26

3Análise de Wavelets

3.1.História

A palavra wavelet tem como gênese a palavra francesa “Ondalette”, que

significa onda pequena. Também é conhecida como “Ondaleta”. Nós usaremos

simplesmente a palavra wavelet.

As wavelets foram pela primeira vez mencionadas no apêndice da tese de

(Haar, 1909). As wavelets de Haar ficaram no anonimato por vários anos, até que

nos anos 30 vários grupos trabalhando independentemente, pesquisaram a

representação de funções usando uma base variando com a escala. Naquela

ocasião, usando a base de wavelets de Haar, Paul Levy investigou o movimento

Browniano. Ele mostrou que as funções da base de Haar eram melhores do que as

da base de Fourier para estudar os pequenos e complicados detalhes do

movimento Browniano. Por um período longo, as wavelets de Haar continuaram a

ser a única base ortonormal de wavelets conhecida. Em 1985, Mallat deu às

wavelets um grande impulso através de seu trabalho em processamento digital de

imagens. Meyer (1989) inspirado nos resultados de Mallat, construiu a primeira

wavelet não-trivial (suave). Ao contrário das wavelets de Haar, as wavelets de

Meyer são continuamente diferenciáveis, mas não têm suportes compactos1.

Em 1988, Mallat desenvolveu uma teoria denominada análise de

multirresolução. No ano seguinte ele mostrou que a análise de multirresolução

pode ser vista simplesmente como uma forma de algoritmos de pirâmide2 que é

usado para calcular a transformada de wavelets. (Mallat, 1989).

Em 1990, Ingrid Daubechies usou os trabalhos de Mallat, para construir um

conjunto de bases ortonormais de wavelets suaves, com suportes compactos. Os

trabalhos de Daubechies são os alicerces das aplicações atuais das Wavelets. Mais

sob a história das wavelets podem ser achadas em (Paulo C.L, 2002), no livro de

(Yves Meyer 1993), e os trabalhos de (Barbara B, 1998) que descreve o

nascimento, história e os conceitos das wavelets de forma clara.

1 As funções bases são não zero em um intervalo de tempo finito.2 Algoritmos de pirâmide são vistos com mais detalhes na seção 3.6.4.

27

3.1.1.Algumas aplicações

Nas últimas duas décadas, a transformada de wavelets tem sido

satisfatoriamente aplicada a sinais de características não-estacionárias. Sua

aplicação se destaca em diferentes áreas como Engenharia, Física, Matemática,

Estatística, Economia, etc. Podemos ressaltar a sua utilização em estatística, como

um procedimento auxiliar na filtragem (de-noising), regressão não paramétrica e

estimação de densidades de probabilidade. A seguir são mostrados algumas

aplicações.

Uma aplicação teve como finalidade o “alisamento dos dados” e a “inspeção

do sinal”, para prever os terremotos. Usou-se a água dos poços, localizados na

Califórnia, que foi monitorada para se obter as medidas de seus níveis, tomados a

cada hora por aproximadamente seis anos. (Vidakovic, 1999).

Uma outra aplicação muito conhecida foi dado em “compressão de

imagens”, no Federal Bureau of Investigation (FBI) para amostras de impressões

digitais, cujo problema principal era o armazenamento de dados devido ao

tamanho de informação proveniente de muitos anos. Com a aplicação das

wavelets, cada impressão digital ocupou menos espaço de armazenamento para

representar adequadamente os dados originais. Praticamente realizou-se uma

compressão em uma proporção de 20:1. (Graps, 1995).

Nos últimos dez anos as aplicações voltadas à área de sistemas de potência

no setor elétrico têm crescido radicalmente. Entre as aplicações mais conhecidas

podemos mencionar as seguintes:

- Proteção de sistemas de potência

- Qualidade de potência

- Previsão de carga

- Medidas de um sistema de potência

- Transientes de sistemas de potência.

No trabalho de (Rosa C.F. e Horacio D.R., 2002), apresenta-se a descrição das

aplicações das wavelets na área do sistema de potência para cada um dos itens

citados acima. Também se proporciona uma abundante bibliografia, alguns

tutorais e site interessantes.

