teoria de sistemas amostrados e controle digital - d.j pagano

Teoria de Sistemas Amostrados e

Controle Digital

Prof. Daniel Juan Pagano

Departamento de Automa~ao e Sistemas

Centro Tenologio

Universidade Federal de Santa atarina

CEP 88040-900 Florianopolis - SC

Tel.: +55 48 331 7601/7670, FAX: +55 48 331 9934

E-mail: danieldas.ufs.br

Agradeimentos

A Cesar Torrio, aluno de doutorado do programa de Posgradua~ao em

Engenharia Eletria (PPGEEL-UFSC), pela assiste^nia e suporte na elabo-

ra~ao desta apostila. Tambem agradeo ao professor Julio E. Normey Rio,

do Departamento de Automa~ao e Sistemas (UFSC), pelo material aportado

para a onfe~ao desta apostila.

Sumario

1 Introdu~ao 5

1.1 Deni~oes Basias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Sinais Contnuos e Disretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Controle digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Problemas ligados ao ontrole de sistemas amostrados . . . . . . . . 12

2 Transformada Z e aplia~oes 14

2.1 Deni~ao da Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Propriedades da Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Inversa da Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Aplia~ao a equa~oes a diferenas e sistemas . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 21

3.1 A amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Analise da onex~ao Interpolador - Sistema ontnuo . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Fun~ao de transfere^nia amostrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.1 Ganho estatio de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.3 Rela~ao plano S - plano Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Estabilidade e resposta no tempo 40

4.1 Deni~ao e rela~ao om a fun~ao de transfere^nia . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Estabilidade e resposta no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.1 Sistemas amostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.2 Tipos de resposta estaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Estabilidade de sistemas om para^metros variaveis . . . . . . . . . . . . . . 45

Sumario 4

4.3.1 Lugar das Razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Estabilidade utilizando lugar de razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5 Conlus~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Funionamento de sistemas em regime permanente 54

5.1 Funionamento no regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 Conlus~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Projeto de ontroladores disretos 59

6.1 Metodo de projeto por aproxima~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1.1 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.1.2 Metodo de Tustin (ou Bilinear) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.1.3 Metodo de aproxima~ao Zero-Polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1.4 Metodo aproxima~ao zero-polo modiado . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2 Metodo de projeto direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2.1 Elementos basios de ontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Captulo 1

Introdu~ao

A area de ontrole de proessos industriais teve um grande desenvolvimento nos

ultimos 100 anos e hoje em dia os sistemas automatios de ontrole est~ao presentes

em quase todas as maquinas e equipamentos utilizados pelo homem, inlusive na vida

domestia. Este desenvolvimento somente foi possvel graas a utiliza~ao de ferramentas

matematias de modelagem, analise e projeto de sistemas de ontrole. Dentro desta area,

a teoria de sistemas lineares teve e ainda tem um papel fundamental, pois uma grande

quantidade de problemas reais podem ser analisados e resolvidos om a sua utiliza~ao.

Duas perguntas podem ajudar a eslareer estas ideias.

(a) Que e, omo funiona e para que serve um sistema de ontrole?

(b) Qual a rela~ao entre estes problemas e a teoria de sistemas?

Analisaremos as respostas utilizando um exemplo. Suponhamos un sistema de arma-

zenamento de gr~aos onde deve-se manter onstante a temperatura do ar dentro do silo.

O primeiro a fazer e dotar ao silo dum sistema de aqueimento-esfriamento e de um sis-

tema de medi~ao de temperatura. Instalado o sistema de atua~ao e medi~ao a planta e

oloada a funionar simplesmente om uma regula~ao manual da entrada de alor-frio

ate atingir o ponto de equilbrio de temperatura T

0

desejado. Mas quem assegura que

isto se mantera ao longo do tempo? Se a temperatura ambiente varia o sistema n~ao vai

manter as ondi~oes ideais, pois n~ao existe nenhum dispositivo que avise ao gerador de

alor-frio que a situa~ao mudou. A solu~ao mais simples onsiste em oloar um operador

a atuar no sistema de aqueimento-esfriamento para orrigir as possveis varia~oes de T .

Este proedimento denomina-se ontrole manual e mostra-se na gura 1.1.

E laro que neste sistema de ontrole o termo manual signia que a opera~ao de

ontrole e realizada no erebro do operador, que possui o onheimento da dina^mia do

sistema, ompara os valores medidos om os neessarios e atua seguindo a diferena.

Introdu~ao 6

T

SILO

Operador Aquecedor

Termometro

Figura 1.1: Controle manual de temperatura dentro do silo.

Uma forma mais interessante de realizar esta opera~ao e mediante um meanismo ou

sistema automatio apaz de substituir ao operador. Este sistema e hamado de ontrola-

dor automatio ou simplesmente ontrolador. Este ontrolador possui uma lei de atua~ao

interna que lhe permite ajustar os valores de pote^nia de aqueimento-esfriamento, de

aordo om a varia~ao de T omo mostra-se na gura 1.2.

automatico

SILO

Aquecedor

Termometro

T

sistema de

controle

Figura 1.2: Controle automatio de temperatura do silo.

De forma geral, os resultados deste exemplo podem extender-se a todos os siste-

mas de ontrole, que omp~oem-se de tre^s elementos basios: MEDIC

~

AO, CONTROLE e

ATUAC

~

AO, omo pode ser visto no esquema da gura 1.3.

Os problemas relativos a medi~ao e atua~ao ser~ao estudados em outras disiplinas

espeas. Neste urso o objetivo e entender omo denir e implementar a lei de ontrole

que mantem o sistema operando omo desejado.

Introdu~ao 7

CONTROLE

ATUADOR SISTEMA MEDIDOR

Figura 1.3: Esquema geral do ontrole automatio de proessos.

Para poder projetar adequadamente o ontrole, devemos onheer as araterstias

dos sistemas envolvidos: atuadores, proesso e medidores. Para poder analisar o seu om-

portamento sem neessidade de operar o proprio sistema devemos gerar modelos que re-

presentem adequadamente este omportamento. Estes modelos matematios permitir~ao,

atraves da teoria de sistemas, denir leis de ontrole espeas para ada aplia~ao.

Pode-se dizer que em geral a analise de um sistema divide-se em tre^s etapas basias:

Desenvolvimento de um modelo matematio para o sistema fsio e montagem das

equa~oes orrespondentes;

Obten~ao da solu~ao das equa~oes;

Interpreta~ao dos resultados em termos do sistema real.

Assim, nesta disiplina estudaremos os elementos basios da teoria de sistemas de ontrole,

que diz respeito a analise dos sistemas e seus sinais. Todos os resultados que estudaremos

ser~ao a base para as disiplinas seguintes.

1.1 Deni~oes Basias

Deni~ao 1.1 Sinal e uma desri~ao quantitativa de um determinado feno^meno, asso-

iado a um dado meio.

Exemplos de sinais s~ao os sinais sonoros, eletrios, visuais, et...

Deni~ao 1.2 Sistema e uma parte do meio que ria sinais proprios e que permite que

ele se relaione om o restante do meio ambiente.

Exemplos de sistemas s~ao os iruitos eletrios (assoiados a sinais eletrios), hi-

draulios, mea^nios, et...

Deni~ao 1.3 Entradas e Sadas de um Sistema. Os sinais que relaionam ou omuni-

am o sistema om o meio s~ao os sinais de entrada e sinais de sada. O meio atua sobre

o sistema atraves dos sinais de entrada e o sistema atua sobre o meio atraves dos sinais

de sada.

Introdu~ao 8

A gura 1.4 mostra esta rela~ao.

E laro que em geral n~ao existe uma rela~ao unia entre

SaidaEntradaSistema

Figura 1.4: Sinais de entrada e sada.

entrada e sada. Quando a rela~ao e unia, isto e, para ada entrada a sada e determinada

de forma unia, diz-se que o sistema e Sistema Entrada-Sada Mapeado (sesm, pois existe

um mapeamento entre a entrada e a sada e o mapa e hamado mapa do sistema.

Esta n~ao e a unia maneira de representar sistemas, porem e a mais utilizada na

maioria das aplia~oes. Uma outra forma de representar um sistema e atraves de sua

desri~ao de estados.

1.2 Sinais Contnuos e Disretos

Na maioria dos sistemas que s~ao estudados em sistemas de ontrole e automa~ao

industrial, o tempo e importante e os sinais relaionados om estes s~ao fun~oes do tempo.

Estas fun~oes do tempo podem ser disretas ou ontnuas, isto e, estarem denidas para

um numero ontavel de pontos no eixo dos tempos ou para intervalos om innitos pontos.

Exemplo: O ndie da bolsa do RJ (media dos ndies de ota~ao das diferentes a~oes

da bolsa) e um sinal disreto. Cada dia tem-se um ndie.

I(k) = f8:3; 7:2; 5:0; : : :g

Exemplo: Temperatura de um forno medida om termopar.

Para ada instante t " [0;1) tem-se um dado valor de temperatura.

Os sistemas assoiados a sinais disretos s~ao hamados de Sistemas Disretos e os

assoiados a sinais ontnuos de Sistemas Contnuos. As araterstias partiulares de

estas duas lasses de sistemas s~ao apresentadas no proximo aptulo.

Exemplo: Sistemas amostrados.

Um aso partiular de sistemas disretos s~ao os sistemas amostrados, onde o tempo

n~ao e inteiro mas um multiplo inteiro do perodo de amostragem esolhido.

Muitas vezes na pratia, sobretudo nos sistemas de ontrole, trabalha-se om ombi-

na~ao de sinais e/ou sistemas ontnuos e disretos. Ent~ao para poder analisar matema-

tiamente estas ombina~oes faz-se neessario amostrar os sinais ontnuos de forma tal a

Introdu~ao 9

X(t)

tempo

x(n)

x(0) x(1) x(2)x(3)

x(4) x(5)

Amostragem do sinal X(t)X(t)

t0 t1 t2 t3 t4 t5

Figura 1.5: Amostragem de um sinal.

onstruir seque^nias que os representam. Este proesso e realizado olhendo amostras do

sinal ontnuo em determinados instantes.

O sinal obtido e dito de sinal amostrado. Em geral este proesso e feito usando inter-

valo entre amostras onstante T . Este valor e hamado de perodo de amostragem e sua

inversa

1

T

freque^nia de amostragem. O proedimento de amostragem se mostra na gura

1.5.

