modelos de sistemas amostrados -...

Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador

J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo

20

Modelos de Sistemas Amostrados

Relógio

D/A A/DG(s)

Sistema

u(kh) y(kh)u(t) y(t)

Qual a função de transferência discreta “vista” pelo computador?



21

Recorde-se que, para determinar a função de transferência, devemos:

• Aplicar um sinal à entrada do sistema, com condições iniciais nulas

• Observar a saída

• Determinar as transformadas Z da entrada e da saída correspondente

• Calcular a função de transferência como o quociente entre a transformada Z

da saída e a transformada Z da entrada

Que sinal de teste é mais conveniente aplicar?



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Método Escalão Invariante

Se aplicarmos um escalão discreto à entrada, à entrada do sistema contínuo

aparecerá também um escalão, o que facilita as contas

Relógio

D/A A/DG(s)

Sistema




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Equivalência das saídas nos instantes de amostragem

� � �� =

�

��

��−� �

� ��

� �� =

�

��

��−

=��

A função de transferência discreta equivalente é

[ ][ ]� � ��

� ��

� �

� �=



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Função de Transferência Discreta

Sendo u(kh) um escalão discreto, a sua transformada Z é:

[ ] � ��

� � =− −

�

� �

Portanto:

� ��

��

� ��

� ��

− −=

� �� = = − � ��



25

Método Escalão Invariante (Conclusão)

Relógio

D/A A/DG(s)

Sistema


Do ponto de vista do computador, i.e. entre a entrada e a saída discreta, este

sistema é equivalente a um SLIT discreto com função de transferência

� ��

� � � � � �= −�

��

��

��

��− −

=�

��



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Tabelas Auxiliares

TZ de sinais amostrados Equivalentes ZOH



27

Modelo de sistema amostrado – Exemplo

Qual a função de transferência discreta (causal) que se obtém quando se amostra o

sistema contínuo com função de transferência

� �

� � � =

+ ?

Solução:

� ��

� � � � ��

� �= −

+�

��

��

��

�

��

− −=

� � �

Decompondo em fracções simples

� � � � � �+= −

+� �



28

TL inversa do primeiro termo:

��

�→ = ≥

TL inversa do segundo termo:

��

�

−→ = ≥+

Amostrando nos instantes kh:

� � � �� −= ≥

Cuja TZ é:

�

��

� ��

� − −=−



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Finalmente, a função de transferência discreta vem dada por:

� � � �� = −

−−

−�

�

��−

− − −��

�

�

�

�

� �

� �

� �

�

��

=−−

− −

− −

�

�

�

�

A região de convergência deve ser escolhida por forma a que o sistema seja

causal.



30

A resposta ao escalão do sistema contínuo coincide, nos instantes de

amostragem, com a resposta do sistema discretizado.

Isto não acontece para outro tipo de entradas, por exemplo uma sinusóide.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Este facto motiva que se designe este método de discretização por método do

escalão invariante.



31

Entradas Constantes por Troços (Zero-Order-Hold)

Se os sinais de entrada de um sistema provêm de um retentor de amostras de ordem

zero (zero-order-hold) então a saída dos sistemas contínuo e discreto equivalem-se

nos instantes de amostragem:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1u(t) = sin(t), h = 0.5s



32

Transformação dos pólos

Na discretização com retentor de amostras de ordem zero os pólos são

transformados de acordo com uma transformação exponencial.

Um pólo em �� no contínuo é transformado num pólo � dado por:

��

� ��=

• Características de estabilidade são preservadas: semi-plano complexo

esquerdo é mapeado no interior do círculo unitário.

• Unicidade não é preservada: vários pontos do plano-s são mapeados

num mesmo ponto do plano-z (aliasing).



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Exemplo de transformação de pólos



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Sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados

ωζω ω

�

�

�

� �

�� + +

Os pólos são transformados nas

raízes do polinómio

�

� �+ +

( ) � ��

�

�

�� = − −−ζω ζ ω�

� �

�

� �= − ζω



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Transformação dos zeros

A transformação dos zeros é mais complexa e não existe uma regra geral simples.

