aplicaÇÃo de tÉcnicas wavelets em anÁlise de … - valciano... · valciano camilo gurgel...

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS,

TECNOLÓGICA E HUMANAS – CAMPUS ANGICOS

BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA

VALCIANO CAMILO GURGEL

APLICAÇÃO DE TÉCNICAS WAVELETS EM ANÁLISE DE

SÉRIES TEMPORAIS PARA DETECÇÃO DE CORRELAÇÕES

ANGICOS-RN

2013




Monografia apresentada a Universidade

Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA,

Campus Angicos para a obtenção do título de

Bacharel em Ciência e Tecnologia.

Orientador: Profº Dr. Francisco Edcarlos

Alves Leite – UFERSA.

ANGICOS-RN

2013




Monografia apresentada no Campus Angicos para a

obtenção do título de Bacharel em Ciência e

Tecnologia.

APROVADO EM:_11 /09 /_2013

DEDICATÓRIA

A todos que durante este processo me ouviram dizendo que conseguiria. Em especial aos que

acreditaram.

A minha valente família biológica;

A minha esperançosa família do coração;

A minha acolhedora família cristã.

Nasci e cresci no seio da primeira,

Deus me acolheu na segunda e

Instruiu-me na terceira.

Ele sempre esteve e sempre estará com todas

as três.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Luzia Camilo Gurgel: mãe; inspiração de onde retiro forças; a quem quero

retribuir todo amor; em quem acredito e junto a quem tenho esperança de um mundo melhor.

Aos meus irmãos: Valcélio Camilo Gurgel, Vandeilson Camilo Gurgel e Valdinéia Camilo

Gurgel. Matheus, sobrinho, presente de Deus que trouxe renovação de espírito ao nosso lar.

Aos amigos que entenderam as minhas escolhas e me apoiaram no objetivo de ingressar em

um curso superior, desculpem-me pela ausência em todo esse tempo. Em especial ao

Adenildo (Dê), Anderson (Andrinho), Vandelson, Valdinei (Dinei), Elivelton (Gordo), David

(Dede), Fernando (Féda), Anderson (Bola), Edson (Edinho), Roberto, Ivan, José Cosme,

Daniel (Dani), Dryelli, Marisa Duarte, Isis Oliveira, Tainá Barbosa, Robson (Robinho),

Thiago (Thiboy), Everton (Ver), Wellington (Ton), “Zinho”, Maicon, e muitos outros

“muleques” com os quais compartilhei sonhos impulsivos. A todos vocês meu

reconhecimento eterno, sempre contarei nossas histórias: infinitas; grandes e verdadeiras

aventuras. Um grande abraço carinhoso ao seu Zé Alemão, que já não é tão jovem, mas, é

ainda um menino, age e sonha como tal.

Em memória homenageio: minha mãe-madrinha, Maria de Socorro; minha mãe fraternal,

Dona Tereza; Eder, o meu melhor amigo da infância que aos dezessete anos foi morar com

Deus (lembrar-me do seu jeito de viver sempre me faz repensar minha postura e minhas

metas); Carlos (Nenenzinho, homem em corpo de criança); Rogério (Rogerinho cuja

inocência contagia lá do céu); Raul (Deus o quis em sua guarda real) e Raul Riguetto (faltava

animo no céu e então o convocaram).

Em Angicos conheci muitas pessoas, igualmente especiais, de vários estados e cidades

brasileiras: Agradeço a Thamis Palhares em nome de toda a família Palhares; Os gêmeos,

Eduardo e Edgar em nome do bairro Alto da Alegria; Luis Paulo e Thúlio Rafael, dois “cabra”

homem, e aos demais da República Inferno Colorido daquele tempo; O casal Marta e Profº

Alcêu, junto com sua filha Esther. Agradecimentos ao casal de pastores, João Maria de

Albuquerque e Marília Dantas de Albuquerque, da Missão Evangélica Pentecostal do Brasil.

Agradeço aos irmãos na fé que foram solidários comigo durante este período, especialmente a

Beatriz Helena pela incomparável fraternidade e Thais Russiely pela serenidade. Agradeço

aos funcionários terceirizados da UFERSA por me atenderem nos fim de semana.

Aos meninos que moraram comigo desejo prosperidade: Fellipe Fonseca Bastos, Matheus

Fonseca Bastos e Achilles Pinheiro Bastos Júnior (Vermelho); e Josinaldo Rocha.

Agradeço a todos os docentes, porém, destaco alguns cujo contato foi fundamental para o

amadurecimento de minha postura: Francisco Edcarlos Alves Leite e Marcos Vinícius

Cândido Henriques, orientadores de iniciação cientifica e desta monografia; ao Matheus

Menezes, também por valiosas orientações, trocas de experiências e incentivo à pesquisa.

É injusto ter somente uma folha para agradecer. Tanto quanto, é tentar lembrar-se de todos os

nomes e fatos marcantes. Por isso, busco ser grato a todo tempo pelas coisas boas que me

acontecem e pelas pessoas que fazem parte delas.

Obrigado Criador por cada detalhe.

“- A ciência - disse ele à Sua Majestade - é o

meu emprego único”

O Alienista, Machado de Assis.

“(...) Tudo é feito mentalmente”.

Breve História do Tempo, Stephen Hawking.

Mas como o homem se torna sábio? Em

primeiro lugar temendo o SENHOR, pois ele é

quem dá a sabedoria; de sua boca vem a

compreensão e o discernimento.

Holy Bible in Provérbios 1:7 e 2:6.

RESUMO

O presente trabalho aborda a teoria das wavelets aplicada no processamento de sinais e séries

temporais para análise em tempo-escala, também demonstra uma aplicação da técnica da

Coerência Wavelet na detecção de correlação e semelhança entre duas séries temporais

meteorológicas. Em contraste com os métodos clássicos de processamento de sinais, um sinal

representado no espaço das wavelets tem suas estruturas e características representadas em

frequências localizadas temporalmente. As grandezas de interesse foram selecionadas dentre

várias a disposição; as séries meteorológicas temporais em questão são o módulo da

velocidade do vento e a direção do vento. A pesquisa demonstra a importância do estudo de

sinais para a ciência e tecnologia, denotando suas vastas aplicações e assim, a importância de

se ter a disposição técnicas eficientes de análise. Para a nossa análise selecionamos dados

meteorológicos de quatro estações de coleta de dados situadas em diferentes localidades e

mantidas pelo Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) do Brasil. Aplicamos a

transformada Wavelet a esses dados para obter seus coeficientes wavelets. Com essa

transformação, os dados meteorológicos são representados em um espaço dual caracterizado

por dois parâmetros: tempo e escala. Em seguida aplicamos a técnica da Coerência Wavelet

para obter a relação de coerência entre as duas séries. Os resultados podem ser visualizados

por meio de um mapa de cores (ou escalograma) no qual se denotam a ocorrência de

coincidência no tempo e escala; como também a fase entre os sinais.

Palavras-chave: Séries temporais meteorológicas. Transformada de Fourier. Wavelets.

Análise de correlações.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SINAL EM TEMPO DISCRETO E CONTÍNUO .................... 16

FIGURA 2 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE TRÊS SÉRIES TEMPORAIS METEOROLÓGICAS ............ . 18

FIGURA 3 – TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER DE UM SINAL PARA NO DOMÍNIO DE FREQUÊNCIA .. . 22

FIGURA 4 – JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER (1768-1830), FRANCÊS .............................................. . 22

FIGURA 5 – EXEMPLO GRÁFICO DE UM SINAL PÉRIODICO .................................................................... . 24

FIGURA 6 – COMPONETES DE FREQUÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA . 28

FIGURA 7 – SINTETIZAÇÃO DE UMA FUNÇÃO DADA PELA SOMA DAS COMPONETES SENOIDAIS . . 28

FIGURA 8 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL .......................................................................... . 30

FIGURA 9 – DIAGRAMA DO MÓDULO DA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UM SINAL .................. . 32

FIGURA 10 – SIMULAÇAO DE UM SINAL NO DOMÍNIO TEMPORAL COM TRÊS FREQUÊNCIAS ......... .32

FIGURA 11 – ESPECTRO DE FOURIER DO SINAL SIMULADO ................................................................... .32

FIGURA 12 – SINAIS SEPARADOS DE FREQUÊNCIAS 200 HZ, 350 HZ E 500 HZ. .............................. . 33

FIGURA 13 – A TRANSFORMADA JANELA DE FOURIER - GABOR .......................................................... . 35

FIGURA 14 – GRÁFICOS DE SÉRIES TEMPORAIS DE FREQUÊNCIAS DISTINTAS .................................. . 35

FIGURA 15 – ESPECTRO DE FOURIER DE UM SINAL COM VÁRIAS FREQUÊNCIAS ............................. . 36

FIGURA 16 – TRANSFORMADA DE FOURIER - GABOR DE UM SINAL COM VARIAS FREQUÊNCIAS . 37

FIGURA 17 – TRANSFORMADA WAVELET: TAMANHOS DE JANELAS VARIÁVEIS ............................. . 38

FIGURA 18 – ILUSTRAÇÃO DE DILATAÇÃO E TRANSLAÇÃO DE UMA FUNÇÃO WAVELET .............. . 41

FIGURA 19 – APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA WAVELET CONTÍNUA PARA UM SINAL ................. . 42

FIGURA 20 – DOIS SINAIS E SUAS TRANSFORMADA WAVELET EM MAPA DE CORES ....................... . 45

FIGURA 21 – DOIS SINAISCOM SEUS ESPECTROS WAVELET CRUZADO EM MAPA DE CORES ......... . 46

FIGURA 22 – COERÊNCIA WAVELET PARA DOIS SINAIS EM MAPA DE CORES ................................... . 47

FIGURA 23 – DOIS SINAIS COM RUÍDO GAUSSIANO E SEUS ESPECTROS WAVELET CRUZADO ........ .48

FIGURA 24 – COERÊNCIA WAVELET DE DOIS SINAIS COM RUÍDO GAUSSIANO ................................. . 49

FIGURA 25 – PARTE REAL DA WAVELET DE MORLET ............................................................................ . 50