Quando o proesso de amostragem e feito para obter uma representa~ao disreta de

um sinal ontnuo, deve se onsiderar quanta informa~ao de sinal e "perdida"nesse pro-

esso. De forma intuitiva pode-se armar que quanto mais proximas no tempo sejam as

amostras, menos informa~ao sera perdida. Por outro lado, a utiliza~ao de freque^nias de

amostragem muito altas eleva o usto omputaional e produz problemas de identia~ao.

Estes problemas ser~ao disutidos om detalhe en temas posteriores.

Exemplo: Para ilustrar a importa^nia da amostragem onsidera-se o ontrole digital

de um proesso ontnuo. Imaginemos que para ontrolar um dado proesso e neessario

implementar uma serie de alulos matematios omplexos em pouo tempo. Para rea-

lizar estes alulos utiliza-se um omputador digital. Assim, a sada do proesso e lida,

onvertida em sinal disreto e enviado para o omputador. Este faz os alulos e envia

um outro sinal disreto que e onvertido em ontnuo para ser apliado ao proesso, omo

se mostra na gura 1.6.

Uma aplia~ao pratia deste proedimento mostra-se na gura 1.7. Em um aso omo

o analisado, a fun~ao realizada pelo sistema de ontrole pode ser representada por um

Introdu~ao 10

Referencia

Atuador Processo Medidor

Filtro D/AComputador Digital

u(t) y(t) m(t)

Amostragem

m(kt)u(kt)

u(t)

Figura 1.6: Diagrama de ontrole disreto de um proesso ontnuo.

h(t)

h

Atuador

Eletromecanico

ComputadorDigital

Filtro

H

Medidor de nivel

f1

f2

Amostragem

Referencia de nivel

T

Sinal eletricocontinuo

Figura 1.7: Controle por omputador do nvel do tanque.

onjunto de equa~oes a diferenas omo por exemplo:

e(kT ) = y

r

(kT ) y(kT )

u(kT ) = u[(k 1)T + 2e(kT )

onde u representa o ontrole, e o erro e y

r

a refere^nia.

Do ponto de vista pratio, esta lei de ontrole tem uma interpreta~ao bem simples: o

ontrole permanee onstante somente quando o erro e zero, o que implia que a sada do

sistema atingiu a refere^nia.

Assim omo os sistemas podem ser lassiados de aordo om o domnio do tempo

onde s~ao tratados, tambem e possvel lassia-los de aordo om outras araterstias.

1.3 Controle digital

Por diversas raz~oes (que ser~ao exempliadas a seguir) alguns sistemas apresentam

sinais disponveis em determinados instantes de tempo disreto. Por exemplo:

sistemas eono^mios

Introdu~ao 11

sistemas de manufatura

sistemas biologios

Dentre as varias situa~oes que originam o apareimento de sinais disretos no tempo e

interessante menionar:

reparti~ao de um instrumento de alto usto (multiplexagem)

PLANTA

Proessamento

Medi~ao e

Sistema de

Figura 1.8: Multiplexador

ontrole de sistemas utilizando omputadores digitais (ontrole digital)

Por exemplo, na Fig.1.9 se mostra o aso mais omum de ontrole digital de proessos

ontnuos. Neste aso, o ontrole e implementado de forma disreta utilizando para tal

-

Sada

Ref

Medidor

ProessoAtuadorControle

+

Figura 1.9: Controle Digital de proessos ontnuos

diferentes elementos (amostrador, onversores A/D e D/A, bloqueador) que permitem

proessar os sinais analogios do sistema ontnuo. Na Fig.1.10 s~ao mostrados os diferentes

elementos utilizados no ontrole digital de proessos ontnuos.

analogio

Calulo

BloqueadorConv. D/A

ontrole

da lei de

analogio disreto

Amostrador

digital disreto

digital disreto

analogio

disreto

analogio

ontinuo

Conversor A/D

ontinuo

Figura 1.10: Elementos de um ontrolador digital.

Introdu~ao 12

1.3.1 Problemas ligados ao ontrole de sistemas amostrados

O primeiro problema que se apresenta e omo realizar a amostragem dos sinais

ontnuos. Na Fig.1.11 e representado o proesso de amostragem de um sinal ontnuo.

Neste proesso dois fatores s~ao importantes:

a) a esolha do perodo de amostragem T ou taxa de amostragem f =

1

T

;

b) e a representa~ao matematia utilizada.

Em rela~ao a esolha de T , n~ao existiria uma perda importante de informa~ao se T fosse

suientemente pequeno frente a veloidade de varia~ao do feno^meno onsiderado. Isto

impliaria, no entanto, em um usto elevado em termos de tempo de alulo, fun~ao da

freque^nia de amostragem. Tem-se, ent~ao, que quanto maior a freque^nia de amostragem,

melhor a informa~ao e mais alto o usto. Por outro lado, quanto menor a freque^nia de

amostragem, maior sera a degrada~ao da informa~ao, mas baixara o usto. Existe portanto

um ompromisso entre qualidade da informa~ao e usto de alulo. Como veremos este

ompromisso se resolve apliando o Teorema de Shannon.

x(t)

x((k + 1)T )x(kT )

x(kT )

t

x

T

: : :

Figura 1.11: Amostragem de sinais ontnuos.

O segundo problema e omo fazer a onvers~ao analogio/digital (A/D) e digi-

tal/analogia (D/A). Este proesso de onvers~ao de sinais implia neessariamente na

quantia~ao dos sinais ontnuos para poder ser transformados em sinais disretos. Os

sinais digitais so podem ter valores multiplos do \tamanho" de quantia~ao. Isto produz

inevitavelmente erros de quantia~ao uja magnitude depende diretamente do numero

de bits dos onversores A/D e D/A. O problema relaionado om o erro gerado na quan-

tia~ao aparee em tre^s nveis:

na onvers~ao das medidas analogias em sinais disretos digitais: devido a natureza

intrnsea da representa~ao digital, a onvers~ao de uma medida analogia em uma

medida digital so pode ser realizada aproximadamente. Este e um feno^meno n~ao

linear onde e neessario n~ao deteriorar a preis~ao original do elemento de medi~ao.

Introdu~ao 13

Entretanto, na pratia, s~ao utilizados onversores de 10, 12, 14 e ate 16 bits, om o

qual o erro pode ser onsiderado muito pequeno.

durante os alulos do proessador: neste aso n~ao existe maior problema devido ao

fato de poder trabalhar om preis~ao estendida no proessador digital;

no posiionamento numerio de alguns atuadores: usando odigos de mais de 8 bits

este aso n~ao onstitui maior problema, ja que o erro sera menor que o rudo proprio

do sistema.

t

x

q

x

0

0

11

t

Figura 1.12: Quantia~ao de um sinal ontnuo.

Outro problema onsiste em omo projetar o algoritmo de ontrole. Para soluionar

este problema s~ao empregadas ferramentas de analise e projeto para tempo disreto, as

quais ser~ao estudadas nos proximos aptulos.

Finalmente, existe o problema de omo reuperar o sinal analogio ontnuo. Para

resolver esta situa~ao e neessario utilizar um elemento que permita interpolar o sinal

disreto ente amostras. Este proesso denomina-se de bloqueamento ou interpola~ao e

o elemento assoiado de bloqueador ou sustentador. A interpola~ao pode ser realizada

utilizando diferentes tipos de sinais, por exemplo, degraus e rampas (Fig.1.13).

x((k + 1)T )

: : :

: : :

: : :

T

x

t

x(kT )

: : :

x((k + 1)T )x(kT )

t

x

T

: : :

: : :

a) b)

Figura 1.13: Proesso de bloqueamento por a) degraus b) rampas.

Captulo 2

Transformada Z e aplia~oes

Da mesma forma que no aso ontnuo, a analise de sistemas disretos pode ser feita

atraves das transformadas. Para transformar uma equa~ao a diferenas nos sinais de

entrada e sada dum sistema numa equa~ao algebria e introduzida a transformada Z.

2.1 Deni~ao da Transformada Z

Deni~ao 2.1 A transformada Z e o mapa que transforma o sinal x(n) na fun~ao om-

plexa

X(z) = Zfxg

dada por:

X(z) =

1

X

n=0

x(n)z

n

z "

1

C

onde

1

e a regi~ao de onverge^nia.

As regi~oes de existe^nia s~ao, para algum real :

1

= fz " C; j z j> g

Exemplos:

x(n) =

(

a

n

n 0

qualquer n < 0

X(z) =

1

X

0

a

n

zn =

z

z a

j z j>j a j

Transformada Z e aplia~oes 15

Se a = 1 ) x(n) = 1 n 0 e obtemos

X(z) =

z

z 1

= Z f1(n)g

2.2 Propriedades da Transformada Z

(a) Linearidade

Se existem as transformadas de x e y numa regi~ao , ent~ao vale:

Z fax + byg = aX + bY

(b) Desloamento

Seja x om transformada X em . Seja o operador de desloamento unitario e "


lim

n!1

x(n)

existe, vale que:

lim

n!1

x(n) = lim

z!1

(z 1)X(z)

Nota: Este teorema e muito importante para teoria de ontrole, pois permite quando

validas suas hipoteses, alular valores de regime permanente de sinais.

Exemplo: Deve-se veriar sempre as hipoteses do teorema.

Seja x(n) = a

n

a > 1

lim

t!1

a

n

=1 ) n~ao pode apliar-se o teorema do valor nal

Porem X(z) =

z

za

lim

z!1

(z 1)X(z) =

z

z a

= 1=(1 a) 6= lim

n!1

x(n)

(f) Teorema do valor iniial

Seja x(n) om transformada X(z). Logo vale que:

lim

jzj!1

X(z) = x(0)

Exemplo:

x(n) = n1(n) = (n1(n)). Usando propriedade (f) temos:

Z fn1(n)g = z

dX(z)

dz

X(z) = Z f1(n)g j z j> 1

Z fn1(n)g = z

d

dz

z

z 1

=

z

(z 1)

2

j z j> 1

Transformada da rampa:

z

(z 1)

2

j z j> 1


2.3 Inversa da Transformada Z

Antes de ontinuar estudando as aplia~oes da transformada Z, disutiremos o pro-

blema da invers~ao, ou seja, da obten~ao do sinal x a partir da sua transformada X. Da

mesma forma que na transformada de Laplae existem diversas maneiras de realizar esta

invers~ao:

usando a formula ou integral de invers~ao e

usando redu~ao da fun~ao a outras mais simples e om antitransformada onheida.

Na pratia geralmente s~ao usadas as tenias de redu~ao.

Redu~ao

Para usar redu~ao basta apliar as propriedades das transformadas e o onheimento

de pares transformados basios usualmente em tabelas.

De forma geral, usando deomposi~ao e fra~oes elementares, e possvel, apliando

linearidade, obter a fun~ao x de forma simples. Tambem pode se usar o metodo de

identia~ao da serie de pote^nias em z.