28

3.2.Analise de Fourier versus análise de Wavelets

Para um bom entendimento da análise de wavelets, é necessário começar

com a análise de técnicas mais simples.

Na prática muitos sinais (assumimos contínuos para a explicação) vêm

representados no domínio do tempo, com uma determinada amplitude. Estes

mesmos sinais podem ser representados de outra forma, isto é, no domínio da

freqüência. Quando nós estivermos nos referindo ao domínio da freqüência, é

introduzido o conceito de espectro de freqüência, o qual representa basicamente as

componentes de freqüência do sinal.

A representação do sinal no domínio da freqüência é obtida aplicando a

transformada de Fourier (TF) à série original, expressa no domino do tempo. O

resultado desta transformação é um conjunto de freqüências as quais caracterizam

o sinal original. Mas, surge a pergunta: Por que precisamos de informação de

freqüência? Muitas vezes a informação que se precisa não pode ser vista no

domínio do tempo, e sim, no domínio da freqüência. Em outros casos a parte mais

importante da informação do sinal está “escondida” nas suas freqüências. Esta

transformação pode ser aplicada a sinais não estacionários, desde que, somente se

esteja interessado em saber as componentes de freqüência que contém o sinal.

A TF apenas nos indica o conteúdo espectral do sinal, mas não fornece o

instante ou intervalo de tempo em que essas componentes espectrais aparecem.

Em muitas aplicações, é muito importante saber quando ou em que intervalo

de tempo as freqüências ocorrem. Para essa análise a TF já não é a mais adequada,

salvo se a série for estacionária, pois as freqüências pelas quais, as sinais

estacionárias estão compostas, ocorrem no tempo de existência do sinal.

Como alternativa para resolver este problema, surgiu a Transformada por

Janelas de Fourier (TPJF), que é uma generalização da TF. A sua aplicação

permitirá obter a informação do sinal em tempo e freqüência. A metodologia da

TPJF têm alguns problemas, como por exemplo, a escolha da largura da janela,

como veremos na seção (3.4).

Em geral, muitas das séries temporais, como séries econômicas e

financeiras, exibem comportamentos não estacionários, tais como mudanças nas

tendências, quebres estruturais, desde o começo até o fim do evento. Estas

29

características são freqüentemente as partes mais importantes do sinal e aplicando

a TF ou TPJF não se poderá capturar eficientemente esses eventos. Assim, a

Transformada de wavelets surge como uma ferramenta muito útil para analisar

estas séries do tipo não estacionária. Na seção (3.5) veremos mais detalhes sobre

transformada de wavelets.

As boas propriedades das wavelets fazem que as mesmas sejam muito úteis

na análise de sinais com características não estacionárias, das quais fazem parte

muitas séries econômicas e financeiras.

3.3.Transformada de Fourier

Esta é uma ferramenta principal para explorar os fenômenos em tempo

freqüência. A transformada de Fourier de uma função ( )tf (pelo momento vamos

assumir que t é uma variável contínua), é definido no espaço ( )ℜ1L (i.e.

( ) ( )∫ ℜ∈∀∞< )(, 22 Ltfdttf ). por:

( )( ) ( )∫ℜ−= dtetfwTF twif

π21

(1)

Se fTF ( )ℜ∈ 1L , é a transformada de Fourier de ( ) ( )ℜ∈ 1Ltf , então a

transformada inversa de Fourier será:

( )[ ] ( )( ) ( )tfdwewTFwTFF twiff == ∫−

π211 (2)

onde w é a freqüência angular. Esta transformada inversa de Fourier vai ser

usada para reproduzir a função original.

30

3.4.Transformadas por janelas de Fourier

3.4.1Introdução

Como mencionado na seção (3.2), a aplicação da TF não é adequada para

sinais não estacionários, quando se deseja a informação das freqüências no tempo.

Num esforço por corrigir essas deficiências, Dennis Gabor (1946), desenvolveu

uma técnica chamada transformada de Gabor, mais conhecida como transformada

por janelas de Fourier (TPJF), para se conseguir assim, um balanço entre tempo e

freqüência. Esta técnica, consiste em analisar uma parte do sinal, feito pela

escolha de uma função janela “ ( )tW ” em uma escala1 determinada, transladando a

janela através de toda a série de tempo, e logo, tomando a TF de todas as

pequenas séries. O resultado da expansão é uma função de dois parâmetros;

freqüência e tempo. A propriedade chave, é que o tamanho da janela é fixado com

respeito à freqüência, isto produz um plano de divisão retangular de tempo-

freqüência como se mostra na Figura 8.