FIGURA 26 – DISPOSIÇÃO GEOGRÁFICA DAS ESTAÇÕES ONDE OS DADOS FORAM RECOLHIDOS . . 51

FIGURA 27 – INTENSIDADE DA VELOCIDADE E DIREÇÃO DO VENTO NA ESTAÇÃO DE NATAL

JUNTAMENTE COM A COERÊNCIA WAVELET EM MAPA DE CORES ...................................................... . 56

FIGURA 28 – INTENSIDADE DA VELOCIDADE E DIREÇÃO DO VENTO NA ESTAÇÃO DE JOÃO PESSOA


FIGURA 29 – INTENSIDADE DA VELOCIDADE E DIREÇÃO DO VENTO NA ESTAÇÃO DE CRUZETA


FIGURA 30 – INTENSIDADE DA VELOCIDADE E DIREÇÃO DO VENTO NA ESTAÇÃO DE PATOS


SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................ 12

1.1 JUSTIFICATIVA ......................................................................................................................................... 13

1.2 OBJETIVOS ................................................................................................................................................. 13

1.2.1 OBJETIVO GERAL ............................................................................................................................... 13

1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................................................................... 14

1 REVISÃO DA LITERATURA........................................................................................................................ 15

2.1 CONTEXTUALIZAÇÃO ............................................................................................................................ 15

2.2 SÉRIES TEMPORAIS ................................................................................................................................. 16

2.3 PROCESSAMENTO DE SINAIS ................................................................................................................ 20

2.4 TÉCNICAS DE PROCESSAMENTO DE SINAIS ...................................................................................... 21

2.4.1 ANÁLISES DE FOURIER ....................................................................................................................... 22

2.4.2 REPRESENTAÇÕES DE FOURIER ......................................................................................................... 23

2.4.3 SÉRIES DE FOURIER ............................................................................................................................ 25

2.5 TRANSFORMADA DE FOURIER ............................................................................................................. 29

2.6 TRANSFORMADA DE FOURIER-GABOR ............................................................................................. 34

2.7 ANÁLISE WAVELET ................................................................................................................................. 37

2.7.1 TRANSFORMADA WAVELET ............................................................................................................... 39

2.8 TRANSFORMADA WAVELET CONTÍNUA ........................................................................................... 40

2.8.1 TRANSFORMADA WAVELET INVERSA ................................................................................................ 43

2.9 COERÊNCIA WAVELET ........................................................................................................................... 43

3 METODOLOGIA ............................................................................................................................................ 49

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO.................................................................................................................... 52

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................................................... 577

6 REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................... 62

12

1. INTRODUÇÃO

Em todo o momento e em diversas áreas da ciência estamos nos deparando com sinais

ou séries temporais. A definição específica de um sinal tem relação direta com a área ou

aplicação prática no contexto da pergunta. Podemos encontrar em Haykin e Veen (2001, p.22)

que “há sempre um sistema associado à geração de cada sinal, e outro associado à extração da

informação do sinal”. Para Oppenheim e Willsky (2010, p.22), “os conceitos de sinais e

sistemas surgem em diversos campos, e as ideias e técnicas associadas a esses conceitos

desempenham um papel importante em áreas diversificadas da ciência e tecnologia, como

comunicações, aeronáutica e astronáutica, projeto de circuitos, acústica, sismologia,

engenharia biomédica, sistemas de geração e distribuição de energia, controle de processos

químicos e processamento de voz”.

Uma série temporal é uma classe de sinal colhida sequencialmente no tempo de

maneira discreta. A ordem temporal dos coeficientes é de fundamental importância para o

estudo da série. Ao se analisar uma série temporal, geralmente, estamos interessados em

investigar de maneira gráfica e, ou, numérica a ocorrência de eventos passados com o objetivo

de prever eventos futuros, assim como correlacionar estes eventos com outros, podendo

assim, identificar, descrever, explicar e até mesmo controlar processos envolvidos na geração

deste sinal. Para o estudo de sinais temporais tem-se a disposição métodos paramétricos

(determinísticos) e métodos não paramétricos, como é o caso da transformada de Fourier e da

transformada Wavelet.

No processamento de sinais busca-se extrair informações que descrevam a grandeza

em questão. Informações sobre a(s) frequência(s) de um sinal e a localização dessas estruturas

frequências é de fundamental importância. Em termos de análise no domínio de frequência a

ferramenta mais difundida entre os profissionais que trabalham com sinais é a transformada

de Fourier, porém, quando se trata de sinais não estacionários, ou seja, quando as

componentes frequências de um sinal sofrem variações em seu comportamento ao longo no

tempo, esta ferramenta tão difundida torna-se ineficaz. A maioria dos processos da natureza,

modelados em termos de um sinal, e das aplicações tecnológicas envolvendo sinais, são de

natureza não estacionaria ou transitória. Daí a necessidade de se chegar a um método capaz de

preservar a informação temporal dos sinais. Para esta finalidade desenvolveu-se as Wavelets.

O inicio de seu surgimento data de 1910, dos estudos de Alfred Haar e vem sendo formalizada

e aplicada por profissionais de áreas diversificadas.

13

1.1. JUSTIFICATIVA

Os sinais nada mais são que funções de uma ou duas variáveis que irão conter

informações sobre o comportamento ou natureza de algum fenômeno. Associado à geração,

tanto quanto à recepção, de um sinal teremos um sistema correspondente capaz de produzir

outro sinal ou um comportamento desejado. As Wavelets apresentam um método inovador de

descrição de sinais em tempo-escala (onde as escalas estão relacionadas com as frequências

presentes no sinal). Inúmeros trabalhos recentes podem ser encontrados com aplicações

wavelets em áreas diversas. A Coerência Wavelet é uma técnica baseada na Transformada

Wavelet Contínua e permite detectar semelhanças e correlações entre duas grandezas em

termos de tempo - escala, ou seja, dadas duas grandezas é possível analisar por meio desta

técnica como suas respectivas ocorrências estão correlacionadas (neste trabalho utiliza-se a

visualização gráfica por meio do mapa de cores). Em meteorologia é de extrema importância

obter informações que correlacionem grandezas meteorológicas para a predição de estados

futuros, uma vez que se têm muitas variáveis envolvidas na ocorrência de um único evento.

Um bom exemplo é a previsão climática onde esta técnica apresenta-se como ferramenta de

grande potencial para as análises.

1.2. OBJETIVOS

1.1.1. Objetivo Geral

Esta pesquisa visa apresentar aspectos práticos e teóricos dos sinais e séries temporais

das análises de Fourier, tais como a série de Fourier e a transformada de Fourier; aspectos

práticos e teóricos da análise em Wavelet, tais como a transformada Contínua e a Coerência

Wavelet em busca de correlações de dados temporais. Busca-se sempre que necessário, incluir

exemplos analíticos e computacionais das técnicas mencionadas. Será demonstrado que a

transformada em Wavelet é um método de análise capaz de bem processar dados

estacionários, não estacionários e transitórios, ela se consolidou como ferramenta inovadora

no contexto atual do processamento de sinais com a sua representação em tempo-frequência.

O objetivo principal é aplicar a Coerência Wavelet, para analise e detecção de correlação e

semelhança em tempo-escalas, entre duas grandezas, a velocidade e a direção do vento para

quatro diferentes localizações do nordeste brasileiro. Discutem-se os resultados obtidos

14

utilizando mapas de cores nos quais é possível visualizar a intensidade da energia contida nas

correlações e compará-las.

1.2.2. Objetivos específicos

Demonstra-se a transformada de Fourier, uma técnica clássica e a mais bem difundida

na área de processamento de sinais no domínio de frequência. A pesquisa contempla uma

ferramenta cuja abordagem é inovadora no processamento de sinais e imagens, trata-se das

Wavelets. Elas são capazes de obter informações no domínio tempo-escala para sinais

estacionários e não estacionários, localizando, temporalmente e simultaneamente, altas e

baixas frequências. Também se apresenta uma técnica wavelet de correlação de dados, a

Coerência Wavelet. Por fim, faz-se uma aplicação da técnica de Coerência Wavelet em séries

temporais meteorológicas das grandezas: velocidade do vento e direção do vento em alguns

pontos fixos de estados nordestinos, a fim de investigar e caracterizar alguma correlação entre

as grandezas em um período de tempo de dois anos (2009 e 2010).

15

2. REVISÃO DA LITERATURA

2.1. CONTEXTUALIZAÇÃO

Em linhas gerais, um sinal é uma grandeza física variável no tempo que contém algum

tipo de informação mensurável relevante sobre o estado ou comportamento adicional de um

sistema físico.

Formalmente falando, um sinal pode ser representado matematicamente através de

uma função e esta notação, no entanto, pode ser com uma ou mais de uma variável.

Quando o sinal reflete dependência em uma única variável, diz-se que o sinal é

unidimensional.

A fala é um exemplo de sinal unidimensional cuja amplitude varia com o tempo em

dependência da palavra falada e de quem fala. Quando o sinal depende de duas ou mais

variáveis diz-se que ele é multidimensional. Uma imagem é um exemplo de sinal

multidimensional onde as coordenadas, horizontal e vertical da imagem representam as duas

dimensões.

A variável em uma função pode ser contínua ou discreta. Chama-se de sinal

contínuo no tempo quando a variável em questão está definida para um intervalo contínuo de

tempo. O sinal é discreto no tempo quando o seu domínio está definido por uma sequência de

números inteiros , ou seja, são observações feitas sequencialmente, onde cada valor de

correspondente constitui uma observação do fenômeno. O formalismo matemático para um

sinal discreto geralmente se utiliza , com (conjunto dos números inteiros).

Os processos físicos podem ou não possuírem características relacionadas diretamente

com o tempo, em termos de sua estacionaridade. Um determinado processo pode ser de

natureza estacionaria, isto é, se certas propriedades estatísticas não apresentarem variação no

tempo considerando um intervalo finito, caso contrário ele é dito não estacionário, ou ainda,

ele pode ter natureza transiente. Segundo Morettin (1981, p.6), “uma das suposições mais

frequentes que se faz a respeito de uma série temporal é a de que ela é estacionaria,ou seja, ela

se desenvolve no tempo aleatoriamente ao redor de uma média constante, refletindo alguma

forma de equilíbrio estável.

Um sinal em tempo discreto pode representar um fenômeno para o qual a variável

independente é inerentemente discreta como também podem decorrer de amostragem de

sinais de tempo contínuo, constituindo amostras sucessivas do fenômeno observado. As

representações gráficas dos dois tipos de sinais podem ser vistas na Figura 1.