Exemplo: Veremos fra~oes pariais e series de pote^nia

X(z) =

1

z

2

1

j z j> 1

Veremos primeiro omo deompor em fra~oes pariais.

X(z) =

A

z 1

+

B

z + 1

A =

z 1

z

2

1

j

z=1

=

1

2

B =

z + 1

z

2

1

j

z=1

=

1

2

Logo

X(z) =

1=2

z 1

1=2

z + 1

=

1

2

z

1

z

z 1

| {z }

(1)

n

1(n)

1

2

z

1

z

z + 1

| {z }

(1)

n

1(n)

Usando tabelas temos:

x(n) =

1

2

1(n 1) +

1

2

(1)

n

1(n 1) =

(

1 8 n par n 2

0 8 outro n

Usaremos agora a serie (dividindo numerador e denominador)


1

z

2

1

=

z

2

1 z

2

= z

2

1

1 z

2

Logo

1

z

2

1

= z

2

1 + z

2

+ z

4

+

= z

2

+ z

4

+

que e onvergente para j z j > 1.

1

z

2

1

=

1

X

n=1

x(n)z

n

onde

x(n) =

(

1 se n 2 e par

0 em outro aso

que e o resultado ja obtido.

2.3.1 Aplia~ao a equa~oes a diferenas e sistemas

Seja uma equa~ao a diferenas linear e a oeientes onstantes, representando um

sistema linear e invariante no tempo:

Q()y = P ()u = operadoravano

onde

(

y(k) = sada

u(k) = entrada

Se alulamos Z [y(k) = Y (z) e Z [u(k) = U(z) e lembrando as propriedades da

transformada Z temos:

Z [Q()y = Z [P ()u

Z

q

n

n

y + q

n1

n1

y + + q

1

y + q

0

y

= Z

p

m

m

u+ p

m1

m1

u+ + p

0

u

Supondo ondi~oes iniiais nulas obtem-se:


q

n

z

n

Y (z) + q

n1

z

n1

Y (z) + + q

0

Y (z) = p

m

z

m

U(z) + p

m1

z

m1

U(z) + + p

0

U(z)

ou

Q(z)Y (z) = P (z)U(z)

que leva a equa~ao algebria que dene Y (z):

Y (z) =

P (z)

Q(z)

U(z)

Logo, onheida u(k), alula-se U(z) e a seguir Y (z) e utilizando a transformada inversa,

y(k).

No aso de ondi~oes iniiais n~ao nulas a solu~ao estara omposta, da mesma forma que no

aso ontnuo, por duas partes: uma que depende de U(z) e outra das ondi~oes iniiais.

Ilustraremos isto om alguns exemplos.

2.3.2 Exemplos

Exemplo 1: Considera-se um algoritmo de ontrole disreto onde a lei implementada

pelo omputador tem por objetivo apliar un sinal igual a integral do erro entre o sinal

de refere^nia e a sada:

e(k) = y

r

(k) y(k)

O alulo da integral do erro pode ser aproximada pela somatoria dos valores do erro

multipliados pela largura do tempo entre k e k + 1, que para simpliar onsideraremos

igual a 1.

u(k) =

k

X

0

e(i)

e para o passo anterior:

u(k 1) =

k1

X

0

e(i)

o que pode ser oloado de forma reursiva omo:

u(k) = u(k 1) + e(k):


Desta forma a lei de ontrole resulta:

u(k) = u(k 1) + y

r

(k) y(k):

Apliando transformada Z nesta equa~ao e usando as propriedades:

U(z) = U(z)z

1

+ Y

r

(z) Y (z)

U(z)(1 z

1

) = Y

r

(z) Y (z)

U(z) =

Y

r

(z) Y (z)

(1 z

1

)

que permite alular o sinal de ontrole se onheemos a refere^nia e a sada do sistema.

Exemplo 2: Qual a diferena om o exemplo anterior se o algoritmo e do tipo propor-

ional mais integral?

Usando as propriedades da transformada basta alular a parte proporional e somar

ao resultado do exemplo anterior.

u(k) = Ke(k)

U(k) = KE(z) = K(Y

r

(z) Y (z))

U(z) = K(Y

r

(z) Y (z)) +

Y

r

(z) Y (z)

(1 z

1

)

e nalmente:

U(z) = (K +

1

(1 z

1

)

((Y

r

(z) Y (z))

Captulo 3

Interonex~ao de sistemas ontnuos e

disretos

Em muitas aplia~oes e neessario ou resulta pratio utilizar ontroladores disretos

para ontrolar sistemas ontnuos. Assim, do ponto de vista formal, e neessario estudar

uma forma de representar matematiamente estes sistemas hbridos.

As duas opera~oes basias para esta interonex~ao s~ao a amostragem e a interpola~ao.

Assim, dado um sistema ontnuo om entrada u(t) e sada y(t), geraremos o y(kT )

amostrando y(t) om perodo T , k " Z

+

. Ja se a sada de um sistema disreto deve ser

onetada a entrada de um sistema ontnuo, usaremos um interpolador entre ambos, que

transforma o sinal u(kT ) disreto no u(t) ontnuo. A gura 3.1 mostra estas opera~oes.

Interpoladoru(kT) u(t)

y(t) y(kT)AmostradorProcesso Continuo

Figura 3.1: Fun~oes do interpolador e do amostrador.

Como ja disutimos, duas quest~oes basias devem ser oloadas:

1. o perodo de amostragem T deve ser esolhido de forma adequada para que o sinal

amostrado ontenha toda a "informa~ao"do sinal ontnuo;

2. o interpolador pode ser de varios tipos: por degraus, linear, et. Na pratia usare-

mos somente o de degraus, tambem denominado bloqueador ou sustentador de or-

dem zero ("Zero Order Holder- ZOH) e que representaremos por uma transfere^nia

Bo(s).

Interonex~ao de sistemas ontnuos e disretos 22

Veremos ent~ao omo representar matematiamente estas opera~oes.

3.1 A amostragem

Supomos que temos um sistema ontnuo representado por H(s) om entrada u(t) e

sada y(t). Como denir T para que o sistema amostrado represente adequadamente o

sistema ontnuo? Como representar matematiamente esta transforma~ao de sinais?

A opera~ao de amostragem, realizada mediante uma have que abre e feha periodia-

mente (vide Fig.3.2), e bem simples de simular ou implementar, porem difil de analisar.

Idealmente a sada u(kT ) do amostrador om entrada u(t), e uma seque^nia de valores

representando as amostras u(t). Como e muito pequeno dene-se ru

(kT ) omo o valor

T

u

u

t t0 T 2T 3T

t

P

0

T 2T 3T

Figura 3.2: Proesso de amostragem.

da \amostra em kT".

Matematiamente idealiza-se o amostrado supondo ! 0. Na pratia o sinal u(kT )

sera um sinal tipo pulso ontnuo de largura t e amplitude u(kT ), omo se mostra na

gura 3.2.

Dado que a largura do pulso e muito pequena, onsidera-se uma idealiza~ao onde os pulsos

s~ao substitudos por impulsos de a~ao u(kT ). Assim denimos um sinal u

(t) dado por:

u

(t) =

1

X

k=0

u(t)(t kT )

que e o resultado da modula~ao do sinal u(t) om um trem de impulsos denido omo:


p(t) =

1

X

k=0

(t kT ) ) u

(t) = u(t)p(t)

Esta representa~ao n~ao e real, mas faz-se neessaria para a analise matematia do

problema e os resultados obtidos pela teoria s~ao ondinentes om a pratia. Calulando

as transformadas de Laplae de u

(t) temos:

U

(s) = Lfu

(t)g =

Z

1

0

e

st

u

(t)dt

=

Z

1

0

e

st

u(t)

1

X

1

(t kT )dt =

1

X

1

Z

1

0

e

st

u(t)(t kT )dt

=

1

X

1

Z

1

0

e

st

u(t)(t kT )dt =

1

X

1

e

skT

u(kT )

pois u(t) = 0 8t < 0. Como

s = + j! ) U

(s) =

1

X

1

e

kT

u(kT )e

j!kT

que om = e

T

gera a transformada Z de u(kT ). Assim z = e

(+j!)T

= e

sT

e

U

(s) = Zfu(kT )g = U(z) (3.1)

z = e

sT

$ s =

1

T

ln z

Isto dene uma rela~ao entre o planos omplexos s e z, que permite relaionar diversas

quest~oes de sistemas ontnuos om seus pares amostrados.

Vejamos agora omo esolher o valor de T . Para isto onsideramos que um sinal

ontnuo u(t) e amostrado e depois deve ser reuperado sem perda de informa~ao. Con-

siderando que o sinal u(t) tem um espetro em freque^nia u^(f) alulado omo:

u^(f) =

Z

1

1

u(t)e

j2ft

dt

om uma forma omo a da gura 3.3.

Ja o sinal amostrado tera:


ffo-fo

u(f)

Figura 3.3: Espetro em freque^nia u^(f).

u^

(f) =

Z

1

1

k=1

X

k=1

u(t)(t kT )e

j2ft

dt =

=

k=1

X

k=1

Z

1

1

u(t)(t kT )e

j2ft

dt =

k=1

X

k=1

u(kT )e

j2fkT

que e periodia de perodo 1=T .

Desta forma o espetro do sinal amostrado tera uma forma omo a da gura 3.4.

Desta forma, somente quando os espetros repetidos n~ao estejam superpostos sera possvel

limitado a fo

f

Espectro em frequencia

u(f)

-fo fo1/2T-1/2T-3/2T 3/2T

Figura 3.4: Espetro em freque^nia u^

(f).

reuperar o espetro original do sinal u(t) utilizando um ltro passa baixas.

Esta ondi~ao esta dada pelo teorema de amostragem ou teorema de Shannon.

Teorema de Shannon

Se a transformada de Fourier de um sinal ontnuo u(t) e nula para todo f > f

0

, isto

e, u^(f) 0 8 f > f

0

, ent~ao u(t) pode ser determinada de forma unia a partir de suas

amostras u(kT ) se o perodo de amostragem e esolhido veriando a rela~ao:

T

1

2f

0


Observa~oes:

1. O teorema oloa que, amostrando um sinal x(t) om uma freque^nia pelo menos

duas vezes maior do que a maior das omponentes em freque^nia do sinal, e possvel

reuperar toda a informa~ao ontida em x(t) a partir de x(kT ). Isto a bem laro

a partir da analise graa pois n~ao ha superposi~ao de espetros.