Tempo

TPJF

Tempo

Amplitude Freqüência Janela

Figura 8 − Transformada por Janelas de Fourier

A TPJF fornece alguma informação a respeito de quando, e em quais

freqüências o evento do sinal ocorre, mas só obtemos esta informação com uma

precisão limitada. Na prática a escolha da janela é muito importante com respeito

ao desempenho da TPJF. Embora bons resultados tenham sido obtidos, estes não

são completamente satisfatórios. Muitos sinais requerem uma aproximação mais

flexível, onde necessitam alterar o tamanho da janela, e assim, determinar eventos

com uma melhor aproximação tanto no tempo como na freqüência.

1 A definição de escala é vista na seção (3.5.3).

31

3.4.2.Relação matemática

A TPJF está dada pela relação:

( )( ) ( ) ( ) twif ettgtftwTPJF −−= ∫ '', (3)

É mais familiar e prático analisar esta técnica numa versão discreta, onde't e w , são atribuídos como valores regularmente distanciados: 0

' tjt = ,

0wkw = , e onde j e k ∈Z, e ow , 0t são valores fixos maiores que zero. Então

nova versão da TPJF é:

( )( ) ( ) ( ) twjif etktgtfkjTPJF 00, −∫ −= (4)

o valor de j se refere as freqüências e k as translações no tempo.

3.5.Transformada de Wavelets

3.5.1.Introdução

A transformada de wavelets tem qualidades atraentes que a fazem um

método muito útil para séries temporais, exibindo características que poderiam

variar tanto em tempo como em freqüência (ou escala). Ver Figura 9.

Am

plitu

de

Tempo

Transformadade Wavelets

Esca

la

Tempo

Figura 9 − Transformada de wavelets proporciona uma representação em tempo eescala

A transformada de wavelets nos permite decompor o sinal num conjunto de

bases de funções, em diferentes níveis de resolução (escalas) e tempos de

32

localização. A partir desses níveis é possível reconstruir ou representar uma

função, usando as bases wavelets e coeficientes desses níveis apropriadamente.

As wavelets são simplesmente ondas de curta duração com energia

concentrada num intervalo de tempo curto, (Graps, 1995), com certas

propriedades matemáticas e que são definidas no espaço funcional de quadrado

integrável L 2 (ℜ).

As famílias de funções ( )tba,ψ , são definidas por dilatações (ou

compressões) e translações de uma única função ( )tψ chamada wavelet mãe1,

definida por:

( )

−

= −

abtatba ψψ 2/1

, , 0,, ≠ℜ∈ aba , (5)

onde o termo 2/1−a serve para normalizar a função ( )tba,ψ (ver 3.5.5. para

mais detalhes).

A transformada de wavelets nos fornece uma descrição em tempo-escala.

De forma análoga a mostrado em (3) e (4) temos:

( ) ( ) dta

bttfadttfabaTW baf

−

== ∫∫−− ψψ 2/1

,2/1),( (6)

e

( ) ( ) dtbktatfakjTW jjf00

2/0),( −= −− ∫ ψ (7)

onde. j, k ∈ Z, jaa 0= , jabkb 00= , além 0a >1 e 0b >1, são fixos. Está se

assumindo que a função ψ satisfaz a condição, ( ) 0=∫ dttψ , de admissibilidade

(ver relação (10)). Mais detalhes podem ser encontradas em (Daubechies, 1992).

3.5.2.Tipos diferentes de transformação wavelets

Existem vários tipos de transformada de wavelet, as quais partem das

fórmulas básicas (6) e (7). Assim, podemos distinguir.

1 Mais na frente (seção 3.6.2) é mostrado que existe outro tipo de funções wavelets chamadowavelets pai, e que é representado pela função ( )tφ .