16

Figura 1 - Representações gráficas de um (a) sinal de tempo contínuo e de um (b)

sinal de tempo discreto

Fonte: Autoria própria

Em termos de aplicações na engenharia elétrica, os sinais são de grande importância

nas áreas de processamento de sinais, sistemas de comunicações, sistemas de controle e

automação.

2.2. SÉRIES TEMPORAIS

Uma serie temporal é qualquer conjunto de observações ordenadas sequencialmente ao

longo do tempo e que está presente em vários campos de nossas atividades rotineiras como

economia (preços diários de ações, taxa mensal de desemprego, produção industrial),

medicina (eletrocardiograma, eletroencefalograma), epidemiologia (numero mensal de novos

casos de meningite), meteorologia, (precipitação, pluviométrica, temperatura diária,

velocidade do vento), Ehlers (2003, p.1).

Em modelos de regressão a ordem das observações é irrelevante para a análise uma

vez que a ordem dos dados é fundamental nas análises de séries temporais. Entendendo uma

série temporal como um sinal e, como tal, ela poder ser uma série discreta no tempo, uma

série contínua no tempo ou ainda uma série discreta obtida através da amostragem de uma

série contínua em intervalos de tempo iguais. É importante saber que a variável tempo pode

ser relacionada ou entendida como outra variável: espaço, profundidade, volume, ou outro

parâmetro físico.

17

Os seguintes aspectos são comumente considerados na literatura como interessantes e

importantes quando relacionados com o estudo de séries temporais:

Caracterizar os fenômenos que dão origem as séries analisadas;

Descrever propriedades da série temporal, tendências, ciclos, variações

sazonais, alterações estruturais, etc;

Identificar periodicidades que sejam relevantes;

Explicar a variação de uma série com base na variação de outra série;

Correlacionar variáveis para explicar um fenômeno com base nesta interação;

Predizer ocorrências futuras com base em valores históricos contido em um

banco de dados;

Controlar processos, criar mecanismos de controle;

Investigar causas e efeitos advindos do mecanismo ou sistema gerador da série

temporal.

Ao se analisar séries temporais as representações gráficas dos dados ao longo do

tempo é fundamental. O gráfico já pode revelar padrões de comportamentos importantes do

fenômeno que está sendo estudado.

Na Figura encontram-se exemplos de séries temporais meteorológicas (dados

meteorológicos) de três estações localizadas em locais distintos do litoral nordestino: Natal

(RN), Fortaleza (CE) e João Pessoa (PB), respectivamente. Os dados foram colhidos para o

mesmo instante de tempo e a grandeza medida em questão é a velocidade do vento em

(metros por segundo). Esses dados são de acesso livre e estão disponíveis em um banco de

dados que é mantido pelo Instituto Nacional de Meteorologia (INMET). As leituras foram

realizadas em oito e oito horas, resultando em três medições por dia, no período do dia de

janeiro de ao dia de dezembro de . Durantes estes dois anos foram colhidas

amostras de cada estação meteorológica.

18

Figura 2 – Séries temporais da velocidade do vento (m/s) nos anos de 2009 e 2010 em

(a) Natal, (b) Fortaleza e (c) João Pessoa.


Nos gráficos acima, observa-se que as representações dos sinais são semelhantes,

porém não são iguais. Se aumentarmos a quantidade de localizações onde são feitas

observações da mesma grandeza no mesmo período teremos sempre curvas parecidas, mas

todas elas terão aspectos diferentes entre si. O mesmo ocorrerá se a analise for estendida para

anos anteriores a 2009 ou posteriores a 2010, dificilmente teremos a mesma curva.

Portanto, cada série temporal é uma trajetória, ou parte de uma trajetória dentre várias

possíveis, de um mesmo processo físico, Morettin (1981). Estes processos são estudados por

meio de modelos governados por leis probabilísticas, isto é, as variáveis são definidas em um

espaço de probabilidades. Esses processos são denominados de Processos Estocásticos.

Introduzida a noção de processo estocástico pode agora ser dito que uma série

temporal é um sinal aleatório, , de um processo estocástico. Observa-se então que sendo

o sinal uma variável aleatória, a sua modelagem matemática é probabilística, não-

determinística como ocorre no caso de sinais analisados por funções pré-determinadas (na

literatura chamados de sinais determinísticos).

Encontra-se em Cataldo (2012, v.68, p.13) a seguinte afirmação sobre a abrangência

de processos estocásticos, “existem inúmeras aplicações de tais modelos nas mais diferentes

áreas de conhecimento. Nas comunicações via telefone celular, no processamento digital de

sinais (voz, imagem, vídeo,...), nos sistemas de radar, nos investimentos na bolsa de valores,

19

em sistemas biológicos, na dinâmica de sistemas mecânicos,... Há, ainda, aplicações em

Geometria Diferencial e Sistemas Dinâmicos”.

Quando sinais são colhidos sob as mesmas condições e os seus resultados variam

define-se o processo possui componentes aleatório. Os modelos probabilísticos são capazes de

prever possíveis resultados ou faixa de resultados para os sistemas em que os resultados são

aleatórios; isto é, embora as entradas sejam as mesmas, as saídas desses sistemas são

diferentes.

Conclui-se que, apesar da natureza aleatória, este tipo de processo pode ser estudado

satisfatoriamente por meio de regularidades estatísticas entre sinais ou séries temporais

observadas do mesmo processo.

A seguir apresenta-se a definição formal de processo estocástico, segundo Morettin

(1999, p.27):

Definição 2.1 Seja um conjunto arbitrário. Um processo estocástico é uma família

, tal que, para cada , é uma variável aleatória. O conjunto de

todas as trajetórias é chamado de ensemble do processo.

De acordo com a Definição 2.1, o que se tem apresentado na Figura 2 são três

trajetórias de um mesmo processo estocástico.

Para mais informações sobre processos estocásticos recomendam-se as obras de

Morettin (1999), Morettin e Toloi (1981), as notas em matemática aplicada de Sampaio,

Ferreira e Brandão (2012), referenciadas na presente pesquisa.

Existem modelos de processos estocásticos de variáveis contínuas e discretas. Neste

trabalho serão analisadas séries temporais de dados meteorológicos reais em tempo discreto

com a finalidade de investigar a ocorrência de correlação, semelhança e regularidades entre as

séries temporais da velocidade e da direção do vento no período de tempo e na mesma

localidade.

20

2.3. PROCESSAMENTO DE SINAIS

Em síntese o processamento de sinais consiste na análise e modificação de sinais de

forma a extrair informações adicionais importantes que não estavam disponíveis no formato

original, e ainda, torná-los mais apropriados para alguma aplicação específica.

Em se tratando de sinais e de seus respectivos sistemas, muitas vezes é interessante

caracterizá-los em detalhes com objetivo de explorar e entender seus comportamentos sobre

diversas condições. Nos sistemas elétricos de potência, por exemplo, é interessante classificar

os sinais visando identificar anomalias no processo de transmissão e distribuição de energia

elétrica.

No entanto, é necessário o amplo desenvolvimento de metodologias e ferramentas que

possibilitem processar sinais de maneiras particulares ao invés de somente analisar os

sistemas existentes, como acrescenta Oppenheim e Willsky (2010, p.20), “um contexto muito

comum em que esses problemas surgem é no projeto de sistemas para melhorar ou restaurar

sinais que foram degradados de alguma maneira”. Em geofísica, por exemplo, na exploração

de petróleo, os sismogramas oferecem uma imagem adequada da estrutura geológica do

subsolo, porém, estas imagens contêm ruídos indesejáveis conhecidos na literatura como

ground roll (rolamento superficial). Neste caso, é conveniente se obter métodos que permitam

um bom tratamento de remoção (ou atenuação) máxima do ruído indesejável sem causar

descaracterização da informação de interesse dos sismogramas.

Sobre remover ruídos e explorar sistemas por ângulos não disponíveis na amostragem

no domínio real acrescenta Leite (2007, p.13), “Contudo, quando se deseja obter informações

adicionais às quais não estão disponíveis em seu formato original (domínio temporal) é

necessário realizar uma transformação matemática sobre ”. Entende-se por analogia que

esta afirmação engloba os sinais discretos no tempo.

A análise espectral de um sinal é feita decompondo-o numa base matemática formada

por funções de análise conhecidas cujas componentes são funções elementares exponenciais

complexas. As componentes do sinal na base de exponenciais descreve o espectro do sinal, ou

seja, sua composição na frequência (Sampaio; Ferreira; Brandão, 2012, v.21, p.9). Portanto,

informações adicionais podem ser estudadas em outros domínios a partir de novas

representações obtidas por meio de técnicas e transformações matemáticas. Nisto se define o

processamento de sinais.

Ainda, o processamento de sinais pode ser realizado de duas maneiras: a analógica e a

digital, sendo que o processamento de sinais analógicos trata com dados contínuos no tempo e

21

o processamento de sinais digitais com dados discretos no tempo. Para o tratamento de ambos

os tipos existem diferentes técnicas matemáticas de transformação de sinais.

Hoje em dia existem diversos dispositivos que podem ser usados no processamento

digital de sinais. Por exemplo, têm-se os rápidos e versáteis DSPs (Digital Signal Processor)

que são microprocessadores especializados em processamento digital de sinal e usados para

processar sinais de áudio, vídeo, etc, em tempo real ou em off-line, eles são capazes de

calcular rapidamente a Transformada Rápida Fourier; têm-se os microcontroladores que se

trata de um microprocessador contendo processador, memória e periféricos, podendo ser

programado para funções específicas contrastando com outros microprocessadores de

propósito gerais; e os FPGAs (Field Programmable Gate Array) dispositivos que podem ser

programados de acordo com as aplicações dos usuários, largamente utilizado para o

processamento de informações digitais. Têm-se alguns softwares que possuem rotinas prontas

e permite a construção facilitada de algoritmos para o processamento de dados em um PC.

2.4. TÉCNICAS DE PROCESSAMENTO DE SINAIS

Diversas técnicas são usadas no processamento de sinais e séries temporais. Em toda

transformação aplicada sobre um sinal, as funções de base utilizadas pelo método em questão

determinam o tipo de informação adicional que poderá ser extraída do processo em análise.