2. Teniamente os sinais utilizados na pratia tem espetro em freque^nia n~ao limi-

tado, isto e, x^(f) 6= 0 8 f > 0 e assim o teorema indiaria usar T 0. Porem,

omo na pratia os sinais tem a maior parte da sua energia ondensado em baixas

freque^nias, e possvel ahar uma freque^nia f

0

para a qual x^(f) ' 0 8 f > f

0

.

3. Devido ao solapamento do espetro do sinal original e a suas replias aparee um

efeito de distor~ao onheido omo "aliasing"que impede a orreta reupera~ao do

sinal original.

Na gura 3.5 mostra-se um espetro em freque^nia de um sinal real om o aliassing.

aliassing

f

u(f)

1/2T-1/2T-3/2T 3/2T

Espectro em frequencia sinal real

Figura 3.5: Espetro em freque^nia dum sinal real amostrado.

Alem desta quest~ao, na pratia apareem alguns outros problemas. Em geral o sinal que

se deseja amostrar vem aompanhado de rudos que alteraram o espetro original. Assim,

normalmente s~ao utilizados ltros analogios passa baixa que eliminam boa parte do rudo

e limitam o espetro do sinal a ser amostrado a uma freque^nia f

0

. Este tipo de ltro e

onheido omo "ltro anti-aliasing"pois evitam a distor~ao riada pela superposi~ao do

sinal e seus "alias".

3.2 Analise da onex~ao Interpolador - Sistema

ontnuo

Estudaremos agora o problema de onetar um sistema disreto om um sistema

ontnuo atraves de um interpolador ou bloqueador. Como foi oloado anteriormente, o

objetivo do bloqueador onsiste em reuperar o sinal ontinuo a partir do sinal disreto.


Usaremos o ZOH omo interpolador. Para representar matematiamente este bloo ZOH

utilizaremos novamente a amostragem ideal. Observa-se que a sada veria:

u(t) =

1

X

k=0

u(kT ) [1(t kT ) 1 (t (k + 1)T ) k " Z

+

(3.2)

om t " [kT; (k + 1)T .

Lembrando que:

1(t kT ) 1[t (k + 1)T =

(

1 8 t " [kT; (k + 1)T

0 outro aso

u(kT ) india o valor do degrau

Se desejamos obter na sada do ZOH um sinal u(t) igual ao da gura 3.6, teremos que

integrar os pulsos, ja que:

d1(t)

dt

= (t)

Como o valor u(kT ) deve ser mantido somente entre kT e (k + 1)T , devemos usar o

proprio sinal integrado atrasado de T . Graamente isto e mostrado na gura 3.6, onde

u

d

= u(kT ).

(k + 1)T

u

u

d

t

t

B

0

(s)

kT

Figura 3.6: Transforma~ao dos pulsos em degraus.

Idealmente transforma-se um impulso em um pulso. Na Fig.3.7 se representa um

pulso omo a diferena de dois degraus desloados no tempo. Esta representa~ao ma-

tematia permitira determinar a fun~ao de transfere^nia do bloqueador, omo sera visto

a ontinua~ao.

Assim temos:

u

(t) =

Z

1

0

u

d

(t)dt

Z

1

0

u

d

(t T )dt

Apliando Laplae:

U

(s) =

1

s

U

d

(s)

1

s

e

sT

U

d

(s)


kT

u

0

u

u

0

u

u

0

u

t

t

t

kT (k + 1)T

(k + 1)T

Figura 3.7: Representa~ao matematia do pulso.

A fun~ao de transfere^nia do ZOH e:

Bo(s) =

U

(s)

U

d

=

1

s

1 e

sT

3.3 Fun~ao de transfere^nia amostrada

Tendo omo representar o ZOH, sera possvel estudar a Fun~ao de Transfere^nia (FT)

de um sistema amostrado ligado a sistemas disretos. Como a parte disreta do sistema

so tem validade para t = kT om k " Z

+

, n~ao sera possvel estudar o sistema ompleto

em tempo ontnuo, mas apenas nos instantes de amostragem. Assim aharemos a fun~ao

de transfere^nia amostrada do sistema ZOH + proesso, omo se mostra na gura 3.8.

Bo(s) Processo Continuou(kT) u(t) y(t) y(kT)

Figura 3.8: Sustentados em asata om o proesso

A seguir alularemos

Y (z)

U(z)

= H(z). A fun~ao resposta impulsiva da asata ZOH +

proesso e:

h(t) = g(t) b

0

(t)


e apliando a transformada de Laplae tem-se que:

H(s) = G(s)Bo(s) = Bo(s)G(s)

Ao amostrar om perodo T riamos a fun~ao h(kT ) e logo usando transformada Z

obtemos H(z).

H(z) =

Y (z)

U(z)

= Z

+

fh(kT )g = T

1

X

k=0

h(kT )z

k

Como em geral onheemos H(s) e n~ao h(t), deveramos fazer:

H(s)

L

1

! h(t)

Amost

! h(kT )

Z

! H(z)

porem existe uma forma direta para passar de H(s) ! H(z). Notaremos ent~ao que

H(z) = ZfH(s)g e alularemos esta rela~ao usando tabelas de transformadas. Apliando

esta ideia ao produto Bo(s)G(s) tem-se:

Z fZOH:G(s)g = Z

1 e

sT

s

G(s)

= Z

G(s)

s

Z

e

sT

G(s)

s

= Z

G(s)

s

z

1

Z

G(s)

s

=

1 z

1

Z

G(s)

s

= BoG(z)

BoG(z) =

1 z

1

Z

G(s)

s

Que da uma forma geral para o alulo da FT amostrada de um proesso quaisquer.

3.3.1 Ganho estatio de um sistema

Supomos um sistema linear representado pela sua FT H(). Consideremos uma en-

trada u(t) tal que lim

t!1

u(t) = U

1

= te e que o sistema seja estavel, isto e, a sada

y(t) veriara lim

t!1

y(t) = Y

1

= te. Assim o ganho estatio de H() e denido omo:

K

e

= ganho estatio =

Y

1

U

1

(3.3)

Se lembramos as propriedades das transformadas Z e L temos:

aso disreto:


U

1

= lim

z!1

(z 1)U(z) vale pois 9 lim

n!1

U(n)

Y

1

= lim

z!1

(z 1)Y (z) = lim

z!1

(z 1)H(z)U(z)

Como o sistema e estavel ! polos om j j< 1 ) lim

z!1

H(z) existe. Assim

Y

1

= lim

z!1

(z 1)U(z) lim

z!1

H(z) = U

1

lim

z!1

H(z)

Impliando:

lim

z!1

H(z) =

Y

1

U

1

= K

e

(3.4)

valida se

i

= polo de H(z) j

i

j< 1 8 i.

Nota: lembrei que para o aso ontnuo o ganho estatio se determinava omo mostrado

a seguir:

U

1

= lim

s!0

sU(s)

Y

1

= lim

s!0

sY (s) = lim

s!0

sH(s)U(s) = U

1

lim

s!0

H(s)

lim

s!0

H(s) =

Y

1

U

1

= K

e

(3.5)

valida se

i

= polo de H(s) Re(s) < 0 8 i.

Exemplos: Sejam os sistemas representados pelas FT:

(1)H(s) =

2

1 + 3s

(2)H(s) =

5(s+ 1)

s(s+ 2)

(3)H(z) =

z + 1

z + 0:5

(4)H(z) =

z

z + 2

Calular o ganho estatio de ada uma.

1. Como H(s) tem polo p = 1=3, o sistema e Entrada-Limitada-Sada-Limitada

estavel (ELSL-estavel) e ent~ao pode-se obter:


K

e

= lim

s!0

H(s) = 2

2. Como H(s) tem polos p = 2 p = 0, o sistema e ELSL-instavel. 6 9K

e

.

3. Como H(z) tem polo p = 0:5, o sistema e ELSL-estavel

K

e

= lim

z!1

H(z) = 4=3

4. Como H(z) tem polo p = 2, o sistema e ELSL-instavel. 6 9K

e

.

Exemplo: Filtro digital

y(n+ 1) ay(n) = (1 a)u(n+ 1) a 6= 0; a 6= 1

Z fy(n+ 1) ay(n)g = Z f(1 a)u(n+ 1)g

(z a)Y (z) = (1 a)zU(z)

H(z) =

Y (z)

U(z)

=

(1 a)z

z a

j z j>j a j

que tem polo em z = a, um zero em z = 0 e ganho unitario.

3.3.2 Exemplos

Exemplo 1: seja o sistema de ontrole disreto representado na Fig.3.9, omposto por

uma planta ontnua (representado pela sua fun~ao de transfere^nia mais a do bloqueador)

e o algoritmo de ontrole disreto. Para poder estudar este sistema hbrido devemos

determinar a fun~ao de transfere^nia disreta (apliando a transformada Z) para:

1. o algoritmo disreto(equa~ao a diferenas);

2. o onjunto proesso + bloqueador (transfere^nia no plano s).

Consideremos primeiro o aso da transformada do algoritmo disreto e vamos supor

que a lei de ontrole disreta orresponde om um ontrolador tipo PI, ujas equa~oes a


u(kT )

Tr(z)

s(z)E(z)

Bloo

s(kT )e(kT )

C

r(kT )

y(kT )

+

B

0

G(s)

y(t)

Figura 3.9: Fun~ao de transfere^nia em z

diferenas s~ao:

8

>

:

u

1

(k) = k

1

e(k)

u

2

(k) = u

2

(k 1) + k

2

Te(k)

u(k) = u

1

(k) + u

2

(k)

A transformada z para ada termo da express~ao anterior sera ent~ao:

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

U

1

(z) = k

1

E(z)

U

2

(z) = U

2

(z)z

1

+ k

2

TE(z)

U

2

(z) =

k

2

T

1 z

1

E(z)

U(z) = k

1

+

k

2

T

1 z

1

E(z)

Portanto a fun~ao de transfere^nia disreta do ontrole sera:

C(z) =

U(z)

E(z)

= k

1

+

k

2

T

1 z

1

Em segundo lugar, determinaremos a transformada Z do onjunto proesso + bloque-

ador, omo mostrado na Fig.3.10.

u(kT )

1

1+s

y(kT )

B

0

y(t)

Figura 3.10: Proesso + bloqueador de ordem zero.

BoG(s) =

1

s

(1 e

Ts

)

1

1 + s


BoG(s) =

1

s

1

1 + s

e

Ts

1

s

1

1 + s

BoG(s) = (1 z

1

)

1

s

1

1 + s

BoG(z) = (1 z

1

)

z(1 e

T

)

1

(z 1)(z e

T

)

BoG(z) =

(1 e

T

)

1

1 e

T

Exemplo 2: seja a fun~ao de transfere^nia T (z) orrespondente ao onjunto proesso

e bloqueador de um sistema de ontrole, representado na Fig.3.11.

