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Algumas aplicações wavelet na análise de sinais atmosféricos . Margarete Oliveira Domingues Odim Mendes Jr. Aracy Mendes da Costa INPE DINCON 2003 – p.1/??

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Algumas aplicações wavelet naanálise de sinais atmosféricos .

Margarete Oliveira Domingues

Odim Mendes Jr.

Aracy Mendes da Costa

INPE

DINCON 2003 – p.1/??

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Motivação

DINCON 2003 – p.2/??

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Sinais & Representações

Estrutura musical — é vista como eventos no tempo.

Uma musica pode ser entendida como um conjunto denotas musicais que se caracterizam por quatroparâmetros:

freqüência

momento de ocorrência

duração

intensidade

DINCON 2003 – p.3/??

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Sinais & Representações

DINCON 2003 – p.4/??

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Sinais Atmosféricos&Representações

Muitos sinais atmosféricos podem ser caracterizadostambém como:

freqüência

momento de ocorrência

duração

intensidade

DINCON 2003 – p.5/??

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ondelette, wavelet , ondeleta

Associa–se a idéia de “pequenas ondas“

Ondas localizadas, i.e., ondas que crescem e decaemem um período limitado de tempo

Morlet chapéu mexicano

DINCON 2003 – p.6/??

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ondelette, wavelet , ondeleta

Associa–se a idéia de “pequenas ondas“

Ondas localizadas, i.e., ondas que crescem e decaemem um período limitado de tempo

Morlet chapéu mexicano

DINCON 2003 – p.6/??

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ondelette, wavelet , ondeleta

1) Para ser uma wavelet

�� �

� ��� �� � � �

Isso garante que a função wavelet tenha uma forma dotipo onda — cond. de admissibilidade.

2) A função wavelet deve ter energia unitária, i.e.,�

� �� � �� � � � � � �

Isso garante o suporte compacto, ou um decaimentorápido de amplitude (e-folding time), garantindo alocalização espacial. DINCON 2003 – p.6/??

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Dupla localização

Funções wavelet possuem a propriedade de dupla locali-

zação: em freqüência e em tempo, com um compromisso

entre elas.

DINCON 2003 – p.7/??

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Transformadas wavelet

Ferramenta para análise de sinais não estacionários:

DINCON 2003 – p.8/??

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Transformadas wavelet

Ferramenta para análise de sinais não estacionários:

para extrair informações das variações em freqüênciadesses sinais

para detectar suas estruturas temporalmente e/ouespacialmente localizadas.

DINCON 2003 – p.8/??

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Transformadas wavelet

Ferramenta para análise de sinais não estacionários:

�� � ���

� � ��

� �� ��� � �� � � �� �� � � � �

em que

� � � �� � ��

�� � � �

� se refere a escala

é um parâmetro de translação ou localização dafunção wavelet –mãe

DINCON 2003 – p.8/??

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Dilatação & Translação

A variação do parâmetro �:

Quando � � �

têm o efeito de dilatação da funçãowavelet –mãe

Quando � � �

têm o efeito de contração da funçãowavelet –mãe.

Com isto, pode–se analisar os aspectos globais elocais das séries

À medida que�

varia, a função

é analisadalocalmente em torno de

.

DINCON 2003 – p.9/??

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Dilatação & Translação

A variação do parâmetro �:

Quando � � �

têm o efeito de dilatação da funçãowavelet –mãe

Quando � � �

têm o efeito de contração da funçãowavelet –mãe.

Com isto, pode–se analisar os aspectos globais elocais das séries

À medida que�

varia, a função

é analisadalocalmente em torno de

.

DINCON 2003 – p.9/??

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Dilatação & Translação

DINCON 2003 – p.9/??

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Ex: Sinal & Transf. wavelet

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Ex: Sinal & Transf. wavelet

FONTE: http://engineering.rowan.edu/˜polikar/WAVELETS/WTpart3.htmlDINCON 2003 – p.10/??