No domínio de frequência (análise espectral) a ferramenta matemática mais difundida entre os

profissionais para processamento de sinais é a Transformada de Fourier que faz o uso de

funções harmônicas (senos e cossenos) como funções de base. Vale ressaltar que este tipo de

abordagem constitui um método não paramétrico (em contraste aos métodos que utilizam um

número finito de parâmetros bem definidos) de análise de processos estocásticos, cuja

descrição obtida para o sinal se dá pela caracterização do seu conteúdo na frequência e

nenhuma informação temporal.

Segundo Hanselman e Littlefield (2003, p.251), “ferramentas de domínio de

frequência, tais como as Séries de Fourier, as Transformadas de Fourier e suas variantes

discretas constituem uma das pedras angulares do processamento de sinais. Essas

transformadas decompõem um sinal em uma sequência ou contínuo de componentes senoidais

que identificam o conteúdo de domínio de frequência do sinal”. A Figura 3 é uma

representação da Transformada de Fourier onde um sinal temporal passa a ser representado

em termos das frequências presentes no mesmo, e com as suas respectivas amplitudes.

22

Figura 3 – Transformação de Fourier de um sinal para o domínio de frequência

Fonte: Misiti (2003)

A informação obtida quando se aplica a Transformada de Fourier em um sinal é

completamente caracterizada pelo seu conteúdo na frequência, inclusiva não é possível

localizar o tempo em que as frequências ocorrem.

2.4.1. Análises de Fourier

A análise de Fourier é um dos mais antigos assuntos em análise matemática e é de

grande importância para matemáticos e engenheiros. O estudo de sinais e sistemas realizando

decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes é denominado

análise de Fourier em homenagem a Jean Baptistes Joseph Fourier (1768 - 1830) por sua

contribuição à teoria de representação de funções como superposições ponderadas de senóides

aplicada nos seus revolucionários estudos da propagação de ondas de calor.

Figura 4 – Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francês.

Fonte: Souza (2010)

23

Fourier ficou órfão de pai e mãe aos nove anos de idade, quando foi internado no

colégio militar beneditino de Auxerre (uma comuna francesa na região administrativa da

Borgonha, no departamento Yonne), onde nasceu. Bem cedo já era considerado um menino

prodígio, demonstrando sua vocação para a ciência foi convidado a lecionar com apenas

dezesseis anos. Em 1789 aderiu à causa da Revolução Francesa. O ativismo político o fez

passar por muitas turbulências, porém o jovem era apaixonado pelas ideias de igualdade. Sua

produção intelectual vai além das famosas e difundidas análises de Fourier. Geralmente ele é

creditado também pela formalização de uma teoria do efeito estufa; ele mostrou que o efeito

de aquecimento do ar dentro das estufas de vidro, utilizadas para manter plantas

de climas mais quentes no clima mais frio da Europa, se repetiria na atmosfera terrestre.

Durante sua vida Fourier teve como professores Joseph Louis de Lagrange, Pierre Simon

Laplace e Gaspard Monge, os maiores físico-matemáticos da época, com quem manteve

excelentes contatos por intermédio da Écòle Polytechnique, onde lecionou em 1794. Em 1822

escreveu sua obra “Theorie Analytique de La Chaleur" (Teoria Analítica do Calor) realizando

um marco na física-matemática. Seu trabalho contribuiu com os fundamentos da

termodinâmica e constituiu uma melhoria ainda hoje muito importante para a modelagem

matemática de fenômenos físicos. Em seguida outros cientistas e matemáticos deram suas

contribuições formalizando a demonstração da tão utilizada Transformada de Fourier.

2.4.2. Representações de Fourier

Quatro representações distintas de Fourier são bem conhecidas na literatura, cada uma

delas é apropriada a uma classe diferente de sinais e são definidas pelas suas propriedades

temporais. Os sinais periódicos tem representação pela série de Fourier: a série de Fourier

(SF) se aplica a sinais periódicos de tempo contínuo; e a série de Fourier de tempo discreto

(SFTD) se aplica a sinais periódicos de tempo discreto. Sinais não periódicos tem

representação pela transformada de Fourier: se o sinal for não periódico de tempo contínuo

sua representação se denomina de transformada de Fourier (TF); se o sinal for não periódico

de tempo discreto sua representação se dá pela transformada de Fourier de tempo discreto

(TFTD). A Tabela 1 faz uma relação entre as características do sinal e sua respectiva

representação pela análise de Fourier.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Clima

http://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_Simon_Laplace

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_Simon_Laplace

http://pt.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge

24

Tabela 1: Propriedade temporal do sinal e sua respectiva representação em analise de

Fourier.

Propriedade de

tempo Periódica Não periódica

Contínuo

Série de Fourier

(SF)

Transformada de Fourier

(TF)

Discreto

Série de Fourier de tempo

discreto

(SFTD)

Transformada de Fourier de

tempo discreto

(TFTD)

Fonte: autoria própria

Portanto, se as séries de Fourier só se aplicam a sinais periódicos, sinais que não

possuem periodicidade são devidamente representados pela transformada de Fourier que por

sua vez engloba uma classe mais ampla de sinais.

Definição 2.2 Diz-se que uma função tem período ou que é periódica com período

, se, para todo t, , e , é uma constante positiva. O menor valor

de é chamado período mínimo de .

Figura 5 – Exemplo gráfico de um Sinal periódico


25

Observa-se que uma função periódica, conforme a Definição 1.2, admite a notação de

iteração da seguinte maneira: , onde para denotar a

periodicidade.

2.4.3. Séries de Fourier

A seguir procura-se realizar uma abordagem breve, mas suficiente, sobre a série e a

transformada de Fourier, tal que possibilite uma compreensão genericamente introdutória da

análise de Fourier, e de suas variantes, como ferramentas poderosas de representação

frequêncial, portanto, suficiente para análise de sinais estacionários.

Por intermédio da série de Fourier, qualquer função periódica, por mais complicada

que seja, tem sua representação equivalente como uma soma de componentes senoidais de

frequências distintas.

Sabemos que a frequência é definida como o número de ocorrência de um

determinado evento durante o tempo de um período unitário. Em outras palavras, ela é dada

pelo inverso do período, , e se este for medido em segundo a frequência será dada em Hz,

conforme a seguinte equação:

(1)

Outro tipo de frequência utilizado no estudo de fenômenos ondulatórios é a frequência

angular unitária denotada por , que significa a taxa de variação temporal de uma

determinada angulação. A frequência angular é definida por:

(2)

Seja a função temporal periódica com período , que obedece às condições de

Dirichlet, Spiegel (1976, p. 30). Em todo ponto de continuidade esta função possui

representação equivalente pela série de Fourier, , dada pela seguinte equação na forma

trigonométrica:

26

∑ * (

) (

)+

(3)

Onde os coeficientes , e são calculados pelas respectivas fórmulas:

∫

(4)

∫ (

)

(5)

∫ (

)

(6)

Observa-se que conhecido , dado pela equação (3), e os coeficientes dados pelas

equações (4), (5) e (6), pode ser reconstruída temporalmente.

A seguir temos o seguinte exemplo. Calcule analiticamente a série de Fourier da

função cujo período é igual a dois:

(7)

Conhecendo o período , calculam-se os coeficientes dados pelas equações de (4)

a (6) onde é o índice do somatório da equação (3) e corresponde ao número de períodos

completos. Portanto ele é uma constante dentro das respectivas integrais:

∫

∫ (

)

∫

(8)

27

Tem-se então, uma integral por partes. É possível separar o produto da equação (8) em

duas funções, chamá-las de e e assim aplicar o método da “integração por

tabulação” que é um método simplificado de solucionar integrais deste tipo com agilidade,

Thomas (2002):

Obtemos:

[(

) (

) ]

Análogo ao que feito com temos o seguinte para :

∫ (

)

∫

[(

) (

) ]

Assim, a função mostrada pela equação (7) tem sua representação pela série de Fourier

dada pela seguinte equação:

∑ *

+

(9)

Então, para cada índice n a equação (9) irá gerar uma componente de onda. A soma de

todas as ondas, ou seja, , sintetiza o gráfico da função (7).

28

A Figura 6 ilustra quatro componentes de frequências (para de 1 até 4) da série de

Fourier representada pela equação (9),para a função dada pela equação (7).

Figura 6 – Componentes de frequência da série de Fourier da equação (9) da função

mostrada na equação (7) para de até .


A reconstituição gráfica para a função da equação (7) no domínio temporal é dada pela

soma das componentes de frequência. Uma aproximação para de até é apresentada na

Figura 7.

Figura 7 – Reintegração da função por meio da soma das componentes da série

de Fourier para de até


29

A Figura 7 mostra cinco períodos completos da onda conhecida na literatura como

dente de serra, em que a amplitude de descida é igual a zero.

2.5. TRANSFORMADA DE FOURIER

Como demonstrado na Tabela 1, a série de Fourier se aplica somente a sinais

periódicos. Quando um sinal não apresenta periodicidade sua representação na frequência é

dada em termos da transformada de Fourier. Assim, a equação (3) pode ser escrita na forma

exponencial da seguinte maneira:

∑

(10)

Fazendo

, temos que:

∫

(11)

A equação (10) fornece os coeficientes complexos da série de Fourier, descritos por

uma magnitude e uma fase.

Um sinal aperiódico pode ser visto como um sinal periódico com um período

infinito,

Fazemos o período tendendo ao infinito:

Essa nova função é uma função periódica e pode ser representada por uma série de

Fourier.

Sabemos que se o período tende a ser infinito, tende a ser , de modo que a série de

Fourier que representa também representará .

30

Em outras palavras, quando o sinal não apresenta periodicidade, ele pode ser expresso

por uma soma contínua, ou seja, uma integral, de sinais exponenciais, generalizando a série de

Fourier na forma exponencial:

∫

(12)

A equação (13) é a Transformada de Fourier analítica, que fornece a representação em

termos de frequência de . A equação (12) é a Transformada inversa de Fourier de .

∫

(13)

Como exemplo considere o seguinte sinal e calcule a sua Transformada de Fourier

analiticamente:

(14)

A representação gráfica para a função da equação (14 ) pode ser vista na Figura 8 a

seguir.

Figura 8 – Representação gráfica de para

Fonte: Souza (2010)

31

Como a função só está definida para , temos que o período do sinal é .