Para elevadas frequências de amostragem, um sistema contínuo com N polos e M

zeros finitos (si, j = 1,...,M), conduz a um sistema discreto com:

• N-1 zeros finitos (d = 1)

• M zeros em ��

� �≈

• N-M-1 zeros tendem para as raízes dos polinómios da tabela:

N-M A(z) Raízes

1 1

2 z+1 -1

3 z2 + 4z +1 -3.7321, -0.2679

4 z3 + 11 z2 + 11z + 1 -9.8990, -1, -0.1010

5 z4 + 26z3 + 66z2 + 26z + 1 -23.2875, -0.0154, -1.3486 ± j0.9860



36

Deve ser notado que um sistema contínuo de fase mínima pode dar origem,

por amostragem, a um sistema de fase não mínima (i. e. em que há zeros

fora do círculo unitário), o que pode dar origem a problemas no controlo.

Em muitos casos isto acontece para ritmos de amostragem o que sugere

sugere que nem sempre é bom aumentar o ritmo de amostragem (ao

contrário do que nos diz a intuição e do que sucede em problemas de

Processamento de Sinal).



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Método Rampa Invariante

Em alguns sistemas, não é adequado introduzir sinais do tipo escalão

(descontinuidades). Uma forma de eliminar o problema é a utilização de retentores de

ordem-1 na entrada do sistema:

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

time

• Para gerar o sinal a partir de t=kh, é necessário

conhecer o seu valor para t = kh+1. Por isso,

este método costuma também denominar-se

“predictive first-order hold”.

• Para aplicar este modelo em controlo, os

controladores projectados valor da actuação do

sistema u(kh+1) no instante t = kh. Requerem,

portanto, um atraso adicional.



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Equivalente discreto com Predictive First-Order Hold (PFOH)

Pode ser implementado com um ZOH, um integrador, e um novo sinal de entrada v(k).

��

��

��

�

��

�

��

− ��

��=

��

��=

{ } ��

��−=�

��

�

��

��

ZOH A/D 1/s G(s) �

��

��

−+= ��

PFOH A/D G(s) �� +��

�

��



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Oscilações Escondidas

Os modelos de sistemas amostrados anteriores apenas nos dizem o que acontece nos

instantes de amostragem. No intervalo entre esses instantes, coisas “estranhas”

podem acontecer.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Para evitar estes efeitos, deveremos

garantir que o intervalo entre amostras

seja bastante mais curto do que o

período das frequências naturais do

sistema.



40

Selecção do Ritmo de Amostragem

Regra prática: A frequência de amostragem deve ser cerca de 10 a 30 vezes

superior à largura de banda (-3dB) do sistema em análise.

• Para efeitos de aproximação entre as respostas do sistema contínuo e seu

equivalente discreto, considerar a largura de banda do sistema em malha

aberta.

• No entanto, na maior parte das vezes pretende-se efectuar o controlo do sistema e

portanto, deve-se considerar a largura de banda desejada do sistema em malha

fechada.



41

Exercícios

1 – Considere o modelo simplificado de um motor DC:

��

��

��

+=

a) Deduza, utilizando a definição, o seu equivalente discreto ZOH.

b) Confirme a validade da expressão obtida com o resultado listado na tabela de transformadas.

c) Mostre que o mesmo equivalente discreto pode ser obtido pela discretização ZOH do termo 1/s,

seguido da discretização PFOH do termo �� + .



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2 – Considere o sistema contínuo descrito pela função de transferência G(s):

� �

��

� � ��

� � �=

+ +

a) Obtenha a função de transferência discreta do sistema para um intervalo de amostragem h

= 0.5 (pode usar a função matlab ‘c2d’).

b) Quais os valores dos polos e zeros do sistema discreto ? Confirme a regra exponencial de

transformação dos polos.

c) Faça h tender para zero. Para que valores tendem os polos e zeros do sistema dado?

Confirme o comportamento assimptótico dos zeros dado pela tabela da pag. 2-34.

d) Escolha uma frequência de amostragem adequada para efectuar o controlo por retroacção

unitária deste sistema.

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