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Transformada wavelet contínua( CWT )

os parâmetros de escala e localização assumemvalores contínuos.

a inversa dessa transformada

� �� � � � �

�� �

�� �

��

��

�� � �� �

� �� � � ��� �� �� � �

� � é uma const. que depende da funçãowavelet escolhida.

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Ex: Sinal com amplitude modulada

(Weng&Lau,1995)

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Ex: Sinal com freqüência modulada

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Ex: Sinal com mudança abrupta emfreqüência

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Ex: Sinal com mudança abrupta notempo

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Ex. Insolação

FONTE: http://www-odp.tamu.edu/publications/178_SR/chap_32/c32_6.htmDINCON 2003 – p.16/??

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Ex: Temperatura

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Transformada wavelet discreta( DWT )

é implementada em valores discretos de escala

elocalização

.

representações redundantes ou não

sem redundâncias, – escolher funções wavelet queformem uma base ortogonal

funções wavelet são ortogonais com suas respectivasfunções transladadas e dilatadas

� ��

� � � ���

�� �

� ��� � � ��

�� �� � �

� ��

��� � � � ��� � � � �� � � �

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Representações de sinais

� ��� � ��

��� � ��

� � � �� �

� ��

�� ��

em que

� ��

��� � � � � � � � � � �

são as funções wavelet e

� �� são

os coeficientes wavelet

� �� � � ��� � � ��

��� �� �

A amplitude dos coeficentes wavelet está associada àsvariações mais abruptas do sinal ou “detalhes´´ demais alta freqüência (Meyer,1990;Daubechies,1992;Chui:1992b)

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wavelet de Haar

� ��� � ��

��

� � � � � �

� � � � � � � � � �

� caso contrário

é utilizada para detectar variações bruscas nos sinais,i.e., um aspecto de localização no espaço físico.

Pode-se observar também que os coeficienteswavelet indicam a região de transição entre diferentestipos de movimentos.

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wavelet de ortogonais e biortogonaisde Daubechies

ortogonal

biortogonal

� ��

� �

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Escalograma e análise de variância

a transformada wavelet é uma transformada quepreserva a energia.

o módulo ao quadrado da CWT de escalograma

o produto de duas CWT de funções distintas deescalograma cruzado Flandrin(1988)

o escalograma destaca:se o sinal analisado possui característicasmultiescalaquais escalas participam dos processosrepresentados no sinal.Liu(1994) definiu uma função de coerência wavelet

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Análise de variância wavelet

Com o propósito de detectar escalas dominantes oumódulos de variações, a análise de variância wavelet ou oespectro wavelet foi definido originalmente porMeneveau(1991) como

� � � � ��

� ��

� � �� � �� �

DWT - Energia total contida em cada escala

é expressapor

� �� �

� �

� � ��� � � � � ��� �� �� �

� � �� �

��

com o número de ondas

� �

� �

considerando sinais com média zero e elementos

é o intervalo das amostras observadas Katul et

all(1994),Percival & Walden(2000)

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Análise de variância wavelet

Co-espectro wavelet de duas funções

e � a partir deseus coeficientes wavelet

� �

nas escalas�

usando aexpressão

� �� �

� �

� � ��� � � � �

� � � �� � �

� �� ��� �

Relações entre os coeficientes wavelet e momentos deordem superior, como a simetria e a curtose, tambémforam definidas.

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Ex: espectro e co-espectro de sinaisturbulentos atmosféricos

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Ex: espectro e co-espectro de sinaisturbulentos atmosféricos

10−3

10−2

10−1

100

10−3

10−2

10−1

100

101

102

103

104

Frequency

Ene

rgy

u spectra

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Ex: espectro e co-espectro de sinaisturbulentos atmosféricos

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Como escolher uma função wavelet ?