Usando a equação (13) temos:

∫

∫

[

]

Então a expressão da Transformada de Fourier analítica para a função representada na

equação (14) é:

(15)

Vemos que a expressão (15) é uma função de números complexos. Para visualizar o

seu gráfico é necessário decompor o sinal em módulo e fase.

Facilmente verificamos que o módulo da equação (15) é dado pela seguinte expressão:

| |

√

O módulo da Transformada de Fourier, de acordo com a equação (14) é ilustrado na

Figura abaixo.

32

Figura 9 – Diagrama do módulo da transformada de Fourier de .

Fonte: Souza (2010)

Exemplificamos a visualização do espectro de Fourier de um sinal sintético, ,

composto por três sinais de frequências distintas. A Figura 10, seguinte, mostra um sinal no

domínio do tempo sobre o qual não é possível fazer afirmações, ou sequer visualizar

informações, no domínio de frequência.

Figura 10 – Representação simulada de um sinal no domínio temporal.


33

Realizando a transformada de Fourier desse sinal e obtendo o diagrama do espectro de

frequência podemos visualizar sua composição frequêncial, conforme o gráfico seguinte.

Figura 11 – Espectro de Fourier do sinal sintético .


Vemos que o sinal apresenta três amplitudes de frequências distintas se

destacando: 200 Hz, 350 Hz e 500 Hz. Este resultado é coerente. Podemos ver através da

figura 12 que o sinal nada mais é do uma soma de três sinais senoidais com frequências

diferentes, sintetizados em computador apenas para estudo.

Figura 12 – Sinais componentes de frequências 200 Hz, 350 Hz e 500 Hz, que

compõem .


34

Portanto, vimos que ao se olhar para as análises de Fourier de um sinal, temos

informações sobre a frequência global do sinal. No entanto, não é possível realizar nenhuma

análise minuciosa em pequenos trechos do sinal, nem localizar mudanças rápidas de

frequências e, ainda, nenhuma informação pode ser retirada acerca da localização temporal

das frequências detectadas.

Quando um sinal não apresenta alterações no tempo de suas propriedades estatísticas

isso é irrelevante. Porém, uma classe extensa de sinais apresenta características não

estacionarias ou de natureza transiente, para os quais a localização temporal é indispensável.

Para estudar tais sinais é necessário se ter à disposição uma transformada que seja

capaz de obter o conteúdo de frequência de um sinal localmente no tempo (ou espaço), e que

forneça um tratamento detalhado desse sinal. Essa impossibilidade encontrada na

transformada de Fourier possibilitou a criação de métodos de análise em tempo-frequência,

tais como, a transformada de Fourier-Gabor (Short Time Fourier Transform) e a transformada

Wavelet.

2.6. TRANSFORMADA DE FOURIER-GABOR

O método de “Janelamento” é uma proposta inicial para efetuar análises em sinais não

estacionários feita pelo engenheiro elétrico Denis Gabor, em 1946, para cobrir a deficiência

na transformada de Fourier. Ele adaptou a transformada de Fourier adicionando uma janela,

ou seja, uma função de análise auxiliar no integrando da transformada de Fourier capaz de

analisar o sinal dividindo-o em seções de tamanhos iguais. Essa função é conhecida como

“átomo de Gabor” e o método como Transformada de Fourier-Gabor, Leite (2007). Este

método é apropriado para identificar aspectos temporais de uma determinada região do sinal.

Neste esquema, o sinal ou serie temporal é dividido em intervalos iguais e a transformada de

Fourier é aplicada em cada um destes trechos por uma janela de tamanho fixo e constante por

todo o sinal. Vale ressaltar que o fato de a análise de sinal ser completamente feita por uma

janela invariável impede que sejam descritas as altas e as baixas frequências simultaneamente.

A Figura 13 representa a transformada de Fourier – Gabor que proporciona

informações sobre as localizações temporais das estruturas de frequências de acordo com o

tamanho da janela definida para efetuar a análise por todo o sinal. Percebe-se que os tamanhos

de janelas, uma vez escolhido um tamanho, eles são iguais por todo o tempo do sinal.

35

Figura 13 – A transformada janelada de Fourier fornece uma representação em tempo

frequência.


Considere o seguinte exemplo gráfico ilustrativo, encontrado em Barbosa (2008). São

apresentadas três séries temporais com 16 segundos de duração. Cada uma contendo

frequências e amplitudes distintas: 1 Hz, 5Hz e 10 Hz, conforme ilustradas na Figura 14(a). A

Figura 14(b) mostra a resultante da soma das três frequências durantes os 8 segundos iniciais

da série, e a soma das frequências de 1 Hz e 10 Hz para os 8 segundos restantes.

Figura 14 – Em (a) tem-se a séries temporais de frequências distintas e em (b) tem-se a

série resultante da soma de três e duas frequências, simultaneamente.

Fonte: Bolzan (2006)

36

A seguir, na Figura 15, tem-se a Transformada de Fourier efetuada sobre a série

temporal mostrada na Figura 14(b).

Figura 15 – Espectro de fourier para o sinal mostrado na figura 14(b).


A seguir é exemplificada a técnica desenvolvida por Gabor. O sinal representado no

gráfico da figura 14(b) é novamente apresentado para ser analisado, a fim de obter-se a

localização temporal das estruturas de frequências durante o tempo de decorrência do sinal,

também apresentado anteriormente. Para efetuar a análise usando a transformada de Fourier-

Gabor, a série temporal foi dividida em cinco seguimentos com intervalos de tempos iguais,

três segundos cada uma. Em cada trecho de três segundos será aplicada uma “janela” de

mesmo tamanho, fixo para todo o sinal, definida pelos coeficientes determinados na função

“átomo de Gabor” no inicio do procedimento. Em seguida, aplica-se a Transformada de

Fourier separadamente em cada trecho.

A Figura 16(b) mostra o gráfico das Transformada de Fourier (juntados) para cada

janela temporal no intervalo citado. A técnica percorreu todo o sinal, porém, analisou janela

por janela. Diferentemente da transformada de Fourier clássica, agora temos informações

temporais e podemos dizer com certa precisão em quais tempos, ou intervalo de tempo, estão

localizadas as estruturas de frequências.

37

Figura 16 – Em (a) tem-se a série temporal resultante e em (b) a Transformada de

Fourier aplicada separadamente aos segmentos (janelas) da série.


Podemos visualizar como as três frequências presentes no sinal estão espalhadas

temporalmente. Vemos que as três frequências estão presentes nos dois primeiros segmentos

de fato, e que somente duas frequências (1 Hz e 10 Hz) estão presentes na outra metade do

sinal. Como já era esperado, porem não podia ser visto.

A representação obtida pela Transformada de Fourier fornece alguma informação no

tempo, porém, torna-se claro que a sua limitação é dada pelo tamanho da janela que é definida

no início do processamento. Uma vez definida o seu tamanho ela irá percorrer todo o sinal

sem a possibilidade de ser ajustada aos trechos particulares da função. As wavelets surgiram

para suprir tal necessidade.

2.7. ANÁLISE WAVELETS

Da necessidade de ser obter localização temporal das estruturas de frequências, foram

desenvolvidas as funções wavelets para atuarem como funções de base na decomposição de

funções , onde é o espaço das funções de quadrados integráveis, do

domínio temporal para o domínio dual tempo-escala. Aqui a escala está relacionada

diretamente com a frequência. Assim, a transformada wavelet foi introduzida como uma

38

potencial e eficiente ferramenta matemática para se obter representações mais adequadas de

funções (sinais) em um domínio dual de parâmetros. Agora, dependendo da informação na

frequência que se queira analisar, as funções de base (wavelets) são “ajustadas” por dois

parâmetros: temporal e escala .

Em contraste com os outros métodos de processamento de sinais tratados aqui, com a

transformada wavelet é permitido que os seus parâmetros de analise sofram variações de

acordo com as características de cada trecho do sinal com que se trabalha. Assim a área de

processamento de sinais tem a sua disposição uma ferramenta capaz de capturar informações

globais e locais de um processo. A Figura 17 mostra que os tamanhos de janelas para

localização de frequências são ajustáveis a cada trecho do sinal de forma que ela consegue

localizar altas e baixas frequências, simultaneamente, em um mesmo trecho temporal.

Figura 17 – Transformada wavelet: decomposição em tempo escala com tamanhos de

janelas variáveis.


A teoria Wavelet apresenta uma visão inovadora de conceitos relacionados a

representação em tempo-frequência na análise de funções não estacionárias. A teoria

matemática das wavelets para análise e interpretações de sinais é encontrada na literatura com

diversas nomenclaturas, todas elas remetem ao significado de pequenas ondas. Em português,

o mais usual tem sido o termo ondaletas (uma tradução do inglês para o português do termo

wavelets). Segundo Protázio (2002), “foi no início do século passado, em 1910, que o físico

Alfred Haar introduziu um sistema completo de funções ortogonais com muitas propriedades

e características que fazem das wavelets, atualmente, ferramentas matemáticas com vasto

campo de aplicações nas ciências mais diversas”. A formalização da teoria das wavelets, tal

como a vemos hoje, é algo desenvolvido recentemente, baseado na generalização de conceitos

oriundos de diversos campos da ciência. Inicialmente o uso das wavelets se deu na área de

geofísica, mas o fato de seu desenvolvimento ter se dado de forma interdisciplinar tem

levado-a a atingir um vasto campo de aplicações, Leite (2007).

39

Formalmente, uma wavelet, usualmente denotada pela letra , deve apresentar as

seguintes condições:

I. A condição de admissibilidade:

∫

(16)

II. A função wavelet deve ter energia unitária:

∫ | |

(17)

As condições apresentadas acima garante que a função wavelet é de quadrado

integrável e que pertence ao espaço . A primeira condição sugere que a função wavelet

apresenta características oscilatórias ao longo do eixo temporal e que possui média nula.

A condição de Admissibilidade também garante a existência da transformada wavelet inversa,

que é a reconstrução da função em sua formatação original. A segunda condição está

relacionada com a localização da energia (concentrada) da função wavelet em um certa região

finita do espaço. Esta condição de energia concentrada é a principal característica que

diferencia as análise de sinais utilizando as funções wavelets e análise de funções utilizando

as funções harmônicas (Análise de Fourier).