33

A. Transformada de wavelets contínua - dado pela relação (6) -

B. Transformada de wavelets discreta - dado pela relação (7) -

Dentro da transformada de wavelets discreta distinguem-se duas abordagens:

b.1 Representação por Frames

b.2 Representação por bases de wavelets ortonormais e outras bases

Na seqüência será descrito cada uma destas alternativas, centrando nosso

interesse, nas bases de wavelets ortonormais (b.2)

3.5.3.Transformada de wavelets contínua

Entender a transformada continua de wavelets é muito importante pelo fato

de ter propriedades similares quando é analisado o caso discreto.

A transformada continua de wavelets, é dada pela seguinte relação: (ver

equações (5) e (6).

( ) ( ) ( ) dtttfbaTCW baf

,, ψ∫= (8)

a função ( )tba,ψ é uma família de funções definida como translações e

dilatações de uma única função ( )tψ , chamada wavelet mãe. A função ( )tψ tem

que satisfazer a condição de admissibilidade,

( )∞<

Ψ= ∫ℜ dw

ww

C2

ψ , ( 9)

onde ( )wΨ é a transformada de Fourier de ( )tψ . Esta condição de

admissibilidade implica:

( ) ( ) 00 =Ψ=∫ dttψ (10)

34

3.5.3.1

Propriedades básicas

Mostramos algumas propriedades básicas.

Resolução de identidade

Quando a condição de admissibilidade é satisfeita, i.e. ∞<ψC , é possível

achar a transformada inversa contínua, assim uma função ( )tf de ( )ℜ2L pode ser

reconstruída de sua transformação wavelets.

( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−= 2,,1

adbdatbaTWC

Ctf ba

f ψψ

(11)

Escalonamento

Escalonamento de uma wavelet simples significa alongar ou comprimir

uma wavelet. Para compreender melhor isto mostraremos um exemplo de senóides

escalonadas, onde o efeito do fator de escala é dado por “a”. Ver Figura 10 .

( ) ( ) 1;sen == attf

( ) ( ) 2/1;2sen == attf

( ) ( ) 4/1;4sen == attf

Figura 10 − Efeito do fator de escala “a” na função senoidal

É fácil ver que o fator de escala trabalha exatamente da mesma forma com

wavelets. O menor fator de escala mostrado na Figura 11, corresponde à wavelet

mais comprimida.

35

( ) ( ) 1; == attf ψ

( ) ( ) 2/1;2 == attf ψ

( ) ( ) 4/1;4 == attf ψ

Figura 11 − Efeito da do fator de escala “a” na wavelet

Translação

Translações de uma wavelet simples significa deslocamento no mesmo

conjunto.

Matematicamente, o deslocamento de uma função ( )tψ por k é representado por

( )kt −ψ :

Função wavelet ( )tψ

Traslação da Função wavelet ( )kt −ψ

Figura 12 − Translação de uma wavelet em k unidades

Assim, há uma correspondência entre escalas e freqüências das wavelets, isto é:

• Para baixos a ⇒ wavelets curtas ⇒ rápidas mudanças⇒ altas freqüências w

• Para altos a ⇒ wavelets longas ⇒ mudanças lentas ⇒baixas freqüências w

Estas duas últimas propriedades são muito importantes para poder entender a

transformada de wavelets no espaço de três dimensões como se mostra na Figura

13.

36

Tempo

Escala

Amplitude =TCW(j,k)

kj

Figura 13 − Espaço tridimensional das amplitudes dos coeficientes wavelets em cadanível de resolução e tempo de deslocação.

k = parâmetro de translação

j = parâmetro de escalonamento

3.5.4.Representação de wavelet discreta por Frames

Quando não se pode estabelecer a condição de ortonormalidade é melhor

pensar no caso mais geral, que são as frames onde o alvo é obter coleções de

funções que não são ortogonais, nem linearmente independentes, mas que ainda

podem ser utilizadas para definir um operador de representação. Da equação (7),

os valores escolhidos para o parâmetro de dilatação a e b são discretos. O

parâmetro jaa 0= , onde 0a >0, 0a é fixo e j corresponde às diferentes larguras

das wavelets. O parâmetro jabkb 00= , 0b > 0, 0b é fixo e k corresponde as

translações das wavelets através do tempo.