"A transformada wavelet equivale a um microscópiomatemático, cuja ampliação é dada pelo inverso doparâmetro de dilatação e a capacidade óptica pelaescolha da função wavelet –mãe"(Foufoula e Kumar,1994)

Uma questão que sempre surge na aplicação daanálise wavelet é a escolha da função wavelet maisadequada para analisar um certo tipo de sinal.

Não existe uma receita única para esse procedimento.

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Como escolher uma função wavelet ?

Recomendações úteis:

A forma da função wavelet escolhida deve refletir ascaracterísticas da série temporal.

séries temporais com variações bruscas oudegraus � wavelet de Haarséries temporais com variações mais suaves �

wavelet de Morlet e chapéu mexicano

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Como escolher uma função wavelet ?

Caso se deseje estudar mudanças de amplitude efase, uma wavelet complexa pode ser a maisadequada, como a de Morlet. Isso ajuda a capturar ocomportamento oscilatório dos dados.

Numa análise exploratória dos dados, as funçõeswavelet não-ortogonais revelam–se úteis, poispermitem uma redundância de informação.

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Como escolher uma função wavelet ?

Para sintetizar dados e fazer compressões, usam–seas funções wavelet ortogonais, que representam ossinais de forma mais compacta.

Quando é necessário uma informação quantitativasobre um processo, funções wavelet ortogonais são amelhor escolha (Kumar & Foufoula,1997).

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Como escolher uma função wavelet ?

Katul & Vidakovic,(1996,1998) e Vidakovic(2000)

escolhas de wavelet ortogonais de Daubechies parasinais turbulentos

escolha deve ser a que menos desbalanceia a energiado sinal, isto é, a que necessite do menor número decoeficientes para representar o sinal.

desenvolveram limiar de Lorentz, para identificar oscoeficientes mais significativos.

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Aplicações

Nas análises, as ferramentas wavelet são essencialmenteusadas de duas formas:

como um núcleo de integração de análises para extrairinformações sobre processos e/ou

como uma base de representação ou caracterizaçãode processos.

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Aplicações

WengLau(1994) — a organização de convecçãotropical no Pacífico oeste

wavelet de Haar – em séries temporais sintéticasde sistemas dinâmicos, com duplo períodoPadrão de reconhecimento de imagens de satélitede alta resolução IRCWT com a wavelet de Morlet.

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Aplicações

Briggs & Levine(1997) aplicaram as técnicas da DWT ,no sentido exploratório, para auxiliar na verificação decampos de previsão.

Essa técnica permitiu compactar e filtrarconvenientemente o particionamento dos campos,auxiliando a interpretação física das verificações

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Aplicações

Torrence & Compo(1998) - utilizou previasinformações de análise de El Niño/Oscilação Sul paraavaliar e comparar com as técnicas de análise wavelet

Implementaram uma metodologia baseada nastécnicas de Monte Carlo para estabelecer limites deconfiança nas análises de variância wavelet .

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Aplicações

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Aplicações

A DWT também pode ser utilizada para discriminarmesociclones em dados de radar Doppler Desrochers& Yee (1999) e para caracterizar as estruturas desistemas convectivos Yano et all(2001a,b).

Quanto a irradiância solar e reconstruções climáticas,Oh et all(2003) procederam a uma análisemultirresolução de séries temporais. A decomposiçãopor meio da DWT foi realizada de forma a facilitar aidentificação de características comuns entre essasséries temporais e as forçantes climáticas fisicamenteassociadas.

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Aplicações

A CWT com a wavelet de Morlet foi utilizada na detecção eprocessamento de transientes magnetotelúricosprovenientes de descargas elétricas atmosféricasZhang(1997).

audiofreqüências, tempestades próximas e a grandesdistâncias

amplitude e fase

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Aplicações

Ageyev(2003)

wavelet de Haar para analisar sinais de sfericsproduzidos por relâmpagos

de forma a extrair informações do campoeletromagnético, da estrutura morfológica do canalionizado e do comportamento da corrente elétrica dadescarga.