2.7.1. Transformada wavelet

A transformada Wavelet é uma transformação linear com capacidade de analisar

processos não estacionários para extrair informações sobre variações de frequências e detectar

suas estruturas temporalmente (ou espacialmente) localizadas. Do ponto de vista histórico,

primeiro surgiu a transformada wavelet contínua, depois a análise multirresolução e a

transformada discreta.

40

2.8. TRANSFORMADA WAVELET CONTÍNUA

A Transformada Wavelet Contínua da função é formalizada pela

decomposição da função em uma base formada por funções wavelets Em sua

formulação matemática, a transformada wavelet contínua é dada pela integral:

∫

(18)

Onde,

√ (

). (19)

A equação (19) representa uma “família” de funções wavelets usada para a

transformação e que, na literatura é denominada de “wavelet-mãe”. O parâmetro está

relacionado com a “dilatação/contração” da função e refere-se à escala usada. O parâmetro

está relacionado com a “translação” ou localização da função “wavelet-mãe”. O termo | |

corresponde a um fator de normalização para a energia da wavelet Isto implica em

manter a energia da wavelet principal localizada em dada região do espaço. Isto significa

dizer que as amplitudes da função são apreciáveis apenas nesta região localizada. Nesse

sentido, a equação (18) mede as flutuações da função (ou sinal) na vizinhança

de , cujo tamanho é proporcional ao parâmetro de escala

A equação (18) fornece os coeficientes da transformada wavelet continua de uma

função (ou sinal) . Esses coeficientes representam uma correlação em um espaço dual

entre a função e a base formada pelas wavelets. A variação dos parâmetros e está

relacionada, respectivamente, com a dilatação (ou contração) e a translação temporal da

função analisadora ao longo do sinal. Para o parâmetro a dilatação acontece se , a

contração ocorre se .

As afirmações descritas acima para os parâmetros e podem ser melhores

entendidas com os exemplos mostrados na Figura 18. Na Figura 18(a), tem-se a ilustração de

uma família de wavelet contínua para alguns valores do parâmetro de translação e para o

parâmetro de dilatação . A wavelet mostrada é a derivada segunda da função gaussiana. Na

41

literatura é conhecida como “Chapéu Mexicano” devido a sue formato visual. Na Figura 18(a)

é ilustrada a wavelet para os valores de e O parâmetro significa que a

wavelet está centrada em isto é, na origem. A wavelet é gerada pela contração no

parâmetro

e pela translação (para a direita) do parâmetro Percebe-se que a

análise temporal da wavelet é diminuída quando compara com a wavelet devido à

contração no parâmetro de escala . Semelhante, a wavelet é gerada, a partir de , por

contração no parâmetro

e dilatação (para a esquerda) do parâmetro Percebe-

se que a análise temporal da wavelet é diminuída quando compara com as wavelets e

devido à contração mais acentuada no parâmetro de escala .

Figura 18 – (a) Ilustração de dilatação e translação de uma função wavelet para valores

dos parâmetros e . (b) Transformada de Fourier (espectro na frequência) para as wavelets

ilustradas em (a).

Fonte: Leite (2007)

O espectro de Fourier é mostrado na Figura 18(b) para as wavelets , e . Nesta

figura, observa-se que quanto maior é a análise temporal menor é a análise na frequência para

a wavelet. Na ilustração acima, a wavelet que possui suporte maior no tempo é a wavelet

42

(mais “espalhada”). Portanto, o seu espectro de frequência é localizado para frequências

menores.

Cada tipo de “wavelet-mãe” possui uma melhor ou pior localização nos domínio da

frequência e/ou tempo. É necessária a escolha de uma wavelet para a base de maneira

conveniente, de forma que o sinal seja adequadamente caracterizado e se evite distorções no

resultado. Em linhas gerais, Protázio (2002) comenta que as seguintes características podem

ser observadas na escolha de uma “wavelet mãe” para obter representação em tempo-escala:

ortogonalidade e não ortogonalidade; complexa ou real; suporte compacto; formato da

wavelet e do sinal.

Agora considere o gráfico da série temporal mostrada na Figura 19(a). Esta série é a

mesma analisada com a Transformada de Fourier-Gabor para extrair informações temporais

das localizações das três diferentes componentes de frequência (Figura 16). A Figura 19(b)

apresenta a decomposição em tempo-escala deste mesmo sinal utilizando a Transformada

Wavelet Contínua e seus coeficientes são mostrados em mapa de cores. Percebe-se a

localização com maior precisão e visibilidade das ocorrências destas frequências durante o

tempo do sinal.

Figura 19 – Em (a) tem-se a série temporal e em (b) a Transformada Wavelet

Contínua para esta série.


43

É possível visualizar no eixo vertical do escalograma da transformada wavelet (parte

inferior da figura) uma listra clara na escala 1 e uma outra na escala 10, um pouco mais

acinzentada. Elas estão presentes durante todo o tempo do sinal. Vemos em 5 uma outra listra

bem presente, esta vai somente até a metade do tempo do sinal, exatamente como estipulamos

no Exemplo 1.4. Além disso, outra informação é apresentada por meio da transformada

wavelet relacionada à energia. Podemos identificar na cor acinzentada da frequência 10, que

ela contêm maior energia associada em relação as frequências mais baixa. Normalmente em

pacotes computacionais ou toolbox de wavelets tem-se a disposição uma escala de cor que

permite realizar esta visualização dos níveis de energia.

2.8.1. Transformada Wavelet Inversa

A Transformada Wavelet Contínua satisfaz a propriedade ser uma transformada

matemática inversível. Portanto, a recuperação da função (sinal) é possível pela

definição da Transformada Wavelet Inversa.

A Transformada Wavelet Inversa é dada por;

∫ ∫

A Transformada Inversa é a reconstrução da função original somando as funções

da base, que são ponderadas em amplitudes pelos coeficientes da transformada

direta. Para que a função original possa ser reconstruída sem perdas de informação é

necessário que a wavelet obedeça as condições de Adminissibilidade e Energia finita

apresentadas anteriormente neste trabalho.

2.9. COERÊNCIA WAVELET

Em muitos processo da natureza é interessante saber detalhes de sua ocorrência em

termos de sua intensidade, bem como a correlação entre as grandezas que deram origem ao

processo. Em meteorologia, por exemplo, muitas variáveis estão envolvidas,

44

simultaneamente, na origem de fenômenos climáticos. A coerência wavelet é uma ferramenta

matemática advinda do desenvolvimento da teoria das wavelets e que possibilita detectar a

correlação e a semelhança entre eventos temporais, em termos de tempo-escala, frequência e

energia. Antes de definir matematicamente coerência wavelet é necessário falar sobre o

espectro wavelet cruzada.

Para examinar a relação e a semelhança entre dois sinais foi criado o Espectro Wavelet

Cruzada, caracterizada pelo módulo e pela fase da transformada wavelet contínua obtida

usando valores complexos, Varanis e Pederiva (2011). A fim de se obter uma visualização da

correlação e semelhança entre dois sinais ou séries temporais, define-se o Espectro Wavelet

Cruzada entre dois sinais e como sendo, Torrence (1998):

onde e são os coeficientes das transformadas wavelet contínua individual

(conforme a equação (18)) para cada sinal e , respectivamente. O sobrescrito “ ”

simboliza o complexo conjugado. Dessa forma, o termo da equação (20) expressa

o produto dos coeficientes da transformada wavelet em uma dada escala , na vizinhança

temporal Nesse sentido, os coeficientes do Espectro Wavelet Cruzada

revela quando existe um grau elevado de correlação entre e , para intervalos

diferentes (especificados pela escala) na vizinhança de

Uma forma de enfatizar a correlação local dos sinais e é através da

Coerência Wavelet que é introduzida por, Torrence (1999):

| ( )|

( | | ) ( | |

)

Na equação (22) o fator é introduzido para normalizar a densidade de energia e

representa um operador de suavização em tempo e escala para a wavelet usada. A equação

(22) possibilita representar a correlação entre os dois sinais por meio de um diagrama (mapa

de cores ou escalograma) em função do tempo-frequência no qual é possível a visualização de

eventos coincidentes sobre as escala e frequências, em cada instante de tempo dos sinais.

45

A Coerência Wavelet apresenta valores entre 0(zero) e 1(um). Para valores de

próximos de 1(um) a correlação é alta. Para valores de próximos de

0(zero) a correlação é baixa.

Figura 20 – Em (a) e (b) tem-se dois sinais temporais senoidais (c) e (d) suas

respectivas transformada wavelet em mapa de cores.

Fonte: Torrence e Webster (1999)

Para o entendimento do procedimento realizado neste trabalho para as séries temporais

meteorológicas vamos mostrar, graficamente, exemplos demonstrativos do Espectro Wavelet

Cruzada e Coerência Wavelet. Na Figura 20(a) e 20(b) acima são mostrados dois sinais

temporais senoidais e de mesma frequência e mesma amplitude. O eixo horizontal

diz respeito ao domínio temporal e o eixo vertical representa as amplitudes do sinal. Na

Figura 20(c) e 20(d) acima se apresenta os escalogramas resultantes das Transformadas

Wavelet Contínua de cada sinal. O eixo horizontal representa o domínio temporal (eixo das

translações wavelet) e o eixo vertical as escalas para a wavelet usada. A “wavelet-mãe” de

Morlet foi utilizada para o cálculo da Transformada Wavelet Contínua. O cálculo da

46

Transformada Wavelet Contínua foi realizado conforme a equação (18). Dessa análise

percebe-se que a os coeficientes da Transformada Wavelet Contínua possuem valores

significativos para cada sinal próximo (em volta) a escala 105. Portanto, são necessárias

poucas escalas para descrever os sinais e no espaço das wavelets.

Figura 21 – Em (a) tem-se os dois sinais (superpostos, pois são iguais) temporais senoidais

iguais e (b) o espectro wavelet cruzada, para os dois sinais, em mapa de cores.


Na Figura 21(a) acima se apresenta a superposição para os mesmos dois sinais

temporais senoidais e e em (b) os coeficientes do Espectro Wavelet Cruzada em

mapa de cores (escalograma). Os eixos vertical e horizontal da Figura 21(a) representam as

amplitudes e o domínio temporal, respectivamente, e na Figura 21(b) representam as escalas e

o tempo, respectivamente, para os coeficientes do Espectro Wavelet Cruzada.