B

0

y(k)

k

p

1+s

p

1

1+s

T

u(k)

Figura 3.11: Bloqueador + pro

esso + amostrador do exemplo 2.

BoG(s) =

1

s

(1 e

Ts

)

1

1 + s

T

k

p

1 + s

p

BoG(z) = (1 z

1

)Z

k

p

s(1 + s

T

)(1 + s

p

)

Regra geral

BoG(z) = (1 z

1

)Z

G(s)

s

BoG(z) =

z 1

z

Z

8

>

>

>

:

k

p

T

p

s(s+

1

T

)(s+

1

p

)

9

>

>

=

>

>

;

Deomposi~ao para usar tabela


k

p

(

T

p

)

1

s(s+

1

T

)(s+

1

p

)

=

k

p

s

+

k

p

1

p

1

p

1

T

s+

1

T

+

k

p

1

T

1

T

1

p

s+

1

p

=

k

p

s

+

k

p

T

T

p

s+

1

T

+

k

p

p

p

T

s+

1

p

BoG(z) =

k

p

1 z

1

+

z

k

p

T

T

p

z e

T

T

+

z

k

p

p

p

T

z e

T

p

e agrupando tem-se a fun~ao de transfere^nia disreta da planta:

BoG(z) =

k

p

(z z

0

)

"

(1 e

T

T

)(1 e

T

p

)

(1 z

0

)

#

(z e

T

T

)(z e

T

p

)

Observe que:

existe uma rela~ao entre os polos da planta ontnua e da planta disretizada dada

por z = e

Ts

.

os zeros de ambas transfere^nias s~ao diferentes e n~ao guardam rela~ao alguma entre

si.

o ganho estatio de ambas transfere^nias deve ser o mesmo. O ganho estatio de

G(s) se determina fazendo s ! 0, desta forma obtem-se G(s) = G(0) = G

0

. Para

determinar o ganho estatio de BoG(z), se faz z ! 1, BoG(z) = BoG(1). Deve,

ent~ao, veriar-se que G

0

= BoG(1).

Estas tre^s observa~oes permitem validar se a transforma~ao de um domnio a outro, foi

realizada om suesso.

Para a esolha do tempo de amostragem T , vamos supor ertos valores dos para^metros

do sistema e deniremos os objetivos de ontrole omo:

Resposta em malha aberta om t

subida

' 1:5

p

= 30 seg


Resposta em malha fehada: Ajustar para t

subida

' 10 seg

Uma possvel esolha para o tempo de amostragem pode ser T =

t

sub

10

= 1 seg. Com

estes valores a fun~ao de transfere^nia disreta e:

BoG(z) = G(z) =

4:18(z + 0:35)

(z 0:951)(z 0:036)

A representa~ao polo-zero da fun~ao G(z), no plano Z, e mostrada na 3.12.

0.951-0.35 0.036

dois polos

zero

negativo

-1

j!

1

Figura 3.12: Representa~ao polo-zero da fun~ao G(z) no plano Z.

Exemplo 3: Analisar as fun~oes de transfere^nia ontnua e amostrada dos sistemas abai-

xo.

a) G(s) =

2

1 + s

b) G(s) =

3

s 2

) G(s) =

1

(1 + 2s)(1 + 3s)

Para o aso (a): G(s) =

2

1 + s

BoG(z) =

z 1

z

Z

2

s(s+ 1)

=

z 1

z

z(1 e

T

)

(z 1)(z e

T

)

Esolhendo T = 0:2 seg., tem-se

BoG(z) =

0:4

z 0:8


R

I

-1

Figura 3.13: Representa~ao polos de G(s) no plano S, para o aso a).

0.8

-1

R

I

1

Figura 3.14: Representa~ao polos de BoG(z) no plano Z, para o aso a

I

R2

Figura 3.15: Representa~ao polos de G(s) no plano S, para o aso b


Caso (b): G(s) =

3

s 2

Esolhendo T = 0:2 seg, e

2T

= 1:49, hega-se a

BoG(z) =

z 1

z

Z

3

s(s 2)

=

z 1

z

:

z(1 e

2T

)

(z 1)(z e

2T

)

BoG(z) =

0:49

z 1:49

-1

I

R

1.49

1

Figura 3.16: Representa~ao polos de BoG(z) no plano Z, para o aso b

Caso (): G(s) =

1

(1 + 25)(1 + 35)

=

1

6

(s+

1

2

)(s+

1

3

)

1

2

I

R

1

3

Figura 3.17: Representa~ao polos de G(s) no plano S, para o aso

Esolhendo T =

3

10

= 0:3 seg. e apliando tabela de transformadas ou utilizando o

programa MATLAB, hega-se a

BoG(z) =

k

p

(z z

0

)

(1 a)(1 b)

1 z

0

(z a)(z b)

om a = e

0:3

2

=

0:86, b = e

0:3

3

=

0:90, z

0

= 0:92, k

p

= 1 (ganho do sistema

ontnuo).


A fun~ao disreta e

BoG(z) =

0:0069(z + 0:92)

(z 0:86)(z 0:9)

:

Note que esta fun~ao de transfere^nia apresenta um zero negativo.

3.3.3 Rela~ao plano S - plano Z

A rela~ao entre os planos S e Z pode ser obtida mapeando pontos de um plano no

outro utilizando a rela~ao z = e

sT

. Na Fig.3.18, se mostra a orresponde^nia que existe

entre diferentes regi~oes do plano S e do planoZ.

jzj < 1

z

1

1

Im

Re

s

Re(s) < 0

a

Im

s

0

Re

Re(s) <

0

a = e

T

0

jzj < a

z

1

1

espiral

Im

Re

s

Re(s) > Im(s)

em z

z

1

1

0

Im

Re

s

z

1

1

a

Combina 2 e 3

Figura 3.18: Rela~ao plano S - plano Z.

Observe que:

o limite de estabilidade e o rulo unitario;

z = 1 no plano Z se orresponde om s = 0 no plano S;


os lugares geometrios no plano Z forneem informa~ao normalizada em rela~ao ao

perodo de amostragem T mais que em rela~ao ao tempo omo aontee no plano

S;

o eixo real negativo do plano Z sempre representa a freque^nia ! =

2

=

!

0

2

onde

!

0

=

2

T

e a freque^nia de amostragem;

lineas vertiais no semiplano negativo do plano S orrespondem a rulos dentro

do rulo unitario do plano Z;

lineas horizontais no plano S, (j! = te), mapeiam-se em lineas radiais no plano Z;

freque^nias ! >

!

0

2

=

2

(denominada freque^nia de Nyquist) apareem superpostas

a outras freque^nias devido a natureza das fun~oes trigonometrias e

j!

= os(!T )+

j sin(!T ). Este solapamento e onheido omo feno^meno de "aliasing"e, portanto,

para evitar este efeito e neessario amostrar apliando o Teorema de Shannon, omo

foi visto no iniio deste aptulo.

3.4 Exemplos

Exemplo 1: Seja o proesso ontnuo

G(s) =

1

s+ 1

Calulando

BoG(z) =

1 z

1

Z

1

s(s+ 1)

para perodo T e usando tabelas temos:

BoG(z) =

1 z

1

z

z 1

z

z e

T

BoG(z) =

(1 e

T

)z

z e

T

Exemplo 2: Seja o proesso ontnuo

G(s) =

3

(s+ 1)(s+ 3)

=

1

(1 + s)(1 + s=3)

Calulando


BoG(z) =

1 z

1

Z

3

s(s+ 1)(s+ 3)

para perodo T e usando tabelas temos:

BoG(z) =

1 z

1

z

z 1

3

2

z

z e

T

+

1

2

z

z e

3T

Deve-se observar aqui que na transforma~ao o numero de polos e mantido e que logia-

mente estes dependem do perodo de amostragem T . Ja quanto aos zeros o numero pode

variar.

Captulo 4

Estabilidade e resposta no tempo

Estabilidade e um oneito muito importante na teoria de ontrole. Existem varias

formas de denir estabilidade que se apliam a diferentes ondi~oes de trabalho dos sis-

temas. Quando se trabalha om sistemas representados por fun~ao de transfere^nia e

normal utilizar o oneito de estabilidade Entrada Limitada - Sada Limitada (ELSL).

Neste aptulo deniremos este tipo de estabilidade, num segundo passo estudaremos

alguns metodos de analise de estabilidade de sistemas em malha fehada (MF).

4.1 Deni~ao e rela~ao om a fun~ao de transfere^nia

Caso ontnuo:

Um sistema entrada sada e dito ELSL (Entrada Limitada - Sada Limitada) estavel

se a resposta y(t) a toda entrada u(t) om amplitude nita tem amplitude nita 8 t 0.

se jjujj

1

Estabilidade e resposta no tempo 41

todos os polos da fun~ao de transfere^nia disreta tem j z j< 01 (ou seja pertenem

ao interior do irulo unitario no plano Z);

sistema Proprio.

4.2 Estabilidade e resposta no tempo

A estabilidade e a resposta no tempo est~ao intimamente relaionadas. Um sistema e

estavel, se para uma entrada limitada gera uma sada tambem limitada. Para estudar

a estabilidade de um sistema qualquer em malha aberta basta analisar os polos de sua

fun~ao de transfere^nia propria. Para isto podem ser utilizados metodos analtios ou

numerios de alulo de razes de polino^mios.

Exemplo: Seja o sistema da Fig.4.1 dado pela seguinte fun~ao de transfere^nia

G(s) =

b

s+ a

om b 6= 0 e onsidere uma entrada do tipo degrau unitario, omo mostrado na Fig.4.2.

sada

entrada

SISTEMA

Figura 4.1: Sistema linear.

u

t

Figura 4.2: Sinal de entrada tipo degrau apliado ao sistema.

Dependendo do valor do para^metro a a sada do sistema sera estavel ou instavel (vide

Fig.4.3).

A ondi~ao de estabilidade do sistema esta dada por a > 0.

4.2.1 Sistemas amostrados

Para o aso dos sistemas amostrados, pode-se utilizar a rela~ao existente entre o plano

S e o plano Z dado pela express~ao z = e

Ts

, om T > 0, onde s e polo do sistema ontnuo


t

Instavel

Estavel

a < 0

a = 0

a > 0

y

Figura 4.3: Resposta do sistema a entrada degrau.

e z e polo do sistema amostrado, para estudar a estabilidade do sistema. A ondi~ao de

estabilidade para os sistemas ontnuos Re(z) < 0 passa a ser j z j< 1. Na gura 4.4, se

mostra a regi~ao de estabilidade no plano Z.

j z j< 1

I

m

(z)

R

e

(z)-1 1

Figura 4.4: Regi~ao de estabilidade j z j< 1 no plano Z.