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Aplicações

Lawrence & Jarvis(2003)

no estudo de observações simultâneas de ondasplanetárias de

a

� � � �

transformadas de Fourier conjugadas com asCWT utilizando Morlet

Essa análise mostrou que a relação entre asatividades de ondas planetárias em diferentesaltitudes possuem um alto grau de complexidade, poishá pulsos localizados em diversas dessas altitudes eessas séries apresentam um comportamentonão–contínuo entre si.

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Aplicações

Magnetograma utilizando a wavelet de Haar - as variaçõesbruscas desse sinal estão associadas a tempestadesmagnéticas no meio interplanetário.

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Considerações finais

A TRANSFORMADA wavelet REVELA QUAL PARTE DOSINAL ANALISADO TRANSPORTA ENERGIA E EM QUAISFREQÜÊNCIAS.

Essa frase traduz talvez todo o espírito, do ponto devista físico, dessa ferramenta.

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Considerações finais

Nas Ciências Atmosféricas, tem se tornado cada vezmais significativa a utilização da análise wavelet .

Os esforços realizados dentro da área de aplicação dewavelet a análise de sinais atmosféricos

DINCON 2003 – p.29/??

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Considerações finais

Por outro lado, considerando um conjunto maior detrabalhos do que os apresentados aqui, a investigaçãodos fenômenos empregando essa técnica requer umbom conhecimento da ferramenta wavelet , paraassegurar o entendimento do resultado obtido e a suaconsistência.

Na maioria das aplicações atmosféricas, as funçõeswavelet utilizadas têm sido as famílias de Morlet,chapéu mexicano, Haar e Daubechies.

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Considerações finais

Muito provavelmente essas escolhas da funçãowavelet estão associadas a uma maior disponibilidadede softwares para o cálculo da CWT e DWT comessas funções.

Embora o esforço inicial requerido para a utilização doseu formalismo, as transformadaswavelet mostram–se realmente uma ferramenta muitoútil na análise de sinais registrados dos váriosfenômenos atmosféricos, constituindo um cenárioencorajador para as atividades de pesquisa.

DINCON 2003 – p.29/??

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Endereços eletrônicos

Informações

www.wavelet.org

dmsun4.bath.ac.uk/resource/warehouse.htm

www.uni-stuttgart.de/iag/

www.cosy.sbg.ac.at/˜uhl/wav.html

norum.homeunix.net/˜carl/wavelet/

ftp.nosc.mil/pub/Shensa/Signal_process/

Softwares

Amara www.amara.com/current/wavesoft.html

FracLab/Scilab www-rocq.inria.fr/scilab/contributions.html

Lifting www.cs.kuleuven.ac.be/˜wavelets/

Morlet ftp.nosc.mil/pub/Shensa/Signal_process/

Numerical Recipes www.nr.com/public-domain.html

Rice www-dsp.rice.edu/software/rwt.shtml

Wavelab/MatLab www-stat.stanford.edu/˜wavelab/

WPLab www.math.wustl.edu/˜victor/software/WPLab/

WaveTresh/R www.stats.bris.ac.uk/˜wavethresh/software

[?] paos.colorado.edu/research/wavelets/software.html

DINCON 2003 – p.30/??

Page 55: Algumas aplicações waveletna análise de sinais atmosféricosmargarete/Dincon2003WaveletPres.pdf · FONTE: paos.colorado.edu/research/wavelets/software.html DINCON 2003 – p.28/??

Agradecimentos

Os autores agradecem ao Dr. Elbert E. N. Macau o incentivo, ao Dr. Robi Polikar a

autorização de uso de figuras e ao CNPq o auxílio PCI-INPE�� �� � � � ��

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DINCON 2003 – p.31/??

Page 56: Algumas aplicações waveletna análise de sinais atmosféricosmargarete/Dincon2003WaveletPres.pdf · FONTE: paos.colorado.edu/research/wavelets/software.html DINCON 2003 – p.28/??

Obrigada a todos [email protected]

DINCON 2003 – p.32/??