Esses coeficientes revelam que existe um grau elevado de correlação entre os dois sinais

próximo da escala 105 em todo o domínio temporal. Essa correlação diminui para as

escalas adjacentes.

47

Figura 22 – Coerência wavelet, para os dois sinais, em mapa de cores.


A Figura 22 acima apresenta a Coerência Wavelet . Os coeficientes da

Coerência Wavelet são mostrados em um mapa de cores (escalograma) para os dois sinais

senoidais. O eixo horizontal representa o domínio temporal e o vertical as escalas utilizadas

para realizar o cálculo da Coerência Wavelet. Como já mencionado anteriormente, os sinais

possuem as mesmas frequências e mesmas amplitudes, isto é, os sinais são iguais. Dessa

forma, o grau de correlação entre os sinais é alto. Como se pode observar nesta figura, os

coeficientes de correlação são máximos, constante e iguais a 1(um) para todas as escalas e

todo o domínio temporal.

Considerando-se que neste trabalho pretende-se fazer aferições sobre séries temporais

meteorológicas é conveniente apresentar uma demonstração para séries temporais onde o grau

de correlação não se apresente tão elevado. Para isso, introduz-se um ruído gaussiano, no qual

existe uma correlação temporal, aos sinais temporais e , os quais ainda possuem as

mesmas amplitudes e frequência fundamental. A superposição dos sinais e

acrescidos do ruído gaussiano são ilustrados na Figura 23(a) e seu Espectro Wavelet Cruzada

é mostrado na Figura 23(b). Os coeficientes do Espectro Wavelet Cruzada ilustrados em mapa

de cores na Figura 23(b) revelam que existe um grau elevado de correlação entre os dois

sinais próximo da escala 105 em todo o domínio temporal. Essa correlação diminui para

as escalas adjacentes. Percebe-se que o grau de coerência é menor que o grau de coerência

48

mostrado no exemplo anterior. Essa percepção é notável devido a intensidade dos

coeficientes, isto é, os coeficientes possuem menores intensidades no mapa de cores.

Figura 23 – Em (a) tem-se os dois sinais (superpostos, pois são iguais) temporais

senoidais adicionados de ruído gaussiano e em (b) o Espectro Wavelet Cruzada, para os dois

sinais, em mapa de cores.


A Figura 24 abaixo apresenta a Coerência Wavelet para os sinais temporais senoidais

acrescido de um ruído gaussiano. Os coeficientes da Coerência Wavelet são

mostrados em um mapa de cores (escalograma), conforme ilustra a figura. Como já

mencionado antes, quanto mais próximo de 1(um) maior é a correlação wavelet. Dessa

análise, percebe-se que o grau de correlação entre os sinais é alto em todo o domínio temporal

para escalas menores que 200. Para escalas maiores que 200 é possível verificar existência de

Correção Wavelet, em grau menor, para o domínio temporal entre 0 e 300 segundos e também

entre 1700 e 2500, aproximadamente. Para o intervalo temporal 400 e 1700 segundos e, acima

da escala 250, a correlação começa a diminuir e tem sua menor coleção centrada no tempo em

torno do tempo 900 segundo e na escala 415.

49

Figura 24 – Coerência Wavelet, para os dois sinais acrescidos do ruído gaussiano, em mapa

de cores.


3. METODOLOGIA

Os resultados obtidos nesta pesquisa foram processados no software proprietário

MATLAB (Matrix Laboratory), versão R2012a, da empresa Mathworks. Trata-se de um

ambiente de programação técnica, computação numérica, simulação e visualização gráfica.

Neste software foi utilizada a Wavelet Toolbox, na qual se apresenta uma coleção de funções

construídas e fornecidas para a análise e síntese de sinais e imagens. As ferramentas são

oferecidas por meio de linha de comando ou interface gráfica interativa.

Agora, passa-se a discutir a Coerência Wavelet como a principal técnica de análise

apresentada neste Trabalho de Conclusão. A Coerência Wavelet foi aplicada a duas séries

temporais meteorológicas para a detecção de semelhança (ou correlação). Utilizou-se como

função de base a wavelet de Morlet, por haver na literatura um consenso sobre sua eficiência

em caracterizar sinais geofísicos. As wavelets contínuas são comumente utilizadas para

visualizar, através do mapa de cores citado anteriormente, a relação existente entre as

componentes de diferentes frequências em função da escala temporal da série. As grandezas

em questão neste trabalho possuem relações não lineares.

50

Figuras 25 – Parte real da wavelet de Morlet


As séries temporais são de acesso livre e foram obtidas do banco de dados do Instituto

Nacional de Meteorologia (INMET), no qual se encontram disponíveis séries temporais

meteorológicas com medições diárias desde o ano de 1961 aos dias atuais. Os dados

disponíveis são referentes a 291 localidades do território brasileiro, INMET (2013). Para

analisar os dados foram escolhidas cinco estações meteorológicas localizadas na região do

nordeste para aferir suas grandezas físicas. Os dados aqui analisados têm suas medidas

realizadas diariamente, em estações meteorológicas em análise estão localizadas nas seguintes

cidades: Natal-RN, João Pessoa-PB, Cruzeta-RN e Patos-PB. O período analisado refere-se a

todo o ano de 2009 e de 2010. As medições foram efetuadas a partir das zero horas, sendo três

medições por dia em intervalos de oito horas.

A Tabela 2 mostra as localizações nas coordenadas geográficas (latitude, norte-sul e

longitude, leste-oeste) e altitudes relativas das cidades (verticalmente) para estas estações

meteorológicas.

Cidade Estação Latitude (°) Longitude (°) Altitude (m)

Natal-RN 82598 -5.91 -35.20 48,60

João Pessoa-PB 82798 -7.10 -34.86 7,43

Cruzeta-RN 82693 -6.43 -36.58 226,46

Patos-PB 82791 -7.01 -37.26 249,09


51

A Figura 26, abaixo, mostra a disposição geográfica para as localizações das estações

meteorológicas.

Figura 26 – Disposição geográfica para as quatro estações meteorológicas onde os

dados foram colhidos.

Fonte: INMET (2013)

A meteorologia é uma ciência que se ocupa de estudar as propriedades físicas da

atmosfera, a fim de compreender processos que explicam a sua evolução e possibilita prevêr

estados futuros. Grandezas que caracterizam o sistema climático, sobretudo as variáveis com

maior impacto sobre as atividades, tais como temperatura, vento, precipitação, umidade

atmosférica, agitação marítima, dentre outras, são de interesses diretos para as previsões

climáticas.

Quando o ar esta em deslocamento horizontal pode-se dizer que ele esta submetido a

valores diferentes de temperatura e de pressão de um ponto para outro. Este movimento,

caracterizado por uma direção e uma velocidade chama-se vento. É Chamada direção

predominante do vento a direção em que o mesmo ocorre com maior frequência, sendo que o

relevo da região influi diretamente nesta direção. A direção do vento é bastante variável no

tempo e no espaço, em função da situação geográfica do local, da rugosidade da superfície, do

relevo, da vegetação, do clima e da época do ano.

52

4 . RESULTADOS E DISCUSSÃO

Discutem-se agora os resultados obtidos através da aplicação da técnica da Coerência

Wavelet aos dados meteorológicos (séries temporais) da Intensidade da Velocidade do Vento

e da Direção do Vento. O cálculo para a Coerência Wavelet, é feito conforme

mostrado na equação (22). Como foi visto anteriormente, com esta ferramenta de análise, é

possível medir em inspeção visual, em certo grau, as correlações entre as duas séries

representativas de grandezas físicas em cada escala e localização (temporal ou espacial)

específicas. Assim as séries são comparadas duas a duas para cada estação meteorológica e

sempre entre a intensidade da velocidade do vento e a direção do vento.

As Figuras 27(a), 28(a), 29(a) e 30(a) mostram as dados meteorológicos (séries

temporais) para a intensidade da velocidade do vento e a direção do vento para as seguintes

localizações das estações: Natal-RN, João Pessoa-PB, Cruzeta-RN e Patos-PB. Nestas figuras,

os eixos horizontais representam o domínio temporal e os eixos verticais representam as

amplitudes. No caso das séries temporais relativas à direção do vento, o eixo vertical

representa coeficientes de direção definidos de acordo as pontas da rosa dos ventos, girando

no sentido anti-horário. O gráfico em cor vermelha (cor da linha) representa a intensidade da

velocidade do vento enquanto o gráfico em cor azul (cor da linha) representa a direção do

vento para o mesmo instante de tempo. Trata-se de grandezas diferentes e, portanto, vale

ressaltar que configuram dimensões diferentes. A intenção de os dados serem colocados

sobrepostos numa mesma janela gráfica é simplesmente para visualização das suas oscilações

em todo o domínio temporal, tal com a fase entre os sinais.

Os resultados obtidos com a técnica da Coerência Wavelet conforme a equação (22)

encontram-se expressos nas Figuras 27(b), 28(b), 29(b) e 30(b), nos quais a visualização é

através de códigos de cores (mapa de cores ou ainda escalogramas), isto é, os coeficientes da

Coerência Wavelet são quantificados por cores. A cor vermelha (vermelho escuro) indica

valores de coeficientes altos para a Coerência Wavelet, a cor azul (azul escuro) indica valores

de coeficientes baixos para a Coerência Wavelet. No entanto, uma região onde predomina a

cor vermelha intensa indica alto índice de coerência (alto grau de correlação) entre os sinais

nas escalas e localizações temporais correspondentes, enquanto as regiões em cor com azul

escuro indicam baixa coerência (baixo grau de correlação).

Nestes mesmos gráficos, as setas indicam a diferença de fase entre os sinais. Setas

para a direita indicam que não existe uma diferença de fase entre os sinais nas respectivas

53

escalas e localizações (ou seja, o crescimento de um sinal é correlacionado com o crescimento

de outro, o mesmo para o decrescimento), enquanto que setas para a esquerda indicam

diferença de fase de 180° (cento e oitenta graus) entre os sinais, acusando uma anti-correlação

(ou seja, o crescimento de um sinal é correlacionado com o decrescimento de outro, e vice-

versa).

Aproveitaremos os resultados para uma discussão acerca do significado das escalas

usadas para a Transformada Wavelet e, consequentemente, para a Coerência Wavelet. As

escalas estão relacionadas, como já sabemos, ao suporte da wavelet usada. O suporte garante

que a wavelet só exercerá influência na operação com o sinal, no procedimento de

transformação para o espaço das wavelets, em uma faixa localizada de tamanho específico.