Exemplo: Seja o sistema denido pela fun~ao de transfere^nia disreta

G(z) =

b

z

(4.1)

Considerando uma entrada tipo degrau dada por

U(z) =

z

z 1

(4.2)


a sada do sistema no domnio da transformada Z e

y(z) =

bz

(z 1)(z )

Da mesma forma, se utilizamos a tabela de transformadas, o alulo da sada Y (z)

resultara em

y(z) =

z(1 e

aT

)

(z 1)(z e

aT

)

onde

b = 1 e

aT

= e

aT

A resposta no domnio do tempo obtem-se apliando a transformada Z inversa a Y (z)

y(kT ) = 1 e

akT

:

Analisando a express~ao da resposta obtida, tem-se que: (i) se jj < 1, ent~ao aT > 0 e

portanto a sada y(kT ) e uma exponenial limitada, omo se mostra na Fig.4.5.

limitada

y

t = kT0 T 2T

: : :

: : :

sada

Figura 4.5: Sada limitada y(kT ) para j j< 1.

(ii) Se jj > 1, ent~ao aT < 0 e portanto y(kT ) e uma exponenial ilimitada, omo se

representa na Fig.4.6.

4.2.2 Tipos de resposta estaveis

A posi~ao dos polos da fun~ao de transfere^nia disreta F (z) no plano Z determina o

tipo de resposta do sistema. Na Fig.4.7 s~ao mostradas diferentes ongura~oes de polos e

a sua orrespondente resposta disreta no domnio do tempo.

Respostas mais rapidas no domnio do tempo impliam em polos de F (z) om menor

j z j (Vide Fig.4.8).


sada ilimitada

y

t = kT0 T 2T : : :

: : :

Figura 4.6: Sada ilimitada y(kT ) para j j> 1.

-1

Re(z)

Im(z)

1

Figura 4.7: Rela~ao polos - resposta no tempo.

-1

Im(z)

Re(z)

t

y

1

Figura 4.8: Rela~ao polos - resposta no tempo. Caso polos reais.


Respostas menos osilatorias no domnio do tempo impliam em uma menor rela~ao

Imag(p)

Real(p)

, onde p representa o polo do sistema (Vide Fig.4.9).

-1

Im(z)

Re(z)

y

t

1

Figura 4.9: Rela~ao polos - resposta no tempo. Caso polos omplexos onjugados.

4.3 Estabilidade de sistemas om para^metros va-

riaveis

Na maioria das aplia~oes de ontrole a fun~ao de transfere^nia do sistema que se deseja

estudar depende de um ou varios para^metros. Estes para^metros podem ser de ajuste para

o melhor funionamento do sistema, ou apenas varia~oes proprias das araterstias do

mesmo. Assim, por exemplo, o ganho de um ampliador pode ser um para^metro de

ajuste, e o valor da resiste^nia do estator de uma maquina um para^metro que varia om

as ondi~oes de opera~ao.

Devido a estes motivos interessa estudar a estabilidade ou posi~ao dos polos de um

sistema quando variamos estes para^metros. A analise deve-se fazer variando-se um

para^metro por vez. Assim a equa~ao que determina os polos do sistema resulta:

P (z;K) = 0 K 2 < para^metro variavel

Determinando as razes do polino^mio araterstio P (z;K) e possvel estudar a es-

tabilidade ou estabilidade relativa do sistema para diferentes valores de K. Porem, se

interessa n~ao somente determinar se o sistema e estavel mas tambem onheer a varia~ao

dos polos om o para^metro K pode-se utilizar a ferramenta de Lugar das Razes (LR). Su-

ponhamos que na equa~ao P (z;K) = 0 o para^metro K varia linearmente. Ent~ao pode-se

oloar:


P (z;K) = A(z) +KB(z) = 0 ou 1 +K

B

A

(z) = 0 (4.3)

e estudar a solu~ao da equa~ao 4.3 omo sendo:

z 2 C tq

B

A

(z) =

1

K

e omo K 2 < pode-se oloar:

8

>

>

>

>

>

>

>

:

B

A

(z)

=

1

jKj

'B

A

(z)

=

(

(2i + 1) se K > 0

(2i) se K < 0

i 2 Z

(4.4)

A vantagem desta ultima express~ao e que ela permite, de uma forma simples, a ons-

tru~ao do grao das trajetorias que seguem as razes da equa~ao 4.3 quando varia o

para^metro K. O metodo torna-se ainda mais interessante quando observamos que a ex-

press~ao 4.3 representa a equa~ao araterstia da fun~ao de transfere^nia do sistema da

gura 4.10:

Y (z) =

K B=A

1 +K B=A

Assim o metodo de LR permite estudar a varia~ao dos polos de MF de um sistema om

uyr yeB(s)/A(s)

processo1

K

ganho varivel

Figura 4.10: Diagrama de bloos do sistema om ontrole K.

fun~ao de transfere^nia de malha aberta K B=A(z) quando K 2 (1;1). Estudaremos

agora as regras basias do LR.

4.3.1 Lugar das Razes

Todos os oneitos e regras de traado ontnuo s~ao validas para o aso disreto. As

diferenas est~ao no estudo da estabilidade. Calulemos as razes dos polino^mios A(z) e

B(z) supostos mo^nios. As express~oes da equa~ao 4.4 resultam:


Q

m

l=1

jz+z

l

j

Q

n

j=1

jz+p

j

j

=

1

jKj

P

m

l=1

'(z + z

l

)

P

n

j=1

'(z + p

j

) =

(

(2i+ 1) K > 0

(2i) K < 0

(4.5)

Observamos ent~ao que se identiamos as express~oes 4.5 om o diagrama da Fig.??:

p

j

= polos de malha aberta (MA) do sistema

z

l

= zeros de MA do sistema

A express~ao da fase tem uma interpreta~ao graa simples: a soma das ontribui~oes

de fase para um dado ponto do plano omplexo z deve somar (2i+1) se K > 0 ou (2i)

se K < 0.

Apos estabeleer a ondi~ao na fase e simples alular o valor de K

0

omo K

0

=

A(z

0

)=B(z

0

).

Baseado neste prinpio a onstru~ao do LR pode ser feita onsiderando apenas a

ondi~ao de fase. A determina~ao dos valores K para ada ponto apenas dara a parame-

triza~ao da urva. Veremos ent~ao as regras basias obtidas de apliar 4.5.

4.3.1.1 Regras Basias de Constru~ao do LR

Disutiremos as regras onsiderando K >= 0 sendo que para K < 0 os resultados s~ao

omplementares.

1) Pontos Espeiais: K = 0 e K !1

Se K = 0 a equa~ao A(z) + KB(z) = 0 tem solu~ao A(z) = 0 ou seja as razes de

A(z), que hamamos de polos de MA. (p

j

)

Se K !1 a equa~ao

B(z)

A(z)

=

1

K

diz que

B(z)

A(z)

! 0

ou seja que z !zeros da fun~ao de transfere^nia de MA que s~ao os valores:

(

z

l

razes de B(z)

z !1 se o grau B(z) < grau A(z)

Observamos que B(z)=A(z) tem tantos zeros em z ! 1 quanto a diferena de grau

do denominador e numerador.

Assim o LR omeara (K = 0) nos polos de MA e terminara (K ! 1) nos zeros de

MA.

E bom observar que se grauB > grauA ent~ao o LR omeara no innito pois existiram


p

j

innitos. QuandoB(z)=A(z) representa um sistema real isto n~ao pode aonteer, porem

omo o metodo permite o estudo de razes de equa~oes do tipo P (z;K) = 0 os polino^mios

A e B podem n~ao ter signiado fsio.

2) Ramos do LR

Dada a ontinuidade da solu~ao da equa~ao P (z;K) = 0, quando variamos K de

forma ontnua, o LR sera formado por \ramos" ou urvas ontnuas que uniram pontos

de partida p

j

om pontos de hegada z

l

no plano z.

A quantidade de ramos sera igual ao maior de (grauA; grauB).

3) Simetria do LR

Como os oeientes da equa~ao P (z;K) = 0 s~ao reais, as razes z omplexas apa-

reer~ao sempre em pares onjugadas e por tanto o LR sera simetrio em rela~ao ao eixo

real.

4) Comportamento Assintotio

Quando o LR e tal que para algum K, z !1 e possvel oloar que:

B(z)

A(z)

=

z

n

z

m

=)

z

n

z

m

=

1

K

Assim os a^ngulos das assntotas do LR veriam:

i

=

(2i+1)

nm

i = 0; 1; 2; : : : jnmj 1

e s~ao laramente simetrios em rela~ao ao eixo real.

5) Interse~ao de Assntotas

Todas as assntotas se ruzam num ponto no eixo real dada a simetria do LR. Alem

disto, este ponto pode ser determinado pela express~ao:

=

P

p

j

P

z

l

nm

p

j

= polos nitos

z

l

= zeros nitos

6) LR no Eixo Real

O omportamento do LR no eixo real pode ser estudado failmente apliando a on-

di~ao de fase do LR da equa~ao 4.5. Para pontos sobre o eixo real a ontribui~ao das

singularidades fora do eixo e nula. Por outro lado a ontribui~ao das singularidades no

eixo vale 0 ou , segundo z esteja a direita ou a esquerda da singularidade respetiva-

mente. Assim um ponto do eixo real pertene ao LR se tem a sua direita um numero

de singularidades mpar (K 0) e par (K


A equa~ao P (z;K) = 0 pode ter solu~oes multiplas, isto e, para um mesmo valor de

K uma raiz z tem multipliidade maior que um. Isto pode ser interpretado omo um

ruzamento de ramos no LR. A quantidade de ramos que se ruzam e igual a ordem de

multipliidade da raiz. Para determinar estes pontos lembra-se que se z

0

e raiz multipla

de P (z;K) = 0 vale que:

d

m1

P (z;K)

dz

m1

z=z

0

= 0

m = 1; 2; : : :M

M = ordem de multipliidade de z

0

Usando a igualdade para m = 1, e m = 2 temos:

A(z) +KB(z) = 0

dA(z)

dz

+K

dB(z)

dz

= 0

9

>

=

>

;

=)

dA

dz

+

A

B

dB

dz

= 0

z = raiz multipla

ou seja:

B(z)

dA

dz

A(z)

dB

dz

= 0 z raiz multipla

Mas

K =

A

B

)

dK

dz

=

1

B

2

dA

dz

B

dB

dz

A

dK

dz

=

1

B

2

B(z)

dA

dz

A(z)

dB

dz

Se

dK

dz

z=z

0

= 0 )

B(z)

dA

dz

A(z)

dB

dz

z=z

0

= 0

ou seja, usando a express~ao

dK

dz

podemos, alulando as razes, enontrar os possveis

valores de pontos de ruzamento. Isto pois mesmo que z

0

seja tal que

dK

dz

z=z

0

= 0 n~ao

neessariamente K(z

0

) sera real e pertenera ao intervalo onsiderado para o para^metro

K.

