21

21

ψ(x)


Expansão em série de wavelets

)( )()( ,,jj

,,0

xψdxφcxf kjkjk

kjkjk

000 ∑∑+∑=∞

=

kjc ,0

se f(x) for um sinal de quadrado integrável

coeficientes de aproximação

kjd , coeficientes de detalhe

>=< )(),(, xφxfc jkkj >=< )(),(, xψxfd jkkj

...)( 212

0000 ++ ⊕⊕⊕= jjjj WWWVIRL

Como


Transformada de wavelet rápida

hψ(-n)

hϕ(-n)

↓2

↓2

hψ(n)

hϕ(n)

↑2

↑2

cj+1,n

dj,n

cj,n

cj+1,n

0 π

aproximação detalhe

aproximação

detalhe

O cálculo dos coeficientes de aproximação e de detalhe pode ser feita através de um banco de filtros

Análise Síntese


Transformada multi-escala

0 π

aproximação detalhe

dj,n

hψ(-n)

hϕ(-n)

↓2

↓2

cj+1,n

cj-1,n

hψ(-n)

hϕ(-n)

↓2

↓2

cj,n

hψ(n)

hϕ(n)

↑2

↑2

cj+1,n

hψ(n)

hϕ(n)

↑2

↑2

cj,n

dj-1,n


Exemplo

)()()(

)()()(

1

1

21

21

21

21

−−=

−+=

nδnδnh

nδnδnh

ψ

φ]4 0 1- 1 3 1 2 0[)( =nf

Filtros associados à wavelet de Haar

Transformada de wavelet rápida

sinal

]4- 2 2- 2[ ]4 4- 1- 2 2 2- 1 2[ )(*)(

]4 0 4 2[ ]4 4 1- 0 4 4 3 2[ )(*)(

−=⎯⎯→⎯−=−

=⎯⎯→⎯=−

−↓

−↓

21

21

21

21

12

12

dnhnf

cnhnf

ψ

φ

]2 2- 1- 1 1 1- 1 -1[ ]0 4 0 2 0 2- 0 2[ )(

]2 2 0 0 2 2 1 1 [ ]0 4 0 0 0 4 0 2[ )(

)(*

)(*

⎯⎯⎯ →⎯−=↑

⎯⎯⎯ →⎯=↑

−

−

nh

nh

ψ

φ

d

c

212

212

1

10 2 1 3 1 -1 0 4


Representação de Imagens

Como representar imagens discretas usando wavelets?

Há 2 dificuldades:

a imagem é discreta

depende de duas variáveis independentes

1ª questão (sinal discreto): dado um sinal discreto, pode-se admitir que os valores do sinal I(n) são os coeficientes de ordem j, cj,m, e aplicar waveletspara obter os coeficientes de resoluções mais baixas.

2ª questão (sinal bidimensional): aplicar a transformada de Haar a cada coluna da imagem e depois aplicar a transformada de Haar a cada linha da matriz resultante.


Exemplo


Leituras sugeridas

S. G. Mallat, "A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: A Wavelet Representation," IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol 11, No. 7, July 1989.

Gonzalez, Woods, Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008

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