Assim, como a Coerência Wavelet fornece o resultado de uma operação matemática entre os

dois sinais no espaço das wavelets, as escalas nos fornecem informações acerca do tamanho

da faixa temporal em que esta comparação foi realizada. Assim, para os sinais de dados

meteorológicos aqui analisados, coerências em escalas mais finas (escalas menores)

significam que os dois sinais são correlacionados em escalas de tempo menores (intervalos de

tempo em horas a dias), enquanto que coerência em escalas mais “grosseiras” (escalas

maiores) indica correlação em escalas de tempo maiores (intervalos de tempo em semanas,

meses ou até anos).

Os dados meteorológicos analisados e representados na Figura 27(a) foram coletados

da estação meteorológica localizada na cidade de Natal-RN e na Figura 27(b) temos os

coeficientes da Coerência Wavelet em mapa de cores. O que podemos verificar,

na figura 27(b), visualmente, (cor vermelha intensa) é a existência de uma grande correlação

compreendida para as escalas maiores que 910 (aproximadamente) e em todo o domínio

temporal. Portanto, é conveniente afirmarmos que pode haver uma correlação entre a

intensidade da velocidade e a direção do vento quando consideramos, na análise, intervalos de

tempo maiores (semanas ou meses). Nesta mesma região, percebemos que as setas indicam

que não existe diferença de fase entre os sinais em suas respectivas escalas e localizações

temporais. Portanto, entre os sinais da intensidade da velocidade do vento e a direção do vento

existe uma correlação positiva. E ainda dessa correlação destaca-se que existe uma

predominância de direção do vento que corresponde a um determinado módulo de velocidade

do mesmo naquela região. Em outras palavras, podemos afirmar que a velocidade média e a

direção média do vento não variam (em média) para intervalos de tempo longos.

Para as escalas menores (menores que 910) percebemos, em uma região central da

figura 27(b), que não existe correlação entre os sinais analisados. Nesta mesma região, as

54

setas estão orientadas para a esquerda indicando uma diferença de fase de 180°. Isto indica

uma anti-correlação entre os sinais.

Percebemos também, uma localização temporal mais localizada de onde a correlação

entre as séries merece destaque. É a localização temporal de 1800 até 2190 e para todas as

escalas que existe um grau considerável na correlação para intervalos de tempo longos

(escalas maiores) e curtos (escalas menores).

As Figuras 28(a) e 28(b) mostram, respectivamente, os dados meteorológicos e os

coeficientes da Coerência Wavelet em mapa de cores. Esses dados analisados

foram coletados da estação meteorológica localizada na cidade de João Pessoa-PB. O que

podemos verificar, na figura 28(b), visualmente, (cor vermelha intensa) é a existência de uma

grande correlação compreendida para as escalas maiores que 890 (aproximadamente) e em

todo o domínio temporal (semelhante ao ocorrido em natal para escalas maiores 910).

Portanto, é conveniente afirmarmos que pode existir uma correlação entre a intensidade da

velocidade e a direção do vento quando consideramos, na análise, intervalos de tempo

maiores (semanas ou meses). Nesta mesma região, percebemos que as setas indicam que não

existe diferença de fase entre os sinais em suas respectivas escalas e localizações temporais.

Portanto, entre os sinais da intensidade da velocidade do vento e a direção do vento existe

uma correlação e ela é denotada pela faixa de escalas, isto é, existe a predominância de uma

direção do vento correlacionada com um determinado módulo de velocidade ocorrendo

durante todo o tempo do sinal. Analogamente ao que se constata em Natal, podemos afirmar

que a velocidade média e a direção média do vento não variam (em média) para intervalos de

tempo longos.

Para as escalas menores (abaixo de 890) percebemos, em uma região bem centrada na

figura 28(b), que a correlação começa a deixar de existir e passa a existir uma diferença de

fase entre os sinais analisados (cor amarela para a cor azul). Nesta mesma região, as setas

estão orientadas para a esquerda indicando uma diferença de fase de 180°. Isto indica uma

anti-correlação entre os sinais, porém, ainda não caracteriza uma correlação negativa e sim

uma imprecisão da técnica para este trecho. Começamos a constatar que a relação entre as

grandezas em estudo têm descrições (análises) semelhantes embora pertençam a localidades

geográficas diferentes.

Agora, vamos analisar os dados meteorológicos representados nas Figuras 29(a) e

30(a). Estes dados foram coletados da estação meteorológica localizadas nas cidades de

Cruzeta-RN e Patos-PB, respectivamente. Diferentemente das estações para as cidades de

Natal-RN e João Pessoa-PB, as estações de Cruzeta e Patos estão a uma altitude superior a

55

226 metros, como mostra a Tabela 02. Nas Figuras 29(b) e 30(b) temos os coeficientes da

Coerência Wavelet em mapa de cores para as respectivas séries, analogamente

aos outros dados discutidos até aqui.

Podemos observar, na figura 29(b), visualmente, (cor vermelha intensa) a existência de

uma grande correlação em um intervalo pequeno nas escalas compreendidas entre 1045 a

1351 (aproximadamente) e em todo o domínio temporal, sem diferença de fase. Para as

escalas fora desse intervalo percebemos que os coeficientes da Coerência Wavelets são

pequenos (cor em azul) e desconsideráveis em comparação a faixa de correlação bem

caracterizada nas escalas superiores.

Já para a Figura 30(b), as correlações predominantes, em todo o domínio temporal,

aparecem para dois intervalos de escalas. O primeiro compreende o intervalo da escala 610 a

escala 1051 e o segundo para escalas maiores que 1201. Percebemos que as correlações destes

sinais aparecem com uma intercalação de anti-correlação no decorrer do tempo para as escalas

(abaixo de 650 aproximadamente). Esta mesma intercalação pode ser percebida na estação de

Cruzeta, porém, nas escalas de 901.

56

Figura 27 – Em (a) tem-se a série temporal da intensidade da velocidade do vento

(vermelho) e a direção do vento (azul) para a estação de Natal. Em (b) tem-se os coeficiente

da Coerência Wavelet em mapa de cores.

Fonte: Autoria própria.

57


(vermelho) e a direção do vento (azul) para a estação de João Pessoa. Em (b) tem-se os

coeficiente da Coerência Wavelet em mapa de cores.


58


(vermelho) e a direção do vento (azul) para a estação Cruzeta. Em (b) tem-se os coeficiente da

Coerência Wavelet em mapa de cores.


59


(vermelho) e a direção do vento (azul) Patos. Em (b) tem-se os coeficiente da Coerência

Wavelet em mapa de cores.


60

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Embora tenham surgidas da necessidade de adaptação dos métodos clássicos no

processamento de dados geofísicos, as wavelets se desenvolveram de maneira multidisciplinar

e atualmente encontram inúmeras aplicações, algumas foram citadas anteriormente neste

trabalho. A análise em tempo- escala, onde a escala está relacionada com a frequência,

constitui um método investigativo de séries temporais não determinísticas uma vez que

podemos encontrar altas e baixas frequências simultaneamente em todo o tempo do sinal, e

destacar as frequências dominantes. A Coerência Wavelet adiciona mais uma característica

investigativa que é a possibilidade de correlacionar ocorrências entre grandezas, geralmente

geradas no mesmo instante de tempo.

De fato, a grande maioria das observações de processos não lineares na natureza é

registrada a partir de uma série temporal. Séries obtidas por meio de dados oriundos de

observações de variáveis atmosféricas, como é o caso do vento, são exemplos clássicos de

grandezas que apresentam complexa variabilidade e características de regimes não-lineares

(regimes aleatórios, extremamente dependentes, e sensíveis a pequenas alterações em seus

estados anteriores).

Definitivamente, as análises clássicas de Fourier, não são viáveis para descrever sinais

onde aspectos temporais são importantes. Tem-se, pois, que uma ampla classe de sinais possui

momentos estatísticos, como médias e variâncias, estatisticamente distintas para intervalos de

períodos constantes, onde se conclui que a informação temporal é indispensável.

A adaptação de Gabor na transformada de Fourier é uma mudança de paradigma na

área de processamento de sinal, porém, essa técnica possui limitações grosseiras nas suas

representações devido ao tamanho da janela que é invariável para os trechos do sinal,

comprometendo a precisão da análise. As Wavelets surgem para suprir esta deficiência.

As análises Wavelets consistem em métodos de análise que preservam a informação

temporal, localizando altas e baixas frequências, simultaneamente, ao percorrer um sinal. A

Coerência Wavelet é uma variante da transformada Wavelet Contínua que correlaciona os

coeficientes wavelets de duas grandezas no espaço das wavelets, caracterizados em tempo-

escalas. As características temporais das wavelets evidência sua vantagem sobre as outras

técnicas porque ela oferece uma descrição mais completa.

O uso das técnicas wavelets na área de análise de sinais cresceu exponencialmente nas

ultimas décadas, pois elas representam uma síntese das técnicas clássicas aliada a resultados

61

recentes como, por exemplo, eficientes algoritmos computacionais de interesse de uma ampla

gama de profissionais, pesquisadores e fácil acessibilidade por meio de rotinas prontas, sendo

necessário apenas um PC.

Destaca-se também, que a escolha da wavelet-mãe, ou função geradora, é de

fundamental importância para o bom desempenho da análise wavelet algumas funções

geradoras mais conhecidas são: Haar, a primeira função a surgir com as características que

hoje definem as wavelet; função de Daubechies; Mexican Hat (ou chapéu mexicano); Meyer e

a de Morlet, utilizada neste trabalho. Critérios como suporte e formato das wavelets são

considerados na escolha da função geradora. Conclui-se que a utilidade primordial da análise

em Wavelet está na sua possibilidade atuar como função base para a decomposição de outras

funções pertencentes ao espaço das funções de quadrados integráveis. As funções wavelets

cobrem e descrevem completamente este espaço de uma forma mais sofisticada que as bases

senoidais dos métodos de Fourier.

62

6. REFERÊNCIAS

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Ensino de Física, Vol. 28, n° 04, pp. 563-567, 2006.

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aplicaÇÃo de tÉcnicas wavelets em anÁlise de … - valciano... · valciano camilo gurgel...

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