Substituindo esses valores em (5) tem-se uma expressão para as wavelets

( )

−= −

j

j

jj

kj aabk

atat

0

00

0

2/0, ψψ

( )002/

0 bktaa jj −= −− ψ

(12)

37

3.5.5.Representação por bases de wavelets ortonormais.

Se, de forma particular e especial, for feita uma escolha de ( )tψ , 0a e 0b ; a

função ( )tkj ,ψ vai formar uma base ortonormal de ( )ℜ2L . Em particular para a

equação (12) são escolhidos 20 =a , 10 =b . Então existe uma função ( )tψ , tal

que:

( ) ( )ktt jjkj −= −− 22 2/

, ψψ (13)

Aqui pode-se ver que ( )tkj ,ψ é obtido de ( )tψ por uma dilatação binária

j−2 e uma translação “diádica” jk 2 . Para estabelecer que ( )tkj ,ψ constitua uma

base ortonormal num espaço ( j = fixo) ( )ℜ2L , precisamos mostrar:

Ortogonalidade : < ( )tkj ,ψ , ( )tkj ˆ,

ψ > = 0 para kk ˆ≠

Normalização: 1, =kjψ se Zk ∈

Alguma função ( ) ( )ℜ∈ 2Ltf pode ser arbitrariamente aproximada por uma

combinação linear finita de funções ( )tkj ,ψ , mas para isso, tem que se satisfazer

mais uma condição:

Completeza: Para todo ( ) ( )ℜ∈ 2Ltf e todo 0>ε ,

( ) ( ) ε<− tftf ˆ

onde ( ) ( ) kjk

kjtftf ,,,ˆ ψψ∑ ><= é a estimação da função ( )tf , e o produto

interno ( ) >< kjtf ,,ψ representa a transformada de wavelets, que vem a ser os

coeficientes da função base. Completeza afirma que as combinações lineares do

conjunto podem ser utilizadas para se obter aproximações de qualquer função

( )tf do espaço ( )ℜ2L usando as bases de wavelets . É fácil ver que a condição de

ortogonalidade implica que os elementos ( )tkj ,ψ sejam linearmente

38

independentes. Os conjuntos de bases ortonormais do espaço também são

chamados conjuntos ortonormais completos.

A função Haar ( ( )tψ ) é a função mais simples e conhecida, para ( )tkj ,ψ

definido em (13), constitui uma base ortonormal para ( )ℜ2L . A demonstração é

encontrada em (Daubechies, 1992. p.10).

3.5.6.Transformada de wavelets discreta para uma função discreta

No caso anterior foi falado que, a transformada de wavelets era contínua

quando a função wavelet, for também continua, e a sua correspondente

transformada era discreta quando a função wavelet fosse discreta. Além disso,

assumimos inicialmente que a função ( )tf era contínua.

Nesta parte a transformada discreta de wavelets vai ser aplicada para um

conjunto de dados discretos. A saída desta transformação será também discreta.

Existem muitas formas de expressar a transformada discreta de wavelets de um

vetor de observações. Seja uma função discreta do tempo ( ) [ ]110 .......,, −= NxxxtX ,

a relação da equação (8) torna-se discreta para este caso, e dada por:

( ) ( ) ( )kttXkjTWD jN

t

jX −= −−

=

− ∑ 22,1

0

2/ ψ (14)

A relação inversa desta função utilizada para as sínteses ou reconstrução do

sinal é dada pela relação:

( ) ( )[ ] ( )ktkjTWDtX j

Zk

X

j

j −= −

∈Ζ∈

− ∑∑ 2,2 2/ ψ (15)

39

3.6.Análise multirresolução de bases ortonormais de wavelets

3.6.1.Propriedades da análise de multirresolução

A análise de multirresolução consiste de uma seqüência de aproximações

sucessivas de espaços jV (seguindo a convenção de Daubechies)1.

...... 21012 ⊂⊂⊂⊂⊂⊂ −− VVVVV (16)

Na Figura 14 pode-se observar como é a distribuição destes espaços.

........... 1012 −VVVV

.... ....