8) Simetria de Partes Reais

Uma outra propriedade util do LR para ter ondi~oes de esboar rapidamente o grao

e observar que quando o LR tem duas ou mais assntotas, a equa~ao A(z) +KB(z) = 0

tem os oeientes de grau n e n1 (maior e seguinte) independentes de K. Assim omo a

P

n

i=1

Re (

i

) das razes da equa~ao depende apenas destes oeientes, sera independente

de K. Assim os ramos do LR dever~ao guardar uma simetria de partes reais om a varia~ao

de K. Por exemplo, n~ao pode-se ter todos os ramos saindo no mesmo sentido do eixo

real.


Na pratia, n~ao e neessario lembrar todas as regras de onstru~ao do LR, ja que

existem paotes omputaionais (exemplo: ontrol toolbox - Matlab) que permitem traar

automatiamente o LR para um dado sistema.

4.4 Estabilidade utilizando lugar de razes

Como foi analisado a estabilidade de um sistema esta assoiada a posi~ao dos polos

no plano omplexo. Assim, um sistema e dito estavel se todos os seus polos est~ao dentro

do rulo unitario do plano Z. A estabilidade de um sistema tambem pode ser estudada

usando o metodo do lugar das razes.

Exemplo 1:

Seja o seguinte sistema de primeira ordem om ontrole proporional (Fig.4.11).

G(s) =

k

s

! Bog(z) =

b

z a

onde

8

>

>

>

:

> 0

jaj < 1

k =

b

1 a

+

T

y(k)

u(t)

y(t)

G(s)B

0

K

y

r

(k)

Figura 4.11: Sistema de ontrole orrespondente ao exemplo 1.

O ajuste do ganho do ontrolador k

e realizado utilizando o LR. A equa~ao ara-

terstia do sistema (polino^mio P (z; k)) e

1 + k

b

z a

= 0

Observando a Fig.4.12 pode ser determinado o valor do ganho do ontrolador, k

max

,

que torna o sistema instavel.

Analisando esta equa~ao tem-se que za+k

b = 0, de onde se obtem o polo, z = ak

b,

em fun~ao dos para^metros do sistema.


k

= 0

k

"

a

1-1

R

I

Figura 4.12: LR, aso disreto, para o exemplo 1.

a > 0

b > 0

k

> 0

9

>

=

>

;

! jzj < 1) ja k

bj < 1

A desigualdade 1 < a k

b < 1 pode ser analisada por partes omo mostrado a

ontinua~ao

1 a < k

b

k

b < a+ 1

k

0

a k

b < 1

a 1 < k

b

k

>

a 1

b

g < 0

De onde de deduz que o valor maximo do ganho do ontrolador e

k

max

=

a+ 1

b

Note que no aso ontnuo, i.e. para G(s) =

K

1+s

, K

max

! 1 sem que o sistema

pera a sua estabilidade. O LR para o aso ontinuo e mostrado na Fig.4.13.

A quest~ao que surge e porque os dois asos s~ao diferentes?. A resposta reside em que

o sistema amostrado esta em "malha aberta"entre amostras, ent~ao se o ganho for alto

perde-se o ontrole da variavel.

Exemplo 2:

Seja o sistema de segunda ordem

G(s) =

k

(1 + s

1

)(1 + s

2

)


1

k

!1

I

R

Figura 4.13: LR, aso equivalente ontnuo, para o exemplo 1.

a orrespondente fun~ao de transfere^nia disreta G(z) e

BoG(z) =

k

d

(z z

0

)

(z a)(z b)

O ajuste do ontrole proporional sera realizado utilizando o metodo do LR. Para isto

determinamos a equa~ao araterstia do sistema:

1 +

k

k

d

(z z

0

)

(z a)(z b)

= 0

Assumindo os seguintes valores para os para^metros do sistema: k = 1;

1

= 2;

2

= 3;

T = 0; 3; k

d

= 0:0069; z

0

= 0; 92; a = 0:86; b = 0; 9, onstrue-se o LR quando da

varia~ao do para^metro k

, omo mostrado na Fig.4.14.

0.86 0.9

0.92

K

max

(estav)

1

I

R

-1

Figura 4.14: LR para o aso disreto do exemplo 2.

Vamos a determinar o valor maximo do ganho do ontrolador (k

max

), para o qual o

sistema perde a estabilidade.

(z a)(z b) + k

k

d

(z z

0

) = 0


Denindo k

k

d

= k

1

, tem-se

(z

2

1:76z + 0:774 + k

1

z + 0:92k

1

) = 0

z

2

+ (k

1

1:76)z + (0:774 + 0:92k

1

) = 0:

Devemos resolver esta equa~ao determinando as suas razes para diferentes valores de

k

1

. De tal forma que: se as razes enontradas pertenem ao rulo unitario (jzj < 1),

ent~ao o sistema sera estavel. Caso ontrario o sistema e instavel. No limite entre estas

duas situa~oes se tem a estabilidade rtia para K

max

. Para os valores aima oloados

se tem que K

max

= 44:2.

Se omparamos om o aso ontnuo, o orrespondente LR e mostrado na Fig.4.15.

Note que, para o aso ontnuo, k

max

!1.

R

I

1

2

1

3

Figura 4.15: LR para o aso equivalente ontnuo do exemplo 2.

4.5 Conlus~oes

Os oneitos de estabilidade disutidos neste aptulo s~ao de importa^nia fundamental

para o desenvolvimento do projeto de ontroladores. A partir do estudo da estabilidade

riou-se a base teoria para a abordagem dos problemas de ontrole. Como ja foi disutido

anteriormente a aloa~ao de polos e zeros no plano omplexo permitira estabeleer a

dina^mia da resposta de MF do sistema. Assim as ferramentas de LR e de resposta

em freque^nia permitiram n~ao somente analisar a estabilidade mas tambem auxiliar no

projeto do ontrole.

Captulo 5

Funionamento de sistemas em

regime permanente

A maioria dos proessos de gera~ao de energia ou de produtos (energia eletria,

industria qumia, era^mia et) opera em regime permanente durante a maior parte

do tempo. Isto e, xa-se um ponto de opera~ao para o sistema e trabalha-se nele por

grandes perodos de tempo. Devido a isto, o estudo de tenias de ontrole que permitam

garantir estas araterstias de funionamento e de grande importa^nia. Neste aptulo,

analisaremos o problema e iniiaremos o estudo dos aminhos de solu~ao.

5.1 Funionamento no regime permanente

Nos ambientes industriais, os dois tipos de problemas de ontrole mais importantes

s~ao: o seguimento de sinais (problema de servomeanismo) e a rejei~ao de perturba~oes

(problema de regula~ao) (vide Fig.5.1).

Ref

T

C B

0

Proesso

yu

Perturba~ao

Sada

Erro

-

+

Figura 5.1: Sistemas de ontrole sujeito a varia~oes de arga e mudanas de refere^nia.

Nos problemas de ontrole os sinais mais omuns s~ao do tipo degrau ou rampa. Por

exemplo em opera~oes de "liga-desliga"(vide Fig.5.2b) de sistemas ou em etapas de ini-

ializa~ao ("start-up") do sistema (vide Fig.5.2b). Na maioria dos asos, os sistemas de

ontrole em regime permanente tem dois objetivos prinipais:

Funionamento de sistemas em regime permanente 55

x

liga - desliga

x

t

lenta

varia~ao

t

Figura 5.2: a) sinal tipo degrau; b) sinal rampa.

rejeitar as perturba~oes de arga;

aompanhar ou seguir a refere^nia om erro nulo ou onstante.

Para alanar estes objetivos, e sempre que a planta no possua integradores proprios,

se faz neessario utilizar uma a~ao do tipo integral no ontrole. Em geral, observa-se que,

para se obter erro nulo em regime permanente, e neessario que a fun~ao de transfere^nia

de malha aberta possua os modos dos sinais de refere^nia e perturba~ao a que o sistema

seria submetido. Este tipo de resultado pode ser failmente demonstrado apliando o

teorema do valor nal de Laplae sobre o sinal do erro do sistema. Portanto deixamos

a argo do leitor a demonstra~ao analtia deste enuniado, assim omo dos oloados a

seguir.

Se o objetivo for rejeitar argas ou seguir sinais de refere^nia do tipo degrau ent~ao

sera neessario utilizar um integrador na malha de ontrole. Para o aso de sinais tipo

rampas sera neessario utilizar dois integradores. A utiliza~ao de a~oes integrais na malha

de ontrole estabeleera um ompromisso om a estabilidade do sistema, que logiamente

devera ser estudada quando do projeto do ontrolador.

Exemplo 1: (seguimento de degraus) Controle PI

C(z) = k

(z z

0

)

(z 1)

z

0

e k

ajustam-se para transitorio

U(z)

E(z)

=

k

z k

z

0

z 1

=

k

k

z

0

z

1

1 z

1

U(z) U(z)z

1

= k

E(z) k

z

0

z

1

E(z)

U(k) U(k 1) = k

e(k) k

z

0

e(k 1)


U(k) = U(k 1) + k

e(k) k

z

0

e(k 1)

| {z }

Quando o erro for zero (e(k) = e(k 1) = 0) ent~ao o ontrole mantem-se onstante

(u(k) = u(k 1)).

Exemplo 2 (seguimento de rampas) Controle PI Duplo

C(z) = k

(z z

1

)

(z 1)

(z z

2

)

(z 1)

Os para^metros k

, z

1

e z

2

s~ao ajustados para veriar as espeia~oes da resposta

transitoria.

Ref

gera uma rampa

Com entrada degrau o PI

2

gera sinal degrau

Com erro zero o PI

1

u

B

0

PPI

2

PI

1

y

Sada

Erro

-

+

Figura 5.3: Diagrama de bloos do sistema de ontrole om dois ontroladores PI em

asata.

Com erro zero, o primer ontrolador PI gera um sinal de ontrole tipo degrau. Com

esta entrada degrau, o segundo bloo PI gera uma rampa.