Figura 14 − Distribuição dos espaços

A união desses espaços fechados é ( )ℜ2L ,

( )ℜ=∈

2LVZj

jU (17)

A interseção contém somente à função zero

{ }0=∈I

ZjjV

(18)

Existem muitos espaços que satisfazem as relações (16)-(18). O aspecto de

multirresolução é uma conseqüência de outros requisitos adicionais, descritas a

seguir. Dada uma função ( )tf de ( )ℜ2L , tem-se que,

1 Esta convenção diz que os subespaços denotados com os menores subíndices estarão dentro dossubespaços de maiores subíndices. Esta convenção é oposta à convenção de Mallat.

40

( ) ( ) 12 −∈⇔∈ jj VtfVtf (19)

A relação (19) diz que numa análise multirresolução, o espaço 1−jV é obtido

de jV escalando-se as funções aproximadas, pela razão dos respectivos níveis de

resolução.

Outra característica requerida na análise multirresolução, é a invariância de

0V sob translações inteiras.

( ) ( ) 00 VktfVtf ∈−⇔∈ (20)

O princípio básico da análise de multirresolução consiste que uma coleção

qualquer de funções de um conjunto fechado, satisfaz às relações (16) e (20).

3.6.2.Bases ortogonais

As wavelets são bases de funções que permitem a extração de informação

disponível do sinal no domínio do tempo e escala (ou freqüência). Os diferentes

tipos de famílias de wavelets quase sempre vem em pares. Assim, temos as

wavelets pai e mãe representados por ( )tφ e ( )tψ respectivamente. As wavelets

do tipo pai1, ( )tkj ,φ , capturam as partes do sinal de baixa freqüência, e as wavelets

do tipo mãe2, ( )tkj ,ψ , capturam os detalhes ou componentes de alta freqüência,

em um nível de resolução dado. Utilizando as bases ortonormais ( )tkj ,φ e ( )tkj ,ψ

vai se poder usadas para representar uma função ( )tf em ( )ℜ2L .

Definimos o espaço jW , chamado também espaço das wavelets para o

conjunto de wavelets do tipo mãe ( )tkj ,ψ , e o espaço jV chamado também espaço

de escalonamento para o conjunto de wavelet do tipo pai ( )tkj ,φ . Para cada Ζ∈j ,

1 As wavelets da forma ( )tkj,φ são ditos wavelets do tipo pai, devido a que foram gerados a partir

de uma única função ( )tφ .2 De forma similar as wavelets da forma ( )tkj,ψ são ditos wavelets do tipo mãe devido a que foram

gerados a partir de uma única função ( )tψ .

41

definimos jW como o complemento ortogonal de jV em 1−jV , e assim, temos a

relação entre os espaços V e W :

jjj WVV ⊕=−1

jj VW ⊥

(21)

A Figura 15 mostra como é a distribuição dos espaços W e V

1−jW

........... 1−jj VV

.... jW ....

Figura 15 − Distribuição dos espaços W e V

3.6.3.Construção de ψ(t) e φ (t) a partir de uma escala de maior resolução

Pela propriedade (19), tem-se que funções de um espaço são simplesmente

versões escaladas de elementos do próximo espaço. Se a função ( ) 0Vt ∈φ , e por

(16) o espaço 0V está contido no espaço 1−V (ver Figura 15), então, ( ) 1−∈Vtφ .

Portanto a função ( )tφ pode ser expressa em (22), como uma combinação linear

deste último espaço 1−V , que é um espaço escalado suportado por ( )t2φ .

( ) ( ) ( ),22 ktkltk

−= ∑ φφ Ζ∈k , (22)

Por outro lado, foi mencionado na seção anterior e mostrado na Figura 15

que 1W ⊂ 0W , então a wavelet mãe ( )tψ também pode ser expressa em (23), como

uma combinação linear de funções escala ( )t2φ deslocadas, similar à equação

anterior.

42

( ) ( ) ( ),22 ktkhtk

−= ∑ φψ (23)

Os coeficientes ( )kl e ( )kh são conhecidos também como filtros “passa

baixo” e “passa alto” respetivamente, e estão relacionados por:

( ) ( )klh kk −−= 11 (24)

ou também da forma, para sinais de comprimento finito e ordem N.