Exemplo 3: Seja o sistema de ontrole de malha fehada representado na Fig.5.4, onde

o proesso e BoG(z) =

0:1

z 0:9

e o ontrolador disreto C(z).

C(z)

r

p

-

+

y

+

+

Bog(z)

Figura 5.4: Diagrama de bloos do sistema de ontrole para o exemplo 3.

Ajustar C(z) para:


a) rejeitar perturba~ao p tipo degrau e obter resposta sem osila~oes;

b) seguir uma rampa de ref(r) om erro zero, e om transitorio pouo osilatorio.

a) Usar um ontrolador om 1 integrador (representado pelo polo em z = 1)

C(z) = PI = k

(z z

0

)

(z 1)

e ajustar k

e z

0

utilizando o Lugar de Razes no plano Z. Se n~ao se utiliza o zero do

ontrolador z

0

ent~ao o LR resultante e mostrado na Fig.5.5. Note que para um dado valor

do ganho do ontrolador k

= k

0

, o sistema se torna instavel. Considerando o zero do

1

-1

R

I

0.9

C(z) =

k

z 1

N~ao usar z

0

somente k

Figura 5.5: LR para o exemplo 3 sem o zero do ontrolador.

ontrolador, o diagrama do LR se modia segundo apresentado na Fig.5.5. Observa-se

1-1 R

I

0.9

C(z) =

k

z 1

Usar z

0

e k

Figura 5.6: LR para o exemplo 3 om o zero do ontrolador.

que utilizando z

0

e k

se onsegue uma resposta mais rapida do sistema.

b) Para seguir uma rampa om erro nulo e om resposta transitoria pouo osilatoria

e neessario oloar 2 integradores no denominador de C(z) (para ter erro nulo) e dois


zeros no numerador de C = (z) para atender as espeia~oes transitorias.

C(z) =

k

(z z

1

)(z z

2

)

(z 1)

2

O orrespondente diagrama do LR e mostrado na Fig.5.7.

1

-1

R

I

0.9

Figura 5.7: LR para o exemplo 3, parte b).

O ajuste nal de K

, z

1

e z

2

e realizado usando programas de omputador e simula~ao.

5.2 Conlus~oes

Neste aptulo foram estudados os problemas de funionamento em regime permanente

mais enontrados na pratia. Os resultados deste estudo ser~ao a base de onstru~ao dos

ontroladores que disutiremos nos aptulos seguintes.

Captulo 6

Projeto de ontroladores disretos

A diferena da eletro^nia analogia, os omputadores digitais n~ao podem exeutar

fun~oes de integra~ao. Portanto as equa~oes difereniais que desrevem um ontrolador

ontinuo C(s) devem ser aproximadas utilizando equa~oes a diferenas que envolvem

somente termos de adi~ao e multiplia~ao. Neste aptulo estudaremos este problema de

aproxima~ao e introduziremos as prinipais tenias de Projeto de Controladores Digitais

(ou disretos).

Basiamente estudaremos duas tenias de projeto de ontroladores disretos:

por aproxima~oes (ou emula~ao);

projeto disreto ou direto.

6.1 Metodo de projeto por aproxima~oes

Esta tenia onsiste em projetar um ontrolador ontinuo C(s) para uma determinado

proesso, utilizando ferramentas do domnio ontinuo e, em um segundo passo, transladar

o ontrolador do domnio ontnuo ao disreto , mediante aproxima~oes, obtendo assim o

ontrolador disreto C(z).

O ontrolador ontinuo C(s) e aproximado mediante equa~oes a diferena obtidas

atraves de diferentes metodos, omo por exemplo: o metodo de Euler, de Tustin ou

bilinear, aproxima~ao zero-polo, et. A seguir s~ao apresentados os prinipais metodos de

aproxima~ao utilizados na pratia.

Projeto de ontroladores disretos 60

6.1.1 Metodo de Euler

Este metodo basiamente onsiste na aproxima~ao da derivada de x(t) pela seguinte

express~ao matematia:

_x

=

x(k + 1) x(k)

T

Exemplo 1: Dado o ontrolador

C(s) =

U(s)

E(s)

= K

s + a

s+ b

projetado a partir de ferramentas de projeto para sistemas ontnuos, pode-se obter a

seguinte express~ao

U(s)(s+ b) = k

(s+ a)E(s)

e apliando a transformada de Laplae inversa, tem-se

_u(t) + b u(t) = k

_e(t) + k

a e(t) = k

( _e(t) + a e(t)):

Apliando a aproxima~ao de Euler as derivadas _u(t) e _e(t), obtem-se

u(k + 1) u(k)

T

= b u(k) = K

e(k + 1) e(k)

T

+ a e(k)

om o qual a lei de ontrole na forma de equa~oes a diferenas e

u(k + 1) = u(k) + T

b u(k) +K

e(k + 1) e(k)

T

+ a e(k)

ou atrasando 1 perodo de amostragem

u(k) = u(k 1) + T

b u(k 1) +K

e(k) e(k 1)

T

+ a e(k 1)

Observa~ao: Vide omo o perodo de amostragem T inuenia a equa~ao a diferenas

afetando o valor dos oeientes da lei de ontrole. Este e outro fator importante na

esolha do T .


O algoritmo de ontrole que permite implementar a lei de ontrole e

Ler y(k), y

r

(k)

Calular e(k) = y

r

(k) y(k)

Calular u(k) = u(k1)+T

b u(k 1) +K

e(k) e(k 1)

T

+ a e(t)

Limitar u(k) aos valores maximos (U

max

; U

min

)

Apliar u(k)

Atualizar variaveis u(k 1) = u(k), e(k 1) = e(k)

Espera ate ompletar T seg.

Este algoritmo exeuta-se a ada T segundos via interrup~oes ou mediante "pooling".

Exemplo 2: Seja

G(s) =

1

s(s+ 1)

um proesso de segunda ordem om 1 polo na origem do plano S (1 integrador) e seja

C(s) = 70

(s+ 2)

(s+ 10)

um ontrolador (ompensador de avano) projetado utilizando ferramentas lassias.

Apliando o metodo anterior, a disretiza~ao do ontrolador ontnuo nos permite

enontrar o ontrole disreto (ja na forma de equa~oes a diferenas)

u(k + 1) = u(k)(1 10T ) + 70 [e(k + 1) + (2T 1)e(k)

ou atrasando 1 perodo de amostragem

u(k) = u(k 1) + T

10u(k 1) + 70

e(k) e(k 1)

T

+ 2e(k)

Se a freque^nia de amostragem for f =

1

T

= 20 Hz ! T = 0:05 seg, ent~ao

u(k) = 0:5u(k 1) + 70 [e(k) 0:9e(k 1)

Entretanto, se for f =

1

T

= 40 Hz ! T = 0:025 seg., temos


u(k) = 0:75u(k 1) + 70 [e(k) 0:95e(k 1)

Reserva-se ao leitor a tarefa de obter resultados de simula~ao omparando as duas leis

de ontrole aima determinadas. Devendo veriar a seguinte observa~ao:

Observa~ao: Com f = 40 Hz (aproximadamente 30 vezes a largura de banda do

proesso) o sistema disreto se omporta essenialmente omo no aso ontnuo, no entanto

om f = 20 Hz (aproximadamente 15 vezes) a resposta se degrada. Conlus~ao f 20f!.

6.1.2 Metodo de Tustin (ou Bilinear)

Seja o seguinte ontrolador ontnuo:

C(s) =

U(s)

E(s)

=

1

s

de onde tem-se que

U(s) =

1

S

E(s)

ou no tempo

u(t) =

Z

t

0

e(t)dt:

Operando no domnio do tempo disreto pode-se oloar a equa~ao anterior omo

u(kT ) =

Z

(k1)T

0

e(t) dt+

Z

kT

(k1)T

dt

ou

u(kT ) = u[(k 1)T + area baixo e(t) no perodo T .

Utilizando uma aproxima~ao retangular para a area baixo a urva obtem-se a seguinte

equa~ao a diferenas

u(kT ) = u[(k 1)T +

T

2

[e((k 1)T ) + e(kT )

ou eliminando T das express~oes das variaveis

u(k) = u(k 1) +

T

2

[e(k 1) + e(k) :


Apliando a transformada Z, hega-se a

U(z) = U(z)z

1

+

T

2

E(z)(1 + z

1

)

om o qual a fun~ao de transfere^nia disreta do ontrolador e

C(z) =

U(z)

E(z)

=

T

2

(1 + z

1

)

(1 z

1

)

=

1

2

T

1

(1z

1

)

(1+z

1

)

:

Comparando esta ultima express~ao om a do ontrolador ontnuo

C(s) =

1

s

se deduz a aproxima~ao Bilinear ou de Tustin:

s

=

2

T

(1 z

1

)

(1 + z

1

)

=

2

T

(z 1)

(z + 1)

Apliando esta aproxima~ao (substituir s pela express~ao aima) diretamente sobre a

equa~ao de um dado ontrolador ontnuo obtem-se o ontrolador disreto.

6.1.3 Metodo de aproxima~ao Zero-Polo

Basiamente este metodo onsiste em:

1. mapear polos e zeros de C(s) em C(z) utilizando a rela~ao z = e

sT

;

2. se o polino^mio do numerador for de menor ordem que o polino^mio denominador,

ent~ao adiionar termos (1 + z

1

) ao numerador ate que os dois tenham a mesma

ordem;

3. oloar o ganho estatio de C(z) igual ao de C(s)

Exemplo 3: Seja o ontrolador

C(s) = k

C

(s+ a)

(s+ b)

:


Mapeando-se polos e zeros, obtem-se

C(z) = k

D

(z e

aT

)

(z e

bt

)

e igualando os ganhos estatios, tem-se

k

C

a

b

= k

D

1 e

aT

1 e

bT

k

D

= k

C

a

b

(1 e

bT

)

(1 e

aT

)

om o qual

C(z) = k

D

(1 e

aT

z

1

)

(1 e

bT

z

1

)

= k

D

(1 z

1

)

(1 + z

1

)

=

U(z)

E(z)

U(z)(1 + z

1

) = k

D

E(z)(1 z

1

):

Apliando a transformada Z inversa se hega a express~ao em equa~oes a diferenas do

ontrolador disreto

U(k) = u(k 1) + k

D

[e(k) e(k 1)

6.1.4 Metodo aproxima~ao zero-polo modiado

Este metodo e uma variante do metodo de aproxima~ao polo-zero e se utiliza quando

o suporte de hardware n~ao permite trabalhar om tempos de alulo t

teoria de sistemas amostrados e controle digital - d.j pagano

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