( ) ( )Nklh kk 211 +−−= , (25)

Estas relações são dadas pela própria ortogonalidade entre a função do tipo

pai e a função wavelet do tipo mãe.

As funções ( )kl e ( )kh são filtros de quadratura em espelho-FQE

(Quadrature Mirror Filter-QMF). (Oppenheim, 1989). Será visto mais do FQE na

seção 3.6.4.2.

3.6.4.Algoritmo piramidal

Na prática a transformada de wavelets discreta é implementada via o

algoritmo piramidal, (Mallat, 1989), sendo preciso para cada iteração do algoritmo

piramidal três dados; 1) o vetor de entrada, 2) o filtro wavelets do tipo mãe ( )kh ,

3) e o filtro de escala ( )kl da wavelet do tipo pai.

Como sabemos a transformada discreta das funções wavelets do tipo pai e

mãe, matematicamente ,são calculadas usando as relações de ( ) ( )ttxa kjkj ,, ,φ=

e ( ) ( )ttxd kjkj ,, ,ψ= respetivamente. O algoritmo piramidal efetua estes cálculos

de outra forma, usando os filtros passa baixo e passa alto das funções wavelets

usadas na análise. Para o j-ésimo passo, o algoritmo calcula esta transformada

discreta a partir dos coeficientes suaves kja ,1− , do nível 1−j , dado por:

43

( ) njn

kj aknla ,1, 2 −∑ −= (26)

( ) njn

kj aknhd ,1, 2 −∑ −= (27)

A transformada de wavelets pode ser interpretada como uma filtragem

seguida de uma decimação (ou downsampling). O número de coeficientes para

kja , que está no nível j , será a metade do número de coeficientes kja ,1− do nível

1−j , da mesma forma para kjd , , de tal forma que ao final se terá a mesma

quantidade de dados que ao início. Os filtros L e H são escritos como

( ) ( ) ZkZk khHeklL ∈∈ == )()( . De forma similar para os filtros de reconstrução

( ) ( ) ZkZk khHeklL ∈∈ == )(')( ''' . Estes tipos de filtros são especiais e estão

relacionados uns com os outros, com propriedades importantes para assim

conseguir a perfeita reconstrução do sinal (ver 3.6.4.2.). A seleção das wavelets

determinam os filtros.

Figura 16 − Decomposição do sinal com downsampling

Da Figura 16 mostra a decomposição do sinal, o símbolo 2↓ significa que

cada amostra de entrada é removido (downsampling de 2) com o fim de manter

constante a amostra inicial. Vamos analisar esta Figura, considerando um sinal

( )kX que pertença ao espaço de funções 0V . Tomando a transformada de wavelets

discreta, e aplicando em seguida downsampling de 2, resulta em coeficientes kd ,1

e ka ,1 que pertencem ao espaços 1W e 1V respectivamente, que são, por definição,

( )3

,3

W

d k

( )0

,0

V

a k

( )3

,3

V

a k

( )2,2 Va k

( )2,2 Wd k

( )1,1 Va kH 2↓

2↓L

H 2↓

2↓L

H 2↓

2↓L

( )1,1 Wd k

44

versões escaladas de elementos do espaço 0V . Os coeficientes de 1V são chamados

de aproximação e os coeficientes de 2W chamados de detalhes. Novamente

aplicamos a transformada aos coeficientes de aproximação de 2V , utilizando o

mesmo procedimento até se conseguir a escala desejada (no caso 3V ). Portanto o

sinal original foi subdividido em outros sinais com bandas diferentes de

freqüência, onde cada coeficiente da transformada possui uma banda de

freqüência única, podendo ser analisada da maneira mais conveniente ao objetivo

que se deseja. (Costa e Silva. M, 1999).

3.6.4.1Reconstrução ou sínteses

Até agora vimos como a transformada discreta de wavelets pode ser usada

para analisar ou decompor sinais. Resta saber como aqueles componentes podem

ser novamente unidos para formar o sinal original sem perda de informação. Este

processo é chamado “reconstrução ou sínteses”.

Figura 17 − Reconstrução do sinal via coeficientes de wavelets

A Figura 17 mostra como é feita a reconstrução do sinal a partir dos

coeficiente das wavelets. O símbolo 2↑ indica upsampling, que é o processo de

alongamento dos componentes do sinal, por inserção (introdução) de zeros entre

as amostras. O procedimento da transformada inversa discreta de wavelets resulta

de aplicar upsampling seguido de filtragem. Como no caso de decomposição o

procedimento se repete até obter o sinal reconstruído.

( )3

,3

W

d k( )0

,0

V

a k

( )3

,3

V

a k

( )2,2 Va k

( )2,2 Wd k

( )1,1 Va k

( )1,1 Wd k

H ‘2↑

L‘2↑

H ‘2↑

L‘2↑

H ‘2↑

L‘2↑

45

3.6.4.2.Importância da escolha do filtro

A parte de filtragem do processo de reconstrução também traz algumas

discussões, como conseqüência da escolha do filtro que será crucial para se obter

uma perfeita reconstrução do sinal original. Essa perfeita reconstrução é realmente

possível e significativa. É sabido que o downsampling das componentes do sinal

executado durante a fase de decomposição introduz uma distorção chamada

aliasing, (Strang, 1996; Oppenheim, 1989). Se escolhermos adequadamente e

cuidadosamente os filtros para as fases de descomposição e reconstrução (que são

muito parecidas, mas não idênticas), podemos cancelar os efeitos de aliasing.

Descomposição Reconstrução

Figura 18 − Processo de decomposição e reconstrução

A Figura 18 mostra a decomposição dos filtros de baixa e alta (L e H), junto

com seus associados filtros de reconstruções (L’ e H’) de um sistema, e são

chamados filtros de quadratura em espelho já mencionados.

De fato, a escolha dos filtros não somente determina se será possível a

perfeita reconstrução (com perda o sem perda de informação)1, como também

determina a forma da wavelet que será usada, para realizar a análise. Na verdade

não são selecionados os filtros, e sim, as wavelets, determinando-se dessa forma

os filtros a usar. Como veremos mais adiante, nosso problema basicamente estará

na seleção do tipo de wavelets a usar na análise.

1 É dito com perda de informação quando o alguns coeficientes de alta freqüência, relativo a cadanível, do sinal decomposto são eliminados a partir de um parâmetro escolhido adequadamente.

46

3.7.Alguns tipos de wavelets

Com respeito à escolha das wavelets, tem-se muitas alternativas. A seguir

são mostrados algumas características das wavelets biortogonais, Daubechies,

Symlet e Coiflet usadas na análise no capítulo 5.

3.7.1.Wavelets tipo Biortogonais

A família de wavelets biortogonais exibe a propriedade de fase linear, a qual

é necessária para a reconstrução do sinal. Usa duas wavelets, uma para a

decomposição e outra para a reconstrução, em lugar de uma só. Esta wavelet tem

suporte compacto e é simétrica. As wavelets biortogonais são definidas como

pares de bases mutuamente ortogonais, mais nenhum desses pares é ortogonal.

Figura 19 − Wavelet ψ de tipo Biortogonais

3.7.2.Wavelets tipo Daubechies

As wavelets ortogonais de Daubechies, “dbN”, são perfeitamente compactas

no tempo, mas no domínio da freqüência, tem um alto grau de superposição

espectral entre as escalas. Sua maior vantagem é serem ortogonais, o que significa

que um erro no sinal de entrada não cresce com a transformação e a estabilidade

47

numérica computacional é assegurada. Por outro lado não possuem fase linear

Figura 20 − Wavelet ψ do tipo Daubechies

3.7.3.Wavelets tipo Symlets

Este tipo de wavelet foi proposto por Daubechies como uma modificação à

família “dbN”, com possuem propriedades similares, e tendem a ser simétricas.

Figura 21 − Wavelet ψ do tipo Symlet

3.7.4.Wavelets tipo Coiflets

Este tipo de wavelets é mais simétrico do que o tipo Symlets. Foi construído

por Daubechies como requerimento de Coifman.

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Figura 22 − Wavelet ψ do tipo Coiflet

As ilustrações destes quatro tipos wavelets foram obtidas do Toolbox de

wavelets do MATLAB, (Misiti M, 1996), onde também podem-se encontrar

importantes informações e ilustrações de outros tipos de wavelets.